(整理)长春四模理科数学试题及答案.

2014年长春市高中毕业班第四次调研测试数学试题(理科)第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．设全集R =U ，}02|{<-=x xx A ，}22|{<=x x B ，则图中阴影部分表示的集合为A ．x x |{≥}1B ．1|{x ≤}2<xC ．x x <0|{≤}1D ．x x |{≤}12．如图，在复平面内，复数1z ,2z 对应的向量分别是,,则||21z z +=A ．2B ．3C ．22D ．333．已知三条不重合的直线l n m ,,和两个不重合的平面βα,,下列命题正确的是A ．若n m //，α⊂n ，则α//mB ．若βα⊥，m =βα ，且m n ⊥，则α⊥nC ．若n l ⊥，n m ⊥，则m l //D ．若α⊥l ，β⊥m ，且m l ⊥，则βα⊥4．设变量y x ,满足||||y x +≤1，则y x +2的最大值和最小值分别为A ．1,1-B ．2,2-C ．2,1-D ．1,2-5．按照下图的程序框图计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是A ．6B ．21C ．5050D ．2316．已知432tan =α，)4,0(πα∈，则sin cos sin cos αααα+=- A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-7．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y第2题图第1题图第5题图的值为A ．9B ．10C ．11D ．138．曲线12+=x y 在点)2,1(处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x上的任意点Q 之间的最近距离是 A ．1554- B ．1552-C1D ．29．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD10．将一张边长为12cm 的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是A ．2332cm 3 B ．6332cm 3 C ．6364cm 3D ．2364cm 3 11．已知函数1)(--=x x x f ,x x x g 2)(+=,x x x h ln )(+=的零点分别为321,,x x x ,则A ．321x x x <<B ．312x x x <<C ．213x x x <<D ．132x x x <<12．设数列n n na 2sin 22sin 21sin 2+++=，则对任意正整数n m ,)(n m >都成立的是 A ．2||mn a a m n >- B ．2||nm a a m n ->-C ．n m n a a 21||<-D ．n m n a a 21||>-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上) ． 13．商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布)1.0,10(2N ，任取一袋大米，质量不第10题图第7题图足kg 8.9的概率为 ．（精确到0001.0）(注：P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9974．)14．已知向量(2,1)=a ，1,2)-=（b ，若a ，b 在非零向量c 上的投影相等，且0)()(=-⋅-b c a c ，则向量c 的坐标为 ．15．已知nn f 131211)(++++= n n ，*∈N (≥4)，经计算得2)4(>f ，25)8(>f ，3)16(>f ，27)32(>f ……，观察上述结果，可归纳出的一般结论为 ．16．设b a ,为实数，关于x 的方程22(1)(1)0x ax x bx -+-+=的4个实数根构成以q 为公比的等比数列，若[22]q ∈-，则ab 的取值范围是 ．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）将函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的图象向右平移4π个单位后得到()g x 的图象，已知()g x 的部分图象如图所示，该图象与y 轴相交于点(0,1)F ，与x 轴相交于点,P Q ，点M 为最高点，且△MPQ 的面积为2π．（1）求函数()g x 的解析式；（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，()1g A =,且a =，求△ABC 面积的最大值．18．（本小题满分12分）由某种设备的使用年限i x （年）与所支出的维修费i y （万元） 的数据资料算得如下结果，90512=∑=i ix，11251=∑=i i i y x ,2051=∑=i i x ,2551=∑=i i y ．（1）求所支出的维修费y 对使用年限x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=； （2）①判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少．第17题图(附：在线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中，∑∑==--=ni i ni ii xn x yx n yx b 1221ˆ，x b y aˆˆ-=，其中x ，y 为样本平均值．) 19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==． （1）求证：1⊥BC D E ；（2）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求线段1D E 的长度．20．（本小题满分12分）如图1F ，2F 为椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点，,D E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e =△2DEF 的面积为231-．若点),(00y x M 在椭圆C 上，则点),(00by a x N 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于B A ,两点，B A ,两点的“椭点”分别为Q P ,．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问是否存在过左焦点1F 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2()xx axf x x e+=-（R ∈a ）． （1）当1a =时，证明：当x ≥0时，()f x ≥0；（2）当1a =-时，证明：2ln 1(1)()1x f x x e->-． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修14-：几何证明选讲如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，PE PA =，∠︒=45ABC ， 1=PD ，8=DB ．第20题图第19题图（1）求△ABP 的面积； （2）求弦AC 的长．23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程长为3的线段两端点B A ,分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，3=，点P 的轨迹为曲线C ．（1）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； （2）求点P 到点)2,0(-D 距离的最大值．24．（本小题满分10分）选修54-：不等式选讲 已知实数0,0,a b >>且2922=+b a ，若b a +≤m 恒成立．（1）求实数m 的最小值；（2）若|||1|2x x +-≥b a +对任意的b a ,恒成立，求实数x 的取值范围．2014长春四模数学试题(理科)答案1．【答案】B【解析】}20|{<<=x x A ，}1|{<=x x B ，由韦恩图可知阴影部分表示的是()ðU B A ∴阴影部分表示的集合为}21|{<≤x x ，故选B ． 2．【答案】A【解析】由图可知，12i =--z ，2i =z ，则221-=+z z ，∴2||21=+z z ，故选A ． 3．【答案】D【解析】A 选项，可能α⊂m ，B 选项，若n β⊂，则α⊥n ，无条件n β⊂，直线n 与平面α位置关系不确定，C 选项，在空间中，l 与m 可能平行，可能异面，可能相交，故选D ． 4．【答案】B【解析】由约束条件1||||≤+y x ，作出可行域如图， 设2=+z x y ，则2=-+y x z ，平移直线2=-y x ， 当经过点(1,0)A 时，z 取得最大值2，当经过点)0,1(-B 时，第22题图z 取得最小值2-，故选B ． 5．【答案】D【解析】由程序框图，输入3=x ，第1次进入循环体，6=x ，第2次进入循环体，21=x ，第3次进入循环体，231=x ，100231>成立，输出结果231=x ，故选D ． 6．【答案】D【解析】432tan =α，即43tan 1tan 22=-αα，解得3tan -=α或31tan =α，又)4,0(πα∈，∴31tan =α，又sin cos sin cos αααα+=-21tan 1tan -=-+αα，故选D ．7．【答案】D【解析】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是86，故8=x ，乙班学生成绩的中位数是83，故5=y ，∴x +y 13=，故选D ． 8．【答案】A【解析】12+=x y ，∴x y 2='，2|1='==x y k ，故切线l 方程为：02=-y x ，又03422=+++x y x表示的是以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆，圆心)0,2(-到l 的距离55454==d ，∴直线l 上的任意点P 与圆03422=+++x y x 上的任意点Q 之间的最近距离是1554-，故选A ． 9．【答案】A【解析】在Rt △21F MF 中，c F F 2||21=，则332||2c MF =，334||1cMF =，由双曲线定义可知：a MF MF 2||||21=-，即a c 2332=，化简得3=ac，故选A ． 10．【答案】C【解析】由题可知，图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为x ，又正四棱锥的正视图是正三角形，所以正四棱锥的斜高也为x ，则262=+xx ，24=x ，即正四棱锥的底面边长为24，易得四棱锥的体积6364623231=⨯⨯=V ，故选C ． 11．【答案】D【解析】令0)(=x f ，0)(=x g ，0)(=x h 分别得1+=x x ，x x 2-=，x x ln -=，则321,,x x x 分别为函数x y =的图象与函数1+=x y ，x y 2-=，x y ln -=的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得11>x ，02<x ，103<<x ，故选D ．12．【答案】C 【解析】|2sin ||2)2sin(||2)1sin(||2sin 2)2sin(2)1sin(|||2121mn n m n n m n mn n m n n a a +++++≤+++++=-++++)212121(21212121221n m n m n n -+++++=+++< n n m n n m n 21)211(21211])21(1[2121<-=--⋅=--，故选C ．13．【答案】0.0228 【解析】设大米质量为x ，则2(10,0.1)x N ，则9544.0)2.108.9(=≤<x P ，∴质量不足kg8.9的概率即0228.029544.01)8.9(=-=≤x P ． 14．【答案】)3,1(【解析】设),(y x =c ，则)1,2(--=-y x a c ，)2,1(-+=-y x b c ， ∴0)2)(1()1)(2(=--++-y y x x 化简得：0322=-+-y y x x ① 又a ，b 在非零向量c 上的投影相等，则cbc c a c ⋅=⋅，即x y 3= ② 由①②联立得：∴1=x ，3=y ，∴c )3,1(=．15．【答案】)2(22)2(≥+>n n f n【解析】24)2(2>f ,25)2(3>f ,26)2(4>f , 27)2(5>f ,由归纳推理得，一般结论为22)2(+>n f n ． 16．【答案】[]4,18【解析】设4个实数根依次为32,,,mq mq mq m ，由等比数列性质，不妨设 3,mq m 为210x ax -+=的两个实数根，则2,mq mq 为方程210x bx -+=的两个根，由韦达定理132=q m ，amq m =+3，bmq mq =+2,故ab )(3mq m +=)(2mq mq +))(1(232q q q m ++=))(1(1233q q q q++=)11)(21(-+++=q q q q ,设t qq =+1，∵2q ⎡⎤∈⎣⎦，∴]4,2[∈t ，故)1)(2()(-+=t t t f的值域为]18,4[，即ab 的取值范围是[]4,18． 17．【解析】（1）由题意可知])4(sin[2)(ϕπω+-=x x g由于2||221π=⋅⋅=BC S ABC △，则22||π==T BC ，∴π=T ，即2=ω ………2分 又由于1)2sin(2)0(=-=πϕg ，且222ππϕπ<-<-，则62ππϕ=-，∴32πϕ= ………5分即)62sin(2]32)4(2sin[2)(πππ+=+-=x x x g ． (6)分（2）1)62sin(2)(=+=πA A g ，)613,6(62πππ∈+A 则6562ππ=+A ，∴ 3π=A ………8分 由余弦定理得5cos 2222==-+a A bc c b ，∴bc bc c b ≥-+=225 ………10分∴435sin 21≤=A bc S ABC △，当且仅当5==c b 时，等号成立，故ABC S ∆的最大值为435．…12分18．【解析】（1）∵2051=∑=i i x ，2551=∑=i i y ，∴45151==∑=i i x x ，55151==∑=i i y y∴2.1459054511255ˆ2512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i i i ii xx yx yx b………3分2.042.15ˆˆ=⨯-=-=x b y a………5分∴线性回归方程2.02.1ˆ+=x y ． (6)分（2）①由（1）知02.1ˆ>=b，∴变量x 与y 之间是正相关． ………9分②由（1）知，当8=x 时，8.9ˆ=y（万元），即使用年限为8年时，支出的维修费约是8.9万元． ……12分19．【解析】（1）证明：∵底面ABCD 和侧面11B BCC 是矩形， ∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥ 又∵C CC CD =1∴⊥BC 平面11D DCC ………3分∵⊂E D 1平面11D DCC ∴1⊥BC D E ． ………6分（2）解法1：延长BE ，AD 交于F ，连结F D 1，则平面11ADD A 平面1BED F D 1=底面ABCD 是矩形，E 是CD 的中点，22AB BC ==，∴连结AE ，则EB AE ⊥ 又由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD ⊥，C CD BC = ∴ED 1⊥底面A B，∴1D E AE⊥∴⊥AE 平面1BED ………9分过E 作F D EG 1⊥于G ，连结AG ，则AGE ∠是平面11ADD A 与平面1BED 即平面11BCC B 与平面1BED 所成锐二面角的平面角，所以3π=∠AGE又2=AE ，∴363tan=⋅=AE EG π又易得2=EF ，332=FG ，从而由EG ED FG EG 1=，求得11DE =．………12分解法2：由（1）可知1⊥BC D E 又∵1D E CD⊥，CCD BC = ∴ED 1⊥底面A B………7分 设G 为AB 的中点，以E 为原点，以EG ，EC ，1ED 所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系如图． ………8分设a E D =1，则)0,0,0(E ，)0,1,1(B ，),0,0(1a D ，)0,1,0(C ，),2,1(1a B设平面1BED 的一个法向量),,(z y x n =∵)0,1,1(=EB ，),0,0(1a ED =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001ED n EB n ，得⎩⎨⎧==+00z y x令1=x ，得)0,1,1(-=n ………9分设平面11BCC B 法向量为()111,,m x y z =，因为 (1,0,0)CB =，1(1,1,)CB a =， 由10m CB m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩令11z =-，得()0,,1m a=-． ………10分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π， 得 ||cos ,cos32m n m n m nπ⋅<>===，解得1a =． 即线段1D E 的长度为1．……12分20．【解析】（1）由题意，e =23=a c ，2312-=DEF S △，即231)(21-=-b c a ………2分又222c b a =-得： 1,2==b a∴椭圆C 的标准方程：2214x y +=． ………5分(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3-=x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14322y x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=213y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=213y x ， 不妨令)21,3(-A ，)21,3(--B ，所以对应的“椭点”坐标)21,23(-P ，)21,23(--Q ． 而021≠=⋅ 所以此时以PQ 为直径的圆不过坐标原点． (7)分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)3(+=x k y⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)3(22y x x k y 消去y 得，041238)14(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x B y x A ，则这两点的“椭点”坐标分别为),2(),,2(2211y xQ y x P由根与系数关系得：14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x ………9分若使得以PQ 为直径的圆过坐标原点，则OQ OP ⊥ 而),2(),,2(2211y x y x ==，∴0=⋅ 即042121=+y y x x ，即0]3)(3[42121221=++++x x x x k x x 代入14412,143822212221+-=+-=+k k x x k k x x ，解得：22±=k 所以直线方程为2622+=x y 或2622--=x y ． ………12分21．【解析】(1)1a =时，2()(1)x x x x x x f x x e x e e+=-=--， 令1)(--=x e x g x ，01)(≥-='x e x g ，∴)(x g 在),0[+∞上为增函数 ………3分0)0()(=≥g x g ，∴当0≥x 时，()()0xx f x g x e =≥，得证． ………6分 (2) ln 1(1)()(ln )(1)x x x f x x x x e--=-- 令x x x h ln )(-=，xx x h 1)(-='，10<<x 时，0)(<'x h ，1>x 时，0)(>'x h 即)(x h 在)1,0(上为减函数，在),1(+∞上为增函数 ………9分∴1)1()(=≥h x h ① 令=)(x ϕ11x x e --，xe x x 2)(-='ϕ， ∴20<<x 时，0)(<'x ϕ，2>x 时，0)(>'x ϕ即)(x ϕ在)2,0(上为减函数，在),2(+∞上为增函数 ∴211)2()(e x -=≥ϕϕ ② ∴由①②得ln (1)()()()x f x h x x x ϕ-=211e-> ． ………12分 22．【解析】（1）因为PA 是⊙O 的切线，切点为A ，所以PAE ∠=45ABC ∠=︒， ………1分又PE PA =,所以PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒ ………2分因为1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理有92=⋅=PB PD PA ，所以3==PA EP ， ………4分所以△ABP 的面积为12PA BP ⋅=272． ………5分（2）在Rt △APE 中，由勾股定理得AE = (6)分又2=-=PD EP ED ，6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得12=⋅=⋅ED EB EA EC ………9分所以222312==EC ，故=AC ………10分23．【解析】（1）设),(y x P ，由题设可知，则ααπcos 2)cos(||32-=-=AB x ，ααπsin )sin(||31=-=AB y ，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ααsin cos 2y x （α为参数，παπ<<2）．………5分（2）由（1）得=2||PD 4sin 4sin cos 4)2(sin )cos 2(2222+++=++-ααααα328)32(sin 38sin 4sin 322+--=++-=ααα．当32sin =α时，||PD 取得最大值3212．………10分24．【解析】（1）ab b a 222≥+∴222)(22b a b a +≥+，∴9)(2≤+b a∴3≤+b a （当且仅当23==b a 时取等号）又b a m +≥，故3≥m ，即m 的最小值为3． ………5分（2）由（1）3≤+b a若b a x x +≥+-|||1|2对任意的b a ,恒成立，故只需3|||1|2≥+-x x⎩⎨⎧≥--<3)1(20x x x 或⎩⎨⎧≥+-≤≤3)1(210x x x 或⎩⎨⎧≥+->3)1(21x x x 解得31-≤x 或35≥x ． ………10分。