2017-2018年广东省中山市高三(上)期末数学试卷和答案(理科)

2017-2018学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．﹣23．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．5．（5分）若x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值是（）A．1 B．4 C．6 D．86．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步7．（5分）若二项式（3﹣x）n（n∈N*）中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B．C． D．（0，1），（4，+∞）9．（5分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2}D．{t|2}11．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．312．（5分）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx（ω＞0），其周期为π，f（θ）=，则f（θ+）+f（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos（α+）=，则sin2α=．14．（5分）已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．15．（5分）某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都=a m a n，若对任意n∈N*，S n＜t恒成立，则实数t的取值范围是．有a m+n三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式2S n+8n+27＞（﹣1）n k（a n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．18．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．19．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？20．（12分）某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（≤3）项的概率．（Ⅱ）“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，，，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率．②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明．23．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2017-2018学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或【解答】解：∵集合={2}又∵B={1，m}若A⊆B则m=2故选：A．2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．﹣2【解答】解：复数==+为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=2．故选：A．3．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：log22＜log23＜log24=2⇒a∈（1，2），b=（x+）dx=（+lnx）|=ln2+，故选：D．4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．【解答】解：本框图为“当型“循环结构当满足n≤2010时，执行循环体：s=s+sin根据s=0，n=1第1次循环：s=0+sin =第2次循环：s=+=第3次循环：s=+0=第4次循环：s=+（﹣）=第5次循环：s=+2（﹣）=0第6次循环：s=0+0=0第7次循环：s=…当n为6的倍数时，s的值为0n=2010时，为6的倍数，故此时s=0n=2011时，s=故选：B．5．（5分）若x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值是（）A．1 B．4 C．6 D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）；由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大；由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=x+2y得z的最大值是2+2×2=6．故选：C．6．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选：B．7．（5分）若二项式（3﹣x）n（n∈N*）中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：令x=1，可得a=2n，令x=﹣1，可得b=4n．∴+=≥2+=．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B．C． D．（0，1），（4，+∞）【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．9．（5分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种【解答】解：由题意知先使五个人的全排列，共有A55=120种结果．穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有2A22A44=96种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有A22A22A33=24种，故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120﹣96+24=48，故选：A．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2}D．{t|2}【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ运动点F并加以观察，可得当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2；当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D．11．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．3【解答】解：函数y=|2x﹣1|的图象如图：∵x1＜x2，∴=1﹣k，=1+k，又∵x3＜x4，∴=1﹣，=1+，∴，=．则==﹣3+．又k∈[，1），∴﹣3+∈[3，+∞）．∴x4+x2﹣（x3+x1）=x4﹣x3+x2﹣x1∈[log23，+∞），即x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为log23．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx（ω＞0），其周期为π，f（θ）=，则f（θ+）+f（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【解答】解：f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx===，（tanα=）．由T==π，得ω=1．∴f（x）=．由f（θ）=，得sin（2θ﹣α）﹣2=，∴sin（2θ﹣α）=1；∴f（θ+）=sin[2（θ+）﹣α]﹣2=sin（2θ+π﹣α）﹣2=﹣sin（2θ﹣α）﹣2=﹣×1﹣2=﹣；f（θ﹣）=﹣2=﹣2=﹣2．∴f（θ+）+f（θ﹣）=．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos（α+）=，则sin2α=﹣．【解答】解：∵，∴（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴可解得：sin2α=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．【解答】解：因为=（1，﹣2），+=（0，2），所以=（﹣1，4），所以；故答案为：15．（5分）某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为6．【解答】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的乒乓球运动员人数为•6=，篮球运动员人数为•12=，足球运动员人数为•18=，∵n应是6的倍数，36的约数，即n=6，12，18．当样本容量为（n+1）时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，∵必须是整数，∴n只能取6．即样本容量n=6．故答案为：616．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都有a m=a m a n，若对任意n∈N*，S n＜t恒成立，则实数t的取值范围是+n．=a m•a n，【解答】解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a m+n=a1•a n，所以=a1=，令m=1，得到a n+1则数列{a n}是首项、公比都为的等比数列，所以S n==（1﹣）＜，因为S n＜t对任意n∈N*恒成立，所以t≥，故答案为：三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式2S n+8n+27＞（﹣1）n k（a n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，∴a1=﹣1，d=3．∴{a n}的通项公式为a n=3n﹣4．（Ⅱ）由（I）可知，，a n+4=3n；则原不等式等价于对所有的正整数n都成立．∴当n为奇数时，恒成立；当n为偶数时，恒成立．又∵，当且仅当n=3时取等号，所以当n为奇数时，的最小值为7，当n为偶数且n=4时，的最小值为，∴不等式对所有的正整数n都成立时，实数k的取值范是{k|}．18．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=．∵∠ADC=π，∴∠ADB=．△ABD中，由正弦定理可得，∴AD=；（2）设DC=a，则BD=2a，∵BD=2DC，△ACD的面积为，∴4=，∴a=2∴AC==4，由正弦定理可得，∴sin∠BAD=2sin∠ADB．=，∴sin∠CAD=sin∠ADC，∵sin∠ADB=sin∠ADC，∴=4．19．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？【解答】解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10﹣x），∴θ=（0＜x＜10）；（2）花坛的面积为﹣==（10﹣x）（5+x）；装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10﹣x）•4=9xθ+90θ+8（10﹣x）=170+10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．令17+x=t，则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，∴当x=1时，y取得最大值．20．（12分）某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（≤3）项的概率．（Ⅱ）“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，，，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率．②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．【解答】解：（1）根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为=；（2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试（或补测）的概率为1×1×1××=．①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为=．故学员能通过“科二”考试的概率为1﹣=．②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450，而P（X=150）=+×=，故X的分布列为：故E（X）=150×+450×=126+72=198（元）．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD，…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF；…（4分）（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，…（6分）如图，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设PA=PD=AD=2，则G（0，0，0），A（1，0，0），，，D（﹣1，0，0），，又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，∴，，，，…（8分）设平面AFE的法向量为，则有，∴，不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为，…（10分）∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，∵，∴平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，∴a=2，且x＞0．∴f（x）=lnx﹣x2+x，∴f′（x）=﹣2x+1=﹣，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a ，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣a＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，令h（a）=ln+=﹣lna，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a=﹣2，∴f（x）=lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2=（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=﹣1，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（1）=﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．23．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．。