【大师特稿】高中数学好题速递400题(第51—100题,word版,含答案解析)
高中数学好题速递400题(第51—100题,word版,含答案解析)
好题速递511． 已知点()(),00F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则该双曲线的离心率是（ ） ABD解：由()222b y x c a x y c ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得222a b x c ab y c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x c y =-⎧⎨=⎩ 所以222,a b ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭在24y cx =上，所以4210e e --=，解得e =2．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是 ． 答案：54（或1024）好题速递521． 过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点,A B 为切点，过,A B 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,P Q 两点，则POQ ∆的面积的最小值为 ．解：设()00,M x y ，则直线l 的方程为0020x x y y +-=，所以直线l 与x 轴，y 轴分别交于点,P Q 的坐标为0022,0,0,x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而2200001943x y x y +=≥，所以003x y ≤ 所以00223POQ S x y ∆=≥ 2．已知等式232421401214(1)(12)x x x a a x a x a x +-⋅-=++++成立，则123a a a +++1314a a ++的值等于 ．答案：0好题速递531．已知两定点()2,0A -和()2,0B ，动点(),P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为 ．解：由于2c =确定，所以离心率最大就是a 最小．所以问题等价于在直线:3l y x =+上确定点P ，使PA PB +取得最小值． 结合对称性可得，点A 关于直线l 的对称点为()3,1M - 所以()min PA PB BM +=所以max e == 2．正五边形ABCDE 中，若把顶点A 、B 、C 、D 、E 染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 种 ． 答案：30好题速递541．已知数列{}n a 和{}n b 中，1a a =，{}n b 是公比为23的等比数列．记()2*1n n na b n a -=∈-N ，若不等式1n n a a +>对一切*n ∈N 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解：因为()2*1n n n a b n a -=∈-N ，所以21n n n b a b -=-， 所以()()()11111112211302111111113nn n n n n n n n n n n n n n b b b b b a a b b b b b b b b ++++++-----=-=-==<------⎛⎫-- ⎪⎝⎭解得3012n n b or b ><<若32n b >，则112332n b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即12312na b a -⎛⎫=> ⎪-⎝⎭对一切正整数n 成立，显然不成立 若01n b <<，则112013n b -⎛⎫<< ⎪⎝⎭对一切正整数n 成立，只要101b <<即可，即2011a a -<<- 解得2a >2． 已知2223401234(1)x x a a x a x a x a x -+=++++，则1234a a a a +++＝_____；1a =______． 答案：0，－2好题速递551．方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④()f x 的图象不经过第一象限，其中正确的个数是 ． 解：由1169x x y y +=-知，,x y 不能同时大于0，分类讨论：当0,0x y <≥时，221169x y -=表示双曲线的一部分当0,0x y <<时，221169x y +=表示椭圆的一部分 当0,0x y ≥<时，221916y x -=表示双曲线的一部分 作出图象可知①③④正确对于②的判断：由于34y x =-是双曲线221169x y -=和221916y x -=的渐近线，所以结合图象可知曲线()y f x =与直线34y x =-没有交点，则()()430F x f x x =+=不存在零点． 2．若x ∈A 则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，13，12，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ．答案：A 具有伙伴关系的元素组有－1，1，12、2，13、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C 14+ C 24+ C 34+ C 44=15．好题速递561．已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，,M N 是对角线1AC 上的两点，动点P 在正方体表面上运动，满足PM PN =，则动点P 的轨迹长度的最大值为 ． 解：动点P 的轨迹为线段MN 的中垂面与正方体表面的截痕． 2． 若5250125(1)(1)(1)...(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则0a = ． 答案：32好题速递571．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，当动点M 在底面ABCD 内运动时，总有11DD A DD M ∠=∠，则动点M 在面ABCD 内的轨迹是 ．A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分解：因为满足条件的动点在底面ABCD 内运动时，动点的轨迹是以1D D 为轴线，以1D A 为母线的圆锥，与平面ABCD 的交线即圆的一部分．2．从6名品学兼优的同学中选出4名去进行为期三天的宣传活动，每人一天，要求星期天有2人参加，星期五、星期六各有1人参加，则不同的选派方案共有 种． 答案：180好题速递581．已知函数()11f x x =-，()2113f x x =+，()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=+，若[],1,5a b ∈-，且当[]12,,x x a b ∈时，()()12120g x g x x x ->-恒成立，则b a -的最大值为 ．解：()()()()()()()()()1121212212(),22(),f x f x f x f x f x f x f x g x f x f x f x ≥⎧-+⎪=+=⎨<⎪⎩ 即()g x 即为取()11f x x =-，()2113f x x =+中较大者．画出函数图象，且()g x 单调递增，所以单调递增区间[][],0,5a b ⊆，所以b a -的最大值为5．2．若()()811x x -+的展开式中5x 的系数是 ． 答案：14好题速递591．设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为 ． 解：2234z x xy y =-+，所以xyz22134xy xy x xy y xy =≤=-+ 当且仅当2x y =时，等号成立 所以222122121222x y z y y y y y +-=+-=-+ 令10t y=>，则原式()2111t =--+≤ 所以212x y z+-的最大值为1. 2．有5名学生站成一列，要求甲同学必须站在乙同学的后面（可以不相邻），则不同的站法有种． 答案：60好题速递601．定义{},m a x ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数 ,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则{}m a x 4,3z x y x y =+-的取值范围是． 解：14,213,2x y y x z x y y x⎧+≥⎪⎪=⎨⎪-<-⎪⎩作出22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩所对应的区域如图所示：由图可知：{}[]max 4,37,10z x y x y =+-∈- 2． 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 种．答案：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴2223343243362460C C A C A +=+=种．好题速递611．不等式()()22c o s 11s i n 0x x x x θθ--+->对[]0,1x ∈恒成立，则θ的取值范围是 ．解：经整理为()()()2sin cos 112sin sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[]0,1x ∈恒成立， 当0x =时，()0sin 0f θ=>；当1x =时，(1)cos 0f θ=> 所以sin cos 10θθ++>，二次函数开口向上 对称轴()()12sin 0,12sin cos 1x θθθ+=∈++所以需满足12sin 205sin 022,1212cos 0k k k θππθπθπθ∆=-<⎧⎪>⇒+<<+∈⎨⎪>⎩Z2．有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是 ． 答案：58好题速递621．已知O 为ABC ∆的外心，且3A π=，cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，则m = ． 解：cos cos 2sin sin B C AB AC AO mAO AO C B ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 所以222cos cos 2sin 2sin 2B cC b R m C B ⋅+⋅= 由正弦定理得cos cos 2c B b C Rm a +==，所以sin 2a m A R ===2． 将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为 种． 答案：12好题速递631．已知115k ≤<，函数()21x f x k =--的零点分别为()1212,x x x x <，函数()2121x kg x k =--+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为 ．解：由题可知312421,21,21,212121x x x x k kk k k k =-=+=-=+++ 所以()()4243213112213142123221112121x x x x x x x x kk k k k k k k k -+-++++=⨯=⋅==-+≥----+ 当且仅当15k =时，()()4321min 1x x x x ⎡-+-⎤=⎣⎦ 2．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是 ．（用数字作答） 答案：16好题速递641．已知实数,,a b c 满足2a b c ++=，2224a b c ++=，且a b c >>，则a 的取值范围是 。
高中数学好题速递400题(301—350)
=
1 225m 1 225 1 9 4 + = + ≤ + = 2 4 64m + 476m + 196 4 64m + 196 + 476 4 28 7 m
且仅
m=
7 4
即t =
1 时取得等号 3
好题速递 302
x 设 函 数 f 0 ( x ) = ( 1 ) , f1 ( x ) = f 0 ( x ) − 1 , f n ( x ) = f n −1 ( x ) − ( 1 ) n , n ≥ 1, n ∈ N 2 2 2
好题速递 301
已知 数 x, y 满足
1 1 + = 1 则 xy 的最大值 (2x + y ) y ( x + 4 y) x
解
1 1 x y xy = xy + + = ( 2x + y ) y ( x + 4 y ) x 2x + y x + 4 y
2 x + y = u, x + 4 y = v
x ≥ 0 时的交点个数
n=1 时
O
x
f1 ( x) 的图 是把 f 0 ( x) 的图
f1 ( x) max
再把 x 轴 的图 往 翻而得 零点 界 如图 1 n=2 时
1 移 2 1 = 2
1 个零点
1 2 1 4
y 图2 f2(x) 1 n=2 时
1 g (2) = 16
f1 ( x) 呈
1 增 状态 最后趋于 2
则 方 程
f
( x) = n
1 (n+ 2)
n
个实数根 问题化 观察 f n ( x )
高考数学专项训练题及答案解析
高考数学专项训练题及答案解析·最新说明：本文档整理了高考数学专项训练的内容，根据考试大纲内容、历年考试知识点、历年考试题型整理了本文档，内容包括知识点介绍和真题讲解等内容，望对老师和同学们有所帮助。
目录一、核心考点解读——正余弦定理及在三角形中的应用 (1)1、答题技巧 (1)2、真题解析 (2)3、高考预测 (16)4、专家押题 (17)5、参考答案 (19)二、核心考点解读——平面向量与复数 (30)1、答题技巧 (30)2、真题解析 (32)3、高考预测 (40)4、专家押题 (41)5、参考答案 (42)三、核心考点解读——立体几何 (49)1、答题技巧 (49)2、真题解析 (50)3、高考预测 (62)4、专家押题655、参考答案 (67)四、核心考点解读——立体几何与空间向量 (82)1、答题技巧 (82)2、真题解析 (83)3、高考预测 (98)4、专家押题 (100)5、参考答案 (102)五、核心考点解读——直线与圆 (113)1、答题技巧 (113)2、真题解析 (114)3、高考预测 (118)4、专家押题 (119)5、参考答案 (120)六、核心考点解读——椭圆 (126)1、解题技巧 (126)2、真题解析 (127)3、高考预测 (140)4、专家押题 (142)5、参考答题 (144)七、核心考点解读——双曲线与抛物线 (159)1、答题技巧 (159)2、真题解析 (161)3、高考预测 (175)4、专家押题 (178)5、参考答题 (179)一、核心考点解读——正余弦定理及在三角形中的应用1、答题技巧S=ABC并可由此计算在ABC△利用余弦定理可解决两类问题①根据余弦定理2222c a b abcosC=+-，求出边c；②根据222cos2b c aAbc+-=，求出A；③根据180()B A C︒=-+，求出B.求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0,)π上是不单调的)，应先求较小边所对的角，它必是锐角2、真题解析.1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（）A．⨯+表高表距表目距的差表高B．⨯-表高表距表目距的差表高C．⨯+表高表距表目距的差表距D．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A【解析】如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而 DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而 CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--= +⨯表高表距表高表目距的差． 故选：A. 2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（ ）A ．1BCD ．3 【答案】D 【解析】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =. 故选：D. 3．（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''- 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B 【解析】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=所以1004''1)273A B ⨯=≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ． 4．（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C sin cos c B A =，则tan A 等于（ ） A ．3 B ．13- C ．3或13-D ．-3或13【答案】A 【解析】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===，sin sin cos sin sin cos A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅，sin()sin A C B ∴+=⇒=4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A. 5．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c60B =︒，223a c ac +=，则b =________．【答案】【解析】由题意，1sin 2ABCSac B === 所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得b =.故答案为：6．（2020·海南·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =，所以45AGP ︒∠=， 因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，5OQ =，7DQ =，因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以2125=，解得r =等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB的面积(2213324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+. 故答案为：542π+. 7．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185或0 【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>，∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()257665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.8．（2020·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD BF BD ∴==在ACE 中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF △中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故答案为：14-.9．（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，AM =则AC =___________，cos MAC ∠=___________.【答案】【解析】由题意作出图形，如图，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅，即21124222BM BM =+-⨯⨯，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC =在AMC 中，由余弦定理得222cos2AC AM MC MAC AM AC +-∠=⋅.故答案为：10．（2021·湖南·高考真题）如图，在ABC 中，45B ∠=︒，点D 在BC 边上，且2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=（1）求AC 的长； （2）求sin BAD ∠的值. 【解析】 （1）2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=， ∴在ADC 中，由余弦定理得222222321cos 22323AD CD AC AC ADC AD CD +-+-∠===⋅⨯⨯，29,3AC AC =∴=∴（2）1cos 3ADC ∠=，所以sin ADC ∠==BAD ADC B ∠∠-∠，sin =sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∴∠∠-∠=∠∠-∠∠13=-=11．（2021·江苏·高考真题）已知向量()223sin ,cos a x x =-，()cos ,6b x =，设函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最大值;（2）在锐角ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c ，若()0,f B b ==3sin 2sin 0A C -=，求ABC 的面积. 【解析】（1）因为()223sin ,cos a x x =-，()cos ,6b x =，所以函数()f x ab =⋅2cos 6cos 23cos 23x x x x x =-+=++2233x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴当2sin 213x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max ()3f x =（2）∵ABC 为锐角三角形，02B π∴<<.25233B πππ∴<+< 又()0fB =2si n 23B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭24233B ππ∴+= 3B π∴= 3sin 2sin 032A C a c -=∴=2221cos 22a cb B ac +-==即222971432a a a +-= 2,3a c∴==1232ABCS∴=⨯⨯=12．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A .B .C 所对的边长分别为a .b .c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 【解析】 （1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =， 2221cos 28a b c Cab，所以，C 为锐角，则sin C ==因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△ （2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++， 解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈，故2a =. 13．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①.条件②.条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC的周长为4+； 条件③：ABC【解析】（1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，2sin 2sin 3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得sin 21sin 2c Cb B===与c =矛盾，故这样的ABC 不存在；若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin6a b R R π===，22sin3c R π==，则周长24a b c R ++=+=+ 解得2R =，则2,a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211sin 22ABCSabC a ===，解得a = 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：=. 14．（2020·北京·高考真题）在ABC 中，11a b +=，再从条件①.条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积． 条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b += 22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴=，由正弦定理得：7sin sin sin sin a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴==由正弦定理得：6sin sin a b a A B === （Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 168C A B A B B A =+=+==11sin (116)622S ba C ==-⨯=15．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos cos cos A B C ++的取值范围． 【解析】（I ）[方法一]：余弦定理由2sin b A，得22223sin 4a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc+-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=，即444222222220a b c a c a b b c +++--=， 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=， 即()()22222a cb ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=， 所以2221cos 22a cb B ac +-==， 又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A ，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式 因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤．由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC 为锐角三角形，所以a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++，222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-++11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13sin 622A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.16．（2020·海南·高考真题）在①ac =sin 3c A =，③c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】［方法一］【最优解】：余弦定理 由sin 3sin AB可得：ab=(),0a b m m ==>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 若选择条件①：据此可得：2ac m =⨯1m ∴=，此时1c m ==. 若选择条件②：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==sin 3c A m ==，则：c m ==若选择条件③：可得1c mb m==，c b =，与条件c 矛盾，则问题中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由,6C A B C ππ=++=，得56A B π=-． 由sin 3sin A B，得5sin 6B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1cos 2B B B =，得tan B =．由于0B π<<，得6B π=．所以2,3b c A π==．若选择条件①：由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得a =．解得1,c b a ===．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 若选择条件②： 由sin 3c A =，得2sin33c π=，解得c =，则b c == 由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得6a ==．所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =若选择条件③：由于=c 与b c =矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 17．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 【解析】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得2222cos 92235b a c ac B =+-=+-⨯=，所以b =由正弦定理得sin sin sin sin c b c B C C B b =⇒==. [方法二]【最优解】：几何法过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ．在Rt ABE △中，由2,45c B ，可得1AE BE ==，又3a =，所以2EC =．在Rt ACE中，AC =sin C ==（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5ADC ∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos C =所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3455⎛⎫=-=⎪⎝⎭.由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos DAC ∠==所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠. [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法在（1）的方法二的图中，由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos cos()cos 5ADE ADC ADC π∠=-∠=-∠=，从而4sin 4sin cos ,tan 5cos 3DAE DAE ADE DAE DAE ∠∠=∠=∠==∠．又由（1）可得tan 2EC EAC AE ∠==，所以tan tan 2tan tan()1tan tan 11EAC EAD DAC EAC EAD EAC EAD ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠． [方法三]：几何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得1,2,AE CE AC ===在Rt ADE △中，4cos sin 3AE AD ED AD ADE ADE ===∠=∠，所以23CD CE DE =-=．在ACD △中，由正弦定理可得sin sin CD DAC C AD ∠=⋅=由此可得2tan 11DAC ∠=． [方法四]：构造直角三角形法如图，作AE BC ⊥，垂足为E ，作DG AC ⊥，垂足为点G ．在（1）的方法二中可得1,2,AE CE AC ===由4cos 5ADC ∠=-，可得43cos ,sin 55ADE ADE ∠=∠==．在Rt ADE △中，542,,sin 333AE AD DE CD CE DE ADE ====-=∠．由（1）知sin C =Rt CDG △中，sin DG CD C CG =⋅===，从而AG AC CG =-=在Rt ADG 中，2tan 11DG DAG AG ∠==． 所以211DAC ∠=． 3、高考预测1．（2022·江苏南通·模拟预测）设M ，N 为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M ，N 之间架设高压电网，须计算M ，N 之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P ，利用测角仪从P 点测得的M ，N 点的仰角分别为30°，45°，并从P 点观测到M ，N 点的视角为45°，则M ，N 之间的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·广东佛山·二模）ABC 中，4AB ACB π=∠=，O 是ABC 外接圆圆心，是OC AB CA CB⋅+⋅的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．53．（2022·湖北襄阳·高三期末）在ABC 中，AC =4BC =，则角B 的最大值为（ ）A ．4πB ．3πC ．2π D ．6π（多选题）4．（2022·河北·衡水市冀州区第一中学高三期末）三角形 ABC 中， 角 ,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ， 下列条件能判断 ABC 是钝角三角形的有 （ ） A ．6,5,4a b c === B ．2AB BC a ⋅= C ．sin sin sin a b Cc b A B-=++ D ．2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=5．（2022·山东潍坊·模拟预测）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，sin ∠CBD ：sin ∠BDC ：sin ∠BAD =1：1AC =4，则△ABD 面积的最大值为________． 6．（2022·江苏泰州·模拟预测）在①a =2b ；②22c b ab =+；2sin C A =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =3A B π=+， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．7．（2022·广东广州·二模）在平面四边形ABCD 中，90,60,6,A D AC CD ∠=︒∠=︒==(1)求ACD △的面积； (2)若9cos 16ACB ∠=，求34AB BC +的值；8．（2022·广东梅州·二模）在ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠，已知2DB =，3DC =，60BDC ∠=︒ (1)求BC 的长； (2)求sin A 的值.9．（2022·湖南师大附中一模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =sin sin 2B Cb a B +=． (1)求角A 的值；(2)在①MC =2MB ，②S△ABM ③sin ∠MBC 下列问题．若M 为AC 边上一点，且MA =MB ，_______，求△ABC 的面积S △ABC ．10．（2022·福建·三模）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，6a =，12cos 2b B c +=. (1)求A 的大小；(2)M 为ABC 内一点，AM 的延长线交BC 于点D ，________，求ABC 的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使ABC 存在，并解决问题. ①M 为ABC 的外心，4AM =；②M 为ABC 的垂心，MD =③M 为ABC 的内心，AD =4、专家押题1．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为1cm,2cm 的两个同心圆的圆心，等腰三角形ABC 的顶点A 在外圆上，底边BC 的两个端点都在内圆上，点,O A 在直线BC 的同侧．若线段BC 与劣弧BC 所围成的弓形面积为1S ，△OAB 与△OAC 的面积之和为2S ，设2BOC θ∠=．经研究发现当21S S -的值最大时，纪念章最美观，当纪念章最美观时，cos θ=（ ）A B 1- C ．12 D 2．如图，圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令的仪器，也是作为指导汉族劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成角分别为α，β，测得表影长之差为l ，那么表高为（ ）A ．tan tan tan tan l αβαβ-B ．()tan tan tan tan l βαβα-C ．tan tan tan tan l βαβα-D ．()tan tan tan tan l αβαβ-3．设a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知()3cos cos cos 0C a C c A b ++=，则sin 22C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______.4．在ABC 中，AB AC =，AC 边上的中线6BD =，则ABC 面积的最大值为______．5．在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2cos a b BC-=，且2c =． (1)求角C ；(2)若D 为AB 中点，求CD 的最大值．6．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos c A C =. (1)求角C 的大小；(2)若ABC 的面积S =，求ab 的最小值.7．ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π,8,23C b c a ===+． (1)求边a ，c ；(2)若点D 在线段BC 上（与,B C 不重合），且AD c =，求sin CAD ∠．8．在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB =，3AE =(1)当BC =DC ；(2)当五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣时，求BC 的取值范围．5、参考答案名校预测1．A 【解析】如图，由题可知1130,45MPM NPN ∠=︒∠=︒，∴200PM =，PN =45MPN ∠=︒，∴2400005000220025000MN =+-⨯⨯=，∴MN =故选：A. 2．C 【解析】过点O 作,OD AC OE BC ⊥⊥，垂足分别为D ，E ，如图，因O 是ABC 外接圆圆心，则D ，E 分别为AC ，BC 的中点，在ABC 中，AB CB CA =-，则222||||||2AB CA CB CA CB =+-⋅，即22||||22CA CB CA CB +-⋅=，21|cos |2CO CA CO CA OCA CD CA CA ⋅=∠=⋅=，同理21||2CO CB CB ⋅=，因此，()OC AB CA CB OC CB CA CA CB CO CACO CB CA CB ⋅+⋅=⋅-+⋅=⋅-⋅+⋅ 2222211||||2||||||1222CA CB CA CB CA +-=-+=-， 由正弦定理得：||sin ||2sin2sin sin 4AB B CA B ACB ===≤∠，当且仅当2B π=时取“=”， 所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3. 故选：C 3．A 【解析】设AB x =，则0x >，由余弦定理可得222281cos 288AB BC AC x x B AB BC x x +-+===+≥⋅ 当且仅当x =0B π<<，则04B π<≤.故选：A.4．BC 【解析】 【分析】利用正余弦定理逐一判断即可 【详解】A ：由a b c >>可知ABC >>，且2224136b c a +=>=，所以A 是锐角，故A 不能判断； B ：由cos 2AB BC ac B a ⋅=-=，得cos 0B <，则B 为钝角，故B 能判断；C：由正弦定理a b c c b a b -=++，得222b c a bc +-=-，则1cos 2A =-，23A π=，故C 能判断； D ：由正弦定理，条件等价于2222sin sin sin sin B C C B +=2sin sin cos cos B C B C ，则sin sin cos cos B C B C =，即cos()0B C +=，故2B C π+=，则2A π=，故D 不能判断.故选：BC5．【解析】如图，可知180BAD BCD ∠+∠=，由诱导公式知sin sin BAD BCD ∠=∠，又sin ∠CBD ：sin ∠BDC ：sin ∠BAD =1：1故sin ∠CBD ：sin ∠BDC ：sin ∠BCD =1：1△BCD 中，由正弦定理得::CD BC BD =故120,60BCD BAD ∠=∠=，设,,CD k BC k BD ===，则由托勒密定理可知CB AD CD AB AC BD ⋅+⋅=⋅，即4k AD k AB ⋅+⋅=⋅，即AD AB +=1sin 2ABDS AB AD DAB AB AD =⋅⋅∠=⋅22AD AB +⎛⎫= ⎪⎝⎭当且仅当AB AD =时取等号.故△ABD 面积的最大值为故答案为：6【解析】若选①，由正弦定理得sin 2sin A B =，又3A B π=+，故sin 2sin 3B B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 2sin 2B B B +=，3sin 2B B =，即tan B =，又(0,)B π∈，故6B π=，2A π=，3C π=，这样的三角形存在.又sin sin sin a b cA B C==，c =解得2,1a b ==，故该三角形的面积为112⨯=若选②，由22c b ab =+，又余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，故22cos a ab C ab -=，化简得2cos a b C b -=，由正弦定理可得sin 2sin cos sin A B C B -=，又B C A +=π-，故()sin 2sin cos sin B C B C B +-=，即sin()sin C B B -=，又C B B π-+≠，故C B B -=，又,3A B A B C ππ=+++=，解得,,623B AC πππ===，这样的三角形存在.又sin sin sin a b c A B C ==，c =2,1a b ==，故该三角形的面积为112⨯= 若选③，由3A B π=+得3A B π-=，()sin A B -=2sin C A =可得()i 2n si 2s n n C A A B +=-，又A B C π+=-，故()()n 22si sin A B A A B ++=-，整理得4sin co n s i A A B =，又sin 0A ≠，故cos B =6B π=，2A π=，3C π=，这样的三角形存在.又sin sin sin a b c A B C ==，c =2,1a b ==，故该三角形的面积为112⨯=7．【解析】(1)解：在ACD △中，60,6,D AC CD ∠=︒==22221cos 22CD AD AC D AD CD +-===⋅⋅，解得AD =所以11sin 22ACDSAD CD D =⋅⋅⋅∠==(2)解：在ACD △中，60,6,D AC CD ∠=︒==sin sin AC DC D DAC=∠=，解得3sin 4DAC ∠=，又90A ∠=︒，所以3cos cos sin 24CAB DAC DAC π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，所以sin CAB ∠=，又9cos 16ACB ∠=，所以sin ACB ∠=所以()()sin sin +sin +B ACB CAB ACB CAB π=-∠∠=∠∠⎡⎤⎣⎦sin cos +cos sin ACB CAB ACB CAB =∠∠∠∠39416==在ABC 中，sin sin sin AB BC ACACB CAB B==∠∠==，所以6564AB BC====，，所以335+4844AB BC+=⨯=.8．【解析】(1)依题意，由余弦定理得：2222cosBC DB DC DB DC BDC=+-⋅∠1491272=+-⨯=，解得：BC=(2)依题意，由正弦定理得：sin sinBC DBBDC DCB=∠∠，所以2sinsinDB BDCDCBBC∠∠===因为DB DC<，所以DCB∠为锐角，所以cos DCB∠==因为BDC A DCA∠=∠+∠，所以A BDC DCA BDC DCB∠=∠-∠=∠-∠，所以()sin sin60sin60cos cos60sinA DCB DCB DCB=︒-∠=︒∠-︒∠12714=⨯=.9．【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin sin sin sin2B CB A B+=.因为()0,Bπ∈，则sin0B≠，所以sin sin2B CA+=，即sin sin cos2222B C A Aπ+⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则cos2sin cos222A A A=，因为()0,Aπ∈，则0,22Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos02A≠，所以1sin22A=，得26Aπ=，即3Aπ=.(2)选条件①：如图，因为MA MB=，3Aπ=，则ABM为等边三角形.在BMC △中，设MB x =，则22MC MB x ==.因为BC a ==，23BMC π∠=，由余弦定理得()(2222222cos3x x x x π+-⋅=， 即2728x =，得2x =所以2AB x ==，36AC x ==，ABC 的面积11sin 2622ABC S AB AC A =⋅=⨯⨯=△. 选条件②：如图，因为MA MB =，3A π=，则ABM 为等边三角形.因为ABM S =△221sin 2AB A AB =2AB =.在ABC 中，因为BC a ==设AC x =，由余弦定理得(22422cos3x x π+-⋅=即22240x x --=，解得6x =，则6AC =.所以ABM 的面积11sin 2622ABMSAB AC A =⋅=⨯⨯=选条件③：如图，因为MA MB =，3A π=，则ABM 为等边三角形，从而23BMC π∠=，在BMC △中，由正弦定理，得sin 4sin BC MBC CM BMC ∠∠===设BM x =，由余弦定理，得(2221624cos3x x π+-⋅=，即24120x x +-=，解得2x =. 从而2AB AM ==，6AC =所以ABM 的面积11sin 2622ABMS AB AC A =⋅=⨯⨯=10．【解析】(1)在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，又因为6a =，12cos 2b B c +=，所以2221222a c b b c ac+-+⋅=，整理得2236b c bc +-=. 在ABC 中，由余弦定理得22362cos b c bc A +-=，所以2cos bc bc A =，即1cos 2A =又因为(0,)A π∈，所以3A π=. (2)选①，设ABC 的外接圆半径为R ，则在ABC中，由正弦定理得62sin sin 3BC R A π===，即R =M为外心，所以AM =4AM =盾，故不能选①. 选②，因为M 为ABC 的垂心，所以222BMD MBD ACB ACB πππ⎛⎫∠=-∠=--∠=∠ ⎪⎝⎭，又MD =MBD中，tan BD MD BMD ACB =⋅∠∠，同理可得CD ABC =∠，又因为6BD CD +=6ABC ACB ∠∠=，即tan tan ABC ACB ∠+∠=又因为在ABC中，tan()tan ABC ACB BAC ∠+∠=-∠=所以tan tan 1tan tan ABC ACBABC ACB∠+∠=-∠∠tan tan 3ABC ACB ∠∠=，故tan ABC ∠，tan ACB ∠为方程230x -+=两根，即tan tan ABC ACB ∠=∠=因为ABC ∠，(0,)ACB π∠∈，所以3ABC ACB π∠=∠=，所以ABC 为等边三角形，所以2162=⨯=ABCS选③，因为M 为ABC 的内心，所以126BAD CAD BAC π∠∠∠===，由ABC ABD ACD S S S =+，得111sin sin sin 232626bc c AD b AD πππ=⋅+⋅，因为AD =1()2b c =+，即3bc b c +=，由（1）可得2236b c bc +-=，即2()336b c bc +-=，所以2()33609bc bc --=， 即(9)409bc bc ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，又因为0bc >，所以36bc =，所以11sin 36232ABC S bc π∆==⨯=专家押题1．A 【解析】由题意可知，2(0,)BOC θπ∠=∈，故0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又11sin 2sin 222OBC S OB OC θθ=⨯⨯⨯=，()()112cos 2sin 2cos 22ABCSBC OB OB OB θθθ=⨯⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯2sin sin cos θθθ=+，设劣弧BC 所对扇形面积为3S ，则3122S OB OB θ=⨯⨯⨯θ=，故131sin 22OBCS S S θθ=-=-，212sin sin cos sin 22sin 2ABCOBCS SSθθθθθ=-=+-=，则2112sin sin 2,0,22S S πθθθθ⎛⎫-=+-∈ ⎪⎝⎭；令1()2sin sin 22f θθθθ=+-，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则'()f θ22cos 2cos 2θθ=+-，令'()f θ0=，得cos θ=或15cos 2θ--=（舍去）， 记0cos θ=00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 当()00,θθ∈时，'()f θ0>，函数()f θ单调递增， 当0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()f θ0<，函数()f θ单调递减，故当0θθ=，即cos θ=时，()f θ取得最大值，即21S S -取得最大值．故选：A ．2．C 【解析】如图，设表高AB x =，在ACD △中，CAD βα∠=-，由正弦定理有sin sin sin()AC CD lCAD αβα==∠-， 所以sin sin()l AC αβα⋅=-，在直角三角形ABC 中，sin ABAC β=， 即sin sin sin sin sin sin()sin cos cos sin l x AC l αβαβββαβαβα⋅=⋅==⋅-- tan 1tan tan 1tan tan tan l l ββαααβ-==-.故选：C 3．79-【解析】因为()0,B π∈，所以sin 0B > ()3cos cos cos 0C a C c A b ++=()()3cos sin cos sin cos sin 3cos sin sin 0C A C C A B C A C B ⇒++=++=3cos sin sin 0C B B ⇒+= 3cos 10C ⇒+=1cos 3C ⇒=-则27sin 2cos 22cos 129C C C π⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭故答案为：79-4．24 【解析】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：22223643641212m m m n m m+-+-=-，整理可得：22362m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：112322S BC n ==⨯22163242n n +-=⨯=，当且仅当28n =时等号成立． 则ABC 面积的最大值为24． 故答案为：24. 5．【解析】(1)因为2cos 2cos a b BC-=，即(2)cos 2cos a b C B -=， 又因为2c =，故(2)cos 2cos cos a b C B c B -==， 由正弦定理，有(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=即2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，因为sin 0A ≠，所以12cos 1cos 2C C =⇒=，因为()0,C π∈，故3C π=．(2)因为D 为AB 中点，所以2CD CA CB =+， 于是22224||()CD CA CB a b ab =+=++，又因为2224c a b ab ==+-2242a b ab ab ⇒+=+≥，所以4ab ≤．故2224||4212CD a b ab ab =++=+≤，当且仅当2a b ==时成立，故||CD ≤所以max CD 6．【解析】(1)由已知及正弦定理得：sin sin cos C A A C =，又sin 0A ≠，所以sin C C =，即tan C =(0,)C π∈，所以23C π=.(2)由题意知：1sin 2S ab C =，即4ab c =，由余弦定理知：2222cos c a b ab C =+-，即2222316a b a b ab ab =++≥，因此48ab ≥，当且仅当a b =时取等号， 所以ab 的最小值为48.7.【解析】(1)由余弦定理可得:2222cos c a b ab C =+-， 即222(2)88a a a +=+-，解得：5a =．所以27c a =+=．(2)在ACD △中，由余弦定理可得2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅， 即222788CD CD =+-，解得：3CD =或5，当5CD =时D 与B 重合，不符合题意，当3CD =时．符合要求. 由正弦定理可得sin sin CD ADCAD C=∠，所以π3sinsin 3sin 7CD CCAD AD∠===． 8．【解析】(1)连结EB ，在ABE △中，120A ∠=︒，3AB AE ==由余弦定理可得，2222cos120BE AE AB AE AB =+-⋅⋅︒199233272⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，所以BE =同时可得30AEB ABE ∠=∠=︒，60CBM ︒∠=，又由五边形内角和可求得120D C ∠=︒=∠ 所以BE CD ∥，进而四边形BCDE 为等腰梯形过点C 作CM ⊥BE 于M ，可求得cos60BM BC =⋅︒进而22DC BE BM =-=(2)11sin1203322BAESAB AE =⋅⋅⋅︒=⋅⋅=又ABCDE S ⎡∈⎣五边形，所以BCDE S ∈梯形，设BC 边长为x ，则()()11=22ABCDE S BE CD CM x x +⋅=梯形化简整理得21527x ≤-<x <x ≤又20DC BE BM x =-=>，x <所以BC 的取值范围是.二、核心考点解读—— 平面向量与复数1、答题技巧()a b R λλ=∈，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠，则一定存在唯一的实数a b λ=.2）平面向量共线的坐标表示11(,)a x y =，(22,b x y =，则//a b 的充要条件是a b λ=，这与12x y -是没有差异的，只是形式上不同.平面向量基本定理：如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数1,λλ使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e .（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）3.向量数量积运算cos a b a b θ⋅=⋅，其中,a b 的夹角4.数量积运算法则： a b b a ⋅=⋅）系数结合律：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ 平面向量数量积的重要性质 ··e a a e a cos θ==； 非零向量a ，b ，·0a b a b ⊥⇔=；当a 与b 同向时，·b a a b =； a 与b 反向时，·b a a b =-，2·a a a =，||=?a a a ；·cos =||||a ba b θ； ·b a a b ≤.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量=(,)a x y ，22(,)b x y =，则12a b x x y ⋅=+=(,)a x y ，则222||+a a x y ==或22||+a x y =.1122(,),(,)A x y B x y ，则A .B 两点间的距离212||()+(AB x x y =-设两个非零向量a ，b ，=(,)a x y ，22(,)b x y =，则12a b x x ⊥⇔＋()()1122,,,,a x y b x y θ==是a 与b 的夹角，则21cos x x θ=+复数 基本概念i 叫虚数单位，满足2i =，当k Z ∈时，4k i ）形如(,)a bi b R +∈的数叫复数，记作a bi +∈与复平面上的点(,Z a b OZ 的模，即有向线段OZ 的长度，2|bi a b -=+. OZ ；除原点外虚轴上的点表示虚数，表示复平面内的点2、真题解析平面向量部分1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-，当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=，∴成立，∴是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B. 2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF 等于（ ）A ．()12a b + B ．()12a b - C ．()12b a - D ．12a b +【答案】A 【解析】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线，∴111222EF AC a b ==+，故选：A 3．（2020·海南·高考真题）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ） A ．2CD CA + B ．2CD CA - C ．2CD CA - D ．2CD CA + 【答案】C 【解析】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C 4．（2020·海南·高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)- D ．(4,6)- 【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.5．（2020·全国·高考真题（理））已知向量 a ，b 满足||5a =， ||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b <+>（ ） A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.（多选题）6．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】A.B 写出1OP ，2OP .1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C.D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP=，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC 7．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ，则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________． 【答案】 11120。
2018年高考数学模拟试题好题100题含解析word版
1．已知P 是A B C ∆内任一点,且满足A P x A B y A C=+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y A QA P AB A Cx yx yx y==++++,由系数和1x y x yx y+=++,知点Q 在线段B C 上．从而1A Px y A Q+=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明A B C ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个． 答案：30个好题速递21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ．【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122n a n nn +=+-,由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13．2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种好题速递31．已知直线l⊥平面α，垂足为O ．在矩形A B C D 中，1A D=，2A B=，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ．解：设A B 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1O E =，D E =所以1O DO E E D ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种1． 在平面直角坐标系xO y 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为a 的所有值为 ．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222A Px a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x +≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，m inA P==，则a=（2）当2a <时，m inA P==，则1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种好题速递51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x=-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令2220802y x m x m x m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩所以yx =+1y x=平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d=所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种．答案：140种好题速递61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ）A ．1r 和2r 中的较大者B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r -解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C与12,O O 同时相外切（内切），则121221C O C O R r R r r r -=--+=- 若C与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221C O C O R r R r r r -=---=+因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e +=2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种好题速递71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//M F O N时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x xx x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1FMb k a c=+，所以O Nb k a c=+，所以O N 的方程为b yxa c=+，所以22221x ya a c ab N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒ ⎨ ⎪⎝=⎪+⎩又N 在圆222xyc +=上，所以222a a c c⎛⎫⎛⎫++=⎝⎝所以322220e e e +--=，所以()2222f e ee e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个好题速递81． 已知A B C ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191ab+=，则c 的取值范围是 ． 解：由题意知，,a c b c≤≤，故1919101abccc=+≥+=，所以10c ≥又因为a bc+>，而()1991016b a a ba b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种好题速递91．在平面直角坐标系xo y 中，已知点A 是半圆()224024x yx x +-=≤≤上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当20O AO C =时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22c o s ,2sin A θθ+，()22c o s ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20O AO C =得：522co s λθ=+所以()()[]5s in 055s in 2s in 5,522c o s 1c o s c o s 1Cy θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种好题速递101．点D是直角A B C∆斜边A B上一动点，3,2A C B C ==，将直角A B C ∆沿着C D 翻折，使'B D C∆与A D C∆构成直二面角，则翻折后'A B 的最小值是 ． 解：过点'B 作'B E C D⊥于E ，连结,B E A E ，设'BC D B C D α∠=∠=，则有'2s in ,2c o s ,2B EC E A C E πααα==∠=-在A E C ∆中由余弦定理得22294co s 12co s co s 94co s 12sin co s 2A Eπαααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'R T A E B ∆中由勾股定理得22222''94co s 12sin co s 4sin 136sin 2A B A EB E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'A B 取2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有种． 答案：45种好题速递111．已知函数()421421xxxxk f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ． 解：()421111421212xxxxxxk k f x +⋅+-==+++++令()110,13212xxg x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k≥时，()213k fx +<≤，其中当且仅当0x=时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,fx f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤当1k<时，()213k fx +≤<，其中当且仅当0x=时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,fx f x f x为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种．答案：55种好题速递121．已知函数()2221f x xa x a=-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a的取值范围是 ．解：()()()222111f x xa x ax a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即m in ()1f x a ≥+所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种． 答案：31116322C C C C 种好题速递131． 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x fx +-=；②()()20f x fx ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0lo g ,0xx g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为 ．2． 若5(1)a x -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 ． 答案：2好题速递141．()fx 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f fn nfn +++=，则()2015f=．解：()()()()212f ffn n fn +++=，()()()()()212111f f fn n fn +++-=--两式相减得()()()()2211f n nfn n fn =---所以()()111f n n fnn -=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f ff f fff =⋅⋅=⋅⋅⋅==2．有 种． 答案：144种好题速递151．若,a b 是两个非零向量，且a b a bλ==+，3λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与ab-的夹角的取值范围是 ． 解：令1a b ==，则1a b λ+=设,a b θ=，则由余弦定理得()22221111c o s 1c o s 22λπθθλ+--==-=-又3λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11co s ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2． 若(nx -的展开式中第三项系数等于6，则n = ． 答案：121． 函数()22fx x x =+，集合()()(){},|2A x yf x f y =+≤，()()(){},|B x y f x fy =≤，则由A B的元素构成的图形的面积是 ． 解：()()(){}()()(){}22,|2,|114Ax y f x fy x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x fy x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种好题速递171． 在棱长为1的正方体1111A B C D A B C D -中，112A E AB =，在面A B C D中取一个点F，使1E F F C+最小，则这个最小值为 ． 解：将正方体1111A B C D A B C D -补全成长方体，点1C 关于面A B CD 的对称点为2C ，连接2E C 交平面A B C D 于一点，即为所求点F ，使1E F F C +最小．其最小值就是2E C ．连接212,A C B C ，计算可得2121A C B C A B ===，所以12A B C ∆为直角三角形，所以22E C =2． 若()62601261m x a a x a xa x+=++++ 且123663a a a a ++++=，则实数m 的值为 ． 答案：1或-31． 已知双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1F Q 的中点，且12Q F Q F ⊥，则此双曲线的离心率等于 ． 解法一：由题意1F P b =，从而有2,a a b P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 为1F Q 的中点，()1,0F c -，所以222,aa b Q c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以222a b b a c ca c⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c=，所以2e=解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又O Q 是12R t F Q F ∆斜边中线， 所以1260F O PP O Q Q O F ∠=∠=∠=，所以2e=解法三：设(),,0Qa mb m m >，则()1,Q F c a m b m =---，()2,Q F ca mb m=--由()()12,,0Q F Q F c a m b mca mb m⊥⇒-----=，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭所以22b b ac a -=-⋅，即2ca=，所以2e=2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：18好题速递191． 已知O 为坐标原点，平面向量,,O A O B O C满足：24O A O B ==，0O AO B =，()()20O C O A O C O B --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量O C，co s 2sin O C O A O Bθθ-⋅-⋅的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20O CO AO C O B --=，得22220xyx y +--=(c o s 2sin O C O A O B θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y+=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01n a C +12n a C +33n a C ++1n n n a C += ．答案：23n n+好题速递201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0a xb yc ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则M N的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c成等差数列，所以2b a c=+，方程a xb yc ++=变形为2()20a x a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0a xb y c++=过定点()1,2Q -画出图象可得90P M Q ∠=，P Q =点M 在以P Q 为直径的圆上运动，线段M N 的长度满足F N M N F N -≤+即55M N -≤≤+2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48好题速递211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,fx a fx ba b ++=∈⎡⎤⎣⎦R，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是 ． 解：设()tfx =，问题等价于()2gt t a t b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g gh a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5好题速递221． 已知椭圆221:132xyC +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P，线段2P F 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C 上不同的点，且ABBC⊥，则2y 的取值范围是 ．解：由题意22:4C y x=设:(2)1A Bl x m y =-+代入22:4C y x=，得()24840y m y m -+-=所以142y m =-，()()2144121x m m m=-+=-设()21:(42)21B Cl x y m m m=--++-代入22:4C y x=，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72好题速递231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②10b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当1a <时，2120,0k k a a -<>；所以910a a <是正确的；当1a >时，10a <，又1010a b >，所以10b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910b b >当1a <时，9a <，又99a b >，所以9b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx -（的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ．答案：150好题速递241． 已知集合(){}2,|21Ax y y x b x ==++，()(){},|2Bx y y a x b ==+，其中0,0ab <<，且A B是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x b x x b a x a b y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩()()2222241201b a a b ab∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧M P N （红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧M P N上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（A B O 与O D E ）加上一个四分之一圆（A O E F ），即图中被绿实线包裹的部分。
高中数学好题经典题总结400题(251—300)含答案
好题速递251题设,m k 为正整数，方程220mxkx 在区间0,1内有两个不同的根，则mk 的最小值是．解：2220mxkxkmxx于是问题转化为直线yk 与打勾函数2ymxx的图象的两个交点的横坐标均在区间0,1内，于是222mkm注意到2m 为整数，于是在区间22,2m m 上存在整数k 的充要条件为2221mm 解得322m 故m 的最小值为6，而k 的最小值为7，则m k 的最小值为13好题速递252题已知21xy，求22xxy的最小值是．解法一：令22xxym ，则222myxm因此22212myym，整理得22y my m m故用判别式2240mm m，解得45m解法二：设cos x r ，sin yr ，条件转化为2cossin1r r ，即12cossinr所求代数式转化为cos1cos 2cossinr r的最小值由此可有斜率角度求值域：2cos sin 2cos2sin2sin 252cos 1cos 1cos 14，（视为单位圆上的点与1,2连线斜率），则22cos 142cossin5xxy也可由三角函数角度求值域：22cos 14sin21cos12112cossin5mm m mm m评注：这里因为遇到22xy 的结构，故三角换元设cos x r ，sinyr 。
解法三：数形结合当0x时，点P 为21xy 上的一点，则22x xyPOPH如图，就是典型的“饮马问题”，点O 关于直线21xy的对称点42,55Q 到y 轴的距离为45当0x 时，点P 为21x y上的一点，则22x xyPO PH而21POOHOB PH PH于是1PO PH好题速递253题如图，直线m 与平面，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是．解：题意中是点O 是定点，正四面体ABCD 运动，但始终保持OBOC 不变不妨反过来换位思考，将正四面体ABCD 固定下来，让点O 在以BC 为直径的球面上运动，如图所示。
高中数学好题速递400题(20200416135240)
2,0 与 P
1 ,2
的距离为
5
2
2
解法二： 作为小题，由 MA
MB 知是阿氏圆轨迹，故取圆 C : x2 y2 1 直径上的两个
点 1,0 , 1,0 ，即可得 1
3
，解得 b
1 ，
2
b1 1b
2
好题速递 202 题
解析几何模块 5．已知 M 是 x2 8 y 的对称轴和准线的交点，点 N 是其焦点，点 P 在该抛 物线上，且满足 PM m PN ，当 m 取得最大值时，点 P 恰在以 M 、 N 为焦点的双曲线
好题速递 209 题
立体几何模块 3 ．已知线段 AD / / ，且 AD 与平面 的距离为 4，点 B 是平面
点，且满足 AB 5 ，若 AD 10 ，则线段 BD 长度的取值范围是
．
解：如图，将线段 AD 投影到平面 上，得到射影 A ' D ' ，将空
间 问 题 平 面 化 ， 则 动 点 B 的 轨 迹 是 以 A' 为 圆 心 ， 半 径 为
上，则该双曲线的离心率为
．
解：作 PP' MP ' ，由抛物线定义 PP ' PN
PM m PN
1 PN m PM
PP ' cos ，其中
PM
MPP ' NMP
要使 m 取得最小值，即 cos 最小，即
NMP 最大值，即
此时 MP 是抛物线的切线．
设 MP 的方程为 y kx 2，
与 x2 8y 联立得 x2 8 kx 2 0
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上的动点， F1, F2 是其左、右焦
【大师特稿】高中数学好题速递400题(第01—50题,word版,含答案解析)
1．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB yAC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x yx y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ+=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个． 答案：30个好题速递21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种好题速递31．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE所以1OD OE ED ≤+当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种1． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况： （1）当2a ≥时，min AP，则a =（2）当2a <时，min AP ==1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种好题速递51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令2220802y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩所以y x =+1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种．答案：140种好题速递61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者 C ．12r r +D ．12r r -解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e +=2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种好题速递71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x =+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+，所以22221x y a a c a b N b y x a c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个好题速递81． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c=+≥+=，所以10c ≥又因为a b c +>，而()1991016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种好题速递91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种好题速递101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2A C B C ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ．解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种好题速递111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ． 解：()421111421212x x x x xx k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++ 当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种．答案：55种好题速递121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种好题速递131． 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0xx g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为 ．2． 若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 ． 答案：2好题速递141．()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f f n n f n +++=，则()2015f = ．解：()()()()212f f f n n f n +++=，()()()()()212111f f f n n f n +++-=--两式相减得()()()()2211f n n f n n f n =--- 所以()()111f n n f n n -=-+ 所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f f f f f f f =⋅⋅=⋅⋅⋅==2．有 种． 答案：144种好题速递151． 若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与a b -的夹角的取值范围是 ．解：令1a b ==，则1a b λ+=设,a b θ=，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=-又λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2． 若(n x 的展开式中第三项系数等于6，则n = ． 答案：121． 函数()22fx x x =+，集合()()(){},|2A xy f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B 的元素构成的图形的面积是 ．解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种好题速递171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =，在面ABCD 中取一个点F ，使1E F F C +最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +最小．其最小值就是2EC ．连接212,A C B C ，计算可得2121AC B C AB ==，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a ++++=，则实数m 的值为 ． 答案：1或-31． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ．解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e =解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e = 解法三：设(),,0Q a m b m m >，则()1,Q F c a m b m =---，()2,QF c am bm =--由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫ ⎪⎝⎭所以22b b ac a -=-⋅，即2c a =，所以2e =2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：18好题速递191． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC 满足：24OA OB ==，0OA OB =，()()20OC OA OC OB --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=，得22220x y x y +--=(cos 2sin OC OA OB x θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01n a C +12n a C +33n a C ++1n n n a C += ．答案：23n n +好题速递201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20a x a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++= 所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=，PQ =点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足FN MN FN ≤≤即55MN ≤≤2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48好题速递211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<- 2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5好题速递221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y Cx y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=- 设()21:(42)21BC l x y m m m =--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=- 所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72好题速递231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号） ①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的； 当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150好题速递241． 已知集合(){}2,|21A x y y xbx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧MPN （红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧MPN 上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ABO 与ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。
高中数学：100道经典例题（附答案），逢考必有，吃透期末稳上140
高中数学：100道经典例题（附答案），逢考必有，吃透期末
稳上140
高中数学是一门抽象性和逻辑性极强的科目，学好数学对作为高中生的我们学科能力的发展及综合素质的提升也有着重要的影响。
数学可以说是高中学习阶段中难度较大的一门学科，怎样学好数学成为了很多同学日夜思考的问题。
其实数学的学习并不是无迹可寻的，我们在面对不理想的成绩和难以理解的问题时要注重自己情绪的调节，别给自己太大压力，以免丧失学习数学的信心，才能够掌握最佳的学习方法。
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【高三数学试题精选】高考数学好题速递400题(第101—150题有答案和解释)
高考数学好题速递400题（第101—150题有答案和解释）
5 c 好题速递101
1．在和中，是的中点，，，，若，则与的夹角余弦值为。
解法一，则
因为，，
所以
所以
所以，所以
解法二设
则
又因为为中线，所以，即
所以
在中，
2．一个口袋里装着一个红球、一个黄球、一个蓝球、一个白球，这些小球除了颜色之外，没有区别，从中一次性摸出2个球。
若摸得红球记3分，摸得黄球记2分，摸得蓝球记1分，摸得白球得0分，则得分和至少为4分的概率是。
解得分和至少为4分的情况为摸出红和黄或摸出红和蓝，故
好题速递102
1．将正方形的四个角（四个全等的小等腰直角三角形）分别沿其底边向同侧折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形的12条棱所在的直线中，共有异面直线
对。
解可以将空间图形放回正方体内，问题就转化为8条侧面对角线与底面4条棱所在直线组成几对异面直线。
以对角线为一条，共有三条对角线异面，共有对。
高中数学必做100题含答案,附精品试卷1套
高中数学必做100题含答案，附精品试卷1套高中数学必做100题⑴-数学11. 试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数22y x x =-+的函数值的集合； （2）3y x =-与35y x =-+的图象的交点集合.解：（1）2217224y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ ……（3分）74y ∴≥，……（5分） 故所求集合为7|4y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.……（6分） （2）联立335y x y x =-⎧⎨=-+⎩，……（8分）解得21x y =⎧⎨=-⎩，……（10分）故所求集合为(){}2,1-.……（12分）2. 已知集合{|37}A x x =≤<，{|510}B x x =<<，求()R C A B 、()R C A B 、()R C A B 、()R A C B . （◎P 14 10）解：{}()|310R C A B x x x =<≥或，……（3分）{}()|57R C A B x x x =≤≥或，……（6分）{}()|710R C A B x x =≤<，……（9分）{}()|710R A C B x x x =<≥或.……（12分）3. 设全集*{|9}U x N x =∈<，{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =. （◎P 12 例8改编） （1）求A B ，A B ，()U C A B ，()U C A B ； 解：{}1,2,3,4,5,6A B =，……（1分）{}3A B =，……（2分） {}()7,8U C A B =，……（3分） {}()1,2,4,5,6,7,8U C A B =.……（4分）（2）求U C A ， U C B ， ()()U U C A C B ，()()U U C A C B ； 解：{}4,5,6,7,8U C A =，……（5分）{}1,2,7,8U C B =，……（6分）{}()()1,2,4,5,6,7,8U U C A C B =，……（7分） {}()()7,8U U C A C B =. ……（8分）（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn 图进行分析.解：()()()U U U C A B C A C B =，……（9分）()()()U U U C A B C A C B =. ……（10分） Venn 图略. ……（12分）4. 设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=. （◎P 14 B 4改编） （1）求A B ，A B ；解：①当4a =时，{}4A =，{}1,4B =，故{}1,4A B =，{}4A B =；……（2分） ②当1a =时，{}1,4A =，{}1,4B =，故{}1,4A B =，{}1,4A B =；……（4分） ③当4a ≠且1a ≠时，{},4A a =，{}1,4B =，故{}1,,4A B a =，{}4A B =. ……（6分）（2）若A B ⊆，求实数a 的值；解：由（1）知，若A B ⊆，则1a =或4. ……（8分）（3）若5a =，则A B 的真子集共有 个, 集合P 满足条件()()A B P A B 刎，写出所有可能的集合P .解：若5a =，则{}4,5A =，{}1,4B =，故{}1,4,5A B ⋃=，此时A B 的真子集有7个. ……（10分） 又{}4A B ⋂=，∴满足条件()()A B P A B 刎的所有集合P 有{}1,4、{}4,5. ……（12分）5. 已知函数3()41xf x x -=+. （1）求()f x 的定义域与值域（用区间表示） （2）求证()f x 在1(,)4-+∞上递减. 解：（1）要使函数有意义，则410x +≠，解得14x ≠-. ……（2分） 所以原函数的定义域是1{|}4x x ≠-.……（3分）()311241(41)1311311041441441444144x x x y x x x x ---++==⨯=⨯=-+≠-+=-++++，……（5分）所以值域为1{|}4y y ≠-.……（6分） （2）在区间1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上任取12,x x ，且12x x <，则 ()()()()()2112121212133341414141x x x x f x f x x x x x ----=-=++++……（8分） 12x x <，210x x ∴->……（9分）又121,,4x x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，12410,410x x ∴+>+>，……（10分）()()120f x f x ∴->()()12f x f x ∴>，……（11分）∴函数()f x 在1(,)4-+∞上递减. ……（12分）6. 已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，求(1)f 、(3)f -、(1)f a +的值.（◎P 49 B4）解：(1)5f =，……（3分）()321f -=，……（6分）()2265,1123,1a a a f a a a a ⎧++≥-⎪+=⎨--<-⎪⎩.……（12分）7. 已知函数2()2f x x x =-+. （☆P 16 8题）（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;（2）当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值. 解：（1）证明：在区间[1,)+∞上任取12,x x ，且12x x <，则有……（1分）221211222112()()(2)(2)()(2)f x f x x x x x x x x x -=-+--+=-⋅+-，……（3分）∵12,[1,)x x ∈+∞，12x x <，……（4分）∴21120,x x x x ->0,+-2>即12()()0f x f x ->……（5分） ∴12()()f x f x >，所以()f x 在[1,)+∞上是减函数．……（6分） （2）由（1）知()f x 在区间[]2,5上单调递减，所以max min ()(2)0,()(5)15f x f f x f ====-……（12分）8. 已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（◎P 84 4） （1）求函数()()f x g x +的定义域；（2）判断()()f x g x +的奇偶性，并说明理由； （3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合. 解：（1）()()log (1)log (1)a a f x g x x x +=++-.若要上式有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，即11x -<<. ……（3分）所以所求定义域为{}11x x -<< ……（4分） （2）设()()()F x f x g x =+，则()()()log (1)log(1)()a F x f x g x x x F x -=-+-=-+++=-.……（7分）所以()()f x g x +是偶函数. ……（8分）（3）()()0f x g x ->，即 log (1)log (1)0a a x x +-->，log (1)log (1)a a x x +>-.当01a <<时，上述不等式等价于101011x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得10x -<<.……（10分）当1a >时，原不等式等价于101011x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得01x <<.……（12分）综上所述, 当01a <<时，原不等式的解集为{10}x x -<<；当1a >时，原不等式的解集为{01}x x <<.9. 已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+. （☆P 37 例2）（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bxf x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数. ……（6分）（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.……（8分） 又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3. ……（10分）由21043a b a b -+=⎧⎨-=⎩，解得a =1，b =1. ……（12分）10. 对于函数2()()21xf x a a R =-∈+. （1）探索函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a 使得()f x 为奇函数. （◎P 91 B3） 解: (1)()f x 的定义域为R , 设12x x <,则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++,……（3分） 12x x <, 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,……（5分） 12()()0,f x f x ∴-<即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. ……（6分）（2）假设存在实数a 使()f x 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-……（7分） 即222121x xa a --=-+++,……（9分） 解得: 1.a =……（12分）11. （1）已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （☆P 40 9）x －2 －1.5－1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 f (x )－3.511.022.371.56－0.381.232.773.454.89（2）已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m 的取值范围. 解：（1）由(2)( 1.5)0f f --<，(0.5)(0)0f f -<，(0)(0.5)0f f <，……（3分） 得到函数在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点. ……（6分） （2）设()f x =2(2)31m x mx -++，则()f x =0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以(1)(0)0(2)(0)0f f f f -⋅<⎧⎨⋅<⎩，……（8分）即(21)10(107)10m m --⨯<⎧⎨-⨯<⎩， ……（10分）∴ 17210m -<<．……（12分）12. 某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元50 51 52 53 54 55 56 日均销售量/个48464442403836为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？ （☆P 49 例1）解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.设销售单价定为x 元，则每个利润为（x －40）元，日均销量为[482(50)]x --个. 由于400x ->，且482(50)0x -->，得4074x <<.……（3分）则日均销售利润为2(40)[482(50)]22285920y x x x x =---=-+-，4074x <<.……（8分） 易知，当228572(2)x =-=⨯-，y 有最大值. ……（11分）所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理. ……（12分）13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式4000t Q Q e -=，其中0Q 是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（☆P 44 9）解：（1）∵ 00Q >，0400t -<，1e >， ∴ 4000t Q Q e -=为减函数. ……（3分）∴ 随时间的增加，臭氧的含量是减少. ……（6分） （2）设x 年以后将会有一半的臭氧消失，则4000012x Q e Q -=，即40012x e -=，……（8分） 两边去自然对数，1ln 4002x -=，……（10分） 解得400ln 2278x =≈.……（11分）∴ 287年以后将会有一半的臭氧消失. ……（12分）14. 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可选用二次函数2()f x px qx r =++（其中,,p q r 为常数，且0p ≠）或指数型函数()x g x a b c =⋅+（其中,,a b c 为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.（☆P 51 例2）解：当选用二次函数2()f x px qx r =++的模型时，∵()()20f x px qx r p =++≠，由()()()12,2 1.2,3 1.3f f f ===，有142 1.293 1.3p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩， 解得0.05,0.35,0.7p q r =-==，……（4分） ∴()4 1.3f =.……（5分）当选用指数型函数()x g x a b c =⋅+的模型时，∵(),x g x a b c =⋅+ 由()()()11,2 1.2,3 1.3,g g g === 有2311.21.3a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩ ，解得0.8,0.5, 1.4a b c =-==， ……（9分）∴()4 1.35g =.……（10分）根据4月份的实际产量可知，选用()0.80.5 1.4xy =-⨯+作模拟函数较好. ……（12分）15. 如图，OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(x t t =>左侧的图形的面积为()f t . 试求函数 ()f t 的解析式,并画出函数()y f t =的图象. （◎P 126 B2） 解：（1）当01t <≤时，OC t =，如图，设直线x t =与OAB ∆分别交于C 、D 两点，则又331CD BE OC CE ===，3CD t ∴=，()21133222f t OC CD t t t ∴=⋅=⋅⋅= ……（4分） （2）当12t <≤时，如图，设直线x t =与OAB ∆分别交于M 、N 两点，则2AN t =-，又331MN BE AN AE ===，()32MN t ∴=- ()()22113323322332222f t AN MN t t t ∴=⋅⋅-⋅⋅=--=-+-……（8分）（3）当2t >时，()3f t =. ……（10分）()223,0123233,1223,2t t f t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪⎪∴=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎪⎩……（12分）16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾xyOBAx=t病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？（☆P 45 例3） 解：（1）当0≤t ≤1时，y =4t ；……（2分） 当t ≥1时，1()2t a y -=，此时(1,4)M 在曲线上， ∴114(),32a a -==，这时31()2t y -=. ……（5分）所以34(01)()1()(1)2t t t y f t t -≤≤⎧⎪==⎨≥⎪⎩.……（6分）（2）∵ 340.25()0.25,1()0.252t t f t -≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩即， ……（8分）解得1165t t ⎧⎪≥⎨⎪≤⎩ ，……（10分）∴ 1516t ≤≤.……（11分）∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为115541616-=个小时. ……（12分）高考数学精品试卷参考公式锥体的体积公式: 13V Sh =,其中S 为锥体的底面积, h 为锥体的高 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U R =,集合{}10A x x =-≤,集合{}260B x x x =--<则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}3x x < B ．{}31x x -<≤ C ．{}2x x < D ．{}21x x -<≤2. 设复数z 满足()12z i -= (其中i 为虚数单位),则下列说法正确的是（ ）A ．2z =B ．复数z 的虚部是iC ．1z i =-+D ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限3. 已知角α的终边经过点(),2m m -,其中0m ≠,则sin cos αα+等于（ ）A ．55-B ．55± C ．35- D ．35±4. 已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点, P 为双曲线上一点, 2PF 与x 轴垂直, 1230PF F ∠=,且虚轴长为22,则双曲线的标准方程为（ ）A ．22142x y -= B ．22132x y -= C. 22148x y -= D ．2212y x -= 5. 某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为（ ） A ．15 B ．310 C. 25D ．35 6. 中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为`（ ）A ．186B ．183 C. 182 D ．27227. 记不等式组1,50,210,x x y x x ⎧≥⎪=-≥⎨⎪-+≤⎩,的解集为D ,若(),x y D ∀∈,不等式2a x y ≤+恒成立,则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．[)3,+∞ C. (],6-∞ D ．(],8-∞8. 如图,半径为1的圆O 中, ,A B 为直径的两个端点,点P 在圆上运动,设BOP x ∠=,将动点P 到,A B 两点的距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[]0,2π上的图象大致为（ ）A ．B ．C. D ．9. 如下图所示的程序框图中, ()Mod ,m n 表示m 除以n 所得的余数,例如: ()Mod 5,21=,则该程序框图的输出结果为（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．510. 设椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ）A ．32 B ．22 C. 12 D ．3311. 已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30BAC ∠=,3AC AB =,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为（ ） A ．818 B ．24332C. 8132 D ．8112. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数,记()f x 的导函数为'()f x ,当0x ≥时,满足'()()0f x f x ->.若[)2,x ∃∈-+∞使不等式()333x f e x x ⎡⎤-+⎣⎦(a x)x f e ≤+成立,则实数a 的最小值为（ ） A ．21e - B ．22e - C. 212e + D ．11e-二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13. 522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中,常数项为 ．(用数字作答) 14. 2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是 ．15. 已知ABC ∆中, 4,AC 5AB ==,点O 为ABC ∆所在平面内一点,满足OA OB OC ==，则OA BC ⋅= ．16. 在圆内接四边形ABCD 中, 8,2AC AB AD ==,60BAD ∠=,则BCD ∆的面积的最大值为 ．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:17. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数. (1)证明: 12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由.18. 在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形，60,BAD PA PD ∠==.(1)证明: BC PB ⊥；(2)若,PA PD PB AB ⊥=,求二面角A PB C --的余弦值.19. 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x 表示活动推出的天数, y 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内, y a bx =+与xc d ⋅(,c d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付 的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,建立y 关于x 的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的 人次；(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力,以80万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠,有13的概率享受8折优惠,有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要()N n n n ∈年才能开始盈利,求n 的值.参考数据:其中其中7111,7i i i i gy υυυ===∑ 参考公式:对于一组数据()()()22,,,,,,i i n n u u u υυυ,其回归直线+a u υβ=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1221,n i i i n i i u nu unu υυβ==-=-∑∑a u υβ=-.20. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2:20C x py p =>,斜率为()0k k ≠的直线l 经过C 焦点,且与C 交于,A B 两点满足34OA OB ⋅=-.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知线段AB 的垂直平分线与抛物线C 交于,M N 两点, R 为线段MN 的中点,记点R 到直线AB 的距离为d ,若22d AB =，求k 的值. 21. 已知函数()2()1n 1f x x ax x =++-.(1)当0x ≥时, ()0f x ≥恒成立,求a 的取值范；(2)若函数()()g x f x x =+有两个极值点12,x x ,且12x x <,求证: ()211n22g x >-.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1,2,x t y t =--⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数),以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为P1+sin26直线与曲线C 交于A,B 两点(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为2,24π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,求PA PB ⋅的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =- .(1)解不等式()()259f x f x x ++≥+；(2)若0,0a b >>，且142a b +=,证明: 9()()2f x a f x b ++-≥，并求9()()2f x a f x b ++-=时，,a b 的值.。
高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)
立体几何小题100例一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．42．5【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D ,2244()52PE =+=选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以22222()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅CA DB而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos 2θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这 个几何体的体积是（ ）112222侧视图俯视图主视图A ．343cmB ．383cmC ．33cmD ．34cm【答案】B ． 【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==Sh V ． 考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中126cos 33C AC ∠==.在AOP ∆中 22OA =,设(),03AP x x =≤≤,由余弦定理可得2222226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以223162OP x x =-+.所以()22231262f x x x =-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； （4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题．．．的序号为（ ） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4） 【答案】C 【解析】试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，MN EF S MENF ⋅=21，2=EF ，要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1)21(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不是单调函数；（4）NE C F EC M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=41121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，1214131=⋅='-ME C F V ，又41121=⋅'⋅='∆E C S NE C ，1214131=⋅='-NE C F V ，61)(=x h 为常函数.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A）4 （B ）4 （C ）4 （D ）34【答案】D. 【解析】试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则21,231==D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2121=B A ；在1ABA ∆中，431122111cos 1=⨯⨯-+=∠AB A ；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为34. 考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90 D ．1AP PD +22+ 【答案】C 【解析】试题分析：111DC D A ⊥ ，11DC B A ⊥，1111A B A D A = ，⊥∴1DC 平面11BCD A ，⊂P D 1平面11BCD A 因此P D DC 11⊥，A 正确；由于⊥11A D 平面11ABB A ，⊂11A D 平面P A D 11，故平面⊥P A D 11平面AP A 1 故B 正确，当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，C 错；将面B AA 1与面11BCD A 沿B A 1展成平面图形，正视图 侧视图俯视图线段1AD 即为1PD AP +的最小值，利用余弦定理解221+=AD ，故D 正确，故答案为C ．考点：棱柱的结构特征． 9．下列命题中，错误的是（ ）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 【答案】B 【解析】试题分析: 由直线与平面的位置关系右知A 正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B 错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（ ）【答案】A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为 （ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4． 设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ， 则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2， 即R 2=（4-R ）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）【答案】C 【解析】 试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1AF 上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r , 则2286862r r r -+-+⇒=,故选B. 考点：三视图 内切圆 球 三棱柱14．已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A ．14 B ．24 C ．34 D ．12【答案】B. 【解析】试题分析：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG ∥CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则.BG AG ⊥设2AB a =．在ABE ∆中，60,90,2,.BAE AEB AB a AE a ∠=︒∠=︒=∴=在Rt AEG ∆中，29045,90,cos 45.2GAE CAG AGE AG a a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=︒=在Rt ABG∆中，222cos 24AG BAG AB a ∠===∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B ．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正 方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（ ） A ．13B 523 D ．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=所以,DP PE DP PF ⊥⊥又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PE PF P =,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，22223151,,1222PE PF EF EB BF ⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭所以222351222cos 33212EPF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,225sin 133EPF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭ 所以11355sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 115523346PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯⨯=三棱锥三棱锥 所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离．解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．18．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB ．5aC ．aD ．3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++± ，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．19．长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（ ）．Ａ．14 B ．4 C ．32 D ．23【答案】B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度．考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ , 由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为//EF l ，M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．21．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】试题分析：由于',A G DE FG DE ⊥⊥．所以DE ⊥平面'A FG ．经过点'A 作平面ABC 的垂线垂足在AF上．所以A 选项正确．由A 可知B 选项正确．当平面'A DE 垂直于平面BCDE 时，三棱锥EFD A -'的体积最大，所以C 正确．因为BD EF ，设2AC a =．所以'EF A E a ==，当'2A F a =时，32'(')2a A G GF A G GF a <+==．所以异面直线E A '与BD 可能垂直．所以D 选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．22．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ ,由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；EF l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选因为//项D不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．23．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选A．24．如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.则棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值是（）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:3【答案】C【解析】设AB ＝a.由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝.易证PQ ⊥面DCQ ，而PQ ＝，△DCQ 的面积为，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1:1，选C.25．正四面体ABCD ，线段AB //平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，则线段AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（ ）A ． [0，22]B ．[22，1]C ．[21，1] D ．[21，22] 【答案】B【解析】试题分析：如图，取AC 中点为G ，结合已知得GF //AB ，则线段AB 、EF 在平面α上的射影所成角等于GF 与EF 在平面α上的射影所成角，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE //CD ，所以GE ⊥GF,所以222GF GE EF +=，当四面体绕AB 转动时，因为GF //平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，显然，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时EF 在平面α上的射影11F E 的长取得最小值21，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长最长为21，11F E 取得最大值22，所以射影11F E 长的取值范围是 [21，22]，而GF 在平面α上的射影长为定值21，所以AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是[22，1].故选B 考点：1线面平行；2线面垂直。
高中数学经典好题400例
1．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x yx y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ+=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个． 答案：30个好题速递21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种好题速递31．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE =所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种1． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况： （1）当2a ≥时，min AP =，则a （2）当2a <时，min AP ==1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种好题速递51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令2220802y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩，所以y x =+1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种．答案：140种好题速递61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者 C ．12r r +D ．12r r -解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e +=2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种好题速递71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x =+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+，所以22221x y a a c a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个好题速递81． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c=+≥+=，所以10c ≥又因为a b c +>，而()1991016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种好题速递91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种好题速递101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2A C B C ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ．解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种好题速递111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ． 解：()421111421212x x x x xk k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++ 当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种．答案：55种好题速递121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种好题速递131． 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0xx g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为 ．2． 若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 ． 答案：2好题速递141．()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f f n n f n +++=，则()2015f = ．解：()()()()212f f f n n f n +++=，()()()()()212111f f f n n f n +++-=--两式相减得()()()()2211f n n f n n f n =--- 所以()()111f n n f n n -=-+ 所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f f f f f f f =⋅⋅=⋅⋅⋅== 2．有 种． 答案：144种好题速递151． 若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与a b -的夹角的取值范围是 ．解：令1a b ==，则1a b λ+=设,a b θ=，则由余弦定理得()2221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=-又λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2． 若(n x 的展开式中第三项系数等于6，则n = ． 答案：121． 函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由AB 的元素构成的图形的面积是 ．解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种好题速递171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =，在面ABCD 中取一个点F ，使1E F F C +最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +最小．其最小值就是2EC ．连接212,A C B C ，计算可得2121AC B C AB ，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a ++++=，则实数m 的值为 ． 答案：1或-31． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1F Q 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ．解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 为1F Q 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e =解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e = 解法三：设(),,0Q a m b m m >，则()1,Q F c a m b m =---，()2,QF c am bm =--由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫ ⎪⎝⎭所以22b b ac a -=-⋅，即2c a =，所以2e =2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：18好题速递191． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC 满足：24OA OB ==，0OA OB =，()()20OC OA OC OB --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=，得22220x y x y +--=(cos 2sin OC OA OB x θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01n a C +12n a C +33n a C ++1n n n a C += ．答案：23n n +好题速递201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=，PQ =点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足FN MN FN ≤即55MN ≤2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48好题速递211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5好题速递221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y Cx y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=- 设()21:(42)21BC l x y m m m =--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=- 所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72好题速递231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的； 当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150好题速递241． 已知集合(){}2,|21A x y y xbx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且AB 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧MPN （红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧MPN 上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ABO 与ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。
高中数学好题速递400题(351—400)
因
4c 4c +3 +3 a + 2b + 4c a = 2+ ≥ 2+ a b b−a c −1 2 −1 a a a + 2b + 4c c 1 4t 2 + 3 4 = t > ，则 ≥ 2+ = 4 + ( 2t − 1) + ≥8 b−a 2 2t − 1 a ( 2t − 1)
解法二 由题意可知 ∆ = b 2 − 4ac ≤ 0 ，即 4ac ≥ b 2 a + 2b + 4c a ( a + 2b + 4c ) a 2 + 2ab + 4ac a 2 + 2ab + b 2 M= = = ≥ b−a a (b − a ) ab − a 2 ab − a 2 时已 转 齐次式了，所 子 母同除 a 2 2 2 2 a + 2ab + b t + 2t + 1 4 则M ≥ = = t −1+ +4≥8 2 ab − a t −1 t −1 当且仅当 t = 解法
( 4a
2
− 4a − 2 )
min
= f 1− 2 = 6 − 4 2
(
)
设 x + y = a, xy = a + 1，则 x, y 视
∆ = a 2 − 4a − 4 ≥ 0
z 2 − az + a + 1 = 0 的两根
a ≥2+2 2 或a ≤ 2−2 2
2 2
x + y 2 = ( x + y ) − 2 xy = a 2 − 2a − 2 = ( a − 1) − 3 ≥ 6 − 4 2
高中数学经典50题(附答案)
解 ： 如 图 ， 以 直 线 BA 为 x 轴 ， 线 段 BA 的 中 垂 线 为 y 轴 建 立 坐 标 系 ， 则
B(3,0), A(3,0),C(5,2 3) ，因为 PB PC ，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上。
5. 如图所示，直线 l1 和 l2 相交于点 M， l1 l2 ，点 N l1 ，以 A、B 为端点的曲线段 C 上任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等。若 AMN 为锐角三角形， AM 17, AN 3,且 NB＝6 ，建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程。
解：以直线 l1 为 x 轴，线段 MN 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲
8x 。
（ 3 ） 直 线 AB ： y t 4 x 2 ， 代 入 y 2 8x 得 y 2 2ty 2t 2 16 0 ，
t
y1
y2 2
y1
y2 2
4y1 y2
64 4t 2 ， x1
x2 2
t2 16
y1
y2 2
2 p p ， 故 AB 的 垂 直 平 分 线 为 y1 y2 t
yt
t p
x
x0
，即
t
x
x0
p
yp
0 ，可知其过定点 Qx0
p,0
（2）由
MF
4, OQ
6 ，得 x0
p 2
4, x0
p 6 ，联立解得 p 4, x0
【大师特稿】高中数学好题速递400题(第151—200题,word版,含答案解析)
好题速递151（2019湖北第17题）a 为实数，函数()2f x x ax =-在区间[]0,1上的最大值记为()g a ， 当a =_________时，()g a 的值最小解：若0a <时，()22f x x ax x ax =-=-在区间[]0,1上单调递增，故()1g a a =- 若012a≤≤，即02a ≤≤时， ()()()221,02max 0,1,max 0,1,24224a a a a g a f f f a a a ⎧-≤≤⎧⎫⎧⎫⎪⎛⎫==-=⎨⎬⎨⎬⎨ ⎪⎝⎭<≤⎩⎭⎩⎭⎪⎩ 若12a>，即2a >时，()22f x x ax x ax =-=-+在区间[]0,1上单调递增，()1g a a =- 综上， ()21,22241,2a a ag a a a a ⎧-≤⎪⎪=<≤⎨⎪->⎪⎩，故当2a =时，()g a取得最小值为3-好题速递152（2019重庆第14题）设实数,0a b >，5a b +=的最大值为 。
解法一：()()2491318a b a b =+++≤++++=≤当且仅当13a b +=+且5a b +=，即73,22a b ==时，取得等号 解法二：x y = 则题目变为“实数,1x y >，229x y +=，求x y +的最大值。
利用不等式链条22222x y x y ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，得x y +≤当且仅当x y ==时取得等号 解法三：三角换元，令3cos ,3sin x y θθ==，且满足11cos ,sin 33θθ>>则3cos 3sin 4x y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭当4πθ=时取得最大值32，且此时满足11cos ,sin 33θθ>>解法四：令2x y t +=>，则()229x t x +-=，即222290x tx t -+-=在()1,3上有解 则()2127f t t =--，()23690f t t =-+>满足()()130f f <或()()()2210301324890f f tt t ⎧>⎪>⎪⎪⎨<<⎪⎪⎪∆=--≥⎩ 解得232t <≤，且3t ≠ 故t 的最大值为32好题速递153（2019湖北理科第9题）已知集合(){}22,|1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，(){},|2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30 解：因为集合(){}22,|1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合(){},|2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点），即图中正方形ABCD 中的整点，集合()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈中的元素表示B 中的点向左、右、上、下方向移动一个单位，即A B ⊕的元素可看作正方形1111A B C D 中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个好题速递154（2019浙江理科第7题）存在函数()f x 满足，对任意x ∈R 都有（ ）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 解：对A 选项，取0x =，可知()00f =，再取2x π=，可知()01f =，矛盾对B 选项，取0x =，可知()00f =，再取2x π=，可知()2042f ππ=+，矛盾对C 选项，取1x =，可知()22f =，再取1x =-，可知()20f =，矛盾对D 选项，令10t x =+≥，所以()()211f t t f x x -=⇔=+，符合题意，故选D 本题与浙江文科第8题异曲同工，都是考查函数概念的问题。
【好题】数学高考试题(含答案)
【好题】数学高考试题(含答案)一、选择题1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．2．若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i 3．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－14．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙5．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）ξ0 1 2P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小6．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 8．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60︒B ．30C ．45︒D ．15︒9．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8B ．9，5，6C ．7，5，9D ．8，5，710．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（） A ．3-B ．3C ．12D ．12-12．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．1x <-或4x >B ．0x 或2x -C ．0x <或2x >D ．12x -或3x 二、填空题13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.14．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 15．已知函数21,1()()1a x xf x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．16．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．17．函数()23s 34f x in x cosx =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 18．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．19．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45︒，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则ACB =∠______________.20．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是三、解答题21．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.22．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为1231x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数）.在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是22sin4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点()0,1P-.若直l与曲线C相交于两点,A B,求PA PB+的值.23．设等差数列{}n a的前n项和为n S，34a=，43a S=，数列{}nb满足：对每12,,,n n n n n nn S b S b S b*++∈+++N成等比数列.（1）求数列{},{}n na b的通项公式；（2）记,,2nnnaC nb*=∈N证明：12+2,.nC C C n n*++<∈N24．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，S是11B D的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点.求证：（1）直线//EG平面11BDD B；（2）平面//EFG平面11BDD B.25．已知数列｛n a｝的前n项和Sn＝n2－5n (n∈N+）．（1）求数列｛n a｝的通项公式；（2）求数列｛12nna+｝的前n项和Tn .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），半径r＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，即可得出三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，利用1＜y B＜3，即可得出．【详解】抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝y A+1，|AB|＝y B﹣y A，∴三角形ABF的周长＝2+y A+1+y B﹣y A＝y B+3，∵1＜y B＜3，∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．B解析：B【解析】试题分析：22(1i)1i,1i 1i(1i)(1i)z z+===+∴=---+，选B.【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.3．D解析：D【解析】【详解】试题分析：()()(),34,24,32a b λλλλλ+=-+-=+--，由a b λ+与a 垂直可知()()()·0433201a b a λλλλ+=∴+---=∴=- 考点：向量垂直与坐标运算4．A解析：A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．5．D解析：D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑6．C解析：C 【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y>不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.7．B解析：B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.8．C解析：C 【解析】由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.9．B解析：B 【解析】 【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为2011005=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，12555⨯=，20956--=.故选：B【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义11．B解析：B 【解析】 【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3πφk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<，∴3πϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴21,32πsin x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．12．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，题目可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案． 【详解】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0⇔x≤12-或3x ，所以可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件； 依次选项可得：x 1<-或x 4>是12x ≤-或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是12x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件x 0<或x 2>是12x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件；x≤-12或x≥3是12x ≤-或x≥3成立的充要条件； 故选C ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．二、填空题13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析：【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用．14．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力 10【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.15．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.16．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线解析：6 【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322zy x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由32z x y =-可得322z y x =-． 平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322z y x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为6．【点睛】求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+，通过求直线的纵截距z b的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值；②当0b <时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值． 17．1【解析】【详解】化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1解析：1【解析】【详解】化简三角函数的解析式，可得()22311cos 3cos 344f x x x x x =--=-++=2(cos 12x --+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 18．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为 解析：513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1sin 2x ， 解得51322,66k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈. 19．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据 解析：30【解析】【分析】作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解cos ACB ∠即可.【详解】如图所示,在Rt ACD 中,∵10,45AC m DAC =∠=︒,∴10DC m =在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=︒,∴BC =.在ABC 中,2221010cosACB +-∠==30ACB ∠=︒.故答案为：30【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.20．2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数：152 025解析：20 25【解析】设这三个数：、、（），则、、成等比数列，则或（舍），则原三个数：15、20、25三、解答题21．(1) ； (2)36000；（3）.【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000.（Ⅲ）设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．22．（110y --=，22(1)(1)2x y -+-=；（2）1.【解析】【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得直线l 10y --=.将曲线C 的极坐标方程化为2ρθθ⎫=⎪⎪⎝⎭. 即22sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x. 故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.（2）将直线l 的参数方程代入()()22112x y -+-=中，得 22112222t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.化简，得(2130t t -++=.∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正.由直线方程参数的几何意义知,12121PA PB t t t t +=+=+=.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可.23．（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得数列{}n a 的首项和公差确定数列{}n a 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列{}n b 的通项公式；(2)结合(1)的结果对数列{}n c 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.【详解】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- .其前n 项和()()02212n n n S n n +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n n n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：2n C ==<=<=， 则()()()12210221212n C C C n n n +++<-+-++--= 【点睛】 本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图，连接SB ，,E G 分别是,BC SC 的中点，//EG SB ∴.又SB ⊂平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，所以直线//EG 平面11BDD B .（2）连接,,SD F G 分别是,DC SC 的中点，//FG SD ∴.又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B//FG ∴平面11BDD B .又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=，∴平面//EFG 平面11BDD B .【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.25．（1）26()n a n n N +=-∈；（2）112n nn T -=--【解析】【分析】 （1）运用数列的递推式：11,1,1n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，计算可得数列｛n a ｝的通项公式；（2）结合（1）求得1322n n na n +-=，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可得到数列｛12n n a +｝的前n 项和n T . 【详解】 （1）因为11,1,1n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，()25n S n n n N +=-∈ 所以114a S ==-, 1n >时,()()22 515126n a n n n n n =---+-=- 1n =也适合，所以()+26N n a n n =-∈（2）因为1322n n n a n +-=， 所以12121432222n n n n n T -----=++⋅⋅⋅++ 2311214322222n n n n n T +----=++⋅⋅⋅++ 两式作差得：1211211322222n n n n T +--=++⋅⋅⋅+- 化简得1111222n n n T +-=--， 所以112n n n T -=--. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.。
高中数学经典50题(附答案)
线段 C 是以点 N 为焦点，以 l2 为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为曲线段 C 的端
点。
设曲线段 C 的方程为 y 2 2 px( p 0)(xA x xB , y 0) ，其中 xA , xB 为 A、B 的
横坐标， p MN ，所以 M ( p ,0), N( p ,0) ，由 AM
5
（1） 求证： OA OB （2） 当 OAB 的面积等于 10 时，求 k 的值。
（1）
证明：图见教材
P127
页，由方程组
y
2
x
消去 x 后，整理得 ky 2 y k 0 。
y k(x 1)
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，由韦达定理得 y1 y2 1 A, B 在抛物线 y 2 x 上，
又圆方程
[x (a 4)]2 y 2 16
将 y 2 4ax 代入得 x2 2(4 a)x a2 8a 0
xM xN 24 a 得︱AM︱+︱AN︱=8
(2)假设存在 a 因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱ 所以︱AP︱=︱PP′︱ ，P 点在抛物线上，这与 P 点是 MN 的中点矛盾。故 a 不存在。
由 AB 2,得 tan 2 1 , 3 tan 3 ，
33
3
的取值范围是
0,
6
5 6
,
[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于 l 的方程由 tan 给出，
所以可以认定 ，否则涉及弦长计算时，还要讨论 时的情况。
2
2
9、已知抛物线 y 2 x 与直线 y k(x 1) 相交于 A、B 两点
7. 抛物线 y 2 2 px p 0上有两动点 A，B 及一个定点 M，F 为焦点，若 AF , MF , BF
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好题速递511． 已知点()(),00F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则该双曲线的离心率是（ ） ABD解：由()222b y x c a x y c ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得222a b x c ab y c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x c y =-⎧⎨=⎩ 所以222,a b ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭在24y cx =上，所以4210e e --=，解得e =2．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选法的种数是 ． 答案：54（或1024）好题速递521． 过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点,A B 为切点，过,A B 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,P Q 两点，则POQ ∆的面积的最小值为 ．解：设()00,M x y ，则直线l 的方程为0020x x y y +-=，所以直线l 与x 轴，y 轴分别交于点,P Q 的坐标为0022,0,0,x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而2200001943x y x y +=≥，所以003x y ≤ 所以00223POQ S x y ∆=≥ 2．已知等式232421401214(1)(12)x x x a a x a x a x +-⋅-=++++ 成立， 则123a a a +++1314a a ++ 的值等于 ．答案：0好题速递531．已知两定点()2,0A -和()2,0B ，动点(),P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为 ．解：由于2c =确定，所以离心率最大就是a 最小．所以问题等价于在直线:3l y x =+上确定点P ，使PA PB +取得最小值． 结合对称性可得，点A 关于直线l 的对称点为()3,1M - 所以()min PA PB BM +=所以max e == 2．正五边形ABCDE 中，若把顶点A 、B 、C 、D 、E 染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 种 ． 答案：30好题速递541．已知数列{}n a 和{}n b 中，1a a =，{}n b 是公比为23的等比数列．记()2*1n n na b n a -=∈-N ，若不等式1n n a a +>对一切*n ∈N 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解：因为()2*1n n n a b n a -=∈-N ，所以21n n n b a b -=-， 所以()()()11111112211302111111113nn n n n n n n n n n n n n n b b b b b a a b b b b b b b b ++++++-----=-=-==<------⎛⎫-- ⎪⎝⎭解得3012n n b or b ><<若32n b >，则112332n b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即12312na b a -⎛⎫=> ⎪-⎝⎭对一切正整数n 成立，显然不成立 若01n b <<，则112013n b -⎛⎫<< ⎪⎝⎭对一切正整数n 成立，只要101b <<即可，即2011a a -<<- 解得2a >2． 已知2223401234(1)x x a a x a x a x a x -+=++++，则1234a a a a +++＝_____；1a =______． 答案：0，－2好题速递551．方程1169x x y y +=-的曲线即为函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④()f x 的图象不经过第一象限，其中正确的个数是 ． 解：由1169x x y y +=-知，,x y 不能同时大于0，分类讨论：当0,0x y <≥时，221169x y -=表示双曲线的一部分当0,0x y <<时，221169x y +=表示椭圆的一部分 当0,0x y ≥<时，221916y x -=表示双曲线的一部分 作出图象可知①③④正确对于②的判断：由于34y x =-是双曲线221169x y -=和221916y x -=的渐近线，所以结合图象可知曲线()y f x =与直线34y x =-没有交点，则()()430F x f x x =+=不存在零点． 2．若x ∈A 则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，13，12，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ．答案：A 具有伙伴关系的元素组有－1，1，12、2，13、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C 14+ C 24+ C 34+ C 44=15．好题速递561．已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，,M N 是对角线1AC 上的两点，动点P 在正方体表面上运动，满足PM PN =，则动点P 的轨迹长度的最大值为 ． 解：动点P 的轨迹为线段MN 的中垂面与正方体表面的截痕． 2． 若5250125(1)(1)(1)...(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则0a = ． 答案：32好题速递571．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，当动点M 在底面ABCD 内运动时，总有11DD A DD M ∠=∠，则动点M 在面ABCD 内的轨迹是 ．A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分解：因为满足条件的动点在底面ABCD 内运动时，动点的轨迹是以1D D 为轴线，以1D A 为母线的圆锥，与平面ABCD 的交线即圆的一部分．2．从6名品学兼优的同学中选出4名去进行为期三天的宣传活动，每人一天，要求星期天有2人参加，星期五、星期六各有1人参加，则不同的选派方案共有 种． 答案：180好题速递581．已知函数()11f x x =-，()2113f x x =+，()()()()()121222f x f x f x f xg x -+=+，若[],1,5a b ∈-，且当[]12,,x x a b ∈时，()()12120g x g x x x ->-恒成立，则b a -的最大值为 ．解：()()()()()()()()()1121212212(),22(),f x f x f x f x f x f x f x g x f x f x f x ≥⎧-+⎪=+=⎨<⎪⎩ 即()g x 即为取()11f x x =-，()2113f x x =+中较大者．画出函数图象，且()g x 单调递增，所以单调递增区间[][],0,5a b ⊆，所以b a -的最大值为5．2．若()()811x x -+的展开式中5x 的系数是 ． 答案：14好题速递591．设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为 ． 解：2234z x xy y =-+，所以xyz22134xy xy x xy y xy =≤=-+ 当且仅当2x y =时，等号成立 所以222122121222x y z y y y y y +-=+-=-+ 令10t y=>，则原式()2111t =--+≤ 所以212x y z+-的最大值为1. 2．有5名学生站成一列，要求甲同学必须站在乙同学的后面（可以不相邻），则不同的站法有种． 答案：60好题速递601．定义{},m a x ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数 ,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则{}m a x 4,3z x y x y =+-的取值范围是． 解：14,213,2x y y x z x y y x⎧+≥⎪⎪=⎨⎪-<-⎪⎩作出22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩所对应的区域如图所示：由图可知：{}[]max 4,37,10z x y x y =+-∈- 2． 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 种．答案：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴2223343243362460C C A C A +=+=种．好题速递611．不等式()()22c o s 11s i n 0x x x x θθ--+->对[]0,1x ∈恒成立，则θ的取值范围是 ．解：经整理为()()()2sin cos 112sin sin 0f x x x θθθθ=++-++>对[]0,1x ∈恒成立， 当0x =时，()0sin 0f θ=>；当1x =时，(1)cos 0f θ=> 所以sin cos 10θθ++>，二次函数开口向上 对称轴()()12sin 0,12sin cos 1x θθθ+=∈++所以需满足12sin 205sin 022,1212cos 0k k k θππθπθπθ∆=-<⎧⎪>⇒+<<+∈⎨⎪>⎩Z2．有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是 ． 答案：58好题速递621．已知O 为ABC ∆的外心，且3A π=，cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=，则m = ． 解：cos cos 2sin sin B C AB AC AO mAO AO C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以222cos cos 2sin 2sin 2B cC b R m C B ⋅+⋅= 由正弦定理得cos cos 2c B b C Rm a +==，所以sin 2a m A R ===2． 将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为 种． 答案：12好题速递631．已知115k ≤<，函数()21x f x k =--的零点分别为()1212,x x x x <，函数()2121x kg x k =--+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为 ．解：由题可知312421,21,21,212121x x x x k kk k k k =-=+=-=+++ 所以()()4243213112213142123221112121x x x x x x x x kk k k k k k k k -+-++++=⨯=⋅==-+≥----+ 当且仅当15k =时，()()4321min 1x x x x ⎡-+-⎤=⎣⎦ 2．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是 ．（用数字作答） 答案：16好题速递641．已知实数,,a b c 满足2a b c ++=，2224a b c ++=，且a b c >>，则a 的取值范围是 。