高中数学第四章圆与方程双基限时练28(含解析)新人教A版必修2

双基限时练(二十八)

1．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2

＋y 2

＝m 相切，则m 为( ) A ．0或2 B ．2 C. 2

D ．无解

解析 依题意得|m |2＝m ，∴m 2

＝2m ，∵m >0，∴m ＝2.

答案 B

2．直线y ＝x －1上的点到圆x 2

＋y 2

＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( ) A ．2 2 B.2－1 C ．22－1

D ．1

解析 圆心(－2,1)到直线y ＝x －1的距离是

d ＝

|－2－1－1|

2

＝2 2.∴直线上的点到圆的最近距离是22－1. 答案 C

3．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2

＋y 2

＝1相交，则点P (a ，b )的位置是( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都有可能

解析 由题意可得

1

a 2＋

b 2

<1，

∴a 2

＋b 2

>1.∴点P (a ，b )在圆外． 答案 B

4．设直线过点(0，a )，其斜率为1，且与圆x 2

＋y 2

＝2相切，则a 的值为( ) A ．±4 B ．±2 2 C ．±2

D ．± 2

解析 直线方程为y －a ＝x ，即x －y ＋a ＝0.该直线与圆x 2＋y 2

＝2相切，∴|a |2＝2，

∴a ＝±2.

答案 C

5．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2

＋2y 2

－4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交且过圆心

D ．相交不过圆心

解析 将圆的方程配方得(x －1)2

＋(y －12)2＝34

.

圆心(1，1

2)到直线3x ＋4y －5＝0的距离

d ＝|3×1＋4×1

2

－5|

32＋42

＝0. ∴直线与圆相交且通过圆心． 答案 C

6．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2

＋y 2

＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时

，

直

线

l 的斜率k ＝_________________

_______________________________________________________.

解析 当直线l 与过圆心(2,0)和点(1，2)的直线垂直时，直线l 截得的劣弧最短，此时其对的圆心角最小，可求得k ＝

22

. 答案

22

7．若直线y ＝x ＋k 与曲线x ＝1－y 2

恰有一个公共点，则k 的取值范围是__________． 答案 k ＝－2，或k ∈(－1,1]

8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2

＋y 2

＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．

解析 由题意知，若圆上有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.

∵d ＝

|c |

122＋52

＝|c |

13， ∴0≤|c |

13<1，即0≤|c |<13.

解得－13

9．求与直线y ＝x ＋3平行且与圆(x －2)2

＋(y －3)2

＝8相切的直线方程． 解 解法1：设直线的方程为y ＝x ＋m ， 即x －y ＋m ＝0.

圆(x －2)2

＋(y －3)2

＝8的圆心坐标为(2,3)， 半径为2 2. 由

|2－3＋m |

2

＝22，得m ＝5，或m ＝－3. 所以直线方程为y ＝x ＋5，或y ＝x －3.

解法2：设直线的方程为y ＝x ＋m ，和圆的方程联立⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋m ，

x －2

＋y －

2

＝8，

消去y ，得2x 2＋(2m －10)x ＋m 2

－6m ＋5＝0. 由直线与圆相切，

Δ＝(2m －10)2

－8(m 2

－6m ＋5)＝0， 即m 2

－2m －15＝0，解得m ＝5，或m ＝－3， 所以直线的方程为y ＝x ＋5，或y ＝x －3.

10．在直线x －y ＋22＝0上求一点P ，使P 到圆x 2

＋y 2

＝1的切线长最短，并求出此时切线的长．

解 设P (x 0，y 0)，则切线长

S ＝x 20＋y 20－1＝x 2

0＋x 0＋22

2

－1

＝x 0＋2

2

＋3，故当P 为(－2，2)时，切线长最短，其值为 3.

11．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．

解 设圆的方程为(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

，由已知可知，直线x ＋2y ＝0过圆心， ∵a ＋2b ＝0①

又点A 在圆上，∴(2－a )2

＋(3－b )2

＝r 2

.② ∵直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为2 2. ∴(2)2

＋⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤a －b ＋1

12

＋－

2

＝r 2

.③ 解由①②③组成的方程组

得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝6，

b ＝－3，r 2＝52

或⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝14，

b ＝－7，r 2＝244.

故所求方程为(x －6)2

＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2

＝244. 12．已知圆C ：x 2

＋(y －1)2

＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点；

(2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程． 解 (1)证法1：由已知可得直线l ：(x －1)m －y ＋1＝0， ∴直线l 恒过定点P (1,1)． 又∵12

＋(1－1)2

＝1<5， ∴点P 在圆内．

∴对m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点．