2020版高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节合情推理与演绎推理教学案理含解析新人教A版

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2020版高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.5合情推理与演绎推理课件理新人教版

A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错 C．推理形式错误导致结论错 D．大前提和小前提错误导致结论错
解析：当 a>1 时，y＝ax 为增函数；当 0<a<1 时，y＝ax 为减函数，故大前提错误．
4．正弦函数是奇函数，因为 f(x)＝sin(x＋1)是正弦函数，所以 f(x)
＝sin(x＋1)是奇函数，以上推理的错误原因是小前提错误．
有一位老师猜对，则猜对者是( C )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【解析】若 1 号是第 1 名，则甲错，乙对，丙对，丁对，不符合题意；
若 2 号是第 1 名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；若 3 号是第 1 名，则甲对，乙对，丙错，丁错，不符合题意；若 4 号是第 1 名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；若 5 号是第 1 名，则甲对，乙对，丙对，丁错，不符合题意；若 6 号是第 1 名，则甲错，乙错，丙对，丁错，符合题意．故猜对者是丙．
(2)特点：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的
推理．
2．类比推理
(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已
知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． (2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．
1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计算
考向二类比推理
【例 2】 (2019·湖北孝感模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l
＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S
＝4πr2，三维测度(体积)V＝43πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超

2020版高考数学第6章不等式、推理与证明第4节合情推理与演绎推理教学案理新人教版

第四节合情推理与演绎推理[考纲传真] 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．1．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．[常用结论]1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. ( )(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. ( )(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是( )A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1C[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.]3．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A ．大前提错误导致结论错误 B ．小前提错误导致结论错误 C ．推理形式错误导致结论错误 D ．大前提和小前提错误导致结论错误A [“指数函数y ＝a x是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．] 4．下面几种推理是合情推理的是 ( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③李锋某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③ C ．①②④D ．②④C [合情推理分为类比推理和归纳推理．其中①是类比推理，②④是归纳推理．故选C.] 5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3…b n ＝________. b 1·b 2·…·b 17－n (n ＜17，n ∈N *) [∵b 9＝1，∴在等比数列中b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n(n ＜17，n ∈N *)．]归纳推理►考法1 与数式有关的推理【例1】 (1)(2019·南昌模拟)已知13＋23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622,13＋23＋33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222,13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11(2)(2019·济宁模拟)已知a i ＞0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式：a 1＋a 22≥a 1a 2；a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3；a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4；……照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn≥______.(1)C (2)na 1a 2…a n [(1)观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n 3时，等号右边的数为⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋22，因此，令⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋22＝3025，则n n ＋2＝55，n ＝10或n ＝－11(舍)．故选C. (2)由题意得a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)．]►考法2 与图形有关的推理【例2】某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．(1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________．(1)3×2n－3 (2)9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n[(1)由题图知，一级分形图中的线段条数为3＝3×2－3，二级分形图中的线段条数为9＝3×22－3，三级分形图中的线段条数为21＝3×23－3，按此规律，n 级分形图中的线段条数为a n ＝3×2n －3(n ∈N *)．(2)∵从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，∴n 级分形图中第n级的所有线段的长度和为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)，∴n 级分形图中所有线段长度之和为S n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n1－23＝9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .] 与数字有关的等式的推理与式子有关的推理与图形变化有关的推理真伪性.(1)自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n＝99n具有“穿墙术”，则n ＝( )A ．25B ．48C ．63D ．80(2)如图的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．(1)D (2)n n ＋2(n ∈N *) [(1)由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，可得若99n＝99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80.(2)由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.所以总个数为n n ＋2(n ∈N *)．] 类比推理【例3】 (1)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12 B.5－12 C.1＋52D.1－52(2)(2018·南昌一模)平面内直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则斜边长为a 2＋b 2，直角顶点到斜边的距离为aba 2＋b 2.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比推理可得底面积为S 21＋S 22＋S 23，则三棱锥顶点到底面的距离为( )A.3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23B.S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23C.2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23D.3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23(1)C (2)C [(1)令1＋11＋11＋…＝x (x ＞0)，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. (2)设空间中三棱锥O ABC 的三条两两垂直的侧棱OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c ，不妨设三个侧面的面积分别为S △OAB ＝12ab ＝S 1，S △OAC ＝12ac ＝S 2，S △OBC ＝12bc ＝S 3，则ab ＝2S 1，ac ＝2S 2，bc ＝2S 3.过O 作OD ⊥BC 于D ，连接AD (图略)，由OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，且OB ∩OC ＝O ，得OA ⊥平面OBC ，所以OA ⊥BC ，又OA ∩OD ＝O ，所以BC ⊥平面AOD ，又BC ⊂平面OBC ，所以平面OBC ⊥平面AOD ，所以点O 在平面ABC 内的射影O ′在线段AD 上，连接OO ′. 在直角三角形OBC 中，OD ＝bcb 2＋c 2. 因为AO ⊥OD ，所以在直角三角形OAD 中，OO ′＝OA ·ODOA 2＋OD 2＝a ·bc b 2＋c 2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫bc b 2＋c 22＝abcab 2＋ac 2＋bc2＝ab bccaab2＋ac2＋bc2＝S 1S 2S 3S 12＋S 32＋S 22＝2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23.]猜想(1)在正项等差数列{a n }中有41426020＝12100100成立，则在正项等比数列{b n }中，类似的结论为________．(2)如图(1)所示，点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体VBCD 内的任意一点，如图(2)所示，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长分别交面BCD ，VCD ，VBD ，VBC 于点V 1，B 1，C 1，D 1，则有________．(1)20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100 (2)OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1 [(1)由等差数列的性质知，a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 41＋a 6020＝a 1＋a 1002，a 1＋a 2＋…＋a 100100＝a 1＋a 100100＝a 1＋a 1002，所以a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 1＋a 2＋…＋a 100100. 在正项等比数列{b n }中，类似的有： 20b 41b 42b 43…b 60＝20b 41b 6010＝20b 1b 10010＝b 1b 100，100b 1b 2b 3…b 100＝100b 1b 10050＝b 1b 100，所以20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100，所以在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.(2)利用类比推理，猜想应有OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1. 用“体积法”证明如下：OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O BCD V V BCD ＋V O VCD V B VCD ＋V O VBD V C VBD ＋V O VBC V D VBC ＝V V BCDV V BCD＝1.] 演绎推理【例4】 (1)甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则 ( ) A ．甲和乙不可能同时获奖 B ．丙和丁不可能同时获奖 C ．乙和丁不可能同时获奖 D ．丁和甲不可能同时获奖(2)(2019·郑州模拟)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．(1)C (2)乙[(1)若甲未获奖，则乙、丙、丁三位同学获奖，此时甲、乙、丙说的都错了，与题设矛盾，所以甲一定获奖了；若丙未获奖，则甲、乙、丁三位同学获奖，此时甲、丙、丁说的都对，与题设矛盾，所以丙也一定获奖了，由此可知乙、丁只有一个获奖，不可能同时获奖，故选C.(2)若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．]演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．[证明]设x1，x2∈R，取x1＜x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，因为x1＜x2，所以f(x2)－f(x1)＞0，f(x2)＞f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调增函数．1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩D[由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.]2.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]3．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.]。

2020版高考数学一轮复习教案- 第6章第4节合情推理与演绎推理

第四节合情推理与演绎推理[考纲传真] 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．1．合情推理类型定义特点根据一类事物的部分对象具有某种特征，由部分到整体、由归纳推理推出这类事物的全部对象都具有这种特征个别到一般的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类类比推理对象的某些已知特征，推出另一类对象也由特殊到特殊具有这些特征的推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、合情推理比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．[常用结论]1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．合情推理是发现结论的推理，演绎推理是证明结论的推理．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．()(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(3)“所有3 的倍数都是9 的倍数，某数m 是3 的倍数，则m 一定是9 的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．以上都不是B[类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理，选B.]3．(教材改编)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2 时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4 后，猜想a n 的表达式是()A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2 D．a n＝3n－1C[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.]1 x4．“因为指数函数y＝a x 是增函数(大前提)，而y＝( 是指数函数(小前3 )1 x提)，所以函数y＝( 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()3 )A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提错误导致结论错误A[“指数函数y＝a x 是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8[在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面面积比为1∶4，对应高之比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.]归纳推理►考法1与数字有关的推理【例1】(1)给出以下数对序列：(1,1)；(1,2)(2,1)；(1,3)(2,2)(3,1)；(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；…记第i 行的第j 个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝()A．(m，n－m＋1)B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)(2)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.(1)A(2)n2[(1)由已知可得，第i 行第j 列个数对a ij＝(j，i－j＋1)，因此a nm ＝(m，n－m＋1)，故选A.(2)由已知中1＝12，1＋2＋1＝4＝22，1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…归纳猜想可得1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝n2.] ►考法2与式子有关的推理【例2】(1)(2019·青岛模拟)观察下列等式：sin (π-2 42π-2sin ＋sin ＝×1×2；( 3 ) ( 3 )3π2π3π4π-2 4-2 -2 -2sin ＋sin ＋sin ＋sin ＝×2×3；( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 )3π3π6π2π-2 4 π-2 -2 -2 -2 sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin ＝×3×4；sin ＋( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) 3 ( 9 ) 2π8π-2 43π-2 -2＋sin ＋…＋sin ＝×4×5；9 ) ( 9 ) ( 9 )3……照此规律，πsin( 2n＋1)________.2π3π2nπ-2 -2 -2 -2＋sin ＋＋…＋sin ＝sin( 2n＋1) ( 2n＋1) ( 2n＋1)1 4 x x 4 27(2)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋x x2 2 2 x2 x3 x x x27 a＝＋＋＋≥4，…，归纳得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________.3 3 3 x3 x n4(1) n(n＋1)(2)n n[(1)根据所给等式知，等式右边是三个数的乘积，第一34个数是，第二个数是左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，第34三个数比第二个数大1，故所求结果为n(n＋1)．3(2)第一个式子是n＝1 的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2 的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3 的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝n n.] ►考法3与图形变化有关的推理【例3】(2019·成都模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915 年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6 时，该黑色三角形内一共去掉的小三角形的个数为()A．81 B．121 C．364 D．1 093C[由题图可知，当n＝1 时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1；当n＝2 时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3；当n＝3 时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3＋32；……据此归纳推理可知，当n＝6 时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3＋32＋33＋34＋35＝1－36＝364.故选C.]1－3[规律方法]归纳推理的常见类型和一般步骤1常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：①数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；②形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.2归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.(1)观察下列立方和：13,13＋23,13＋23＋33,13＋23＋33＋43，…，则归纳上述求和的一般公式13＋23＋33＋…＋n3＝________.(2)观察下列各式：1 31＋＜；22 21 1 51＋＋＜；22 32 31 1 1 71＋＋＋＜；22 32 42 4…1 1 1照此规律，当n∈N*时，1＋＋＋…＋＜________.22 32 n＋12n2n＋1 2 2n＋1(1) (2) [(1)13＝1＝12，4 n＋113＋23＝9＝(1＋2)2，13＋23＋33＝36＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝100＝(1＋2＋3＋4)2，…n2n＋12由此规律可知13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝.42n＋1(2)观察所给不等式可知，第n 个不等式的右边为.]n＋1类比推理【例4】(1)(2019·上饶模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体4积)V＝πr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝12πr3，则其3四维测度W＝________.(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长a2＋b2即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b 为直2角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________.a2＋b2＋c2(1)3πr4(2) [(1)∵二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维2Earlybird测度(面积)S＝πr2；观察发现S′＝l，三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，4三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S，∴四维空间中“超球”的三维测度V3＝12πr3，猜想其四维测度W，则W′＝V＝12πr3，∴W＝3πr4，故答案为3πr4.(2)把三棱锥补形为长方体，则长方体的对角线长即为三棱锥外接球的直径，a2＋b2＋c2则三棱锥外接球的半径R＝.]2[规律方法]解决类比推理问题的方法步骤1类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题猜想.2类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.a1＋a2＋…＋a n(1)若数列{a n}是等差数列，则数列{b n}(b n＝也是n)等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{c n}是等比数列，且{d n}也是等比数列，则d n的表达式应为()c1＋c2＋…＋c n c1·c2·…·c nA．d n＝B．d n＝n nn c n1＋c n2＋…＋c nC．d n＝D．d n＝n c1·c2·…·c nnAC(2)在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为＝BCAE.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图所示)，平面DEC平分二面BE角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．AE S△ACD(1)D(2) ＝[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平EB S△BCDEarlybird均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n＝n c1·c2·…·c n.n n－1法二：若{a n}是等差数列，则a1＋a2＋…＋a n＝na1＋d，2n－1 d d∴b n＝a1＋d＝n＋a1－，即{b n}为等差数列；若{c n}是等比数列，则2 2 2n n－1n－1c1·c2·…·c n＝c n1·q1＋2＋…＋(n－1)＝c n1·q ，∴d n＝n c1·c2·…·c n＝c1·q ，即{d n}2 2为等比数列，故选D.AE S △ACD(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.]EB S △BCD演绎推理【例5】(1)(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩(1)D[(1)由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1 个优秀、1 个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.]n＋2(2)(2019·福州模拟)数列{a n}的前n 项和记为S n，已知a1＝1，a n＋1＝n S n(n∈N＋)．S n证明：①数列{ 是等比数列；②S n＋1＝4a n.n }Earlybirdn＋2[证明]①∵a n＋1＝S n＋1－S n，a n＋1＝S n，n∴(n＋2)S n＝n(S n＋1－S n)，即nS n＋1＝2(n＋1)S n.S n＋1 S n∴＝2·，(小前提)n＋1 nS n故{ 是以2 为公比，1 为首项的等比数列．(结论)n}(大前提是等比数列的定义，这里省略了)S n＋1 S n－1②由①可知＝4·(n≥2)，n＋1 n－1S n－1 n－1＋2∴S n＋1＝4(n＋1)·＝4··S n－1n－1 n－1＝4a n(n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有S n＋1＝4a n.(结论)(第(2)问的大前提是第(2)问的结论以及题中的已知条件)[规律方法]演绎推理的推证规则1演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果大前提是显然的，则可以省略.2演绎推理常考的推理形式还包括假言推理，即根据假言命题的逻辑性质进行的推理，解决这类问题常用方法①充分条件假言推理，②必要条件假言推理.(2019·北京模拟)如图，A，B，C三个开关控制着1,2,3,4 号四盏灯．若开关A 控制着2,3,4 号灯(即按一下开关A,2,3,4 号灯亮，再按一下开关A,2,3,4 号灯熄灭)，同样，开关B控制着1,3,4 号灯，开关C控制着1,2,4 号灯．开始时，四盏灯都亮着，那么下列说法正确的是()A．只需要按开关A，C可以将四盏灯全部熄灭B．只需要按开关B，C可以将四盏灯全部熄灭EarlybirdC．按开关A，B，C可以将四盏灯全部熄灭D．按开关A，B，C无法将四盏灯全部熄灭D[根据题意，按开关A,2,3,4 号灯熄灭，1 号灯亮；按开关B,1,2 号灯熄灭，3,4 号灯亮；按开关C，则2,3,4 号灯熄灭，1 号灯亮．选D.]1．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A[由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.]2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1 和2,1 和3,2 和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3[根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1 和2 或1 和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2 和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1 和3.]。

2020版高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明第36讲合情推理与演绎推理课件理新人教A版

猜想的推理，我们把它们统称为合情推理
2.演绎推理从___一__般__性__的__原__理_____出发，推出
定义 ___某__个__特__殊__情__况_____下的结论，我们把这种推理称为演绎推理
特点演绎推理是由__一__般__到__特__殊_____的推理
(1)大前提——已知的
__一__般__原__理____；
解析 (1)依题意，由于甲看后还是不知道自己的成绩，说明乙、丙两人必是一个优秀、一个良好，则甲、丁两人必是一个优秀、一个良好，因此乙看了丙的成绩就可以知道自己的成绩，丁看了甲的成绩就清楚自己的成绩，综合以上信息可知，乙、丁可以知道自己的成绩．故选 D.
(2)由丙说的话可知甲、乙两人至少选修了一门课程，且选修的课程中有一门课程是相同的，又甲比乙选修的课程多，且没有选修哲学初步，所以甲选修了文学与艺术和数学史．又乙没有选修数学史，所以乙选修的课程为文学与艺术．
模式：“三段 “三段论” (2)小前提——所研究的特殊情
论”是演绎
的结构况；
推理的一般模式
(3)结论——根据一般原理，对 __特__殊__情__况____做出的判断
“三段论” 的表示
(1)大前提——M 是 P；
(2)小前提——S 是 M； (3)结论——__S_是__P____
[对点检测] 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( ) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (3)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，若数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )

高三数学复习第六章不等式、推理与证明

数学(6省专版)
演练知能检测
第一节
不等关系与不等式
[归纳· 知识整合]
回扣主干知识
突破热点题型
1．比较两个实数大小的法则设a，b∈R，则 a－b＞0 (1)a＞b⇔ ； a－b＝0 (2)a＝b⇔ ； a－b＜0 (3)a＜b⇔ . 2．不等式的基本性质性质对称性传递性可加性性质内容 a>b⇔_____ b<a a>b，b>c⇒______ a>c 注意 ⇔ ⇒ ⇔
[例3] 个结论： (1)(2012· 湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三
提升学科素养
突破热点题型
c c ①a>b；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是 ( )
演练知能检测
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
数学(6省专版)
＝(x－1)2＋1>0， ∴3x2－x＋1>2x2＋x－1.
演练知能检测
数学(6省专版)
第一节
不等关系与不等式
回扣主干知识
aa－b aabb a－b b－a a－b 1 a－b (2)abba＝a b ＝a b ＝b . aa－b a ∵当a>b，即a－b>0，b>1时，b >1，
第一节
不等关系与不等式
c d (2)已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0， a － b >0(其中a，
回扣主干知识
b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 ( )

高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明 4 第4讲合情推理与演绎推理课件文

第六章不等式、推理(tuīlǐ)与证明
第 4 讲合情推理与演绎推理
第一页，共四十页。
1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物部的分__(b_ù_fe_n)_对__象__具有某些特征，推出该类事物全的部_(_qu_án_b_ù)_对__象__都具有这些特征的推理，或者由个_别_(_gè_b_ié)_事__实__概括出___一_般__结__论__的推理． ②特点：由__部_分__到__整_体__、由_个__别__到_一__般__的推理． ③方法：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)．
第三十页，共四十页。
(1)求函数 f(x)＝13x3－12x2＋3x－152的对称中心；
(2)计算
f2
0115＋f2
0215＋f2
0315＋f2
0415＋…＋f22
014 015.
【解】 (1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，
由 f″(x)＝0，即 2x－1＝0，解得 x＝12.
f12＝13×123－12×122＋3×12－152＝1.
第四页，共四十页。
1．下面几种推理是合情推理的是________．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，归纳出所有三角形的内角和都是 180°； ③某次考试张军的成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分； ④三角形的内角和是 180°，四边形的内角和是 360°，五边形的内角和是 540°，由此得出凸 n 边形的内角和是(n－2)·180°. 解析：①是类比推理，②④是归纳推理，③不是合情推理．
第二页，共四十页。
(2)类比推理 ① 定义：由两类对象具有类_似__(l_èi_sì)_特__征__ 和其中一类对象的某些__(m_ǒ_u _xi_ē)已__知__特__征___推出另一类对象也具有这些特征的推理． ②特点：特由殊__(tè_sh_ū_) 到_特__殊__的推理． ③方法：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．

2020高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节合情推理与演绎推理教师用书文新人教A版

【2019最新】精选高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节合情推理与演绎推理教师用书文新人教A版————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．1．合情推理2.(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )[答案] (1)×(2)×(3)√(4)×2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( )A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．以上都不是B [类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理，选B.]3．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )A．an＝3n－1 B．an＝4n－3C．an＝n2 D．an＝3n－1C [a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]4．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提错误导致结论错误A [“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]5．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A [由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.]归纳推理20项是( )A.B.C. D.67 (2)(2016·山东高考)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋－2＝×1×2； ⎝⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5； ……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________. (1)C (2)n(n ＋1) [(1)数列在数列中是第1＋2＋3＋…＋m ＝项，当m ＝5时，即是数列中第15项，则第20项是，故选C.(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n ＋1)．][规律方法] 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．2．归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．[变式训练1] (1)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________.(2)下面图形由小正方形组成，请观察图641(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是__________. 【导学号：31222221】图641(1)nn(n∈N*)(2)(n∈N*)[(1)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.(2)由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.所以总个数为(n∈N*)．]类比推理{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )A．dn＝B．dn＝c1·c2·…·cnnC．dn＝D．dn＝n c1·c2·…·cn(2)(2016·贵州六校联考)在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图642)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．图642(1)D (2)＝[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝.法二：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.][规律方法] 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．[变式训练2] 给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1.”其中类比结论正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4B [类比结论正确的有①②.]演绎推理(1)数列是等比数列；(2)Sn＋1＝4an. 【导学号：31222222】[证明] (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.2分∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)5分(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)8分又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)12分[规律方法] 演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M 的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．[变式训练3] 如图643所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．图643[证明] (1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥EA.(结论)5分(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)8分(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以ED ＝AF.(结论)上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD＝∠A ⇒DF∥EA DE∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF.12分[思想与方法]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发→→→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[易错与防范]1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性．课时分层训练(三十五)合情推理与演绎推理A 组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确C [因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]2．如图644，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是( )【导学号：31222223】图644A．12 B．48C．60 D．144D [由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]3．某种树的分枝生长规律如图645所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )【导学号：31222224】图645A．21 B．34C．52 D．55D [因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.]4．如图646所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( )图646A. B.5－12C.－1D.＋1A [设“黄金双曲线”方程为－＝1，则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．在“黄金双曲线”中，因为⊥，所以·＝0.又＝(c，b)，＝(－a，b)．所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.在等号两边同除以a2，得e＝.]5．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数B [A中小前提不正确，C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A、C、D都不正确，只有B的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．]二、填空题6．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝__________.a2＋b2＋c2[由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径为.] 27．观察下列不等式：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…照此规律，第五个不等式为__________．【导学号：31222225】1＋＋＋＋＋< [左边的式子的通项是1＋＋＋…＋，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.]8．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．丙[如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．]三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．[解] 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；4分(2)四面体的体积V＝×底面积×高；8分(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.12分10．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明. 【导学号：31222226】[解] f(0)＋f(1)＝＋131＋3＝＋＝＋＝，2分同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝.6分证明：设x1＋x2＝1，f(x1)＋f(x2)＝＋13x2＋3＝＝3x1＋3x2＋233x1＋x2＋33x1＋3x2＋3＝＝＝.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．给出以下数对序列：(1,1)；(1,2)(2,1)；(1,3)(2,2)(3,1)；(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；…记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝( )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)A [由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm ＝(m，n－m＋1)．]2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解] (1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.5分(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.7分证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.12分法二：三角恒等式为sin2 α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.7分证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝＋－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.12分。

2020高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6-4合情推理与演绎推理课时提升作业理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6-4合情推理与演绎推理课时提升作业理(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数均超过50人C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式【解析】选A.A项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提),∠A+∠B=180°(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D是归纳推理,C是类比推理.2.(2016·十堰模拟)依次写出数列a1=1,a2,a3,…,an(n∈N*)的法则如下:如果an-2为自然数且未写过,则写an+1=an-2,否则就写an+1=an+3,则a6= ( )A.4B.5C.6D.7【解析】选C.根据题中法则,依次逐个代入,得a2=4,a3=2,a4=0,a5=3,a6=6.3.(2016·佛山模拟)对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2016次操作后得到的数是( )A.25B.250C.55D.133【解析】选B.由题意知,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133,第5次操作为13+33+33=55,….因此每次操作后的得数呈周期排列,且周期为3,又2016=672×3,故第2016次操作后得到的数是250.【加固训练】(2015·揭阳模拟)对于正实数a,Ma为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:∀x1,x2∈R且x2>x1,有-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),下列结论中正确的是( )A.若f(x)∈,g(x)∈,则f(x)·g(x)∈B.若f(x)∈,g(x)∈,且g(x)≠0,则∈C.若f(x)∈,g(x)∈,则f(x)+g(x)∈D.若f(x)∈,g(x)∈,且a1>a2,则f(x)-g(x)∈【解题提示】对于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1).变形有-a<<a,令k=,又f(x)∈,g(x)∈,利用不等式的性质可得f(x)+g(x)∈.从而得出正确答案.【解析】选C.对于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),即有-a<<a,令k=,有-a<k<a,又f(x)∈,g(x)∈,即有-a1<kf<a1,-a2<kg<a2,因此有-a1-a2<kf+kg<a1+a2,因此有f(x)+g(x)∈.4.给出下列三个类比结论:①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ;③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.(a+b)n≠an+bn(n≠1,a·b≠0),故①错误.sin(α+β)=sinαsinβ不恒成立,如α=30°,β=60°,sin90°=1,sin30°·sin60°=,故②错误.由向量的运算公式知③正确.5.(2015·广东高考)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中的元素个数,则card(E)+card(F)= ( )A.50B.100C.150D.200【解析】选D.当s=4时,p,q,r都是取0,1,2,3中的一个,有4×4×4=64种,当s=3时,p,q,r都是取0,1,2中的一个,有3×3×3=27种,当s=2时,p,q,r都是取0,1中的一个,有2×2×2=8种,当s=1时,p,q,r都取0,有1种,所以card=64+27+8+1=100.当t=0时,u取1,2,3,4中的一个,有4种,当t=1时,u取2,3,4中的一个,有3种,当t=2时,u取3,4中的一个,有2种,当t=3时,u取4,有1种,所以t,u的取值有1+2+3+4=10种,同理,v,w的取值也有10种,所以card=10×10=100,所以card+card=100+100=200.【加固训练】1.我国的刺绣有着悠久的历史,如图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.则f(n)的表达式为( )A.f(n)=2n-1B.f(n)=2n2C.f(n)=2n2-2nD.f(n)=2n2-2n+1【解析】选D.我们考虑f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,…,结合图形不难得到f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2-2n,故f(n)=2n2-2n+1.2.(2014·北京高考)有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A同学每科成绩不低于B同学,且至少有一科成绩比B高,则称“A同学比B同学成绩好”.现有若干同学,他们之中没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生( ) A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选B.用D,E,F分别表示优秀、合格和不合格.显然语文成绩得D的学生最多只有1个,语文成绩得E的也最多只有1个,得F的也最多只有1个,因此学生最多只有3个.显然,(DF),(EE),(FD)满足条件,故学生最多3个.3.下列推理是归纳推理的是( )A.若A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B 是归纳推理.选项A是演绎推理,选项C,D是类比推理.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·黄山模拟)观察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第n个等式为.【解析】观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13+23+…+n3==.答案:13+23+…+n3=【加固训练】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289B.1024C.1225D.1378【解析】选C.观察三角形数:1,3,6,10,…,记该数列为{an},则a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,…an=an-1+n.所以a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n)⇒an=1+2+3+…+n=,观察正方形数:1,4,9,16,…,记该数列为{bn},则bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得n都为正整数的只有1225.7.(2016·襄阳模拟)在平行四边形ABCD中有AC2+BD2=2(AB2+AD2),类比这个性质,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有A+B+C+D= .【解题提示】根据平行六面体的性质,可以得到它的各个面以及它的对角面均为平行四边形,多次使用已知条件中的定理,再将所得等式相加,可以计算出正确结论.【解析】如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形,因此,在平行四边形ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2)…①;在平行四边形ACC1A1中,A1C2+A=2(AC2+A)…②;在平行四边形BDD1B1中,B1D2+B=2(BD2+B)…③;②、③相加,得A1C2+A+B1D2+B=2(AC2+A)+2(BD2+B)…④将①代入④,再结合AA1=BB1得,A+B1D2+A1C2+B=4(AB2+AD2+A)答案:4(AB2+AD2+A)【加固训练】观察下列几个三角恒等式:①tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°=1;②tan 5°tan 100°+tan 100°tan(-15°)+tan(-15°)tan 5°=1;③tan 13°tan 35°+tan 35°tan 42°+tan 42°tan 13°=1.一般地,若tanα,tanβ,tanγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为.【解析】所给三角恒等式都为tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1的结构形式,且α,β,γ之间满足α+β+γ=90°,所以可猜想当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.答案:当α+β+γ=90°时,tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=18.已知数列{an}为等差数列,若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),则am+n=.类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到bm+n= .【解析】设数列{an}的公差为d1,则d1==.所以am+n=am+nd1=a+n·=.类比推导方法可知:设数列{bn}的公比为q,由bn=bmqn-m,可知d=cqn-m,所以q=,所以bm+n=bmqn=c·=.答案:【一题多解】本题还可以采用如下解法:(直接类比)设数列{an}的公差为d1,数列{bn}的公比为q,因为等差数列中an=a1+(n-1)d1,等比数列中bn=b1qn-1,因为am+n=,所以bm+n=.答案:(15分钟30分)1.(5分)观察下式:1+3=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=52…据此你可归纳猜想出一般结论为( )A.1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)B.1+3+5+…+(2n+1)=n2(n∈N*)C.1+3+5+…+(2n-1)=(n+1)2(n∈N*)D.1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2(n∈N*)【解析】选D.观察可见第n行左边有n+1个奇数,右边是(n+1)2.2.(5分)命题p:已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作∠F1PF2补角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,在双曲线中也有命题q:已知双曲线-=1(a>0,b>0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作∠F1PF2的的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.【解析】对于椭圆,延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知,M为F2Q的中点,且|PF2|=|PQ|,从而OM∥F1Q且|OM|=|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,所以|OM|=a.对于双曲线,过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线,垂足为点M,类比可得OM=a.答案:内角平分线3.(5分)(2016·黄冈模拟)观察下列等式:①cos2α=2cos2α-1;②cos4α=8cos4α-8cos2α+1;③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.可以推测,m-n+p= .【解析】m=128×4=512;p=10×5=50,根据系数和等于1,可以求出n=-400.答案:962【加固训练】(2016·武汉模拟)在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k项:k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得1×2=(1×2×3-0×1×2),2×3=(2×3×4-1×2×3),……n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2).类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果是(结果写成关于n的一次因式的积的形式).【解析】先改写第k项:k(k+1)(k+2)=[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)],由此得1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4),……,n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)·(n+2)],相加得1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3).答案:n(n+1)(n+2)(n+3)4.(15分)已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线-=1写出具有类似特性的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明如下:设点M,P的坐标分别为(m,n),(x,y),则N(-m,-n).因为点M(m,n)在已知双曲线上,所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.则kPM·kPN=·==·=(定值).【加固训练】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】(1)选择②式,计算如下:sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-sin30°=.(2)归纳三角恒等式sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=+-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=-cos2α++(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)=1-cos2α-+cos2α=.。

2020高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.5合情推理与演绎推理课件文

a11＋a12＋…＋a20 2 ．已知等差数列 {an} 中，有＝ 10 a1＋a2＋…＋a30 ，则在等比数列 {bn} 中，会有类似的结论： 30 ______________________.
解析：由等比数列的性质可知 b1b30＝b2b29＝…＝b11b20， ∴ 10 b11b12…b20＝ 10 30 b1b2…b30. 30 b1b2…b30
3．下列几种推理过程是演绎推理的是( ) A．某校高三(1)班有 55 人，(2)班有 54 人，(3)班有 52 个，由此得高三所有班的人数均超过 50 个 B．两条直线平行，同旁内角互补，若∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180° C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 1 D．在数列{an}中，a1＝1，an＝2(an－1＋an＋1)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
2．把 1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形8 D．30
解析：第一个三角形数是 1，第二个三角形数是 1＋2＝3，第三个三角形数是 1＋2＋3＝6，第四个三角形数是 1＋2＋3＋4＝10. 因此，归纳推理得第 n 个三角形点数是 1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 1＋nn 2 (个)．由此可以得出第七个三角形点数是 28. 答案：B
5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为：2，则它们的面积比为：4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为：2，则它们的体积比为________．
解析：由题意知，在平面上，两个正三角形的面积比是边长比的平方．由类比推理知：体积比是棱长比的立方．即可得它们的体积比为：8. 答案：：8

高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第四节合情推理与演绎推理课件苏教版

考点二
类比推理
已知命题：平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 顶点 x2 y 2 A(－p,0)和 C(p,0)，顶点 B 在椭圆 2＋ 2＝1(m＞n＞0，p＝ m n sinA＋sinC 1 2 2 m －n )上，椭圆的离心率是 e，则＝e ，试将该 sinB 命题类比到双曲线中，给出一个结论．
解：如图所示，
由射影定理知 AD2＝BD· DC，AB2＝BD· BC， AC2＝BC· DC， 1 1 ∴ 2＝ AD BD· DC
BC2 BC2 2 2 2 ＝＝ 2 2.又 BC ＝AB ＋AC ， BD· BC· DC· BC AB · AC AB2＋AC2 1 1 1 1 1 1 ∴ 2＝＝＋ .所以 2＝ 2＋ 2. AD AB2· AC2 AB2 AC2 AD AB AC 猜想：类比 AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体 ABCD 中，AB、AC、AD 两两垂直，AE⊥平面 BCD. 1 1 1 1 则 2＝ 2＋ 2＋ 2. AE AB AC AD
其中结论正确的个数是________(填序号)．
解析：①②不正确，③正确．答案：③
①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；演绎模式：三段论 ③结论——根据一般原理，对特殊 2. 推情况做出的判断. 理特点：演绎推理是由一般到特殊的推理.
x 已知 f(x)＝，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n＞1，且 1－x n∈N*)，求 f3(x)的表达式，并猜想 fn(x)(n∈N*)的表达式．
解：由 f1(x)＝f(x)和 fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n＞1 且 n∈N*)，得 x 1－x x f2(x)＝f1[f1(x)]＝ x ＝1－2x， 1－ 1－x x 1－2x x f3(x)＝f2[f2(x)]＝＝，…， 2x 1－22x 1－ 1－2x x * 由此猜想 fn(x)＝ n－1 (n∈N )． 1－ 2 x

高考数学总复习第六章不等式、推理与证明 6.4 合情推理与演绎推理课件文

1120n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4) .
2021/12/12
第二十七页，共四十六页。
解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为 5×4×13×2×1·n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝1210n(n＋1)(n＋2)(n ＋3)(n＋4)．
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第二十八页，共四十六页。
方法二：原已知表达式可化为： N(n,3)＝3－2 2n2＋4－2 3n，N(n,4)＝4－2 2n2＋4－2 4n， N(n,5)＝5－2 2n2＋4－2 5n，N(n,6)＝6－2 2n2＋4－2 6n， … 由归纳推理可得 N(n，k)＝k－2 2n2＋4－2 kn，所以 N(10,24)＝24－ 2 2×100＋4－224×10＝1 100－100＝1 000.
2.
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归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的推理需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (2)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解． (3)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解. (4)与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．
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第十九页，共四十六页。
角度 3 与不等式有关的推理
等式：
(2019·济宁模拟)已知 ai＞0(i＝1,2,3，…，n)，观察下列不
a1＋2 a2≥ a1a2；
a1＋a32＋a3≥ 3 a1a2a3；
a1＋a2＋a3＋a4≥ 4

高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明 65 合情推理与演绎推理课件理

必考部分(bù fen)
2021/12/8
第一页，共四十七页。
第六章
不等式、推理(tuīlǐ)与证明
2021/12/8
第二页，共四十七页。
第五节合情推理(tuīlǐ)与演绎推理(tuīlǐ)
微知识(zhī shi)·小题练微考点(kǎo diǎn)·大课堂
放飞思维·开启心智
2021/12/8
解析由题意得，丙不拿 2 和 3。若丙拿 1 和 2，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 3，满足题意；若丙拿 1 和 3，则乙拿 2 和 3，甲拿 1 和 2，不满足题意。故甲的卡片上的数字是 1 和 3。
答案 1 和 3
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三、走出误区微提醒：①归纳推理没有找出规律；②类比推理类比规律错误。 5．已知 x∈(0，＋∞)，观察下列各式： x＋1x≥2， x＋x42≥2x＋2x＋x42≥3， x＋2x73 ＝3x＋3x＋3x＋2x73 ≥4， …… 类比得，x＋xan≥n＋1(n∈N*)，则 a＝________。
解析 (2)由椭圆与双曲线类比可得，切点弦 P1P2 所在的直线方程是 xa02x－yb02y＝1。
答案 (2)xa02x－yb02y＝1
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第二十六页，共四十七页。
1．进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想。其中找到合适的类比对象是解题的关键。
2．类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等。
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理。
②小前提——所研究的特殊情况。 ③结论——根据一般原理，对特殊情况

高三数学统考一轮复习第六章不等式推理与证明第四节合情推理与演绎推理教师文档教案文北师大版

第四节合情推理与演绎推理授课提示：对应学生用书第112页〖基础梳理〗1．合情推理类型定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．类比推理的几个角度方法解读适合题型类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来解已知熟悉定义类比新定义类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键平面几何与立体几何；等差数列与等比数列类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法类比结构有些是类比等式或不等式形式的推理，可以从结构特点上类比，如两项类比三项，长度类比面积，平方类比立方，面积类比体积，平面类比空间几何问题的结论1．(基础点：归纳推理)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1〖答案〗C2．(基础点：三段论)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x ＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确〖答案〗A3．(基础点：类比推理)在R t△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝a2＋b22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________．〖答案〗a2＋b2＋c22授课提示：对应学生用书第113页考点一归纳推理挖掘1与数字(数列)有关的推理/自主练透〖例1〗(1)(2020·新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为()A．2 011B．2 012C．2 013 D．2 014〖解析〗根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，这九个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝2 012，得a＝212，是自然数．〖答案〗 B(2)(2020·湖北襄阳优质高中联考)将三项式(x2＋x＋1)n展开，当n＝0，1，2，3，…时，得到以下等式：(x2＋x＋1)0＝1，(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1，(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1，(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1，……观察多项式系数之间的关系，可以依照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的，缺少的数记为0)的和，第k行共有(2k＋1)个数，若(x2＋x＋1)5(1＋ax)的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为________．〖解析〗根据题意可得广义杨辉三角第5行的数为： 1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，故(1＋ax )(x 2＋x ＋1)5的展开式中，x 7项的系数为30＋45a ＝75，得a ＝1. 〖答案〗 1〖破题技法〗与数字有关的等式的归纳推理，观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．挖掘2 与等式(不等式)有关的推理/互动探究〖例2〗 (1)观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．〖解析〗因为所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，所以由底数内在规律可知，第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 〖答案〗 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 (2)观察下列特殊的不等式： 52－225－2≥2×72，45－3542－32≥52×⎝⎛⎭⎫723， 98－2893－23≥83×⎝⎛⎭⎫1125， 910－51095－55≥2×75， ……由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b sa r －br ≥________．〖解析〗 52－225－2≥2×72＝21×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋222－1，45－3542－32≥52×⎝⎛⎭⎫723＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋325－2，98－2893－23≥83×⎝⎛⎭⎫1125＝83×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋228－3， 910－51095－55≥2×75＝105×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋5210－5，由以上特殊不等式，可以猜测，当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b s a r －b r ≥s r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r. 〖答案〗 s r ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2s －r〖破题技法〗与式子有关的归纳推理(1)与不等式有关的归纳推理，观察每个不等式的特点，注意从纵向看，找到规律后可解．(2)与数列有关的归纳推理，通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可求解．挖掘3与图形有关的推理/互动探究〖例3〗(1)下图中①②③④为四个平面图形．表中给出了各平面图形中的顶点数、边数以及区域数．平面图形顶点数边数区域数①33 2②812 6③69 5④10157现已知某个平面图形有图形的边数为________．〖解析〗由表归纳各平面图形的顶点数、边数、区域数的关系如下表：平面图形顶点数边数区域数关系①3323＋2－3＝2②81268＋6－12＝2③6956＋5－9＝2④1015710＋7－15＝2V E F V＋F－E＝2其顶点数V、 1 009＋1 007－2＝2 014.〖答案〗 2 014(2)如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N＋，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)〖解析〗由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断：第n 个图形的顶点个数为(n ＋2)(n ＋3)，故选D. 〖答案〗 D〖破题技法〗与图形变化有关的归纳推理，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．考点二类比推理挖掘类比方法、类比结论、类比运算/ 互动探究〖例〗 (1)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面△ABC 的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3〖解析〗如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23.〖答案〗 A(2)若点P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)外，过点P 0作该椭圆的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.那么对于双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为______________．〖解析〗若点P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过点P 0作该双曲线的两条切线，切点分别为P 1，P 2(图略)，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1.〖答案〗 x 0x a 2－y 0yb 2＝1〖破题技法〗类比推理是由一类事物的特殊性推另一类事物的特殊性，首先要找出两类事物之间的联系与不同，然后找出“特殊性”是什么内容，定义方面、性质方面、方法方面、运算方面等，从而推导结论．考点三演绎推理挖掘1 简单的三段论/ 自主练透〖例1〗 (1)(2020·洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数〖解析〗 A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A 错误；C ，D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C ，D 都不正确，只有B 正确．〖答案〗 B (2)(2020·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论．错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误〖解析〗因为当a >1时，y ＝log a x 在定义域内单调递增，当0<a <1时，y ＝log a x 在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A. 〖答案〗 A〖破题技法〗用演绎推理证明问题时，大前提往往是定义、定理或一些固定结论，小前提为问题的条件，一般大前提可省略，当大前提、小前提及推理正确时，结论就正确．挖掘2 演绎推理、合情推理的生活应用/自主练透〖例2〗 (1)(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm〖解析〗设某人身高为m cm ，脖子下端至肚脐的长度为n cm ，则由腿长为105 cm ，可得m －105105＞5－12≈0.618，解得m ＞169.890. 由头顶至脖子下端的长度为26 cm ，可得26n ＞5－12≈0.618，解得n ＜42.071.由已知可得26＋nm －（n ＋26）＝5－12≈0.618，解得m ＜178.218.综上，此人身高m 满足169.890＜m ＜178.218，所以其身高可能为175 cm.故选B.〖答案〗 B (2)(2020·福建泉州一模)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a ＝cos θ，b ＝sin θ＋cos θ，c ＝cos θ－sin θ当0＜θ＜π4时，我方必胜的排序是( )A ．a ，b ，cB ．b ，c ，aC ．c ，a ，bD ．c ，b ，a〖解析〗因为当0＜θ＜π4时，cos θ－sin θ＜cos θ＜sin θ＋cos θ，sin θ＜tan θ＜ 2.由“田忌赛马”事例可得：我方必胜的排序是c ，b ，a ，故选D. 〖答案〗 D〖破题技法〗生活中的各种推理，是综合运用了各种推理方法与思维，正向思维，逆向思维，理性思维，特值思维等或结合一些数学运算等，培养学生的综合素养．。

2020高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4讲合情推理与演绎推理知能训练轻松闯关理北师大版

【2019最新】精选高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4讲合情推理与演绎推理知能训练轻松闯关理北师大版1．(2016·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )B．大前提不正确A．结论正确C．小前提不正确D．全不正确解析：选C.因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2 B．由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos x为奇函数C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a>b>0)的面积S＝πab D．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2>2n 解析：选A.选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．(2016·洛阳模拟)某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )B．小前提错误A．大前提错误D．非以上错误C．推理形式错误解析：选C.因为大前提：“鹅吃白菜”本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但小前提不是大前提下的特殊情况，即鹅与人不能类比．所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误，故选C. 4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 017(x)＝( )B．－sin x－cos xA．sin x＋cos xD．－sin x＋cos xC．sin x－cos x 解析：选A.f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f′3(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f′4(x)＝sin x＋cos x，f6(x)＝f′5(x)＝cosx－sin x，…，可知fn(x)是以4为周期的函数，因为2 017＝504×4＋1，所以f2 017(x)＝f1(x)＝sinx＋cos x．故选A. 5．(2016·枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31………B．852A．809D． 893C．786 解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.猜想一般凸多面体中解析：观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝27．(2016·潍坊模拟)对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[]＋[]＋[]＝3，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21，…按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．解析：因为[]＋[]＋[]＝1×3，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝2×5，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝3×7，…，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.答案：2n2＋n8．(2016·贵州省六校联考)在平面几何中：△ABC的∠ACB内角平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD中(如图)DEC平分二面角A CD B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.答案：＝S△ACDS△BCD9．(2016·泉州质检)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若m3(m∈N*)的分解式中最小的数是73，则m的值为________．解析：根据23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，11，…，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首数为m2－m＋1.因为m3(m∈N*)的分解中最小的数是73，所以m2－m＋1＝73，所以m＝9.答案：910．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.证明：因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B>，所以A>－B，因为y＝sin x在上是增函数，所以sin A>sin＝cos B，同理可得sin B>cos C，sin C>cos A，所以sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.11．给出下面的数表序列：表1 表2 表31 1 3 1 3 54 4 812…其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解：表4为 1 3 5 74 8 1212 2032它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．。

2020版高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第4节合情推理与演绎推理教学案理含解析新人教A版

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高三数学复习第六章 不等式、推理与证明

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