2015-2016学年福建省八县一中高一(上)数学期末试卷和解析

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XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

福建省福州市八县一中-学高一数学上学期期末考试试卷

福建省八县一中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球体 D ．圆柱、圆锥、球的组合体 2．已知A （-1，3）、B （3，-1），则直线AB 的倾斜角为( ) A. 45o B. 60o B. 120o D. 135o 3．已知直线1:21l y x =+，若直线2l 与1l 关于直线1x =对称，则2l 的斜率为( )A ．－2B ．－12 C.12D ．24．123,,l l l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．1223,l l l l ⊥⊥13l l ⇒P B ．1223,l l l l ⊥P 13l l ⇒⊥ C ．123l l l P P 123,l l l ⇒,共面 D ．123,l l l ,共点123,l l l ⇒,共面5．在空间直角坐标系中一点P （1，3，4）到x 轴的距离是（） A ．5 B ．10 C ．17 D ．26 6．若两条平行线12,l l 的方程分别是2x ＋3my －m ＋2＝0， mx ＋6y －4＝0，记12,l l 之间的距离为d ，则m ，d 分别为（）A. m=2，d=41313B. m=2，d=105 C. m=2，d=2105 D. m=–2，d=1057．设, l m 是两条不同直线，, αβ是两个不同平面，下列命题正确的是（） A ．若,l m m α⊥⊂，则lα⊥ B ．若,l l αβP P ，则αβ//C ．若,l l m α⊥P ，则m α⊥D ．若,l ααβ⊥P ，则l β⊥8．直线y =—3x 绕原点按逆时针方向旋转090后所得直线与圆 (x-2)2+y2=1的位置关系是（）A ．直线过圆心B ．直线与圆相交，但不过圆心C ．直线与圆相切D ．直线与圆没有公共点9．平面α的斜线l 与平面α所成的角是45°，则斜线l 与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°10．则这个球的表面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．2π11．点P(4，－2)与圆224x y ＋＝上任一点连线的中点的轨迹方程是（）A ．22(2)1)1x y -+＋(＝ B ．22(2)1)4x y -+＋(＝ C ．22(4)2)4x y +-＋(＝D ．22(2)1)1x y +-＋(＝12．设集合{(,)|}A x y y x ==与集合{(,)|}B x y x a a R ==∈，若A B ⋂的元素只有一个，则实数a 的取值范围是（）A ．a =B ．11a -<<或a =C ．a =11a -≤< D ．11a -<≤或a =第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置上.)13．若直线3y x b =+过圆22240x y x y ++-=的圆心，则b =________. 14．一个圆锥的轴截面是个边长为2的正三角形，这个圆锥的侧面积等于 .15．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2＝__________. 16．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B ，E ，F ，C 四点共面； ②直线BF 与AE 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD ；.⑤折线B →E →F →C 是从B 点出发，绕过三角形PAD 面，到达点C 的一条最短路径. 其中正确的有_____________．(请写出所有符合条件的序号)三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 17．（本大题12分）已知直线l ：kx －y ＋1－2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k 的值。

2015-2016年福建省八县(市)一中联考高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

）
A．充分但不必要条件 B．必要但不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（5 分）已知等差数列{an}为递增数列且满足 a1+a10=10，则 a5 的取值范围是（） B．（5，+∞） C．（﹣∞，5） D．（10，+∞）
A．（5，10）
11．（5 分）若 x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=（）lnx，c=elnx，则 a，b，c 的大小关系为（）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 12．（5 分）数列{an}满足 S40=（），Sn 是{an}的前 n 项和，则
A．880 B．900 C．440 D．450
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置. 13．（5 分）设函数 f（x）= b= ．． ]上有两个不同的实数若 f（3）=2，f（﹣2）=0，则
2015-2016 学年福建省八县（市）一中联考高三（上）期中数学试卷ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ文科）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）． 1．（5 分）已知集合 A={1，2，3，4}，B={x|x=2n，n∈A}，则 A∩B=（ A．{1，4} B．{1，3} C．{2，4} D．{2，3} 2．（5 分） =（） D．1﹣ i ，则向量 =（））
A．﹣1﹣ i B．﹣1+ i C．1+ i
3．（5 分）已知点 A（1，2），B（4，3），向量 A．（﹣5，﹣3）
B．（5，3） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1））的值是（）

2015-2016学年福建省福州八中高一上学期期末考试数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015-2016学年福建省福州八中高一上学期期末考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：164分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知定义在上的偶函数满足，且在区间 [0，2]上，若关于的方程有三个不同的根，则的范围为（） A ．B ．C ．D ．2、已知集合M ＝{(x ，y)|y ＝，y≠0}，N ＝{(x ，y)|y ＝x ＋b}，若M∩N≠，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－3，3] B ．[－3,3]C ．(－3,3] D ．[－3，3)3、函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(1,2)4、已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离相等，则正确的结论是( ) A ．平面ABC 必平行于α B ．平面ABC 必不垂直于α C ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内5、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱DD 1，D 1C 1的中点，则直线OM( )A ．与AC ，MN 均垂直相交B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与AC ，MN 均不垂直6、正方体的内切球和外接球的体积之比为( ) A ．1∶B ．1∶3C ．1∶9D ．1∶37、与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是( )A ．4B ．3C ．2D ．18、如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．B ．C ．D ．9、对于直线m,n 和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 ( )A．m⊥n, m∥α,n∥β B．m⊥n, α∩β="m," n⊂αC．m∥n, n⊥β,m⊂α D．m∥n, m⊥α, n⊥β10、直线经过一定点,则该点的坐标为( )A．(-1,2) B．(2,- 1) C．(1,2) D．(2,1)11、直线x=1的倾斜角和斜率分别是A．45°,1 B．135°,-1 C．90°,不存在 D．180°,不存在12、设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是( )A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC －D，则四面体ABCD的外接球的体积为14、设点A(－3,5)和B(2,15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|为最小，则这个最小值为________15、如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；.⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径.其中正确的有_____________．(请写出所有符合条件的序号)16、一个圆锥的轴截面是个边长为2的正三角形，这个圆锥的侧面积等于 .17、若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c+e= .18、直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0平行，则a的值是________．三、解答题（题型注释）19、在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知,.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）设点在内（含边界）,且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.20、如图,在平面直角坐标系xOy 中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设△AOB 的外接圆圆心为E.（1）若圆E 与直线CD 相切,求实数a 的值.（2）设点P 在圆E 上,使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有3个,试问这样的圆E 是否存在?若存在,求出圆E 的标准方程;若不存在,说明理由.21、如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点．（1）求证：平面；（2）设为的中点，为的重心，求证：//平面．22、已知圆经过点和，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若点为圆上任意一点，求点到直线的距离的最大值和最小值．23、下图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝AD ＝2EC ＝2.（1）请画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥B —CEPD 的体积．24、如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．（1）求AB 边上的高CE 所在直线的方程；（2）求△ABC 的面积．参考答案1、D2、C3、B4、D5、A6、D7、B8、A9、C10、A11、C12、B13、.14、.15、①②③.16、2π.17、1.18、0或.19、（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）点的轨迹是线段，.20、（1）4；（2）.21、（1）（2）证明见解析.22、（1）；（2）最大值为；最小值为.23、（1）见解析；（2）2.24、（1）；（2）2.【解析】1、试题分析：因为所以此函数为周期函数，且周期为4；因为在区间[0，2]上，且函数为定义在上的偶函数，则在区间上；当时函数图像如图所示；要使方程有三个不同的根则有，解得.故选D.考点：函数的奇偶性和单调性.2、试题分析：方法一：由M∩N≠空集,即有解，两边平方，得，即有解，则根的判别式，，即；由M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，根据被开方数是正数，得，；由b>-x得b>-3综上所述：；方法二：根据题意画出函数y＝与y=x+b的图象，如图所示，当直线y=x+b与半圆y=相切，且切点在第二象限时，圆心到直线的距离d=r，即，解得：或（不合题意，舍去），当直线过点（3，0）时，将x=3，y=0代入得：3+b=0，解得：b=-3，因为M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，则b的取值范围为.故选C.考点：集合间交、并、补的运算.3、试题分析：因为，，所以函数零点在区间.故选B.考点：函数零点的判定定理.4、试题分析：已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则可能三点在α的同侧，即．平面ABC平行于α，这时三条中位线都平行于平面α；也可能一个点A 在平面一侧，另两点B、C在平面另一侧，则存在一条中位线DE∥BC，DE在α内，故选D．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．5、试题分析：方法（1）：此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零．以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，则D（0，0，0）、D1（0，0，2a）、M（0，0，a）、A（2a，0，0）、C（0，2a，0）、O（a，a，0）、N（0，a，2a）．∴=（-a，-a，a），=（0，a，a），=（-2a，2a，0）．∴=0，=0，∴OM⊥AC，OM⊥MN．方法（2）：由三垂线定理可证OM⊥AC，由勾股定理逆定理可证OM⊥MN.故选A．考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系；三垂线定理；线线垂直的判定与性质.6、试题分析：设正方体的棱长为1，则其内切球的直径为1，半径为；外接球的直径为，半径为，根据球的体积公式可知两球的体积之比为.故选D.考点：正方体内切球和外接球的体积.7、试题分析：圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0可变为，圆心为，半径为；圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0可变为，圆心为，半径为；所以，，所以两圆相切；所以与两圆都相切的直线有3条.故选B.考点：圆与圆的位置关系.8、试题分析：由题可得, ,所以原平面图形中AD=1，AB=2，,根据梯形的面积计算公式可得.故选A.考点：斜二测画法.9、试题分析：判定两平面垂直的常用方法就是面面垂直的判定定理，选项C就是.故选C.考点：面面垂直的判定定理.10、试题分析：直线可变为，根据直线的点斜式方程可知，直线经过定点.故选A.考点：直线的点斜式方程.11、试题分析：直线和x轴垂直，所以倾斜角为，斜率不存在.故选c.考点：直线的倾斜角和斜率.12、试题分析：由已知得，圆的圆心，半径为1；由PA是圆的切线且|PA|＝1，得，设点，则，即.故选B.考点：点的轨迹方程的求法.13、试题分析：因为球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，矩形对角线AC=5，则.考点：球的体积和表面积.14、试题分析：由题意知，点A,B在直线的同一侧；由平面几何性质可知，先作出点A关于直线的对称点，然后连接，则直线与的交点即为所求的点，线段的长即为的最小值.设点，则，解得，则，,即的最小值为.考点：线段的垂直平分线的性质；求两直线的交点坐标.15、试题分析：由展开图恢复原几何体如图所示：①在△PAD中，由PE=EA，PF=FD，根据三角形的中位线定理可得EF∥AD，又∵AD∥BC，∴EF∥BC，因此四边形EFBC是梯形，故B，E，F，C四点共面，所以①正确；②由点A不在平面EFCB内，直线BE不经过点F，根据异面直线的定义可知：直线BE 与直线AF异面，所以②正确；③由①可知：EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴直线EF∥平面PBC，故③正确；④如图2：假设平面BCEF⊥平面PAD．过点P作PO⊥EF分别交EF、AD于点O、N，在BC上取一点M，连接PM、OM、MN，∴PO⊥OM，又PO=ON，∴PM=MN．若PM≠MN时，必然平面BCEF与平面PAD不垂直．故④不一定成立．⑤可画出该几何体沿底面正方形的边及侧棱剪开后所得的平面展开图，由该展开图即可求得从B点出发，绕过平面PAD，到达点C的最短距离，从而判断出该结论是错误的.综上可知：只有①②③正确.考点：棱锥的结构特征；空间中直线与直线的位置关系.16、试题分析：∵圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，∴底面半径为1，底面周长为2π，∴圆锥的侧面积=，故答案为：2π．考点：圆的周长公式和扇形面积公式；圆锥的轴截面；圆锥的侧面积.17、试题分析：∵点P（-4，-2，3）关于坐标平面xoy的对称点为（-4，-2，-3），点P （-4，-2，3）关于y轴的对称点的坐标（4，-2，-3），点P（-4，-2，3）关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c）、（e，f，d），∴c=-3，e=4，∴c+e=1，故答案为：1．考点：空间中的点的坐标.18、试题分析：由直线平行的充要条件得：，解得.故答案为0或.考点：直线平行的充要条件.19、试题分析：（Ⅰ）求证：平面，证明线面垂直，即证线线垂直，即在平面找两条相交直线与垂直，由于底面为菱形，则，又底面，得底面，即，从而得证；（Ⅱ）求证：∥平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，注意到是的中点，连接,交于点，连接，证得四边形是平行四边形，从而得∥，从而可证∥平面；（Ⅲ）连接，则，又在中，,又为中点，所以，得平面，由已知可知，∥，由，得，故点一定在线段上，这样就得到点的轨迹，进而可得的最小值.试题解析：解：（Ⅰ）依题意, 因为四棱柱中，底面，所以底面.又底面,所以.因为为菱形，所以.而，所以平面.（Ⅱ）连接,交于点，连接.依题意，∥,且，,所以为矩形.所以∥.又,,,所以=，所以为平行四边形，则∥.又平面，平面,所以∥平面.（Ⅲ）在内，满足的点的轨迹是线段，包括端点. 分析如下：连接，则.由于∥,故欲使，只需,从而需.又在中，,又为中点，所以.故点一定在线段上.当时，取最小值.在直角三角形中，,,,所以.考点：点、线、面的位置关系；解析几何的综合应用.20、试题分析：（1）先求出圆心坐标和半径，由圆心到切线的距离等于半径，解出实数a的值；（2）要使△PCD的面积等于12的点P有且只有3个，则⊙E上到直线CD的距离为，圆心E到直线CD的距离为2，由点到直线的距离公式列出方程，解得a值，代入圆的标准方程即可求得.试题解析：解：（1）直线CD的方程为y=x+4,圆E的圆心为E(,),半径为r= a.由圆E与直线CD相切，得=a,解得a="4."（2）因为|CD|==4,所以当△PCD面积为12时,点P到直线CD的距离为3.又圆心E到直线CD距离为2(定值),要使△PCD的面积等于12的点P有且只有3个,需圆E的半径=5,解得a="10,"此时,圆E的标准方程为(x-5)2+(y-5)2="50."考点：点到直线的距离公式；直线和圆的位置关系；圆的标准方程.21、试题分析：（1）要证直线BC与平面PAC垂直只需在面PAC内找两条相交直线与BC垂直即得；（2）要证线面平行方法有两个：一是在面内找一条直线与面外的直线平行即可，二是利用面面平行亦可证得线面平行，本题用的是方法二.试题解析：证明：（1）是圆的直径,得,由平面,平面,得,又, 平面,平面,所以平面.（2）连并延长交于,连接,由为的重心，得为中点．由为中点，得,又为中点，得,因为平面,平面,平面,平面所以平面平面.因为平面,所以平面考点：直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定与性质.22、试题分析：（1）由圆心在圆的弦的中垂线上和直线，可得圆心的坐标；由圆心到圆上点的距离等于半径，可得圆的半径的长，代入圆的标准方程即可求得；（2）先判断直线和圆的位置关系，再根据圆上点P到直线的距离最大值为圆心到直线距离加半径，最小值为圆心到直线距离减半径即可求得.试题解析：解：（1）的中点坐标为，∴圆心在直线上,又知圆心在直线上,∴圆心坐标是,圆心半径是,∴圆的方程是（2）设圆心到直线的距离，∴直线与圆相离,∴点到直线的距离的最大值是,最小值是考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系.23、试题分析：（1）根据空间几何体三视图的画法即可画出；（2）由已知可得四棱锥B—CEPD的底面是直角梯形，只需求得其高即可.由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，得平面PDCE⊥平面ABCD；四边形ABCD为正方形，得BC⊥CD；又因为平面PDCE∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，得BC⊥平面PDCE，所以BC是四棱锥的高，代入棱锥的体积公式即可求得.试题解析：解: （1）该组合体的三视图如图所示．（2）∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥CD，且BC＝DC＝AD＝2.又∵平面PDCE∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD.∴BC⊥平面PDCE.∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC.又∵EC∥PD，PD＝2，EC＝1，∴四边形PDCE为一个直角梯形，其面积：S梯形PDCE＝ (PD＋EC) DC＝×3×2＝3，∴四棱锥B—CEPD的体积V B—CEPD＝S梯形PDCE BC＝×3×2＝2.考点：空间几何体的三视图；棱锥的体积.24、试题分析：（1）由△ABC是以AB为底边的等腰三角形，根据中点坐标公式得点E的坐标；根据两直线垂直的充要条件得直线CE的斜率，代入直线的点斜式方程即可求得；（2）由点C既在直线l：x－2y＋2＝0上，又在直线CE上，可得点C的坐标；从而求得线段|AC|＝|BC|＝2，且可证得AC⊥BC，因此得到△ABC是等腰直角三角形，代入三角形的面积公式即可求得结果.试题解析：解：（1）由题意可知，E为AB的中点，∴E(3,2)，且k CE＝－＝1∴CE所在直线方程为：y－2＝x－3，即x－y－1＝0.（2）由得C(4,3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，∴S△ABC＝|AC||BC|＝2.考点：直线的方程；三角形的面积.。

高一数学上学期期末考试试题

福建师大二附中2015—2016学年第一学期高一年期末考数学试卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.) 1．下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．已知A （-1，3）、B （3，-1），则直线AB 的倾斜角为( )A. 45oB. 60o C . 120o D. 135o 3．三视图完全相同的几何体是（）A ．圆锥B ．长方体C ．正方体D ．正四面体 4．过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=05．经过圆0222=++x y x 的圆心C ，且与直线0=+y x 平行的直线方程是 ( ) A.01=++y x B ． 01=+-y x C ．01=-+y xD ．01=--y x6．已知,m n 是两条不重合的直线, ,αβ是不重合的平面, 下面四个命题中正确的是（）A.若,m n α⊂∥α, 则m ∥nB.若,m n m β⊥⊥,则n ∥βC.若,n αβ=m ∥n ,则m ∥α且m ∥βD.若,m m αβ⊥⊥, 则α∥β7.在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.对于直线m ，n 和平面βα,，能得出βα⊥的条件是（） A ．m ⊥n ，α//m ，β//nB ．m ⊥n ，m =βα ，α⊂nC ．n m //，β⊥n ，α⊂mD ．n m //，α⊥m ，β⊥n9．一个几何体的三视图如图1所示，它的体积为（）A. 24πB. 30πC. 48πD. 72π10．已知直线l 过定点(1,2)P -，且与以(2,3)A --，(4,5)B -为端点的线段（包含端点）有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A.()1,5- B ．[]1,5-C.(][)15,-∞-+∞， D ．()1(5,)-∞-+∞，11. 已知圆C 与直线040x y x y -=--=及都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为( ) A ． 22(1)(1)2x y -++= B ．22(1)(1)2x y ++-= C ．22(1)(1)8x y -++=D ． 22(1)(1)8x y ++-=12．若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）.A ]60,15[ .B ]90,0[ .C ]60,30[ .D ]75,15[二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 已知直线a 和两个不同的平面α、β，且a α⊥，a β⊥，则α、β的位置关系是_____.图1正视图俯视图侧视图5 563556314．已知直线22:1=+ay x l ，12:22=+y x a l 且21l l ⊥，则=a 15.如图，圆锥SO 的母线SA 的长度为2，一只蚂蚁从点B 绕着圆锥侧面爬回点B 的最短距离为2，则圆锥SO 的底面半径为 .16如图，OBC ∆为等腰直角三角形，90BOC ∠=︒，3OB =，1BD =，一束光线从点D 入射，先后经过斜边BC 与直角边OC 反射后，恰好从点D 射出，则该光线所走的路程是____________三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 17. （本小题满分12分）已知直线l 经过（-2, 2），且垂直于直线210x y --=.（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .18．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是CB 、CD 、CC 1的中点，求证：平面A B 1D 1∥平面EFG;19．（本小题满分12分）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，O 是AC ，BD 的交点，PA=PC ，PB=PD ，E 是PC 上一点．求证：（1）PO ⊥AB ；（2）．平面PAC ⊥平面BDE ．20. （本小题满分12分）已知ABC ∆中，顶点()2,2A ，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是0x y +=，边AC 上高BE 所在直线的方程是340x y ++=．（Ⅰ）求点B 、C 的坐标；FGEC1D1A1B1DCAB（Ⅱ）求ABC ∆的外接圆的方程．21. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AC CD ⊥，60ABC ∠=°，PA AB BC ==， E 是PC 的中点E（1）证明：AE ⊥平面PCD（2）求PB 和平面PAC 所成的角的正切值 22．（本小题满分14分）已知A ，B 为圆O :224x y +=与y 轴的交点（A 在B 上），过点(0,4)P 的直线l 交圆O 于,M N 两点．（1）若弦MN 的长等于23，求直线l 的方程；（2）若,M N 都不与A ，B 重合时，是否存在定直线m ，使得直线AN 与BM 的交点恒在直线m 上．若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由．福建师大二附中2015—2016学年第一学期高一年期末考数学答题卡5分，共60分）（第22题图）OGP MNA ByACDPE二、填空题（二、填空题（每题4分，共16分）13. 13. 14.15. 15. 16.三、解答题（三、解答题（共74分）17.（本题1217.（本题12分）18. （本题12分）19. （本题12分）20．（本题12分）21. （本题12分）22. （本题14分）OG P MAyACDPE试卷参考答案一选择题；CDCA; ADCC;BBAD二、填空题：13.平行;14.0=a 或1-=a 15. 1/3 16三、解答题： 17：（Ⅰ）由于点P 的坐标是（2-，2）.则所求直线l 与210x y --=垂直，可设直线l 的方程为 20x y C ++=.把点P 的坐标代入得 ()2220C ⨯-++= ，即2C =.所求直线l 的方程为 220x y ++=. ……………………………6分（Ⅱ）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是1-、2-，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积11212S =⨯⨯=. ……………12分 18.证明：连接BC 1∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ∥C 1D 1，AB=C 1D 1， ∴四边形ABC 1D 1是平行四边形 ∴AD 1∥BC 1又∵E ，G 分别是BC ，CC 1的中点 ∴EG ∥BC 1∴EG ∥AD 1又∵EG ⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1∴EG ∥平面AB 1D 1同理EF ∥平面AB 1D 1，且EG EF=E ，EG ⊂平面EFG ，EF ⊂平面EFG∴平面AB 1D 1∥平面EFG20．解（1）由题意可设(34,)B a a --，则AB 的中点D 322(,)22a a --+必在直线CD 上，∴322022a a --++=，∴0a =，∴(4,0)B -， ……………………4分又直线AC 方程为：23(2)y x -=-，即34y x =-，由034x y y x +=⎧⎨=-⎩得，(1,1)C - ……………6分（2）设△ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， ……………………7分则22222220(4)40110D E F D F D E F ⎧++++=⎪--+=⎨⎪++-+=⎩……………………10分得941147D E F ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴△ABC 外接圆的方程为229117044x y x y ++--=．……………………12分21．（本题满分12分）（1）∵在ABC ∆中，60ABC ∠=°，PA AB BC ==，∴ABC ∆为等边三角形，∴PA AC =…（1分）∵在PAC ∆中，E 是PC 的中点，∴AE PC ⊥∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴PA CD ⊥∵AC CD ⊥，PA 与AC 为平面PAC 内两条相交直线，∴CD ⊥平面PAC …………………（4分）∵AE ⊂平面PAC ，∴CD AE ⊥∵AE PC ⊥，PC 与CD 为平面PCD 内两条相交直线，∴AE ⊥平面PCD …………………（6分）（2）取AC 中点F ，连接BF 、PF ，设2PA AB BC AC a ====∵在ABC ∆中，AB BC =，F 为AC 中点，∴BF AC ⊥ ∵PA ⊥底面ABCD ，BF ⊂底面ABCD ，∴PA BF ⊥ ∵PA 与AC 为平面PAC 内两条相交直线，∴BF ⊥平面PAC∴PF 为PB 在平面PAC 内的射影，∴BPF ∠为PB 和平面PAC 所成的ABCDPE角……………………（9分）∵PA ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，∴PA AC ⊥∵2PA AB BC AC a ====，∴5PF a =，3BF a = ∴在Rt PBF ∆中，315tan 5a BPF a ∠== ∴PB 和平面PAC所成的角的正切值为15……………………………………………………（12分）22.本题考查直线、圆、用几何法与代数法研究直线与圆位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，探究论证的能力，考查数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想．满分14分. 解：(Ⅰ)①当k 不存在时，4==AB MN 不符合题意 -----------------------1分②当k 存在时，设直线l ：4y kx =+||23MN =∴圆心O 到直线l 的距离2231d =-= ------------------3分211k ∴=+，解得15k =± -----------------------5分综上所述，满足题意的直线l 方程为154y x =±+ -----------------------6分(Ⅱ)根据圆的对称性，点G 落在与y 轴垂直的直线上令(2,0)N -，则直线:12424x y PN y x +=⇔=+-与圆22:4O x y +=联立得： 2516120x x +==，65M x ∴=-，68(,)55N ∴-，:32BM y x =-- 所以直线:20AN x y -+=与BM 的交点G （-1,1），猜想点G 落在定直线1y =上. ----------------------8分下证：2244y kx x y =+⎧⎨+=⎩得：22(1)8120k x kx +++= 22122122(8)48(1)081121k k k x x k x x k ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩------------------------10分直线AN ：1122y y x x --=，直线BM ：2222y y x x ++= 消去x 得：1221(2)22(2)y x y y y x --=++ 要证：G 落在定直线1y =上，只需证：1221(2)1212(2)y x y x --=++ 即证：1221(2)13(6)kx x kx x +-=+ 即证：121122636kx x x kx x x --=+即证：121246()0kx x x x ++=即证：2212846011k k k k-=++ 显然成立.所以直线AN 与BM 的交点在一条定直线上. --------------------------14分。

2015-2016学年(福建省)高一上学期期末考试数学试题(解析版)8

高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．若，，，则实数（）A. B. C. D. 2或【答案】D【解析】由于两个向量平行，故.点睛：本题主要考查两个向量的位置关系.两个向量，两个向量平行时，有；若两个向量垂直，则有.本题中将题目所给的两个向量的坐标代入，即可求得的值.2．下列图形中可以是某个函数的图象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于函数来说，一个只有唯一一个和其对应，故错误，选.3．函数（且）的图象经过的定点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，函数值恒为，故定点为.4．函数的图象的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正弦函数对称轴为，令，求得对称轴为.5．若，则一定存在一个实数，使得当时，都有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】当时，的图像在的上方，故，排除选项.当时，，而是幂函数，增长速度比对数函数要快，故当时，.故选选项.6．若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于两个向量垂直，根据向量加法的几何性质可知，平行四边形为矩形，对角线相等，即.7．若集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，故.8．若，，则在方向上的投影是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意有投影为.9．若一扇形的周长为4，面积为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，解得，所以弧度数为.10．若函数在上的最大值与最小值之和为，则实数的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意函数在上单调，故，解得.11．（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，即.点睛：本题主要考查两角和的正切公式的变形，考查了化归与转化的数学思想方法.首先注意到题目所给的两个角度的特殊关系，即.而题目涉及到正切的公式，我们就联想到两角和的正切公式，变形为.12．已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A. B.C.D. 【答案】D 【解析】根据夹角为锐角，有，即，也即，即，解得.点睛：本题主要考查平面向量的数量积运算与夹角公式，考查了锐角对应三角函数的取值范围，考查了两个向量的位置关系.题目一开始给定两个向量的模和夹角，那么它们的数量积可以通过公式求解出来.由于后面给定两个向量的夹角为锐角，则转化为数量积大于零，且不等于，就说明两个向量不能共线，由此得到.二、填空题13．，，，则与的夹角是__________．【答案】【解析】，所以夹角为.14．若函数是偶函数，则__________．【答案】【解析】由于函数为偶函数，故需要符合诱导公式中的奇变偶不变，故，由于，所以.15．若，则__________．【答案】【解析】，化简得.所以.16．若定义在上的函数满足，是奇函数，现给出下列4个论断：①是周期为4的周期函数；②的图象关于点对称；③是偶函数；④的图象经过点．其中正确论断的序号是__________（请填上所有正确论断的序号）．【答案】①②③【解析】由可知函数周期为.由是奇函数关于原点对称，可知关于对称，即.，所以函数为偶函数，无法判断其值.综上，正确的序号是①②③.点睛：本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查函数平移变换等知识.在阅读题目的时候，采用逐句转化的方法，即读到“”时，将其转化为函数的周期为，这个要记住小结论，即若，，则函数为周期函数，且周期为.向左平移个单位后得到，这是函数变换的知识.三、解答题17．已知函数．（Ⅰ）求函数的定义域与零点；（Ⅱ）判断函数的奇偶性．【答案】（I）定义域为，零点为；（II）奇函数.【解析】试题分析：（I）定义域为.令，即.（II）利用奇偶性的定义，判断，所以函数为奇函数.试题解析：解：（Ⅰ）∵∴，∴的定义域为．由，得，∴，解得，∴的零点为．（Ⅱ）∵对任意的实数，都有，∴是奇函数．18．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期和递增区间；（Ⅱ）求函数的图象的对称中心的坐标．【答案】（I）最小正周期，单调递增区间是，；（II）对称中心的坐标是，.【解析】试题分析：（I）利用降次公式和二倍角公式，化简，由此得到最小正周期.令，解出的范围即是函数的增区间.（II）令，解出的值即是对称中心的横坐标，由此得到对称中心的坐标.试题解析：解：．（Ⅰ）函数的最小正周期．由，，得，．∴函数的单调递增区间是，．（Ⅱ）由，，得，，∴函数的图象的对称中心的坐标是，．19．已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）是时间（单位：小时，）的函数，记作．如表是某日各时的浪高数据：（时）（米）（Ⅰ）在如图的网格中描出所给的点；（Ⅱ）观察图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（Ⅲ）依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者开放，请依据（Ⅱ）的结论判断一天内的8:00到20:00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行活动．【答案】（I）详见解析；（II），（III）小时.【解析】试题分析：（I）根据题目所给数据进行描点.（II）根据图象，应该选择，利用可求得的值，利用周期可求得的值，最后代入图像上一个最高点或最低点，求得的值.（III）由（II）令，解这个三角不等式可求得的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）（Ⅱ）根据图，应选择．不妨设，，由图可知，，，．∴，又当时，，∴，∴，∴，．∴，∴所求的解析式为．（Ⅲ）由，即，得，即，．又，∴．答：一天内的8:00到20:00之间有4个小时可供冲浪爱好者进行活动．20．已知，，，求的值．【答案】.【解析】试题分析：由于，故可以用诱导公式，将已知的表达式转化为.利用平方差公式，可将化简为.利用对数的运算公式，可将化简为.由此求得的值.试题解析：解：∵．．．∴．21．已知，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）依题意有，利用正切的二倍角公式可求得.（II）利用，求出，由此求得，利用求得，所以.试题解析：解：（Ⅰ）∵，，∴，即．∵，∴，∴，∴，∴．（Ⅱ）∵，∴，又∵，∴，∴，．又，∴．点睛：本题主要考查向量模的概念，考查正切函数的二倍角公式，考查三角恒等变形.第一步是利用向量的模的概念，求得，然后利用正切的二倍角公式求得的值.第二问主要通过划归与转化的思想方法，将进行转化，利用其正切值求得相应的弧度数.22．已知函数的值域为，函数，的值域为．（Ⅰ）求集合和集合；（Ⅱ）若对任意的实数，都存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】试题分析：（I）利用两角和与差的正弦、余弦公式，辅助角公式，化简.所以.对分成三类，利用配方法，分类讨论的取值.（II）由于，，根据题意，有.由（I）的讨论，列出不等式组，由此求得的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）．∴．．（1）若，则，；（2）若，则．∵，∴，当时，，①若，则，∴；②若，则，（i ）若，即，则；（ii ）若，即，则．综上，若，则；若，则；若，则；若，则．（Ⅱ）∵，∴的值域为，∴的值域．∴对任意的实数，都存在，使得，即，或或或第 11 页共 12 页或或或或或或或．∴所求的取值范围为．点睛：本题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式，辅助角公式.考查恒成立问题的处理方法，考查三角函数的值域等知识，还考查了分类讨论的数学思想方法.第一问主要利用三角函数公式进行三角恒等变形，化为一个角且次数为一次的三角函数，由此求得值域.第二问需要对分类讨论，情况比较多，分类要做到不重不漏.第 12 页共 12 页。

福建省八县一中高一数学上学期期末考试试题

福建省八县一中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球的组合体 2．已知A （-1，3）、B （3，-1），则直线AB 的倾斜角为( )A. 45oB. 60o B. 120o D. 135o3．已知直线1:21l y x =+，若直线2l 与1l 关于直线1x =对称，则2l 的斜率为( )A ．－2B ．－12 C.12D ．24．123,,l l l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．1223,l l l l ⊥⊥13l l ⇒PB ．1223,l l l l ⊥P 13l l ⇒⊥C ．123l l l P P 123,l l l ⇒,共面D ．123,l l l ,共点123,l l l ⇒,共面5．在空间直角坐标系中一点P （1，3，4）到x 轴的距离是（）A ．5B ．10C ．17D ．266．若两条平行线12,l l 的方程分别是2x ＋3my －m ＋2＝0， mx ＋6y －4＝0，记12,l l 之间的距离为d ，则m ，d 分别为（）A. m=2，d=41313B. m=2，d=105C. m=2，d=2105D. m=–2，d=1057．设, l m 是两条不同直线，, αβ是两个不同平面，下列命题正确的是（） A ．若,l m m α⊥⊂，则lα⊥ B ．若,l l αβP P ，则αβ//C ．若,l l m α⊥P ，则m α⊥D ．若,l ααβ⊥P ，则l β⊥8．直线y =—3x 绕原点按逆时针方向旋转090后所得直线与圆 (x-2)2+y 2=1的位置关系是（）A ．直线过圆心B ．直线与圆相交，但不过圆心C ．直线与圆相切D ．直线与圆没有公共点9．平面α的斜线l 与平面α所成的角是45°，则斜线l 与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°10．一个正八面体的八个顶点都在同一个球面上，．则这个球的表面积为（） A ．πB ．2πC ．4πD ．2π11．点P (4，－2)与圆224x y ＋＝上任一点连线的中点的轨迹方程是（） A ．22(2)1)1x y -+＋(＝B ．22(2)1)4x y -+＋(＝C ．22(4)2)4x y +-＋(＝D ．22(2)1)1x y +-＋(＝12．设集合{(,)|}A x y y x ==与集合{(,)|}B x y x a a R ==∈，若A B ⋂的元素只有一个，则实数a 的取值范围是（）A ．a =．11a -<<或a =C ．a =或11a -≤< D ．11a -<≤或a =第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置上.) 13．若直线3y x b =+过圆22240x y x y ++-=的圆心，则b =________.14．一个圆锥的轴截面是个边长为2的正三角形，这个圆锥的侧面积等于 . 15．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝__________. 16．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B ，E ，F ，C 四点共面； ②直线BF 与AE 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD ；.⑤折线B →E →F →C 是从B 点出发，绕过三角形PAD 面，到达点C 的一条最短路径.其中正确的有_____________．(请写出所有符合条件的序号)三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 17．（本大题12分）已知直线l ：kx －y ＋1－2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，且|OA |=|OB |，求k 的值。

2015-2016学年福建省八县一中高一上学期期末考试数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015-2016学年福建省八县一中高一上学期期末考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：150分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知两点，，若点是圆：上的动点，则面积的最小值为( ).A ．6BC ．8D ．2、已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于( ). A ．B ．C ．D ．3、已知点在圆：外，则直线与圆的位置关系是( ).A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定4、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( ).A ．B ．C ．D ．5、若圆关于直线对称，则实数的值为( ).A ．B ．C ．1D ．36、已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．若，，则B ．若，，，则C ．若，，则D ．若，，则7、若直线：与直线：垂直，则实数( ).A ．B ．C ．2D ．或28、如图，是水平放置的的直观图，则的面积是( )A ．12B ．C ．6D ．9、若，是异面直线，直线，则与的位置关系是( ).A ．相交B ．异面C ．异面或相交D ．平行10、已知直线的方程为，则直线的倾斜角为( ). A ．B ．C ．D ．11、如图，记长方体被平行于棱的平面截去右上部分后剩下的几何体为，则下列结论中不正确的是( )A ．B ．四边形是平行四边形C ．是棱柱D ．是棱台第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）12、已知一个空心密闭（表面厚度忽略不计）的正四面体工艺品的棱长为，若在该工艺品内嵌入一个可以在其内部任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值为____．13、若圆：与圆：外切，则的值为_____.14、两直线和平行，则它们之间的距离为_________．15、在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，，，，则的中点的坐标为__________，_______．三、解答题（题型注释）16、已知圆：，直线：．（1）若直线被圆截得的弦长为，求实数的值；（2）当时，由直线上的动点引圆的两条切线，若切点分别为，，则在直线上是否存在一个定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．17、如图，是圆的直径，是圆上不同于,的一点，平面，是的中点，，．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．18、已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上．（1）求圆的标准方程；（2）若是圆上的动点，求的最大值与最小值．19、如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，为的中点，求证：（1）平面∥平面；（2）平面．20、已知直线与直线交于点．（1）求过点且平行于直线的直线的方程；（结果都写成一般方程形式）（2）求过点的所有直线中使原点到此直线的距离最大的直线的方程．21、如图，在直三棱柱中，为的中点，，，．（1）求证：∥平面；（2）求三棱锥的体积．参考答案1、B2、D3、C4、B5、C6、D7、A8、A9、C10、B11、D12、13、914、215、；.16、(1)；(2) 在直线上存在一个定点，定点坐标为.17、(1)详见解析；(2).18、(1) ；(2) 最小值为，最大值为24．19、（1）详见解析；（2）详见解析.20、(1) ；(2) .21、（1）详见解析；（2）1.【解析】1、试题分析：直线的方程为，即，圆：化为，圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为，圆：上的动点到直线距离的最小值为，又，则面积的最小值为.考点：圆上的点到直线的最小距离.2、试题分析：设，，，故，，又，，化简得：，即，故点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，面积为.考点：轨迹方程.3、试题分析：点在圆：外，故，圆心到直线的距离为，故直线与圆的位置关系是相交.考点：1.点与圆的位置关系；2.直线与圆的位置关系.4、试题分析：由三视图可知几何体为圆锥和半球的组合体.半球的半径为1，圆锥的高为为，故圆锥的母线长为，故几何体的表面积.考点：1.三视图还原主观图；2.圆锥的表面积；3.球的表面积.5、试题分析：若圆关于直线对称，故圆心在直线上，又圆心坐标为，故，解得.考点：关于直线对称的圆的方程.6、试题分析：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，在A中：若，，则，相交、平行或异面，故A错误；在B中：若，，，则，相交、平行或异面，故B错误；在C中：若，，则或，故C误；在D中：若，，由面面平行的性质定理知，，故D正确.考点：空间中直线、平面之间的位置关系.7、试题分析：直线：与直线：垂直，则，.考点：直线与直线垂直的判定.8、试题分析：根据斜二测画法知为直角三角形，底面边长，高，故的面积是.考点：平面图形的直观图.9、试题分析：在正方体中考虑，设为直线，为直线，当为直线时满足，则与异面，当为直线时满足，则与相交，故与的位置关系是异面或相交.考点：空间中直线与直线的位置关系.10、试题分析：直线的方程为，故直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，故.考点：直线的倾斜角与斜率.11、试题分析：，，.又//平面，平面，平面平面，，，故A对；又，四边形是平行四边形，，同理，故.故四边形是平行四边形.故B对；把平面，平面看做底面，其余各面是平行四边形，故是棱柱，故C对，D错.考点：1.直线与平面平行的性质定理；2.空间中直线与直线的位置关系.12、试题分析：在该正四面体内嵌入一个正方体，且正方体可以任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长.设求的半径为，四面体的高为，则根据正四面体的体积关系，得，设正方体的最大棱长为，则，．考点：1.四面体的内接球；2.球的内接四边形.13、试题分析：圆：的标准方程为，圆心为，半径为，圆心距为，圆：与圆：外切，故，解得．考点：圆与圆的位置关系．14、试题分析：直线的斜率为，直线和平行，直线的斜率，故，两直线为和，由两平行线间的距离公式知. 考点：1.直线与直线平行的判定；2.两条平行线间的距离公式.15、试题分析：由图可知：，，，，，由两点的中点坐标公式知，的中点的坐标为，即；由两点间的距离公式知，.考点：1.空间中两点的中点坐标公式；2.空间中两点的距离公式16、试题分析：(1)根据直线与圆相交，利用弦长公式即可；(2)根据直线与圆相切的条件，列出方程进行求解判断.试题解析：(1)圆的方程可化为，故圆心为，半径.则圆心到直线的距离为.又弦长为，则，即，解得.(2)当时，圆的方程为①则圆心为，半径，圆与直线相离.假设在直线上存在一个定点满足条件，设动点，由已知得PA⊥AC，PB⊥BC，则在以为直径的圆即②上，①—②得，直线的方程为③又点在直线上，则，即，代入③式得，即直线的方程为因为上式对任意都成立，故，得.故在直线上存在一个定点，定点坐标为考点：直线与圆的位置关系.17、试题分析：(1)要证异面直线，只需证垂直于所在的平面，再根据直线与平面垂直的判定定理知和即可；(2)由(1)知，那么过作后可知平面，则，是二面角的平面角.试题解析：(1)证明：∵平面，平面，∴.又是圆的直径，是圆上不同于，的一点，∴，即，又，∴平面，又平面，∴.∵，是的中点，∴，又，∴平面，又平面，∴(2)过作交于，连接.又由（1）得，，∴平面，又平面，∴，又，∴是二面角的平面角∵在中，，则，，在中，，，同理得，∴在中，.故二面角的正弦值为.考点：1.线面垂直的判定定理；2.二面角的求法.18、试题分析：(1)圆心在，的垂直平分线上，又圆心在上，联立方程可求出圆心的坐标；(2)令，即.当直线与圆相切于点时，取得最值.试题解析：(1)线段的中点为，又，故线段的垂直平分线方程为，即由得圆心，圆的半径长，故圆的标准方程为(2)令，即.当直线与圆相切于点时，取得最值则圆心到直线的距离为，解得或.故的最小值为，最大值为考点：1.圆的方程的求法；2.直线与圆的位置关系.19、试题分析：（1）由垂直于同一个平面的两直线平行知∥，又∥，再由面面平行的判定定理可得平面∥平面；（2）由线面垂直的判定定理易证平面，再证四边形为平行四边形，则∥，于是⊥平面.试题解析：证明：(1)平面，平面，∥.又平面，平面，∥平面.四边形为正方形，∥又平面，平面PDA.∥平面.平面，平面，，平面∥平面.(2) 设与相交于点，连接.四边形为正方形，为的中点，又为的中点，∥且.又由（1）得∥，且，∥且，四边形为平行四边形∥，即∥.平面，平面，.又，，平面，又∥，⊥平面考点：1.平面与平面平行的判定定理；2.直线与平面垂直的判定定理；3.直线与平面垂直的性质定理.20、试题分析：(1)先求出直线与直线交于点，再根据直线与直线平行的关系求出直线的的斜率，最后根据直线点斜式方程即可写出的方程；(2) 当时，原点到直线的距离最大．试题解析：(1)由得，直线与直线交于点，由已知得直线的斜率为，故直线的方程为即．(2)当时，原点到此直线的距离最大．又，则直线的斜率为，故直线的方程为即．考点：1.直线与直线平行的判定；2.直线与直线平行的垂直；3.直线的点斜式方程.21、试题分析：（1）第一步证明线面平行，有三种方法（1.判定定理，线线平行线面平行；2.面面平行线面平行；3.利用向量的方法证明），首选是线面平行的判定定理，按判定定理只需寻求线线平行，本题借助三角形去证.设与相交于点，连接，则由中位线定理知，从而∥平面；（2）把看做棱锥的底面，则为三棱锥的高，带入体积公式即可.试题解析：(1) 证明：设与相交于点，连接.四边形是平行四边形，点为的中点，又为的中点，平面，平面，∥平面.(2) 在直三棱柱中，侧棱面，故为三棱锥的高，，为的中点，,.考点：1.线面平行的判定；2.等体积法.。

福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题

福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题试卷说明：福建师大附中2015-2016学年高（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（5分）下列条件中，能使α∥β的条件是（）A．平面α内有无数条直线平行于平面βB．平面α与平面β同平行于一条直线C．平面α内有两条直线平行于平面βD．平面α内有两条相交直线平行于平面β考点：平面与平面之间的位置关系．.专题：规律型．分析：直接利用平面与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的定义，判断选项即可．解答：解：对于A，如果直线都是平行线，平面α不平行于平面β，所以A不正确；对于B，平面α与平面β同平行于一条直线，这条直线平行与两个平面的交线，两个平面也不平行，B不正确；对于C，平面α内有两条直线平行于平面β，不满足直线与平面平行的判定定理，所以C不正确；对于D，平面α内有两条相交直线平行于平面β，这是两个平面平行的判定定理，所以正确．故选D．点评：本题考查平面与平面平行的判定定理与定义的应用，基本知识的考查．2．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（）A．135°，1B．45°，?1C．45°，1D．135°，?1考点：直线的截距式方程；直线的倾斜角．.专题：计算题．分析：先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角；在直线方程中，令x=0，能得到它在 y 轴上的截距．解答：解：∵直线x+y+1=0的斜率为?1，所以它的倾斜角为135°，在x+y+1=0中，由x=0，得y=?1，∴x+y+1=0在 y 轴上的截距为?1．故选D．点评：本题考查直线的倾斜角的求法和求直线的截距，解题时要注意公式的合理运用．3．（5分）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或2条考点：平面的基本性质及推论．.分析：画出把空间分成7部分时的三个平面，如图产，可知它们的交线情况，从而解决问题．解答：解：根据题意，三个平面把空间分成7部分，此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线．故选C．点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题．4．（5分）已知直线l1：ax?y+a=0，l2：（2a?3）x+ay?a=0互相平行，则a的值是（）A．1B．?3C．1或?3D．0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．.专题：计算题；直线与圆．分析：利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值．解答：解：因为直线l1：ax?y+a=0，的斜率存在，斜率为a，要使两条直线平行，必有l2：（2a?3）x+ay?a=0的斜率为a，即=a，解得 a=?3或a=1，当a=1时，已知直线l1：ax?y+a=0，l2：（2a?3）x+ay?a=0，两直线重合，当a=?3时，已知直线l1：?3x+y?3=0与直线l2：?3x?y=1，两直线平行，则实数a的值为?3．故选B．点评：本题考查两条直线平行的判定，是基础题．本题先用斜率相等求出参数的值，再代入验证，是解本题的常用方法5．（5分）（2009?浙江）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．.分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l ⊥α，α⊥β，则l?β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l?β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a ∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．6．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为（）A．2B．3C．D．5考点：基本不等式．.专题：计算题．分析：由题意可得，3a+4b=15，而a2+b2==，根据二次函数的性质可求解答：解：由题意可得，3a+4b=15∵a2+b2==根据二次函数的性质可得，当b=时有最小值9则的最小值为3故选B点评：本题主要考查了最值的求解，解题的关键是根据已知关系把所求的式子转化为二次函数的最值求解7．（5分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（）A．2B．C．2D．4考点：平面图形的直观图．.专题：计算题；作图题．分析：根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求．解答：解：如图，有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．故应选D．点评：本题考查斜二测画法作图规则，属于规则逆用的题型．8．（5分）若P（2，?1）为圆（x?1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x?y?3=0B．2x+y?3=0C．x+y?1=0D．2x?y?5=0考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．.专题：计算题．分析：由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解答：解：已知圆心为O（1，0）根据题意：Kop=kABkOP=?1kAB=1∴直线AB的方程是x?y?3=0故选A点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．9．（5分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．B．56πC．14πD．16π考点：球的体积和表面积．.专题：计算题．分析：根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球的表面积．解答：解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是圆的直径，因为长方体的体对角线的长是：球的半径是：这个球的表面积：4 =14π故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征，以及球的内接多面体的有关知识，球的表面积公式，而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线，考查计算能力，空间想象能力，此题属于基础题．10．（5分）（2009?宁夏）已知圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x?y?1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y?2）2=1B．（x?2）2+（y+2）2=1C．（x+2）2+（y+2）2=1D．（x?2）2+（y?2）2=1考点：关于点、直线对称的圆的方程．.专题：计算题．分析：求出圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1的圆心坐标，关于直线x?y?1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程．解答：解：圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1的圆心坐标（?1，1），关于直线x?y?1=0对称的圆心坐标为（2，?2）所求的圆C2的方程为：（x?2）2+（y+2）2=1故选B点评：本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键．11．（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交考点：直线与圆的位置关系．.专题：计算题．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=a，由M为圆内一点得到：＜a，则圆心到已知直线的距离d=＞=a=r，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选C点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．12．（5分）如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF ∥平面ABCD C．三棱锥A?BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等考点：棱柱的结构特征．.专题：计算题．分析：A．AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；B．EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义证线面平行；C．三棱锥A?BEF 的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF 的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确．福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题。

福建省八县(市)一中2015届高三上学期半期联考理科数学试卷(解析版)

福建省八县（市）一中2015届高三上学期半期联考理科数学试卷（解析版）一、选择题1．已知R 为实数集，M =}02|{2<-x x x ，N =}1|{-=x y x ，则)(N C M R =（）A ．}10|{<<x xB ．}20|{<<x xC ．}2|{<x xD ．Φ 【答案】C 【解析】【试题分析】{}{}2|20|02M x x x x x =-<=<<，{}{||1N x y x x ===≥，{}|1U N x x =<ð，{}()|x 2U M N x =<ð考点：解不等式、函数的定义域、集合的表示及运算 2．同时满足两个条件：（1）定义域内是减函数；（2）定义域内是奇函数的函数是（） A 、()x x x f -= B 、()x x x f 1+= C 、()x x f tan = D 、()xx x f ln = 【答案】A 【解析】【试题分析】对于A ，当0x >时，22,0(),0x x f x x x ⎧->⎪=⎨<⎪⎩，画出其图象可知，()f x 是奇函数，且是减函数，所以A 正确对待。

考点：函数的单调性、奇偶性3．函数()x e x f xcos =的图象在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为（）A ．4π B ．0 C ．43π D ．1 【答案】A 【解析】【试题分析】()e cos sin xxf x x e x '=-，所以0(0)e cos0e sin01k f '==-=，所以倾斜角4πα=考点：导数、直线的斜率与倾斜角4．设,x y ∈R ，向量(2,),(,2)(2,4)a x b y c ==-=-，且,//a c b c ⊥，则a b +等于（）A ．．10 【答案】B 【解析】【试题分析】因为,//a c b c ⊥，所以2240x ⨯-=，44y -=-，1,1x y ==，(3,1)a b +=-，故||10a b +=考点：向量的坐标运算5．下列结论错误的是（）A ．命题：“若0>>b a ，则22b a >”的逆命题是假命题；B ．若函数)(x f 可导，则0)(0='x f 是0x 为函数极值点的必要不充分条件；C ．向量,a b 的夹角为钝角的充要条件是0<⋅；D ．命题:p “1,+≥∈∃x e R x x ”的否定是“1,+<∈∀x e R x x” 【答案】C 【解析】【试题分析】“若0>>b a ，则22b a >”的逆命题是，若“22b a >，则0>>b a ”，当2,1a b =-=时，不成立，故该命题为假命题，所以A 正确；由导数意义和极值定义可知，B 正确；当0<⋅时，向量,a b 的夹角为钝角或者等于π，所C 是是错误的；所以应选C 考点：命题与逻辑连结词6．已知函数)sin()(ϕω+=x x f （其中,0>ω2πϕ<）图象相邻对称轴的距离为2π，一个对称中心为)0,6(π-,为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象（）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向左平移12π个单位【答案】D 【解析】【试题分析】因为)sin()(ϕω+=x x f （其中,0>ω2πϕ<）图象相邻对称轴的距离为2π，所以函数()f x 的周期为π，所以2ω=，又一个对称中心为)0,6(π-，所以sin[2()]0,6πφ⋅-+=2πϕ<，所以3πφ=，所以()sin(2)cos(2)cos(2)cos[2()]323612f x x x x x πππππ=+=-++=-=-，所以只需将()f x 的图象向左平移12π个单位，即可得到x x g ωcos )(=的图象。

2015-2016学年福建省福州八中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年福建省福州八中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1 B．135°，﹣1 C．90°，不存在D．180°，不存在【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】阅读型．【分析】利用直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，选出答案．【解答】解：∵直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，而斜率不存在，故选C．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及直线的图象特征与直线的倾斜角、斜率的关系．2．直线y﹣2=mx+m经过一定点，则该点的坐标是（）A．（﹣2，2）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，1）【考点】恒过定点的直线．【专题】直线与圆．【分析】直线y﹣2=mx+m的方程可化为m（x+1）﹣y+2=0，根据x=﹣1，y=2时方程恒成立，可直线过定点的坐标．【解答】解：直线y﹣2=mx+m的方程可化为m（x+1）﹣y+2=0当x=﹣1，y=2时方程恒成立故直线y﹣2=mx+m恒过定点（﹣1，2），故选：C．【点评】本题考查直线恒过定点，解题的关键是将方程中的参数分离，属于基础题．3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，α与β相交或相行；在B中，α与β不一定垂直；在C中，由由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或相行，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β=m，n⊂α，则α与β不一定垂直，故B错误；在C中，m∥n，n⊥β，m⊂α，由由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【专题】规律型．【分析】原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A'B'=2，下底为BC=1+，∴．故选：A．【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础．5．与圆x2+y2+4x﹣4y+7=0和x2+y2﹣4x﹣10y+13=0都相切的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】确定两圆相外切，即可得出结论．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y+7=0的圆心为（﹣2，2），半径为1，x2+y2﹣4x﹣10y+13=0圆心是（2，5），半径为4故两圆相外切∴与圆x2+y2+4x﹣4y+7=0和x2+y2﹣4x﹣10y+13=0都相切的直线共有3条．故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．6．正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A．1：B．1：3 C．1：3D．1：9【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】设出正方体的棱长，分别求出正方体的内切球与其外接球的半径，然后求出体积比．【解答】解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1：3，选C【点评】本题考查正方体的内切球和外接球的体积，是基础题．7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（）A．与AC、MN均垂直相交B．与AC垂直、与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直 D．与AC、MN均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零【解答】解：以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图因为正方体的棱长为2，则D（0，0，0）、D1（0，0，2）、M（0，0，1）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、O（1，1，0）、N（0，1，2）．∴=（﹣1，﹣1，1），=（0，1，1），=（﹣2，2，0）．∴=0，=0，∴OM⊥AC，OM⊥MN．故选A．【点评】本题考查用空间向量的方法来判断线线垂直，解答本题的关键是正确建立坐标系，使所求坐标化，利用向量的坐标运算解答．8．设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4 C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2【考点】圆的切线方程；轨迹方程．【专题】计算题．【分析】圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，根据PA是圆的切线，且|PA|=1，可得，从而可求P点的轨迹方程【解答】解：设P（x，y），则由题意，圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1∵PA是圆的切线，且|PA|=1∴∴P点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2故选D．【点评】本题以圆的标准方程为载体，考查圆的切线性质，考查轨迹方程的求解，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是0或．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】分类讨论；转化法；直线与圆．【分析】根据直线平行的等价条件进行求解即可．【解答】解：若a=0，则两直线方程为x﹣1=0，﹣x﹣1=0，满足两直线平行，当a≠0时，若两直线平行，则，得a=，故答案为：0或．【点评】本题主要考查直线平行的求解和应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．10．若点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c），（e，f，d），则c+e=1．【考点】空间中的点的坐标．【专题】空间位置关系与距离．【分析】点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy的对称点为（﹣4，﹣2，﹣3），点P（﹣4，﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标（4，﹣2，﹣3），求出c与e的值，即可求得c与e的和．【解答】解：∵点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy的对称点为（﹣4，﹣2，﹣3），点P（﹣4，﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标（4，﹣2，﹣3），点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c）、（e，f，d），∴c=﹣3，e=4，∴c+e=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查求空间中的一个点关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标的求法，属于基础题．11．已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长×．【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，∴底面半径=1，底面周长=2π，∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π，故答案为：2π．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式、圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．12．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；．⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．其中正确的有①②③．（请写出所有符合条件的序号）【考点】棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】首先可根据几何体的平面展开图画出其直观图，然后根据中位线的性质，两条平行直线可确定一个平面，异面直线的概念，线面平行的判定定理，二面角的平面角的定义及求法，即可判断每个结论的正误，而对于结论⑤，可画出该几何体沿底面正方形的边，及侧棱PD剪开后所得的平面展开图，由该展开图即可求出从B点出发，绕过平面PAD，到达点C的最短距离，从而判断出该结论的正误．【解答】解：根据几何体的平面展开图，画出它的直观图如下：①根据已知，EF∥AD∥BC；∴EF∥BC；∴B，E，F，C四点共面；∴该结论正确；②由图可看出BF和AE异面；∴该结论正确；③由①EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC；∴EF∥平面PBC；∴该结论正确；④分别取AD，EF，BC的中点G，H，M，并连接GH，HM，MG，则GH⊥EF，HM⊥EF；而EF是平面BCE和平面PAD的交线；∴∠GHM为平面BCE与平面PAD形成的二面角的平面角；若设该几何体的侧棱长为2，则：GH=，HM=，MG=2；显然GH2+HM2≠MG2；∴∠GHM≠90°；∴平面BCE与平面PAD不垂直；∴该结论错误；⑤把该正四棱锥沿底面各边及侧棱PD剪开，得到的展开图如下：BH⊥PA，∴B到侧棱PA的最短距离为BE，BE=；过E作EN⊥PD，则EN是点E到PD的最短距离，且EN=，NP=；而N到C的最短距离便是线段NC的长，NC=；∴从B点出发，绕过PAD面到达C点的最短距离为；而BE+EF+FC=；∴该结论错误；综上得正确的结论为①②③．故答案为：①②③．【点评】考查中位线的性质，两平行直线可确定一个平面，能根据几何体的平面展开图画出它的直观图，线面平行的判定定理，以及二面角的平面角的概念及求法，将立体图形转变成平面图形解题的方法．三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x﹣2y+2=0上．（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】（I）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．（II）联立直线方程可得交点，利用直角三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，E为AB的中点，∴E（3，2），k AB==﹣1．且k CE=﹣=1，∴CE：y﹣2=x﹣3，即x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）由得C（4，3），∴|AC|=|BC|=2，AC⊥BC，∴S△ABC==2．【点评】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的交点、直角三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．14．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．（1）请画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥B﹣CEPD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知中底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．根据三视图的定义，易得到该几何体的三视图；（2）由已知中PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2EC=2，我们计算出棱锥的底面面积和高，代入棱体积公式，即可求出四棱锥B﹣CEPD的体积；【解答】解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：（3分）（2）∵PD平面ABCD，PD⊂平面PDCE∴平面PDCE⊥平面ABCD∵BC⊥CD∴BC⊥平面PDCE（5分）∵S PCDE=（PD+EC）•DC=3（6分）∴四棱锥B﹣CEPD的体积V=•S PCDE•BC=2．（8分）【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，棱锥的体积，熟练掌握空间几何图形的几何特征，三视图的定义及画法，棱锥的体积公式是解答本题的关键．15．已知圆C经过点A（﹣1，0）和B（3，0），且圆心在直线x﹣y=0上．（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）为圆C上任意一点，求点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值和最小值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）确定圆心坐标与半径，可求圆C的方程；（2）点P到直线x+2y+4=0的距离转化为圆心到直线x+2y+4=0的距离问题．【解答】解：（1）AB的中点坐标为（1，0），∴圆心在直线x=1上，…（1分）又知圆心在直线x﹣y=0上，∴圆心坐标是（1，1），圆心半径是，…（4分）∴圆方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=5；…（7分）（2）设圆心到直线x+2y+4=0的距离，∴直线x+2y+4=0与圆C相离，…（9分）∴点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值是，…（12分）最小值是．…（15分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的转化能力，正确转化是关键．16．如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC，根据直线和平面垂直的判定定理可得结论．（2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点．利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC，QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC．【解答】解：（1）AB是圆O的直径，PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC．再由AC∩PA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC．（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点．故OM是△ABC的中位线，QM是△PAC的中位线，故有OM∥BC，QM∥PC．而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，故平面OQM∥平面PBC．又QG⊂平面OQM，∴QG∥平面PBC．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）17．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是（）A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】压轴题．【分析】考虑三个点的位置，可能在平面同侧，也可能在两侧，不难判定结论的正确性．【解答】解：已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则可能三点在α的同侧，即．平面ABC平行于α，这时三条中位线都平行于平面α；也可能一个点A在平面一侧，另两点B、C在平面另一侧，则存在一条中位线DE∥BC，DE在α内，所以选D．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考虑仔细全面，找反例有时事半功倍，是基础题．18．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．19．已知M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=x+b}且M∩N≠∅，则实数b的取值范围是（）A．[﹣3，3]B．[﹣3.3]C．[﹣3，﹣3）D．（﹣3，3]【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】集合M表示的图形是一个半圆．N}表示一条直线，当直线和圆相切时，求出b值．当直线过点（3，0）时，求出对应的b值，结合结合图形可得实数b的取值范围．【解答】解：集合M={（x，y）|y=，y≠0}表示的图形是一个以原点为圆心，以3为半径的半圆（x轴以上部分），如图：N={（x，y）|y=x+b}表示一条直线．当直线和圆相切时，由r=3=，解得b=3，或b=﹣3（舍去）．当直线过点（3，0）时，0=3+b，b=﹣3．当M∩N≠∅时，结合图形可得实数b的取值范围是（﹣3，3]，故选D．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．20．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣4）=f（x），且在区间[0，2]上f（x）=x，若关于x的方程f（x）=log a x有三个不同的根，则a的范围为（）A．（2，4）B．（2，2）C．（，2）D．（，）【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的图象；函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先求出f（x）的周期是4，画出函数的图象，得到关于a的不等式，解得即可【解答】解：：由f（x﹣4）=f（x）可得周期等于4，当x∈（0，10]时，函数的图象如图f（2）=f（6）=f（10）=2，再由关于x的方程f（x）=log a x有三个不同的根，可得，解得a∈，故选D．【点评】本题主要考查函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）21．设点A（﹣3，5）和B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4=0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为5．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4=0的对称点为A′（a，b），求出A′．可得|PA|+|PB|的最小值=|A′B|．【解答】解：设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4=0的对称点为A′（a，b），则，解得A′（3，﹣3）．则|PA|+|PB|的最小值=|A′B|=5．故答案为：5．【点评】本题考查了点关于直线对称点的求法、互相垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=π×（）3=π．故答案为：π．【点评】本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题．三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（﹣4，0），D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式；圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）根据△AOB为等腰直角三角形，算出它的圆心为E（，），半径r=．求出直线CD的方程，根据⊙E与CD相切，利用点到直线的距离公式建立关于a的等式，解之即可得出实数a的值；（2）由|CD|=4与△PCD的面积等于12，算出P到直线CD的距离为d=3．若满足条件的点P有3个，说明与CD平行且与CD距离为3的两直线中的一条与⊙E相切且另一条与⊙E相交．由此算出⊙E的半径，进而算出实数a的值，得到满足条件的⊙E的标准方程．【解答】解：（1）∵C（﹣4，0）、D（0，4），∴直线CD方程为．化简得x﹣y+4=0．又∵△AOB的外接圆圆心为E（，），半径r=．∴由⊙E与直线CD相切，得圆心E到直线CD的距离等于半径，即=，即=，解之得a=4；（2）C（﹣4，0）、D（0，4），可得|CD|==4，设P到直线CD的距离为d，可得△PCD的面积S=|CD|×d=12，即，解之得d=3．因此，只须与CD平行且与CD距离为3的两条直线中的一条与⊙E相切，另一条与⊙E相交．∵由（1）的计算，可知圆心E到直线CD距离为2，∴圆E的半径为2+3=，即r==，解得a=10．即存在a=10，满足使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，⊙E的标准方程是（x﹣5）2+（y﹣5）2=50．【点评】本题给出三角形AOB的外接圆与直线CD，探究直线与圆的位置关系．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E 为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．【解答】解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．。

福建省八县一中2015-2016学年高一数学上学期期末试卷及答案

2015-2016学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中一年数学科试卷参考公式：锥体体积公式：13V Sh =；球的体积公式：343V R π=；圆锥侧面积公式：S rl π=；球的表面积公式：24S R π=第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．）1．已知直线l 的方程为y ＝x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B．45° C．60° D．135°2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．异面或相交D ．平行3．如图，△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积是( )A ．12B ．6 2C ．6D ．3 24．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y －1＝0垂直，则实数a ＝( )A ．23B ．－1C ．2D ．－1或2 5．已知 a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若α⊥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ⊥bC ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥αD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β6．若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，则实数m 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．37．如图，记长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平行于棱B 1C 1的平面EFGH 截去右上部分后剩下的几何体为Ω，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．EH ∥FG B ．四边形EFGH 是平行四边形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台221俯视图侧视图正视图8．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线B 1C 与平面DD 1B 1B 所成角的大小为( )A ．30° B．45° C ．60° D ．90°10．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝4外，则直线 ax ＋by ＝4与圆O 的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定 11．已知两定点A (－3，0)，B (3，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．9πD ．16π12．已知两点A (0，－3)、B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( )A ．6B ．112C ．8D ．212第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置．）13．在如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA|＝8，|DC|＝6，|DD 1|＝3，则D 1B 1的中点M 的坐标为__________，|DM|＝_______．14．两直线3x ＋4y －9＝0和6x ＋my +2＝0平行，则它们之间的距离为 ___________．15．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 的值为__________．16．已知一个空心密闭（表面厚度忽略不计）的正四面体工艺品的棱长为36，若在该工艺品内嵌入一个可以在其内部任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值为____．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、推证过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，D 为AC 的中点，90ABC ∠=︒，12AA AB ==，3BC =．（1）求证：1AB ∥平面1BC D ；（2）求三棱锥1-D BC C 的体积．18．（本小题满分12分）已知直线280x y +-=与直线210x y -+=交于点P ．（1）求过点P 且平行于直线4370x y --=的直线1l 的方程；（结果都写成一般方程形式）（2）求过点P 的所有直线中使原点O 到此直线的距离最大的直线2l 的方程．19．（本小题满分12分）如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，棱PD 与EC 均垂直于底面ABCD ，2PD EC =，N 为PB 的中点，求证：（1）平面EBC ∥平面PDA ；（2）NE ⊥平面PDB ．20．（本小题满分12分）已知圆心为C 的圆经过点(0,2)A 和(1,1)B ，且圆心C 在直线 B 1D C A 1AC B N E C AD Pl ：50x y ++=上．（1）求圆C 的标准方程；（2）若(,)P x y 是圆C 上的动点，求34x y -的最大值与最小值．21．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上不同于,A B 的一点，PA ⊥平面ABC ，E 是PC 的中点，3AB =，1PA AC ==．（1）求证：AE ⊥PB ；（2）求二面角A PB C --的正弦值．22．（本小题满分12分）已知圆C ： 226850x y x y t +---=，直线l ：3150x y ++=．（1）若直线l 被圆C 截得的弦长为210，求实数t 的值；（2）当1t =时，由直线l 上的动点P 引圆C 的两条切线，若切点分别为,A B ，则在直线AB 上是否存在一个定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由． E O BCO B 1D C 1C A A 1B 2015-2016学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中一年数学科试卷参考答案一、选择题 B C A A D C D B A C D B二、填空题 13.（4,3,3），34 14. 2 15. 9 16、 3（注：13题两个空格中答对一个得3分，全对得5分）三、解答题17．解：(1) 证明：设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD∵四边形BCC 1B 1是平行四边形 ∴点O 为B 1C 的中点又D 为AC 的中点 ∴OD ∥AB 1 …………………3分 ∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D∴AB 1∥平面BC 1D …………………5分(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱CC 1⊥平面ABC故CC 1为三棱锥C 1BCD 的高，CC 1＝A 1A ＝2∵D 为AC 的中点，90ABC ∠=︒∴S △BCD ＝12S △ABC ＝12(12BC ·AB )＝32∴V D B C 1C ＝V C 1BCD ＝13 S △BCD ·CC 1＝13×32×2＝1 ………………10分18．解：(1)由280210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得(3,2)P …………………3分由已知得直线1l 的斜率为143k =故直线1l 的方程为42(3)3y x -=-即4360x y --=……………6分(2)当2OP l ⊥时，原点O 到此直线的距离最大 ………………8分又23OP k =，则直线2l 的斜率为232k =-故直线2l 的方程为32(3)2y x -=--即32130x y +-=…………12分19．证明：(1) ∵ PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD∴EC ∥PD又PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDAO N E C D BA P∴EC ∥平面PDA ………………2分 ∵四边形ABCD 为正方形∴BC ∥AD ，又AD ⊂平面PDA ，BC ⊄平面PDA∴BC ∥平面PDA ………………4分 ∵EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，EC ∩BC ＝C∴平面EBC ∥平面PDA ………………6分(2) 设AC 与BD 相交于点O ，连接NO∵四边形ABCD 为正方形 ∴O 为BD 的中点，又N 为PB 的中点 ∴NO ∥PD 且NO ＝12PD 又由（1）得EC ∥PD ，且12EC PD = ∴NO ∥EC 且NO ＝EC ∴四边形NOCE 为平行四边形∴NE ∥OC ，即NE ∥AC ………………9分∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD∴AC ⊥PD又DB ⊥AC ，PD ∩BD ＝D∴AC ⊥平面PBD ，又NE ∥AC∴NE ⊥平面PDB ………………12分20．解：(1)线段AB 的中点为13(,)22，又1AB k =-故线段AB 的垂直平分线方程为311()22y x -=⋅-即10x y -+=……2分由1050x y x y -+=⎧⎨++=⎩得圆心(3,2)C -- ………………4分圆C 的半径长22||(03)(22)5r AC ==+++=故圆C 的标准方程为22(3)(2)25x y +++= ………………6分(2)令34z x y =-，即340x y z --=当直线340x y z --=与圆C 相切于点P 时，z 取得最值…………8分则圆心(3,2)C --到直线340x y z --=的距离为2253(4)d ==+-，解得26z =-或24z =故34x y -的最小值为26-，最大值为24 ………………12分21．解：(1)证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC∴PA ⊥BC又AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上不同于,A B 的一点∴90ACB ∠=︒，即AC ⊥BC ，又PA ∩AC ＝A∴BC ⊥平面PAC ，又AE ⊂平面PAC∴BC ⊥AE ………………3分∵PA ＝AC ，E 是PC 的中点∴AE ⊥PC ，又BC ∩PC ＝C∴AE ⊥平面PBC ，又PB ⊂平面PBC ∴AE ⊥PB ………………6分 (2)过A 作AF ⊥PB 交PB 于F ，连接EF 又由（1）得AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ∴ PB ⊥平面AEF ，又EF ⊂平面AEF∴ PB ⊥EF ，又AF ⊥PB∴AFE ∠是二面角A PB C --的平面角 ………………9分∵在Rt ∆PAC 中，1PA AC ==，则2PC =，22PA AC AE PC ⋅==在Rt ∆PAB 中，1PA =，3AB =，同理得32AF =∴在Rt ∆AEF 中，262sin 33AEAFE AF ∠===故二面角A PB C --的正弦值为63 ………………12分22．解：(1)圆C 的方程可化为22(3)(4)255x y t -+-=+故圆心为(3,4)C ，半径255r t =+则圆心C 到直线l 的距离为2231013d ==+又弦长为21022(310)(10)10r +=EO B CF即25510t +=，解得15t = ………………4分(2)当1t =时，圆C 的方程为226850x y x y +---= ①则圆心为(3,4)C ，半径30310r =<，圆C 与直线l 相离假设在直线AB 上存在一个定点满足条件，设动点(,)P m n由已知得PA ⊥AC ，PB ⊥BC则,A B 在以CP 为直径的圆(3)()(4)()0x x m y y n --+--=即22(3)(4)340x y m x n y m n +-+-+++=上 ② ………………7分 ①—②得，直线AB 的方程为(3)(4)3450m x n y m n -+----= ③ 又点(,)P m n 在直线l 上，则3150m n ++=，即315m n =--，代入③式得(318)(4)945450n x n y n n --+-++--=即直线AB 的方程为18440(35)0x y n x y +-+--= ……………10分因为上式对任意n 都成立，故350184400x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩ 故在直线AB 上存在一个定点，定点坐标为(2,1) ………………12分。

福建省福州市第八中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

福州八中2015—2016学年第一学期期中考试高一数学必修1 考试时间：120分钟试卷满分：150分 2015.11.10 第Ⅰ卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1.设集合A＝{(x，y)| y＝－4x＋6}，B＝{(x，y)| y＝5x－3}，则A∩B为 A．{1,2} B．{(1,2)} C．{x＝1，y＝2} D．(1,2) 2. 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是 A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)3.函数在上是减函数，则实数的取值范围是 A．B．C．D． 4．设a＝0.7，b＝0.8，c＝log30.7，则 A．c<b0且a≠1)的图象平移得到；函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称；方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1,3}；函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)为奇函数．其中正确的结论是________(把你认为正确结论的序号都填上)．．已知集合A＝{x|1≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，全集为实数集R. (1)求A∪B， (?RA)∩B； (2)如果A∩C≠，求a的取值范围． 14．（2） 15．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]． (1)判断函数f(x)在[3,5]上的单调性，并证明． (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 16．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？17．函数的定义域为 A. B. C．(1，＋∞) D.∪(1，＋∞) .若函数的定义域为R，并且同时具有性质： ①对任何，都有=；②对任何，且，都有. 则（） A．B．C．D．不能确定 19．若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是 A. B. C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D. 20．，若方程恰有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 A．B． C． D． . 函数与的图像有四个交点，则的取值范围是．已知函数f(x)＝ax在x[－2,2]上恒有f(x)0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数． (1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．福州八中2015—2016学年第一学期期中考试高一数学必修1 试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1-8 BAAB DAAB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 9. 10. －2 三、解答题：本大题共有4个小题，共40分 13. 解析：(1)A∪B＝{x|1≤x＜10}， (?RA)∩B＝{x|x＜1或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|7≤x＜10}． (2)当a＞1时满足A∩C≠. -----------10分 14. 解：(1)原式=1+=1+++2=4 -----------5分（2）原式=-----------10分 15. 解析：(1)函数f(x)在[3,5]上单调递增．证明：设任意x1，x2，满足3≤x1＜x2≤5. ∵f(x1)－f(x2)＝－＝ ∵3≤x1＜x2≤5，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0.∴f(x1)－f(x2)＜0即f(x1)＜f(x2)． ∴f(x)＝在[3,5]上为增函数． (2)f(x)min＝f(3)＝＝； -----------8分 f(x)max＝f(5)＝＝. 16. 解：（1）f（x）=k1x，，，，（x≥0），（x≥0）（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．（0≤x≤20）令，则==所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，ymax=3万元 22. (1，) 解：（1）因为，所以，由题意得：，所以，又是定义在R上的奇函数，，即（2）由（1）知为R上的单调递增函数，对任意恒成立，，即，，对任意恒成立，即k小于函数的最小值. 令，则， . -----------12分 24. 解(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，设u＝2x＋1，x[0,1]，1≤u≤3，则y＝u＋－8，u[1,3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减；所以减区间为[0，]；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增；所以增区间为[，1]；由f(0)＝－3，f()＝－4，f(1)＝－，得f(x)的值域为[－4，－3]． (2)g(x)＝－x－2a为减函数，故g(x)[－1－2a，－2a]，x[0,1]．由题意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集， ∴ -----------13分∴a＝.。

2015-2016学年福建省福州八中高一(上)期末数学试卷

2015-2016学年福建省福州八中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1. 直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A.135∘，−1B.45∘，1C.90∘，不存在D.180∘，不存在2. 直线y−2=mx+m经过一定点，则该点的坐标是()A.(2, −1)B.(−2, 2)C.(−1, 2)D.(2, 1)3. 对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A.m⊥n，α∩β＝m，n⊂αB.m⊥n，m // α，n // βC.m // n，m⊥α，n⊥βD.m // n，n⊥β，m⊂α4. 如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45∘，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A.√2−1B.√2+2C.2√2D.√225. 与圆x2+y2+4x−4y+7=0和圆x2+y2−4x−10y+13=0都相切的直线共有( )A.2条B.1条C.4条D.3条6. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1:3B.1:√3C.1:9D.1:3√37. 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM()A.与AC垂直、与MN不垂直B.与AC、MN均垂直相交C.与AC、MN均不垂直D.与MN垂直，与AC不垂直8. 设点A为圆(x−1)2+y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为（）A.(x−1)2+y2＝4B.y2＝2xC.(x−1)2+y2＝2D.y2＝−2x二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）直线x+2ay−1=0与直线(a−1)x−ay−1=0平行，则a的值是________．若点P(−4, −2, 3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a, b, c)，(e, f, d)，则c+e=________．已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于________．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF // 平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；．⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．其中正确的有________．（请写出所有符合条件的序号）三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）如图，已知点A(2, 3)，B(4, 1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l:x−2y+2=0上．（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC // PD，且PD=AD=2EC=2．（1）请画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥B−CEPD的体积．已知圆C经过点A(−1, 0)和B(3, 0)，且圆心在直线x−y=0上．（1）求圆C的方程；（2）若点P(x, y)为圆C上任意一点，求点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值和最小值．如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG // 平面PBC．一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是()A.平面ABC必与α相交B.平面ABC必平行于αC.平面ABC必不垂直于αD.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内函数f(x)=e x+x−2的零点所在的一个区间是( )A.(−1, 0)B.(−2, −1)C.(0, 1)D.(1, 2)已知M={(x, y)|y=√9−x2, y≠0}，N={(x, y)|y=x+b}且M∩N≠⌀，则实数b的取值范围是（）A.[−3.3] B.[−3√3, 3√2] C.[−3√2, −3) D.(−3, 3√2]已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x−4)=f(x)，且在区间[0, 2]上f(x)=x，若关于x的方程f(x)=log a x有三个不同的根，则a的范围为（）A.(2, 2√2)B.(2, 4)C.(√6, √10)D.(√6, 2√2)二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）设点A(−3, 5)和B(2, 15)，在直线l:3x−4y+4=0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为________．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B−AC−D，则四面体ABCD的外接球的体积为________．三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a, 0)(a>0)，B(0, a)，C(−4, 0)，D(0, 4)设△AOB的外接圆圆心为E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60∘．（1）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（2）求证：AO // 平面BC1D；（3）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．参考答案与试题解析2015-2016学年福建省福州八中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1.【答案】此题暂无答案【考点】直线的使象特征原倾回角通斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】直正然方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】空间使如得与平度之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】平面图射的直观初【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】圆的水射方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】球内较多面绕球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】空间表直线擦直英之说的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】圆的水射方程轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】直线的水根式方务式直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】空间中水三的坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】旋转验（圆柱立圆锥碳藏台）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】棱锥于结构虫征空间表直线擦直英之说的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）【答案】此题暂无答案【考点】直线的三般式方疫【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】柱体三锥州、台到的体建计算简单空间较形脱三视图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线体平硫平行直线验周面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）【答案】此题暂无答案【考点】空间验置且与脱面之间的位置关系空间使如得与平度之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数零都问判定定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线和圆体方硫的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系函数表图层变换函数水因期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）【答案】此题暂无答案【考点】与直线表于抛制直线析称的直线方程基本常等式簧最母问赤中的应用基来雨等式两点间来距离循式中点较标公洗两条直因垂直滤倾斜汉措斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积球内较多面绕【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）【答案】此题暂无答案【考点】圆的射纳方程点到直使的距离之式圆的水射方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与平三平行定判定直线与平正垂直的判然直线与平水表直的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

福建师大附中2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．已知直线方程y﹣3=（x﹣4），则这条直线的倾斜角是（）A．150°B．120°C．60°D．30°2．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6）C．（﹣1，﹣3，6）D．（1，﹣3，﹣6）3．已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∩β，则α⊥β4．已知l1：mx+y﹣2=0，l2：（m+1）x﹣2my+1=0，若l1⊥l2则m=（）A．m=0 B．m=1 C．m=0或m=1 D．m=0或m=﹣15．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN 所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（）A．6πB．C．3πD．12π7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x﹣2）2+（y+1）2=18．已知实数x，y满足（x+5）2+（y﹣12）2=25，那么的最小值为（）A．5 B．8 C．13 D．189．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为64+80π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．812．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（）A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为．15．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是．16．若直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点，则k的取值范围是．17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC 的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于．18．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是．（写出所有正确答案的序号）三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程；（3）求△ACD的面积．20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4，（1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．已知直线方程y﹣3=（x﹣4），则这条直线的倾斜角是（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由直线的斜率等于直线倾斜角的正切值求得答案．【解答】解：化直线方程y﹣3=（x﹣4）为，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan，∴α=60°．故选：C．2．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6）C．（﹣1，﹣3，6）D．（1，﹣3，﹣6）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】由点P的坐标，利用点关于x轴对称的条件，建立相等关系，可得其对称点的坐标．【解答】解：设p（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标为（x，y，z），则x=1，y=﹣3，z=﹣6，所以对称点的坐标为（1，﹣3，﹣6）．故选：C．3．已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∩β，则α⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α；在B中，m与n平行或异面；在C中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在D中，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：∵在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A 正确；在B中：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故B错误；在C中：若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故C正确；在D中：若m⊥α，m∩β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：B．4．已知l1：mx+y﹣2=0，l2：（m+1）x﹣2my+1=0，若l1⊥l2则m=（）A．m=0 B．m=1 C．m=0或m=1 D．m=0或m=﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：y﹣2=0，x+1=0，此时两条直线相互垂直，∴m=0．当m≠0时，∵l1⊥l2，∴﹣m×=﹣1，解得m=1．综上可得：m=0，或m=1．故选：C．5．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN 所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用异面直线所成的角的定义，取A′A的中点为E，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角．【解答】解：取A′A的中点为E，连接BE，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE 成的角，由题意得B′M⊥BE，故异面直线B′M与CN所成角的大小为90°，故选D．6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（）A．6πB．C．3πD．12π【考点】球的体积和表面积．【分析】长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出体积【解答】解：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，设球的半径为r，所以2r==，所以这个球的体积积：=π故选：B．7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x﹣2）2+（y+1）2=1【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标，可得要求的对称圆的方程．【解答】解：由于圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标为（4，﹣1），半径为1，故圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（x﹣4）2+（y+1）2=1，故选：A．8．已知实数x，y满足（x+5）2+（y﹣12）2=25，那么的最小值为（）A．5 B．8 C．13 D．18【考点】圆的标准方程．【分析】由题意画出图形，利用的几何意义结合图象得答案．【解答】解：如图，圆（x+5）2+（y﹣12）2=25的圆心M（﹣5，12），|MO|=，的几何意义为圆（x+5）2+（y﹣12）2=25上的点到原点的距离，则最小值为|OM|﹣5=13﹣5=8．故选：B．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．10．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】点与圆的位置关系．【分析】设P（x，y），要使∠APB=90°，只要求出P到AB中点的距离以及圆上的所有点到AB中点距离范围．【解答】解：设P（x，y），要使∠APB=90°，那么P到AB中点（﹣1，2）的距离为，而圆上的所有点到AB中点距离范围为[，]，即[，3]，所以使∠APB=90°的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点；故选B11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为64+80π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱与半球的组合体．【解答】解：由俯视图可知几何体为半圆柱与半球的组合体，半圆柱与半球的半径均为r，半圆柱的高为2r，∴几何体的表面积为为+++πr×2r+2r×2r=5πr2+4r2=64+80π．解得r=4．故选：C．12．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（）A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用直线m是以P为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线n的方程可判断出两直线平行；表示出点到直线n的距离，根据点P在圆内判断出a，b和r的关系，进而判断出圆心到直线n的距离大于半径，判断出二者的关系是相离．【解答】解：直线m是以P为中点的弦所在的直线∴直线m⊥PO，∴m的斜率为﹣，∵直线n的斜率为﹣∴n∥m圆心到直线n的距离为∵P在圆内，∴a2+b2＜r2，∴＞r∴直线n与圆相离故选A二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是（2，3）．【考点】恒过定点的直线．【分析】把所给的直线分离参数，再令参数的系数等于零，即可求得定点的坐标．【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0，即k（2x﹣y﹣1）+（﹣x+2y﹣4）=0，一定经过直线2x﹣y﹣1=0 和直线﹣x+2y﹣4=0的交点（2，3），故答案为：（2，3）．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BD的中点O，连接OC1，OC，则∠COC1就是二面角C1﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角C1﹣BD﹣C的正切值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则，CD=BC=CC1=a，取BD的中点O，连接OC1，OC，则∠COC1就是二面角C1﹣BD﹣C的平面角，∵CO==，∴tan∠COC1==．故答案为：．15．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（x﹣2）2+（y+1）2=1．【考点】轨迹方程；圆的标准方程．【分析】设圆上任意一点为A，确定A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论．【解答】解：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y），则，∴代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=116．若直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点，则k的取值范围是﹣1≤k＜1或k=．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】曲线y=表示一个半圆，如图所示．当直线过点A（﹣1，0）时，直线y=﹣x+k与半圆只有一个交点；当直线过点B（1，0），C（0，1）时，直线y=﹣x+k与半圆有两个交点，此时k=1；当直线位于此两条直线之间时满足题意．当直线y=﹣x+k与半圆相切时只有一个公共点，也满足条件．【解答】解：曲线y=表示一个半圆，如图所示．当直线过点A（﹣1，0）时，直线y=﹣x+k与半圆只有一个交点，此时k=﹣1；当直线过点B（1，0），C（0，1）时，直线y=﹣x+k与半圆有两个交点，此时k=1；当直线y=﹣x+k与半圆相切时只有一个公共点，k=．因此当﹣1≤k＜1时，或k=，直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点．故答案为﹣1≤k＜1，或k=．17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC 的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于．【考点】直线与平面所成的角．【分析】先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AB1的长度，在直角三角形AEB1中，即可求得结论．【解答】解：由题意不妨令棱长为2，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，故DA=，由勾股定理得A1D==过B1作B1E⊥平面ABC，则∠B1AE为AB1与底面ABC所成角，且B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，∴A1S=，∴AB1==∴AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故答案为：18．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是④或⑥．（写出所有正确答案的序号）【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两平行线间的距离=，得直线m和两平行线的夹角为30°．再根据两条平行线的倾斜角为135°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为2，可得直线m和两平行线的夹角为30°．由于两条平行线的倾斜角为135°，故直线m的倾斜角为105°或165°，故答案为：④或⑥．三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程；（3）求△ACD的面积．【考点】待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式．【分析】（1）设AC的中点为M，则由M为AC的中点求得M（，），设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，求得D的坐标．（2）求得直线CD的斜率K CD，可得CD边上的高线所在直线的斜率为，从而在△ACD 中，求得CD边上的高线所在直线的方程0．（3）求得，用两点式求得直线CD的方程，利用点到直线的距离公式求得点A到直线CD的距离，可得△ACD的面积．【解答】解：（1）由于平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3），设AC的中点为M，则M（，），设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，有，解得，所以，D（3，8）．（2）∵直线CD的斜率K CD==5，所以CD边上的高线所在直线的斜率为，故△ACD中，CD边上的高线所在直线的方程为，即为x+5y﹣19=0．（3）∵C（2，3），D（3，8），∴，由C，D两点得直线CD的方程为：5x﹣y﹣7=0，∴点A到直线CD的距离为=，∴．20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证；（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC，进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥PA；（Ⅲ）设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）可证PD⊥平面EFM，则∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值；【解答】（Ⅰ）证明：ABCD为平行四边形，连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点，∴在△CPA中EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，∴CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD，CD∩PD=D，且CD、PD⊂面ABCD，PA⊥面PDC，又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC；（Ⅲ）解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B﹣PD﹣C 的平面角，Rt△FEM中，，，，故所求二面角的正切值为；21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系建立坐标系，利用|CD|=|CB|，确定圆的方程；（2）令x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少．【解答】解：（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为（﹣16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C在y轴上，故可设C（0，b）．…因为|CD|=|CB|，所以，解得b=﹣12．…所以圆拱所在圆的方程为：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400…（2）当x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，…距涨水后的水面约5.6m，因为船高6.5m，顶宽8m，所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9（m）以上，船才能顺利通过桥洞．…22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．因为CA=CB，所以OC⊥AB．由于AB=AA1，，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB．因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故OA1⊥OC．因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．又△ABC的面积，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4，（1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出k，即可求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2，可得⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离2倍，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）若切线的斜率存在，可设切线的方程为y﹣6=k（x﹣4），则圆心C1到切线的距离，解得，所以切线的方程为：5x﹣12y+52=0；若切线的斜率不存在，则切线方程为x=4，符合题意．综上所述，过P点的圆C1的切线方程为5x﹣12y+52=0或x=4．…（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l1的方程为：y﹣b=k（x﹣a）（k≠0），即kx﹣y+b﹣ak=0（k≠0），则直线l2的方程为：，即x+ky﹣bk﹣a=0．因为圆C1的半径是圆C2的半径的2倍，及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，所以圆C1的圆心到直线l1的距离是圆C2的圆心到直线l2的距离的2倍，即…整理得|ak﹣b|=|2a﹣14+（2b﹣8）k|从而ak﹣b=2a﹣14+（2b﹣8）k或b﹣ak=2a﹣14+（2b﹣8）k，即（a﹣2b+8）k=2a+b﹣14或（a+2b﹣8）k=﹣2a+b+14，因为k的取值有无穷多个，所以或，…解得或，这样点P只可能是点P1（4，6）或点．经检验点P1和点P2满足题目条件．…2016年7月31日。