高中数学复习单元行列式及方程组之解

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线性代数知识点归纳

线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算精品文档，你值得期待行列式的定义 1. 行列式的计算：① (定义法)1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑LL L L L M M M L1②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩L③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.11221122***0**0*00nnnnb b A b b b b ==L M O L④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OAA O A BO B O BBO A AA B B O B O*==**=-1⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a O a a a a a a a Oa O ---*==-K N N1⑥ 范德蒙德行列式：()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111 ⑦ a b -型公式：1[(1)]()n a b b bb a b ba nb a b b b a b b b b a-=+--LLLM M M O M L⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法)2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；3. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-第二部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M M L称为m n ⨯矩阵. 记作：()ijm nA a ⨯=或m n A ⨯① 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③ 矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==，其中12121122(,,,)j j ij i i is i j i j is sj sj b b c a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BAAB A ==⇒=或B=0不成立.a. 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；11112111111211221222221222221212000000n n n n m m m mn m m m m m mn a b b b a b a b a b a b b b a b a b a b B a b b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L L L L M M O M M M O M M M O M LLLc. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.11121111121212122221212222121122000000n m n n m n m m mn m m m m mn b b b a a b a b a b b b b a a b a b a b B b b b a a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L L L L M M O M M M O M M M O M LLLd. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：mnm nA A A+=， ()()m n mnA A =⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作TA . a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵TA A =.A 是反对称矩阵T A A =-.b. 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 伴随矩阵： ()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭LL M M M L，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 11AA --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B B B A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 逆矩阵的求法方阵A 可逆 0A ≠.①伴随矩阵法 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 L L 主换位副变号 ② 初等变换法 1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③ 分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O C B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ④1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ 配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义1AB BA E A B -==⇒=）3.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 4. 初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：① 对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； ② 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.关于A 矩阵秩的描述：①、()=r A r ，A 中有r 阶子式不为0，1+r 阶子式 (存在的话) 全部为0； ②、()<r A r ，A 的r 阶子式全部为0； ③、()≥r A r ，A 中存在r 阶子式不为0； ☻矩阵的秩的性质：① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n② ()()()TTr A r A r A A ==③ ()()r kA r A k =≠ 其中0④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧ ()rr E O E O r A r A A O O O O ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + ⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→MM 初等行变换(I)的解法：构造()() A E B X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 初等列变换(II)的解法：构造T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得第三部分线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βαααL ，若存在一组数12,,,n k k k L 使得1122n n k k k βααα=+++L ，则称β是12,,,n αααL 的线性组合，或称称β可由12,,,n αααL 的线性表示.线性表示的判别定理:β可由12,,,n αααL 的线性表示由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L 有解②、1112111212222212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M Ln n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）； ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数） 2. 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭LL L M M M L ⇔i i A c β= ，(,,)i s =L 1,2 ⇔i β为i Ax c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L ⇔12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L ⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L3.线性相关性判别方法：法1法2法3推论♣线性相关性判别法（归纳）♣线性相关性的性质①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一 4. 最大无关组相关知识向量组的秩向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααL 矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B .向量组等价 12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅% ① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系③ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .④ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L其中 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 1（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪+++=⇔+++=⎪⎪+++=⇔+++=⎩L L L L L 是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则也是的解是的解(3) 判断12,,,s ηηηL 是Ax ο=的基础解系的条件：① 12,,,s ηηηL 线性无关；② 12,,,s ηηηL 都是Ax ο=的解； ③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.(4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤12112(1()(2)()()(3)(4)10,,...,(5)A b r A b r A r n n r Ax b Ax Ax b x k k ααααααα==<-====++0n-r 0) 将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元为零，得到的{};写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础解系通解 212...,,...,n r n rn r k k k k α---++其中为任意常数.（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξL 是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*L 线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）⇔()()A r r A r B B ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 且有结果：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.第四部分方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.②1(,)ni i i a b αβ===∑③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④21ni i a α====∑⑤1α==. 即长度为1的向量.2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且② 对称性：(,)(,)αββα=③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)k k αβαβ=3. ① 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，则称λ是方阵A 的一个特征值，x 为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量. ②0E A λ-=（或0A E λ-=）.③()E A λϕλ-=（或()A E λϕλ-=）.④ ()ϕλ是矩阵A 的特征多项式⇒()A O ϕ=⑤ 12n A λλλ=L1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A ⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.⑧ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 23n λλλ====L 0.○注()12,,,Tn a a a L 为A 各行的公比，()12,,,nb b b L 为A 各列的公比. ⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O =⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；12()()()()n f A f f f λλλ=L .⑩ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i n r ξξξ-L 其中()i i r r A E λ=-. 则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++L 其中12,,,i n r k k k -L 为任意不全为零的数.5. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵） ②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 6. 相似矩阵的性质： ①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注α是A 关于0λ的特征向量,1P α-是B 关于0λ的特征向量. ②A B =tr tr③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④ ()()r A r B =⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O .② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 8. 实对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；○注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--； ④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值. 9. 正交矩阵 TAA E =正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T TAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵；⑤两个正交阵之积仍是正交阵；⑥A 的行（列）向量都是单位正交向量组.10.11.123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ=222βηβ=333βηβ=技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。

高中数学行列式行列式的运算、性质及应用(学生)

模块：七、矩阵、行列式及算法初步课题： 1、行列式的运算、性质及应用教学目标：理解行列式的意义．理解二元、三元线性方程组的矩阵表示形式．掌握二阶、三阶行列式的对角线展开法则．掌握三阶行列式按照某一行（列）的代数余子式展开的方法．会运用行列式解二元、三元线性方程组，并会对含字母系数的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论．会根据二元线性方程组的解的情况判断直角坐标平面内两条直线的位置关系．重难点：运用行列式研究二元、三元线性方程组．对含字母系数的二元、三元线性方程组的解的情况进行讨论一、知识要点 1、二阶行列式：11122122a b a b a b a b =-； 1122a b a b 叫做二阶行列式，1221a b a b -叫做行列式1122a b a b 的展开式，1221a b a b -的计算结果叫做行列式的值，其中1212,,,a a b b 都叫做行列式的元素；二元一次方程组的行列式解法二元一次方程组：111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩其中,x y 是未知数，1212,,,a a b b 不全为零系数行列式：1122a b D a b =, 1122x c b D c b =,1122y a c D a c =．（1）当D 0≠时，方程组有唯一解xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）当0,0x y D D D ===时，方程组有无穷多解；（3）当0,,x y D D D =中至少有一个不为零，方程组无解． 2、三阶行列式：111222123231312321213132333a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---；111222333a b c a b c a b c 叫做三阶行列式，123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---叫做三阶行列式的展开式，其中,,(1,2,3)i i i a b c i =都叫做三阶行列式的元素；三阶行列式的展开方法：对角线法：拉普拉斯展开定理法：111222333a b c a b c a b c =222222111333333b c a c a b a b c b c a c a b -+；其中222222111333333,,b c a c a b A B C b c a c a b ==-=，分别叫做元素111,,a b c 的代数余子式；三元一次方程组的行列式解法三元一次方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，行列式111111111111222222222222333333333333,,,x y za b c d b c a d c a b d D a b c D d b c D a d c D a b d a b c d b c a d c a b d ====，其中方程组的系数行列式为D ，则（1）0D ≠时，方程组有唯一解；（2）0D =，0x y z D D D ===时，方程组无解或者有无穷多解；（3）0D =，,,x y z D D D 中至少有一个不为0时，方程组无解；二、例题精讲例1、按下列要求计算行列式312527342D -=-．（1）用对角线法则展开；（2）按第一行展开；（3）按第一列展开．例2、解方程1111110111x x x --=-．例3、展开行列式222111ab c a b c 并分解因式．例4、解关于x y 、的方程组，并对方程组的解进行讨论：()60,2320x my m x y m +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩．例5、求关于x y z 、、的方程组()()()()32,12,3133x y z x y z x y z λλλλλλλλλ⎧+++=⎪+-+=⎨⎪++++=⎩有唯一解的条件，并把在这个条件下的解求出来．例6、已知ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，且111sin sin sin 0cos cos cos ABC A B C=，试判断ABC ∆的形状．*例7、已知xOy 平面上三点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，试用行列式表示：（1）以A 、B 、C 为顶点的三角形ABC 的面积；（2） A 、B 、C 三点共线的条件；（3） A 、B 所在的直线方程．例8、设函数()()20111x u u x a F x a a +-=-⋅>．（1）解关于x 的不等式()0F x <；（2）若()F x 在()0,+∞上有最小值，求a 的取值范围．三、课堂练习1、311143283716a +=-，则实数a = ．2、展开三阶行列式223102xx xx-所得的结果是． 3、方程224018x x-=的解集为．4、若0a >，0b >且2a b +=，则行列式111111ab++的最小值为．5、关于x y z 、、的方程组21,433,74x y z x y x y z λλλ-+=⎧⎪+=⎨⎪-+=+⎩有唯一解，则λ满足的条件是．6、A 、B 、C 三人合作加工一批零件，若A 、B 两人合作，A 做8天、B 做5天能够完成；若A 、C 两人合作，A 做6天，C 做9天能够完成；若B 、C 两人合作，B 做10天、C 做6天能够完成．若A 、B 、C 三人单独做，各需x y z 、、天能够完成，则::x y z = ．四、课后作业一、填空题1、已知三阶行列式413251410k --第一行第二列元素的代数余子式的值为10，则k = ．2、将221111333322324x y x y x y x y x y x y ++表示成一个三阶行列式为． 3、不等式lg 13032lg 1x x -<+的解集为．4、关于x y 、的二元一次方程组73,52x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则a 与b 的积为．5、已知()2,1A ，()4,4B ，()6,2C -，()5,7D -，则四边形ABCD 的面积为．6、实数m 取时，方程组0,0,0mx my mz x my mz x y mz ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，除零解外还有其他解．二、选择题7、三阶行列式131223312的值等于（） A 、0B 、9C 、12D 、12-8、函数345x x y x +=-的单调递增区间为（）A 、(),1-∞B 、(),2-∞C 、(),3-∞D 、3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭9、不等式0x ab c a x b c abx c--->--的解集为（）A 、{}|0x x >B 、{}|0,x x x a b c >≠++C 、{}|x x a b c >++D 、{}|,0x x a b c x >++≠三、解答题10、（1）利用行列式解关于x y 、的方程组cos sin cos ,sin cos sin x A y A B x A y A B-=⎧⎨+=⎩．（2）判断m 取何值时，关于x y 、的线性方程组()()()2251,111x m y m x m y ⎧--=-⎪⎨+-+=⎪⎩①有唯一解？②无解？③有无穷多解？11、k 为何值时，关于x y 、的二元一次方程组()28,23kx y x k y k +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解满足0x <，0y >？12、求关于x y z 、、的方程组：2,,2mx y z x my z m x y mz m ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解的条件，并求在此条件下该方程组的解．。

高中数学知识点总结线性方程组与矩阵运算

高中数学知识点总结线性方程组与矩阵运算高中数学知识点总结：线性方程组与矩阵运算在高中数学学习中，线性方程组与矩阵运算是一个重要的章节。

本文将对这两个知识点进行详细总结，以帮助同学们更好地理解和掌握相关概念与方法。

一、线性方程组1. 定义与基本形式线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。

一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b其中，a₁、a₂、...、aₙ称为系数，x₁、x₂、...、xₙ称为未知数，b为常数。

2. 解的存在与唯一性对于线性方程组来说，存在三种解的情况：（1）无解：若线性方程组的系数矩阵的秩r小于增广矩阵的秩s，则线性方程组无解。

（2）有唯一解：若线性方程组的系数矩阵的秩r等于增广矩阵的秩s，并且r=未知数的个数n，则线性方程组有唯一解。

（3）有无穷多解：若线性方程组的系数矩阵的秩r等于增广矩阵的秩s，但r<n，则线性方程组有无穷多解。

3. 解的求解方法（1）代入法：将一个方程的解代入到其他方程中，逐步求解出未知数。

（2）消元法：通过行变换等操作，将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，从而求解出未知数。

二、矩阵运算1. 矩阵的定义与基本性质矩阵是一个按照行和列排列起来的数的矩形阵列。

常用的表示方法为：A=(aij)ₙₓₙ其中，A表示矩阵，aij表示矩阵中第i行、第j列的元素，ₙ表示矩阵的行数，ₙ表示矩阵的列数。

矩阵的基本性质包括加法、数乘、乘法等。

其中，加法满足交换律和结合律，数乘和乘法满足分配律。

2. 矩阵的基本运算（1）矩阵的加法与减法：两个矩阵进行加法或减法时，需要行列相同，将对应位置的元素进行相加或相减。

（2）矩阵的数乘：一个矩阵与一个数相乘时，将矩阵中的每个元素与该数相乘。

（3）矩阵的乘法：两个矩阵Aₙₓₙ和Bₙₓₙ相乘的结果为一个矩阵Cₙₓₙ。

Cₙₓₙ的第i行第j列的元素cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

3. 矩阵的转置与逆矩阵（1）矩阵的转置：将矩阵的行与列进行互换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

线性代数重点复习(16页)

齐次线性方程组给出系数矩阵，
1
非齐次线性方程组给出增广矩阵。
对矩阵进行初等行变换得到行最
2
简形。
3
把行最简形矩阵写回线性方程组的形式。
4
给出方程组的通解。
若线性方程组的系数带有未知数，需分各种情况讨论，灵活处理。
相似矩阵与二次型 05 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
交向量组，由此便可得到相应的正交变换矩阵和相似对
角矩阵。
2025
马到成功！
XXX大学2025年期末考试指导
2025
公众号:安全生产管理
线性代数复习重点
第一章行列式 01 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
容易出选择填空题的内容：
(1)求逆序数； (2)含某个因子的项（注意正负号）； (3)与余子式或代数余子式相关的内容； (4)已知 |A| 求某个与A相关的行列式。。
第三章向量空间 03 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
向量空间
本章提到的的性质和定理较多，需要灵活运用。
容易出选择填空题的内容：二 (1)向量的加法、数乘和内积运算； (2)线性相关和线性无关的定义，以及它们与向量组秩的关系（线性无关意
容易出大题的内容：行列式的计算。其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值，则问题很简单，但要注意，对于2阶和3阶行列式，可用划斜线的方式（对角线法则）来计算。而对于4 阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算，此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式从而得出结果，或者当某一行（列）非零元很少时，运用展开定理将该行（列）展开从而得到经过降阶的行列式计算。对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未知数，求解的难度较大，需要灵活的结合运用行列式的性质和展开定理。一般来说，考试中都会出课本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。

高考数学中的行列式解析技巧

高考数学中的行列式解析技巧在高考数学中，行列式是一个比较重要的概念。

它不仅在数学上有极大的用处，同时也广泛应用于物理、工程等领域。

在高考中，行列式的解析技巧是非常关键的。

本文将从理论与实践两方面来介绍高考数学中的行列式解析技巧。

一、行列式的定义与性质在数学中，一个n阶行列式是由n行n列的矩阵构成的，其中每一个元素都是实数或者复数。

通过对这些元素的排列和相乘，得到一个标量值。

行列式的定义可以用以下方式表达：左乘右减法则一个n阶行列式可以表示为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ...&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{j_1,j_2,...j_n}(-1)^TA_{1j1}A_{2j2}...A_{njn}$$其中，$A_{ij}$表示将第i行第j列元素去掉后所剩的(n-1)阶行列式。

而上述式子中的$\sum\limits_{j_1,j_2,...j_n}$则表示对所有有序排列$j_1,j_2,...j_n$进行求和。

行列式还具有以下性质：（1）交换两行或列，行列式相反；（2）行列式中的一列(行)乘以k，等于在原行列式中的值乘以k；（3）行列式的某一列(行)可分解为两列(行)相加或相减。

以上仅仅是行列式定义与性质的基本介绍。

下面，我们将详细介绍高考数学中常用的行列式解析技巧。

二、数学上的行列式解析技巧（1）三阶行列式的计算对于3阶行列式A：$$A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$其中的元素$a_{ij}$可以按任意一行(列)展开，得到：$$A=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\a_{32} &a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} &a_{22}\\a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}$$这一结论显然是成立的。

高中数学中的矩阵与行列式应用

高中数学中的矩阵与行列式应用矩阵和行列式是高中数学中重要的概念，也是代数学的重要分支。

在解决实际问题时，矩阵和行列式的应用非常广泛。

本文将从几个典型的应用角度出发，介绍高中数学中矩阵与行列式的应用。

一、线性方程组与矩阵线性方程组是高中数学中的重要内容。

当线性方程组的未知数个数大于等于方程组数量时，我们可以使用矩阵来表示方程组。

使用矩阵可以简化计算过程，更加直观地描述方程组。

通过求解矩阵，可以得到线性方程组的解。

例如，考虑以下线性方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 11我们可以通过表示矩阵和向量的方式来解决这个问题：⎛2 3⎞⎛x⎞⎛7⎞⎜⎟ * ⎜⎟ = ⎜⎟⎝4 5⎠⎝y⎠⎝11⎠转化成矩阵乘法的形式：A * X = B其中，A是一个矩阵，X是未知数向量，B是已知向量。

通过运用矩阵的逆矩阵来求解，可以得到未知数向量X的值，即线性方程组的解。

二、行列式与向量的关系行列式也是高中数学中重要的概念，它在向量的运算中有着重要的应用。

行列式可以用来判断向量的线性相关性和计算向量的夹角。

对于二维向量组 {(x₁, y₁), (x₂, y₂)}，可以通过计算行列式来判断这两个向量是否线性相关。

如果行列式的值为0，则表示两个向量线性相关；如果行列式的值不为0，则表示两个向量线性无关。

对于三维向量组 {(x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), (x₃, y₃, z₃)}，可以通过计算行列式的值来计算向量的夹角。

设行列式的值为D，夹角为θ，则有：cosθ = D / (∥A∥ * ∥B∥)其中，∥A∥和∥B∥分别表示向量A和B的模。

通过计算行列式，可以得到向量之间的夹角。

三、矩阵的变换与几何意义在几何中，矩阵可以表示平移、旋转、缩放等几何变换。

通过对矩阵进行运算，可以对图形进行变换。

例如，平移变换可以通过矩阵相加表示：⎛x'⎞⎛x⎞⎛a⎞⎜⎟ = ⎜⎟ + ⎜⎟⎝y'⎠⎝y⎠⎝b⎠其中，(x, y)表示原始点的坐标，(x', y')表示变换后点的坐标，(a, b)表示平移的距离。

第一章行列式习题课

0
1.3.用定义计算行列式Dn
0
0 a1
0 a2 0
an 0 0
解
Dn
(1)
n
ai
i 1
排列 n(n 1)(n 2)21 的逆序数 n(n 1) .
2
n(n1) n
所以Dn (1) 2
ai
i1
5x 1 2 3 24.设f (x) 2 1 x 3 ,求f (x)中x3与x4的系数
[a (n 1)b]
0 0 0 ab
[a (n 1)b](a b)n1.
x a aa
b x aa
例4、4: 求Dn b b x a .
b b bx
解若a b，由例3知Dn [ x (n 1)a]( x a)n1；若a b，则有
(x a) a 0 a 0 a 0 a
2x x 1 2
1 f (x)
x 1 1 中 x4 与 x3 的系数.
3 2x 1
1 11 x
解I （用行列式的定义求解）由行列式的定义及 f (x)的性质知，只有主对角线上的元素相乘才出现 x4，且这一项带正号，为2x2，故f (x) 中 x4 的系数为2. 同理，含 x3 的项也只有一项，为x 1 x x x3, 而且列标所构成的排列为2 1 3 4，逆序数为1.故 f(x)中 x3 的系数为-1.
2.行列式的定义
设有n2个数aij (i, j 1,2,, n)，称
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
为n阶行列式，表示数值
(1) ( p1p2pn )a1p1 a2 p2 anpn
其中p1 p2 pn为自然数1,2，，n的一个排列

行列式和线性方程组的求解

行列式在解线性方程组中的优势与局限性
优势
行列式可以用来判断线性方程组的解的情况，如是否有解、解的个数等，同时也可以用于求解某些特定类型的线性方程组。
局限性
对于一些复杂或大规模的线性方程组，直接利用行列式求解可能比较困难或计算量较大，此时需要考虑其他方法或工具进行求解。
THANKS
谢谢
当线性方程组的系数行列式不为零时，克拉默法则适用。
克拉默法则的原理基于代数余子式的概念，通过代数余子式的计算，可以得出系数和常数项之间的关系。
应用克拉默法则的步骤
第一步
计算系数行列式D，确保D≠0。
第二步
根据D的值，计算每个未知数的系数行列式Di（i=1,2,3...n）。
第三步
根据Di的值，计算每个未知数的代数余子式Ai。
迭代法
通过迭代过程逐步逼近方程组的解，常用的迭代法有雅可比法、高斯 -赛德尔迭代法和松弛法等。
03
CHAPTER
高斯消元法求解线性方程组
消元过程
初始化
将线性方程组转化为增广矩阵形式，并存储在矩阵中。
消元
通过行变换将增广矩阵中的某一行或某一列的元素化为零，以便消除该行或列中的未知数。
迭代
重复上述步骤，直到所有未知数都被消除。
回带过程
确定主元
在回带过程中，选择主元是为了保证计算的稳定性和准确性。主元应选择绝对值最大的元素。
回带
从最后一行开始，将已求解的未知数代入增广矩阵中，并计算出其他未知数的值。
迭代
重复上述步骤，直到所有未知数的值都被计算出来。
算法的优缺点
优点
高斯消元法是一种简单、直观且易于理解的算法，适用于大多数线性方程组。它能够精确求解方程组，且在主元选择合适的情况下具有较高的计算效率和稳定性。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结线性代数知识点总结「篇一」第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化。

高中数学中的矩阵与行列式深入剖析

高中数学中的矩阵与行列式深入剖析矩阵和行列式是高中数学中的重要概念，它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、工程等领域也扮演着重要的角色。

本文将深入剖析矩阵和行列式的概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。

一、矩阵的概念与性质矩阵是由数个数按照一定的规则排列而成的矩形数表。

在高中数学中，我们主要研究的是二维矩阵，即由m行n列的数表所组成的矩阵。

矩阵中的每个数称为元素，用小写字母加上下标的形式表示，如a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵的加法和乘法是矩阵运算中的两个基本操作。

矩阵加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。

而矩阵乘法满足结合律和分配律，即(A * B) * C = A * (B * C)，A * (B + C) = A * B + A * C。

需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律，即A * B ≠ B * A。

除了加法和乘法，矩阵还有转置、逆矩阵等重要概念。

矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

转置后的矩阵用大写字母加上T表示，如A^T表示矩阵A的转置。

逆矩阵是满足矩阵乘法交换律的矩阵，即A * A^(-1) = A^(-1) * A = I，其中I表示单位矩阵。

需要注意的是，并不是所有的矩阵都有逆矩阵，只有非奇异矩阵才存在逆矩阵。

二、行列式的概念与性质行列式是一个与矩阵相关的数值。

对于一个二维矩阵A，它的行列式用竖线括起来表示，即|A|。

行列式的值是由矩阵的元素按照一定规律计算得到的。

具体计算行列式的方法有很多，如拉普拉斯展开法、三角形法则等。

这里我们以拉普拉斯展开法为例进行说明。

拉普拉斯展开法是一种递归的计算行列式的方法。

对于一个n阶矩阵A，我们可以选择其中的一行或一列展开计算。

如果选择第i行展开，那么行列式的值可以表示为D = a_i1 * A_i1 + a_i2 * A_i2 + ... + a_in * A_in，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素，A_ij表示去掉第i行第j列后所得到的(n-1)阶矩阵的行列式。

行列式解线性方程组

行列式解线性方程组
用行列式解线性方程组，即Crammer法则
用它的前提条件是：线性方程组AX=b方程的个数与未知量的个数相同，即系数矩阵A是一个方阵
系数矩阵A的行列式|A|≠0
则方程组有唯一解:xi=Di/D
D=|A|
Di是D中第i列换成b得到的行列式
性质
①行列式A中某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT（AT的第i行为A的第i列）。

③若n阶行列式|αij|中某行（或列）；行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列），一个是b1，b2，…，bn；另一个是с1，с2，…，сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

高中数学《行列式》课件

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200 6 194
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性质5 (消法)将行列式的某一行(列)的各元素乘以常数加到另一行(列)的对应元素上去,则行列式的值不变,即
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 aj1 aj2
ain ai1 ka j1
a jn
a j1
ai2 ka j2 aj2
当 n 1 时， det( A) a11
n
当 n 1 时，det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1)) k 1
n
设 An aij 则 det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1))
k 1
Aij (1)i j det( A(i, j) ) 为 aij 的代数余子式
40
x (n 1)a a a a
x (n 1)a x a a
解
c1ci (i2,3,,n)
Dn x (n 1)a a x a
x (n 1)a a a x 1 a a a 1 x a a [x (n 1)a] 1 a x a
1 a a x 41
1 a a a 0 xa 0 0
rj r1 ( j:2,3,,n)
[x (n 1)a] 0 0 x a 0
0 0 0 xa
[x (n 1)a](x a)n1
42
例2 计算 n 阶行列式（两道一点）
a1 b1
a2 b2
Dn
an1 bn1
bn
an
解 Dn a1a2 an (1)n1bnb1b2 bn1
a1a2 an (1)n1b1b2 bn1bn

高中数学代数方程组解析

高中数学代数方程组解析在高中数学中，代数方程组是一个重要的概念。

解析代数方程组能帮助我们理解方程组的性质，掌握求解方程组的方法。

本文将介绍代数方程组的定义、性质、求解方法以及实例分析。

一、代数方程组的定义代数方程组是由多个方程组成的集合，其中每个方程都包含了未知数及其系数。

通常用字母表示未知数，用数字表示系数。

代数方程组常用以下形式表示：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₁a₁'x₁ + a₂'x₂ + ... + aₙ'xₙ = b₂...a₁ₙx₁ + a₂ₙx₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ二、代数方程组的性质1. 未知数的个数：代数方程组中未知数的个数被称为方程组的阶。

阶数可以根据方程的个数及每个方程中未知数的个数来确定。

2. 解的存在性：代数方程组可能有唯一解、无解或无穷多解。

解的存在性与方程组的系数之间有关，可以通过高斯消元法等方法判断。

三、代数方程组的求解方法求解代数方程组的方法多种多样。

下面列举一些常用的方法：1. 直接代入法：将某个方程的解直接代入到其他方程中，从而减少未知数的个数。

2. 消元法：通过加减乘除等运算，将方程组转化为三角方程式，从而求解方程组。

3. 矩阵法：将方程组转化为矩阵形式，利用矩阵的性质求解方程组。

4. 行列式法：通过行列式的性质，将方程组转化为行列式的形式，进而求解方程组。

四、代数方程组的实例分析下面举一个实例来说明代数方程组的求解过程。

例：解方程组2x + 3y = 73x - y = -1解：我们可以使用消元法来解决这个方程组。

首先，将第二个方程乘以2，得到6x - 2y = -2。

然后，将第一行的2倍加到第二行上，得到8x + y = 5。

现在我们有两个方程：2x + 3y = 78x + y = 5我们可以使用直接代入法来求解方程组。

从第二个方程中解出y，得到y = 5 - 8x。

将这个结果代入第一个方程中，得到2x + 3(5 - 8x) = 7。

高中数学中的矩阵运算与行列式

高中数学中的矩阵运算与行列式数学是一门抽象而又实用的学科，而在高中阶段，矩阵运算与行列式是数学中的重要内容之一。

矩阵运算和行列式不仅在数学中具有重要的地位，而且在实际应用中也有广泛的应用。

本文将介绍高中数学中的矩阵运算与行列式，并探讨其应用。

矩阵是数学中的重要概念之一，它是由一系列数按照矩形排列而成的表格。

矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。

在矩阵的加法和减法中，要求矩阵的行数和列数相等。

加法和减法的运算规则与常规的加法和减法类似，即对应位置上的元素进行相加或相减。

而在数乘运算中，矩阵的每个元素都乘以一个常数。

矩阵的数乘运算可以改变矩阵的整体大小。

矩阵运算在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，矩阵运算被用来进行图像的旋转、缩放和平移等操作。

在经济学中，矩阵运算被用来解决线性方程组，从而分析经济模型。

在物理学中，矩阵运算被用来描述量子力学中的态矢量和算符。

可以说，矩阵运算是现代科学和技术的重要工具之一。

行列式是矩阵的一个特殊的数值，它可以用来判断矩阵的性质和解决线性方程组。

行列式的计算方法有很多种，其中最常用的方法是按照定义进行计算。

行列式的定义是通过对矩阵的元素进行排列组合来计算的。

行列式的值可以是一个实数或者是一个复数。

行列式的应用也十分广泛。

在线性代数中，行列式被用来判断矩阵是否可逆。

如果一个矩阵的行列式不等于零，那么这个矩阵是可逆的。

在解决线性方程组时，行列式可以用来判断方程组是否有唯一解。

此外，行列式还可以用来计算矩阵的特征值和特征向量，从而分析矩阵的性质。

除了矩阵运算和行列式，高中数学中还有其他与之相关的概念和方法。

例如，矩阵的转置、矩阵的乘法和矩阵的逆等。

矩阵的转置是将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。

矩阵的乘法是将两个矩阵相乘得到一个新矩阵。

矩阵的逆是在矩阵乘法的基础上，找到一个矩阵使得它与原矩阵相乘得到单位矩阵。

综上所述，高中数学中的矩阵运算与行列式是数学中的重要内容之一。

行列式在高中数学中的应用

行列式1.1行列式的定义n阶行列式的定义：111212122212nnijn n nna a aa a aaa a a其中ija表示行列式中第i行第j列上的元素，即第一下标表示行数，第二下标表示列数．如24a表示第2行第4列上的元素．这里只介绍二阶、三阶行列式的运算规定以及应用．二阶行列式的定义及运算规定：1112112212212122a aa a a aa a=-三阶行列式的定义及运算规定：111213212223112233122331313233133221132231122133113223a a aa a a a a a a a aa a aa a a a a a a a a a a a=++---（等号右边为行列式的计算结果）1.1.1利用行列式求平面的法向量定义：设平面α内不共线的两个的向量的坐标为1111()e x y z=，，，2222()e x y z=，，，则行列式111222i j kx y zx y z叫平面α的一个法向量，记为n．【例1】如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．第1行第2行第行…第1列第2列第列(1)求证：BF//平面ADE;(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值;(3)若二面角E −BD −F 的余弦值为13，求线段CF 的长．解：依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向的空间直角坐标系(如右下图)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)．设CF =h(h >0)，则F(1,2,h)．（1）)2,0,0(),0,1,0(==AE AD 为平面ADE 内不共线的两个向量。

则平面ADE 的一个法向量为：i kj i n 2200010== 即：)0,0,2(=n),2,0(h BF =0),2,0()0,0,2(=⋅=⋅∴h BF n因此BF n ⊥∴，所以BF//平面ADE;（2）依题意，)2,0,1(),0,1,1(-=-=BE BD 为平面BDE 内不共线的两个向量。

行列式与方程组复习

Ans：x=2,y=1,z=-3
⎧1 1 1 ⎪x + y + z = 9 ⎪ ⎪4 3 2 例 5.解 ⎨ + + = 25 ⎪x y z ⎪2 1 1 ⎪ − − = −3 ⎩x y z
Ans: x =
1 ; 2
1 1 y= ; z= 3 4
⎧kx + y + z = 1 ⎪ 例 6.设方程组 ⎨ x + ky + z = k 无解,求 k ⎪ x + y + kz = k 2 ⎩
a2 b2 c2 a3
a3 b3 | ; c3
b3 | ; c3
例 1.已知
a b = 5, c d
a e
b 3a 3b = 7, 求 f 2c + 4e 2d + 4 f
Ans:114
例 2.求下列各行列式值
2 (1) 3
1 1
1 2 5
2 2 2 ( 2) 3 3 3 1 0 5
− 3 − 168 (3) 1 58 − 2 − 113
?????333332222211111edzcybxaedzcybxaedzcybxallllll令333222111333222111333222111333222111dbadbadbacdacdacdacbdcbdcbdcbacbacbazyx000但00zyx或或0zyx恰有一解e1e2e3恰交于一点zyx无解无解无限多解1两平面平行而另一平面与此二平面各相交于一直线2三平面两两相交于一直线但此三线不共点1三平面互相平行2两平面重合另一平面与之平行1三平面重合2两平面重合另一平面与之交于一线3三平面两两不重合但相交于一线3
92
矩阵的列运算 1.矩阵:将一些数排成矩形数组,例如 ⎢

线性代数入门二元线性方程组与二阶行列式

线性代数入门二元线性方程组与
二阶行列式
线性方程组是线性代数课程中最基本的研究对象，对于方程个数与未知量个数相等的线性方程组，行列式是一个有力的研究工具。

本节先复习二元一次方程组的解法，并由此引入二阶行列式的概念及计算公式。

（由于公式较多，故正文采用图片形式给出。

）
一、解二元一次方程组的“消元法”复习。

二、一般情形下二元线性方程组的解。

（“线性”是“一次”的同义语，线性方程就是指中学阶段介绍的“一次方程”。

）
三、二阶行列式概念的引入。

四、对二阶行列式概念的补充说明。

（在线性代数中“数表”本身称为矩阵，也是线性代数的基本研究对象，注意行列式不是“数表”，而是由“数表”中各元素经过运算后得到的一个“数”！）
五、利用二阶行列式表示一般的二元线性方程组的解。

六、利用二阶行列式解二元线性方程组举例。

最后指出，初学者不要认为行列式只是一个用来表示方程组解的简化记号，行列式在线性代数中有着丰富的内容和应用，这一点随着学习的深入会逐步体会到。

例如当系数行列式d=0时，就无法如本例这样解出唯一的一组解（因为0不能作分
母），此时线性方程组无解或有无穷多组解，我们将在“线性方程组”一章中对此作详细介绍。

（想阅读“高等数学入门”系列文章的读者可在的“历史文章”菜单中查找。

）。

高中数学之七《行列式和线性方程组》

个三阶行列式。
些二项式各取一项作成相应行（或列）而余行（或列）不变的两个行列式的和。
定理 6 把行列式的某一行（或列）的所有元素同乘以一个数 k ，加到另一行（或另一
列）的对应元素上，所得行列式与原行列式相等。（四）按一行（或一列）展开三阶行列式
把行列式中某一元素所在的行与列划去后，剩下的元素按原行列顺序排列所组成的行列式，叫做原行列式中对应于这个元素的余子式。
的乘积的和等于零。
（五）三元线性方程组
一个三元线性方程组，当其中方程的个数与未知数的个数相同时，它的一般形式是
aa12xx
b1 y c1z d1 b2 y c2 z d
2
a3 x b3 y c3 z d3
如果当 x x1，y y1，z z1 时，方程组的每个方程左右两边的值相等，那么
如果当 x x1，y y1 时，方程组 I 中的每个方程左右两边的值相等，也就是说
x x1，y y1 适合方程组 I ，那么 x x1，y y1 叫做方程组 I 的一个解，记为
x y
x1 y1
，或简记为
x1，y1
。方程组
I
的所有的解构成的集合叫做方程组
设行列式中某一元素位于第 i 行第 j 列，把对应于这个元素的余子式乘上 1 i j 后所得
到的式子叫做原行列式中对应于这个元素的代数余子式。
定理 1 行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元素与它们各自对应的代数余子式
的乘积的和。
定理 2 行列式某一行（或一列）的各元素与另一行（或一列）对应元素的代数余子式
a1 b1 ， 6
a2 b2
并且规定它就表示