初三数学总复习讲座(七)圆_3

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九年级数学上学期期中考点大串讲(人教版)：圆

弦，但弦不一定是直径.
B
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B
3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，
(
简称弧．以A、B为端点的弧记作 AB ，
读作“圆弧AB”或“弧AB”．
➢半圆
·O
C
A
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成
两条弧，每一条弧都叫做半圆．
B
·O
➢劣弧与优弧
(
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
(
大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.
人教版九年级上册
第24章圆
【十二大考点串讲+素养提升】
思维导图
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考点一、与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
A
C
·
O
注意
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的
2
2
∴ OE=OF
又∵ AB=CD，
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考点五、圆周角及其定理、推论
1.概念：在圆中，除圆心角外，还有一类角(如图中的∠ACB)，它的
顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
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2.圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
AB=CD
(3)如果∠AOB=∠COD，那么_______，_______.
(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，
OE与OF相等吗？为什么？
解：OE=OF.理由如下： ∴ AE=CF

(完整版)初三数学圆知识精讲首师大版

初三数学圆知识精讲一. 本周教学内容:圆1。

圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆. 2。

主要定理：（1）垂径定理及其推论。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.（3)圆周角定理、弦切角定理及其推论。

(4）圆内接四边形的性质定理及其推论。

（5）切线的性质及判定。

(6）切线长定理。

（7）相交弦、切割线、割线定理。

（8)两圆连心线的性质,两圆的公切线性质。

(9)圆周长、弧长;圆、扇形，弓形面积.（10)圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。

（11）正n边形的有关计算。

圆这一章中的知识点包括5个B级，13个C级，3个D级水平的共21个知识点,多数要求掌握或灵活运用，所以圆这部分的知识非常重要。

二. 中考聚焦：圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。

三。

知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪圆的有关性质圆的定义点和圆的位置关系（这是重点）不在同一直线上的三点确定一个圆圆的有关性质轴对称性—垂径定理（这是重点）旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆心角定理圆周角定理（这是重点）圆内接四边形（这是重点）⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质（这是重点）切线的判定（这是重点）弦切角（这是重点）和圆有关的比例线段（这是重点难点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪正多边形和圆正多边形和圆正多边形定义正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算圆周长、弧长（这是重点）圆、扇形、弓形面积（这是重点）圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪【典型例题】例1。

九年级数学中考第一轮复习—圆北师大版知识精讲

九年级数学中考第一轮复习—圆北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：复习九：圆1. 圆的有关概念和性质．2. 点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系及其判定．3. 两圆相切、相交的性质．4. 弧长、扇形面积的计算公式．5. 圆锥的侧面展开图．二、知识要点：1. 圆的对称性圆是旋转对称图形，中心为圆心，它既是轴对称图形又是中心对称图形．由于圆的旋转对称性，所以在一个圆中，圆心角、弦、弧这三组量如果有一组量相等，则其余两组量也相等（如图①所示）．由于圆的轴对称性，所以沿直径所在直线折叠，左右两部分重合，同时圆的轴对称性与等腰三角形有着密切的关系（如图②所示）．①②③④2. 和圆有关的结论半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆（如图③所示）．在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等（如图④所示）．3. 与圆有关的位置关系点和圆的位置关系有：点在圆外、在圆上和在圆内（如图⑤所示）；直线和圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交（如图⑥所示）；OABC⑤圆的圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含（如图⑦所示）．从量的角度描述以上三种位置关系，都用半径和距离做比较．4. 三角形的内心，外心不在同一直线上的三点确定一个圆．三角形的外心是三边垂直平分线的交点．（如图⑧所示）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心叫做三角形的内心．三角形内心是三角形三条角平分线的交点．（如图⑨所示）⑨⑧OAB C5. 直线和圆相切定义：直线与圆有唯一交点，这时我们称直线与圆相切．性质：圆的切线垂直于过切点的半径．判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长：切线上的一点与切点之间线段的长叫做切线长．切线长性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．6. 弧长和扇形面积如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么弧长公式为l＝nπr180．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．如果设圆心角是 n的扇形的面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积公式为S＝nπr2360或S＝12lr（l为扇形的弧长）．7. 圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，扇形圆心角的度数为n°，则有πrl＝nπl2360，2πr＝nπl180．三、重、难点：重点要掌握圆的基本性质、与圆有关的位置关系，圆中的计算问题．难点是切线的性质和判定，圆与四边形、三角形的综合问题．四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年全国各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解题、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分．所考查的知识点通常有：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似三角形、三角函数的综合运用．【典型例题】例1. 选择题（1）如图所示，量角器外缘边上有A 、P 、Q 三点，它们所表示的读数分别是180°， 70，30°，则∠PAQ 的大小为（）1020304050607080901001101201301401501601701800APQA ．10°B ．20°C ．30°D ．40°解析：设量角器的圆心角为O ，连接PO ，QO ，知∠POQ ＝70°－30°＝40°，而∠PAQ 为︵PQ 所对的圆周角，为∠POQ 的一半，所以∠PAQ ＝12∠POQ ＝12×40°＝20°．（2）一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（） A ．9πB ．18π C ．27πD ．39π解析：设圆锥的母线为R ，底面圆的半径为r ，则180πR180＝2πr ，∴R ＝2r ，∵R 2＝r 2＋（33）2，即（2r ）2＝r 2＋27，∴r ＝3，R ＝6，∴S 侧＝180π×62360＝18π．故选B ．（3）如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC 为正方形，顶点A 、C 在坐标轴上，以边AB 为弦的⊙M 与x 轴相切，若点A 的坐标为（0，8），则圆心M 的坐标为（）A ．（4，5）B ．（－5，4）C ．（－4，6）D ．（－4，5）①②解析：如图所示，作ME ⊥x 轴于点E ，并反向延长交AB 于点D ，连接MA ，∵点A（0，8），∴DE ＝AB ＝8，∴AD ＝12AB ＝4．∵⊙M 与x 轴相切，∴点E 是切点，OE ＝AD＝4，MA ＝ME ．∵在Rt △ADM 中，MD 2＋AD 2＝MA 2，∴（8－ME ）2＋42＝ME 2，∴ME ＝5，∴点M （－4，5），故选D ．例2. 填空题（1）如图所示，将边长为8cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD 的中心经过的路线长是__________cm ．lABCD(A)(D)…解析：依题意，知正方形ABCD 的中心经过的路线长为3个14圆弧长，其半径为42，利用弧长公式可得三段弧长之和为62π，即正方形ABCD 的中心经过的路线长是62πcm ．（2）如图所示，AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°．给出以下五个结论：①∠°；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧︵AE 是劣弧︵DE 的2倍；⑤AE ＝BC ．其中正确的结论的序号是__________．解析：连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠°，BD ＝DC ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠ABE ＝90°－∠BAC ＝45°，∴∠°．在△ABE 中，∵∠ABE ＝∠A ，∴AE ＝BE ，而BE ＜BC ，∴AE ＜BC ，AE ≠2EC ．∵∠ABE ＝2∠EBC ，∴劣弧︵AE 是劣弧︵DE 的2倍．因此正确结论的序号是①②④．（3）已知⊙O 的半径等于5cm ，弦AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，且AB ∥CD ，则AB 、CD 之间的距离为__________．①②解析：由于圆是一个轴对称图形，弦AB 与CD 位置有两种，如图①和②．在图①中，连接OA 、OC ，作OF ⊥CD 于F ，交AB 于E ，则AE ＝12AB ＝3（cm ），CF ＝12CD ＝4（cm ），由勾股定理得OE ＝OA 2－AE 2＝52－32＝4，OF ＝OC 2－CF 2＝52－42＝3，所以EF ＝OE －OF ＝4－3＝1（cm ），同理在图②中，EF ＝OE ＋OF ＝4＋3＝7（cm ）．故AB 、CD 之间的距离为1cm 或7cm ．例3. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CB 是弦，OD ⊥CB 于E ，交︵CB 于D ，连接AC ．（1）请写出两个不同类型的正确结论；（2）若CB ＝8，ED ＝2，求⊙O 的半径．ABCDE O解：（1）不同类型的正确结论有：①BE ＝CE ；②BD ＝CD ；③∠BED ＝90°；④∠BOD ＝∠A ；⑤AC ∥OD ；⑥AC ⊥BC ；⑦OE 2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC ·OE ；⑨△BOD 是等腰三角形；⑩△BOE ∽△BAC 等等．（注：BE ＝CE 与BC ＝2BE 或CE ＝12BC 是同一类型，以上任取两个类型结论即可）（2）∵OD ⊥CB ，∴BE ＝CE ＝12CB ＝4．设圆半径等于R ，则OE ＝OD －DE ＝R －2，在Rt △OEB 中，由勾股定理得，OE 2＋BE 2＝OB 2，即（R －2）2＋42＝R 2，解得R ＝5， ∴⊙O 的半径为5．评析：在运用垂径定理解决圆的弦长问题时，一般要利用弦的一半、半径和圆心到这条弦的距离这三个量构成的直角三角形，应用勾股定理列方程求解．例4. 如图所示，A 是以BC 为直径的⊙O 上的一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF ＝EF ；（2）求证：PA 是⊙O 的切线．CP证明：（1）∵BC 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的切线，∴EB ⊥BC ．又∵AD ⊥BC ，∴AD ∥BE ，∴△BFC ∽△DGC ，△FEC ∽△GAC ， ∴BF DG ＝CF CG ，EF AG ＝CF CG ，∴BF DG ＝EF AG ， ∵G 是AD 的中点，∴DG ＝AG ， ∴BF ＝EF ．OABCD E FGP（2）连接AO 、AB ．∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°．在Rt △BAE 中，由（1）知F 是斜边BE 的中点， ∴AF ＝FB ＝EF ． ∴∠FBA ＝∠FAB ．又∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ． ∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBO ＝90°，∴∠EBO ＝∠FBA ＋∠ABO ＝∠FAB ＋∠BAO ＝∠FAO ＝90°， ∴PA 是⊙O 的切线．评析：证明一直线是圆的切线时，常用到“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这一方法．具体应用时又有两种不同的辅助线作法：①已知点在圆上（即点经过半径的外端），此时连接该点和圆心证垂直（如本例）．②不知点是否在圆上，常过圆心引该直线的垂线，证明垂线段等于半径．例5. 如图所示，△ABC 内接于⊙O ，点D 在半径OB 的延长线上，∠BCD ＝∠A ＝30°．（1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若⊙O 的半径长为1，求由弧BC ，线段CD 和BD 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）分析：可以直观地判断直线CD 与⊙O 相切．理由就是想办法证明OC ⊥CD ，根据∠BCD ＝∠A ＝30°可以判断△OBC 是正三角形，可求出∠OCD ＝90°，从而得到证明．至于阴影部分的面积可以利用间接法求得，即求出Rt △OCD 的面积，再减去扇形OBC 的面积．解：直线CD 与⊙O 相切，理由如下：在⊙O 中，∠COB ＝2∠CAB ＝2×30°＝60°．又∵OB ＝OC ，∴△OBC 是正三角形， ∴∠OCB ＝60°．又∵∠BCD ＝30°，∴∠OCD ＝60°＋30°＝90°． ∴OC ⊥CD ．又∵OC 是半径，∴直线CD 与⊙O 相切．（2）由（1）得△COD 是直角三角形，∠COB ＝60°． ∵OC ＝1，∴CD ＝3．∴S △COD ＝12OC ·CD ＝32．又∵S 扇形OCB ＝16π，∴S 阴影＝S △COD －S 扇形OCB ＝32－16π＝633π-．【方法总结】1. 利用垂径定理进行证明或计算，通常利用半径、圆心距和弦的一半组成的直角三角形求解．由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况，所以利用垂径定理计算时，不要漏解．2. 证明直线与圆相切，一般有两种情况（1）已知直线与圆有公共点，这时连接圆心与公共点的半径，证明该半径与已知直线垂直．（2）不知直线与圆有公共点，这时过圆心作与已知直线垂直的线段，证明此垂线段的长与半径相等．【预习导学案】（复习十：图形变换）一、预习前知1. 什么是轴对称，什么是中心对称？2. 什么是图形的平移和旋转？3. 什么叫相似形？二、预习导学1. 轴对称图形的性质有：____________________；中心对称图形的性质有：____________________．2. 平移的特征是__________，旋转的特征是__________．3. 相似三角形的性质有哪些？如何判定两个三角形相似？反思：（1）图形变换有哪些？（2）如何利用锐角三角函数求出直角三角形中的未知元素？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等．A. ①②③B. ③④⑤C. ①②⑤D. ②④⑤2. 如图所示，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF等于（）A. 80°B. 50°C. 40°D. 20°3. 如图所示，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形纸片的圆心角度数是（）A. 150°B. 200°C. 180°D. 240°9cm10cm4. 如图所示，已知线段AB＝8cm，⊙P与⊙Q的半径均为1cm．点P、Q分别从A、B出发，在线段AB上按箭头所示方向运动．当P、Q两点未相遇前，在下列选项中，⊙P与⊙Q不可能出现的位置关系是（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含A B5. 如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（）A. 2 2B. 4C. 2 3D. 5A6. 如图所示，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合．将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点F 重合为止．设∠POF ＝x °，则x 的取值X 围是（）A. 30≤x ≤60B. 30≤x ≤90C. 30≤x ≤120D. 60≤x ≤120CE*7. 如图所示，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是⊙A 上一点，且△EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是（）CA. 4－π9B. 4－8π9C. 8－4π9D. 8－8π9**8. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（）A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°二、填空题1. 如图所示，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A 、B 间的距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm 、16cm ，则两车轮的圆心相距__________．2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连结AC 、AD ．若∠CAB ＝35°，则∠ADC 的度数为__________．AB3. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为︵BC 上一点，若∠CEA ＝28°，则∠ABD ＝__________．AB4. 如图所示，A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是︵AB 的中点，CD 交OB 于E ，∠AOB ＝100°，∠OBC ＝55°，∠OEC ＝__________度．5. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为G ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长是__________．6. 如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使BP ＝12AB ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是︵AC 上和点C 不重合的一点，则∠D 的度数为__________．AP7. 如图所示，已知点E 是⊙O 上的点，B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点，∠BOC ＝ 46，则∠AED 的度数为__________．**8. 如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝__________．P三、解答题1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．（1）求证MN是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝120°，AB＝2，求图中阴影部分的面积．C30．2. 如图所示，已知在⊙O中，AB＝43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于点F，∠A＝（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．*3. 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．**4. 如图所示，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A时立即停止运动．（1）如果∠POA ＝90°，求点P 运动的时间；（2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB ＝OA ，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线BP 与⊙O 的位置关系，并说明理由．B【试题答案】一、选择题 1. B2. D 【连接OF ，∵⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∴︵ED ＝︵DF ，∴∠EOD ＝∠DOF ，∴∠DCF ＝12∠DOF ＝20°．】3. B 【圆锥模型侧面展开扇形纸片的弧长是2πr ＝2π×102＝10π（cm ），由弧长公式l ＝n πR 180得10π＝n π×9180，n ＝200°】 4. D 5. A 【连接OA 、OB ，∵∠C ＝45°，∴∠AOB ＝90°，∴在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝22】 6. A 【∵当B 点与O 点重合时，∠POF ＝30°；当B 点与E 点重合时，∠POF ＝2×30°＝ 60，∴30≤x ≤60，故选A 】7. B 【连接AD ，因为BC 为⊙A 的切线，D 为切点，所以AD ⊥BC ．又由∠BAC ＝2∠EPF＝2×40°＝80°，∴S 扇形EAF ＝80π×22360＝89π，∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形EAF ＝12×BC ×AD －89π＝4－89π】8. C 【∵I 为△ACD 内切圆圆心，∴∠IAC ＝12∠BAC ，∠ICA ＝12∠ACB ，∵CD ⊥AB ，∴∠BAC ＋∠ACD ＝90°，∴∠IAC ＋∠ICA ＝45°，∴∠AIC ＝135°．∵AB ＝AC ，且⊙I 与AB 、AC 相切，∴∠BAI ＝∠CAI ，∴△AIB ≌△AIC ，∴∠AIB ＝∠AIC ＝135°】ABC二、填空题1. 100cm 【如图所示，作O 1C ⊥O 2B 于C ，在Rt △O 1O 2C 中，O 1C ＝AB ＝80cm ，O 2C ＝O 2B－O 1A ＝1362－162＝60cm ，由勾股定理得O 1O 2＝100cm 】ABO 1O 2C2. 55°【连结BC ，∠ADC ＝∠ABC ＝90°－∠CAB ＝55°】3. 28°4. 80【由题意知∠BCD ＝25°，∠OEC ＝∠B ＋∠BCD ＝80°】5. 4【连结CE ，∵CF ＝2，∴CG ＝4，∴FD ＝6．又∵△ADF ∽△CEF ，∴AF CF ＝FDEF，∴EF ＝2×63＝4】6. 30°【连接OC ，则BC ＝12OP ＝OB ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠D ＝30°】7. 69°【∵B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点，∴︵AB ＝︵BC ＝︵CD ．又知∠BOC ＝46°，∴∠AOD ＝3×46°＝138°，∴∠AED ＝12∠AOD ＝69°】8. 6【设大圆圆心为点O ，作连心线交AB 于点E ，根据圆的对称性△OAE 为直角三角形，则OA 2＝（PE －OP ）2＋（12AB ）2，即52＝（AB ＋3－5）2＋（12AB ）2，解得AB ＝6】P三、解答题1.（1）证明：连接OM ．证OM ∥AC ．（2）连接AM ．由题意可得OM ＝1，MB ＝MC ＝3，MN ＝32，＝32，AN ＝AC －＝2－32＝12，S 梯形ANMO ＝（AN ＋OM ）·MN 2＝383，S 扇形OAM ＝60π·12360＝π6，∴S 阴影＝93－4π24． 2.（1）解法一：如图①所示，过O 作OE ⊥AB 于点E ，则AE ＝12AB ＝23．在Rt △AEO中，∠BAC ＝30°，cos30°＝AE OA ．∴OA ＝AEcos30°＝4．又∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝30°．∴∠BOC ＝60°．∵AC ⊥BD ，∴︵BC ＝︵CD ．∴∠COD ＝∠BOC ＝60°．∴∠BOD ＝120°．∴S 阴影＝n π·OA 2360＝120360π·42＝163π．解法二：如图②所示，连结AD ．∵AC ⊥BD ，AC 是直径．∴AC 垂直平分BD ．∴AB ＝AD ，BF ＝FD ．∵︵BC ＝︵CD ，∴∠BAD ＝2∠BAC ＝ 60，∴∠BOD ＝120°．∵BF ＝12AB ＝23，sin60°＝AF AB ，AF ＝AB ·sin60°＝43×32＝6．∴OB 2＝BF 2＋OF 2，即（23）2＋（6－OB ）2＝OB 2．∴OB ＝4．∴S 阴影＝13S 圆＝163π．解法三：如图③所示，连结BC ．∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°．∵AB ＝43，∴AC ＝AB cos30°＝4332＝8．∵∠A ＝30°，AC ⊥BD ，∴∠BOC ＝60°，∴∠BOD ＝120°．∴S 阴影＝120360π·OA 2＝13×42·π＝163π．①②③（2）设圆锥的底面圆半径为r ，2πr ＝120180π·4．解得r ＝43．3.（1）连结OA ．∵DA 平分∠BDE ，∴∠BDA ＝∠EDA ．∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠OAD ＝∠EDA ，∴OA ∥CE ．∵AE ⊥DE ，∴∠AED ＝90°，∴∠OAE ＝∠DEA ＝90°．∴AE ⊥OA ．∴AE 是⊙O 的切线．（2）∵BD 是直径，∴∠BCD ＝∠BAD ＝90°．∵∠DBC ＝30°，∴∠BDC ＝60°，∴∠BDE ＝120°．∵DA 平分∠BDE ，∴∠BDA ＝∠EDA ＝60°．∴∠ABD ＝∠EAD ＝30°．在Rt △AED 中，∠AED ＝90°，∠EAD ＝30°，∴AD ＝2DE ．在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ABD ＝30°，∴BD ＝2AD ＝4DE ．∵DE 的长是1cm ，∴BD 的长是4cm ．4.（1）当∠POA ＝90°时，点P 运动的路程为⊙O 周长的14或34．设点P 运动的时间为ts ．当点P 运动的路程为⊙O 周长的14时，2π·t ＝14·2π·12．解得t ＝3；当点P 运动的路程为⊙O 周长的34时，2π·t ＝34·2π·12．解得t ＝9．∴当∠POA ＝90°时，点P 运动的时间为3s 或9s ．（2）如图所示，当点P 运动的时间为2s 时，直线BP 与⊙O 相切．理由如下：当点P 运动的时间为2s 时，点P 运动的路程为4πcm ．连结OP 、PA ．∵⊙O 的周长为24πcm ，∴︵AP 的长为⊙O 周长的16．∴∠POA ＝60°．∵OP ＝OA ，∴△OAP 是等边三角形．∴OP ＝OA ＝AP ，∠OAP ＝60°．∵AB ＝OA ，∴AP ＝AB ．∵∠OAP ＝∠APB ＋∠B ，∴∠APB ＝∠B ＝30°．∴OP ⊥BP ．∴直线BP 与⊙O 相切．OABP。

初三数学第七章圆知识精讲人教版

初三数学第七章圆知识精讲人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第七章圆（二）直线和圆的位置关系［学习目标］1. 理解直线和圆相交、相切、相离的概念，掌握直线和圆的位置关系的性质和判定；2. 掌握切线的判定定理、性质定理和两个推论，并能应用它们证明有关问题；3. 会用尺规作三角形的内切圆，掌握三角形和多边形的内切圆，圆的外切三角形和圆的外切多边形，三角形内心的概念。

［知识回顾］1.2. 切线判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线叫圆的切线。

定理告诉我们：证明圆的切线必须满足2个条件：一是经过半径的外端，也就是直线与圆的那个唯一的交点；二是垂直于这条半径，这就保证了圆心到直线的距离恰好等于圆的半径。

3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

这里让我们抓住一条与切线有关的直线的特征：（1）垂直于切线，（2）经过切点，（3）经过圆心。

简称“两点一垂直”，只要满足其中两个条件必满足另一条件，这就告诉我们：已知圆心、切点只须连结这两点即得到与切线垂直的半径，这是我们常用的辅助线；若没给出切点，我们只要过圆心作切线的垂线，垂足就是切点；若没给出圆心，只须过切点，作切线的垂线则必过圆心，这样我们又学到了给残圆找圆心的一种方法。

4. 三角形的内心是它的内切圆的圆心，它是三个内角平分线的交点。

内心一定在三角形内部，等边三角形的内心与外心重合，等腰三角形的顶点、底边中点和内心、外心四点共线。

【典型例题】例1. 已知等腰△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，在△ABC外有一点D，DE⊥AB于E，且E为AB中点，DE＝1.5，现以D为圆心6为半径画圆，则直线AC、BC、AB与⊙D 的位置关系如何？解：连CE∵∴∵∵∴=+=CD51565..过D作DF⊥AC于F∠=∠∴A C E D C F Rt ACE Rt DCF，∆∆~∴==⋅=⨯==DF AE CDACDFAE CDACr ，1265136.AC⊥OP于C，AC⊥OP AC OP C CAB OBA⊥∴∠+∠=︒于，90＝∠D，代换出例3. 已知：⊙O求证：AB 分析：证明：∵OC ⊥ ∴∠OCB ＝∠ ∵∠B ＝∠ ∴△OCB ∽△ ∴=OC BC ACOC∴OC ＝8＝r ，OC 为半径AB 经过半径OC 外端，且OC ⊥AB ∴AB 为⊙O 的切线此题也可先证明∠BOA ＝90°利用射影定理求OC 。

(完整版)初三数学圆的经典讲义

圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理（选学）圆与圆的位置关系圆的有关计算一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。

如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。

考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

M A B C DOEBC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

九年级圆基础知识点培训课件

即：在⊙ O 中，∵直径 AB CD ， ∴CE 2 AE BE
C
B
OE
A
D
（ 3 ）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这
点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
P
即：在⊙ O 中，∵ PA 是切线， PB 是割线 ∴ PA2 PC PB
A
E D
O
C
B
（ 4 ）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长
即：在⊙ O 中，∵ AB ∥CD ∴弧 AC 弧 BD
C
D
O
A
B
O
E
C
D
B
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，
即：① AOB DOE ；② AB DE ；
dr
有一个交点；
3 、直线与圆相交
dr
有两个交点；
r d
d=r
rd
四、圆与圆的位置关系
外离（图 1 ）
无交点
外切（图 2 ）有一个交点
d R r； d R r；
相交（图 3 ）有两个交点
内切（图 4 ）有一个交点
内含（图 5 ）
无交点
R r d R r； d R r； d R r；
d
R
r
图2
一、圆的概念
圆知识点复习
1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2 、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（中垂线）

初三数学-圆讲解省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

连结圆上任意两点旳线段叫做弦。
A
如图,弦有 AB、BC、AC
B O●
直径是圆中最长旳弦
C
弦心距：圆心到弦旳距离叫做弦心距。
A
曲作线：BC、BBA⌒CC、都是B⌒A⊙CO旳弧分别记
B⌒C、B⌒AC有什么区别？
A
B
一种比半圆大一种比半圆小！
不小于半圆旳弧叫做优弧，不
O●
不小于半圆旳弧叫做劣弧
劣弧有： A⌒B B⌒C
这个以点O为圆心旳圆叫作“圆O”，记为“⊙ O”.
B
C
rr
· r O r
r
A E
1.圆上各点到定点（圆心O）旳距离都等于定长（半径r）
2.到定点（圆心O）旳距离都等于定
D
长（半径r）旳点都在同一种圆上。
圆心为O，半径为r旳圆能够看成是全部到定点旳距离等于定长r旳点旳集合。
我国古人很早对圆就有这么旳认识了，战国时旳《墨经》就有“圆，一中同长也”旳记载．它旳意思是圆上各点到圆心旳距离都等于半径．
• 课后作业： “学生用书”旳“课后作业”部分．
C
半圆有：优弧有： A⌒CB
A⌒BC
B⌒AC
等弧：在同圆或等圆中，能够完全重叠旳弧。
注意：
①线段OA所形成旳图形叫做圆面，而圆是一种封
闭旳曲线图形，指旳是圆周. ②在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要
素，圆心拟定位置，半径拟定大小.
③以点O为圆心旳圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”.那么以点A为圆心旳圆，记作⊙O，读作圆O.
思索：
①“直径是弦，弦是直径”这种说法正确吗？直径是圆中最长旳弦吗？
②“半圆是弧，弧是半圆”这种说法正确吗？③面积相等旳两个圆等圆吗？周长相等旳两个圆呢？

初三数学圆的经典讲义

圆令狐采学目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。

考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔d＜r；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM 是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例2．已知，如图，CD是直径，∠⊙O于B，且AB=OC，求∠A 例3 ⊙O平面内一点P和⊙O为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．【考点速练】1.下列命题中，正确的是（）A ．三点确定一个圆B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆D ．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形 D ．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A BDC O · EA．1个B．2 C．3个D．无数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个B．2个C．3个D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆； D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cm D.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB的延长线于点D ，求CD 的长．12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度拱高CD ＝4cm m 。

初三数学圆知识精讲北师大版

初三数学圆知识精讲北师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：圆［知识体系］1. 点与圆的位置关系，r 表示半径，d 表示点到圆心距离；点在圆外则d ＞r ，点在圆上则d ＝r ，点在圆内则d ＜r 。

2. 直线与圆的位置关系：r 表示半径，d 表示圆心到直线距离，共有相切、相交、相离三种位置关系，当相交时，d ＜r ；当相切时，d ＝r ；当相离时，d ＞r 。

3. 圆与圆的位置关系，两圆半径R 、r ，圆心距为d ，外离时则d ＞R ＋r ，外切时则d ＝R ＋r ，相交时则R －r ＜d ＜R ＋r ，内切时则d ＝R －r ，内含时则d ＜R －r 。

4. 定义：（1）连结圆上任意两点间的部分叫弧；（2）连结圆上任意两点的线段叫做弦；过圆心的弦叫直径；（3）顶点在圆周上，且与两边都相交的角叫圆周角；（4）三角形的三个顶点确定一个圆叫△的外接圆；外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点叫△的外心；（5）与圆有唯一一个公共点的直线叫圆的切线；（6）和三角形的三边都相切的三角形叫△内切圆，其圆心叫△内心。

5. 定理部分：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的直线；（2）①垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； ②平分弦（非直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；（4）①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等；②在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中，有一组量对应相等，则其余各组量对应相等；（5）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径；（6）不在同一直线上的三个点确定一个圆；（7）圆的切线垂直于经过切点的半径；（8）过直径的一端且垂直于直径的直线是圆的切线；（9）两圆相切，连心线必过切点，两圆相交，连心线垂直平分公共弦。

初三数学总复习圆

初三数学总复习圆的有关概念和性质【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．【课前练习】1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）A．60○B．45○ C．30○D．15○2.如图，C是⊙O上一点，O是圆心．若∠AOB=50°，则∠C的度数为（）A．35○B．50○ C．105○D．150○3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A．180° B．15 0° C．135° D．120°4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等于（）A．40○ B．50○ C．65○D．130○5.如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60○，AC＝3，则△ABC的周长是_______6.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸7.如图，在⊙O中，弦AB=1．8m，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于_________cm．8.在半径为1的圆中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数为9.如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AMB上，则∠C的度数是_______.10.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°11.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（）A．30° B．60° C．90° D．120°平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面;(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4,求这个圆形截面的半径.点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r，直线与圆相切⇔d=r，直线与圆相离⇔d＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则①两圆外离⇔d＞R+r；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R＋r；有3条公切线；③两圆相交⇔R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R－r（R＞r）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d＜R—r（R＞r）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点的直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．1.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（）A．．3 D．42.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径 cm．BA．d＞8 B．0＜d≤2C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞84.已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有___个．5.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（）A．内含 B．外离 C．内切 D．相交6.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）3344A B C D....45537.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（）A．70° B．40° C．50° D．20°8.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.9.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_________个．10.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切11.如图，A、B是⊙上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65○，则∠BAC等于（）A．35○B．25○C．50○D．65○12.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x2－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切13.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，求AB的长．14.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，求⊙O的半径．ACBO（1）求证：AB 是⊙O 切线；（2）若△ABO 腰上的高等于底边的一半，且AB=4 3 ，求ECF 的长16.如图，CB 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、D ，CD 的延长线与⊙O 的直径BE 的延长线交于A 点，连OC ，ED ．（1）探索OC 与ED 的位置关系，并加以证明；（2）若OD ＝4，CD=6，求tan ∠ADE 的值．17.如图,⊙O 的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O 于点B,交y 轴于点C (1)求线段AB 的长(2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式18.如图，经过原点O 的⊙P 与、轴分别交于A 、B 两点，点C 是劣弧上一点，则∠ACB=（）A. 80°B. 90°C. 100°D. 无法确定 19.如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙Or 切线，A 为切点，BC 经过圆心. 若∠B=20°，则∠C 的大小等于（） A ．20° B ．25° C ． 40° D ．50°20.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB =（）C OAB xyA ．30°B ．35°C ．45°D ．60°21.如图A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，若，则等于（）(A) 50°(B) 80°(C) 100° (D) 130°22.如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（） A 、AD ＝BD B 、OD ＝CD C 、∠CAD ＝∠CBD D 、∠OCA ＝∠OCB23.如图，AB 为⊙O 直径，已知为∠DCB=20o,则∠DBA 为（） A 、 B 、 C 、 D 、渾颦涧24.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不成立．．．的是( )择峴A ．∠A ﹦∠D B ．CE ﹦DE C ．∠ACB ﹦90°D ．CE ﹦BD 25. 如图，中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则☉C 的半径为（）（A ）2.3 （B ）2.4 （C ）2.5 （D ）2.626. 已知，是⊙O 的一条直径，延长至点，使,与⊙O 相切于点，若,则劣弧的长为 .27. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ， CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA 的大小是( )A ．15°B ．30°C ．60°D ．75°第10题DOBA C①已知Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AB=3，BC=4，⊿ABC 内切圆半径为 ②已知⊿ABC 中，°，AB=2，BC=3，AC=2，⊿ABC 内切圆半径为 28.已知圆锥的侧面积等于cm 2，母线长10cm ，则圆锥的高是 cm ．29.一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是（结果保留π）。

《初三数学圆》课件

圆和其他几何图形
总结词
利用圆的性质解决其他几何图形问题
详细描述
除了三角形和四边形，圆的性质还可以应用于其他几何图形问题中。例如，在解决与球体、柱体、锥体等相关的问题时，可以通过引入辅助圆或利用圆的相关性质来简化问题
，提高解题效率。
THANKS
切线的性质
切线与半径垂直，切线与半径相交于切点。
切线的判定
如果直线经过半径的外端并且垂直于半径，那么这条直线就是圆的切线。
切线的判定定理
01
切线的判定定理：如果一条直线同时满足以下两个条件，则它是圆的切线
03
2. 与半径垂直。
02
1. 经过半径的外端；
04
应用：利用切线的判定定理可以判断一条直线是否为圆的切线，从而确定切点。
圆心和半径
总结词
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到圆上任一点的线段。
详细描述
圆心位于圆的中心，是圆的对称轴。半径是从圆心到圆上任一点的线段，所有的半径长度都相等。半径的长度决定了圆的大小。
圆的性质
总结词
圆的性质包括其对称性、旋转不变性和相似性等。
详细描述
圆具有旋转不变性和对称性，这意味着旋转一个圆或其任何部分不会改变其形状或大小。此外，相似的圆具有相同的面积和周长，但可以有不同的半径或圆心位置。
《初三数学圆》ppt课件
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目录
• 圆的基本性质 • 圆的周长和面积 • 圆和直线的位置关系 • 圆的切线定理 • 圆的定理和推论 • 圆的综合应用
01
圆的基本性质
圆的定义
总结词
通过一个定点，在平面上作所有与定点等距离的点的集合形成的图形称为圆。

初三数学圆知识点复习专题

PleaSUre GroUP OffiCe [T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18]一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位（I关系1、点在圆内=> d<r =>点C在圆内；2、点在圆上=> d = r =>点B在圆上;3、点在圆外=> d>r =>点A在圆外；三、厦线与圆的位II关系直线与圆相离=>">F=>无交点；2、直线与圆相切有一个交点;3、直线与圆相交=> d <r =►有两个交点；四、圆与圆的位盧关系外离（图1 ）=>无交点=> d>R+r；外切（图2 ）=>有一个交点=> d = R + r；相交（图3 ）=>有两个交点=> R-r<d <R + r；内切（图4 ）=>有一个交点=> d = R-r；内含（图5）=>无交点=> d<R-r；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1 : （1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：®AB是直径②AB丄CD③CE = DE④弧BC=弧3D⑤弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

初三数学总复习讲座(七)圆

初三数学总复习讲座（七）——圆一、课程标准1、理解圆及其有关的概念,了解弧﹑弦﹑圆心角的关系，探索并了解点与圆﹑直线与圆以及圆与圆的位置关系．２、探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系,直径所对圆周角的特征．３、了解三角形的内心和外心 .4、了解切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线.5、会计算弧长及扇形的面积,会计算圆锥的侧面积和全面积.6、探索圆的轴对称性及其相关性质,了解圆是中心对称图形,探索图形之间的变换关系,灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计. 二、09年中考考试说明▪C 层次要求的知识点有:圆的性质,圆周角,直线与圆的位置关系.▪B 层次要求的知识点有:圆的有关概念,垂径定理,切线长,弧长,扇形,圆锥的侧面积和全面积,圆与圆的位置关系.▪重点:圆的有关性质;圆周角的有关计算;直线与圆的位置关系. ▪难点:综合运用所学知识解决有关问题. 三、中考说明变化四、历年中考06—08中考分值圆锥侧面展开图切线的证明1006年中考知识点分值年份五、知识结构点与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系圆周角及其与同弧上圆心角圆的对称性六、复习过程（一）圆的基本性质1、圆的概念:理解圆及其有关概念;会过一点和不在同一直线上的三点作圆;能利用圆的有关概念解决简单问题．2、垂径定理:会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论;能运用垂径定理解决有关问题.3、圆心角:能运用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题.4、圆周角:了解圆周角与圆心角的关系和直径所对圆周角的特征;会求圆周角的度数;能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题.5、中考题型：这部分题目变化灵活，在历年各地中考试题中均占有较大比例，就考查的内容和形式来看，不仅可以单独考查，而且往往与几何前几章知识以及方程、函数等知识相结合,1、(07山东）．如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB= 42，则⊙O的直径等于。