2020年高中数学 3.1.2柯西不等式(3)学案(无答案)新人教版选修4-5

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2019-2020版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式复习课学案新人教A版选修4-5

第三讲柯西不等式与排序不等式复习课学习目标 1.梳理本专题主要知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式，熟练掌握柯西不等式的各种形式及应用技巧.3.理解排序不等式及应用.4.进一步体会柯西不等式与排序不等式所蕴含的数学思想及方法．1．二维形式的柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. (2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．(3)二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．3．排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则a 1b n ＋a 2b n－1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n .类型一利用柯西不等式证明不等式例1 已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.证明由柯西不等式知，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋1c 2＋1d 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2，于是1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝a d⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立．即1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.反思与感悟利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解．(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会．跟踪训练1 若n 是不小于2的正整数，求证：47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22.证明 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋...＋12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n，所以求证式等价于47＜1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜22.由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＞n 2，于是1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞n 2(n ＋1)＋(n ＋2)＋ (2)＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47，又由柯西不等式，有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＜(12＋12＋…＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2＋…＋1(2n )2＜n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝22. 综上，47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22.类型二利用排序不等式证明不等式例2 设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.证明不妨设0＜a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )·(A ＋B ＋C ) ＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.引申探究若本例条件不变，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.证明不妨设0＜a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ，有0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )．得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.反思与感悟利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合．这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择． (2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．跟踪训练2 设a ，b ，c 为正数，求证：a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.证明由a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c ，于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab.由排序不等式，得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a. ①又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式，得a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a. ②由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.类型三利用柯西不等式或排序不等式求最值例3 (1)求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． (1)解由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1，即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56.(2)设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是互不相同的正整数，求M ＝a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋a 552的最小值．解设b 1，b 2，b 3，b 4，b 5是a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的一个排列，且b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5. 因此b 1≥1，b 2≥2，b 3≥3，b 4≥4，b 5≥5. 又1≥122≥132≥142≥152.由排序不等式，得a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋a 552≥b 1＋b 222＋b 332＋b 442＋b 552≥1×1＋2×122＋3×132＋4×142＋5×152＝1＋12＋13＋14＋15＝13760.即M 的最小值为13760.反思与感悟利用柯西或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略．跟踪训练3 已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．解1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12⎝⎛⎭⎪⎫1×zx ＋y ＋z ＋1×xx ＋y ＋z＋1×y x ＋y ＋z≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12＝32. 故λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.1．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－3 D ．3答案 D解析 y 2＝(2·2－2x ＋1·2x ＋1)2≤[(2)2＋12][(2－2x )2＋(2x ＋1)2] ＝3×3＝9.∴y ≤3，y 的最大值为3.2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，则a 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2. ∴5－a 2≥(3－a )2. 解得1≤a ≤2.验证：当a ＝2时，等号成立．3．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029C ．1，12，13D ．1，14，19答案 B解析由柯西不等式得(22＋32＋42)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋4z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥10029.当且仅当x 2＝y 3＝z4时，等号成立，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10，可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.4．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .证明不妨设a ≥b ≥c ＞0，则1a ≤1b ≤1c，ab ≥ac ≥bc ，∵bc a ＋ac b ＋ab c ≥bc c ＋ac a ＋abb ＝a ＋b ＋c ，∴bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .1．对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式． 2．参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想．3．对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列．4．数学建模是数学学习中的一种新形式，它为学生提供了自己学习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学科的联系．一、选择题1．已知a ，b 是给定的正数，则4a 2sin 2α＋b2cos 2α的最小值为( )A ．2a 2＋b 2B ．2abC ．(2a ＋b )2D ．4ab答案 C 解析4a 2sin 2α＋b 2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)⎝ ⎛⎭⎪⎫4a2sin 2α＋b 2cos 2α≥⎝⎛⎭⎪⎫sin α·2a sin α＋cos α·b cos α2＝(2a ＋b )2，当且仅当sin α·b cos α＝cos α·2asin α时，等号成立．故4a 2sin 2α＋b 2cos 2α的最小值为(2a ＋b )2.2．已知a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝32，则a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2的最小值为( ) A ．4B ．42C ．6D ．6 2 答案 C解析 ∵a ，b ，c 为正数，∴2a 2＋b 2＝1＋1a 2＋b 2≥a ＋b . 同理2b 2＋c 2≥b ＋c ，2c 2＋a 2≥c ＋a ，相加得2(a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2) ≥2(b ＋c ＋a )＝62，即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝2时取等号．3．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4，则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．21 B ．11 C ．18 D ．28答案 A解析根据柯西不等式，得[(x －1)2＋(y －2)2][32＋42]≥[3(x －1)＋4(y －2)]2＝(3x ＋4y －11)2， ∴(3x ＋4y －11)2≤100. 可得3x ＋4y ≤21，当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号． 4．已知x ，y ，z 是非负实数，若9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( ) A ．9B ．10C ．14D ．15 答案 A解析 ∵(3x ＋6y ＋5z )2≤[12＋(3)2＋(5)2]·[(3x )2＋(23y )2＋(5z )2]＝9(9x 2＋12y2＋5z 2)＝81，当且仅当3x ＝2y ＝z 时，等号成立．故u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值为9.5．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值为( )A ．5B ．6C ．8D ．9 答案 D解析由柯西不等式知，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥(1＋1＋1)2＝9，因为1x ＋2y ＋3z＝1，所以x ＋y 2＋z3≥9.即x ＋y 2＋z3的最小值为9.6．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n的最小值是( ) A ．n B.1nC.n D ．2n答案 A解析不妨设a 1≥a 2≥…≥a n ＞0，则1a 1≤1a 2≤…≤1a n，由排序不等式知，a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≥a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n＝n . 二、填空题7．设a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 的大小关系为________．答案 P ≤Q解析由柯西不等式得P ＝am ·b m ＋nc ·dn ≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ，当且仅当am ·d n ＝nc ·bm时，等号成立，∴P ≤Q .8．设x ，y ，z ∈R ，若x 2＋y 2＋z 2＝4，则x －2y ＋2z 的最小值为________．答案－6解析由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)[12＋(－2)2＋22]≥(x －2y ＋2z )2，故(x －2y ＋2z )2≤4×9＝36.当且仅当x 1＝y －2＝z 2＝k ，k ＝±23时，上式取得等号，当k ＝－23时，x －2y ＋2z 取得最小值－6.9．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 所满足的关系式为________，x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．答案 x ＋y ＋z ＝3 3解析利用三角形面积相等，得 12×23(x ＋y ＋z )＝34×(23)2，即x ＋y ＋z ＝3.由(1＋1＋1)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝9，得x 2＋y 2＋z 2≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号．10．若a ，b ，c ∈R ，设x ＝a 3＋b 3＋c 3，y ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则x ，y 的大小关系为________．答案 x ≥y解析取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2.不管a ，b ，c 的大小顺序如何，a 3＋b 3＋c 3都是顺序和，a 2b ＋b 2c ＋c 2a 都是乱序和，a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a .三、解答题11．(2018·江苏)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2. 因为x ＋2y ＋2z ＝6，所以x 2＋y 2＋z 2≥4，当且仅当x 1＝y 2＝z2时，不等式取等号，此时x ＝23，y ＝43，z ＝43，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.12．已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .证明考虑到正数a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0，则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab ，由排序不等式知，顺序和≥乱序和， ∴bc a ＋ca b ＋ab c ≥ab b ＋bc c ＋caa，即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c .∵a ，b ，c 为正数， ∴两边同乘以abca ＋b ＋c，得b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc .13．设a ，b ，c ，d ∈R ＋，令S ＝a a ＋d ＋b ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋d d ＋a ＋c ，求证：1＜S ＜2. 证明首先证明b a ＜b ＋m a ＋m (a ＞b ＞0，m ＞0)．因为b a －b ＋m a ＋m ＝b (a ＋m )－a (b ＋m )a (a ＋m ) ＝m (b －a )a (a ＋m )＜0，所以S ＝a a ＋d ＋b ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋d d ＋a ＋c ＜a ＋c (a ＋b ＋d )＋c ＋b ＋d (b ＋c ＋a )＋d ＋c ＋a (c ＋d ＋b )＋a ＋d ＋b (d ＋a ＋c )＋b ＝2(a ＋b ＋c ＋d )a ＋b ＋c ＋d＝2，所以S ＜2.又S ＞aa ＋b ＋d ＋c ＋b b ＋c ＋a ＋d ＋c c ＋d ＋b ＋a＋ d d ＋a ＋c ＋b ＝a ＋b ＋c ＋d a ＋b ＋c ＋d＝1，所以1＜S ＜2.四、探究与拓展14．已知5a 2＋3b 2＝158，则a 2＋2ab ＋b 2的最大值为________．答案 1解析 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332[(5a )2＋(3b )2] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时取等号． ∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.15．已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＋2－2m ＝0，a 2＋14b 2＋19c 2＋m －1＝0. (1)求证：a 2＋14b 2＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214； (2)求实数m 的取值范围．(1)证明由柯西不等式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2·(12＋22＋32)≥(a ＋b ＋c )2，当且仅当a ＝14b ＝19c 时，等号成立，即⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋14b 2＋19c 2×14≥(a ＋b ＋c )2， ∴a 2＋14b 2＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214. (2)解由已知得a ＋b ＋c ＝2m －2，a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m ，∴由(1)可知，14(1－m )≥(2m －2)2，即2m 2＋3m －5≤0，解得－52≤m ≤1. 又∵a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m ≥0，∴m ≤1， ∴－52≤m ≤1. 即实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，1.。

高二年级第二学期数学一般形式的柯西不等式学案选修4-5

学案12一般形式的柯西不等式1．三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a 21＋a 22＋a 23)·(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.当且仅当b 1＝b 2＝b 3＝0或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时等号成立． 2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当且仅当b 1＝b 2＝…＝b n ＝0或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．1．如何理解柯西不等式的结构特征？【提示】归纳类比二维形式、三维形式和一般形式的柯西不等式的结构特征，可知柯西不等式的结构特点为：左边为平方和的积，右边是积的和的平方．2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i ＝kb i (i ＝1,2,3…，n )，可以吗？【提示】不可以．若b i ＝0而a i ≠0，则k 不存在．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c )≥9. 【思路探究】对应三维形式的柯西不等式，a 1＝a b ，a 2＝b c ，a 3＝c a ，b 1＝b a ，b 2＝c b ，b 3＝a c ，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式，知(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c )＝[(a b )2＋(b c )2＋(c a )2]×[(b a )2＋(c b )2＋(a c )2]≥(a b ×b a ＋b c ×c b ＋c a ×a c )2＝(1＋1＋1)2＝9.∴(a b ＋b c ＋c a )(b a ＋c b ＋a c )≥9.1．当a i ，b i 是正数时，柯西不等式变形为(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．(2012·福建高考)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值； (2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解】 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(1a ＋12b ＋13c )≥(a ·1a ＋2b ·12b＋3c ·13c)2＝9.已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，1a ＋2b ＋3c ＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a 、b 、c 的值．【思路探究】由于1a ＋2b ＋3c ＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴(1a ＋2b ＋3c )·(a ＋2b ＋3c )＝[(1a )2＋(2b )2＋(3c )2][(a )2＋(2b )2＋(3c )2]≥(1a ·a ＋2b ·2b ＋3c ·3c )2＝(1＋2＋3)2＝36，又1a ＋2b ＋3c ＝2，∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立，综上，当a ＝b ＝c ＝3时，a ＋2b ＋3c 取得最小值18.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．已知x ＋4y ＋9z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【解】由柯西不等式，知(x ＋4y ＋9z )2≤(12＋42＋92)(x 2＋y 2＋z 2)＝98(x 2＋y 2＋z 2)．又x ＋4y ＋9z ＝1，∴x 2＋y 2＋z 2≥198，(*) 当且仅当x ＝y 4＝z 9时，等号成立．∴x ＝198，y ＝249，z ＝998时，(*)取等号．因此，x 2＋y 2＋z 2的最小值为198.已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．【思路探究】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 ∵x >0，y >0，z >0.且x ＋y ＋z ＝xyz . ∴1yz ＋1xz ＋1xy ＝1.又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12(1xy ＋1yz ＋1zx) ＝12(1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx) ≤12[(12＋12＋12)(1xy ＋1yz ＋1zx )]12＝32，当且仅当x ＝y ＝z ，即x ＝y ＝z ＝3时等号成立．∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值为32. 故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立时，应有λ≥32.因此λ的取值范围是[32，＋∞)．应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的范围．【解】由a ＋b ＋c ＋d ＝3，得b ＋c ＋d ＝3－a ①由a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2，②(2b 2＋3c 2＋6d 2)(12＋13＋16)≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2.所以实数a 的取值范围是[1,2]．(教材第41页习题3.2第6题)设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥1n ＋1. (2012·淮安模拟)设a 1，a 2，…，a 2 012都是正数，且a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝1，则a 212＋a 1＋a 222＋a 2＋…＋a 22 0122＋a 2 012的最小值是________．【命题意图】本题主要考查不等式的基本性质，柯西不等式等基础知识，考查学生的运算能力和化归与转化的能力．【解析】 ∵(2×2 012＋1)(a 212＋a 1＋a 222＋a 2＋…＋a 22 0122＋a 2 012) ＝[(2＋a 1)＋(2＋a 2)＋…＋(2＋a 2 012)]·(a 212＋a 1＋a 222＋a 2＋…＋a 22 0122＋a 2 012) ≥(2＋a 1·a 12＋a 1＋2＋a 2·a 22＋a 2＋…＋2＋a 2 012·a 2 0122＋a 2 012)2 ＝(a 1＋a 2＋…＋a 2 012)2＝1，∴a 212＋a 1＋a 222＋a 2＋…＋a 22 0122＋a 2 012≥12×2 012＋1＝14 025. 【答案】 14 0251．已知a ，b ，c 大于0，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( )A ．1B ．4C.13 D ．12【解析】根据柯西不等式，有(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.【答案】 C2．若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( )A ．3B ．3 2C ．18D ．9【解析】由柯西不等式得：(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(1＋1＋1)(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)＝3[3(a ＋b ＋c )＋3]，又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3×6＝18，∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．故选B.【答案】 B3．若a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D ．[－1,1]【解析】 ∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4，∴|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |≤2，即－2≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2，当且仅当a i ＝12b i (i ＝1,2，…，n )时，右边等号成立；当且仅当a i ＝－12b i (i ＝1,2，…，n )时，左边等号成立，故选B. 【答案】 B4．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )(4a ＋9b ＋36c )的最小值为________．【解析】由a ，b ，c 为正数，∴(a ＋b ＋c )(4a ＋9b ＋36c )＝[(a )2＋(b )2＋(c )2][(2a )2＋＋(3b )2＋(6c)2] ≥(a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c)2＝121，当且仅当a 2＝b 3＝c 6＝k (k >0)时等号成立．故(a ＋b ＋c )(4a ＋9b ＋36c )的最小值是121.【答案】 121学案13排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和的概念设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则称a i 与b i (i ＝1,2，…，n )的相同顺序相乘所得积的和a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为顺序和，和a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1称为反序和．2．排序不等式(排序原理)设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 2＋a 2b 2＋…＋a n b n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．1．排序原理的本质含义是怎样的？【提示】两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一序列为常数序列．2．已知两组数a 1≤a 2≤a 3≤a 4≤a 5，b 1≤b 2≤b 3≤b 4≤b 5，其中a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11，将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5.那么a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值和最小值分别是多少？【提示】由排序原理，知顺序和最大，反序和最小．因此最大值为a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋a 5b 5＝304.最小值为a 1b 5＋a 2b 4＋a 3b 3＋a 4b 2＋a 5b 1＝212.用排序不等式证明不等式(字母大小已定)已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证：(1)1bc ≥1ca ≥1ab ；(2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c 2.【思路探究】由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组．【自主解答】 (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1b ，又c >0，∴1c >0.从而1bc ≥1ca .同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c .∴a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab . 从而1bc ≥1ca ≥1ab .(2)由(1)知1bc ≥1ca ≥1ab >0且a ≥b ≥c >0，∴1b 2c 2≥1c 2a 2≥1a 2b 2，a 2≥b 2≥c 2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥b 2b 2c 2＋c 2c 2a 2＋a 2a 2b 2＝1c 2＋1a 2＋1b 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2，故a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c 2.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．本例题中条件不变，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c 3.【证明】 ∵a ≥b ≥c ≥0， ∴a 5≥b 5≥c 5，1c ≥1b ≥1a ＞0. ∴1bc ≥1ac ≥1ba ，∴1b 3c 3≥1a 3c 3≥1b 3a 3，由顺序和≥乱序和得a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3＋a 5b 3a 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3，∴a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c 3.设a ，b ，c 为正数，求证a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab .【思路探究】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a ，b ，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．【自主解答】不妨设0<a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3.0<1bc ≤1ca ≤1ab ，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ，a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab .将上面两式相加得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2(a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab )，将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab .在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【证明】不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角，a ，b ，c 表示其对边，求aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c的最小值(A ，B ，C 用弧度制表示)．【思路探究】不妨设a ≥b ≥c ＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．【自主解答】不妨设a ≥b ≥c ，则A ≥B ≥C ，由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ，aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC ，将以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )·(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，当且仅当A ＝B ＝C ＝π3时，等号成立．∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3，即aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c 的最小值为π3.1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x 的最小值．【解】不妨设x ≥y ≥z >0，则x 2≥y 2≥z 2，1z ≥1y ≥1x .由排序不等式，乱序和≥反序和．x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z＝x ＋y ＋z .又x ＋y ＋z ＝1，x 2y ＋y 2z ＋z 2x ≥1，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立．故t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x 的最小值为1.实际问题若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【思路探究】这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t 1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为3t 1 min ，依此类推，等候的总时间为3t 1＋2t 2＋t 3 min ，求其最小值即可．【自主解答】设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．1．首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？【解】根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(分钟)．即按注满时间为4分钟，5分钟，6分钟，8分钟，10分钟依次等水，等待的总时间最少．(教材第45页习题3.3第1题)设a1，a2，…，a n为实数，证明：a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a21＋a22＋…＋a2n，其中c1，c2，…，c n 为a1，a2，…，a n的任一排列．(2012·福州模拟)设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n ＋1)x n.【命题意图】本题主要考查了不等式的基本性质、排序原理以及分类讨论的数学思想等相关知识，考查学生的化归和转化能力以及数学推理论证能力．【证明】(1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤x n，由顺序和≥反序和得1×1＋x·x＋x2·x2＋…＋x n·x n≥1·x n＋x·x n－1＋…＋x n－1·x＋x n·1即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)x n①又因为x，x2，…，x n,1为序列1，x，x2，…，x n的一个排列，所以由乱序和≥反序和得：1·x＋x·x2＋…＋x n－1·x n＋x n·1≥1·x n＋…＋x n·1即x＋x3＋…＋x2n－1＋x n≥(n＋1)x n，∴x＋x3＋…＋x2n－1≥n·x n，②将①和②两式相加得：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.(2)当0＜x＜1时，同理可证1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.综上可知，对x＞0，总有1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n成立.1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是()A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤N【解析】由排序不等式，知M≥N.【答案】 B2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P 与Q的大小关系是()A．P>Q B．P≥QC．P<Q D．P≤Q【解析】不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.∴P≥Q.【答案】 B3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．【解析】由排序不等式，顺序和最大，反序和最小．∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.【答案】32284．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品．则至少要花________元，最多要花________元．【解析】取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.所以最少花费为19元，最多花费为25元．【答案】1925。

人教版高中数学选修4-5《3.1 柯西不等式》

2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n
2
k,使得a i kbi ( i 1,2, , n)时, 等号成立。 2n 问题： 1、柯西不等式里一共涉及多少个实数？个 2、柯西不等式的结构有何特征？
平方和的乘积不小于乘积和的平方
1、柯西是什么人？
• 法一：问柯西本人；
2、他是怎么发现该不等式的？
4 4 2 2 3 3 2
（2）复杂问题：变形后运用柯西不等式。
例3 求函数 y 5 x 1 10 2 x的最大值
思考：该题目用了哪些变形技巧？凑配系数，平方。
2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25 )
( 2) a b c d ac bd2 ຫໍສະໝຸດ 2 2222
2
自主探究： 1、这两个变式怎么来的呢？ 2、这三个不等式取“=” 的条件分别是什么？
进一步—理解—柯西不等式
• 1、代数理解。
2 2 2 2
• 2、几何理解。
(1) a b c d ac bd
小组讨论：根据变式一，你能给出柯西不等式的几何解释吗？
柯西不等式
选修4-5 不等式选讲
定理(一般形式的柯西不等 ) 式设a1 , a 2 , a 3 , , a n , b1 , b2 , b3 , , bn是实数 ,则
(a a a )( b b b ) (a1b1 a2b2 anbb ) 当且仅当 bi 0( i 1,2, , n)或存在一个数
教学目标：
• 1、发现、推导
柯西不等式

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3_2一般形式的柯西不等式课后导练新人教A版选修4_5

3.2 一般形式的柯西不等式课后导练基础达标1设A=a 2+b 2+c 2,B=ab+bc+ca(a,b,c∈R ),则A 、B 的大小关系是( )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B解析:(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca)2,∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.答案:C2若a,b,c>0且ab+bc+ca=1,则a+b+c 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.3解析:(a 2+b 2+c 2)2=(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca)2=1.∴a 2+b 2+c 2≥1.从而(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac)≥1+2=3. ∴a+b+c≥3.答案:D3若a≠b,则a 2+3b 2与2b(a+b)的大小关系为( )A.a 2+3b 2>2b(a+b)B.a 2+3b 2<2b(a+b)C.a 2+3b 2≥2b(a+b)D.a 2+3b 2≤2b(a+b)解析:(a 2+3b 2)2=(a 2+b 2+2b 2)(b 2+a 2+2b 2)>(ab+ba+2b 2)2=4b 2(a+b)2(∵a≠b,∴“=”不取),∴a 2+3b 2>2b(a+b).答案:A4若a,b ，c ＞0，则M=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2),N=9abc 的大小关系为( )A.M>NB.M<NC.M≥ND.M≤N解析:∵(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ac)2,∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.∴(a+b+c)(a 2+b 2+c 2)≥(a+b+c)(bc+ac+ab) ≥(ab c ac b bc a ∙+∙+∙)2 =(abc 3)2=9abc.∴M≥N.答案:C5设a,b,c>0，M=ab+bc+ca+c 2,N=ab+a+b+1,P=16abc,则MN 与P 的大小关系是( )A.MN>PB.MN≤PC.MN≥PD.MN<P解析:MN=(ab+bc+ca+c 2)·(ab+a+b+1) =abc(c 1+a 1+b 1+ab c )(1+a+b+ab)≥abc(c 1+1+1+c )2=abc(c1+1+1+c )(c +1+1+c 1)≥abc(1+1+1+1)2=16abc.答案:C综合运用6已知A 、B 、C 是三角形三内角的弧度数，则C B A 111++与π9的大小关系为( ) A.C B A 111++≥π9 B.C B A 111++≤π9C.C B A 111++>π9 D.C B A 111++<π9解析:∵A＋B ＋C ＝π, ∴(A+B+C)(C B A 111++)≥(1+1+1)2=9. ∴C B A 111++≥π9.等号当且仅当A ＝B ＝C=π3时取得.答案:A7a 、b 、c∈R +，求证：)(29111c b a a c c b b a ++≥+++++.证明:2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a),∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［a c c b b a +++++111］≥(1+1+1)2=9. ∴)(29111c b a a c c b b a ++≥+++++.等号当且仅当a=b=c 时取得.8a∈R ，求证:(1+a+a 2)2≤3(1+a 2+a 4).证明:3(1+a 2+a 4)=(1+1+1)(1+a 2+a 4)≥(1+a+a 2)2.9设a 、b 、c∈R +，求证：ab c ac b bc a 444++≥a 2+b 2+c 2.证明:(bc+ac+ab)(ab c ac b bc a 444++)≥(a 2+b 2+c 2)2.又bc+ac+ab≤a 2+b 2+c 2,∴(a 2+b 2+c 2)(ab c ac b bc a 444++)≥(a 2+b 2+c 2)2,即abc ac b bc a 444++≥a 2+b 2+c 2. 拓展探究10设n 是不小于2的正整数，证明2221211174<+++++≤n n n . 证明: ∵(nn n 212111+++++ )·［(n+1)+(n+2)+…+2n］≥(1+1+…+1)2=n 2, n n n 212111+++++ ≥1322)2()1(2+=+++++n n n n n n 742323211=+≥+=--n 由柯西不等式,nn n 212111+++++ ≤])2(1)2(1)1(1)[111(222222n n n ++++++++ 22)211(])2)(12(1)2)(1(1)1(1[=-=-++++++∙<n n n n n n n n n n 备选习题11已知非负数x i (i=1,2,3,…,n)满足x 1+x 2+…+x n =1, 求证：n x x x n ≤+++21(n∈N *). 证明:))(1111()(12121n n x x x x x x n n +++++++=+++=∙ 221)(n x x x +++≥ =n x x x +++ 21∴原不等式成立.12设三角形三边分别为a,b,c,半周长为p. 求证：p c p b p a p 3≤-+-+-. 解析:设z c p y b p x a p =-=-=-,,, 记c p b p a p -+-+-=s,则x+y+z=s,x 2+y 2+z 2=p.（注:a+b+c=2p ）由柯西不等式得s 2=(x+y+z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)=3p ⇒s≤p 3, 即p c p b p a p 3≤-+-+-13(第18届美国数学奥林匹克试题)试确定方程组x+y+z=3...(1)x 2+y 2+z 2=3 (2)x 5+y 5+z 5＝3…（3）的一切实数解.解析:由已知并根据柯西不等式得32=(x+y+z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)=3×3, 上式等号成立的充要条件是111z y x ==,代入(1)，得x=y=z=1.显然这是（1）（2）的唯一解，经验证也是（3）的解，所以原方程组的唯一实数解是(1,1,1).14设x i ∈R +（i=1,2,…,n），试证(x 1+x 2+…+x n )［n x x x 11121+++ ］≥n 2. 证明:［(1x )2+(2x )2+…+(n x )2］［(11x )2+(21x )2+…+(nx 1)2］ ≥［1x ·11x +2x ·21x +…+n x ·n x 1］2 =(1+1+…+1)2.15设a,b,c∈R +，试证2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++. 证明:［(c b a+)2+(a c b +)2+(ba c +)2］［(cb +)2+(ac +)2+(b a +)2］≥(a+b+c)2, 即(ba c a cbc b a +++++222)(b+c+c+a+a+b)≥(a+b+c)2. 故2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++.16设a,b,c,d ＞1，且log a (bcd)≤9,试证log b a+log c a+log d a≥1. 证明:［(a b log )2+(a c log )2+(a d log )2］［(b a log )2+(c a log )2+(d a log )2］ ≥(log b a·log a b+log c a·log a c+log d a·log a d)2=(1+1+1)2=9, log b a+log c a+log d a ≥)(log 9log log log 9bcd d c b a a a a =++≥1.。

2020版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5

一二维形式的柯西不等式基础巩固1已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()A.ab≤C.a2+b2≥D.a2+b2≤3(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2=4,∴a2+b2≥ .故选C.2已知0则的最小值是A()()3得x+y≥33当且仅当3即x=5,y时,等号成立.3已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值是()3A3x2+3y2=[33当且仅当2x=3y,即x3时,等号成立.4函数y=--3的最大值是A.3 B3 32--3≤ 2+(-)-3=63当且仅当-3-时,等号成立.故y的最大值为3即x35已知x>0,y>0,且xy=1,则的最小值为A.4B.2C.1 D≥当且仅当x=y=1时,等号成立.6设x,y∈R+,则(x+y)3的最小值是+7已知a,b∈R+,且a+b=1,则的最小值是a,b∈R+,且a+b=1,所以由柯西不等式得3当且仅当时,等号成立,此时a8函数y=3sin x+ ( )的最大值是3sin x+ ( ) 3 x+≤(3)( )当且仅当3|cos x|=4sin x时,等号成立.9已知a2+b2=1,x2+y2=1,求证:|ax+by|≤ .,得|ax+by|≤当且仅当ay=bx时,等号成立.10已知a>b>c,求证---(a-c--≥ .又a-c=(a-b)+(b-c),利用柯西不等式证明即可.a-c--=[(a-b)+(b-c)--=[----≥----当且仅当----即a-b=b-c时,等号成立.故原不等式成立.能力提升1已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值是()A 3 3x+y≤( )()33当且仅当即x=y33时,等号成立.故2x+y的最大值是32若x2+y2=8,则2x+y的最大值为()A.8B.4C. 0(x2+y2)(4+ )≥( x+y)2,∴(2x+y)2≤8×5=40,当且仅当x=2y时,等号成立,即(2x+y)max= 03若a+b=1,则的最小值为A.1B.2 C∵a+b=1,∴a2+b2(1+ )≥8以上两个不等式都是当且仅当a=b时,等号成立,又8()8当且仅当a=b时,等号成立.4已知正数a,b满足a+b=2,则的最大值为A 3C3a,b满足a+b=2,则a+b+1=3,则(1 ≤( 2+12)[故故选C.5设xy>0,则的最小值为≥当且仅当xy 时,等号成立.故所求最小值为9.6设实数x,y满足3x2+2y2≤ ,则2x+y的最大值为.(2x+y)2≤ 33≤=(3x2+2y2)3当且仅当3x=4y,即x,等号成立.因此2x+y的最大值为7函数f(x)-8 0- 0的最大值为(x)-8 0- 0( )(3)(3) ( ) (3)≤(- )当且仅当x=2时,等号成立.8已知θ为锐角,a,b>0,求证:(a+b)2≤m,n=(cosθ,sinθ),则|a+b|m n|≤|m||n|当且仅当a=k cos2θ,b=k sin2θ,k∈R时,等号成立.故(a+b)2≤★9在半径为R的圆内,求周长最大的内接长方形.,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为-于是长方形ABCD的周长l=2(x--由柯西不等式得l≤ x2+- )2R=-当且仅当即x时,等号成立.此时--()即长方形ABCD为正方形.故周长最大的内接长方形为正方形,其周长为。

新人教A版高中数学(选修4-5)《第三讲柯西不等式与排序不等式》word教案

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则22||m a b =+，2||n c d =+∵ m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？22||c d ac bd +≥+ 或 22||||c d ac bd +≥+22c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题. 第二课时3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =?要点：利用变式22||ac bd c d ++.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→变式：y → 推广：(,,,,,)y b c d e f x a b c d e f R+=-∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法（数形结合法）2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥. 3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题第三课时3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++，22212n C b b b =+++，则有20B A C -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y zx ++的最小值.③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题第四课时3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和)1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和)121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+. 分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++，两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。

人教版高中数学选修4-5《3.1柯西不等式》

直观想象数学运算数据分析
剖析பைடு நூலகம்构
数学抽象逻辑推理数学建模
那么，柯西不等式
剖析结构
结构特点和适用条件是什么样的呢？ 1.条件是4个实数（2对）文字含义为： “平方和乘平方和大于等于一乘一加二乘二和的平方” 2.定值：与有一个为定值，（积定和大，和定积小） 3.等号成立的条件ad=bc（类似比例内项积等于外项积）所以，类比均值定理 “一正，二定，三相等”
置疑－－发现－－认识－－应用
探究新知（发现）
4、本节是本册书的一个难点，为了让当堂没理解好的同学随时回顾本节内容。加深对“柯西不等式 ”特点和适用条件的剖析，我录了一个微课大家带着下面问题一起来看一下： 1）.二维（4个数）柯西不等式的表达式和结构特点（文字表达）及等号成立条件。 2）.n维（2n个数）柯西不等式的表达式和结构特点（文字表达）及等号成立条件。
3（a2+b2+c2）≥(a+b+c)2
3. 这个不等式到底对不对，如何才能快速证明它呢？这就是我们今天要研究的“柯西不等式”，会了它我们就可以快速解决此类问题，甚至更难，更复杂的不等式。好，让我们一起来了解它，走进柯西的世界。
再发现－－再认识－－再应用－－内化
学习目标
1.知识目标：理解柯西不等式的结构特点，能简单应用解题。 2．素养目标：由柯西不等式结构特点及应用训练学生数据分析和数学运算能力，培养逻辑推理和数学抽象及数学建模的核心素养。
)
再发现－－再认识－－再应用－－内化
置疑－－发现－－认识－－应用
深入剖析（再发现）
求小放左，求大放右，系数拆分
利用柯西不等式求最值考虑构造哪端时有何构造技巧？ 1.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 m2+n2 的最小值为_________. （2014·陕西高考文科） 2.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为 ( ) A. B.2 C. 3 D.3

高二数学(人教版)选修4-5教案：第12课时几个著名的不等式之——柯西不等式

课题：第12课时几个著名的不等式之一：柯西不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。

这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。

证明：几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα，而22||b a +=α，22||d c +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i n i i b x b a x a x f 121212)(2)()(由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆，即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===ni i ni i ni i i b a b a ，即：))(()(121221∑∑∑===≤ni i n i i ni i i b a b a ，等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ，即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。

人教版数学高二人教A选修4-4 3.1二维形式的柯西不等式教案

《二维形式的柯西不等式》教案
一、教学目标
①认识二维形式的柯西不等式的三角形式
②柯西不等式的一些简单应用
二、教学重点：
①认识二维形式的柯西不等式的几种形式
②运用柯西不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法——
发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据
得出具体问题中的不等关系
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
③讲解例题（例3）
④练习P37 第7题第6题生体会用柯西不等式这个重要的数学结论去解决具体问题的方法。

小结
本节课实际上是柯西不等式的一些
简单应用，柯西不等式是一个经典不等
式，是一个重要的数学结论，在以后的
证明某些不等式时有重要作用。

目的是让学生知道柯西不等式是一
个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37 第8题巩固提高。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式 3.2 一般形

3.2 一般形式的柯西不等式预习导航1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．1．三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3是实数，则(a 21＋a 22＋a 23)(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2,3)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2,3)时等号成立．【做一做1－1】已知x ，y ，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )A ．1B ．13C ．12D ．3 解析：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)·(12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z )2＝1.∴x 2＋y 2＋z 2≥13，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立，即所求最小值为13. 答案：B【做一做1－2】已知a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为( )A ．3B ．3 2C ．18D ．9解析：由柯西不等式得： (3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(1＋1＋1)(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)＝3[3(a ＋b ＋c )＋3]，又∵a ＋b ＋c ＝1，∴(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3×6＝18，∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．答案：B2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．归纳总结尽可能地构造符合柯西不等式的形式．常用技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③改变结构；④添项．【做一做2】若a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1，b 12＋b 22＋…＋b n 2＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：C。

【数学】选修4-5学案§312柯西不等式(2)

选修4-5学案 §3.1.2柯西不等式(2) 姓名☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，进一步理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式☻知识情景：1. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd +???2. 柯西不等式的证明：证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd =++当且仅当时, 等号成立.证法20.（构造法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则||m =，||n =.∵ ||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证.3. 柯西不等式的变式：变式10. 222|c d ac bd ++ 222c d bd ++；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，变式40.（三角形不等式）设,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：☻新知建构：前面的柯西不等式，称二维形式的柯西不等式. 意味着还有多维形式的柯西不等式.1.三维形式的柯西不等式：若,,,,,a b c d e f R ∈，则 .当且仅当时, 等号成立. 2. 柯西不等式的一般形式：设n 为大于1的自然数，,i i a b R∈(=i 1,2,…,n )，则：211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).3. 柯西不等式的变式：变式1设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=ii ni i ib a b a 212)( .等号成立当且仅当)1(n i a b i i ≤≤=λ 变式2 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(.等号成立当且仅当n b b b === 21. 4.柯西不等式的应用：例1 已知c b a ,,均为正数，且1=++c b a ，求证：9111≥++cb a .例2 已知1a ，2a ，…，n a1nii an=≥∑例3 设x ，y ，z 为正实数，且x+y+z=10，求z9y 1x 4++的最小值。