3.3多项式的乘法1.ppt
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多项式的乘法
多项式的乘法在代数学中，多项式的乘法是一项基本的运算。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式。
本文将介绍多项式乘法的定义、运算法则以及一些实例应用。
一、多项式乘法的定义多项式乘法是指将两个或多个多项式相乘的过程。
一个多项式可以写成如下形式：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，a_n, a_{n-1}, ... , a_1, a_0为常数系数，x为自变量，n为多项式的次数。
对于两个多项式：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0Q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0它们的乘积为：P(x) * Q(x) = (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0) * (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_1x + b_0)二、多项式乘法的运算法则多项式乘法遵循以下运算法则：1. 每一项的指数相加：两个同类项的指数相加，如x^m * x^n =x^{(m+n)}。
2. 常数系数相乘：两个同类项的常数系数相乘，如a_i * b_i。
3. 扩展运算：将每个项与另一个多项式的所有项进行相乘。
多项式的每一项都与另一个多项式的所有项进行相乘，并将结果相加。
三、多项式乘法的实例应用多项式乘法在数学和科学领域有广泛的应用。
以下是一些实例：1. 几何应用：在几何学中，多项式乘法用于计算多项式函数的图像和方程。
例如，通过将两个多项式相乘，可以得到一个表示曲线的方程。
2. 物理学应用：多项式乘法用于描述物理现象中的变化。
例如，通过将时间和速度的多项式相乘，可以得到物体的位移多项式。
3. 统计学应用：多项式乘法被用于计算和分析统计数据。
例如，在回归分析中，通过将自变量和系数的多项式相乘，可以找到一个最佳拟合的多项式函数。
《整式的乘法》第3课时《多项式乘以多项式的法则》教学课件2022-2023学年北师大版七年级数学下册
你会计
算吗？
教学过程
新知探究
做一做
我们可以用四种方法计算长方形的面积：
方法1： + +
方法2： + + +
方法3： + + +
方法4： + + +
事实上 + + 是两个多项式相乘，你从上面的计算过程中受
C. − 或0
D. 或0
教学过程
新知应用
做一做
3.若 − + − 结果是不含 项，则、
的关系为（B ）
A. 互为倒数
B. 互为相反数
C. 相等
D.不能确定
4.若 = , = , 则 − − + − 的值为（A ）
北师大版数学七年级（下）
第一章 整式的乘除
4.整式的乘法
第3课时 多项式与多项式的乘法
教学过程
重点难点
1.经历探索多项式与多项式乘法的运算法则的
过程，掌握多项式与多项式乘法的运算法则.
（重点）
2.利用多项式与多项式乘法的运算法则进行运算，进
一步加强学生的运算能力.（难点）
教学过程
温故知新
1.单项式乘以单项式的法则：
项之前，所得积的项数为两个多项式的项数的积.
2.在运算过程中，不要漏乘任何一项，特别是常数项，相乘时
按一定的顺序进行，注意每项的符号，可根据“同号得正，异
号得负”来确定积中每一项的符号.
3.结果中有同类项的，一定要合并同类项，化成最简形式.
教学过程
回归课本
读一读
3.2,3.3单项式和多项式的乘法
答（1） （ 2）
a b 2m ; ab 2am
ab 2am;
ab 2m ab a 2m
b
m
运用分配律，把左边的单项式与多项式相 乘展开得到右边的多项式.
（3）单项式与多项式相乘，就是用单项 式去乘多项式的每一项，再把所得的积 相加. a
m
单项式与多项式相乘的法则:
2
( x 2)(x 3) x (-1) __ x (-6) __ 2 (-5) 6 ( x 2)(x 3) x __ x __
2
观察上面四个等式，你能发现什么规律？ 你能根据这个规律解决下面的问题吗？
(a b) x _____ ab ( x a)(x b) x _____
火眼金睛
辩一辩：下面是小刚同学做的三道题，请你帮他 看一看做得对不对。
(1)(3x+1)(x+2)= 3x2 +6x+x +2= 3x2 +7X +2
-9 (2)(x+3)(x-3)=x2-3X +3X +9 -9 =x2+9
(3)(4y-1)(y-5)=4y2-20y-y+5 =4y2-21y+5
单项式与多项式相乘,就是用单 项式去乘多项式的每一项,再把 所得的积相加.
单项式 × 多项式
a(b+c)=ab+ac
转 化 单项式 ×单项式
2a b(a 3)
2 2 2 a 解： b(a 3)
1 2 2a b ab 3ab 2
2
单×多
转化思想
2a 2b a + 2a 2b (3)
变式 : 2 x 3 x 3 x x 6
多项式课件-新人教版
公式法
公式法是一种基于数学公式进行多项 式因式分解的方法。根据公式，我们 可以将多项式表示为几个整式的积的 形式。常用的公式包括平方差公式、 完全平方公式等。
例如，多项式$a^2 - b^2$可以分解 为$(a + b)(a - b)$，其中使用了平方 差公式。
十字相乘法
01
十字相乘法是一种通过将二次项 和常数项拆分成两个数的乘积， 然后交叉相乘得到一次项系数， 从而找到因式分解结果的方法。
02 多项式的加减法
同次多项式的加减法
同次多项式是指各个项的次数相同的 多项式，例如$2x^3 - 3x^3$。同次 多项式的加减法可以通过系数相加减 ，字母部分不变的方式进行计算。
计算方法：将同次多项式的系数进行 加减运算，例如$2x^3 - 3x^3 = (23)x^3 = -x^3$。
不同次多项式的加减法
解法
通过移项和合并同类项，将方程化为标准形式 ax+b=0，然后求解x=-b/a（当a≠0）。
3
实例
2x+5=0的解是x=-5/2。
一元二次方程的解法
01
定义
一元二次方程是只含有一个未知数，且该未知数的次数为2的方程。
02
解法
通过因式分解或配方法，将方程化为标准形式ax^2+bx+c=0，然后求
解x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
合并同类项
合并同类项是指将多项式中相同或相似项进行合并，例如 $2x^2 + 4x^2 + 6x^2$。合并同类项可以简化多项式，使 其更易于计算和理解。
计算方法：将多项式中相同或相似项的系数进行相加或相减 ，字母部分不变。例如$2x^2 + 4x^2 + 6x^2 = (2+4+6)x^2 = 12x^2$。
2020春浙教版七年级数学下册课件-第3章 整式的乘除 3.3.1 多项式的乘法法则
10．先化简，再求值：
(1)【2019·宁波】(x－2)(x＋2)－x(x－1)，其中 x＝3. 解：(x－2)(x＋2)－x(x－1)＝x2＋2x－2x－4－x2＋x＝x－4. 当x＝3时，x－4＝3－4＝－1.
(2)(2＋x)(2－x)＋(x－1)(x＋5)，其中 x＝32. 解：(2＋x)(2－x)＋(x－1)(x＋5)＝4－2x＋2x－x2＋x2＋5x－x－5
解：原式＝x2－x＋x－1＝x2－1.
(2)(2a－b)(a＋b)； 解：原式＝2a2＋2ab－ab－b2＝2a2＋ab－b2.
(3)(x＋3y)(x－2y)； 解：原式＝x2－2xy＋3xy－6y2＝x2＋xy－6y2.
(4)(x－3y)(2x＋y)． 解：原式＝2x2＋xy－6xy－3y2＝2x2－5xy－3y2.
浙教版 七年级下
第三章 整式的乘除
第3节 多项式的乘法 第1课时 多项式的乘法法则
提示：点击 进入习题
1D 2A 3C 4C 5A
69 71 8 －3 9 见习题 10 见习题
答案显示
提示：点击 进入习题
11 1；1；－7 12 见习题 13 见习题 14 见习题
答案显示
1．计算(2x－3)(3x＋4)的结果，与下列式子相同的是( D ) A．－7x＋4 B．－7x－12 C．6x2－12 D．6x2－x－12
根据已有的学习经验，解决下列问题： (1)图②甲是由 1 张Ⅰ号卡片、1 张Ⅱ号卡片、2 张Ⅲ号卡片拼接
成的正方形，那么这个几何图形表示的等式是 _(_a_＋__b_)_2_＝__a_2＋__2_a_b_＋__b_2________________________________；
(2)小聪想用几何图形表示等式(a＋b)(2a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，图 ②乙给出了他所拼接的几何图形的一部分，请你补全图形； 解：＋q)＝x2＋3x＋2，则(p＋q)2＝___9_____.
3.3(2)多项式的乘法
14 x 5
本节课-----我学会了...... 使我感受最深的…… 我感到最困难的是……
想一想：
3 , (1)若ax2+bx+c=3x2+2x-1，则a=__ 2 ,c=__. -1 b=__ -1 (2) 若 (x+3)(x+a)=x2+2x-3，则a=__.
(3)若(x+a)(x-2)=x2+bx-6，求a，b值.
挑战极限：
如果(x2+bx+8)(x2 – 3x+c)的乘积 中不含x2和x3的项，求b、c的值。
解：原式=
x4 – 3x3 + c x2 +bx3 2 2 – 3bx +bcx+8 x – 24x+8c
X2项系数为：c –3b+8 = 0 X3项系数为：b – 3 = 0 ∴ b=3 , c=1
(1) (x+2y)(5x+3y) ; (2) a b a ab b
2
2
2
x 3 2 x 2 3x 6
1 x 2x 3 2 2a b a 2b
2
2a 3 4a 2 b ab 2b 2
2 ab 10 a 3 b 2 a b 3 ab 4 a ， 例题2. 化简 这个代数式 的值与 a , b 的取值有关吗？
1.回顾一下：“单项式×多项式”运算法则以及依据？
单项式与多项式相乘, 就是用单项式去乘 多项式的每一项,再把所得的积相加.
单项式与多项式相乘的法则:
单项式与多项式相乘的依据:
单项式与单项式的乘法法则和分配律.
2.回顾一下：“多项式×多项式”运算法则？
本节课-----我学会了...... 使我感受最深的…… 我感到最困难的是……
想一想：
3 , (1)若ax2+bx+c=3x2+2x-1，则a=__ 2 ,c=__. -1 b=__ -1 (2) 若 (x+3)(x+a)=x2+2x-3，则a=__.
(3)若(x+a)(x-2)=x2+bx-6，求a，b值.
挑战极限：
如果(x2+bx+8)(x2 – 3x+c)的乘积 中不含x2和x3的项，求b、c的值。
解：原式=
x4 – 3x3 + c x2 +bx3 2 2 – 3bx +bcx+8 x – 24x+8c
X2项系数为：c –3b+8 = 0 X3项系数为：b – 3 = 0 ∴ b=3 , c=1
(1) (x+2y)(5x+3y) ; (2) a b a ab b
2
2
2
x 3 2 x 2 3x 6
1 x 2x 3 2 2a b a 2b
2
2a 3 4a 2 b ab 2b 2
2 ab 10 a 3 b 2 a b 3 ab 4 a ， 例题2. 化简 这个代数式 的值与 a , b 的取值有关吗？
1.回顾一下：“单项式×多项式”运算法则以及依据？
单项式与多项式相乘, 就是用单项式去乘 多项式的每一项,再把所得的积相加.
单项式与多项式相乘的法则:
单项式与多项式相乘的依据:
单项式与单项式的乘法法则和分配律.
2.回顾一下：“多项式×多项式”运算法则？
3.3《多项式的乘法(1)》参考教案1
3.3 多项式的乘法（1）参考教案
一、背景介绍及教学资料
本教材在单项式的乘法之后直接安排多项式的乘法，显得贴切自然，多项式乘以多项式是整式乘法的一部分.本课时利用对同一面积不同表达和分配律的运用两个方面，探索多项式相乘的运算法则，进而体会分配律的重要作用，以及转化思想，并从理解的角度掌握多项式乘法法则.
二、教学设计
【教学内容分析】
本节课从同一面积的不同表达入手，通过分析讨论，进一步体会分配律的作用的情况下得到多项式相乘法则.由法则可知：（1）多项式与多项式相乘的结果仍是多项式；（2）结果的项数应该是原两个多项式项数的积（没有经过合并同类项之前），检验项数常常作为检验解题过程是否的一个有效方法.
【教学目标】
1、经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则.
2、学会用多项式乘法法则进行计算.
3、培养学生用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想.
【教学重点、难点】
重点是掌握多项式的乘法法则并加以运用.
难点是理解多项式乘法法则的推导过程和运用法则进行计算.
【教学准备】
展示课件.
【教学过程】。
多项式与多项式相乘说课课件
引导学生进一步探索多项式与多项式相乘的性质 和应用，例如在数学分析、物理和工程等领域中 的应用。
自主学习
鼓励学生自主探索和学习多项式与多项式相乘的 相关知识，培养自主学习和解决问题的能力。
3
实践应用
通过实际问题和项目，让学生将所学知识应用于 实际情境中，提高解决实际问题的能力。
感谢您的观看
THANKS
多项式的性质
总结词
多项式具有交换律、结合律和分配律等基本性质。
详细描述
多项式具有交换律，即多项式的加法或减法满足交换律，即顺序可以任意调换。多项式还具有结合律，即加法或 减法的结合顺序可以任意改变。此外，多项式还具有分配律，即多项式与单项式相乘时，可以将单项式分别与多 项式的各个单项式相乘。
03
多项式与多项式相乘说 课ppt课件
目录 CONTENT
• 引言 • 多项式的定义与性质 • 多项式相乘的规则与步骤 • 多项式相乘的应用与实例 • 教学方法与建议 • 总结与展望
01
引言
课程背景
数学是基础学科，多项式相乘 是数学中的基本运算之一。
多项式相乘在实际问题中有着 广泛的应用，如物理、工程、 经济等领域。
逐项相乘
将两个多项式的每一项分 别相乘，得到新的项。
合并同类项
将相同字母和相同字母的 指数相同的项进行合并。
举例说明多项式相乘的过程
举例1
$(2x + 3y) times (x - y)$
举例2
$(x^2 + 2x + 1) times (x + 1)$
举例3
$(x^2 - 2x + 1) times (x - 1)$
04
多项式相乘的应用与实例
自主学习
鼓励学生自主探索和学习多项式与多项式相乘的 相关知识，培养自主学习和解决问题的能力。
3
实践应用
通过实际问题和项目，让学生将所学知识应用于 实际情境中，提高解决实际问题的能力。
感谢您的观看
THANKS
多项式的性质
总结词
多项式具有交换律、结合律和分配律等基本性质。
详细描述
多项式具有交换律，即多项式的加法或减法满足交换律，即顺序可以任意调换。多项式还具有结合律，即加法或 减法的结合顺序可以任意改变。此外，多项式还具有分配律，即多项式与单项式相乘时，可以将单项式分别与多 项式的各个单项式相乘。
03
多项式与多项式相乘说 课ppt课件
目录 CONTENT
• 引言 • 多项式的定义与性质 • 多项式相乘的规则与步骤 • 多项式相乘的应用与实例 • 教学方法与建议 • 总结与展望
01
引言
课程背景
数学是基础学科，多项式相乘 是数学中的基本运算之一。
多项式相乘在实际问题中有着 广泛的应用，如物理、工程、 经济等领域。
逐项相乘
将两个多项式的每一项分 别相乘，得到新的项。
合并同类项
将相同字母和相同字母的 指数相同的项进行合并。
举例说明多项式相乘的过程
举例1
$(2x + 3y) times (x - y)$
举例2
$(x^2 + 2x + 1) times (x + 1)$
举例3
$(x^2 - 2x + 1) times (x - 1)$
04
多项式相乘的应用与实例
华师版八年级数学上册课件《多项式与多项式相乘》
4
2
6
-3x3 y3 2x2 y4 10 xy5. 3
新课讲解
练一练
2 计算： (1) (3a+1)(a-2) ;
解：(1) (3a+1)(a-2)
= 3a∙a+3a∙(-2)+1∙a+ 1∙(-2) = 3a2-6a+a-2 = 3a2-5a-2 ;
(2) (1-x+y)(-x-y).
(2) (1-x+y)(-x-y)
=-x-y+x2+xy-xy-y2 =-x-y+x2-y2 .
课堂小结
多 项 式 乘 多 项 式
运算法则：先用一个多项式 的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加.
当堂小练
先化简，再求值：(x+2)(x-2)+x(1-x)，其中x=-1.
解：(x+2)(x-2)+x(1-x) = x2-2x+2x-4+x-x2 = x-4.
新课讲解
知识点1 多项式乘多项式法则 法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 式子表示：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq（a，b，p，q分别是单项式）.
多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，做到不重不漏.
新课讲解
知识点1 多项式乘多项式法则 重 点 多项式与多项式相乘的步骤：
第十二章 整式的乘除
12.2 整ห้องสมุดไป่ตู้的乘法 3.多项式与多项式相乘
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
3.3 第1课时 两个一次多项式相乘的乘法
(典例 3 解②)
随堂练习
1．(佛山中考)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则 m2
C．－1
D．2
【解】 ∵原式＝x2＋x－2＝x2＋mx＋n， ∴m＝1，n＝－2， ∴m＋n＝1－2＝－1， 故选 C．
【答案】 C
2．计算 x2－(x＋1)(x－5)的结果为
A．－4x－5
3b)＝a2＋4ab＋3b2． (3)请仿照上述方法另写一个含有 a，b 的代数恒等式，
并画出与之对应的几何图形．
【点拨】 本题是一道典型的数形结合题，解题的关键是围绕图形的 面积展开分析． 【解析】 (1)(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2． (2)如解图①所示(答案不唯一)．
(典例 3 解①) (3)答案不唯一，如：(2a＋b)(a＋3b)＝2a2＋7ab＋3b2，如解图②所示．
(2)(3x－1)(x ＋3)．
(3)(a－2b)2． 【点拨】 解答本题时应注意：①运用多项式与多项式
相乘的法则时，必须做到不重复、不漏项，因此计算时
应按一定的顺序进行；②应确定积中每一项的符号，多
项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得
负”；③多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要
B．4x＋5
C．x2－4x＋5
D．x2＋4x－5
【解】 x2－(x＋1)(x－5) ＝x2－(x2－5x＋x－5) ＝x2－x2＋5x－x＋5 ＝4x＋5．
【答案】 B
()
3．一辆汽车的速度为(a＋b)km/h，行驶(a－b)h 的路程为 km．
【解】 路程为(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ba－b2＝a2－b2．
要点小结
1．运用多项式与多项式相乘的法则时，必须做到不重不 漏，为此，相乘时，要按一定的顺序进行．计算时应 确定积中每一项的符号，多项式中的每一项都包含它 前面的符号，“同号得正，异号得负”．
随堂练习
1．(佛山中考)若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则 m2
C．－1
D．2
【解】 ∵原式＝x2＋x－2＝x2＋mx＋n， ∴m＝1，n＝－2， ∴m＋n＝1－2＝－1， 故选 C．
【答案】 C
2．计算 x2－(x＋1)(x－5)的结果为
A．－4x－5
3b)＝a2＋4ab＋3b2． (3)请仿照上述方法另写一个含有 a，b 的代数恒等式，
并画出与之对应的几何图形．
【点拨】 本题是一道典型的数形结合题，解题的关键是围绕图形的 面积展开分析． 【解析】 (1)(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2． (2)如解图①所示(答案不唯一)．
(典例 3 解①) (3)答案不唯一，如：(2a＋b)(a＋3b)＝2a2＋7ab＋3b2，如解图②所示．
(2)(3x－1)(x ＋3)．
(3)(a－2b)2． 【点拨】 解答本题时应注意：①运用多项式与多项式
相乘的法则时，必须做到不重复、不漏项，因此计算时
应按一定的顺序进行；②应确定积中每一项的符号，多
项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得
负”；③多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要
B．4x＋5
C．x2－4x＋5
D．x2＋4x－5
【解】 x2－(x＋1)(x－5) ＝x2－(x2－5x＋x－5) ＝x2－x2＋5x－x＋5 ＝4x＋5．
【答案】 B
()
3．一辆汽车的速度为(a＋b)km/h，行驶(a－b)h 的路程为 km．
【解】 路程为(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ba－b2＝a2－b2．
要点小结
1．运用多项式与多项式相乘的法则时，必须做到不重不 漏，为此，相乘时，要按一定的顺序进行．计算时应 确定积中每一项的符号，多项式中的每一项都包含它 前面的符号，“同号得正，异号得负”．
多项式课件
高次多项式
总结词
复杂函数关系
详细描述
高次多项式的一般形式为 a_nx^n+a_(n-1)x^(n1)+...+a_1x+a_0，其中 n>2。它描 述的函数关系比一次和二次多项式更 为复杂，可以表示各种不同的数学关 系和物理现象。
04
多项式的因式分解
因式分解的定义与性质
总结词
理解因式分解的概念和性质是掌握因 式分解方法的基础。
02
多项式的表示方法
代数表示法
代数表示法是用字母和数字的组合来表示多项式，例如： $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。这种表示方法可以清晰 地展示多项式的各项系数和指数，方便进行代数运算和解析 。
代数表示法的优点是简洁明了，易于理解和计算。它适用于 需要精确表达多项式数学关系的情况，如数学公式、定理证 明等。
表格表示法是将多项式的系数以表格的形式呈现出来，方便进行对比和查找。这 种表示方法适用于需要展示多项式系数的详细情况，如数据统计、表格报告等。
表格表示法的优点是详细全面，能够清晰地展示多项式的各项系数。它适用于需 要精确记录多项式系数的情况，如科学实验、工程设计等。
03
多项式的分类
一次多项式
总结词：线性关系
应用数学
在应用数学中，求根公式广泛 应用于物理、工程等领域。
06
多项式的应用
在数学中的应用
代数方程
多项式是代数方程的基本 组成部分，用于表示和解 决各种数学问题。
函数
多项式可以用来表示连续 函数，有助于理解函数的 性质和图像。
微积分
多项式在微积分中用于近 似复杂函数的积分和导数 。
多项式与多项式相乘(课件)数学八年级上册同步备课系列(人教版)
(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)
再利用单项式与多项式相乘的法则，得
a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq
总体上看，(a+b)(p+q)的结果可以看作a+b的每一项乘p+q的每一项，再
把所得的积相加而得到的，即
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，
y2+2y-8
(3)(y+4)(y-2)=__________；
y2-8y+15
(4)(y-5)(y-3)=__________.
由上面计算的结果找规律，观察填空：
pq
(p+q)
(x+p)(x+q)=___
x 2+______x+______.
例2.先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝
(2) (-2a+3) (5+a)
(3) (-3m+2)2
(4) (m+2) (2m2-m-3)
解: (1) 原式= 2x2-4xy+3xy-6y2=2x2-xy -6y2
(2)原式=-10a-2a2+15+3a=-2a2-7a+15
(3)原式= (-3m+2) (-3m+2)= 9m2-6m-6m+4= 9m2-12m+4
再把所得的积相加.
多乘多顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
例1.计算：
再利用单项式与多项式相乘的法则，得
a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq
总体上看，(a+b)(p+q)的结果可以看作a+b的每一项乘p+q的每一项，再
把所得的积相加而得到的，即
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，
y2+2y-8
(3)(y+4)(y-2)=__________；
y2-8y+15
(4)(y-5)(y-3)=__________.
由上面计算的结果找规律，观察填空：
pq
(p+q)
(x+p)(x+q)=___
x 2+______x+______.
例2.先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝
(2) (-2a+3) (5+a)
(3) (-3m+2)2
(4) (m+2) (2m2-m-3)
解: (1) 原式= 2x2-4xy+3xy-6y2=2x2-xy -6y2
(2)原式=-10a-2a2+15+3a=-2a2-7a+15
(3)原式= (-3m+2) (-3m+2)= 9m2-6m-6m+4= 9m2-12m+4
再把所得的积相加.
多乘多顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
例1.计算：
多项式的乘法——多项式乘多项式(课件)-七年级数学下册(浙教版)
解：原式=2x 2 -4x+6-(x-1)(x-1)
解：原式=2x 2 -4x-3x+6-(x2-12)
=2x 2 -4x+6-(x 2 -2x+1) =2x 2 -4x+6-x 2 +2x-1
3x =x2 -2x+5
=2x 2 -7x+6-x 2 +1
(x 1)(x 1)
=x 2 -7x +7
(x2 2x 1)
【归纳总结】 (x＋a)(x＋b)型多项式乘法的技巧 先算两头(确定二次项与常数项)，再算中间(确定一次项)．确定一次项系数时，
特别要注意符号．
例3 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为 2a+b 、
宽为 a+3b 的长方形，需要A类卡片
张，B类卡片
张，C类
卡片
张
点拨：S=(2a+b)(a+3b)=2a2+7ab+3b2 ∴需要A类卡片2张，B类卡片7张，C类卡片3张
解：不正确．错因：在运算过程中，漏乘了(－3)×(－2)． 正解：原式＝4m·3m＋(－3)·3m＋4m·(－2)＋(－3)×(－2)＝12m2－17m＋6.
课堂小结
谢谢
【归纳总结】多项式乘多项式法则图示 多项式×多项式
＝单项式1×单项式3 ＋ 单项式1×单项式4 ＋ 单项式2×单项式3 ＋ 单项式2×单项式4.
例 2 先化简，再求值：x(x＋2)－(x＋1)(x－1)，其中 x＝－12.
[解析] 先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，然后再代入计算．
解：原式＝x2＋2x－(x2－x＋x－1)＝x2＋2x－(x2－1)＝x2＋2x－x2＋1＝2x＋1. 当 x＝－12时，原式＝2×－12＋1＝－1＋1＝0.
《多项式乘多项式》课件
A．ab－bc＋ac－c2 B．ab－bc－ac＋c2 C．ab－ac－bc D．ab－ac－bc－c2
8．方程(x－1)(2x＋1)＝(2x－1)(x＋2)的解为__x_＝_14___. 9．商店经营一种产品，定价为12元/件，每天能售出8件，而每降价x 元，则每天多售出(x＋2)件，则降价x元后每天的销售总收入是 __(－__x_2_＋__2_x_＋__1_2_0_)_元．
18．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x＋a)(3x＋b)，由于甲抄 错了第一个多项式中 a 的符号，得到的结果为 6x2＋11x－10；由于乙漏 抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的结果为 2x2－9x＋10.
(1)你能知道式子中 a，b 的值各是多少吗？ (2)请你计算出正确结果． 解：(1)由题意，得(2x－a)(3x＋b)＝6x2－(3a－2b)x－ab＝6x2＋11x － 10 ， (2x ＋ a)(x ＋ b) ＝ 2x2 ＋ (a ＋ 2b)x ＋ ab ＝ 2x2 － 9x ＋ 10 ， 则 有 －a＋（23ba＝－－2b9），＝11，解得ab＝＝－－52， (2)(2x－5)(3x－2)＝6x2－19x＋10
3．若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝( C ) A．1 B．－2 C．－1 D．2 4．下列计算结果是x2－5x－6的是( B ) A．(x＋6)(x－1) B．(x－6)(x＋1) C．(x－2)(x＋3) D．(x－3)(x＋2)
5．(习题5变式)计算： (1)(x＋1)(2x－1)； 解：原式＝2x2＋x－1
10．若M＝(x－3)(x－5)，N＝(x－2)(x－6)，则M与N的关系为( B ) A．M＝N B．M＞N C．M＜N D．M与N的大小由x的取值而定 11．若(x2－mx－1)(x－2)的积中，x的二次项系数为0，则m的值是
8．方程(x－1)(2x＋1)＝(2x－1)(x＋2)的解为__x_＝_14___. 9．商店经营一种产品，定价为12元/件，每天能售出8件，而每降价x 元，则每天多售出(x＋2)件，则降价x元后每天的销售总收入是 __(－__x_2_＋__2_x_＋__1_2_0_)_元．
18．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x＋a)(3x＋b)，由于甲抄 错了第一个多项式中 a 的符号，得到的结果为 6x2＋11x－10；由于乙漏 抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的结果为 2x2－9x＋10.
(1)你能知道式子中 a，b 的值各是多少吗？ (2)请你计算出正确结果． 解：(1)由题意，得(2x－a)(3x＋b)＝6x2－(3a－2b)x－ab＝6x2＋11x － 10 ， (2x ＋ a)(x ＋ b) ＝ 2x2 ＋ (a ＋ 2b)x ＋ ab ＝ 2x2 － 9x ＋ 10 ， 则 有 －a＋（23ba＝－－2b9），＝11，解得ab＝＝－－52， (2)(2x－5)(3x－2)＝6x2－19x＋10
3．若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝( C ) A．1 B．－2 C．－1 D．2 4．下列计算结果是x2－5x－6的是( B ) A．(x＋6)(x－1) B．(x－6)(x＋1) C．(x－2)(x＋3) D．(x－3)(x＋2)
5．(习题5变式)计算： (1)(x＋1)(2x－1)； 解：原式＝2x2＋x－1
10．若M＝(x－3)(x－5)，N＝(x－2)(x－6)，则M与N的关系为( B ) A．M＝N B．M＞N C．M＜N D．M与N的大小由x的取值而定 11．若(x2－mx－1)(x－2)的积中，x的二次项系数为0，则m的值是
多项式的乘法(第课时)PPT课件
巩固练习
6.计算： （1）-2x2·( x-5y )； （3）（2x+1）·（-6x）；
（2）( 3x2-x+1 )·4x； （4）3a·（5a-3b）.
答案：（1）-2x3+10x2y；（2）12x3-4x2+4x； （3）-12x2-6x； （4）15a2-9ab.
巩固练习
7.先化简，再求值：
典例精析
【例2】求 1 x2 2xy 4y2 4x2 xy 的值，其中x=3，y=-1. 2
解： 1 x2 2xy 4y2 4x2 xy 2
1 2
x2
2
xy
1 2
x2
4 y2
4x2 xy
= -x3y+2x2y2+4x3y
=3x3y+2x2y2. 当x=2，y=-1时，原式=3×23×（-1）+2×22×（-1）2= -24+8= -16.
4
＝ 1 a2＋ 1 ab (平方米).
2
2
故防洪堤坝的横断面面积为
(
1 a2＋ 1 ab)
平方米.
22
巩固练习
(2) 如果防洪堤坝长 100 米，那么这段防洪堤坝的体 积是多少立方米？
解：( 1 a2＋ 1 ab)×100＝50a2＋50ab (立方米)．
2
2
故这段防洪堤坝的体积为 (50a2＋50ab) 立方米．
商业用地
课堂小结
单项式乘多 项式
实质上是转化为单项式×单项式
整 式 的 乘 法
注意
(1) 计算时，要注意符号问题，多项式中每一项 都包括它前面的符号，单项式分别与多项式的每 一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负； (2) 不要出现漏乘现象； (3) 运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减； (4) 对于混合运算，最后应合并同类项.
多项式的乘法(第课时)PPT课件
课堂练习
2、先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其 中 a＝－1，b＝1.
解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b) ＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 ＝－8b3＋2a2b＋15ab2. 当 a＝－1，b＝1 时，原式＝－8＋2－15＝－21.
第（3）小题的直观意义如图
课堂练习
1、计算：
(1) (1－x)(0.6－x)；(2) (2x+y)(x－y)；(3) (x + y)(x2－xy + y2).
解：(1) 原式 = 1×0.6－1×x－x · 0.6 + x · x = 0.6－x－0.6x + x2 = 0.6－1.6x + x2.
(2) 原式 = 2x·x－2x · y + y · x－ y · y = 2x2－2xy + xy－y2 = 2x2－xy－y2.
课堂练习
(3) (x + y)(x2－xy + y2).
解：原式 = x · x2－x · xy + xy2 + x2y－xy2 + y · y2 = x3－x2y + xy2 + x2y－xy2 + y3 = x3 + y3.
2.1.4 多项式的乘法
第2课时 多项式与多项式相乘
湘教版数学七年级下册
教学目标
1.在具体情境中了解多项式乘法的意义，会利用法则进行简单的多 项式乘法运算. 2.经历探索多项式与多项式乘法法则的过程，理解多项式与多项式 相乘的运算算理，体会乘法分配律的作用及转化思想在解决问题过 程中的应用，发展学生有条理的思考和语言表达能力. 3.在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心. 【教学重点】熟悉多项式与多项式乘法法则. 【教学难点】理解多项式与多项式相乘的算理.
多项式乘多项式课件人教版数学八年级上册(完整版)
行绿化 .
a (1) 用含有 a、b 的式子表示绿化的总面积 S ； (2) 若a = 3m，b = 6 求出此时绿化的总面积 S ．
2a+3b
3a+2b
作业布置 【综合拓展类作业】
解：(1) S＝(3a＋2b)(2a＋3b－a) ＝(3a＋2b)(a＋3b) ＝3a2＋11ab＋6b2.
(2) 当 a = 3，b = 6 时， S＝3×32＋11×3×6＋6×62＝441. 答：当 a = 3，b = 6 时，S＝441.
那么思路二的计算结果是否同样满足？ 猜测：满足.
多项式×多项式
转化 多项式×单项式
新知讲解
计算： (a + b)(p + q) =？ 提示：你还记得单项式乘以多项式的方法吗？
设x=(a+b), 则原式变为：x(p+q)=xp+xq， 再将x=(a+b)带入原式, 得，x(p+q)=xp+xq=p(a+b)+q(a+b)=ap+bp+aq+bq, ∴ (a+b)•(p+q)= ap+bp+aq+bq
祝你学业有成
2024年5月2日星期四2时27分3秒
= 3x2 + 7x + 2.
典例精析
(2) 原式 = x • x - xy - 8xy + 8y2
= x2 - 9xy + 8y2.
注意符号问题
(3) 原式 = x • x2 - x • xy + xy2 + y • x2 - y •xy + y • y2
= x3 - x2y + xy2 + x2y - xy2 + y3
a (1) 用含有 a、b 的式子表示绿化的总面积 S ； (2) 若a = 3m，b = 6 求出此时绿化的总面积 S ．
2a+3b
3a+2b
作业布置 【综合拓展类作业】
解：(1) S＝(3a＋2b)(2a＋3b－a) ＝(3a＋2b)(a＋3b) ＝3a2＋11ab＋6b2.
(2) 当 a = 3，b = 6 时， S＝3×32＋11×3×6＋6×62＝441. 答：当 a = 3，b = 6 时，S＝441.
那么思路二的计算结果是否同样满足？ 猜测：满足.
多项式×多项式
转化 多项式×单项式
新知讲解
计算： (a + b)(p + q) =？ 提示：你还记得单项式乘以多项式的方法吗？
设x=(a+b), 则原式变为：x(p+q)=xp+xq， 再将x=(a+b)带入原式, 得，x(p+q)=xp+xq=p(a+b)+q(a+b)=ap+bp+aq+bq, ∴ (a+b)•(p+q)= ap+bp+aq+bq
祝你学业有成
2024年5月2日星期四2时27分3秒
= 3x2 + 7x + 2.
典例精析
(2) 原式 = x • x - xy - 8xy + 8y2
= x2 - 9xy + 8y2.
注意符号问题
(3) 原式 = x • x2 - x • xy + xy2 + y • x2 - y •xy + y • y2
= x3 - x2y + xy2 + x2y - xy2 + y3
多项式的乘法教育课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
1.了解并掌握多项式与多项式相乘法则.(重点) 2.熟练应用多项式乘多项式法则进行相关运算.(重点、难点)
第2页
如图,把一块原长am,宽mm长方形花园, 增加了bm,加宽了nm. (1)这块长方形花园,现长_(_a_+_b_)_m,宽 _(_m_+_n_)_m,面积为_(_a_+_b_)_(_m_+_n_)_m2. (2)这块长方形面积是_四__小块组成,它们面积分别为 _a_m_m2,_b_m_m2,_a_n_m2,_b_n_m2. 总面积为_(_a_m_+_b_m_+_a_n_+_b_n_)_m2.
第24页
【想一想错在哪？】计算:(2x-3y)(3x-4y).
提醒:多项式乘多项式法则用错,遗漏两项.
第25页
第26页
第27页
第20页
3.若(x+a)(x-2)=x2+bx-6,则a,b值为( )
A.a=3,b=5
B.a=3,b=1
C.a=-3,b=-1
D.a=-3,b=-5
【解析】选B.由题意知:-2a=-6,
所以a=3.
又a+(-2)=b,
所以b=3+(-2)=1.
第21页
4.计算:(a-9)(a+6)=
.
【解析】(a-9)(a+6)= a2+(-9+6)a+(-9)×6=a2-3a-54.
答案:a2-3a-54
第22页
5.已知:a+b=m,ab=-4,则(a】因为(a-2)(b-2)=ab+4-2(a+b),
所以当a+b=m,ab=-4时,原式=-4+4-2m=-2m.
第2页
如图,把一块原长am,宽mm长方形花园, 增加了bm,加宽了nm. (1)这块长方形花园,现长_(_a_+_b_)_m,宽 _(_m_+_n_)_m,面积为_(_a_+_b_)_(_m_+_n_)_m2. (2)这块长方形面积是_四__小块组成,它们面积分别为 _a_m_m2,_b_m_m2,_a_n_m2,_b_n_m2. 总面积为_(_a_m_+_b_m_+_a_n_+_b_n_)_m2.
第24页
【想一想错在哪？】计算:(2x-3y)(3x-4y).
提醒:多项式乘多项式法则用错,遗漏两项.
第25页
第26页
第27页
第20页
3.若(x+a)(x-2)=x2+bx-6,则a,b值为( )
A.a=3,b=5
B.a=3,b=1
C.a=-3,b=-1
D.a=-3,b=-5
【解析】选B.由题意知:-2a=-6,
所以a=3.
又a+(-2)=b,
所以b=3+(-2)=1.
第21页
4.计算:(a-9)(a+6)=
.
【解析】(a-9)(a+6)= a2+(-9+6)a+(-9)×6=a2-3a-54.
答案:a2-3a-54
第22页
5.已知:a+b=m,ab=-4,则(a】因为(a-2)(b-2)=ab+4-2(a+b),
所以当a+b=m,ab=-4时,原式=-4+4-2m=-2m.
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小明家买了新房子，要装修厨房,打算在厨房 沿墙做一排矮柜,使厨房的空间得到充分的利 用,而且便于清理.
下图是厨房的平面布局：
(1)我们有哪几种方法来表示此厨房的总面积?
m 窗口矮柜
b a
右 侧 矮 柜
n
b + (a+n)(b+m) m a+n
A
B
C
E
(1)我们有哪几种方法来表示此厨房的总面积?
若(a+m)(a-2)=a2+na-6对a的任何值都成立，求 m，n值
1.多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项 式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多 项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm.
2.会用单项式与单项式,单项式与多项 式,多项式与多项式相乘的法则,化简整 式. 3.数学思想: 转化
x2+3x+2 x2-x-2 x2+x-2 x2-3x+2
加油 哦！！
祝你成功！
第二关
化简：2(x-8)(x-5)-(2x-1)(x+2) =2(x2-13x+40)-(2x2+3x-2)
= 2x2-26x+80-2x2-3x+2 =-29x+82
第三关
你真棒！！
若(x+a)(x+b)中不含x的一次项,则a与b的关系是 (D ) (A)a=b=0 (C)a=b≠0 (B)a-b=0 (D)a+b=0
A
B
D
E
由此,我们可以得到什么结论呢?
多项式乘法法则:
（2）这几种不同方法表示的面积有何关系？你能用运算律解 释它们相等吗？ （3）观察式子（1）中含有什么运算？ 你能总结多项式与多项式相乘的运算规律吗？ （4）多项式与多项式相乘能否直接转化为单项式与单项式相乘？ 观察（1）与（3）式中各项有何关系？ （3） （1） （2） 2 4 1 1 2 3
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的 每一项乘另一个多项式的每一项,再把所 得的积相加.即 (a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm.
(a+n)(b+m)
3
4 单项式× 多项式
= a(b+m)+n(b+m) = ab+am+nb+nm
分配律
单项式× 单项式
多项式× 分配律 多项式
例1 计算:
多项式与多项式相 乘的结果中,要把 同类项合并.
3 +＿ 5 )x +＿ 3 ×＿ 5 (x+3)(x+5)=x2+(＿ (2)你能很快说出与(x+a)(x+b)相等的多项式吗？ 先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证.
第一关
计算： (1) (x+1)(x+2)= (2) (x+1)(x-2)= (3) (x-1)(x+2)= (4) (x-1)(x-2)=
(1) (x+y)(a+2b) ;
解 (1) (x+y)(a+2b)
(2) (3x–1)(x+3) ;
(2) (3x-1)(x+3) =3x2+9x-x-3 =x﹒a+x(2b)+y﹒a+y(2b) =3x2+8x-3. =ax+2by+ay+2by.
多项式乘以多项式，展开后项数有什么规律？ 在合并同类项之前，展开式的项数恰好等于 两个多项式的项数的积.
例2
先化简,再a-4)，其中a= . 17
若含有与多项式的积的差的运算，后两个多项式
乘积的展开式要用括号括起来.
先化简，再求值： 2(x+3)(x-3)-x(x-6),其中x=2.
若含有数与多项式的积相乘的运算，多项式乘
积的展开式要用括号括起来.
观察下列各式的计算结果与相乘的两个 多项式之间的关系： (x+2)(x+3)=x2+5x+6 (x+4)(x+2)=x2+6x+8 (x+6)(x+5)=x2+11x+30 (1)你发现有什么规律？按你发现的规律填空：
m b a
窗口矮柜
右 侧 矮 柜
m b
m(a+n)
b(a+n)
a+n
b(a+n)+m(a+n)
n
b + m
a(b+m)
a
n(b+m)
a(b+m) +n(b+m)
n
A
C
D
E
(1)我们有哪几种方法来表示此厨房的总面积?
m
窗口矮柜
右 侧 矮 柜
m b
am ab
a
nm
b a
nb
n
n
ab +am +nb +nm
(1)我们有哪几种方法来表示此厨房的总面积?
m b a
窗口矮柜
右 侧 矮 柜
m b
m(a+n)
b(a+n)
a+n
n
A
B
C
D
再
见
下图是厨房的平面布局：
(1)我们有哪几种方法来表示此厨房的总面积?
m 窗口矮柜
b a
右 侧 矮 柜
n
b + (a+n)(b+m) m a+n
A
B
C
E
(1)我们有哪几种方法来表示此厨房的总面积?
若(a+m)(a-2)=a2+na-6对a的任何值都成立，求 m，n值
1.多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项 式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多 项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm.
2.会用单项式与单项式,单项式与多项 式,多项式与多项式相乘的法则,化简整 式. 3.数学思想: 转化
x2+3x+2 x2-x-2 x2+x-2 x2-3x+2
加油 哦！！
祝你成功！
第二关
化简：2(x-8)(x-5)-(2x-1)(x+2) =2(x2-13x+40)-(2x2+3x-2)
= 2x2-26x+80-2x2-3x+2 =-29x+82
第三关
你真棒！！
若(x+a)(x+b)中不含x的一次项,则a与b的关系是 (D ) (A)a=b=0 (C)a=b≠0 (B)a-b=0 (D)a+b=0
A
B
D
E
由此,我们可以得到什么结论呢?
多项式乘法法则:
（2）这几种不同方法表示的面积有何关系？你能用运算律解 释它们相等吗？ （3）观察式子（1）中含有什么运算？ 你能总结多项式与多项式相乘的运算规律吗？ （4）多项式与多项式相乘能否直接转化为单项式与单项式相乘？ 观察（1）与（3）式中各项有何关系？ （3） （1） （2） 2 4 1 1 2 3
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的 每一项乘另一个多项式的每一项,再把所 得的积相加.即 (a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm.
(a+n)(b+m)
3
4 单项式× 多项式
= a(b+m)+n(b+m) = ab+am+nb+nm
分配律
单项式× 单项式
多项式× 分配律 多项式
例1 计算:
多项式与多项式相 乘的结果中,要把 同类项合并.
3 +＿ 5 )x +＿ 3 ×＿ 5 (x+3)(x+5)=x2+(＿ (2)你能很快说出与(x+a)(x+b)相等的多项式吗？ 先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证.
第一关
计算： (1) (x+1)(x+2)= (2) (x+1)(x-2)= (3) (x-1)(x+2)= (4) (x-1)(x-2)=
(1) (x+y)(a+2b) ;
解 (1) (x+y)(a+2b)
(2) (3x–1)(x+3) ;
(2) (3x-1)(x+3) =3x2+9x-x-3 =x﹒a+x(2b)+y﹒a+y(2b) =3x2+8x-3. =ax+2by+ay+2by.
多项式乘以多项式，展开后项数有什么规律？ 在合并同类项之前，展开式的项数恰好等于 两个多项式的项数的积.
例2
先化简,再a-4)，其中a= . 17
若含有与多项式的积的差的运算，后两个多项式
乘积的展开式要用括号括起来.
先化简，再求值： 2(x+3)(x-3)-x(x-6),其中x=2.
若含有数与多项式的积相乘的运算，多项式乘
积的展开式要用括号括起来.
观察下列各式的计算结果与相乘的两个 多项式之间的关系： (x+2)(x+3)=x2+5x+6 (x+4)(x+2)=x2+6x+8 (x+6)(x+5)=x2+11x+30 (1)你发现有什么规律？按你发现的规律填空：
m b a
窗口矮柜
右 侧 矮 柜
m b
m(a+n)
b(a+n)
a+n
b(a+n)+m(a+n)
n
b + m
a(b+m)
a
n(b+m)
a(b+m) +n(b+m)
n
A
C
D
E
(1)我们有哪几种方法来表示此厨房的总面积?
m
窗口矮柜
右 侧 矮 柜
m b
am ab
a
nm
b a
nb
n
n
ab +am +nb +nm
(1)我们有哪几种方法来表示此厨房的总面积?
m b a
窗口矮柜
右 侧 矮 柜
m b
m(a+n)
b(a+n)
a+n
n
A
B
C
D
再
见