八年级数学几何证明综合讲义

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八年级数学理科班讲义教学-几何证明

B CD AOB CE DA A CB ’ CA B C B ’ C 8、八年级数学理科班：直角三角形全等判定、性质姓名一、【直角三角形全等的特殊判定方法】知识要点：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。

简记为HL 。

1、【定理证明】已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AB=A’B’ 求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’2、【直角三角形全等判定方法梳理】如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’=90°）是否全等？如果全等在（）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（）里打“×”. （1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （） _______ （2）AC=A’C’，BC=B’C’ （） _______ （3）AB=A’B’，BC=B’C’ （） _______ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （） ________3、【应用练习】选择题1．下列说法正确的有（）① 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等② 两条边分别相等的两个直角三角形全等 ③ 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ④ 斜边相等的两个等腰直角三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知，如图，BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 与CE 相交于O ，且BD=CE ，则图中全等的三角形共有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（）A ．相等B ．不相等C ．互余或相等D ．相等或互补4．如图，已知：∠A=∠D=90°,AB=CD,求证：AC=DBBC F E DABC FE D AB C F E D A5．如图，已知：AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,BF=CE.求证：AB ∥CD6．如图，已知：AB=AE, ∠B=∠E=90°,AF 垂直平分CD,求证：BC=DE7．如图，已知：AD 平分∠BAC,DB ⊥AB,DF ⊥AC 于点F ，ED=CD,求证:AC=AE+2BE.8．已知：AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，求证：CE=DF二、直角三角形的性质 1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余（显然） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2、【定理证明】已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 的中线.求证：AB CD 21例1．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，问：MN与DE有什么样的位置关系，并说明理由。

沪教版八年级上册-几何证明讲义

DEF第二种：FB =CE ，AC =DF 添加 ③∠ACB =∠DFE证明：因为FB =CE ，所以BC =EF ，又∠ACB =∠DFE AC =EF ，所以ABC ≅DEF 所以∠ABC =∠DEF 所以AB//ED精讲名题例1、已知：如图所示，∆A B C 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。

求证：DE ＝DF 证明：连结CDA CB CA BA CB A D D BCD B D A D D C B B AA E C F A D CB A DC D=∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，∴≅∴=∆∆A D E C D F D E D F说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

例2、已知：如图所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。

求证：∠E ＝∠F 证明：连结AC 在∆A B C 和∆C D A中， AB CD BC AD AC CA ABC CD A SSS B D AB CD AE CFBE D F===∴≅∴∠=∠==∴=，，，∆∆()在∆B C E 和∆D A F 中，BE D FB D BCD A BCE D AF SAS E F=∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴∠=∠∆∆()说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

例3、已知：如图所示，AB ＝AC ，∠，，A A E B F B D D C =︒==90。

求证：FD ⊥ED 证明一：连结ADAB AC BD D CD AE D ABBAC BD D CBD ADB D AB D AE==∴+=︒==︒=∴=∴==，∠∠，∠∠∠，∠∠∠129090在∆A D E 和∆B D F 中，A EB F B D A E A D B DA D EB D FF D E D===∴≅∴∠=∠∴∠+∠=︒∴⊥，∠∠，∆∆313290说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

八年级数学下册-几何证明初步知识点汇编

第十一章几何证明初步知识点整理定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义.2.命题：对事情进行判断的语句叫做命题.每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.3.一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题:4.(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.⑶清新的空气；⑷不许讲话。

5.正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题.6.反例：要指出一个命题是假命题，只要能举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了。

这种例子称为反例。

5.公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。

这些公认为正确的命题叫做公理。

证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理.本套教材以下列基本事实作为公理：1.两点确定一条直线。

2.过直线外一点可以作且只能作一条直线与已知直线平行。

3.两直线平行,同位角相等。

4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

5.判断三角形全等的方法：SAS ASA SSS。

6.全等三角形的对应角相等，对应边相等。

7.在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.判断：所有的命题都是公理。

所有的真命题都是定理。

所有的定理是真命题。

所有的公理是真命题。

6.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

Eg:(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．注意: 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题.如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的逆定理！（勾股定理和它的逆定理）7.三角形内角和定理：三角形三个角的内角和等于180°推论一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

八年级上册几何证明知识点

八年级上册几何证明知识点几何证明是几何学中的重要内容之一，是数学学习的必修课。

而在八年级上册几何学习中，有些重要的证明知识点需要我们特别注意和掌握。

下面，我们就来一一梳理这些知识点。

1. 直角三角形的性质证明
直角三角形是我们几何学习中最基础的一个知识点，学生们要掌握直角三角形的性质、勾股定理等重要概念，同时也要能熟练地进行证明。

常见的直角三角形证明有“勾股定理证明”、“三角形内角和证明”等。

2. 等腰三角形的性质证明
等腰三角形也是我们几何学习中的一个重点知识点，其性质是指两边相等、两角相等。

在证明过程中，常用的方法有等角、割角、共线等方法，最终要得到等腰三角形的性质。

3. 同位角证明
同位角是指两个角位于平行线同侧且对应相等的角，其证明方法有构造直线也平行于给定平行线、重心定理、余角定理等。

4. 交错角证明
交错角是指两条相交的直线以及这两条直线所夹的四个角中的一对相对角，其证明方法有构造外接圆、平行四边形的证明方法等。

5. 分类讨论证明
分类讨论是几何证明中的常用方法，在具体应用中需要分析情况来进行证明。

例如，在证明二等分线的性质时，我们需要根据三角形种不同的情况进行分析，从而得出最终的结论。

以上就是八年级上册几何证明的一些重要知识点，需要同学们特别注意和掌握。

在学习过程中，需要多加练习和思考，逐渐提高自己的证明能力和水平。

八年级数学下册-几何证明初步知识点

第十一章几何证明初步知识点整理1.定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义.2.命题：对事情进行判断的语句叫做命题.每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.3.一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题:4.(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.⑶清新的空气；⑷不许讲话。

这种例子称为反例。

5.公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。

这些公认为正确的命题叫做公理。

2.过直线外一点可以作且只能作一条直线与已知直线平行。

3.两直线平行,同位角相等。

4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

5.判断三角形全等的方法：SAS ASA SSS。

6.全等三角形的对应角相等，对应边相等。

7.在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.判断：所有的命题都是公理。

所有的真命题都是定理。

所有的定理是真命题。

所有的公理是真命题。

6.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

5.3什么是几何证明课件青岛版数学八年级上册

八年级上册第五单元
5.3 什么是几何证明
1.了解基本事实、定理的意义，掌握本节中提出的基本事实，了解除了基本事实外，命题的真实性必须经过证明；
2.初步了解几何证明的三个步骤，通过例题了解几何证明的书写格式，知道证明要合乎逻辑，感受证明过程中的每一步推理都要有依据.
上节课我们学习了为什么要证明，那么，怎样用推理的方法证实一个命题是真命题呢？
已知：如图，∠1与∠α互余， ∠2与∠α互余.
求证： ∠1=∠2.
证明：∵∠1与∠α互余，（已知）
2α 1
∴∠1+∠α=90°（余角的定义）
∴∠1= 90°－∠α.（等式的基本性质）
又∵∠2与∠α互余（. 已知）
∴∠2+∠α=90°（余角的定义）
∴∠2=90°－∠α（. 等式的基本性质）
∴∠1=∠2.（等量代换）
看作基本事实,称为“等量代换”.
想一想：如何证明一个命题是真命题呢？除基本事实外，命题的真实性都需要由基本事实、定义、已证
实的结论及已知条件出发，通过逻辑推理的方法加以证实。推理的过程叫做证明.
● 公理：人们从长期的生活实践中总结出来的真命题叫做公理，可以作为判断其他命题真假的原始依据。例：两点之间，线段最短；
∴∠AOC=∠BOD（等式的基本性质）
通过证明以上定理，你认为几何证明的步骤应分哪几步？在书写格式上应注意哪些问题？
①根据题意，画出图形。
步骤
②结合图形，写出已知、求证。
③写出证明过程。
注意事项：
1.图形中要标出必要的字母和符号。 2.已知、求证要用符号语言。 3.证明的每一步都要有依据。
例1.求证：同角的余角相等。
在括号内填写理由。

沪教版(五四制)八年级数学上册第十九章几何证明提高讲义【无答案】

几何证明提高学生姓名授课日期教师姓名授课时长【本讲内容】通过“倍长中线”、“截长补短”、“图形旋转”等添加辅助线的方法，构造全等三角形，实现边与角的转化及转移，最终得到证明结果。

【重点难点】添加合适的辅助线，解决证明问题知识梳理1.倍长中线法几何是初中数学的重要组成部分，在中考中占有相当的比例，在证明举例中，主要学习了以下几种题型：题型一：证明两条线段相等；（等腰三角形，三角形全等）题型二：证明两线平行；（利用两条直线平行的判定定理）题型三：证明两线垂直（证明角90度）；题型四：证明两角相等（等腰三角形，三角形全等）；题型五：证明线段或角的和差倍；有一部分题目，只要应用我们的一些定理公理即可证明，但有部分题需要做出辅助线才能完成。

有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。

为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。

倍长中线法：1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。

2.若点C 是线段AB 的中点，则：① 从线段来看：12AC BC AB ==；② 从点与点的相对位置来看：点C 在点A B 、之间，且点A B 、关于点C 对称。

3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。

① 一个三角形有三条中线； ② 每条中线平分三角形的面积；③ 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段；④ 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。

如何延长三角形的中线 1.延长1倍的中线：如图，线段AD 是ABC ∆的中线，延长线段AD 至E ，使DE AD =（即延长1倍的中线），再连接BE CE 、。

①总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD 和两对（中心选转型）全等三角形ABD ECD ∆≅∆、ACD EBD ∆≅∆，且每对全等三角形都关于点D 中心对称；②详细地说，就是可以转移角：BAD CED ∠=∠，CAD BED ∠=∠，ABD ECD ∠=∠，ACD EBD ∠=∠，ADB ECD ∠=∠，ADC EDB ∠=∠；可以移边：AB EC =，AC EB =；可以构造平行线：AB ∥EC ，AC ∥EB ；可以构造边长与AB 、AC 、AD 有关的三角形：ABE ∆、ACE ∆。

几何证明(4个概念2个性质3个判定2个定理2个应用2种思想方法1个轨迹)八年级数学上册沪教版

逆命题为“三条边对应相等的三角形全等”，成立.故答案为①④.
2 个性质3个判定
考点05 线段的垂直平分线
7.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
(D )
8.已知：如图，QA＝QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．
(2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其
他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真
命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．
考点04 互逆定理
6. [2022·江苏无锡宜兴市二模]下列命题的逆命题成立的是
①同旁内角互补，两直线平行
①④ .
⁠
②等边三角形是锐角三角形
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析
中后一种添加辅
助线的方法，写
出它的证明过程
吗？
考点06 角平分线
AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
15.如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，
AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明.
A
解：AB//CD，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°
B
F
∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC，

八年级数学几何证明的分析法与综合法专题讲座湘教版知识精讲

初二数学几何证明的分析法与综合法专题讲座湘教版【本讲教育信息】一. 教学内容：几何证明的分析法与综合法专题讲座二. 教学目标：1. 掌握证明一个命题的一般步骤。

2. 灵活掌握几何证明时常用的两种思考方法：分析法和综合法。

3. 掌握对一些较复杂的几何问题，能够采用“两头凑”的思考方法去寻求证明的途径。

4. 进一步培养学生的逻辑思维和推理论证的能力。

三. 教学重点、难点：重点：掌握几何证明的分析法和综合法及两头凑的方法。

难点：寻求证明的方法和途径。

四. 几何证明方法指导：1. 证明一个命题的一般步骤（1）按题意画出图形。

（2）分清命题的题设和结论，结合图形，在已知一项中写出题设，在求证一项中写出结论。

（3）探求证明途径。

（4）在证明一项中写出证明过程。

2. 证明命题正确的关键在于找出正确的证明方法或途径，这是最困难的，也正是我们力求研究和解决的问题。

3. 介绍两种几何证明时常用的思考方法：（1）分析法①定义：要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们的成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样一种思维方法就叫做分析法。

可简单地概括为：“执果索因”。

意思就是：“拿着结果去寻找原因”。

②思路：举例说明其证明命题正确的思路：若要证明如下命题：“若A成立，则D成立。

”用分析法思考时，其思路可如下图所示：（应从下往上看）从结论开始，即从D开始往上寻求其成立的条件，假设C、C1、C2都能使D成立，再寻求其成立的条件什么能使C、C1、C2成立，设B、B1能使C成立，B2能使C1成立，B3、B4能使C2成立，这一切原因，固然都可使D成立，但究竟哪个是题设A的结果呢？检查之后，设发现B是，这样就由未知的D上溯到已知的A，因而就获得了证明的思路：D←C←B←A，即D可由C得出，C又可由B 得出，B又可由已知的A得出，至此显然命题得证。

沪教版八年级数学上册《几何证明》说课稿

沪教版八年级数学上册《几何证明》说课稿一、教材分析《几何证明》是沪教版八年级数学上册中的一篇重要的知识点。

在这个单元中，学生将学习如何进行几何证明，从而培养他们的逻辑思维能力和分析问题的能力。

本单元主要包括以下内容：1.基本概念：学生将回顾和巩固几何中的基本概念，如线段、角度、旁征博引和同位角等。

2.三角形的性质：学生将学习三角形的内角和、外角和的性质，并掌握七类常见的特殊三角形。

3.平行线与相交线的性质：学生将探究平行线与相交线之间的性质，如同位角、内错角、对应角等，并学习如何运用这些性质进行证明。

4.四边形的性质：学生将学习四边形的性质，如平行四边形、矩形、菱形和正方形等，并重点讲解这些四边形的性质和特征。

二、教学目标知识目标•熟悉几何中的基本概念，并能正确应用它们进行证明。

•掌握三角形的内角和、外角和的性质，并能应用于具体问题。

•理解平行线与相交线之间的关系，包括同位角、内错角、对应角等，并能进行几何证明。

•熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形等四边形的性质。

能力目标•培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

•培养学生的几何证明能力，提高其解决实际问题的能力。

•培养学生的合作探究和团队合作能力。

情感目标•培养学生对几何学科的兴趣和探究精神。

•培养学生的思维习惯和解决问题的耐心和毅力。

三、教学重点与难点教学重点：1.如何利用基本几何概念进行证明。

2.三角形的内角和、外角和的性质。

3.平行线与相交线之间的性质及其应用。

4.平行四边形、矩形、菱形和正方形等四边形的性质。

教学难点：1.如何运用已有的几何定理和性质进行证明。

2.如何通过合理的推理和思考解决综合性的几何问题。

四、教学过程及设计第一步：导入与激发兴趣（5分钟）通过问题、情境等导入的形式，激发学生的学习兴趣，引导学生思考和提出问题。

第二步：知识讲解与示范（15分钟）1.回顾和讲解几何中的基本概念，如线段、角度、旁征博引和同位角等，明确其定义和性质。

八年级数学上册《什么是几何证明》教案、教学设计

2.教学方法：教师巡回指导，解答学生疑问，关注学生解题过程中的思维方法和书写规范。
（五）总结归纳
1.教学活动：教师引导学生从以下几个方面进行总结：
-本节课学习的几何证明方法及其适用场景。
-几何证明过程中应注意的问题和技巧。
-本节课的收获和感受。
2.设计意图：通过总结归纳，帮助学生巩固所学知识，提高几何证明能力，同时培养学生的反思和总结习惯。
5.能够通过几何证明解决实际问题，提高解决问题的能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师将采用以下方法引导学生学习：
1.通过问题导入法，激发学生的学习兴趣，引导学生思考几何证明的意义和价值。
2.采用讲解与示范相结合的方法，让学生在实践中掌握几何证明的基本方法和步骤。
3.设计多样化的例题和练习题，让学生在自主探究、合作交流中学会运用不同的证明方法。
-培养学生面对复杂几何问题时，能够灵活运用不同证明方法，形成系统化、条理化的解题思路。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用情境导入法，通过生活中的实际例子，让学生感受几何证明的必要性，激发学习兴趣。
-运用问题驱动的教学方法，设计具有挑战性的问题，引导学生主动探究，培养学生的逻辑思维和创新能力。
-结合小组合作学习，鼓励学生相互交流、讨论，发挥集体智慧，共同攻克难关。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，养成良好的学习习惯。
4.培养学生团队合作意识，学会倾听、表达、沟通与合作。
5.培养学生面对困难时勇于挑战、积极进取的精神风貌，树立正确的价值观。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何知识和相关定理，但在逻辑推理和几何证明方面仍需加强。在此阶段，学生思维活跃，对新知识充满好奇心，但同时也可能存在以下问题：对几何证明的重要性认识不足，缺乏主动探究的积极性；逻辑思维能力有待提高，对证明过程的书写不规范；团队合作意识不强，沟通表达能力有待提升。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的主观能动性，引导他们积极参与课堂讨论，培养严谨的几何证明素养，提高解决问题的能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，让他们在实践中感受几何证明的魅力，从而更好地理解和掌握本章节内容。

八年级数学上册第五章几何证明初步 5.6.5 几何证明举例课件

‘Ｂ’Ｃ‘中，∠ＡＣＢ=∠Ａ‘Ｃ’
Ｂ‘=90°，ＡＢ＝Ａ‘Ｂ’，ＡＣ
＝Ａ‘Ｃ’
B/
C/
C
B
Ａ‘（Ａ）
求证Ｒt∆ABC (qiúzhèng) ≌Ｒt ∆A/B/C/
2021/12/13
,
Ｂ
Ｃ‘（Ｃ）
Ｂ
‘
第四页，共十六页。
将两个(liǎnɡ ɡè)直角三角形的斜边重合在一起，你能证明两个直角三角形全等吗？ (liǎnɡ ɡè)
∵
AB=DE
AC=DF
∴ Rt∆ABC ≌ Rt∆DEF （HL）
2021/12/13
第六页，共十六页。
课堂练习
如图：已知ＡＣ＝ＢＤ，∠C= ∠D=90°，
∆ABC 求证 (1)Ｒt (qiúzhèng) ≌Ｒt ∆BAD
(2)OA =OB
D
O
C
A
2021/12/13
B证明(zhèngmíng)：∵∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°
八年级上册
5.6.5 几何证明举例 (jǐhé)
2021/12/13
第一页，共十六页。
复习提问 (fùxí)
1.你现在(xiànzài)了解几种全等三角形的判定方法
1.边边边 2.两边夹角 3.两角夹边 4.两角及对边
简称 “SSS” (jiǎnchēng)
简称 “SAS”
简称 “ASA” 简称 “AAS”
2021/12/13
第二页，共十六页。
2. 两边及其中一边(yībiān)的对角对应相等的两个三角形全等吗？
当 AB=A’B’ AC=A’C’ ∠B=∠B’
△ABC≌△A’B’C’ 成立吗? (chénglì)
C

青岛版八年级上册数学《什么是几何证明》教学说课研讨课件复习

又∵AB=AC（已知
）
AD=AD（公共边
）
∴△ABD≌△ACD（
）
ab
已知：如图，∠1+∠2=180° 求证：a∥b
1 32
证明：∵∠1+∠2=180°（已知） ∠2+∠3=180°（补角的定义） ∴∠1=∠3（同角的补角相等）
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
已知：如图，直线c，d与a，b分别相交， a b ∠1=∠2，
1
b
∴∠1=∠3（同角的补角相等）
∴ a∥b （同位角相等，两直线平）
行
1、内错角相等，两直线平行。 2、同旁内角互补，两直线平行。以上两个命题的逆命题是什么？ 1、两直线平行，内错角相等。 2、两直线平行，同旁内角互补。
条件和结论互换的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个叫做原命题的逆命题
求证：∠3+∠4=180°
c
证明：∵∠1=∠2（
已知）
d
∴a∥b （内错角相等，两直线平行）
12
3
54
∴∠3=∠5（两直线平行，同位角相等）
又∵ ∠5+ ∠4=180°（补角的定义）
∴∠3+ ∠4=180°（等量代换）
请按照几何命题证明的步骤，证明命题“如果一个点在角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等”是真命题。
1、在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做（互逆命题）
2、“内错角相等，两直线平行”的逆命题是
（两直线平行，内错角相等）。
3、“对顶角相等”的逆命题是

八年级数学上册《几何证明的知识结构》教案、教学设计

二、学情分析
八年级的学生在数学学习上已经具备了一定的基础，对几何图形有初步的认识，能够进行简单的几何计算和推理。但在几何证明方面，大部分学生还处于起步阶段，对证明方法和逻辑推理能力有待提高。因此，在教学过程中，需要关注以下几点：
1.学生在几何概念的理解上还存在一定的模糊性，需要通过具体实例和形象直观的教具辅助，帮助学生深化对几何概念的理解；
4.经历从简单到复杂、从具体到抽象的几何证明过程，培养几何思维的逻辑性和系统性。
（三）情感态度与价值观
1.增强对几何学科的兴趣，激发学习热情，形成积极主动学习的态度；
2.在几何证明过程中，培养勇于探索、严谨求实的科学精神；
3.学会与他人合作交流，尊重他人观点，培养团结协作的精神；
4.认识到几何知识在日常生活和国家建设中的重要作用，增强社会责任感和使命感。
"通过本节课的学习，我们了解到几何证明需要具备严密的逻辑思维和清晰的表达能力。希望大家在课后继续巩固所学知识，不断提高几何证明的能力。"
五、作业布置
为了巩固本节课所学的几何证明知识，培养学生的几何思维和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.完成课本第十五章的练习题第1、3、5、7题，要求学生在解题过程中，注重证明步骤的严密性和几何语言的准确性。
3.合作探究，促进交流
鼓励学生进行小组合作，共同探讨几何证明问题。在教学过程中，教师应关注学生的讨论过程，适时给予指导，引导学生运用不同的证明方法，提高解题思路的多样性。
4.精讲精练，提高效率
教师应精选典型例题，进行详细讲解，帮助学生掌握解题方法和技巧。同时，设计适量、针对性的练习题，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力。
"请大家回忆一下，我们之前学过哪些几何知识？这些知识是如何帮助我们解决几何问题的？"

初二数学(秋季)讲义第24讲证明综合

初二数学（秋季）讲义第二十四讲证明综合［知识要点］知识点（1）命题是对事物进行判断的句子，它包含了两层含义，其一，命题必须是一个完整的句子，其二，这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，如“对顶角相等”，“任何一个三角形中至少有两个锐角”等都是命题，而“你喜欢数学吗”，“明天可能会下雨”等不是命题． (2)六个公理① “两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．” ②“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．” ③“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”， ④“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”， ⑤“三边对应相等的两个三角形全等”，⑥“全等三角形的对应边相等，对应角相等．”证明：其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，这种推理的过程称证明．定理：经过证明的真命题称为定理，如，利用“同位角相等，两直线平行”这一公理可以证明“同旁内角互补，两直线平行”和“内错角相等，两直线平行”等定理．知识点2：证明命题（定理）的一般步骤：（1）根据题意刻画图形，（2）根据题设、结论，结合图形写出已知、求证．（3）分析找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．（4）检查证明过程是否正确、完整，做到步步有据．【典型例题】例1、某校举行数学竞赛，五名同学A ，B ，C ，D ，E 获得了前五名，他们对获奖的名次分别向老师做了如下推理： A 认为：B 第三名，C 第五名 B 认为：E 第四名，D 第五名 C 认为：A 第一名，E 第四名 D 认为：C 第一名，B 第二名 E 认为：A 第三名，D 第四名老师说：每个名次都有人猜对，请你据此对五人的获奖名次做出判断．例2、写出下列名称和术语的定义．（1）矩形（2）梯形例3、下列语句中是真命题的是（）A 、今天天气是好的B 、星期天你去新华书店买书吗C 、连接A ，B 两点D 、小明今天可能生病了例4、把下列命题写成“如果……那么……”的形式．（1）两直线平行，同位角相等．（2）平面内垂直同一直线的两直线平行．（3）经过两点有且只有一条直线．例5、已知，如图，直线123,,l l l 被直线l 所截，172,2108,372∠=︒∠=︒∠=︒，求证：l 1//l 2// l 3例6、如图，已知60,160,2120A ∠=︒∠=︒∠=︒，猜想图中哪些直线平行，解：例7、如图，,,160AB MN CD MN ⊥⊥∠=︒，求2∠的度数．解：【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1. 下列语句中，是命题的是（） A. 两点确定一条直线吗？ B. 在线段AB 上任取一点 C. 作∠A 的平分线AM D. 两个锐角的和大于直角2. 下列命题中，属于定义的是（）A. 两点确定一条直线B. 同角或等角的余角相等C. 两直线平行，内错角相等D. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度3. 下列命题中，是真命题的是（）A. 内错角相等B. 同位角相等，两直线平行C. 互补的两角必有一条公共边D. 一个角的补角大于这个角 4. 下列命题中，假命题是（）A. 垂直于同一条直线的两直线平行B. 已知直线a 、b 、c ，若a ⊥b ，a ∥c ，则b ⊥cC. 互补的角是邻补角D. 邻补角是互补的角 5. 命题“对顶角相等”是（） A. 角的定义 B. 假命题 C. 公理 D. 定理 6. 下列命题中，不正确的是（）A. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C. 两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 7. 如图（1），可以得到DE ∥BC 的条件是（）A. ∠ACB =∠BACB. ∠ABC +∠BAE =180°C. ∠ACB +∠BAD =180°D. ∠ACB =∠BAD8. 如图（2），直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件:（1）∠1=∠2，（2）∠3=∠6，（3）∠4+∠7=180°，（4）∠5+∠8=180°，其中能判定a∥b的条件是（）A. （1）（3）B. （2）（4）C. （1）（3）（4）D. （1）（2）（3）（4）9. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A. 第一次向右拐40°，第二次向左拐40°B. 第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C. 第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D. 第一次向左拐50°，第二次向左拐130°10. 如图（3），如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是（）A. AD∥BCB. AB∥CDC. ∠3=∠4D. ∠A=∠C二、填空题1. ___________________叫做命题，每个命题都是由________和________两部分组成．2. 命题“两直线平行，内错角相等”中，“两直线平行”是命题的________，“内错角相等”是命题的________．3. 命题“直角都相等”的条件是________________，结论是________________.4. “互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是_____命题，若是假命题请举出反例：______．5. 如图（4），由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．（1）∠1=∠2，_________．（2）∠A=∠3，_________．（3）∠ABC+∠C=180°，________．6. 如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________．7. 同垂直于一条直线的两条直线________.8. 如图（5），直线EF分别交AB、CD于G、H，∠1=60°，∠2=120°，那么直线AB与CD的关系是________，理由是：_______________________．三、解答题1. 指出下列命题的题设和结论：（1）若a∥b，b∥c，则a∥C．（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．（3）同一个角的补角相等．2. 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）平行于同一直线的两条直线平行．（2）同角的余角相等．（3）绝对值相等的两个数一定相等．3. 判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例.（1）若a2＞b2，则a＞b．（2）同位角相等，两直线平行．（3）一个角的余角小于这个角．4. 已知：如图（6），∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证：AB∥CD．5. 已知：如图（7），AD是一条直线，∠1=65°，∠2=115°．求证：BE∥CF．6. 已知：如图（8），∠1=∠2，∠3=100°，∠B =80°．求证：EF ∥C D ．7. 已知：如图，F A ⊥AC ，EB ⊥AC ，垂足分别为A 、B ，且∠BED +∠D =180°．求证：AF ∥C D ．知识点1.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.△ABC 中,∠A+∠B+∠C=1800. 2.推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 3.推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 4.推论3: 直角三角形的两锐角互余. [练习] 一、填空题：1、△ABC 中，∠B=45º，∠C=72º，那么与∠A 相邻的一个外角等于 .2、在△ABC 中，∠A ＋∠B=110º，∠C ＝2∠A ，则∠A= ，∠B= .3、直角三角形中两个锐角的差为20º，则两个锐角的度数分别为 .4、如下图左，AD 、AE 分别是△ABC 的角平分线和高，∠B=50º，∠C=70º，则∠EAD= .5、如上图右，已知∠BDC=142º，∠B =34º，∠C=28º，则∠A= .6、把下列命题“对顶角相等”改写成：如果，那么 .7、如下图左，已知DB 平分∠ADE ，DE ∥AB ，∠CDE=82º，则∠EDB= ，∠A= .8、如上图右，CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，∠DGC=111º，∠BCG=69º，∠1=42º，则∠2= .E D CB A DC BA E DCB AG F ED CB A 219、如下图左，DH ∥GE ∥BC ，AC ∥EF ，那么与∠HDC 相等的角有 .10、如上图右：△ABC 中，∠B=∠C ，E 是AC 上一点，ED ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别为D 、F ，若∠AED=140º，则∠C= ∠A= ∠BDF= .11、△ABC 中，BP 平分∠B ，CP 平分∠C ，若∠A=60º，则∠BPC= . 二、选择题12、满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（） A 、∠B+∠A=∠C B 、∠A ：∠B ：∠C=2：3：5C 、∠A=2∠B=3∠CD 、一个外角等于和它相邻的一个内角13、如图，∠ACB=90º，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列结论错误的是（） A 、图中有三个直角三角形 B 、 B 、∠1=∠2C 、∠1和∠B 都是∠A 的余角D 、∠2=∠A14、三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、无法确定 15、如下图左：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于（）A 、180ºB 、360ºC 、540ºD 、720º16、锐角三角形中，最大角α的取值范围是（）A 、0º＜α＜90ºB 、60º＜α＜90ºC 、60º＜α＜180ºD 、60º≤α＜90º 17、下列命题中的真命题是（）A 、锐角大于它的余角B 、锐角大于它的补角C 、钝角大于它的补角D 、锐角与钝角之和等于平角18、已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直.其中，正确命题的个数为（） A 、0 B 、1个 C 、2个 D 、3个19、如上图右：AB ∥CD ，直线HE ⊥MN 交MN 于E ，∠1=130º，则∠2等于（）21DC BAMH GF E D CB A FED C B AF E C B AA 、50ºB 、40ºC 、30ºD 、60º 20、如图，如果AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系式为（） A 、 α＋β＋γ=360º B 、 α－β＋γ=180ºC 、 α＋β＋γ=180ºD 、 α＋β－γ=180º 三解答题21、如图，BC ⊥ED ，垂足为O ， ∠A=27º，∠D=20º，求∠ACB 与∠B 的度数.22、如图：∠A=65º ，∠ABD=∠DCE=30º，且CE 平分∠ACB,求∠BEC.23、如图：（1）画△ABC 的外角∠BCD ，再画∠BCD 的平分线CE. （2）若∠A=∠B ，请完成下面的证明：已知：△ABC 中，∠A=∠B ，CE 是外角∠BCD 的平分线求证：CE ∥AB24、看图填空：如下图左，∠A ＋∠D ＝180º（已知）∴ ∥ （） ∴∠1＝（） ∵∠1＝65º（已知）∴∠C ＝65º（）αγβEDC BA E O DCBA EDCBACB A1DCB A（1）如上图右，已知，∠ADC ＝∠ABC ，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，且∠1=∠2，求证：∠A=∠C.证明：∵BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC （已知）∴ ∠1＝21∠ABC ，∠3＝21∠ADC （） ∵∠ABC ＝∠ADC （已知） ∴21∠ABC ＝21∠ADC （） ∴∠1＝∠3（） ∵∠1＝∠2（已知）∴∠2＝∠3（） ∴（）∥（）（）∴∠A ＋∠ ＝180º ，∠C ＋∠ ＝180º（） ∴∠A ＝∠C （）25、如图：已知CB ⊥AB ，CE 平分∠BCD ，DE 平分∠ADC ，∠1＋∠2＝90º 求证：AB ∥CD26、如图，已知：AC ∥DE ，DC ∥EF ，CD 平分∠BCA求证：EF 平分∠BED.54321ADFCEB21ED CBA27、如图，已知：CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BCA。