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2025版高考数学一轮总复习知识必备第八章椭圆第1课时椭圆的标准方程与简单几何性质(含答案)

高考数学一轮总复习知识必备：第1课时椭圆的标准方程与简单几何性质课程标准有的放矢1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情景中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.4.了解椭圆的简单应用.必备知识温故知新【教材梳理】椭圆的定义把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.常用结论1.椭圆定义、标准方程相关常用结论（1）在用椭圆定义时，若，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段（包括端点）；若，则轨迹不存在.（2）椭圆的参数方程是.2.椭圆几何性质相关常用结论（1）椭圆中的最值：为椭圆上任一点，为短轴一个端点，则；；；;过焦点的弦中通径最短为.（2）焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形.,, ,的面积为，则在椭圆中有以下结论.①焦点三角形的周长为..③当时，即点的位置为短轴端点时，最大..当时，即点的位置为短轴端点时，取最大值.（3）设，，是椭圆上不同的三点，其中点，关于原点对称，直线，的斜率存在且不为0，则直线与的斜率之积为定值（焦点在轴上）.自主评价牛刀小试1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. （×）（2）椭圆既是轴对称图形,也是中心对称图形. （√）（3）表示焦点在轴上的椭圆. （×）（4）椭圆的离心率越大，椭圆就越圆. （×）（5）与的焦距相等. （√）2. 若方程表示椭圆，则的取值范围是（C）A. B. C. D.解：由方程表示椭圆，知解得且.故选.3. 下列与椭圆焦点相同的椭圆是（D）A. B. C. D.解：椭圆的焦点坐标为和，满足题意的为选项.故选.4. （教材题改编）椭圆的离心率为.解：,,故,.故填.。

高考数学(理科)一轮复习椭圆学案带答案

高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案51 椭圆导学目标：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理．椭圆的概念在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m||mF1|＋|mF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：若________，则集合P为椭圆；若________，则集合P为线段；若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1y2a2＋x2b2＝1图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1，A2B1，B2A1，A2B1，B2轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈a，b，c的关系c2＝a2－b2自我检测．已知△ABc的顶点B、c在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在Bc边上，则△ABc的周长是A．23B．6c．43D．122．“m>n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1的焦点在y轴上，则α的取值范围是A.3π4，πB.π4，3π4c.π2，πD.π2，3π44．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的A．7倍B．5倍c．4倍D．3倍5．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是，那么k等于A．－1B．1c.5D．－5探究点一椭圆的定义及应用例1 一动圆与已知圆o1：2＋y2＝1外切，与圆o2：2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：长轴是短轴的3倍且经过点A；经过两点A和B12，3.变式迁移2 已知椭圆过，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1、P2，求椭圆的标准方程．探究点三椭圆的几何性质例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围；求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点m向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥om.求椭圆的离心率e；设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．方程思想的应用例已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为12，且经过点m，过点P的直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B.求椭圆c的方程；是否存在直线l，满足PA→•PB→＝Pm→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故椭圆c的方程为x24＋y23＝1.[4分] 若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y ＝k＋1，由x24＋y23＝1，y＝kx－2＋1，得x2－8kx＋16k2－16k－8＝0.[6分]因为直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为，，所以Δ＝[－8k]2－4••>0.整理得32>0，解得k>－12.[7分]又x1＋x2＝8k2k－13＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，且PA→•PB→＝Pm→2，即＋＝54，所以＝54，即[x1x2－2＋4]＝54.[9分]所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k2k－13＋4k2＋4]＝4＋4k23＋4k2＝54，解得k＝±12.[11分]所以k＝12.于是存在直线l满足条件，其方程为y＝12x.[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．一、选择题．若△ABc的两个顶点坐标分别为A、B，△ABc的周长为18，则顶点c的轨迹方程为A.x225＋y29＝1B.y225＋x29＝1c.x216＋y29＝1D.y216＋x29＝12．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于A．4B．5c．7D．83．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是A.32B.22c.2－1D.24．已知圆2＋y2＝36的圆心为m，设A为圆上任一点，N，线段AN的垂直平分线交mA于点P，则动点P的轨迹是A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线5．椭圆x225＋y29＝1上一点m到焦点F1的距离为2，N是mF1的中点，则|oN|等于A．2B．4c．8D.32二、填空题6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．7．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．8.如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题9．已知方向向量为v＝的直线l过点和椭圆c：x2a2＋y2b2＝1的右焦点，且椭圆的离心率为63.求椭圆c的方程；若已知点D，点m，N是椭圆c上不重合的两点，且Dm →＝λDN→，求实数λ的取值范围．0．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B 两点，c是AB的中点，若|AB|＝22，oc的斜率为22，求椭圆的方程．1．已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点A，且点F为其右焦点．求椭圆c的方程．是否存在平行于oA的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．学案51 椭圆自主梳理．椭圆焦点焦距a>c a＝c a<c自我检测．c 2.c 3.D 4.A 5.B课堂活动区例1 解如图所示，设动圆的圆心为c，半径为r.则由圆相切的性质知，|co1|＝1＋r，|co2|＝9－r，∴|co1|＋|co2|＝10，而|o1o2|＝6，∴点c的轨迹是以o1、o2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c ＝6，b＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.变式迁移1 解将圆的方程化为标准形式为：2＋y2＝62，圆心B，r＝6.设动圆圆心m的坐标为，动圆与已知圆的切点为c.则|Bc|－|mc|＝|Bm|，而|Bc|＝6，∴|Bm|＋|cm|＝6.又|cm|＝|Am|，∴|Bm|＋|Am|＝6>|AB|＝4.∴点m的轨迹是以点B、A为焦点、线段AB中点为中心的椭圆．a＝3，c＝2，b＝5.∴所求轨迹方程为x29＋y25＝1.例2 解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件和两个定形条件．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1．解若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9a2＝1，∴a＝3，又2a＝3•2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3•2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上可知椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.设经过两点A，B12，3的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得4n＝114m＋3n＝1⇒m＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.变式迁移2 解当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.设椭圆方程为mx2＋ny2＝1．∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.例3 解题导引椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c 的关系．对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式⇔|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，|PF1|＝m，|PF2|＝n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝2－2mn＝4a2－2mn.∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤m＋n22＝a2，∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.∴e的取值范围是12，1.证明由知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解∵F1，则xm＝－c，ym＝b2a，∴kom＝－b2ac.∵kAB＝－ba，om∥AB，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区．A 2.D 3.c 4.B 5.B6.x236＋y29＝17.2 120°8.539．解∵直线l的方向向量为v＝，∴直线l的斜率为k＝3.又∵直线l过点，∴直线l的方程为y＋23＝3x.∵a>b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.∴椭圆方程为x26＋y22＝1.若直线mN⊥y轴，则m、N是椭圆的左、右顶点，λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.若mN与y轴不垂直，设直线mN的方程为x＝my＋3．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得y2＋6my＋3＝0.设m、N坐标分别为，，则y1＋y2＝－6mm2＋3，①y1y2＝3m2＋3，②Δ＝36m2－12＝24m2－36>0，∴m2>32.∵Dm→＝，DN→＝，Dm→＝λDN→，显然λ>0，且λ≠1，∴＝λ．∴y1＝λy2.代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.∵m2>32，得2<λ＋1λ<10，即λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，且λ≠1.0．解方法一设A、B，代入椭圆方程并作差得a＋b＝0.而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝koc＝22，代入上式可得b＝2a.由方程组ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得x2－2bx＋b－1＝0，∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，得2ba＋b2－4•b－1a＋b＝4，将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1得x2－2bx＋b－1＝0.设A、B，则|AB|＝k2＋1x1－x22＝2•4b2－4a＋bb－1a＋b2.∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①设c，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，∵oc的斜率为22，∴ab＝22.代入①，得a＝13，b＝23.∴椭圆方程为x23＋2y23＝1.1．解方法一依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且可知其左焦点为F′．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆c的方程为x216＋y212＝1.假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆c有公共点，所以Δ＝2－4×3×≥0，解得－43≤t≤43.另一方面，由直线oA与l的距离d＝4，得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3．从而a2＝16.所以椭圆c的方程为x216＋y212＝1.同方法一．。

高考数学总复习第九章解析几何95椭圆课时作业文(含解析)新人教A版

高考数学总复习第九章解析几何95椭圆课时作业文（含解析）新人教A 版9-5 椭圆课时作业A 组——基础对点练1．已知直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点．若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34【答案】B2．(2019·武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 【答案】B3．(2019·湖北八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59【答案】B4．(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－ 3 C.3－12D.3－1 【答案】D5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M ，N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A .35B.12C.23D.34【答案】A6．以F 1(－1，0)，F 2(1，0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 【答案】C7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为__________．【答案】x 216＋y 24＝1 8．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为__________．【答案】249．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)． (2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点． 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22. (1)求椭圆C 的方程．(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．B 组——能力提升练1．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)【答案】A2．由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆x 2c 2＋y 2b2＝1(x ≤0)合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0.由右椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)的焦点F 0和左椭圆x 2c 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)的焦点F 1，F 2确定的△F 0F 1F 2叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(x ≥0)的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，33 【答案】C3．已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．【答案】x ＋2y －3＝04．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．【答案】6＋ 2 6－ 25．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程．(2)求m的取值范围．。

高考数学总复习 95椭圆课后作业试题

卜人入州八九几市潮王学校【走向高考】2021年高考数学总复习9-5椭圆课后作业北师大一、选择题1．(2021·文，4)椭圆＋＝1的离心率为()A. B.C. D.[答案]D[解析]考察椭圆的离心率，这样的题目要注意焦点的位置．e＝＝.2．设椭圆＋＝1(m>1)上一点P到其左焦点的间隔为3，到右焦点的间隔为1，那么该椭圆的离心率为() A．2 B.C. D.[答案]B[解析]由椭圆定义知2a＝3＋1＝4，故a＝2.∴m2＝a2＝4，b2＝m2－1＝3.∴c2＝a2－b2＝1，即c＝1.∴e＝.3．椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，那么此椭圆的离心率为()A. B.C. D.[答案]B[解析]由选项知e与m无关，令m＝6，那么a2＝3，b2＝2，c2＝1，∴e＝＝.一般解法：2x2＋3y2＝m(m>0)化为＋＝1，∴c2＝－＝.∴e2＝.应选B.4．(文)椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的间隔是()A. B.C．1 D.[答案]B[解析]由题意知，右焦点坐标为(1,0)，那么其到直线y＝x的间隔为d＝＝.(理)椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，那么||＝()A. B.C. D．4[答案]C[解析]设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆的方程可得F1(－，0)即垂线的方程为x＝－，由得y＝±，∴||＝，由椭圆的定义知||＋||＝4，所以||＝，应选C.5．如图F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，那么椭圆的离心率为()A. B.C. D.－1[答案]D[解析]连接AF1，由圆的性质知，∠F1AF2＝90°，又∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1＝30°，∴AF1＝c，AF2＝c，∴e＝＝＝＝－1.应选D.6．椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，假设延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是() A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线[答案]A[解析]∵|PF1|＋|PF2|＝2a，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a.即|F1Q|＝2a.∴动点Q到定点F1的间隔等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．二、填空题7．(2021·理，14)假设椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)做圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，那么椭圆方程是________．[答案]＋＝1[解析]由题意可得切点A(1,0)，设切点B(m，n)满足，解得B，∴过切点A、B的直线方程为2x＋y－2＝0，令y＝0得x＝1，即c＝1，令x＝0得y＝2，即b＝2.∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为＋＝1.8．正方形ABCD，那么以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．[答案]－1[解析]令AB＝2，那么AC＝2，∴椭圆中c＝1,2a＝2＋2，∴a＝1＋，可得e＝＝＝－1.三、解答题9．(2021·文，18)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，假设直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．[解析](1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，整理得22＋－1＝0，得＝－1(舍)，或者＝，所以e＝.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)，A，B两点的坐标满足方程组，消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c，得方程组的解，不妨设A，B，所以|AB|＝＝c.于是|MN|＝|AB|＝2c，圆心到直线PF2的间隔d＝＝.因为d2＋2＝42，所以(2＋c)2＋c27c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或者c＝2，所以椭圆方程为＋＝1.一、选择题1．椭圆x2＋2y2＝4，那么以(1,1)为中点的弦的长度为()A．3 B．2C. D.[答案]C[解析]依题设弦端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么x＋2y＝4，x＋2y＝4，∴x－x＝－2(y－y)，∴此弦斜率k＝＝－＝－，∴此弦所在直线方程y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋代入x2＋2y2＝4，整理得3x2－6x＋1＝0，∴x1·x2＝，x1＋x2＝2.∴|AB|＝·＝·＝.2．椭圆＋＝1(a>b>0，c2＝a2－b2)的右焦点为F，直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，那么椭圆离心率的取值范围是()A. B.C．[－1,1) D.[答案]D[解析]由题意得|PF|＝|AF|＝－c，∵a－c≤|PF|≤a＋c，∴a－c≤－c≤a＋c，≤e<1.二、填空题3．P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，假设·＝0，tan∠PF1F2＝，那么此椭圆的离心率为________．[答案][解析]∵·＝0，∴PF1⊥PF2，又tan∠PF1F2＝，令PF2＝PF1＝x，那么，∴，∴e＝＝.4．(文)(2021·理，14)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．[答案]＋＝1[解析]此题主要考察椭圆的定义及几何性质．依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝2，∴b2＝8.∴椭圆C的方程为＋＝1.(理)(2021·理，17)设F1、F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，假设＝5，那么点A的坐标是________．[答案](0,1)或者(0，－1)[解析]如图，设直线AB与x轴交于点N(n,0)，∵＝5F2B，∴＝，∴＝，∴n＝设直线AB方程为x＝my＋，代入椭圆方程，得：(m2＋3)y2＋3my＋＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1＋y2＝－，y1y2＝，由＝5得y1＝5y2.∴，∴＝，∴m＝±，∴y2＝±，从而y1＝±1，∴A点坐标为(0，±1)．三、解答题5．(2021·文)椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)假设圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．[解析]此题考察了圆和椭圆的HY方程．(1)∵＝且c＝，∴a＝，b＝1.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意知点P(0，t)(－1<t<1)，由得x＝±∴圆P的半径为，又∵圆P与x轴相切，∴|t|＝，解得t＝±，故P点坐标为.6．(文)(2021·文，17)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．[解析](1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，又e＝＝得＝即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，∴AB的中点坐标＝＝，＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点为(，－)．(理)(2021·理，17)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．[解析](1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x P，y P)，由得∵P在圆上，∴x2＋(y)2＝25，即C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝，x2＝.∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.注：求AB长度时，利用韦达定理或者弦长公式求得正确结果，同样给分．7．如下列图，圆C(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1,0)，C(－1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足＝2，·＝0，·点N的轨迹为曲线E.经过点(0，)且斜率为k的直线与曲线E有两个不同的交点P和Q.(1)求曲线E的方程；(2)求k的取值范围；(3)设曲线E与x轴、y轴正半轴的交点分别为D、B，是否存在常数k，使得向量＋与一共线？假设存在，求k 的值；假设不存在，请说明理由．[解析](1)∵＝2，∴P为AM的中点．又∵·＝0，∴⊥∴NP为AM的垂直平分线∴|NA|＝|NM|，∵|NC|＋|NM|＝2∴|NC|＋|NA|＝2>2∴动点N的轨迹是以点C(－1,0)A(1,0)为焦点的椭圆，且2a＝2，2c＝2∴a＝，c＝1，b2＝1，∴E的方程为＋y2＝1(2)由条件设直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，整理得(＋k2)x2＋2kx＋1＝0①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2>0解得k<－或者k>，∴k的范围为(－∞，－)∪(，＋∞)(3)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)那么＋＝(x1＋x2，y1＋y2)由方程①得x1＋x2＝－②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2③而D(，0)、B(0,1)＝(－，1)∴＋与一共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)将②③代入上式得k＝.由(2)知k<－或者k>故没有符合题意的常数k.。

高考数学(理)一轮资源库第九章 9.5椭圆

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(2)第二定义：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线(F 不在 l 上)的距离的比是常数 e( 0<e<1 )时，则这个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数是椭圆的离心率 . 2.椭圆的标准方程和几何性质
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b F1F2＝2c e＝ac∈(0,1)
c2＝a2－b2
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形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关
于 a，b 的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有
时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，
m≠n)的形式.
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跟踪训练 1 (1)过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1 有相同焦
点的椭圆的标准方程为____________. (2)已知 P 是椭圆1x020＋3y62 ＝1 上一点，F1、F2 分别是椭圆的左、
右焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2 的面积为____________. 解析 (1)方法一椭圆2y52 ＋x92＝1 的焦点为(0，－4)，(0,4)，
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2024年高考数学一轮复习(新高考版)《椭圆》课件ppt

A.x62＋y52＝1
√B.x52＋y42＝1
C.x32＋y22＝1
D.x42＋y32＝1
如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1,0)，点C，F1是线段AB的三等分点，得C为AF1的中点，F1为BC的中点，所以x0＝1，所以a12＋by202＝1，解得 y0＝ba2，即 A1，ba2，所以 C0，2ba2 ，B－2，－2ba2 ，
(2)(2022·全国甲卷)椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y 轴对称.若直线 AP，AQ 的斜率之积为14，则 C 的离心率为
√A.
3 2
1 C.2
2 B. 2
1 D.3
设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，
常用结论
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (6)焦点三角形的周长为2(a＋c).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.
b4 将点 B 的坐标代入椭圆方程得a42＋4ba22＝1，即a42＋4ba22＝1，
结合a2－b2＝c2＝1，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆的标准方程是x52＋y42＝1.
题型三椭圆的几何性质
命题点1 离心率例 4 (1)(2022·太原模拟)设 F1，F2 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右

甘肃省永昌县第一中学高三数学一轮复习《9.8 曲线与方

甘肃省永昌县第一中学高三数学一轮复习《9.8 曲线与方程》课时训练一、选择题(每小题7分，共35分)1．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( )A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对3．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆4．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点P的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线5．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线二、填空题(每小题6分，共24分)6．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M的轨迹方程为____________．7．点P 到点(1,1)和到直线x ＋2y ＝3的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________．8．P 是椭圆b y a x 2222 =1上任意一点,F F 21,是它的两个焦点，O 为坐标原点,OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________．9．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．三、解答题(共41分)10．(13分)设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．11．(14分)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切．求动圆圆心M 的轨迹方程．12．(14分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P,Q,交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．答案方法二定义法．∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上．用圆的方程得解：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14 (0<x ≤1)．方法三代入法．设弦与圆C 的另一交点为Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 12，y ＝y 12⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2x ，y 1＝2y . 又∵(x 1－1)2＋y 21＝1， ∴(2x －1)2＋(2y )2＝1 (0<x ≤1)．11. 解设动圆半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ |MC 1|＝R ＋1|MC 2|＝R ＋3，∴|MC 2|－|MC 1|＝2<6.∴动点M 的轨迹是以(－3,0)，(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，由a ＝1， c ＝3，得b 2＝c 2－a 2＝8，∴动圆圆心的轨迹方程为：x 2－y 28＝1 (x <0)．12. 解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1 (k ≠0)，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 又易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1，RP →·RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8.∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.。

(全面突破)高考数学最新一轮复习必考题型巩固提升 9.5椭圆学案

9.5椭圆考情分析椭圆的定义、标准方程和几何性质都是高考重点考查的内容，直线与椭圆的位置关系是高考考查的热点，以上内容各种题型都有考查，作为选择题、填空题属于中低档题目，作为解答题则属于中高档题目考纲要求1、了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质基础知识1、椭圆的定义平面内到两定点12,F F 的距离和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫椭圆。

两个定点12,F F 叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离12||F F 叫椭圆的焦距。

一定要注意条件122||a F F >，当122||a F F =时轨迹为线段12F F ，当122||a F F <时轨迹不存在2、椭圆的标准方程及其简单的几何性质（2）椭圆上任意一点P(x,y) (0)y ≠与两焦点12(,0),(,0)F c F c -构成的12PF F 称为焦点三角形，其周长为2()a c +（3）椭圆的一个焦点、中心、短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，222a b c =+ 注意事项1.椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：给出椭圆方程x 2m ＋y 2n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上⇔0＜m ＜n .2.(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2、b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．3. (1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．考向一椭圆定义的应用【例1】已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：A【变式1】已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )． A ．2 3 B ．6 C ．4 3D ．12解析由椭圆的定义知：|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ， ∴周长为4a ＝43(F 是椭圆的另外一个焦点)．答案 C题型二求椭圆的标准方程【例2】2．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：由x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1.答案：A【变式2】 (1)求长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆的标准方程．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，求椭圆的方程．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆过点A (3,0)，∴9a＝1，a ＝3，∵2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴椭圆过点A (3,0)，∴02a 2＋9b2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)由△FMN 为正三角形，则c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.∴b ＝ 3.a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.题型三椭圆几何性质的应用【例3】设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1PF ·2PF ＝－54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为原点)，求直线l 斜率k 的取值范围．解：(1)由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设P (x ，y )(x >0，y >0)，1PF ＝(－3－x ，－y )，2PF ＝(3－x ，－y )．由1PF ·2PF ＝－54，得x 2＋y 2－3＝－54.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝74，x24＋y 2＝1，解得点P (1，32)． (2)可设l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0.由Δ＝(16k )2－4·(1＋4k 2)·12>0，得k 2>34. ①又y 1·y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，∵∠AOB 为锐角，所以OA ·OB >0，即x 1x 2＋y 1y 2>0. 即(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝121＋k21＋4k2＋2k (－16k 1＋4k 2)＋4＝44－k21＋4k2>0. 所以－14<k 2<4. ②由①②可知34<k 2<4，故k 的取值范围是(－2，－32)∪(32，2)．【变式3】在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________．解析设另一个焦点为F ，如图所示，∵|AB |＝|AC |＝1，△ABC 为直角三角形， ∴1＋1＋2＝4a ，则a ＝2＋24，设|FA |＝x ，∴⎩⎨⎧x ＋1＝2a ，1－x ＋2＝2a ，∴x ＝22，∴1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝4c 2， ∴c ＝64，e ＝ca ＝6－ 3. 答案6－ 3题型四椭圆中的定值问题【例4】►(2013重庆模拟)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足：O P →＝O M →＋2O N →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12 .问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．[审题视点] (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程．(2)充分利用椭圆的定义和性质，利用设而不求的方法求出P 点．解 (1)由e ＝c a ＝22，a2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，42(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由O P →＝O M →＋2O N →得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2. 因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20. 所以P 点是椭圆x 252＋y 2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值．又因c ＝52－102＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．【变式4】如图，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2.4c 23c2将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c2＝1，解得c ＝2，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数．设P (x ，y )为l 上任一点，则|3x －4y ＋6|5＝|x －2|.若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)．于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10，得2x －y －1＝0， ∴直线l 的方程为2x －y －1＝0. 重难点突破【例5】设椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．[解析] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解为⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0. 得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.巩固提高1．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：∵a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝8. ∴e ＝c a ＝22. 答案：D2．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，左焦点为F ，A 、B 、C 为其三个顶点，直线CF 与AB 交于D 点，则tan ∠BDC 的值等于( )A ．3 3B ．－3 3 C.35D.－35解析：由e ＝12知b a ＝1－e 2＝32，c b ＝33. 由图知tan ∠DBC ＝tan ∠ABO ＝a b ＝233，tan ∠DCB ＝tan ∠FCO ＝cb ＝33. tan ∠BDC ＝－tan(∠DBC ＋∠DCB )＝－233＋331－233·33＝－3 3.答案：B3．方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若31DF ＝DA ＋22DF ，则该椭圆的离心率为( )A.12 B.13 C.14D.15解析：设点D (0，b )，A (－a,0)则1DF ＝(－c ，－b )，DA ＝(－a ，－b )，2DF ＝(c ，－b )，由31DF ＝DA ＋22DF 得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.答案：D4．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6.∴|PF 1|＝2×5－6＝4.答案： 45．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且PM ·AM ＝0，则|PM |的最小值是________．解析：∵|PM |·AM ＝0，∴AM ⊥PM . ∴|PM |2＝|AP |2－|AM |2＝|AP|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP|min＝2，∴|PM|min＝ 3.答案： 3。

甘肃省永昌县第一中学高三数学一轮复习课件《9.5椭圆》

又 0<e<1，∴e 的取值范围是12，1.
(2)证明由(1)知 mn＝43b2， ∴ SF1PF2 ＝12mnsin 60°＝ 33b2，
即△PF1F2 的面积只与短轴长有关．
探究提高 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到 a、c 的关系．
(1)解设椭圆方程为ax22＋by22＝1 (a>b>0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则 m＋n＝2a.
在△PF1F2 中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn ＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋2 n2＝4a2－3a2＝a2
(当且仅当 m＝n 时取等号)． ∴ac22≥14，即 e≥12.
解析
椭圆方程化为
x2 1
sin
α＋－cyo21s
＝1. 1s
1 α>sin
α>0.
又∵0≤α<2π，∴π2<α<34π.
易错分析本题与三角函数结合．易错点有两个，一是椭圆标准方程转化错误；二是三角不等式求解错误．
题型分类深度剖析
题型一求椭圆的标准方程例 1 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
基础自测 1．已知 F1、F2 为椭圆2x52 ＋y92＝1 的两个焦点，
过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点．若|F2A| ＋|F2B|＝12，则|AB|＝___8_____.
解析如图所示，由椭圆定义得 |AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝ 20，又|AF2|＋|BF2|＝12，所以|AF1|＋|BF1|＝8，即|AB|＝8

高考数学一轮复习 95 椭圆课时作业新人教A版

第5讲椭圆基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、选择题1．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解析由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝12|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a －|PF2|＝10－6＝4. 答案 A2．已知椭圆x210－m ＋y2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对解析由⎩⎪⎨⎪⎧10－m>0，m －2>0，得2<m<10，由题意知(10－m)－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m)＝4，解得m ＝4或m ＝8. 答案 C3．(2015·西安质量检测)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C的方程是( )A.x23＋y24＝1 B.x24＋y23＝1 C.x24＋y23＝1D.x24＋y2＝1解析依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是x24＋y23＝1，故选C.答案 C4．(2014·汕头一模)已知椭圆x24＋y22＝1上有一点P ，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P 有 ( ) A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个解析当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．答案 C5．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( ) A.35B.57C.45D.67解析如图，设|AF|＝x ，则 cos ∠ABF ＝82＋102－x22×8×10＝45.解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB ＋∠FBA ＝90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a ＝8＋6＝14，2c ＝10，∴c a ＝57.答案 B 二、填空题6．已知P 为椭圆x225＋y216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 答案 77．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C的值等于________．解析在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB|＋|CA||AB|，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a ，而|AB|＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3.答案 38．(2015·乌鲁木齐调研)已知F1(－c ，0)，F2(c ，0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析设P(x ，y)，则PF1→·PF2→＝(－c －x ，－y)·(c －x ，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①将y2＝b2－b2a2x2代入①式解得x2＝（2c2－b2）a2c2＝（3c2－a2）a2c2，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2， ∴e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22.答案 ⎣⎡⎦⎤33，22三、解答题9．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设F1，F2分别是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x 轴垂直，直线MF1与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a ，b. 解 (1)根据c ＝a2－b2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，2b2＝3ac. 将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，知原点O 为F1F2的中点，MF2∥y 轴，所以直线MF1与y 轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故b2a ＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x1）＝c ，－2y1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－32c.y1＝－1. 代入C 的方程，得9c24a2＋1b2＝1.②将①及c ＝a2－b2代入②得9（a2－4a ）4a2＋14a ＝1.解得a ＝7，b2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝ 2 7.10.(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F1C. (1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且|BF2|＝2，求椭圆的方程； (2)若F1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解设椭圆的焦距为2c ，则F1(－c ，0)，F2(c ，0)． (1)因为B(0，b)，所以|BF2|＝b2＋c2＝a. 又|BF2|＝2，故a ＝ 2. 因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a2＋19b2＝1，解得b2＝1.故所求椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)因为B(0，b)，F2(c ，0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x2a2＋y2b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝2a2ca2＋c2，y1＝b （c2－a2）a2＋c2，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝0，y2＝b.所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a2c a2＋c2，b （c2－a2）a2＋c2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a2c a2＋c2，b （a2－c2）a2＋c2. 因为直线F1C 的斜率为b （a2－c2）a2＋c2－02a2c a2＋c2－（－c ）＝b （a2－c2）3a2c ＋c3，直线AB 的斜率为－bc ，且F1C ⊥AB ，所以b （a2－c2）3a2c ＋c3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2. 故e2＝15，因此e ＝55.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2014·包头测试与评估)设F1，F2分别是椭圆E ：x24＋y23＝1的左、右焦点，过F1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝( )A.103B ．3C.83D ．2解析依题意得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋(|AF2|＋|BF2|)＝|AB|＋(|AF2|＋|BF2|)＝3|AB|＝4×2，|AB|＝83，故选C.答案 C12．(2015·云南统一检测)设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为 ( ) A ．10 B ．12 C ．15 D ．18 解析 |PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|， |PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M 点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P 点，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋（6－3）2＋42＝15. 答案 C13．(2015·陕西五校联考)椭圆x2a2＋y25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B.若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF ′|＝2a.又△FAB 的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F′时等号成立．此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x29＋y25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案 2314．(2014·辽宁卷)圆x2＋y2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)．双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)过点P 且离心率为 3.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P 且与C1有相同的焦点，直线l 过C2的右焦点且与C2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．解 (1)设切点坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为－x0y0，切线方程为y －y0＝－x0y0(x －x0)，即x0x ＋y0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x0·4y0＝8x0y0.由x20＋y20＝4≥2x 0y0知当且仅当x0＝y0＝2时，x0y0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a2－2b2＝1，a2＋b2＝3a2，解得a2＝1，b2＝2，故C1的方程为x2－y22＝1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C2的方程为x23＋b21＋y2b21＝1，其中b1>0.由P(2，2)在C2上，得23＋b21＋2b21＝1，解得b21＝3，因此C2的方程为x26＋y23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x26＋y23＝1，得(m2＋2)y2＋23my －3＝0. 又y1，y2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y1＋y2＝－23mm2＋2，①y1y2＝－3m2＋2，②由x1＝my1＋3，x2＝my2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝m （y1＋y2）＋23＝43m2＋2，③x1x2＝m2y1y2＋3m （y1＋y2）＋3＝6－6m2m2＋2，④.因为AP →＝(2－x1，2－y1)，BP →＝(2－x2，2－y2)，由题意知AP →·BP →＝0，所以x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0，⑤将①，②，③，④代入⑤整理得2m2－26m ＋46－11＝0，解得m ＝362－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －⎝⎛⎭⎫362－1y －3＝0或x ＋⎝⎛⎭⎫62－1y －3＝0.。

2021年高考数学一轮总复习 9.5椭圆课时作业文(含解析)新人教版

2021年高考数学一轮总复习 9.5椭圆课时作业文（含解析）新人教版一、选择题1．(xx·浙江金丽衢十二校联考)若椭圆C：x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝( ) A．30°B．60°C．120° D．150°解析：由题意得a＝3，c＝7，则|PF2|＝2.在△F2PF1中，由余弦定理得cos∠F2PF1＝42＋22－2722×4×2＝－12.又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝2π3.答案：C2．(xx·河北邯郸一模)椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的( )A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍解析：设线段PF2的中点为D，则|OD|＝12|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x轴，∴PF1⊥x轴．∴|PF1|＝b2a＝323＝32.又∵|PF1|＋|PF2|＝43，∴|PF2|＝43－32＝732.∴|PF 2|是|PF 1|的7倍．答案：A3．(xx·北京丰台期末)在同一平面直角坐标系中，方程ax 2＋by 2＝ab 与方程ax ＋by ＋ab ＝0表示的曲线可能是( )A B C D解析：直线方程变形为y ＝－abx －a ，在选项B 和C 中，⎩⎪⎨⎪⎧－a b＞0，－a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＜0，所以ax 2＋by 2＝ab 表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线，故B 和C 都是错误的；在选项A 中，⎩⎪⎨⎪⎧ －a b＜0，－a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＞0，所以ax 2＋by 2＝ab 表示的曲线是椭圆；在选项D 中，⎩⎪⎨⎪⎧－a b＜0，－a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，a ＜0，所以ax 2＋by 2＝ab 不可能表示双曲线，故选项D 错误．答案：A4．(xx·福建福州期末)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m＋y 2＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7 D.56或7 解析：因为已知实数4，m,9构成一个等比数列，所以可得m 2＝36，解得m ＝6或m ＝－6.当圆锥曲线为椭圆时，即x 2m ＋y 2＝1的方程为x 26＋y 2＝1.所以a 2＝6，b 2＝1，则c 2＝a 2－b 2＝5.所以离心率e ＝c a ＝56＝306. 当是双曲线时可求得离心率为7. 答案：C5．(xx·河北唐山二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析：从椭圆上长轴端点向圆引两条切线P ′A ，P ′B ，则两切线形成的角∠AP ′B 最小．若椭圆C 1上存在点P ′.令切线互相垂直，则只需∠AP ′B ≤90°，即α＝∠AP ′O ≤45°， ∴sin α＝ba ≤sin45°＝22. 又b 2＝a 2－c 2，∴a 2≤2c 2， ∴e 2≥12，即e ≥22.又∵0＜e ＜1，∴22≤e ＜1，即e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 答案：C6．(xx·大纲全国卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，∴c a ＝33，∴a ∶b ∶c ＝3∶6∶ 3. 又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝ 3.故c ＝1，∴b ＝2，∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1，选A.答案：A 二、填空题7．(xx·江西卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于__________．解析：由题意知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·KF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －－c＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0＜e ＜1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．答案：338．(xx·四川绵阳二诊)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为__________．解析：cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35·55±45·255， ∴sin β＝11525或－55(舍去)．设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，由正弦定理，得r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57.答案：579．(xx·辽宁卷)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝__________.解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.答案：12 三、解答题10．(xx·北京卷)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．解析：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以 |AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋24－x 2x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4)．因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.11．(xx·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切于点M ，|MF 2|＝2 2.求椭圆的方程．解析：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以，椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1. ②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c3＋c2＝23c ，进而圆的半径 r ＝x 1－02＋y 1－c2＝53c . 由已知，有|TF 2|2＝|MF 2|2＋r 2，又|MF 2|＝22，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋23c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－23c 2＝8＋59c 2，解得c 2＝3.所以，所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.12．(xx·安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解析：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )．化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.2 35957 8C75 豵26049 65C1 旁34533 86E5 蛥32831 803F 耿Q30876 789C 碜n29983751F 生32385 7E81 纁30152 75C8 痈30961 78F1 磱21584 5450 呐30599 7787 瞇。

甘肃省永昌县第一中学高三数学一轮复习《9.3 圆的方程》课时训练

甘肃省永昌县第一中学高三数学一轮复习《9.3 圆的方程》课时训练一、选择题(每小题7分，共35分)1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为( )A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝52．(2009·宁夏，海南)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝13．)已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( ) A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝04．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为( )A.2－1 B．2－ 2C. 2D.2－1与2＋15．(2010·广东)若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5二、填空题(每小题6分，共24分)6．已知直线3x＋4y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝__________.7．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为__________________．8．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．9．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P 于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．11．(14分)根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(3)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．12．(14分)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.(1)求AB的坐标；(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．答案∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 11. 解(1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2a －2＋b －2＝r22a ＋3b ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r 2＝25.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)方法一设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a－a 2＋－2－b 2＝r2|a ＋b －1|2＝r，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)． ∴半径r ＝－2＋－4＋2＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (3)方法一设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 方法二由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝－2＋－2＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100. 12．设＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |， AB →·＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8，若＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10，+= ＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.。

高考数学一轮总复习 95椭圆课后强化作业北师大版

高考数学一轮总复习 95椭圆课后强化作业北师大版测一、选择题1．(2014·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22D.23[答案] A [解析] 先将x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 21＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝32.离心率e ＝c a ＝32. 2．(2014·佛山月考)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )A ．1 B.83 C ．2 3 D.263[答案] D[解析] 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24＋y 2＝1在第一象限的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2＝1，得点P 的横坐标为263.3．(文)(教材改编题)如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(0,1][答案] A[解析] 方程可化为x 22＋y 22k ＝1，焦点在y 轴上，则有2k>2，即k <1，又k >0，∴0<k <1.(理)设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，3π4∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π B.⎣⎡⎭⎫π2，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎝⎛⎭⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1，∴－1cos α>1sin α>0，故选C.4．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 [答案] A[解析] 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1. 5．(2013·全国大纲)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 25＝1 D.x 25＋y 24＝1 [答案] C[解析] 本题考查椭圆中的弦长问题及相关概念．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a 2＝b 2＋1，当x ＝1时，y ＝±b 2a ，∴|AB |＝2b 2a ＝3，∴a 2＝32a ＋1，即2a 2－3a －2＝0.∴a ＝－12(舍去)或a ＝2，∴b 2＝3，∴方程为x 24＋y 23＝1.6．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为( )A.33 B.23 C.22D.32[答案] A[解析] ∵△ABF 2是正三角形，∴|AF 2|＝2|AF 1|. 又∵|AF 2|＋|AF 1|＝2a 且3|AF 1|＝|F 1F 2|， ∴|AF 1|＝23a .又|F 1F 2|＝2c ，∴23a 2c ＝13，∴e ＝c a ＝33.二、填空题7．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则实数m ＝________.[答案] 32或83[解析]e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2，则1－m 2＝14或1－2m ＝14，解得m ＝32或m ＝83. 8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． [答案] x 216＋y 28＝1[解析] 本题主要考查椭圆的定义及几何性质．依题意：4a ＝16，即a ＝4，又e ＝c a ＝22，∴c ＝22，∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.9．(2013·福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[答案]3－1[解析] 本题考查了椭圆离心率的求解．如图，由题意易知F 1M ⊥F 2M 且|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，∴2a ＝(3＋1)c ，∴c a ＝23＋1＝3－1.三、解答题10．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． [解析] 由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法一：设A ，B 两点的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2，又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 解法二：设A ，B 两点的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1. 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .能力强化训练一、选择题1．(文)(2013·四川高考)从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32[答案] C[解析] 本题考查了椭圆离心率的求法．根据x 2a 2＋y 2b 2＝1可得F 1(－c,0)，P (－c ，b 2a )，故OP 与AB 的斜率分别是k OP ＝－b 2ac ，k AB＝－b a ，根据OP ∥AB 得－b 2ac ＝－ba，即b ＝c .由于a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝2c 2，故e ＝c a ＝22.(理)(2013·新课标Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [答案] D[解析] 设A 点坐标的(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y 22b 2＝1两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2，又∵k ＝－1－01－3＝12∴b 2a 2＝12又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9， ∴b 2＝9，a 2＝18，即标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D.2．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3 C.303D.326 [答案] C[解析] 依题设弦端点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，∴x 21－x 22＝－2(y 21－y 22)，∴此弦斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12，∴此弦所在直线方程y －1＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋32代入x 2＋2y 2＝4，整理得3x 2－6x ＋1＝0，∴x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝2.∴|AB |＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·1＋k 2＝4－4×13·1＋14＝303.二、填空题3．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．[答案]3[解析] ∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1. ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3.4．(文)已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________． [答案]2－1[解析] 令AB ＝2，则AC ＝22， ∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋22，∴a ＝1＋2，可得e ＝c a ＝12＋1＝2－1.(理)(2013·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.[答案] 57[解析] 本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题．在△ABF 中，由余弦定理得， cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22|AB |·|BF |，∴|BF |2－16|BF |＋64＝0，∴|BF |＝8.设右焦点为F 1，因为直线过原点，∴|BF 1|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF 1|＝14，∴a ＝7， ∵O 为Rt △ABF 斜边AB 的中点， ∴|OF |＝12|AB |＝5，∴c ＝5，∴e ＝57.三、解答题5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．[解析] (1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32，y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点为(23，－65)．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．[解析] (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，所以c ＝1，将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b2＝1，即b 2＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋m消去y 并整理得，(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0，整理得2k 2－m 2＋1＝0 ①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝kx ＋m 消去y 并整理得，k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1 ② 综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22m ＝－2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.。

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