05平面向量

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专题05 平面向量学霸必刷100题(原卷版)

平面向量学霸必刷100题1．如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，且AD =DM ，N 是线段BD 上的动点，过点N 作AM 的垂线，垂足为H ，当AM MN ⋅最小时，HC =A ．1344AB AD + B ．1142AB AD +C ．1324AB AD +D ．3142AB AD +2．已知正三角形ABC 的边长为2，D 是边BC 的中点，动点P 满足1PD ≤，且AP xAB y AC =+，其中1x y +≥，则2x y +的最大值为（）A ．1B ．32C ．2D ．523．在平行四边形ABCD 中，点P 在对角线AC 上(包含端点)，且2AC =，则()PB PD PA +⋅有（）A ．最大值为12，没有最小值 B ．最小值为12-，没有最大值 C ．最小值为12-，最大值为4D ．最小值为4-，最大值为124．O 为ABC ∆所在平面上动点，点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭,,[)0λ∈+∞ ,则射线AP 过ABC ∆的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．在ABC ∆中，6AB =，8BC =，AB BC ⊥，M 是ABC ∆外接圆上一动点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值是（） A ．1B ．54C ．43D ．26．已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC 上一点，满足BI BA =+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+⎪⎝⎭(0)λ>，4PA PB -=，10PA PB -=，则BI BA BA ⋅的值为（） A ．2B ．3C ．4D ．57．已知正六边形ABCDEF 中，G 是AF 的中点，则CG = A ．5384CE DA +B ．2536CE DA + C ．3548CE DA + D ．5263CE DA +8．自平面上一点O 引两条射线OA ，OB ，点P 在OA 上运动，点Q 在OB 上运动且保持PQ 为定值a （点P ，Q 不与点O 重合），已知3AOB π∠=，a =3||||PQ PO QP QOPO QO ⋅⋅+的取值范围为（）A ．12⎛ ⎝B ．⎤⎥⎝⎦C ．12⎛- ⎝D ．⎛⎤⎥ ⎝⎦9．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3π，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．12B ．－12 C ．13D ．－1310．O 是平行四边形ABCD 所在的平面内一点，()OA OB OC OD λ+=+,(2)OA AB AC μ=+则λμ-的值为（） A ．14-B ．14C ．13-D ．1311．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ 在BC 方向上投影的最大值是（） A．13B ．12C ．3D ．2312．已知|AB |=|AC |=2AB AC ⋅=，动点M 满足，AM AB AC λμ=+且22λμ+=，则CB 在AM 方向上的投影的取值范围是（） A．(2⎤⎦B．(-C ．⎡-⎣D ．[]2,2-13．设非零向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，则22a tb b-的最小值为（）A ．33B ．32C ．12D ．114．已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，23AE BD ⋅=-，则AF EF ⋅的最小值为（）A ．23-B ．43-C ．15275-D ．7336-15．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（）A ．25B ．35C ．34D ．1416．在锐角△ABC 中，AC =BC =2，CO =x CA +y CB （其中x +y =1），若函数f （λ）=|CA -λCB |3，则|OC |的最小值为（） A ．1B 3C ．2D ．2317．已知P 为椭圆22143x y +=上一个动点，过点P 作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别是A ，B ，则PA PB ⋅的取值范围为（） A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．356,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．56223,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．)223,⎡+∞⎣18．已知(1,1)A -，(4,0)B ，(2,2)C ，平面区域E 是由所有满足AD AB AC λμ=+(12,13)λμ≤≤≤≤的点(,)D x y 组成的区域，则区域E 的面积是（）． A ．8B ．12C ．16D ．2019．设非零向量a ，b 夹角为θ，若2a b =，且不等式2a b a b λ+≥+对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为（） A ．[]1,3-B ．[]1,5-C ．[]7,3-D ．[]5,720．已知双曲线C ： 22221x y a b-= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ， P 为双曲线C 上一点， Q为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A．8B ．2C 2D 221．在等边三角形ABC 中,D 是AC 上一点，2CD DA =,M 是BD 上一点，90AMC ∠=,则tan AMD ∠=( )A ．4B ．3C ．12D ．1322．已知矩形ABCD ，AB 2=，AD =P 为矩形内一点，且AP 1=，则()PC PD AP +⋅的最大值为( ) A ．0B ．2C ．4D ．623．若平面向量,,a b c 满足2a =，4b =，4a b ⋅=，3c a b -+=，则c b -的最大值为（）A B C ．D ．24．已知1A ，2A ，3A 为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足()11213A M A A A A λ=+（λ是实数），且123MA MA MA ++是单位向量，则这样的点M 有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个25．已知点P 是椭圆E ：22x y 11612+=上的任意一点，AB 是圆C ：22(x 2)y 4-+=的一条直径，则PA PB⋅的最大值是( ) A ．32B ．36C ．40D ．4826．已知向量a ，b 满足0a b ⋅=，a b m a +=，若a b +与a b -的夹角为23π，则m 的值为( )A ．2B C ．1D ．1227．设单位向量1e ，2e 对任意实数λ都有121232e e e e λ+≤+，则向量1e ，2e 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π28．在直角梯形ABCD 中， AB AD ⊥， //AD BC ， 22AB BC AD ===， ,E F 分别为BC ， CD 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在弧DG 上运动（如图）.若AP AE BF λμ=+，其中λ， R μ∈，则6λμ+的取值范围是（）A ．2]B ．[1,2]C ．2,2]D ．[2,22]29．若曲线()()21(11)ln 1f x e x e a x =-<<-+和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ,使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，AB 交y 轴于C,且1,2AC CB =则实数a 的取值范围是（）A ．()221,42e e -- B ．()242,21e e -- C ．()242,2e e-D ．()221,21e e --30．已知点O 是锐角△ABC 的外心，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，A=4π，且cosB cosCAB AC OA sinC sinBλ+=，则λ的值为（） A ．22B ．﹣22C 2D 231．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知25c =，且52sin cos sin sin sin 2a C B a Ab B C =-+，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC ∆的面积为（） A ．35B 55C 55D 5532．O 为三角形内部一点，a ､b ､c 均为大于1的正实数，且满足aOA bOB cOC CB ++=，若OAB S ∆､OAC S ∆､OBC S ∆分别表示OAB ∆､OAC ∆､OBC ∆的面积，则::OAB OAC OBC S S S ∆∆∆为（） A ．(1):(1):c b a +- B ．::c b aC ．111::11a b c -+ D ．222::c b a33．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线2x y =和2log y x =上的动点，记1I AQ AB =⋅，2I BP BA =⋅.（）A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ =C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I =D ．若AP BQ =，则12I I =34．如图梯形ABCD ，AB CD ∥且5AB =，24AD DC ==，E 在线段BC 上，0AC BD ⋅=，则AE DE ⋅的最小值为A ．1513B ．9513C ．15D ．1513-35．已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( ) A 3B ．334C 3D 336．若正方体12341234A A A A B B B B -的棱长为1，则集合{}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B AB i j =⋅∈∈中元素的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．437．已知两个不相等的非零向量a 与b ，两组向量1x ，2x ，3x ，4x ，5x 和1y ，2y ，3y ，4y ，5y 均有2个a 和3个b 按照某种顺序排成一列所构成，记112233s x y x y x y =⋅+⋅+⋅+4455x y x y ⋅+⋅，且min s 表示s 所有可能取值中的最小值，有以下结论：①有5个不同的值；②若a b ⊥，则min s 与||a 无关；③ 若a ∥b ，则min s 与||b 无关；④ 若||4||b a >，则min 0s >；⑤若||2||b a =，且2min 8||s a =，则a 与b 的夹角为4π；正确的结论的序号是（） A ．①②④B ．②④C ．②③D ．①⑤38．已知平面直角坐标系中两个定点()3,2E ，()3,2F -，如果对于常数λ，在函数224y x x =++--，[]4,4x ∈-的图像上有且只有6个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，那么λ的取值范围是（）A ．95,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,115⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()5,11-39．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足0AB PC BC PA CA PB ⋅+⋅+⋅=，则点P 是ABC ∆的（） A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心40．已知Rt ABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y +的最大值是（） A ．54B ．43C ．176D ．5341．已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=，2AB AC ⋅=-，则||AG 的最小值是（） A ．33B ．22C ．23D ．3442．设O 是ABC ∆的外心，满足11()22AO t AB t AC =+-，()t R +∈，若||||4AB AC ==，则ABC ∆的面积是（） A ．4B ．43C ．8D ．643．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．244．如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y +的最小值是（）A ．5B ．1C ．2D 545．正六边形ABCDEF 中，令AB a =，AF b =，P 是△CDE 内含边界的动点（如图），AP xa yb =+，则x y +的最大值是（）A ．1B ．3C ．4D ．546．已知平面向量a ，b 满足24a b a b ==⋅=，则对任意共面的单位向量e ，a e b e ⋅-⋅的最大值是（） A ．27B ．23C ．3D ．247．过抛物线C ：24y x =焦点的直线交该抛物线C 于点A ，B ，与抛物线C 的准线交于点P ，如图所示，则PA PB ⋅的最小值是（）A ．8B ．12C ．16D ．1848．梯形ABCD 中，// 4 1260AB CD AB DC AD DAB ︒===∠=，，，，，点E 在直线BD 上，点F 在直线AC 上，且4BE BDCF CA AE DF λμ==⋅=，，，则λμ+的最小值为（） A 1146+ B ．113C 46D 1146- 49．如图，在ΔABC 中，∠BAC =3π，3AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若△ABC 的面积为332，则AP 的最小值为（）A ．3B 3C 6D ．650．已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（）A ．24162-B ．24162+C ．48322-D ．48322+51．在平面内，定点,,,A B C O 满足2OA OBOC ，AC AB BC BA OAOBACABBCBA0=，动点P 满足1,AP PMMC ，则2BM 的最大值是（）A ．434B ．494C ．374D ．37252．已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++（其中P 是ABC ∆所在平面内任意一点），则O 点是ABC ∆的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心53．若O 是ABC 垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，则m =（）A ．12B 3C 3D 354．定义域为[,]a b 的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-，(,)M x y 是()f x 图像上任意一点，其中(1)x a b λλ=+-，若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上满足“k范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值.若函数2y x=定义在[1,2]上，则该函数的线性近似阈值是（）A ．22-B ．322-C ．322+D ．22+55．如图所示，向量BC 的模是向量AB 的模的t 倍，AB 与BC 的夹角为θ，那么我们称向量AB 经过一次(,)t θ变换得到向量BC . 在直角坐标平面内，设起始向量1(4,0)OA =，向量1OA 经过1n -次12(,)23π变换得到的向量为1n n A A -(,1)n n ∈>*N ，其中i A 、1i A +、2i A +()i ∈*N 为逆时针排列，记i A 坐标为(,)i i a b ()i ∈*N ，则下列命题中不正确．．．的是（）A ．23b =B ．3130k k b b +-=()k ∈*NC ．31310k k a a +--=()k ∈*ND ．4318()()0k k k k a a a a +++-+-=()k ∈*N 56．已知向量,,a b c 满足1a =,3b = ,32a b ⋅=- ,,30a c b c 〈--〉=，则c 的最大值等于（）A ．7B 7C ．2D 257．已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若|||22|3c a c b -+-=，则|2|c a +的取值范围是（） A ．[22,3]B ．[22,23]C ．[2,3]D ．3]58．在平面四边形ABCD 中，已知ABC ∆的面积是ACD ∆的面积的3倍，若存在正实数x y 、使得1131AC AB AD x y ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立,则x y +的最小值为（）A ．325+ B ．335+ C ．225+ D 23+59．在ABC ，若0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状为（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．无法判断60．已知P 是ABC ∆内一点，且满足230PA PB PC ++=，记ABP ∆、BCP ∆、ACP ∆的面积依次为1S ，2S ，3S ，则123::S S S 等于（）A ．1:2:3B ．1:4:9C ．2:1:3D ．3:1:261．如图，已知圆C ：()()22221x y -+-=，ABD ∆为圆C 的内接正三角形，M 为边BD 的中点，当ABD ∆绕圆心C 转动，同时点N 在边AB 上运动时，ON CM ⋅的最大值是______.62．已知,A B 是单位圆O 上的两点，120AOB ∠=︒，点C 是平面内异于,A B 的动点，MN 是圆O 的直径．若0AC BC ⋅=，则CM CN ⋅的取值范围是________．63．已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC 上一点，满足BI BA =+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+⎪⎝⎭(0)λ>，4PA PB -=，10PA PB -=，则BI BA BA ⋅的值为__________. 64．已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量1x ，2x ，3x ，4x ，5x 和1y ，2y ，3y ，4y ，5y 均由2个a 和3个b 排列而成，记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）①S 有5个不同的值；②若a b ⊥，则min S 与||a 无关；③若//a b ，则min S 与||a 无关； ④若||4||b a >，则min 0S >；⑤若2||||a b =，2min 8||S a =，则a 与b 的夹角为4π． 65．已知点P 在函数1y x=的图像上，过点P 的直线交x 、y 轴正半轴与点A 、B ，O 为坐标原点，三角形AOB 的面积为S ，若BP PA λ=且[]2,3S ∈，则λ的取值范围是_______________. 66．在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =，且对任意x ∈R ，xAC AB AD AB +≥-恒成立，则cos ABC ∠=______.67．正方形ABCD 的边长为2，E ，M 分别为BC ，AB 的中点，点P 是以C 为圆心，CE 为半径的圆上的动点，点N 在正方形ABCD 的边上运动，则PM PN ⋅的最小值是______. 68．有一列向量{}{}{}1112222:(,),:(,),,:(,)n n n n n a a x y a a x y a a x y ===，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列.已知等差向量列{}n a ，满足13(20,13),(18,15)a a =-=-，那么这列向量{}n a 中模最小的向量的序号n =_______69．已知正三角形ABC 的边长为4，P 是平面ABC 内一点，且满足3APB π∠=，则PB AC ⋅的最大值是______，最小值是______.70．已知平面上三个不同的单位向量a ，b ，c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为______．71．如图，在AOB ∆中，已知,3,23AOB OA OB π∠===，BH OA ⊥于H ，M 为线段BH 上的点，且54MO MA ⋅=-，若BM x BO y BA =+，则x y +的值等于_________ .72．在ABC ∆中，90C ∠=︒，点M 满足3BM MC =,则sin BAM ∠的最大值是__________ 73．已知ABC ∆满足3AB =，4AC =，O 是ABC ∆的外心，且()12AO AB AC R λλλ-=+∈，则ABC ∆的面积是______.74．如图，已知AB AC ⊥，3AB =，3AC =，圆A 是以A 为圆心、半径为1的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为2的圆，设点P 、Q 分别为圆A 、圆B 上的动点，且12AP BQ =，则CP CQ ⋅的取值范围是________.75．如图所示，八个边长为1的小正方形拼成一个24⨯的矩形，,,,A B C D 均为小正方形的定点，在线段DE 上有2018个不同的点122018,,,P P P 且它们等分DE .记()1,2,,2018i i M AB AP i =⋅=⋅⋅⋅.则201812M M M +++=___________.76．如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点（不含端点A ，B ，C ），且BM BN ⊥，则AM CN ⋅的最大值为______．77．设,,a b c 是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，x ∈R 有下列命题：（1）关于x 的方程20ax bx c ++=可能有两个不同的实数解；（2）关于x 的方程20ax bx c ++=至少有一个实数解；（3）关于x 的方程20ax bx c ++=最多有一个实数解；（4）关于x 的方程20ax bx c ++=若有实数解，则三个向量的终点不可能共线；上述命题正确的序号是__________78．已知平面向量a ，b ，c 满足a b ⊥，且{}{},,1,2,3a b c =，则a b c ++的最大值是______. 79．已知a b 、是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量c 在满足()()340a c b c +-=，均能使c b k -≤成立，则k 的最小值是_________.80．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别与边AB ，AC 交于,M N ，若,AM x AB AN y AC ==，其中,x y R ∈，则4x y +的最小值是_____．81．已知1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，且23AB =，则||PA PB +的最小值是___________．82．如图，在ABC 中，3,2,60︒==∠=AB AC BAC ，D ,E 分别边AB ,AC 上的点,1AE =且12⋅=AD AE ，则||=AD ______________，若P 是线段DE 上的一个动点，则⋅BP CP 的最小值为_________________.83．如图，在四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3AO OC =，已知9AB AD ⋅=，7CB CD ⋅=-，则BD =______．84．已知平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为4π，|a b -|＝5，c a -，c b -的夹角为34π，|c a -|＝2a •c 的最大值为_____．85．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．86．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.87．已知平面向量a 、b 、c 满足||1a =，||||2b c ==，且0b c ⋅=，则当01λ≤≤时，|(1)|a b c λλ---的取值范围是_______88．在ABC △中，BD 是中线，已知2AB =，30ABD ∠=，定义()()22f AB AC λλλ=+-，求()f λ的最小值是____________.89．已知ABC ∆中，5BC =，6CA =，4AB =，P 是ABC ∆内一点，使得530PA PB PC ++=.设PD 垂直BC 于D ，PE 垂直CA 于E ，则PD PE ⋅=______.90．正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足2||2OP =，若AP mAB nAD =+，其中m 、n ∈R ，则2122m n ++的最大值是________。

高一数学必刷题05——平面向量的数量积热点题型

∴| a + b |=| c |，( a + b )2= c 2，
即 a 2+2 a · b + b 2= c 2。
∴ a b
2 c
a
2
b
2
|c
|2
|a
|2
|b
|2
102
52
72
13
。
2
2
2
则 cosa, b
a b
13 。
| a | | b | 35
故
a
、
b
将此式展开。由已知| a |=| b |=4，得 a · a = b · b =16， a · b 也可求得为―8，将上面各式的值代入，即可求
得被求式的值。
题型三：向量垂直（或夹角）问题
例 4．已知 | a | 3 ， | b | 4 ，
（1）若 (a 2b) (2a b) 20 ，求 a 与 b 的夹角；
∴
(k
a
b)(a
b)
kaቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
(1
k)a
b
2 b
0
，
∴9k+(1－k)×3×4×cos60°－16=0，解得 k 10 ．
3
例 5．（1）已知量 a 、 b 、 c 满足 a + b + c =0，且| a |=5，| b |=7，| c |=10，求 a 、 b 的夹角的余弦值；
因为其中 cos 有可能为 0.
2. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投
影为 0；当 =0时投影为 b ；当 =180时投影为 b .
题型二：平面向量模的问题

高中数学第五章_平面向量

第五章⎪⎪⎪平面向量第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念平行四边形法则向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [小题体验]1．下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a ∥b ，则a ＝b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若|a |＝|b |，则a ∥b D ．若a ＝b ，则|a |＝|b |答案：D2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线答案：D3．若D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD ―→等于( ) A ．－BC ―→＋12BA ―→B ．－BC ―→－12 BA ―→C ．BC ―→ －12BA ―→D ．BC ―→＋12BA ―→答案：A4．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [小题纠偏]1．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：22．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的________条件．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q . 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ＞0，故q ⇒/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要考点一平面向量的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列说法中错误的是( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 和b 不共线，则a 和b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C 选项A 中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B 中零向量与任意向量共线，故a ，b 都是非零向量，故正确；选项C 中是共线向量，故错误；选项D 中既然方向相反就一定不相等，故正确．3．(易错题)给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等相量：方向相同且长度相等．考点二向量的线性运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→.2．(2018·温州模拟)在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→ 解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝⎛⎭⎫AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→.3．(2019·郑州第一次质量预测)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 在线段BN 上且AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211BC ―→，则实数m 的值为( )A ．1 B.13C.911D.511解析：选D AP ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211BC ―→＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB ―→＋211(AC ―→－AB ―→)＝m AB ―→＋211AC ―→，设BP ―→＝λBN ―→(0≤λ≤1)，则AP ―→＝AB ―→＋λBN ―→＝AB ―→＋λ(AN ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAN ―→，因为AN ―→ ＝13AC ―→，所以AP ―→＝(1－λ)AB ―→＋13λAC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1－λ，211＝13λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，故选D.[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．考点三共线向量定理的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )·AC ―→，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 解析：选D 设CO ―→＝y BC ―→，∵AO ―→＝AC ―→＋CO ―→＝AC ―→＋y BC ―→＝AC ―→＋y (AC ―→－AB ―→)＝－y AB ―→＋(1＋y ) AC ―→，∵BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13，∵AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 2．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→.∴AB ―→，BD ―→共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ＞0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ＞0，∴k ＝1.[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]1．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.2．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC―→＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG ―→＝a ＋b ， AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→＝( ) A ．2OA ―→－OB ―→B ．－OA ―→＋2OB ―→C.23OA ―→－13OB ―→ D ．－13OA ―→＋23OB ―→解析：选A 依题意，得OC ―→＝OB ―→＋BC ―→＝OB ―→＋2AC ―→＝OB ―→＋2(OC ―→－OA ―→)，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→. 2．(2019·石家庄质检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b . 3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→. 又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．(2018·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13. 答案：135．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，因为在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，所以四边形ANDM 为菱形，因为AB ＝4，所以AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 3二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ，b ，且AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－5a ＋6b ，CD ―→＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：选A AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝3a ＋6b ＝3AB ―→.因为AB ―→与AD ―→有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b . 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．(2019·浙江六校联考)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则向量BF ―→＝( )A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23b D.13a －23b解析：选C 如图，因为点E 为CD 的中点，CD ∥AB ，所以BFEF ＝ABEC ＝2，所以BF ―→＝23BE ―→＝23(BC ―→＋CE ―→)＝23⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－13a ＋23b . 4．(2018·遂昌期初)已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则实数t 的值为( )A ．2B ．1C ．23D ．12解析：选D 由题可设13(a ＋b )＝λa ＋μt b ，因为a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，所以有λ＋μ＝1.所以13＝λ，μ＝23，所以13＝23t ，解得t ＝12.5．(2019·丹东五校协作体联考)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→，若S △ABC＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选A ∵PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝2AB ―→＝2(PB ―→－PA ―→)，∴3PA ―→＝PB ―→－PC ―→＝CB ―→，∴PA ―→∥CB ―→，且方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB ―→||PA ―→|＝3，∴S △PAB ＝S △ABC3＝2. 6．已知O 为△ABC 内一点，且2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为________．解析：设线段BC 的中点为M ，则OB ―→＋OC ―→＝2OM ―→. 因为2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，所以AO ―→＝OM ―→，则AO ―→＝12AM ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14⎝⎛⎭⎫AB ―→＋1t AD ―→＝14AB ―→＋14t AD ―→.由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.答案：137．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|＝________.解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2.答案：28．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝0. 其中正确命题的个数为________．解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→＝－12a －b ，故①错；BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝a ＋12b ，故②正确；CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．∴正确命题为②③④. 答案：39．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ―→＝λBD ―→(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.10．已知a ，b 不共线，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝d ，OE ―→＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ―→＝d －c ＝2b －3a ，CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ―→＝k CD ―→，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n 是定值，定值为3解析：选D 因为M ，D ，N 三点共线，所以AD ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→.又AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，所以AD ―→＝λm AB ―→＋(1－λ)n AC ―→.又BD ―→＝12DC ―→，所以AD ―→－AB ―→＝12AC ―→－12AD ―→，所以AD ―→＝13AC ―→＋23AB ―→.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n ＝3，故选D.2．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λ－μ＝________.解析：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，所以AB ―→＝AM ―→＋MB ―→＝AM ―→＋12CB ―→＝AM ―→＋12(DB ―→－DC ―→)＝AM ―→＋12(DB ―→－AB ―→)＝AM ―→＋12DB ―→－12AB ―→，所以32AB ―→＝AM ―→＋12DB ―→，所以AB ―→＝23AM ―→＋13DB ―→，所以λ＝23，μ＝13，所以λ－μ＝13.答案：133．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)，即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线．又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)．又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→，即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1. 第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题体验]1．已知a ＝(4,2)，b ＝(－6，m )，若a ∥b ，则m 的值为______．答案：－32．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －134．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案：－11．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题纠偏]1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：02．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－3考点一平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·温州模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C 如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，易知四边形DCBG 为平行四边形，∴BC ―→＝GD ―→＝AD ―→－AG ―→＝AD ―→－12AB ―→，∴AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→－12AB ―→＝23AB ―→＋23AD ―→，于是BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12AE ―→－AB ―→＝12⎝⎛⎭⎫23AB ―→＋23AD ―→－AB ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，故选C.2．在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________.解析：∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→.∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→＝12AB ―→－16AC ―→. 又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －16L ，且AK ―→＝3.如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．考点二平面向量的坐标运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝12(－6,8)＝(－3,4)，故选A.2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP ―→＝12MN ―→，则P 点的坐标为( )A ．(－8,1)B ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1)解析：选B 设P (x ，y )，则MP ―→＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ―→＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32，所以P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点三平面向量共线的坐标表示(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案：(2,4)2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[由题悟法]向量共线的充要条件 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．[即时应用]1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．2．(2018·贵阳监测)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________. 解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0. 答案：03．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析：∵a 与b 方向相反，∴可设a ＝λb (λ＜0)， ∴a ＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a |＝5λ2＝25，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)4．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于________．解析：AB ―→＝(a －2，－2)，AC ―→＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案：12一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A (－1，－1)，B (m ，m ＋2)，C (2,5)三点共线，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A AB ―→＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)， AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→，∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1.故选A.3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB ―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13. 4．(2019·舟山模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 共线，则m 的值为________．解析：由a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋b ＝(2m －1,3m ＋2)，a －2b ＝(4，－1)，又m a ＋b 与a －2b 共线，所以－1×(2m －1)＝(3m ＋2)×4，解得m ＝－12.答案：－125．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·温州十校联考)已知a ＝(－3,1)，b ＝(－1,2)，则3a －2b ＝( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1)D ．(7，－1)解析：选B 由题可得，3a －2b ＝3(－3,1)－2(－1,2)＝(－9＋2，3－4)＝(－7，－1)．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.3．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC ―→＝2CB ―→，则实数a 等于( )A ．2B ．1C ．45D ．53解析：选A 设C (x ，y )，则AC ―→＝(x －7，y －1)，CB ―→＝(1－x,4－y )，∵AC ―→＝2CB ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵点C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ×3，∴a ＝2.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14bC.23a ＋13bD.13a ＋23b 解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→＝b ， ∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋12b .∵E 是OD 的中点， ∴|DE ||EB |＝13， ∴|DF |＝13|AB |.∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13×⎣⎡⎦⎤－12 BD ―→⎝⎛⎭⎫－12AC ―→＝16AC ―→－16BD ―→＝16a －16b ， ∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C.6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________，若c ＝x a ＋y b ，则x ＋y 的值为________．解析：k a ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.因为c ＝x a ＋y b ，所以(3,2)＝(x －2y,3x ＋y )，即x －2y ＝3,3x ＋y ＝2，解得x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.答案：－1 07．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→不共线． ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠18.如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点，设向量AC ―→＝λDB ―→＋μAP ―→，则λ＋μ的最大值为________．解析：以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，则B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，P (x,2)，x ∈[0,2]． ∴AC ―→＝(2,2)，DB ―→＝(2，－2)，AP ―→＝(x,2)．∵AC ―→＝λDB ―→＋μAP ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋xμ＝2，－2λ＋2μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2－x2＋x ，μ＝42＋x ，∴λ＋μ＝6－x 2＋x .令f (x )＝6－x2＋x(0≤x ≤2)， ∵f (x )在[0,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (0)＝3，即λ＋μ的最大值为3. 答案：39．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→.解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2,3)，B (3,2)，C (1,1)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)内，设OP ―→＝m AB ―→－n CA ―→(m ，n ∈R )，则2m ＋n 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选B 由已知得AB ―→＝(1，－1)，CA ―→＝(1,2)，设OP ―→＝(x ，y )，∵OP ―→＝m AB ―→－n CA ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －n ，y ＝－m －2n ，∴2m ＋n ＝x －y .作出平面区域如图所示，令z ＝x －y ，则y ＝x －z ，由图象可知当直线y ＝x －z 经过点B (3,2)时，截距最小，即z 最大．∴z 的最大值为3－2＝1，即2m ＋n 的最大值为1.2．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3―→＝λA 1A 2―→(λ∈R )，A 1A 4―→＝μA 1A 2―→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：选D 根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c ＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d ＝μ.根据1λ＋1μ＝2，得1c ＋1d ＝2.线段AB 的方程是y ＝0，x ∈[0,1]．若C 是线段AB 的中点，则c ＝12，代入1c ＋1d ＝2得，1d ＝0，此等式不可能成立，故选项A 的说法不正确；同理选项B 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜c ≤1,0＜d ≤1，此时1c ≥1，1d ≥1，1c ＋1d ≥2，若等号成立，则只能c ＝d ＝1，根据定义，C ，D 是两个不同的点，矛盾，故选项C 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，即c ＞1，d ＞1，则1c ＋1d ＜2，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c ＜0，d ＜0，则1c ＋1d 是负值，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c ＞1，d ＜0，则1c ＜1，1d ＜0，此时1c ＋1d ＜1，与1c ＋1d ＝2矛盾，故选项D 的说法是正确的．3．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a ＞0，b ＞0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA ―→＝BC ―→，即(a,0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. 故a ＝2，b ＝2.(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )，由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→，所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ，因为a ＞0，b ＞0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8. 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．向量的夹角2．平面向量的数量积3．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.[小题体验]1．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－63，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案：D2．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝2×3×32＝3. 3．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |＝( ) A.7 B.10 C.13D ．4解析：选C 依题意得a ·b ＝12，则|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a ·b ＝13.4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12，由b ·c ＝0，得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：25．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ―→·BD ―→＝________.解析：选向量的基底为AB ―→，AD ―→，则BD ―→＝AD ―→－AB ―→，AE ―→＝AD ―→＋12AB ―→，所以AE ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12AB ―→ ·(AD ―→－AB ―→)＝2. 答案：21．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量． 2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b ＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b ＜0，反之不成立．3．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 4．在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2再进行开方． [小题纠偏]1．若a ，b 是两个互相垂直的非零向量，给出以下式子：①a ·b ＝0；②a ＋b ＝a －b ；③|a ＋b |＝|a －b |；④a 2＋b 2＝(a ＋b )2.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 因为a ，b 是两个互相垂直的非零向量，所以a·b ＝0；所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2；(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝a 2＋b 2；所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即|a ＋b |＝|a －b |.故①③④是正确的，②是错误的．2．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝________.解析：|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝ 1＋4×⎝⎛⎭⎫－12＋4＝ 3. 答案： 3考点一平面向量的数量积的运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3D ．－11解析：选C ∵a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－3.2．(2018·浙江考前冲刺)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |＝4，则向量a 在a ＋b 上的投影为( )A. 3 B ．3 C. 6D ．6解析：选B 由|a ＋b |＝|a －b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，即a ·b ＝0，由|a ＋b |＝2|b |，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝4b 2，即a 2＝3b 2，所以|a |＝3|b |＝23，所以向量a 在a ＋b 上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝a 2|a ＋b |＝3.中点，则AB ―→·AD―→3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，D 为BC 的＝________.解析：法一：由题意知，AC ＝BC ＝2，AB ＝22， ∴AB ―→·AD ―→＝AB ―→·(AC ―→＋CD ―→)＝AB ―→·AC ―→＋AB ―→·CD ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 45°＋|AB ―→|·|CD ―→|cos 45° ＝22×2×22＋22×1×22＝6. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A (0,2)，B (－2,0)， D (－1,0)，∴AB ―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)， AD ―→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)， ∴AB ―→·AD ―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6. 答案：64．(2019·台州模拟)以O 为起点作三个不共线的非零向量OA ―→，OB ―→，OC ―→，使AB ―→＝－2BC ―→，|OA ―→|＝4，OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|，则OA ―→·BC ―→＝________. 解析：法一：由OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|，平方得OA ―→|OA ―→|·OB ―→|OB ―→|＝－12，即cos ∠AOB ＝－12，因为OA ―→，OB ―→不共线，所以0°＜∠AOB ＜180°，所以∠AOB ＝120°.因为AB ―→＝－2BC ―→，所以C 为线段AB 的中点．由OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|两边同乘以OC ―→|OC ―→|，得cos ∠AOC ＋cos ∠BOC ＝1，即cos ∠AOC ＋cos(120°－∠AOC )＝1，解得∠AOC ＝60°，所以OC 为∠AOB 的平分线，所以OC ―→⊥AB ―→.又|OA ―→|＝4，所以|AC ―→|＝|BC ―→|＝23，所以OA ―→·BC ―→＝(OC ―→＋CA ―→)·BC ―→＝BC ―→2＝12.法二：由OA ―→|OA ―→|＋OB ―→|OB ―→|＝OC ―→|OC ―→|及AB ―→＝－2BC ―→，结合向量加法的平行四边形法则得OC 为∠AOB 的平分线，C 为AB 的中点，所以OC ―→⊥AB ―→，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝4，|AC ―→|＝|BC ―→|＝23，所以OA ―→·BC ―→＝(OC ―→＋CA ―→)·BC ―→＝BC ―→2＝12.答案：12[谨记通法]向量数量积的2种运算方法考点二平面向量数量积的性质(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直；(4)与最值、范围有关问题．[题点全练]角度一：平面向量的模1．已知e 1，e 2是单位向量，且e 1·e 2＝12.若向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.解析：法一：∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2|cos e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°. 由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233.法二：由题可得，不妨设e 1＝(1,0)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(x ，y )． ∵b ·e 1＝b ·e 2＝1，∴x ＝1，12x ＋32y ＝1，解得y ＝33.∴b ＝⎝⎛⎭⎫1，33，∴|b |＝ 1＋13＝233. 答案：233角度二：平面向量的夹角2．(2018·浙江十校联盟适考)若向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝1，且(a ＋8b )⊥a ，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由(a ＋8b )⊥a ，得|a |2＋8a ·b ＝0，因为|a |＝4，所以a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，所以向量a ，b 的夹角为2π3. 3．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25，所以c ·a ＝5m ＋8，c ·b ＝8m ＋20. 因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c ·a |c |·|a |＝c ·b|c |·|b |，即5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：2角度三：平面向量的垂直4．(2019·南宁模拟)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→·BC ―→＝0，即AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案：7125．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β。

专题05.平面向量(2005—2014十年高考理科数学新课标2教师版)

※知识点※1 等量代换
所以 CD b 2CD a ，所以 CD (b 2a) 0
※知识点※1 去分母 ※知识点※1 移项；2 提取公因式
1 2 1 2 2 2 2 4 1 2 A 选项因为 CD a b ，所以 ( a b) (b 2a) 0 a b a b b a 0 3 3 3 3 3 3 3 3
C
4 AD AB 5
4 (CB CA) 5 4 4 a b 5 5
A
※知识点※1 共线定理
D
B
※知识点※1 向量的减法；2 向量的分解
二．能力题组 1 【2014 新课标，理 3】设向量 a, b 满足 | a b | 10 ， | a b | 6 ，则 a b ( A1 【答案】A 【曹亚云·解析】 | a b | 10 a 2a b b 10 ，※知识点※1 模长公式；2 完全平方和公式
CD a ， | CD |
，剩余部分读者自行解答，剩余部分读者自行解答，剩余部分读者自行解答
CD b CD CB CD CA ， cos CD, CB 2 | CD | | CD | | CB | | CD | | CA |

※Байду номын сангаас识点※1 夹角公式
所以
CD b CD a ， 2 | CD | | CD |
| b | 2 ，则 CD （
）
1 2 （A） a b 3 3 【答案】B；
2 1 （B） a b 3 3
3 4 （C） a b 5 5
4 3 （D） a b 5 5
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【曹亚云·解析 1】特例法（特殊图形法）在 Rt ABC 中，设 | a | 1 ， | b | 2 ， B 90 ，则 C 60 ， AB 3 在 Rt CBD 中， BD BC tan 30

平面向量的概念与运算

平面向量的概念与运算平面向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将从平面向量的定义开始，介绍平面向量的概念以及基本运算，包括向量的加法、减法、数乘等，以便读者对平面向量有更深入的理解。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。

在平面直角坐标系中，平移一个向量的有向线段，可以得到一个与原始向量大小和方向相同的向量。

平面向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。

二、平面向量的表示平面向量可以用其在平面直角坐标系下的坐标表示。

设向量a的终点坐标为(x₁, y₁)，起点坐标为(0, 0)，则向量a可以表示为a = x₁i +y₁j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。

三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a + b。

其数学表示为a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂, y₂)为向量b的坐标。

四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反并进行加法运算得到。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b的负向量，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a - b。

其数学表示为a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂,y₂)为向量b的坐标。

五、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度进行缩放。

设k为一个实数，向量a乘以k后得到的向量记为ka，则ka = k(x₁i + y₁j) = (kx₁)i +(ky₁)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标。

六、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。

设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，则a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ是向量a和向量b之间的夹角。

2014年高考数学(理)试题分项版解析：专题05 平面向量(分类汇编)Word版含解析

1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e2. 【2014高考广东卷理第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（）A.()1,1,0-B. ()1,1,0-C.()0,1,1-D.()1,0,1-3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.【答案】1【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .5. 【2014陕西高考理第13题】设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a =，若b a //，则=θtan _______.6. 【2014高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C Ω为两段分离的曲线，则( )A. 13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<考点：1.平面向量的应用；2.线性规划. 7. 【2014高考北京版理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .【答案】3±10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .11. 【2014辽宁高考理第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝12. 【2014全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则与的夹角为_______．【考点定位】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |a-b a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 514. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值.②若,b a ⊥则min S .③若,∥则min S 无关.>，则0min >S .⑤若2min ||2||,8||b a S a ==，则与的夹角为4π2222min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以正确的编号为②④.考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.15. 【2014四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．216. 【2014浙江高考理第8题】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（） 9.2A - .0B .C 3 D.15218. 【2014天津高考理第8题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF ?，23CE CF ?-，则l m += （）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）71219. 【2014大纲高考理第4题】若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （）A ．2BC ．1D ．2。

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点(一) 平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量平面向量的有关概念[典例] (1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是( )A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] (1)因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故a ＝2b 是a |a |＝b |b |成立的充分条件．(2)向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[答案] (1)C (2)D[易错提醒] (1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．突破点(二) 平面向量的线性运算GAGGAGAGGAFFFFAFAF1．向量的线性运算：加法、减法、数乘2．平面向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .平面向量的线性运算[例1] (1)在△中，AB ＝，AC ＝.若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )A.13b ＋23cB.53c －23bC.23b －13cD.23b ＋13c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ＝12NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值是________． [解析] (1)由题可知BC ＝AC －AB ＝b －c ，∵BD ＝2DC ，∴BD ＝GAGGAGAGGAFFFFAFAF23BC ＝23(b －c )，则AD ＝AB ＋BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c ，故选D. (2)如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，所以AP ＝m AB ＋29AC ＝m AB ＋23AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13. [答案] (1)D (2)13[方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求．平面向量共线定理的应用[例2] 设两个非零向量a和b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D 三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解] (1)证明：因为AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，所以BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，所以AB，BD共线．又AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a ＋kb)，GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF即⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.即k ＝1或－1时，ka ＋b 与a ＋kb 共线．[方法技巧] 平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ＝λAC ，AB 与AC 有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．突破点(三) 平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．基底的概念[例1] 如果e12向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1[解析] 选项A中，设e1＋e2＝λe1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－2＝2λ无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝－λ无解；选项D中，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．[答案] DGAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF [易错提醒] 某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量．平面向量基本定理的应用设AB ＝a ，AC ＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR的中点恰为P ，则AP ＝( )A.12a ＋12bB.13a ＋23bC.27a ＋47bD.47a ＋27b [解析] 如图，连接BP ，则AP ＝AC ＋CP ＝b ＋PR ，①AP ＝AB ＋BP ＝a ＋RP －RB ，②①＋②，得2AP ＝a ＋b －RB ，③又RB ＝12QB ＝12(AB －AQ )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －12 AP ，④将④代入③，得2AP＝a＋b－12⎝⎛⎭⎪⎪⎫a－12AP，解得AP＝27a＋47b.[答案] C[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．突破点(四) 平面向量的坐标表示1．平面向量的坐标运算：(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模； (2)向量坐标的求法2．平面向量共线的坐标表示GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF平面向量的坐标运算[例1] 已知(－2,4)，(3，－1)，(－3，－4)．设AB ＝，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－1. 即所求实数m 的值为－1，n 的值为－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ＝OM －OC ＝3c ，∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，即M(0,20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，即N(9,2)．∴MN＝(9，－18)．[方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．平面向量共线的坐标表示[例2](1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF(2)若AB ＝2a ＋3b ，BC ＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．[解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka －b 与a ＋2b 共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12. (2)AB ＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ＝a ＋mb ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥BC ，∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32. [方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数GAGGAGAGGAFFFFAFAF[检验高考能力]一、选择题1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB ＋32MA ＋32MC ＝0，D 是AC 的中点，则|MD ||BM |的值为( ) A.13 B.12C ．1D ．2GAGGAGAGGAFFFFAFAF解析：选A ∵D 是AC 的中点，如图，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD ＝12ME ＝12(MA ＋MC )，∴MA ＋MC ＝2MD .∵MB ＋32MA ＋32MC ＝0，∴MB ＝－32(MA ＋MC )＝－3MD ，∴BM ＝3MD ，∴|MD ||BM |＝|MD ||3MD |＝13，故选A.2．在△ABC 中，BD ＝3DC ，若AD ＝λ1AB ＋λ2AC ，则λ1λ2的值为( ) A.116 B.316 C.12 D.109解析：选B 由题意得，AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋34BC ＝AB ＋34(AC －AB )＝14AB ＋34AC ，∴λ1＝14，λ2＝34，∴λ1λ2＝316. 3．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC ( ) A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋13BC，BE＝BA＋AE＝BA＋13AC，CF＝CB＋BF＝CB＋13BA，因此AD＋BE＋CF＝CB＋13(BC＋AC－AB)＝CB＋23BC＝－13BC，故AD＋BE＋CF与BC反向平行．4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC 的内角A等于( )A．30° B．45° C．60° D．90°解析：选 A 由OA＋OB＋CO＝0，得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，可得|OA|＝|OB|＝|OC|.设OC与AB交于点D，如图，由OA＋OB＝OC可知D为AB的中点，所GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF 以OC ＝2OD ，D 为OC 的中点．又由|OA |＝|OB |可知OD ⊥AB ，即OC ⊥AB ，所以四边形OACB 为菱形，所以△OAC 为等边三角形，即∠CAO ＝60°，故A ＝30°.5．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，则xyx ＋y 的值为( )A ．3 B.13 C ．2 D.12解析：选B 由已知得M ，G ，N 三点共线，所以AG ＝λAM ＋(1－λ)AN ＝λx AB ＋(1－λ)y AC .∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23×12(AB ＋AC )＝13(AB ＋AC )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λx ＝13，1－λy ＝13，即GAGGAGAGGAFFFFAFAF⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝13x ，1－λ＝13y ，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分得x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y＝13. 6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积的比值为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C 设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5AM ＝AB ＋3AC ，得5AM ＝2AD ＋3AC ①，即AM ＝25AD ＋35AC ，即25＋35＝1，故C ，M ，D 三点共线，又AM ＝AD ＋DM ②，①②联立，得5DM ＝3DC ，即在△ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为35，所以△ABM 与△ABC 的面积的比值为35.GAGGAGAGGAFFFFAFAF二、填空题7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若 PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________. 解析：AQ ＝PQ －PA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝2(－3,2)＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6,21)．答案：(－6,21)8．已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC ＝λAB ＋μAD ，则λμ＝________.解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC ＝(2，－2)，AB ＝(1,2)，AD ＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得GAGGAGAGGAFFFFAFAF⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.答案：－39．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{(－13，－23)}10．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________. 解析：由AB ＝λAM ＋μAN ，得AB ＝λ·12(AD ＋AC )＋μ·12(AC ＋AB )，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋λ2＋μ2AC ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋μ2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD ＋12 AD ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14λ＋34μ－1AB ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ＋μ2AD ＝0.GAGGAGAGGAFFFFAFAF 又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.答案：45 三、解答题11.如图，以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边作▱OADB ，BM ＝13BC ， CN ＝13CD ，用a ，b 表示OM ， ON ，MN . 解：∵BA ＝OA －OB ＝a －b ，BM ＝16BA ＝16a －16b ， ∴OM ＝OB ＋BM ＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16a －16b ＝16a ＋56b .又∵OD ＝a ＋b ，∴ON ＝OC ＋13CD ＝12OD ＋16ODGAGGAGAGGAFFFFAFAF＝23OD ＝23a ＋23b ，∴MN ＝ON －OM ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b . 综上，OM ＝16a ＋56b ，ON ＝23a ＋23b ，MN ＝12a －16b . 12.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC ＝x OA ＋y OB ，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解：以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B －12，32，设∠AOC ＝αα∈0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC ＝x OA ＋y OB ，得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos αGAGGAGAGGAFFFFAFAF2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2. ejH29539 7363 獣38023 9487 钇20971 51EB 凫 mT20525 502D 倭39193 9919 餙34451 8693 蚓25074 61F2 懲A。

平面向量知识点归纳

平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的重要内容，也是大学数学中的基础知识，它是向量的一种。

向量是数学中的一个概念，它有方向和大小，用有向线段表示。

平面向量是指在平面中的向量，以下是平面向量的知识点归纳。

一、平面向量的定义平面向量是表示平面上有大小和方向的箭头的数学概念。

平面向量AB用符号→AB表示，它的长度表示向量大小，而方向则由方向角表示。

二、平面向量的加减法1. 平面向量的加法平面向量加法是指将一条平面向量按照另一条向量的方向和大小来平移，并合成为一条新的向量。

记作→AB+→BC=→AC。

向量加法满足交换律、结合律、分配律。

2. 平面向量的减法平面向量减法是将另一向量的方向翻转，依次相加，得到一个新向量。

记作→AB-→AC=→CB。

三、平面向量的数量积平面向量的数量积是指两个向量之间相乘得到的标量。

记作→a⋅→b=a·b·cosθ，其中a、b是两个向量，θ是它们之间的夹角。

四、平面向量的叉积平面向量的叉积是在二维平面内的两个向量所形成的向量垂直于平面，大小等于两个向量所组成的平行四边形的面积。

记作→a×→b，其中a、b是两个向量。

五、平面向量的共线、垂直及夹角1. 平面向量的共线两个向量共线的充要条件是它们的数量积等于它们的模的乘积，即→a//→b，当且仅当a·b=|a||b|。

2. 平面向量的垂直两个向量垂直的充要条件是它们的数量积等于0，即→a⊥→b当且仅当a·b=0。

3. 平面向量的夹角两个向量的夹角是指它们之间的夹角，记作θ，其中θ的范围是0≤θ≤π。

六、平面向量的投影与单位向量1. 平面向量的投影平面向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影，也是向量的一个重要应用。

投影的值等于向量的模与夹角的余弦的乘积。

记作pr→a。

2. 平面向量的单位向量单位向量是模等于1的向量，它表示的方向与原向量相同。

单位向量是向量的一种特殊情况，用符号→e表示。

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题05 平面向量(教师版)

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题05 平面向量（教师版）【考纲解读】1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【考点预测】高考对平面向量的考点分为以下两类:(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.【要点梳理】1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义；3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示；;4.两个向量夹角的范围是:[0,]5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件.【考点在线】考点一向量概念及运算例1. (2012年高考浙江卷理科5)设a，b是两个非零向量，下列说法正确的是（）A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|【答案】C【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．【名师点睛】本题考查向量的概念、向量的加法与减法以及向量共线的条件,考查分析问题、解决问题的能力.【备考提示】：熟练平面向量的基础知识是解答好本题的关键.练习1: （山东省临沂市2013届高三上学期期中考试文）如图，已知4,,,3AP AB OA OB OP OP =用表示则等于（）A ．1433OA OB -B ．1433OA OB +C ．1433OA OB -+D ．1433OA OB --【答案】C【解析】OP OA AP =+ 4414()3333OA AB OA OB OA OA OB =+=+-=-+,选C.考点二平面向量的数量积例 2.（云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文）已知平面向量,a b满足3,2,a b a b == 与的夹角为60°，若(),a mb a -⊥ 则实数m 的值为（）A.1B.32C.2D.3【名师点睛】本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积、向量的夹角等平面向量知识.【备考提示】：熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.练习2: （2012年高考辽宁卷文科1）已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =(A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【答案】D【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴= ，故选D.考点三向量与三角函数等知识的综合例3. (2012年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）已知向量(c o s s i n ,s i n x xx ωωω=-a ，(cos sin ,)x x x ωωω=--b ，设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈.（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若y=f （x ）的图像经过点(,0)4π,求函数f （x ）在区间3[0,]5π上的取值范围.由305x π≤≤得556366x πππ-≤-≤,所以15sin()1236x π-≤-≤,得512sin()236x π--≤--≤-所以()f x 在区间3[0,]5π上的取值范围为[1-. 【名师点睛】本小题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，同时考查运用同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式来化简求值，考查分析问题与解决问题的能力.【备考提示】：熟练平面向量以及三角函数的基础知识是解答好本题的关键.练习3: (2012年高考陕西卷文科7)设向量a =（1.cos θ）与b=（-1， 2cos θ）垂直，则cos 2θ等于（）A2B 12C .0 D.-1【答案】C【解析】22,0,12cos 0,cos22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=正确的是C.【考题回放】1.(2012年高考辽宁卷理科3)已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是（）(A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a +b =a -b 【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |，平方可得a ⋅b =0, 所以a ⊥b ，故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a +b |=|a -b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B2. (2012年高考福建卷文科3)已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是（） A.x=-12B.x=-1C.x=5D.x=0 【答案】D【解析】有向量垂直的充要条件得2（x-1）+2=0 所以x=0 ，D 正确。

2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题05 平面向量

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题05 平面向量一．基础题1.【安徽省2013届高三开年第一考】已知向量,a b ，且||1a = ，||2b = ，则|2|b a -的取值范围是（）A ．[1,3]B ．[2,4]C ．[3,5]D ．[4,6] 【答案】C【解析】|2|b a -==[3,5]∈，选C2.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥a b ，则cos 2θ等于（）A.1-B.0 C .12D.23.【广州市2013届高三年级1月调研测试】设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知向量i=(l,0)，j= (0,1),则与垂直的向量是A i —2jB 2i-jC 2i+j D. i+2j 【答案】A【解析】∵0i j ∙= ∴22(2)(2)220i j i j i j +∙-=-= ∴(2)(2)i j i j +⊥-5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则+p q的值为（）A．．5 D ．13 【答案】B【解析】26304(23)(46)(23)x x p q ⨯+=⇒=-⇒+=-+-=-=，，，B ．6.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知•=﹣12，||=4，和的夹角为135°，则||为（）．，，向量与垂直，则实数λ的值为（）﹣【解析】∵已知，，向量与∴（）•（．112直线l 2过点（﹣1，1）且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为（）10.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为．学年河南省中原名的正方形的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则的最大值是（）．﹣（（故，即∴•=1+sin212.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=，若a b ⊥ ，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于A.13-B.13C.3-D.316.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】已知21e e ，是夹角为060的两个单位向量，且向量212e e a +=___________。

平面向量的概念PPT课件

04
平面向量数量积概念及性质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向，负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量的起点和终点坐标可以决定向量的坐标，而点的坐标可以用来表示向量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长，进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角，进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法

平面向量的概念和运算法则

平面向量的概念和运算法则平面向量是二维空间中的一个有向线段，具有大小和方向。

在数学和物理学中，平面向量被广泛应用于解决各种几何和力学问题。

本文将介绍平面向量的概念以及其相关的运算法则。

概念平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，如 $\vec{a}$，其中箭头表示向量的方向。

平面向量可以用两个定点来确定，即起点和终点。

起点和终点之间的线段表示向量的大小和方向。

平面向量可以写成分量的形式，如 $\vec{a} = a_{x}\vec{i} +a_{y}\vec{j}$，其中 $a_{x}$ 和 $a_{y}$ 是向量在 $x$ 和 $y$ 轴上的分量，$\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 是单位向量，分别指向 $x$ 和 $y$ 轴正方向。

平面向量的表示还可以用坐标形式，如 $\vec{a} = (a_{x},a_{y})$，其中 $a_{x}$ 和 $a_{y}$ 分别表示向量在 $x$ 和 $y$ 轴上的坐标。

运算法则1. 向量的加法平面向量的加法满足三角形法则，即将两个向量的起点相连，以第一个向量的终点为起点，第二个向量的终点为终点，所得的向量即为两个向量之和。

2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的大小进行相乘或相除的操作。

若向量$\vec{a}$ 的大小为 $k$，则数乘后的向量为 $k\vec{a}$。

当 $k$ 为正数时，数乘后的向量与原向量的方向相同；当 $k$ 为负数时，数乘后的向量与原向量的方向相反。

3. 平移法则若有向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$，则向量 $\vec{a}$ 加上向量$\vec{b}$ 的终点得到的向量为向量 $\vec{a} + \vec{b}$。

换句话说，将向量 $\vec{b}$ 平移至向量 $\vec{a}$ 的终点所在位置，所得的向量为向量 $\vec{a}$ 的平移向量。

4. 多个向量的运算对于给定的多个向量 $\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \ldots, \vec{a}_{n}$，可以进行向量的加法和数乘运算。

【备战2018】(上海版)高考数学分项汇编专题05 平面向量(含解析)文

专题05 平面向量一．基础题组1. 【2014上海,文14】已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ += ，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【考点】向量的坐标运算．2. 【2014上海,文17】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i = 是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅= 的不同值的个数为（）（A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）1【答案】C【考点】向量的数量积及其几何意义．3. 【2013上海,文14】已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1、c 2、c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则(a i ＋a j )·(c k ＋c l )的最小值是______．【答案】－5　4. 【2012上海,文12】在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD = ，则AM AN ⋅ 的取值范围是__________．【答案】[1,4]5. 【2011上海,文12】在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB AD ⋅ ＝______.【答案】1526. 【2011上海,文18】设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++= 成立的点M 的个数为…( )A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】7. 【2008上海,文5】若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．8. 【2007上海,文6】若向量a b ，的夹角为 601，则=-⋅)( .【答案】219. 【2006上海,文13】如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）（A ）AB DC = （B ）AD AB AC+= （C ）AB AD BD -= （D ）0AD CB += 【答案】C10. 【2005上海,文4】直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________.【答案】240x y +-=。

平面向量概念

平面向量概念
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

它由两个分量表示，分别是水平方向和垂直方向的分量。

平面上的向量一般用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量的大小通常用模表示，用两个竖线表示，例如，向量a的模可以表示为|a|。

向量的方向有两种表示方法，一种是用与水平轴的夹角表示，另一种是用坐标轴上的分量表示，通常用点(x, y)表示。

平面向量有一些基本运算，包括加法、减法、数乘和点乘。

向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

数乘是指将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。

点乘是指将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个数字。

平面向量有一些重要的性质和定理，比如平行四边形法则、向量的模长和向量的夹角等。

这些性质和定理在解决几何、物理等问题时非常有用。

平面向量在数学中的应用非常广泛，包括几何、力学、电磁学等。

它们可以描述物体的位移、速度、加速度等物理量，也可以用来研究几何图形的性质和变换。

第05讲平面向量之极化恒等式(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案

第05讲平面向量之极化恒等式（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。

而本节要学的极化恒等式可以从另一角度来综合解题。

利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。

极化恒等式22()()4a b a b a b +--×=r r r r r r 恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形 ABCD 中, ,AB a AD b==uuu r uuu r rr 则 22()()4AB AD AB AD a b +--×=uuu r uuu r uuu r uuu r r r 在上述图形中设平行四边形 ABCD 对角线交于 M 点, 则对于三角形来说:2222()()||||44AB AD AB AD DB a b AM +--×==-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r r r极化恒等式的适用条件(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。

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第五章平面向量
班级：姓名：
1．已知平面上有三点A （1，1），B （－2，4），C （－1，2），P 在直线AB 上，使||3
1
||AB AP =
，连结PC ，Q 是PC 的中点，则点Q 的坐标是
（A ）（21-
，2）（B ）（21，1）（C ）（21-，2）或（21，1）（D ）（2
1
-，2）或（－1，2） 2．已知n m ，是夹角为o 60的单位向量，则n m a +=2和n m b 23+-=的夹角是
（A ）o 30 （B ）o 60 （C ）o 90 （D ）o 120 3．下列命题中，正确的是
（A ）||||||b a b a ⋅=⋅ （B ）若)(c b a -⊥，则c a b a ⋅=⋅ （C ）2a ≥||a （D ）c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅)()(
4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （2，－1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=其
中0≤βα，≤1，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为
（A ）0432=-+y x （B ）25)1()2
1
(22=-+-y x
（C ）0534=-+y x （－1≤x ≤2）（D ）083=+-y x （－1≤x ≤2）
5．已知向量=a （αcos 2，αsin 2），=b （βcos 3，βsin 3），a 与b 的夹角为o 60，则直线02
1sin cos =+
-ααy x 与圆2
1
)sin ()cos (22=
++-ββy x 的位置关系是（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）随βα，的值而定 6．若1==||||b a ，b a ⊥且⊥+)(b a 32(k b a 4-)，则实数k 的值为
（A ）－6 （B ）6 （C ）3 （D ）－3
7．下列命题是真命题的是：①⇔b a //存在唯一的实数λ，使=a λb ；②⇔b a //存在不全为零的实数μλ，，
使λ+a μ0=b ；③a 与b 不共线⇔若存在实数μλ，，使λa μ+b =0，则0==μλ；④a 与b 不共线⇔不存在实数μλ，，使λ+a μ0=b ．
（A ）①和（B ）②和③ （C ）①和② （D ）③和④
8．设b a ，为非零向量，则下列命题中：①a b a b a ⇔-=+||||与b 有相等的模；②a b a b a ⇔+=+||||||与b 的
方向相同；③a b a b a ⇔-<+||||||与b 的夹角为锐角；④||||||||a b a b a ⇔-=+≥||b 且a 与b 方向相反．真命题的个数是
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 9．在四边形ABCD 中，0=⋅，AD BC =，则四边形ABCD 是
（A ）直角梯形（B ）菱形（C ）矩形（D ）正方形 10．设1l ，2l 是基底向量，已知向量=AB 1l k
-2l ，2=CB 12l l +，3=CD 21l l -，若D B A ，，三点共线，
则k 的值是
（A ）2 （B ）3 （C ）－2 （D ）－3 11．已知b a ，为非零向量，则||||b a b a -=+成立的充要条件是
（A ）b a // （B ）a 与b 有共同的起点（C ）||||b a = （D ）b a ⊥ 12．已知BE AD ，分别是ABC ∆的边AC BC ，上的中线，且=AD a ，=BE b ，则AC 是（A ）
b a 3234+ （B ）b a 3432+ （C ）b a 3234- （D ）b a 3
432- 13．下列命题中，错误的命题是
（A ）在四边形ABCD 中，若+=，则ABCD 为平行四边形（B ）已知b a b a +，，为非零向量，且b a +平分a 与b 的夹角，则||||b a = （C ）已知a 与b 不共线，则b a +与b a -不共线
（D ）对实数1λ，2λ，3λ，则三向量1λ-a 2λb ，2λ-b 3λc ，3λ-c 1λa 不一定在同一平面上 14．下面五个命题：⑴所有的单位向量相等；⑵长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；⑶若b a ，满
足||||b a >且b a ，同向，则b a >；⑷由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；⑸对于任何向量
b a ，，必有||b a +≤||||b a +．其中正确命题的序号为
（A ）⑴，⑵，⑶ （B ）⑸ （C ）⑶，⑸ （D ）⑴，⑸ 15．与向量=l （1，3）的夹角为o 30的单位向量是（A ）
21（1，3）（B ）21（3，1）（C ）（0，1）（D ）（0，1）或2
1（3，1）
16．1e ，2e 是两个不共线的向量，已知=+12e k 2e ，=213e e +，=212e e -且D B A ，，三点共线，
则实数k = ．
17．已知=a )sin (cos αα，，=b )sin (cos ββ，（πβα<<<0），且|λa μ+b |=|μa λ-b |（0≠λμ），则
=-αβ ．
18．已知1=||a ，2=||b ，且（λb a +）⊥（-a 2λb ），a 与b 的夹角为o 60，则=λ ． 19．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为． 20．已知D C B A ，，，四点的坐标分别为A （－1，0），B （1，0），C （0，1），D （2，0），P 是线段
CD 上的任意一点，则⋅的最小值是．
简明参考答案（第五章平面向量）
16、－8 17、
2
π 18、31±- 19、－1或－5 20、5
1-。