高中数学数列与不等式综合题放缩法技巧
高中数学数列与不等式综合问题放缩法
数
列与不等式综合问题
一裂项放缩 放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。常见裂项放缩技巧：
例1 求证（1） 变式训练 [2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2
－n －23，
n ∈N *. 求数列{a n }的通项(1)公式；
(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n
<74. [2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.
(1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1?a 1＋1?＋1a 2?a 2＋1?＋…＋1a n ?a n ＋1?<13
. 二等比放缩（一般的，形如 的数列，求证
都可以等比放缩）
例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.
(1)证明⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n
<32. 变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=
（1）求{a n }的通项公式
2311111()212121
21
n n *++++<∈++++N 例求证：,n n n n n a a b a a b =-=-12111....n
基本不等式放缩法
基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。
2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。
3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。
4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。
5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。
6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。
7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。
8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。
9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。
10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。
在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结
1.均值不等式法
例
1 设 S n 1
2 2 3
n(n 1) .求证n( n 1)
S n ( n 1) 2
.
2
2
例 2
函数 f ( x)
1
，假设
f
(1)
4，且 f ( x) 在[0，1]上的最小值为1，求证： 1
a 2bx
5
2
f (1) f (2) f ( n) 1 1 n .
2n
1 2
n 1
例 3 求证Cn 1
C n 2
C n 3
C n n
n 2 2
( n
1, n N ) .
例 4 a
2
a 2
a 2 1
，x 2
x 2 x 2 1 ，求证：a1x1 a2 x2
an xn ≤1.
1 2 n 1 2
n
2．利用有用
结论
例 5 求证(1 1)(1 1)(1 1 ) (
1 1 ) 2n 1.
3 5 2n 1
例 6
函数f ( x) lg 1 2 x 3x (n 1)
x a n x
,0 a 1, 给定 n N , n 2. n
求证： f (2x) 2 f (x)( x 0) 对任意 n N 且 n 2 恒成
立。
例 7 a 1
1,a n 1 (1 2 1 )a n 1
n .
n n 2
( I ) 用数学归纳法证明 a n
2(n 2) ； ( II ) 对ln(1 x) x 对 x 0 都成立，证明a n e 2
〔无理数
e 2.71828 〕
例 8 不等式1
1 1 1
[log 2 n ], n N ,n 2。[log 2n]表示不超过log 2 n 的最大整数。设正
数数列
2 3
n
2 { a n } 满足：a 1b(b 0), a n
na n 1 , n 2. 求证
a n
2 2b , n 3.
n a n 1
数列放缩法技巧全总结
数列放缩法技巧全总结
引言
数列放缩法（Sequence Squeezing Method）是指在解决数学问题时，通过限制或放缩数列的取值范围，从而简化问题的求解过程。数列放缩法是数学竞赛和高等数学中常见的一种技巧，本文将总结数列放缩法常用的技巧和应用场景。
1. 加减不等式放缩法
加减不等式放缩法是通过对等式进行加减操作，使得所得不等式比原来的不等式更易于求解。常见的加减不等式放缩技巧有如下几个：
1.1. 约束条件加减法
设原不等式为A<B，通过针对不等式的约束条件进行加减操作，将原不等式放缩为C<D。常见的约束条件包括正整数、正实数等。
1.2. 平方项加减法
对于不等式中的平方项，可以通过改变平方项的系数进行加减操作，从而得到一个更易于处理的不等式。例如，对于a2+b2<2ab，可以将不等式变换为(a−
b)2>0，从而得到更容易求解的形式。
1.3. 倒数项加减法
对于不等式中的倒数项，可以通过改变倒数项的系数进行加减操作，从而放缩不等式。例如，在2ab<a2+b2中，可以将不等式变换为
$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b} > \\frac{2}{a+b}$，从而得到更容易处理的形式。
2. 乘除不等式放缩法
乘除不等式放缩法是通过对等式进行乘除操作，使得所得不等式比原来的不等式更易于求解。常见的乘除不等式放缩技巧有如下几个：
2.1. 约束条件乘除法
设原不等式为A<B，通过针对不等式的约束条件进行乘除操作，将原不等式放缩为C<D。常见的约束条件包括正整数、正实数等。
中学数学数列型不等式的放缩技巧九法
数列型不等式的放缩技巧九法
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：
一 利用重要不等式放缩
1． 均值不等式法
例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n
解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=
2121)1(+
=++<+<k k k k k k ，)21(1
1∑∑==+<<∴n
k n n
k k S k ， 即.2
)1(22)1(2)1(2
+<++<<+n n n n S n n n
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2
b a ab +≤，
若放成1)1(+<+k k k 则得2
)1(2)3)(1()1(2
1
+>++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
n
a a n
a a a a a a n n n n
n n
2
211111
1++≤
++≤
≤++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 已知函数bx
a x f 2
11)(⋅+=
，若54
)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.21
数列不等式放缩法
用放缩法证明不等式的方法与技巧
一．常用公式 1．
)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．
1
21
12-+<<++k k k
k k
3．22
k k
≥()4≥k 4．1232k k ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯≥(2≥k )
5．
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211 6．b a b a +≤+
二．放缩技巧
所谓放缩的技巧：即欲证
A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.
常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-<
（2）
<
>
11>
n >= （3）21111111
(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n
-
=<<=->++-- （4
）=
<=<= （5）若,,a b m R +
∈，则,a a a a m b b m b b
+><+
（6）21111111112!3!!222n n -+
++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+ （7）2221111111111(1)()()232231n n n +++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211
(1)n n n <-）
（7）
1111111112321111
n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++ 或
11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8
数列不等式与函数不等式——如何放缩才能一步到位
数列不等式与函数不等式——如何放缩才能一步到位
数列不等式为高中数学的重点和难点，常出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类问题的重要原则。熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到的方法有：
积分（函数法）放缩、裂项放缩、对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、等比放缩、切线放缩等等。
本文对以上常见放缩方法详细举例说明；文末附电子稿获取方式
言！）
的数学资料
数列放缩法技巧全总结
（1）舍掉（或加进）一些项。
（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩。
（5）根据题目条件进行放缩。
（6）构造等比数列进行放缩。
（7）构造裂项条件进行放缩。
（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。（9）利用裂项法进行放缩。
（10）利用错位相减法进行放缩。
放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，所以需要我们熟练掌握并能灵活运用。
数列综合应用放缩法
数列综合应用1
————用放缩法证明与数列和有关的不等式
一、备考要点
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中, 是历年高考命题的热点,这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法,而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩,二是先放缩再求和．
二、典例讲解
1．先求和后放缩
例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足 12+=n n a S ,试求：
1数列{}n a 的通项公式；
2设1
1+=n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和 为n B ,求证：21<n
B 2. 先放缩再求和
①．放缩后成等差数列,再求和
例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 且22n n n a a S +=.
1 求证：2214
n n n a a S ++<； 2
<⋅⋅⋅< ②．放缩后成等比数列,再求和
例3．1设a ,n ∈N ,a ≥2,证明：
n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；
2等比数列{a n }中,112
a =-,前n 项的和为A n , 且A 7,A 9,A 8成等差数列．设n
n n a a b -=12,数列{b n } 前n 项的和为B n ,证明：B n ＜13
．
③．放缩后为差比数列,再求和
例4．已知数列{}n a 满足：11=a ,
)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证： 112
13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消,再求和
高中数学数列与不等式综合题放缩法技巧
数列型不等式
放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求
∑=-n
k k
1
2
142
的值; (2)求证:
3
51
1
2
<
∑=n
k k
. 解析:(1)因为121121)12)(12(21
422+--=+-=
-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-
<1211212144
4
11
1
222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n
k 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=12112121444412
22n n n n n (2))
1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1
11)1(1!11)!(!!11
≥--=-<<⋅-=⋅
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r r
r
n r (4)2
5
)1(12311
2111)11(<-++⨯+
⨯++<+n n n n (5)
n
n n
n 2
1121)12(21--=- (6)
n n n -+<+22
1
(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n
n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !
放缩法技巧全总结
高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求
∑=-n
k k
1
2
142
的值; (2)求证:
3
51
1
2
<
∑=n
k k
. 解析:(1)因为121121)12)(12(21
422+--=+-=
-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-
<1211212144
4
11
1
222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n
k 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<
=1211212144
4412
2
2n n n n
n
(2))
1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1
11)1(1!11)!(!!11
≥--=-<<⋅-=⋅
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r r
r
n r (4)2
5
)1(12311
2111)11(<-++⨯+
⨯++<+n n n n (5)
n
n n n 21121)12(21-
-=- (6)n n n -+<+221
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结
1. 均值不等式法
例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证
.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n 例2 已知函数
bx
a x f 211
)(⋅+=
，若5
4)1(=
f ，且
)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：
.2
1
21)()2()1(1
-+
>++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(2
2
1321
N n n n C C C C
n n n
n
n
n
∈>⋅>++++-Λ.
例4 已知222121n a a a +++=L ，222
121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2
211≤1.
2．利用有用结论
例5 求证.12)1
21
1()511)(311)(11(+>-+++
+n n Λ 例6 已知函数
.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a n
n a n x f x
x x x 给定Λ
求证：
)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1
1211
1,(1).2
n n n
a a a n n +==+
++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；
)(II 对ln(1)x x +都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L
）
例8 已知不等式
21111
[log ],,2232
n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤
数列不等式证明的十种放缩技巧
数列不等式证明的十种放缩技巧
数列不等式的证明是高中数学教学的重点和难点，也是历年高考考查的热点，虽然现在高考对数列考察的难度有所降低，但该类问题依旧是考察的重点．证明此类不等式最常用的手段是放缩策略，但放缩策略的思维跨度大、构造性强，除要求解题者时刻注意把握好放缩的“尺度”外，还需要具有较强的拆分组合能力，本文结合新课程介绍数列不等式证明中的十种放缩技巧，供师生参考．
用通项放缩技巧证明数列不等式的关键在于观察通项特征和所证结论，适当调整放缩幅度，做到放缩得恰到好处，同时还要做到放缩求和两兼顾．将不等式加强主要是为了方便使用数学归纳法证明不等式，加强不等式的形式有多种，解答时要注意观察不等式的结构，仔细推敲，大胆猜想，找出简洁合理的加强方式加以证明．
高中数学数列与不等式综合问题放缩法
高中数学数列与不等式综
合问题放缩法
Last updated on the afternoon of January 3, 2021
数列与不等式综合问题 一裂项放缩
放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。常见裂项放缩技巧：
例1求证（1）
变式训练
[2016·湖南怀化质
检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，＝a n ＋1－n 2－n －，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<.
[2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.
(1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式；
证明：对一切正整数n ，有＋＋…＋<. (3)
二等
比放缩（一般的，形如的数列，求证都可以等比放缩）
例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]
已知数列{a n }满足
a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.
(1)证明是等比数列，并求{a n }的通项公式；
(2)证明＋＋…＋<.
变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=
（1）求{a n }的通项公式 2311111()21212121n n *++++<∈++++N 例求证：,n n n n n a a b a a b =-=-12111....n k a a a +++<231111+++......+12222n <
高考数学复习 放缩法与数列不等式
2008高考数学复习 放缩法与数列不等式
对放缩法的准确把握，需要学生有较强的分析判断能力、探索问题、研究问题的能力，而这正是高考能力立意的宗旨。也就成为考察学生数学素质的一个热点，成为近几年来的高考命题的一个亮点，下面借助几例探讨一下放缩法在数列不等式中的各种应用形式，供同学们参考。 一、构造“和”相消形式
通过把一个数列的一项放缩为另一个数列的两项或几项，其和互相抵消，这样由繁到简，以达到证明目的，具体步骤如下：第一步将一般项裂项，即探索关系a n ≤b n -b n-k 或a n >b n -b n-k 等；第二步累加相消，再进一步放缩即得。尤其要关注恒等式a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1).
例1 已知n ∈N ，求证：.311
<∑=n
k k
k
证: 当k≥2时，
)
1
11(2)1()1(21)1(22
1k
k k k k k k k k k k
k k k k
k --=---=-+-<
+=
∑∑
∑
===<-=-+=--+<+=∴n
k n
k n
k n
n k k k
k k
k 2
2
1.32
3)11(21)111(
21111 此题的关键是发现式子
).2)(111(
21≥--
k k
k 例2 （05北京） 已知数列{a n }中, a 1=1, ),4,3,2(1
1
1⋯=+
=--n a a a n n n （1）求a 2, a 3的值。 （2）证明当n=2,3,4,…时，.2312-≤<-n a n n 分析: 由1
11-+=-n n n a a a 可得22112
数列放缩法技巧全总结
数列放缩法技巧全总结
数列放缩法是数学中常见的一种技巧，通过巧妙地放缩数列的表达式，可以简
化问题的解决过程，提高解题效率。下面我们将对数列放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一方法。
首先，我们来介绍数列放缩法的基本思想。数列放缩法的核心是利用数学不等
式来改变数列的表达式，从而得到更简洁、更易处理的形式。通过合理地选择放缩的方式，可以使得原问题的解决变得更加简单明了。
其次，我们要掌握的是数列放缩法的常见技巧。其中，常用的技巧包括利用均
值不等式、柯西-施瓦茨不等式、特定数列的特性等。这些技巧在不同的问题中都
有着重要的应用，因此我们需要对它们有一个清晰的认识，并能够灵活地运用到实际问题中去。
另外，我们还需要了解数列放缩法的应用范围。数列放缩法不仅仅局限于数列
问题，实际上它在不等式证明、极限计算、数学竞赛等方面都有着广泛的应用。因此，掌握好数列放缩法对于提高数学解题能力是非常有帮助的。
此外，我们还需要注意数列放缩法的使用条件。在使用数列放缩法时，我们需
要确保所使用的不等式是成立的，否则就会导致问题的解决出现错误。因此，在实际应用中，我们需要对不等式的成立条件有一个清晰的认识，以避免在解题过程中出现错误。
最后，我们需要通过大量的练习来巩固数列放缩法的技巧。只有通过不断地练习，我们才能够更加熟练地掌握数列放缩法，从而在实际问题中能够灵活运用。因此，我们建议大家在学习数列放缩法的过程中，多做一些相关的练习题，以加深理解并提高解题能力。
总的来说，数列放缩法是数学中一种非常有用的解题技巧，通过掌握好数列放