第四章 二次型真题
线性代数第四章练习题集答案解析
第四章二 次 型练习4、11、写出下列二次型的矩阵（1）),,(321x x x f =32312221242x x x x x x -+-；（2）),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。
解：（1）因为),,(321x x x f =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---012110202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---012110202。
（2）因为),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********1110⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321x x x x ， 所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********1110。
2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2221202121211； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121210210211212112101210。
解：（1）设T321),,(x x x X =，则),,(321x x x f =X TAX =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2221202121211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x =323121232142x x x x x x x x -+-+。
（2）设T4321),,,(x x x x X =，则),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121210210211************⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x=434232312124222x x x x x x x x x x x x +++-++-。
练习4、21、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。
高等代数二次型单元测验答案
（ A）卷
2017-2018 学年第 1 学期
班级：
姓名：
学号：
…………………………………装……………………………订…………………………线………….……………………………… 四、证明题（40 分） 1、设 A , B 都是 n 阶矩阵，且 AB 0，则 r(A) r(B) n .
设 B 的列向量组为 B1, B2 ,, Bn ，则 AB A(B1, B2,, Bn ) ( AB1, AB2,, ABn ) 0 故有 AB1 AB2 ABn 0 , 即方程组 AX 0有 n 组解 B1, B2,, Bn . 若 r( A) r ，则 B1, B2,, Bn 可由 AX 0的基础解系线性表出，于是 r(B) n r .因此 r( A) r(B) r (n r) n 2、设 A 是一个实矩阵，证明： r(AT A) r(A) .
从而 AX T AX 0 ,又因为 AX 是一个 n 维实列向量, 推出 AX 0
即证 AX 0 与 AT AX 0 同解，故 r AT A r A
3、 设 A , B 都是 n 阶正定矩阵，证明： A1 ， A B 都是正定矩阵 (1) 因为 A 正定,存在可逆矩阵 C , 使得 A CT C , 从而 A1 (CTC)1 C1(CT )1 C1(C1)T , 推出 A1 正定 (2) 任取 X 0 , X T (A B)X X T AX X T BX 0 , 推出 A B 是正定矩阵.
0 6 3 6 6 0 0 2 1 2 2 0
1 2
0
1
0 0
2 2 3
4 2 2 1 2 2
第4章 二次型 练习题
1 / 2 1 / 2 ； C 0 2 0 0
1 3 ，r = 2，p = 2， 0
2p r = 2，不是正定二次型。 ）
11、设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x22 2x32
12、设 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 x3 x1 ， （1） 用初等变换法将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 在实数域 R 内化为规范形，并写出可逆线性替换 的矩阵 C ； （2）求二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 正惯性指数，并判断其是否为正定二次型。 （规范形 f = y1 + y2 y3
（3）试证：对实数域上的任一 n 阶可逆矩阵 A，都有 AT A 是正定矩阵。
（4）设 A 为 n 阶实对称矩阵，r ( A ) = n ，证明：A2 是正定矩阵。
A1 （5）已知矩阵 A1 ~ B1 ， A2 ~ B2 ，对于分块矩阵 A O
B 。 求证： A ~
O B1 ， B O A2
2 2 2
1 1 1 ，可逆线性替换的矩阵 C 1 1 1 ；p = 2 < 3 = n ，不是正 0 1 0
定二次型 ）
13、已知三元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x2 x3 ， 求：（1）用合同变换法求其标准形及可逆线性替换矩阵 C ； （2）写出二次型的规范性； （3）写出二次型的负惯性指数及符号差。 （
二次型作业卷
1 1 1 T 5、 设 f ( x1 , x 2 , x3 ) = X AX ，其中 A = 1 2 3 ， 1 3 6
则二次型是（ ）定的。 6、 设二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) 经正交变换化为 标准型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = y1 + 2 y 2 + 3 y 3 ，
为标准型。
三、证 明 题
1、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明 A , A 也是正定矩阵。 2、设 A 为 n 阶满秩矩阵，证明 A A 是正定矩阵。 2 3、设 A 为 n 阶实对称矩阵，证明 r ( A) = r ( A ) 。 4、设方程组 An×n X = 0 有零解，证明零是 A 的一个特 征值。 5、设 n 阶方阵 A 的任一行中 n 个元素之和都是 λ 0 ， 证明 λ 0 是 A 的一个特征值并求出其对应的一个特征。
2
）时， f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 + x 2 + 5 x 3
+ 2tx1 x 2 − 2 x1 x 3 + 4 x 2 x 3 是正定的。
0 −1 1 T 1 ， 4、 设 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = X AX ，其中 A = 1 − 2 0 1 − 2
2 2 2
则可知曲面 f ( x1 , x 2 , x3 ) = 1 是（
）曲面。
二、
计 算 题 T 1、设有二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = X AX =
− x12 + 2 x 22 + 2 x32 + 4 x1 x 2 ，求一正交变换 X=QY
将二次型化为标准型。 2、将二次型
高等代数习题-二次型
2 2 原式 =-z1 + 4 z2 2 + z3 .
(3)
此即原二次型的标准型. 将式(3)代入式(1), 得
ì 1 1 ï ï x1 = z1 + z2 + z3, ï ï 2 2 ï ï ï 1 1 ï í x2 = z1 - z 2 + z3, ï 2 2 ï ï ï x3 = z3 , ï ï ï î ï
2 aij = 0
(i , j = 1,2,L , n) ,
A =0 .
例 5、 如果把实 n 级对称矩阵按合同分类, 即两个实 n 级对称矩阵属于同一类当
且仅当它们合同, 问共有几类? 解 ： 当实对称矩阵 A 与 B 合同时, 则有 d1 T ' BT = C ' AC = 反之亦然. 下面考虑相应二次型的情况 : 在 d i 中可分为 r 个 正， r − 1 个 正， M 2 1 0 个 正， 个 正， 个 正， 0 1 个 负 个 负 d2 dr 0 . 0
1ù ú 2ú ú 1ú -1 ú 2ú 0 1 úú ú û 1
ì z1 = t3 , ï ï ï ï (II) 令 í z 2 = t 2 / 2, 得 ï ï ï ï î z3 = t1,
é-1 0 0ù ê ú = êê 0 4 0úú . ê 0 0 1ú ë û
ì x1 = (t1 + t2 + t3 )/2, ï ï ï ï í x2 = (t1- t2 + t3) / 2, ï ï ï ï î x3 = t1,
f = t12 + t22 - t32 ；
则实二次型的规范形为
再令
ì t1 = w1, ï ï ï ï ít 2 = w2 , 得 ï ï ï ï ît3 = i w3 ,
线性代数(第四章)
第四章 二次型习题4．1 二次型及其标准形（P.108-P.109）1．用矩阵记号表示下列二次型：（1）2222426;f x xy y xz z yz =+++++（2）22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+- 解：（1）2222426f x xy y xz z yz =+++++()111,,143131x x y z y x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪'== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x Ax（2）22221234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+-()1212343411211132,,,23101201x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭x Ax 2．用配方法或矩阵变换法化下列二次型为标准形，并求所用的变换矩阵： （1）222123121323235448f x x x x x x x x x =+++--； 解：222123121323235448f x x x x x x x x x =+++--22212323232()34x x x x x x x =+-++- 2221232332()(2)x x x x x x =+-+--令：11231123223223333311122012001y x x x x y y y y x x x y y C y x x y =+-=----⎧⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪=-⇒=+=⎨⎨ ⎪⎪⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭10C =≠ 得2221232f y y y =+-（2）222123122313210282f x x x x x x x x x =+++++； 解： 222123122313210282f x x x x x x x x x =+++++2221232323()96x x x x x x x =+++++ 2212323()(3)x x x x x =++++令112311232232233333211233013001y x x x x y y y y x x x y y C y x x y =++=-+-⎧⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪=+⇒=-=-⎨⎨ ⎪⎪⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭， 10C =≠ 得 2212f y y =+ （3）122334f x x x x x x =++解：令11211212223343343444110110000110011x y y x y x y y x y x y y x y x y y x y =+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=--⎪ ⎪ ⎪⎪⇒=⎨⎪ ⎪ ⎪=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 121212343434()()()()()()f y y y y y y y y y y y y =+-+-+++-2222123413142324y y y y y y y y y y y y =-+-++--222213423423243411351()22442y y y y y y y y y y y y =++-+---- 2222134234341111()()2222y y y y y y y y =++-+++-令1134113422342234333344441111222211112222z y y y y z z z z y y y y z z z z y y z z y y z ⎧⎧=++=--⎪⎪⎪⎪⎪⎪=++=--⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩,即1122334411102211012200100001y z y z y z y z ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭得 22221234f z z z z =-+-变换矩阵：1110110011112211001111000122001100110010001100110001C ⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭40C =≠（4）222123121323255448f x x x x x x x x x =+++--解： 222123123232()334f x x x x x x x =+-++-222123233252()3()33x x x x x x =+-+-+ 令 1123112322322333331322,33x y y y y x x x y x x x y y C y x x y ⎧=-+⎪=+-⎧⎪⎪⎪⎪=-⇒=+=⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎪⎩x y 即， 其中 11132013001C ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 10C =≠ 得 2221235233f y y y =++3．若矩阵1A 合同于12,B A 合同于2B ，试证：12⎛⎫⎪⎝⎭A 00A 合同于12⎛⎫ ⎪⎝⎭B 00B 。
二次型测试题
．
．
5
( )．
A. 正定
T
B. 负定
T
C. 不定
T
D. 以上都不对
)．
13、 设二次型 f X AX ,其中 A A , X x1, x2 ,, xn ,则 f 正定的充分必要条件是 (
A. A 的行列式 A 0 C. f 的秩为 n
1
B. f 的负惯性指数为 0 D. A M T M , M 为 n 阶可逆矩阵
C. A B
D. A B
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18、 n 阶方阵 A 与 B 的特征多项式相同,则 A. A 、 B 同时可逆或不可逆
( )． B. A 、 B 有相同的特征值和特征向量
C. A 、 B 与同一对角矩阵相似
19、n 阶实对称矩阵 A 合同于矩阵 B 的充要条件是
D. 矩阵 E A 与 E B 相等
二、填空题
2 2 2
பைடு நூலகம்
1 2 3 B. 2 5 4 3 4 6 5 2 1 D. 2 1 3 1 3 0
1、已知二次型 f x1 , x2 , x3 2 x1 3 x2 3 x3 2ax2 x3 通过正交变换化成标准
．
2 2 12、设二次型 f x1 , x2 , x3 xT Ax ax12 2 x2 2 x3 2bx1 x3 b 0 ,其中二次型矩阵 A
的特征值之和为 1,特征值之积为 12 ,则 a
2 2 2
,b
．
二次型练习题
二次型练习题§1 二次型及其标准形式1．用正交变换将下列二次型=),,(321x x x f 32312123222184444x x x x x x x x x -+-++化为标准形，并写出所用的变换。
2．利用配方法和初等变换法二次型=),,(321x x x f 323121232221844452x x x x x x x x x --+++化为标准形，并写出所用的变换。
3．若二次型=),,(321x x x f 323121232221246x x x x x x tx x x +++++的秩为2，求t 。
4．已知二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准形216y f =，求a 。
5．已知实二次型31232221321222),,(x bx x x ax x x x f +-+=（0>b ），其中二次型的相伴矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-。
（1）求参数a ，b ；（2）利用正交变换将f 化为标准形，并写出所用的变换。
6．已知实二次型32312322213214453),,(x x x x x x ax x x x f -+++=经正交变换Py x =化为标准形232221by ay y f ++=，求a ，b 。
（1）求参数a ，b ；（2）求所用的正交变换。
7．求二次型3223222132162),,(x x ax ax x x x x f +++=（3>a ）的规范形。
8．已知实二次型3231212322213212422),,(x x x x x x tx x x x x x f -+-++=的正惯性指数为3，求参数t 的取值范围。
9．设二次型32312123222132126255),,(x bx x x x x ax x x x x x f +++++=的相伴矩阵为A ，且已知A 的特征值为5-，6，6。
二次型问题练习题
二次型问题练习题一、选择题1．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则)(x f 在R 上的表达式是（ ）A )2(-=x x yB )1(-=x x yC )2(-=x x yD )2(-=x x y 2．设锐角θ使关于x 的方程0cot cos 42=++θθx x 有重根，则θ为（ ）A 6πB 12512ππ或C 1256ππ或 D 12π 3．如果在区间[]21，上，函数q px x x f ++=2)(与21)(xx x g +=在同一点取相同的最小值，则)(x f 在该区间上的最大值是（ ） A 33422114++B 3342254+-C 3342211+-D 以上答案均不对4．已知y x ,都在区间)2,2(-内，且1-=xy ，则函数229944yxu -+-=的最小值是（ ）A58 B1124 C712 D5125.函数()()02≠++=a c bx ax x f 的定义域分成四个单调区间的充要条件是( ) （A ）0402>->ac b a 且 （B ）02>-ab （C ）042>-ac b （D ）02<-ab6.已知函数()()30422<<++=a ax ax x f ，若a x x x x -=+<1,2121，则( ) （A ）()()21x f x f < （B ）()()21x f x f =（C ）()()21x f x f > （D ）()1x f 与()2x f 的大小不能确定7．已知4k -<, 则函数)1x (cos k x 2cos y -+=的最小值是 ( )A. 1B. 1-C. 1k 2+D. 1k 2+-8．设函数a x x a x a x x f 42)31)(()(+--+-++=的图象有对称中心，则a 的值（ ） A 32-B 32 C 43 D 43-二、填空题1．已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，则a 的值____________ ．2.若sin 2x+cosx+a=0有实根，则实数a 的取值范围_____________.3.函数()f x =的最小值为 .4.设全集为R ，集合{|s i n (2),}642A y y x x πππ==-≤≤，集合{|R B a =∈关于x 的方程012=++ax x 的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上}. 则( C RA )∩( C R B )=__________________________．三．解答题1.已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，1()'()n n n n f a a a f a +=-（n =1,2,……）（1）求,αβ的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >α； （3）记αβ--=n n n a a b ln（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n .2、设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c ∈R).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.4．已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合； (Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值.。
二次型与对称矩阵习题
二次型与对称矩阵习题型例题一、二次型及其矩阵表示二、化二次型为标准三、正定二次型的判定<i>线性代数课件</i>一、二次型及其矩阵表示例1. 求实二次型f ( x1 , x2 , , xn ) (ai1 x1 ai 2 x2 ain xn )i 1 n 2的矩阵及秩.解a11 a21 令A an1 a12 a22 an 2 a1n A1 a2 n A2 ann An<i>线性代数课件</i>A1 n A2 则A ' A ( A '1 , A '2 , , A 'n ) A 'i Ai i 1 An 于是f ( x1 , x2 , , xn ) (( x1 , x2 , xn ) A 'i ) 2i 1 nx1 n x2 ( x1 , x2 , , xn ) A 'i Ai i 1 xn<i>线性代数课件</i>x1 x1 n x2 x2 ( x1 , x2 , , xn )( A 'i Ai ) ( x1 , x2 , xn ) A ' A i 1 xn xn由于( A ' A)' A '( A ')' A ' A, A ' A为n阶实对称阵,故f ( x1 , x2 , xn )的矩阵为A ' A, 其秩R( A ' A) R( A).<i>线性代数课件</i>二、化二次型为标准形例3.设二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x ' Ax ax2 x22 1 2 23x3 2bx1 x3 (b 0), 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1, 特征值之积为12. (1)求a, b的值; (2)利用正交变换将二次型f 化为标准型, 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.(2003年数学3)5<i>线性代数课件</i>解法1 a 0 b (1)二次型f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为A 0 2 0 . b 0 2 设A的特征值为i (i 1, 2,3),由题设有1 2 3 a 2 ( 2) 1a 0 b1 2 3 0 20 4a 2b 2 12 b 0 26解得a 1, b 2.<i>线性代数课件</i>(2)由矩阵A的特征多项式1 E A 0 22 0 ( 2) ( 3)2202得A的特征值1 2 2, 3 3. 对于1 2 2, 解齐次线性方程组(2E A) x 0, 得其基础解系1 (2,0,1) ', 2 (0,1,0) '. 对于3 3, 解齐次线性方程组( 3E A) x 0,得其基础解系 3 (1,0, 2) '.7<i>线性代数课件</i>由于1 , 2 , 3已是正交向量组, 为得到规范正交向量组, 只需将 1 , 2 , 3单位化,由此得 1 ( 2 5 , 0, 1 5 ) ', 2 (0,1, 0) ', 3 ( 1 5 , 0, 2 5 )'1 2 0 5 5 令矩阵P 0 1 0 , 1 2 0 5 5 则P为正交矩阵, 在正交变换x Py下, 有8<i>线性代数课件</i>2 0 P ' AP 0 2 0 0 2 2 f 2 y1 2 y2解法20 0 , 且二次型的标准形为3 3 y3 .2a 0b (1)二次型f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为A 0 2 0 . b 0 2 9<i>线性代数课件</i>A的特征多项式为1 E A 20 b0 b 2 0 0 22( 2)[ (a 2) (2a b )] 设A的特征值为1 , 2 , 3 ,则1 2, 2 3 a 2, 2 3 (2a b2 ), 由题设得1 2 3 2 (a 2) 1,1 2 3 2(2a b ) 12,解得a 1, b 2.2(2)由(1)可得A的特征值为1 2 2, 3 3,以下解法同解法(1).<i>线性代数课件</i>2 2 例4.已知二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 3 x2 3 x3 2ax2 x3 2 2 (a 0)通过正交变换化为标准型f y12 2 y2 5 y3 ,求参数a及所用的正交变换矩阵. (1993年数学1)2 0 0 解：二次型f ( x1, x2 , x ) 的矩阵A3 a 0 3 0 a 3 又由f 的标准型可知A的特征值为1 1, 2 2, 5, 32 故A 1 2 10, 即：a) 2(9 10 32 0 0 但a 0, 故a 2, 此时A3 2 0 0 2 3<i>线性代数课件</i>(1)当1时,由方程组( E A) x 0得对应的单位1 1 特征向量为1 (0, , )2 2(2)当2时,由方程组(2 E A) x 0得对应的单位特征向量为2 (1,0,0) (3)当5时,由方程组(5E A) x 0得对应的1 1 单位特征向量为 3 (0, , ) 2 212<i>线性代数课件</i>故所用的正交变换矩阵0 1 P ( 1 , 2 , 3 ) 2 1 2 1 0 0 0 1 2 1 2<i>线性代数课件</i>例6.已知二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x 5 x cx2 1 2 22 32 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3的秩为2. (1)求参数c及此二次型的矩阵的特征值. (2)指出方程f ( x1 , x2 , x3 ) 1表示何种二次曲面. (1996年数学1) 5 1 3 解：该二次型的矩阵A 1 5 3 (1) 3 3 c由题设知R( A) 2,因此A 0, 解得c 3.14<i>线性代数课件</i>易证, 此时R( A) 2, A的特征多项式5 E A 1 313 3 ( 4)( 9)533故所求特征值为1 0, 2 4, 3 9.(2)由以上讨论知, f 的一个标准型为f 4 y 9 y ,2 2 2 3 2 2 由此可知f ( x1 , x2 , x3 ) 1(即4 y2 9 y3 1)所给出的曲面是椭圆柱面.15<i>线性代数课件</i>三、正定二次型的判定例7.设f ( x) x Ax是一实n元二次型, 若有n维向量x1 , x2 , 使f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 0, 试证：()x1和x2 线性无关；1(2)存在n维向量x0 0, 使f ( x0 ) 0. 证：由f ( x1 ) 0知x1 0, 从而x1线性无关. (1)于是, 若x1和x2 线性相关, 则x2 可由x1线性表示：x2 kx1 , k R, 且f ( x2 ) f (kx1 ) (kx1 ) A(kx1 ) k 2 x1 Ax1 k 2 f ( x1 ) 0,与题设f ( x1 ) 0相矛盾.故x1和x2 线性无关. 16<i>线性代数课件</i>(2)考虑实函数G(t ) (tx1 (1 t ) x2 ) A(tx1 (1 t ) x2 ), t R,显然它在R上连续, 且由题设知G(0) f ( x2 ) 0, G(1) f ( x1 )0,因此, 存在t0 (0,1), 使G(t0 ) 0,即存在n维向量x0 , 使f ( x0 ) 0, 其中x0 t0 x1 (1 t0 ) x2. 由(1)知, x0 0.<i>线性代数课件</i>例8.设二次型f ( x) x Ax的正、负惯性指数都不为零, 试证：存在非零向量x (1) , x (2) , x (3) , 使f ( x (1) ) 0, f ( x (2) ) 0, f ( x (3) ) 0.证：设f ( x)的正惯性指数为p, 秩为r , 则有0 p r, 且有可逆变换x Cy (1)使得f ( x) f (Cy) yi2 i 1 p由于C 0, 故以下三个向量均不为零：x x(1)j p 1ryi2 (2), x (2) C (1, 0, , 1 , , 0) , C (1, 0, , 0)(r )(3)C (0, , 1 , , 0) (r )(1) (2) (3)18将其代入式(2), 得f ( x ) 1 0, f ( x ) 1 1 0, f ( x ) 1 0.<i>线性代数课件</i>例9.设二次型f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) t ( x12 x2 2 x32 ) 2 x1 x2 2 x2 x 3 2 x3 x1 x4 2 .问t为何值时f 正定? 并讨论t 2时的情况. 解法1 对f 配方得f (t 2)( x x2 x3 ) ( x1 x2 ) ( x2 x3 )2 1 2 2 2 2 22( x3 x1 ) x4 . 由此可见: (1)t 2时, 对任意的( x1 , x2 , x3 , x4 ) 0, f 0, 故此时f 正定.2 2 2(2)t 2时, f 变为f ( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x3 x1 ) x4 ,2于是对任意的( x1 , x2 , x3 , x4 ), f 0, 且f (1, 1, 1, 0) 0, 故此时f 是半正定的.19<i>线性代数课件</i>(3)t 2时, f (0,0,0,1) 1 0, f (1, 1, 1,0) 3(t 2) 0 故此时f 是不定的. 综上,当且仅当t 2时, f 正定;当t 2时, f 半正定;当t 2时, f 是不定二次型解法2f ( x1 , x2 , x3 , x4 )的矩阵为t 1 1 1 t 1 A 1 1 t 0 0 0 0 0 0 120<i>线性代数课件</i>f ( x1 , x2 , x3 , x4 )正定的充要条件是t 1 1 t 1 2 t 0, t 1 0, 1 t 1 (t 2)(t 1) 2 0 1 t 1 1 t A (t 2)(t 1) 02由此解得t 2,即t取开区间(2, )内的值时, f ( x1 , x2 , x3 , x4 )正定.。
二次型习题
d 1 T ' BT C ' AC
d2 dr 0
D 0
考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况，
共计r+1个合同类.但秩r又分别取n，n-1，…，2,1,0， 故共有
1 2 3 n ( n 1) ( n 1 )( n 2 ) 2 个合同类
2 2
( a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n )( b 1 x 1 b 2 x 2 b n x n )
总之，f ( x
1
, x 2 , , x n )
可表成两个一次齐次式的乘积.
.
6.设A是实对称矩阵.证明：当实数t充分大之后，
tE+A是正定矩阵.
12 22
a a
s2
2n a sn
1n
的秩.
证:
f
(a
i1
s
i1
x 1 a in x n )
2
s
i 1
a i1 x1 a x i 2 (a , , a ) 2 in ( x1 , , x n ) i1 a in xn
f ( x 1 , x 2 , , x n ) ky 1
2
秩为1.
2) 若上式右边的两个一次式系数不成比例，设
a1 b1 a2 b2
.
y a x a x a x 1 1 2 2 n n 1 y 2 b1 x 1 b 2 x 2 b n x n y x ( i 3, , n ) i i
二次型习题
由定理56及定理57可知 若A为正 定矩阵 则正惯性指标pn 即A~In 反之 若A~In 则A正定 即存在非奇 异矩阵C 使ACTInCCTC 此时|A||C|20
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定理58(正定性判别法) 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵C 使ACTC 即A合同于单位矩阵 推论1(用惯性指标判别正定性) 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指标pn 推论2 如果A为正定矩阵 则|A|0
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定理56 设A为正定矩阵 如果A~B 则B也是正定矩阵 定理57(对角矩阵正定性判别法) 对角矩阵
d1 d2 D dn
为正定矩阵的充分必要条件是 di0(i1 2 n)
《线性代数》 (第四版)教学课件
123201002????????a的顺序主子式为1112121?22?2?12nnnnnnaaaaaaaaa??????????a???1112121?22?2?12kkkkkkkaaaaaaaaaa???k12???na11212204?aa3a?8线性代数第四版教学课件首页上一页下一页结束定理510正定性的判别法矩阵aaijnn为正定矩阵的充分必要条件是a的所有的顺序主子式都大于零即ak0k12???n
定理56 设A为正定矩阵 如果A~B 则B也是正定矩阵
证 由A~B可知 存在非奇异矩阵C 使CTACB
令xCy |C|0 对任意y0均有x0 因此 yTBy yTCTACy(Cy)TA(Cy) xTAx0 (因A为正定矩阵) 即B是正定矩阵
《线性代数》 (第四版)教学课件
行列式
|A 3||A|8
a11 a12 a1k a a a2k | Ak | 21 22 (k1 2 n) a k1 a k 2 a kk
第四章 二次型真题
第四章 二次型99103 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 .设A 是n 阶矩阵，A ≠0, A * 为A 的伴随矩阵， E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值λ, 则2( *) A E +必有特征值 .95108 设三阶实对称矩阵A 的特征值为对应于的特征向量为求A .02103 填空题已知实二次型222123123121323,,)()444f x x a x x x x x x x x x =+++++(x 经正交变换可化成标准形21f =6y ，则a = 202203 填空题矩阵022222222A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是 404304 填空题二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为 2 。
9503 已知二次型（1）写出二次型f 的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵01103 选择题设1111111111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，4000000000000000B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 与B (A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 不合同但相似； (D) 不合同且不相似。
[ A ] 02303 选择题设A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()1'PAP -属于特征值λ的特征向量是（A ）1P-α； (B) 'P α； (C)P α； (D)()1'P -α。
[ B ] 03404 选择题设矩阵001010100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知矩阵A 相似于B ，则()2R A E -与()R A E -之和等于(A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5。
[ C ]01108 计算题 已知3阶矩阵A 与3维向量x ，使得向量组2 A A x,x,x 线性无关，且满足32 32A A A -x =x x（1）记()2 PA A =x,x,x ，求3阶矩阵B ，使得1A PBP -=；（2）计算行列式A E+。
二次型练习题
二次型习题一、填空题1. 实二次型222123123121323(,,)33222f x x x x x x x x x x x x =++++-的矩阵为 ．2. 二次型()2111,,nn i i j i i j n f x x x x x =≤<≤=+∑∑的矩阵为 。
3. 二次型22212312323(,,)22f x x x x x x x x λμ=+++是正定的充分必要条件是λ与μ满足 。
4. A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20001011k k 是正定阵，则k 满足条件__________________。
5. 实对称n 阶半正定矩阵A 的秩为n r <，则二次型AX X T 的规范形为 。
6. 实二次型()112323132(),,541433x f X x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为 。
7. n 阶实对称矩阵A 正定，则二次型AX X T 的规范形为 .8. 二次型()()n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x f 12321312121222222),(-++++++++= 的矩阵为 。
二、选择题1. 设A 是实对称矩阵，二次型()AX X X f '=正定的充要条件是（ ）。
（A)0>A ； （B ）负惯性指数为0 ；（C ）A 的所有主对角线上的元素大于0； （D ）存在可逆矩阵C ，使C C A '=2. 设A 是任意实矩阵,那么二次型()AX A X x f ''=必是（ ）．A 、半正定;B 、半负定;C 、正定；D 、负定;3. 实方阵A 为正定阵，则下列结论正确的是（ ）.A. 0||>AB. 0||<AC. 0||=AD. 不确定4. 已知二次型AX X x x x f T =),,(321通过正交线性替换化为标准形22212y y -，则矩阵A （ ).A 。
高等代数_二次型的考研真题
而两实对称阵合同的充要条件是它们有相同 的秩和符号差（或是正负惯性指数相同）Th11.8 结论：而两实对称阵合同的充要条件是它们各自 正特征根，负特征根的个数是相等的（或是秩相 等，正特征根个数相等）。
结论：而两实对称阵合同的充要条件是它们各自 正特征根，负特征根的个数是相等的。
1 2 3、练习：与 在实数域上合同的矩阵是 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 (A) (B) (C) (D) ； ； ； 1 2 1 2 1 2 2 1
1 1 1 4 0 1 1 1 0 0 ,B 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 讨论A，B的相似和合同关系
1 1 3、A 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 练习：与 在实数域上合同的矩阵是 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 (A) (B) (C) (D) ； ； ； 1 2 1 2 1 2 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0
考研真题 1、f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x 5 x cx 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
的秩为2 (1)求c及其二次型矩阵的特征值 (2) f 1表示何种二次曲面。 2、设A为m阶实对称矩阵且正定， B为m n实矩阵，证明 BT AB为正定阵 RankB n
阶实对称阵正定的特征值全大于2981016对于阶实对称矩阵有正交矩阵使得的特征根而两实对称阵合同的充要条件是它们有相同的秩和符号差或是正负惯性指数相同th118结论
n 阶实对称阵 A正定 A的特征值全大于0.
由P298 Th10.16， 对于n阶实对称矩阵A, 有正交矩阵T , 使得 1 1 . T 1 AT T T AT n 1 , , n为A的特征根
有关矩阵,二次型相关习题
有关矩阵，二次型相关习题
1.设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且
（1）求A的所有特征值与特征向量；
（2）求矩阵A。
2.设二次型f(x1,x2,x3=ax12+ax22+(a-1x32+2 x1 x3-2 x2 x
3.
（1）求二次型f的矩阵的所有特征值；
（2）若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。
3.设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=（1，-1，1）T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵。
（1）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
（2）求矩阵B。
4.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（-1，2，-1）T，α2=（0，-1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。
（1）求A的特征值与特征向量；
（2）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。
5.设矩阵A=，P=，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵。
6.设矩阵A=，其行列式|A|=-1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=（-1，-1，1）T，求a,b,c和λ0的值。
线性代数相似矩阵与二次型练习题
线性代数相似矩阵与二次型练习题基础练习1.(1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1. 4.已知三维向量空间中，12(111),(121)T T αα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基. 5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵.4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A ，B 分别为m 阶，n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵00A C B ⎛⎫=⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz =---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A ，B 是否相似 11100111100,111100n A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭参考答案基础练习 1.[,]cos ||||||||4262αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略. 4. 设3123()0T x x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫ ⎪-=---=-- ⎪ ⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。
《高等代数(二次型与线性空间部分)》
数学系05级《高等代数（二次型与线性空间部分）》试题及答案（2006年3月27日，满分：120分）命题人：胡付高一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）１．若向量组12,,,s ααα 与向量组12,,,t βββ 都线性无关，则12,,,s ααα ,12,,,t βββ 也线性无关； （×）2．n 维线性空间V 中任何n 个线性无关的向量都是V 的一组基； （√）3．对n 维线性空间V 中任何非零向量α，在V 中一定存在1n -个向量121,,,n βββ- ，使得 1121,,,,n αβββ- 作成V 的一组基； （√）4．三个子空间123,,V V V 的和123V V V ++为直和的充要条件是{}1230V V V ⋂⋂=； （×）5．把复数域看成实数域R 上的线性空间，它与2R 是同构的； （√）6．线性空间V 的两组基12,,,n ααα 到12,,,n βββ 的过渡矩阵是可逆的； （√）7．V 的任意两个子空间的交12V V ⋂与并12V V ⋃都是V 的子空间； （×）8．集合{},0n n W A A P A ⨯=∈=作成n n P ⨯的子空间； （×） 9．实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负； （×）10．设n 元实二次型的正负惯性指数分别为,s t ，则必有s t n +≤． （√）二、填空题（每小题2分，共20分）1．如果11dim V m =，22dim V m =，123dim()V V m +=，则12dim()V V ⋂=123m m m +-．2．两个有限维线性空间1V 、2V 同构的充分必要条件是12dim dim V V =．3．两个复对称矩阵合同的充分必要条件是 它们的秩相等 ．4．设实二次型的秩为r ，负惯性指数为q ，符号差为m ，则r 、q 、m 的关系是2r m q =+．5．22⨯级实对称矩阵的所有可能的规范型是：001010101010,,,,000000010101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6．设基12,,,n ααα 到基12,,,n βββ 的过渡矩阵是A ，而基12,,,n βββ 到基12,,,n γγγ 的过渡矩阵是B ，则12,,,n γγγ 到12,,,n ααα 的过渡矩阵是11B A --．7．已知,,αβγ为线性空间V 的三个线性无关的向量，则子空间(,)(,)L L αββγ+的维数为 3 ．8．若1212dim()dim dim V V V V +=+，则12V V ⋂={}0． 9．设三维线性空间V 的基123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵为111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，向量η在基123,,βββ下的坐标为(1,2,3)，在η在基123,,ααα下的坐标为(4,2,0)．10．n 元实二次型2221212(,,,)(1)(2)()n nf x x x a x a x a n x =-+-++- 正定的充分必要条件是 常数a 满足a n >．三、简述下列定义（共12分）1．n 级矩阵A 、B 合同：如果存在可逆矩阵C ，使得'B C AC =2．子空间的和12V V +={}12,1,2i i V i ααα+∈=3．生成子空间123(,,)L ααα={}112233,1,2,3i k k k k P i ααα++∀∈=4．子空间的直和：12V V +中每个向量α的分解式12ααα=+（,1,2i i V i α∈=）是唯一的．四、（10分）设β可由12,,,r ααα 线性表出，但不能由121,,,r ααα- 线性表出，证明：121121(,,,,)(,,,,)r r r L L αααααααβ--= ．证明 只需证明向量组{}121,,,,r r αααα- 与{}121,,,,r αααβ- 等价：易知{}121,,,,r αααβ- 可由与{}121,,,,r r αααα- 线性表示，另一方面，由于β可由12,,,r ααα 线性表出，故有1122r r k k k βααα=+++ ，且0r k ≠，（否则β可121,,,r ααα- 线性表出，矛盾），于是 11111r r r r r rk k k k k αααβ--=----+ ，因而{}121,,,,r r αααα- 可由{}121,,,,r αααβ- 线性表出，故向量组{}121,,,,r r αααα- 与{}121,,,,r αααβ- 等价，最后不难得到结论．五、（1）讨论：λ取什么值时，二次型2222123123()()x x x x x x λ++-++是正定的．（2）证明当3λ=时，上述二次型是半正定的．（共14分）解 （1）二次型可化为222123121323(1)(1)(1)222x x x x x x x x x λλλ-+-+----，它对应的矩阵是111111111λλλ---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭由二次型是正定的⇔它的矩阵的所有顺序主子式全大于零，可得到10λ->，(2)0λλ->，2(3)0λλ->，它等价于3λ>，即二次型是正定的3λ⇔>．（2）当3λ=时，二次型可化为222121323()()()0x x x x x x -+-+-≥，故二次型是半正定的． 注 对（2）还可以用求二次型标准型的方法得到结论，求得它的正惯性指数为2，负正惯性指数为0．六、设A 、B 是两个固定的n 级矩阵，证明：（1）{},n n W X X P AX XB ⨯=∈=是n n P ⨯的一个子空间； （2）当A B =是主对角元两两互异的对角矩阵时，W 是什么样的子空间，并求W 的维数及一组基（可以只写结果，不必说明理由）．（共14分）解 （1）因为0W ∈，故W φ≠，对,X Y W ∀∈，即AX XB =，AY YB =，得()()A X Y AX AY XB YB X Y B +=+=+=+，于是X Y W +∈，设k P ∈，又由()()()()A kX k AX k XB kX B ===，得到kX W ∈，因此W n n P ⨯的一个子空间；（2）W 是所有n 级对角矩阵作成的子空间，它的一组基可取为1122,,,nn E E E ，dim Wn =．七、设1(1,1,3,7)α=-，2(2,1,0,1)α=-，3(1,1,1,1)α=-，4(1,2,1,0)α=（1）分别写出生成子空间12(,)L αα与34(,)L αα的基和维数；（2）求1234(,,,)L αααα的一组基和维数；（3）求1234(,)(,)L L αααα⋂的维数．（共15分）解 （1）12,αα为12(,)L αα的一组基，34,αα为34(,)L αα的一组基，它们的维数都为2； （2）由12111211111201033011001471100000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换，1234(,,,)L αααα的一组基可取为123,,ααα，故它的维数为3；（3）注意到12341234(,)(,)(,,,)L L L αααααααα+=，由维数公式即得1234(,)(,)L L αααα⋂的维数=2231+-=．八、补充题（共15分，本题得分可以计入总分）设[]n P x 表示数域P 上次数小于n 的多项式及零多项式作成的线性空间，a P ∈．（1）验证{}1()()0,()[]n V f x f a f x P x ==∈是[]n P x 的一个子空间；（2）求1V 的一组基及维数；（3）记2V P =，则2V 也是数域P 上的一个子空间，试证明：12[]n P x V V =⊕． 证明 （1）因为10V ∈，所以1V φ≠，设1(),()f x g x V ∈，k P ∈，则()0,()0f a g a ==，且()()[]n f x g x P x +∈，因此()()0f a g a +=，()0kf a =，故1()()f x g x V +∈，1()k f x V ∈，即1V 是[]n P x 的一个子空间；（2）对()[]n f x P x ∀∈，()f x 一定可以表成形式210121()()()()n n f x c c x a c x a c x a --=+-+-++- （*） 若1()f x V ∈，则0()0f a c ==，即得21121()()()()n n f x c x a c x a c x a --=-+-++- ，注意到 21(),(),,()n x a x a x a ---- 都属于1V ，且线性无关，它们构成了1V 的一组基，1dim 1V n =-；（3）2V 是一个一维子空间，1为它的一组基，由（*）式即得12[]n P x V V ⊆+，故12[]n P x V V =+， 又1212dim()dim []dim dim n V V P x n V V +===+，故12[]n P x V V =⊕． 注 对（2）式也可以用数学分析中Taylor 公式()1()()()!k n k k f a f x x a n ==-∑得到（*）；对（3）也可以设12()f x V V ∀∈⋂，则210121()1()()()n n f x c c x a c x a c x a --=⋅=-+-++- ，比较两端次数得 0,0,1,2,,1i c i n ==- ，即()0f x =，从而{}120V V ⋂=，即12V V +为直和．。
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第四章 二次型99103 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 .980103 设A 是n 阶矩阵，A ≠0, A * 为A 的伴随矩阵， E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值λ, 则2( *) A E +必有特征值 .95108 设三阶实对称矩阵A 的特征值为对应于的特征向量为求A .02103 填空题已知实二次型222123123121323,,)()444f x x a x x x x x x x x x =+++++(x 经正交变换可化成标准形21f =6y ，则a = 202203 填空题矩阵022222222A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是 404304 填空题二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为 2 。
9503 已知二次型（1）写出二次型f 的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵01103 选择题设1111111111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，4000000000000000B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 与B (A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 不合同但相似； (D) 不合同且不相似。
[ A ] 02303 选择题设A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()1'PAP -属于特征值λ的特征向量是（A ）1P-α； (B) 'P α； (C)P α； (D)()1'P -α。
[ B ] 03404 选择题设矩阵001010100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知矩阵A 相似于B ，则()2R A E -与()R A E -之和等于(A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5。
[ C ]01108 计算题 已知3阶矩阵A 与3维向量x ，使得向量组2 A A x,x,x 线性无关，且满足32 32A A A -x =x x（1）记()2 PA A =x,x,x ，求3阶矩阵B ，使得1A PBP -=；（2）计算行列式A E+。
解：（1）设123123123a a a B b b b c c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则由AP PB =，可得 ()()123232123123 a a a A A A A A b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x,x,x x,x,x 上式可写为2111A a b A c A x =x +x +x ① 22222A a b A c A x =x +x +x ② 32333A a b A c A x =x +x +x ③将32 32AA A -x =x x 代入③式，得22333 32A A a b A c A -x x =x +x +x ④由于2 A A x,x,x 线性无关，故由①式可得 1110, 1a c b === 由②式可得 2220, 1a b c ===由④式可得 1330, 3, 2a b c ===-从而，000103012B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（2）由（1）知A 与B 相似，故A E +与B E +相似，从而1001134011A EB E +=+==--99108 设矩阵，其行列式，又A 的伴随矩阵* A 有一个特征值属于的一个特征向量为，求的值.01309 01409 计算题设矩阵111111a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，112⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭β。
已知线性方程组A =βx 有解但不惟一，试求：（1）a 的值；（2）正交矩阵Q ，使'Q AQ 为对角矩阵。
解法1（1）对线性方程组A =βx的增广矩阵作行初等变换，有()()()111111 111011011200122a a A a a aa a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭β因为方程组A =βx 有解但不惟一，所以()() 3RA R A =<β，故2a =-。
（2）由（1），有112121211A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，A 的特征多项式为 ()()33E A λλλλ-=-+，A 的特征值为13λ=，23λ=-，30λ=.对应的特征向量依次是()11,0,1'=-α，()21,2,1'=-α，()31,1,1'=α，将123,,ααα单位化，得1'=β，2'=β，3'=β 令Q ⎛ = ⎝，则有3'30Q AQ ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭解法2（1）因线性方程组AX=β有解但不惟一，所以()()2112121120211A a a -=-=--+=- 当1a=时，()() R A R A ≠β，此时方程组无解；当2a =-时，()() R A R A =β，此时方程组的解存在但不惟一，于是2a =-（2）同解法（1）01308 计算题设A 为n 阶实对称矩阵，秩()A n =，ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(),1,2, ... ,i j n =，二次型()1211,, ... ,nnij n i ji j A f x x x x x A===∑∑，（1）记()12,, ... ,'n x x x =x ，把()12,, ... ,n f x x x 写成矩阵形式，并证明二次型()f x 的矩阵为1A -；（2）二次型()gA =x x'x 与()f x 的规范型是否相同，说明理由。
解法1 （1）二次型()12,, ... ,n f x x x 的矩阵形式为()()11211112222212121,, ... ,n n n nnnn n A A A x A A A x f x x x A A A A x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x .因()R A n =，故A 可逆，且1*1A A A-=，从而()()111''A A A ---==，故A 的逆也是实对称矩阵，因此二次型()f x 的矩阵为1A -。
（2）因为()()1111''A AA A E A ----==则A 与1A -合同，于是，()f x 与()g x 必有相同的规范型。
解法2 （1）同解法1 （2）对二次型()gA =x x'x 作可逆线性变换1A -x =y ，其中()12,, ... ,'n y y y y =()()()111'g A A A A A ---==x x'x =y y y'y由此可知，A 与1A -合同，于是，()f x 与()g x 必有相同的规范型。
02107 02308计算题设A 为3阶实对称矩阵，且满足条件22A A O +=，已知A 的秩()2R A =。
（1） 求A 的全部特征值；（2） 当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵。
解法1 （1）设 λ为A 的一个特征值，对应的特征向量为α，则,A λ=αα（≠αο），22A λ=αα，于是 22(2)(2)A A λλ+=+αα由条件22A A O +=，推知 2(2)λλ+=αο.又由于≠αο，故有 220λλ+=，解得 2,0λλ=-=，因为实对称矩阵A 必可对角化，且()2R A =，所以A ～220-⎛⎫⎪-=Λ ⎪ ⎪⎝⎭因此，矩阵A 的全部特征值为12320λλλ==-=，（2）矩阵A kE +仍为实对称矩阵，由（1）知，A kE +的全部特征值为2,2,k k k -+-+于是，当2k >时矩阵A kE +的全部特征值大于零。
因此，矩阵A kE +为正定矩阵解法2 （1）同解法1（2）实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P ，使得 1P AP -=Λ 或 1A P P -=Λ于是11A kE P P kPP --+=Λ+1()P kE P -=Λ+，所以 A k E k E +Λ+ ，而22k k E k k -⎛⎫⎪Λ+=-⎪ ⎪⎝⎭，kE Λ+为正定矩阵，只需其顺序主子式均大于0，即k 需满足20k ->，()220k ->，()220k k ->，因此，当2k >时，矩阵A kE +为正定矩阵。
02408 计算题设实对称矩阵1111,11a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角形矩阵，并计算行列式A E -的值。
解 矩阵A 的特征多项式21111(1)(2)11aE A a a a a λλλλλλ---⎛⎫ ⎪-=--=---+ ⎪ ⎪--⎝⎭由此得矩阵A 的特征值1231,2a a λλλ==+=-对于特征值121,a λλ==+可得对应的两个线性无关的特征向量12(1,1,0)', (1,0,1)'==αα对于特征值32a λ=-，可得对应的特征向量 3(1,1,1)'=-α 令矩阵()1231111101,10112a Pa a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==Λ=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则1112a P AP a a -+⎛⎫⎪=Λ=+ ⎪ ⎪-⎝⎭11A E P P PP ---=Λ-1P E P -=⋅Λ-⋅0000003a aa =-()23a a =-03110 计算题设矩阵322232223A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，010101001P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，P A P B *1-=，求2B E +的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.解法1： 经计算可得*522252225A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ， P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007.从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ，)3()9(522472009)2(2--=---=+-λλλλλλE B E ，故2B E +的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解()()92E B E -+=x o ，得线性无关的特征向量为 111,0-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦η 220,1-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦η 所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为112212121001k k k k --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数.当33=λ时，解()()32E B E -+=x o ，得线性无关的特征向量为 3011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦η， 所以属于特征值33=λ的所有特征向量为333011k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦η，其中03≠k 为任意常数. 解法2：设A 的特征值为λ，对应特征向量为η，即A λ=ηη. 由于07≠=A ，所以.0≠λ又因E A A A =*，故有 *AA λ=ηη于是有11*11()()()AB P P A P P P λ----==ηηη，11(2)2A B E P P λ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ηη因此，2+λA为2B E +的特征值，对应的特征向量为1P -η。