2013初等数论复习题 (3)

1. 设b a ,是两个正整数，证明：存在正整数,,,,21a a μλ 使得

,1),(,,2111===a a b b a a μλ

并且.],[11b a b a =

2. 设n m ,是两个整数，证明：若,1|24+mn 则.|24n m +

3．设k m m m ,,,21 是k 个正整数，k x x x ,,,21 分别通过模k m m m ,,,21 的一个完全 剩余系,证明 k k x m m m x m m x m x 121321211-++++

通过模k m m m 21的一个完全剩余系.

4. 求解一次同余方程 ).280(mod 210133≡x

5．用中国剩余定理求同余方程组的解

⎪⎩

⎪⎨⎧≡≡≡).9(mod 4),7(mod 1),5(mod 3x x x

6．求解同余方程

)7(mod 0262)(323≡+++=x x x x f .

7．已知,

1),(,2,,=≥∈∈+n a n Z n Z a 证明：n 是素数⇔对任意的整数,x 有)(mod )(n a x a x n n +≡+.

8．已知奇素数

3>p ，证明：不定方程 p y x =+223 有解⇔13=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p .