期末考试满分冲刺压轴(相交线与平行线)

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专题01 相交线与平行线(考点串讲)-七年级数学下学期期末考点大串讲(人教版)

小路，小路任何地方的水平宽度都是1米．此时空白部分表示的草地面积
是多少呢？
分析：根据图形的特点，将图中的两条小路分别向右、向上平移得到一个
新的长方形．
解：经过平移后得到新长方形的长为21－1＝20(米)，宽为10－1＝9(米)．
所以草地的面积为20×9＝180(平方米)．
命题高频点 5
探究问题
【例 5】如图，AB∥CD，∠ABE 与∠CDE 的平分线相交于点 F，若∠ABM
④因为 AB∥CD，CD∥EF，所以 AB∥EF.其中正确的推理是( B )
是点 C 到
直线 OB 的距离；
(4)因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
线段PC、PH、OC这三条线段的大小关系是
号连接)．
垂线段最短
PH＜PC＜OC
，所以
(用“＜”
考点三：平行的性质与判定
5．(深圳中考)下列选项中，哪个不可以得到 l1∥l2( C )
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠3
C．∠3＝∠5
∠B＋∠C＋∠ADC＝360°.
9．如图，直线 EF、CD 相交于点 O，OA⊥OB，且 OC 平分∠AOF.
(1)若∠AOE＝40°，求∠BOD 的度数；
(2)若∠AOE＝α，求∠BOD 的度数(用含α的式子表示)；
(3)从(1)(2)的结果中你能看出∠AOE 和∠BOD 有何关系？请直接写出结果．
2
2
(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE＝2∠BOD.
10．(1)如图①，已知∠ABC，射线ED∥AB，过点E作∠DEF＝∠ABC，
试说明：BC∥EF；
(2)如图②，已知∠ABC，射线ED∥AB，∠ABC＋∠DEF＝180.判断直线

压轴题02：相交线与平行线综合专练20题(解析版)-年七年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)

压轴题02：相交线与平行线综合专练20题（解析版）一、单选题1．如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE 的度数是（）A．102°B．108°C．124°D．128°【答案】A【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．【详解】∠四边形ABCD是矩形，∠AD∠BC，∠∠BFE=∠DEF=26°，∠∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，故选A．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．2．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，1）的点的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】首先根据题意，可得距离坐标为（2，1）的点是到l1的距离为2，到l2的距离为1的点；然后根据到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线，可得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个，据此解答即可．【详解】解：如图1，，到l 1的距离为2的点是两条平行直线l 3、l 4，到l 2的距离为1的点也是两条平行直线l 5、l 6，∠两组直线的交点一共有4个：A 、B 、C 、D ，∠距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．故选C ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：到l 1的距离为2的点是两条平行直线，到l 2的距离为1的点也是两条平行直线．3．如图1n //AB CB ，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（）A ．540°B ．180°nC ．180°(n-1)D ．180°(n+1)【答案】C【分析】根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．【详解】解：根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，∠1n //AB CB ，∠121180B B D ∠+∠=︒，2323180DB B B B E ∠+∠=︒，3434180EB B B B F ∠+∠=︒，……∠122323343411803B B D DB B B B E EB B B B F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒⨯，……∠123180(1)n n ∠+∠+∠++∠=︒⨯-；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明．4．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（） A ．50°、130°B ．都是10°C ．50°、130°或10°、10°D ．以上都不对【答案】C【分析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x °，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．【详解】解：∠两个角的两边分别平行，∠这两个角相等或互补．设其中一角为x °，若这两个角相等，则x ＝3x ﹣20，解得：x ＝10，∠这两个角的度数是10°和10°；若这两个角互补，则180﹣x ＝3x ﹣20，解得：x ＝50，∠这两个角的度数是50°和130°．∠这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．5．如图，已知//AB CD ，M 为平行线之间一点连接AM ，CM ，N 为AB 上方一点，连接AN ，CN ，E 为NA 延长线上一点．若AM ，CM 分别平分BAE ∠，DCN ∠，则M ∠与N ∠的数量关系为（）．A ．90M N ∠-∠=︒B ．2180M N ∠-∠=︒C ．180M N ∠+∠=︒D ．2180M N ∠+∠=︒【答案】B【分析】过点M 作//MO AB ，过点N 作//NP AB ，则//////MO AB CD NP ，根据平行线的性质可得12AMC ∠=∠+∠，223CNE ∠=∠-∠，318021∠=︒-∠，即可得出结论．【详解】解：过点M 作//MO AB ，过点N 作//NP AB ，//AB CD ，//////MO AB CD NP ∴，1AMO ∴∠=∠，OMC MCD ∠=∠， AM ，CM 分别平分BAE ∠，DCN ∠，21BAE ∴∠=∠，22NCD ∠=∠，2MCD ∠=∠，12AMC ∴∠=∠+∠，//CD NP ，22PNC NCD ∴∠=∠=∠，223CNE ∴∠=∠-∠，//NP AB ，∴∠=∠=︒-∠，NAB31802122(18021)2(12)1802180CNE AMC ∴∠=∠-︒-∠=∠+∠-︒=∠-︒，2180AMC CNE ∴∠-∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．6．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为直线AB 上一动点，连接PC ，则线段PC 的最小值是（）A ．3B ．2.5C ．2.4D ．2【答案】C【分析】当PC ∠AB 时，PC 的值最小，利用面积法求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∠当PC ∠AB 时，PC 的值最小，此时：△ABC 的面积＝12•AB •PC ＝12•AC •BC ，∠5PC ＝3×4，∠PC ＝2.4，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．7．如图，已知直线AB 、CD 被直线AC 所截，//AB CD ，E 是平面内任意一点（点E 不在直线AB 、CD 、AC 上），设BAE α∠=，DCE β∠=．下列各式：∠αβ+，∠αβ-，∠a β-，∠360αβ︒--，AEC ∠的度数可能是（）A．∠∠B．∠∠C．∠∠∠D．∠∠∠∠【答案】D【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．【详解】解：（1）如图1，由AB∠CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，∠∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∠∠AE1C=β-α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∠CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，∠∠AE2C=α+β．（3）如图3，由AB∠CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，∠∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∠∠AE3C=α-β．（4）如图4，由AB∠CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∠∠AE4C=360°-α-β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即∠∠∠∠．故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．8．∠如图1，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；∠如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A＋∠C；∠如图3，AB ∥CD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；∠如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（）A．∠∠∠∠B．∠∠∠C．∠∠∠D．∠∠∠【答案】C【分析】∠过点E作直线EF AB∥，由平行线的性质即可得出结论；∠过点E作直线EF AB∥，由平行线的性质即可得出结论；∠过点E作直线EF AB∥，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；∠先过点P作直线PF AB∥，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．【详解】∥，解：∠过点E作直线EF AB∥∥，∠∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∠AB CD∥，∠AB CD EF∠∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故∠错误；∠过点E作直线EF AB∥，∠AB CD∥，∥∥，∠∠A＝∠1，∠2＝∠C，∠AB CD EF∠∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故∠正确；∠过点E作直线EF AB∥，∥∥，∠∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∠AB CD∥，∠AB CD EF∠∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故∠正确；∠如图，过点P作直线PF AB∥，∠AB CD∥∥，∥，∠AB CD PF∠∠1=∠FP A，∠C=∠FPC，∠∠FP A=∠FPC+∠CP A，∠∠1＝∠C＋∠CP A，∠AB ∠CD ，∠∠A ＝∠1，即∠A ＝∠C+∠C P A ，故∠正确．综上所述，正确的小题有∠∠∠．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 9．如图，//,AD BC D ABC ∠=∠,点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点F 是边AB 上一点，使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ︒∠=，则BEG ∠的度数是（）．A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】B【分析】 AD ∠BC ，∠D =∠ABC ，则AB ∠CD ，则∠AEF =180°-∠AED -∠BEG =180°-2β，在△AEF 中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．【详解】解：设FBE =∠FEB =α，则∠AFE =2α，∠FEH 的角平分线为EG ，设∠GEH =∠GEF =β，∠AD ∠BC ，∠∠ABC +∠BAD =180°，而∠D =∠ABC ，∠∠D +∠BAD =180°，∠AB ∠CD ，∠DEH=100°，则∠CEH=∠F AE=80°，∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，在∠AEF中，在∠AEF中，80°+2α+180-2β=180°，故β-α=40°，而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，故选：B．【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于∠AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-2β=180°，题目难度较大．10．如图，直线AB MN∥，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC 的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、BE，∠CED的角平分线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令ECMα∠=，用含α的式子表示∠EBC为（）．A．52αB．10α︒-C．1102α︒-D．1102α-︒【答案】D【分析】先求出∠ABC，再延长CE，交AB于点G，结合平行线的性质表示出∠BCE，然后根据三角形内角和定理表示∠CED，再根据角平分线得定义表示出∠CEB，最后根据三角形内角和定理得出答案．【详解】在∠ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°，∠∠ABC=50°．延长CE，交AB于点G，∠MN BA∥，∠EGBα∠=，∠ACM=∠BAC=40°，∠∠ACE=α-40°，∠∠BCE=90°-（α-40°）=130°-α．∠∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE，∠∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（α-40°）=α-20°．∠EF平分∠CED，∠∠CEF=111022CEDα∠=-︒，∠∠CEB=1110706022αα-︒+︒=+︒，∠∠EBC=11180(60)(130)10 22ααα︒-+︒-︒-=-︒．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，将待求角转化到适合的三角形是解题的关键．二、填空题11．如图，已知，∠ABG为锐角，AH∠BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∠AB交直线AH于点D，CE∠CD交AB于点E，CF∠AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF ＝n°，则∠BAF的度数为_____度．（用n来表示）【答案】n或180﹣n【分析】分两种情况讨论：当点M在线段BC上；点C在BM延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．【详解】解：过A作AM∠BC于M，如图1，当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，∠AD∠BC，CF∠AD，∠CF∠BG，∠∠BCF＝90°，∠∠BCE+∠ECF＝90°，∠CE∠AB，∠∠BEC＝90°，∠∠B+∠BCE＝90°，∠∠B＝∠ECF＝n°，∠AD∠BC，∠∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，过A作AM∠BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，∠AD∠BC，CF∠AD，∠CF∠BG，∠∠BCF＝90°，∠∠BCE+∠ECF＝90°，∠CE∠AB，∠∠BEC＝90°，∠∠B+∠BCE＝90°，∠∠B＝∠ECF＝n°，∠AD∠BC，∠∠BAF＝∠B＝n°，综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，故答案为：n或180﹣n．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是．【答案】6秒或19.5秒【分析】设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．【详解】解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∠t≤45﹣12，即t≤33．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：∠如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；∠如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．故答案为：6秒或19.5秒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠B 的补角，则∠BAH的度数是_____．【答案】60°##60度【分析】首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BM AD，过点F作FN AD，根据平行线的性质，可得∠AFC ＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的补角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案．【详解】解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，∠∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，∠∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，过点B作BM AD，过点F作FN AD，如图所示：∠AD CE，∠AD FN BM CE ，∠∠AFN ＝∠HAF ＝x °，∠CFN ＝∠GCF ＝2y °，∠ABM ＝∠BAH ＝2x °，∠CBM ＝∠GCB ＝y °，∠∠AFC ＝（x +2y ）°，∠ABC ＝（2x +y ）°，∠∠F 的余角等于2∠B 的补角，∠90﹣（x +2y ）＝180﹣2（2x +y ），解得：x ＝30，∠∠BAH ＝60°．故答案为：60°【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．14．如图，已知AB //CD ，BE 、DE 的交点为E ，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠CDE 的平分线，交点为E 1，第二次操作，分别作∠ABE 1和∠CDE 1的平分线，交点为E 2，第三次操作，分别作∠ABE 2和∠CDE 2的平分线，交点为E 3，...第n （n ≥2）次操作，分别作∠ABEn ﹣1和∠CDEn ﹣1的平分线，交点为En ，若∠En ＝α度，则∠BED ＝___度．【答案】2n a【分析】先过E 作//EF AB ，确定BED ABE CDE ∠=∠+∠，再根据角平分线的性质确定n E ∠与BED ∠的关系，即可求解．【详解】解：如下图，过E 作//EF AB ，∠//AB CD ，∠////AB EF CD ，∠B BEF D DEF ∠=∠∠=∠，，∠BED BEF DEF ∠=∠+∠，∠BED ABE CDE ∠=∠+∠；如下图，∠ABE ∠和CDE ∠的平分线交点为1E ∠111111222DE B ABE CDE ABE CDE BED ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∠1ABE ∠和1CDE ∠的平分线交点为2E ， ∠22211111122412BE ABE CDE ABE CD E D E DE B B D ∠=∠+∠=∠+∠∠=∠=； ∠2ABE ∠和2CDE ∠的平分线交点为3E ， ∠33322211122812BE ABE CDE ABE CD E D E DE B B D ∠=∠+∠=∠+∠∠=∠=； … 以此类推，12n n E BED ∠=∠ ∠当n E α∠=度时，2n BED α∠=度．故答案为2n α ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，找到角之间的关系．15．如图，直线,,AB CD EF 与直线,,GH IJ KL 分别相交，图中的同位角共有__________对．【答案】156【分析】观察图形，直线 GH,IJ,KL 上，每条直线有5个交点，直线AB,CD,EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，根据每2个交点可以构成4对同位角，分别求得直线GH,IJ,KL 和AB,CD,EF 上的同位角的对数即可．【详解】观察图形，直线,,GH IJ KL 上，每条直线有5个交点，直线,,AB CD EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，则直线,,GH IJ KL 上存在的同位角的个数是：5(51)4310434031202-⨯⨯=⨯⨯=⨯=对，同理直线,,AB CD EF 上存在的同位角的个数是：3(31)43362-⨯⨯=对，则总数是12036156+=对．故答案为：156．【点睛】本题考查了找同位角，分类讨论是解题的关键．三、解答题16．探究并尝试归纳：(1)如图1，已知直线a 与直线b 平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A ，试求∠1+∠2+∠A 的度数，请加以说明．(2)如图2，已知直线a 与直线b 平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A 和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A +∠B ＝度．(3)如图3，已知直线a 与直线b 平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n 个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和：【结果用含有n 的代数式表示，n 是正整数，不用证明】【答案】(1)360°(2)540(3)180(1)n ⋅+︒【分析】（1）过A 作AB //直线a ，再根据平行线的性质即可得到结论；（2）过A 作AC //直线a ，BD //直线a ，则AC//BD //直线b ，根据平行线的性质即可得到结论；（3）根据平行线的性质即可得到结论．(1)解：过A 作AB //直线a ，则AB //直线b ，1342180∴∠+∠=∠+∠=︒，12360MAN ∴∠+∠+∠=︒；(2)解：过A 作AC //直线a ，BD //直线a ，则AC //BD //直线b ，135642180∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，12540MAB ABN ∴∠+∠+∠+∠=︒，故答案为：540；(3)解：由（1），（2）知，当形成1个折时，所有角与1∠、2∠的总和180(11)360=⋅+︒=︒，当形成2个折时，所有角与1∠、2∠的总和180(21)540=⋅+︒=︒，当形成n 个折时，所有角与1∠、2∠的总和180(1)n =⋅+︒，故答案为：180(1)n ⋅+︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键．17．如图，已知AB CD ∥，E 、F 分别在AB CD 、上，点G 在AB 、CD 之间，连接GE GF 、．(1)当40BEG ∠=︒时，EP 平分,BEG FP ∠平分DFG ∠；∠如图1，当EG FG ⊥时，则P ∠=______°；∠如图2，在CD 的下方有一点Q ，若EG 恰好平分,BEQ FD ∠恰好平分GFQ ∠，求2Q P ∠+∠的度数；(2)在AB 的上方有一点O ，若FO 平分GFC ∠．线段GE 的延长线平分OEA ∠，则当100EOF EGF ∠+∠=︒时，直接写出OEA ∠与OFC ∠的关系．【答案】(1)∠45；∠140︒(2)3160OEA OFC ∠-∠=︒【分析】（1）根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；（2）过点O 作OT AB ∥，则OT CD ∥设OFC OFG ∠=∠β=，OEH HEA α∠=∠=，1802G BEG GFD αβ∠=∠+∠=+︒-，根据平行线的性质求得80αβ+=︒，进而根据()33222160OEA OFC ββαβα∠-∠=--=+=︒即可求解．(1)∠如图，分别过点,G P 作,GN AB PM AB ∥∥，BEG EGN ∴∠=∠，AB CD ∥，NGF GFD ∴∠=∠，EGF BEG GFD ∴∠=∠+∠，同理可得EPF BEP PFD ∠=∠+∠，EG FG ⊥，90EGF ∴∠=︒，EP 平分,BEG FP ∠平分DFG ∠；11,22BEP BEG PFD GFD ∴∠=∠∠=∠， ∴()114522EPP BEG GFD EGF ∠=∠+∠=∠=︒，故答案为：45，∠如图，过点Q 作QR CD ∥，40BEG ∠=︒，EG 恰好平分,BEQ FD ∠恰好平分GFQ ∠，40GEQ BEG ∴∠=∠=︒，GFQ QFD ∠=∠，设GFQ QFD ∠=∠α=，QR CD ∥，AB CD ∥，1801802100EQR QEB QEG ∴∠=︒-∠=︒-∠=︒，CD QR ∥，180DFQ FQR ∴∠+∠=︒，180FQR α∴+∠=︒，100FQE α∴+∠=︒，100FQE α∴∠=︒-，由（1）可知240G P BEG EFD α∠=∠=∠+∠=︒+，210040140FQE P αα∴∠+∠=︒-+︒+=︒；(2)如图，在AB 的上方有一点O ，若FO 平分GFC ∠，线段GE 的延长线平分OEA ∠，设H 为线段GE 的延长线上一点，则OFC OFG ∠=∠，OEH HEA ∠=∠设OFC OFG ∠=∠β=，OEH HEA α∠=∠=如图，过点O 作OT AB ∥，则OT CD ∥TOF OFC β∴∠=∠=，2TOE OEA α∠=∠=2EOF βα∴∠=-HEA BEG α∠=∠=，1802GFD β∠=︒-由（1）可知1802G BEG GFD αβ∠=∠+∠=+︒-100EOF EGF ∠+∠=︒∴2βα-+1802αβ+︒-100=︒80αβ∴+=︒2,OFC OEA βα∠=-∠=β()33222160OEA OFC ββαβα∴∠-∠=--=+=︒即3160OEA OFC ∠-∠=︒【点睛】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．18．点O 是直线AB 上的一点，射线OC 从OA 出发绕点O 顺时针方向旋转，旋转到OB 停止，设AOC α∠=（0180α︒≤≤︒），射线OD OC ⊥，作射线OE 平分BOD ∠．(1)如图1，若40α=︒，且OD 在直线AB 的上方，求DOE ∠的度数（要求写出简单的几何推理过程）．(2)射线OC 顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线OD 在直线AB 的下方时，其他条件不变，请你用含α的代数式表示DOE ∠的度数，（要求写出简单的几何推理过程）．(3)射线OC 从OA 出发绕点O 顺时针方向旋转到OB ，在旋转过程中你发现DOE ∠与AOC∠（01800180AOC DOB ︒≤∠≤︒︒≤∠≤︒，）之间有怎样的数量关系？请你直接用含α的代数式表示DOE ∠的度数．【答案】(1)25DOE ∠=︒ (2)1452DOE α∠=-︒ (3)1452DOE AOC ∠=︒-∠即1452DOE α∠=︒-或1452DOE AOC ∠=︒+∠即1452DOE α∠=︒+或11352DOE AOC ∠=︒-∠即11352DOE α∠=︒-或1452DOE AOC ∠=∠-︒即1452DOE α∠=-︒ 【分析】（1）根据40α=︒，∠COD =90°，求出∠BOD =50°，根据OE 平分∠BOD ，即可得出结果；（2）先用α表示出∠BOC ，再根据∠COD =90°表示出∠BOD ，根据OE 平分∠BOD ，即可得出结果；（3）分四种情况进行讨论，分别求出∠DOE 与∠AOC 的关系，用含α的代数式表示∠DOE 的度数即可．(1)解：∠OD ∠OC ，∠∠COD =90°，∠40α=︒，即40AOC ∠=︒，∠18050BOD COD AOC ∠=︒-∠-∠=︒，∠OE 平分∠BOD ， ∠1252DOE BOD ∠=∠=︒． (2)AOC α∠=，180BOC α∴∠=︒-，∠OD ∠OC ，∠∠COD =90°，∠BOD COD BOC ∠=∠-∠()90180α=︒-︒-90α=-︒∠OE 平分∠BOD ， ∠114522DOE BOD α∠=∠=-︒． (3)∠当090AOC ︒≤∠≤︒，OD 在直线AB 的上方时，如图所示：180BOD COD AOC ∠=︒-∠-∠18090AOC =︒-︒-∠90AOC =︒-∠，∠OE 平分∠BOD ， ∠114522DOE BOD AOC ∠=∠=︒-∠，即1452DOE α∠=︒-． ∠当090AOC ︒≤∠≤︒，OD 在直线AB 的下方时，如图所示：∠90AOD COD AOC AOC ∠=∠-∠=︒-∠，∠18090BOD AOD AOC∠=︒-∠=︒+∠，∠OE平分∠BOD，∠114522DOE BOD AOC ∠=∠=︒+∠，即1452 DOEα∠=︒+．∠当90180AOC︒∠≤︒＜，OD在直线AB的上方时，如图所示：180BOC AOC∠=︒-∠，BOD DOC BOC∴∠=∠+∠90180AOC=︒+︒-∠270AOC=︒-∠，∠OE平分∠BOD，∠1113522DOE BOD AOC ∠=∠=︒-∠，即11352 DOEα∠=︒-．∠当90180AOC︒∠≤︒＜，OD在直线AB的下方时，如图所示：∠180BOC AOC ∠=︒-∠，BOD COD BOC ∴∠=∠-∠()90180AOC =︒-︒-∠90AOC =∠-︒，∠OE 平分∠BOD ， ∠114522DOE BOD AOC ∠=∠=∠-︒，即1452DOE α∠=-︒．综上分析可知，1452DOE AOC ∠=︒-∠即1452DOE α∠=︒-或1452DOE AOC ∠=︒+∠即1452DOE α∠=︒+或11352DOE AOC ∠=︒-∠即11352DOE α∠=︒-或1452DOE AOC ∠=∠-︒即1452DOE α∠=-︒．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据α的大小和OD 的位置分类讨论，是解决本题的关键．19．如图，AD //BC ，127DAC ∠=︒，15ACF ∠=︒，142EFC ∠=︒．(1)求证：EF //AD ；(2)连接CE ，若CE 平分∠BCF ，求∠FEC 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)19FEC ∠=︒【分析】(1)先根据平行线的性质，得到∠ACB 的度数，进而得出∠FCB 的度数，再根据∠EFC =140°，即可得到∠EFC =142°，即可得到EF ∠BC ，进而得出EF ∠AD ；(2)先根据CE 平分∠BCF ，可得∠BCE =19°，再根据EF ∠BC ，即可得到∠FEC =19°．(1)证明：∠AD BC ∥∠180ACB DAC ∠+∠=︒∠127DAC ∠=︒∠53ACB ∠=︒又∠15ACF ∠=︒∠38FCB ACB ACF ∠=∠-∠=︒∠142EFC ∠=︒∠180FCB EFC ∠+∠=︒∠EF BC ∥又∠AD BC ∥∠EF AD ∥(2)解：∠CF 平分∠BCF ∠1192BCE FCB ∠=∠=︒ ∠EF BC ∥∠19FEC ECB ∠=∠=︒答：∠FEC 的度数19°．【点睛】本题考查平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线定义，三角形的外角性质，邻补角定义，能综合运用定理运行推理是解此题的关键，难度适中．20．已知点B ，D 分别在AK 和CF 上，且∥CF AK ．(1)如图1，若25CDE ∠=︒，80DEB ∠=︒，则ABE ∠的度数为________；(2)如图2，BG 平分ABE ∠，GB 的延长线与EDF ∠的平分线交于H 点，若DEB ∠比DHB ∠大60︒，求DEB ∠的度数；(3)保持（2）中所求的DEB ∠的度数不变，如图3，BM 平分EBK ∠，DN 平分CDE ∠，作∥BP DN ，则PBM ∠的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．【答案】(1)55°(2)100°(3)不变，40°【分析】（1）过点E 作ES CF ，根据∥CF AK ，则ES CF AK ，运用平行线的性质计算即可．（2）延长DE ，交AB 于点M ，则∠DEB =∠EMB +∠EBM ，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质计算即可．（3）过点E 作EQ DN ，则EQ DN BP ，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．(1)解：如图1，过点E 作ES CF ，∠∥CF AK ，∠ES CF AK ，∠∠CDE =∠DES ，∠SEB =∠ABE ，∠∠CDE +∠ABE =∠DES +∠SEB =∠DEB ，∠∠CDE =25°，∠DEB =80°，∠∠ABE =∠DEB -∠CDE =80°-25°=55°．故答案为：55°．(2)解：如图2，延长DE ，交AB 于点M ，则∠DEB =∠EMB +∠EBM ，∠∥CF AK ，BG 平分ABE ∠，∠∠EMB =180°-∠MDF ，∠EBM =2∠ABG =2∠HBN ，∠MDH =∠HDF =∠HNK =12∠MDF ，∠∠HBN +∠DHB =∠HNK ，∠∠DEB =(180°-∠MDF ) +2∠HBN =180°-∠MDF +122MDF DHB ⎛⎫⨯∠-∠ ⎪⎝⎭， ∠∠DEB =180°-∠MDF +∠MDF -2∠DHB =180°-2∠DHB ，∠DEB ∠60DHB -∠=︒，∠∠DEB =180°-2(∠DEB -60°)，∠3∠DEB =300°，解得∠DEB =100°．(3)解：过点E作EQ DN，则EQ DN BP，根据（1）得，∠DEB=∠CDE+∠ABE，∠BM平分EBK∠，∠，DN平分CDE∠∠DEB=2∠NDE+180°-2∠EBM，∠∠DEB=100°，∠∠EBM-∠NDE=40°，∠EQ DN，∠∠DEQ=∠NDE，∠∠EBM =40°+∠DEQ，，，∠EQ DN DN BP∠EQ BP，∠∠EBM+∠PBM +∠BEQ =180°，∠40°+∠DEQ+∠PBM +∠BEQ =180°，∠40°+∠DEB+∠PBM =180°，∠∠PBM =180°-100°-40°=40°，∠∠PBM 的度数不变，值为40°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．。

相交线与平行线必刷常考题七年级数学下学期期中期末满分必刷常考压轴题人教版

专题01 相交线与平行线必刷常考题选择题必练1．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（）A．B．C．D．2．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°3．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°4．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（）A．30° B．25° C．20° D．15°5．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（） A．B．C．D．6．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．8．如图，已知∠1＝70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）A．70° B．100° C．110° D．120° 9．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．122° B．151° C．116° D．97°10．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④11．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等12．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长13．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2＝60°，那么∠1的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°14．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝（）A．30° B．35° C．36° D．40°15．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC ＝2cm，则点P到直线l的距离（）A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm 16．如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过图案①平移得到（）A．B．C．D．17．如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180° B．270° C．360° D．540°18．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．30° B．20° C．15° D．14°19．某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次左拐30°，第二次右拐30°B．第一次右拐50°，第二次左拐130°C．第一次右拐50°，第二次右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°填空题必练20．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：． 21．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是．22．命题“对顶角相等”的逆命题是．23．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为．24．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝ °．25．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是．（填写所有真命题的序号）26．一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝度．27．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝．28．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝25°，则∠2＝．解答题必练29．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．将求∠AGD的过程填写完整． ∵EF∥AD，（）∴∠2＝．（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2，（）∴∠1＝∠3．（）∴AB∥DG．（）∴∠BAC+ ＝180°（）又∵∠BAC＝70°，（）∴∠AGD＝．30．已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．31．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．32．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠1＝40°，求∠2和∠3的度数．33．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD．34．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．35．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC 的度数．36．已知：如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE＝50°，求：∠BHF的度数．37．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．38．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD．39．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．40．已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系．41．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．专题01 相交线与平行线必刷常考题选择题必练1．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是（） A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°，故A错误；B、∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，故B正确；C、∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠CDA，若AC∥BD，可得∠1＝∠2；故C错误；D、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1＝∠2，故D错误．故选：B．2．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°【答案】B【解答】解：A、∠3＝∠A，无法得到，AB∥CD，故此选项错误；B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项正确；C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；故选：B．3．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 【答案】B【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；B、∠2＝∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意；C、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；D、根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意；故选：B．4．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（）A．30° B．25° C．20° D．15°【答案】B【解答】解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，∴∠1＝∠3，∵∠3+∠2＝45°，∴∠1+∠2＝45°∵∠1＝20°，∴∠2＝25°．故选：B．5．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，故本选项不符合题意；B、能通过其中一个四边形平移得到，故本选项不符合题意；C、能通过其中一个四边形平移得到，故本选项不符合题意；D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，故本选项符合题意．故选：D．6．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵纸条的两边平行，∴（1）∠1＝∠2（同位角）；（2）∠3＝∠4（内错角）；（4）∠4+∠5＝180°（同旁内角）均正确；又∵直角三角板与纸条下线相交的角为90°，∴（3）∠2+∠4＝90°，正确．故选：D．7．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角，故A选项错误；B、∠1与∠2是对顶角，故B选项正确；C、∠1与∠2不是对顶角，故C选项错误；D、∠1与∠2不是对顶角，故D选项错误．故选：B．8．如图，已知∠1＝70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）A．70° B．100° C．110° D．120°【答案】C【解答】解：如图，∵∠1＝70°，∴∠2＝∠1＝70°，∵CD∥BE，∴∠B＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°．故选：C．9．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．122° B．151° C．116° D．97°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠EFD＝∠1＝58°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD＝∠EFD＝×58°＝29°，∵AB∥CD，∴∠FGB＝180°﹣∠GFD＝151°．故选：B．10．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④【答案】C【解答】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．故选：C．11．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等【答案】A【解答】解：图中所示过直线外一点作已知直线的平行线，则利用了同位角相等，两直线平行的判定方法．故选：A．12．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长【答案】D【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选：D．13．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2＝60°，那么∠1的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】D【解答】解：如图，∵∠3＝∠1+30°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝60°，∴∠1＝∠3﹣30°＝60°﹣30°＝30°．故选：D．14．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝（）A．30° B．35° C．36° D．40° 【答案】A【解答】解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故选：A．15．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC ＝2cm，则点P到直线l的距离（）A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm【答案】C【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴点P到直线l的距离≤PA，即点P到直线l的距离不大于2．故选：C．16．如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过图案①平移得到（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：通过图案①平移得到必须与图案①完全相同，角度也必须相同，观察图形可知D可以通过图案①平移得到．故选：D．17．如图a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝（）A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【解答】解：过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠NPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故选：C．18．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．30° B．20° C．15° D．14°【答案】C【解答】解：如图，∠2＝30°，∠1＝∠3﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．故选：C．19．某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次左拐30°，第二次右拐30°B．第一次右拐50°，第二次左拐130°C．第一次右拐50°，第二次右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°【答案】A【解答】解：如图所示（实线为行驶路线）：A符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定．故选：A．填空题必练20．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．21．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是．【答案】垂线段最短．【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．故答案为：垂线段最短．22．命题“对顶角相等”的逆命题是．【答案】相等的角为对顶角．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．故答案为：相等的角为对顶角．23．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为．【答案】10．【解答】解：根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则AD＝1，BF＝BC+CF＝BC+1，DF＝AC，又∵AB+BC+AC＝8，∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC＝10．故答案为：10．24．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝ °．【答案】120．【解答】解：∵∠CDE＝150°，∴∠CDB＝180﹣∠CDE＝30°，又∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB＝30°；∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠C＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．25．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是．（填写所有真命题的序号）【答案】①②④【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确．故答案为：①②④．26．一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝度．【答案】270【解答】解：过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE． ∴∠BCD+∠1＝180°；又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF．∴∠ABF＝90°．∴∠ABC+∠BCD＝90°+180°＝270°．故答案为：270．27．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝．【答案】140°【解答】解：如图，∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°，∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．故答案为140°．28．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝25°，则∠2＝．【答案】115°【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠DEG＝∠1+∠FEG＝115°．故答案为：115°．解答题必练29．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．将求∠AGD的过程填写完整． ∵EF∥AD，（）∴∠2＝．（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2，（）∴∠1＝∠3．（）∴AB∥DG．（）∴∠BAC+ ＝180°（）又∵∠BAC＝70°，（）∴∠AGD＝．【答案】略【解答】解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝∠3．（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2，（已知）∴∠1＝∠3，（等量代换）∴AB∥DG．（内错角相等，两直线平行）∴∠BAC+∠AGD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）又∵∠BAC＝70°，（已知）∴∠AGD＝110°．30．已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．【答案】略【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠3，∵∠1＝∠2，∴DE∥AC，∴∠E＝∠3，∴∠A＝∠EBC＝∠E．31．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．【答案】20°【解答】解：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠ACB+∠DAC＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝20°，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠ECB，∴∠FEC＝20°．32．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠1＝40°，求∠2和∠3的度数．【答案】∠2＝65°，∠3＝50°【解答】解：∵∠FOC＝90°，∠1＝40°，AB为直线，∴∠3+∠FOC+∠1＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°．∠3与∠AOD互补，∴∠AOD＝180°﹣∠3＝130°，∵OE平分∠AOD，∴∠2＝∠AOD＝65°．33．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD．【答案】110°【解答】解：∵EF∥AD（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）；∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（等量代换）；∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）．∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°．34．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．【答案】50°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠1＝65°，∠ABD+∠BDC＝180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABC＝130°，∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝50°，∴∠2＝∠BDC＝50°．35．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC 的度数．【答案】20°【解答】解：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠ACB+∠DAC＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝20°，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠ECB，∴∠FEC＝20°．36．已知：如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE＝50°，求：∠BHF的度数．【答案】115°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠CFG＝∠AGE＝50°，∴∠GFD＝130°；又∵FH平分∠EFD，∴∠HFD＝∠EFD＝65°，∵AB∥CD，∴∠BHF+∠HFD＝180°，∴∠BHF＝180°﹣∠HFD＝115°．37．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．【答案】略【解答】证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∠CFE＝∠E，∴∠1＝∠CFE＝∠E，∴∠2＝∠E，∴AD∥BC．38．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD．【答案】110°【解答】解：∵EF∥AD（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）；∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（等量代换）；∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）．∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°．39．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．【答案】略【解答】解：∠AED＝∠ACB．理由：∵∠1+∠4＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知）．∴∠2＝∠4．∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）．∵∠3＝∠B（已知），∴∠B＝∠ADE（等量代换）．∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）．40．已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系．【答案】（1）略（2）90°【解答】证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC；∵∠1+∠2＝90°，∴∠ABD+∠BDC＝180°；∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）解：（2）∵DE平分∠BDC，∴∠2＝∠FDE；∵∠1+∠2＝90°，∴∠BED＝180﹣（∠1+∠2）＝90°＝∠DEF＝90°；∴∠3+∠FDE＝90°；∴∠2+∠3＝90°．41．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．【答案】（1）略（2）25°【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，∴∠3＝25°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠3＝25°．。

初一数学：相交线与平行线知识点总结及压轴题练习(附答案解析)

初一相交线与平行线所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)知识点：1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。

性质是对顶角相等。

2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。

3、两条直线被第三条直线所截：同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。

5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

7、垂线段最短。

8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

③同旁内角互补，两直线平行。

11、推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

12、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。

13、平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________14、平移：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。

②对应点的线段平行且相等。

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。

对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

15、命题：判断一件事情的语句叫命题。

人教版七年级数学下册期末复习：相交线与平行线(附练习答案).doc

【解答】
【方法归纳】求角的度数问题时，要善于从图形中挖掘隐含条件，如：邻补角、对顶角，然后结合条件给出的角的和、差、倍、分等关系进行计算．
4．(滕州校级模拟 )如图，两条直线 AB ，CD 交于点 O，射线 OM 是∠ AOC 的平分线，若∠ BOD ＝80°，则∠ BOM 等于 ( )
A ． 40°
3．如图，已知 AB ⊥ CD，垂足为点 O，图中∠ 1 与∠ 2 的关系是 (
C．∠ 4 D．∠ 5 )
A ．∠ 1＋∠ 2＝ 180 °
B．∠ 1＋∠ 2＝ 90°
C．∠ 1＝∠ 2
D ．无法确定
4．如图，梯子的各条横档互相平行，若∠ 1＝ 80°，则∠ 2 的度数是 ( )
期末复习 ( 一 ) 相交线与平行线
01 各个击破
命题点 1 命题【例 1】已知下列命题：①若 a＞ 0，b＞ 0，则 a＋ b＞ 0；②若 a≠ｂ，则 a2≠ b2；③两点之
间，线段最短；④同位角相等，两直线平行．其中真命题的个数是
()
A．1 个
B．2 个
C． 3 个
D．4 个
【思路点拨】命题①、③、④显然成立，对于命题②，当
(1)画出平移后的三角形 A ′ B′，C并′直接写出点 A′、 B′、C′的坐标； (2)求出在整个平移过程中，三角形 ABC 扫过的面积．【思路点拨】 (1) 根据网格结构找出点 A′、 B′、 C′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出坐标即可； (2)观察图形可得三角形 ABC 扫过的面积为四边形 AA′ B′的Ｂ面积与三角形 ABC 的面积的和，然后列式进行计算即可．【解答】
a＝ 2、b＝－ 2 时，虽然有 a≠ｂ，
但 a2 ＝b2，所以②是假命题．

【期末压轴题训练 -相交线与平行线】2022-2023学年七年级数学下册(人教版)解析版

（1）求证：//AD BC ；（2）连结CF ，当//CF AB ，且CFB ∠C 分别对应P ，Q ，当20PQD QDC ∠−∠=︒时，请直接写出DQP ∠的度数______．3．如图1，PQ ∥MN ，点A ，B 分别在MN ，QP 上，∠BAM =2∠BAN ，射线AM 绕A 点顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转，射线BP 绕B 点顺时针旋转至BQ 便立即逆时针回转．射线AM 转动的速度是每秒2度，射线BP 转动的速度是每秒1度．（1）直接写出QBA ∠的大小为_______；（2）射线AM 、BP 转动后对应的射线分别为AE 、BF ，射线BF 交直线MN 于点F ，若射线BP 比射线AM 先转动30秒，设射线AM 转动的时间为t （0＜t ＜180）秒，求t 为多少时，直线BF ∥直线AE ？（3）如图2，若射线BP 、AM 同时转动m （0＜m ＜90）秒，转动的两条射线交于点C ，作∠ACD =120°，点D 在BP 上，请探究∠BAC 与∠BCD 的数量关系．4．如图，直线//,HD GE 点A 在直线HD 上，点C 在直线GE 上，点B 在直线,HD GE 之间，DAB ∠=120︒．（1）如图1，若40BCG ∠=︒，求ABC ∠的度数；（2）如图2，AF 平分,HAB CB ∠平分20FCG BCG ∠∠=︒,，比较,B F ∠∠的大小；（3）如图3，点P 是线段AB 上一点，PN 平分,APC CN ∠平分PCE ∠，探究HAP ∠和N∠的数量关系，并说明理由．__________AB ED，试说明：∠=∠；（1）如图1，求证：12GF．11．如图，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．（1）求证：AB∥CD；AB CDQM CD14．如图①，在Rt△ABC和Rt△CED中，∠ABC＝∠CED＝90°，点E在AC上．点D 在BC上，点F为AD的中点，连接BF、EF.图①观察与发现：(1)线段BF和EF的数量关系是_ _．拓广与探索：(2)如图，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则(1)中发现的结论是否成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．图②(3)如图③，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则(1)中发现的结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．图③请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），16．如图，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，（1）求证：△BDE为等腰三角形；（2）若点D为AB中点，AB=6，求线段BC的长；（3）在（2）条件下，若∠BAC=60°，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC运动，当△PBE为等腰三角形时t的值（请直接写出）.17．(1)、如图，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；(2)、如图，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足：BF平分∠ABE，CF 平分∠DCE，若∠CFB=20°，∠DCE=70°，求∠ABE的度数.(3)、在前面的条件下，若P是BE上一点；G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP﹣∠MGN的值不变；②∠MGN 的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．(1)如图1，若75ABE ∠=︒，70DCE ∠=︒，求BEC ∠的度数．(2)如图2，试探究2BE C ∠与BEC ∠之间的数量关系，并说明理由．参考答案：1．（1）见解析；（2）2∠FBH+∠C ＝180°；（3）80°【分析】（1）过点E 作//EK AB ，由平行线的性质得出,180ABE BEK CEK C ∠=∠∠+∠=︒，进而得出答案；（2）设,ABF EBF BEG CEG αβ∠=∠=∠=∠=，由平行线的性质得出,HBE BEG FBH FBE HBE βαβ∠=∠=∠=∠−∠=−，由（1）知180ABE C BEC ∠+∠−∠=︒，即可得出答案；（3）设,ABF EBF x ECN DCN y ∠=∠=∠=∠=，由（1）知2()180E x y ∠=+−︒，过M 作////PQ AB CD ，由平行线的性质得出,PMF ABF x QMN DCN y ∠=∠=∠=∠=，求出130E FMN x y ∠+∠=+=︒，即可得出答案．【解析】（1）如图1，过点E 作//EK AB ，∴ABE BEK ∠=∠，∵//AB CD ，∴//EK CD ，∴180CEK C ∠+∠=︒，∴180ABE C E BEC CEK C BEC CEK C ∠+∠−∠=∠+∠+∠−∠=∠+∠=︒；（2）∵BF 、EG 分别平分ABE ∠、BEC ∠，∴,ABF EBF BEG CEG ∠=∠∠=∠，设,ABF EBF BEG CEG αβ∠=∠=∠=∠=，∵//BH EG ，∴HBE BEG β∠=∠=，∴FBH FBE HBE αβ∠=∠−∠=−，由（1）知，180ABE C BEC ∠+∠−∠=︒，即222()180C C αβαβ+∠−=−+∠=︒，∴2180FBH C ∠+∠=︒；（3）∵CN 、BF 分别平分ECD ∠、ABE ∠，∴,ABF EBF ECN DCN ∠=∠∠=∠，设,ABF EBF x ECN DCN y ∠=∠=∠=∠=，由（1）知：180ABE C E ∠+∠−∠=︒，即2()180E x y ∠=+−︒，如图3，过M 作////PQ AB CD ，则,PMF ABF x QMN DCN y ∠=∠=∠=∠=，∴180180()FMN PMF QMN x y ∠=︒−∠−∠=︒−+，130E FMN ∠+∠=︒，∴2()180180()130x y x y +−︒+︒−+=︒，130x y ∴+=︒，∴2()180213018080E x y ∠=+−︒=⨯︒−︒=︒．．【点评】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、角的和差等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造平行线是解题关键．2．（1）证明见解析；（2）∠BCD ＝108°；（3）70°【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠EDF ＝∠DAB ，由角平线的定义得出∠EDF ＝∠FDC ，最后根据同旁内角互补，两直线平行进行求证；（2）设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，由两直线平行，内错角相等得出∠ABF＝1.5x，由角平分线的定义得出∠ABC＝3x，最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x的方程，求解即可；（3）画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠CDF＝∠CBF，由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC与∠FDC，由平移的性质与平行公理的推论得出AD∥PQ，最后根据两直线平行，同旁内角互补列式求解．【解析】解：（1）证明：∵AB∥DE，∴∠EDF＝∠DAB，∵DF平分∠EDC，∴∠EDF＝∠FDC，∴∠FDC＝∠DAB，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；（2）∵32CFB DCF∠=∠，设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，∵CF∥AB，∴∠ABF＝∠CFB＝1.5x，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，∵AD∥BC，∴∠FDC+∠BCD＝180°，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠BCD＝∠ABC＝3x，∴∠BCF＝2x，∵CF∥AB，∴∠ABC+∠BCF＝180°，∴3x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠BCD＝3×36°＝108°；（3）如图，∵∠DCF ＝∠CFB ，∴BF ∥CD ，∴∠CDF +∠BFD ＝180°，∵AD ∥BC ，∴∠CBF +∠BFD ＝180°，∴∠CDF ＝∠CBF ，∵AD ，BE 分别平分∠ABC ，∠CDE ，∴∠ABC ＝2∠CBF ，∠CDE ＝2∠FDC ，∴∠ABC ＝∠CDE ＝2∠FDC ，∵∠FDC+∠ABC ＝180°，∴∠ABC ＝120°，∠FDC ＝60°，∵线段BC 沿直线AB 方向平移得到线段PQ ，∴BC ∥PQ ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥PQ ，∵∠PQD ﹣∠QDC ＝20°，∴∠QDC ＝∠PQD ﹣20°，∴∠FDC+∠QDC +∠PQD ＝60°+∠PQD ﹣20°+∠PQD ＝180°，∴∠PQD ＝70°，即∠DQP ＝70°．故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．3．（1）60°；（2）当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，2∠=∠．BAC BCD【分析】（1）根据PQ∥MN，可得∠QBA=∠BAN，再根据平角定义和∠BAM=2∠BAN．即可得∠QBA的大小；（2）①当0＜t＜90时，根据平行线的性质可得，∠EAM=∠PBF，列出方程2t=1•（30+t），即可求解；②当90＜t＜150时，根据平行线的性质可得∠PBF+∠EAN=180°，列出方程1•（30+t）+（2t-180）=180，即可求解；（3）作CH∥PQ，根据PQ∥MN，可得CH∥PQ∥MN，根据平行线的性质可得，∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-m°）=m°-60°，∠BAC=60°-（180°-2m°）=2m°-120°，可得∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD．【解析】解：（1）∵PQ∥MN，∴∠QBA=∠BAN，∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM=2∠BAN，∴3∠BAN=180°，∴∠BAN=60°，∴∠QBA=∠BAN=60°，故答案为：60°；（2）①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBF=∠BFA，∵AE∥BF，∴∠EAM=∠BFA，∴∠EAM=∠PBF，∴2t=1•（30+t），解得t=30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBF+∠BFA=180°，∵AE∥BF，∴∠EAN=∠BFA，∴∠PBF+∠EAN=180°，∴1•（30+t）+（2t-180）=180，解得t=110，综上所述，当t=30秒或110秒时BF∥直线AE；（3）∠BAC=2∠BCD，理由如下：如图3，作CH∥PQ，∵PQ∥MN，∴CH∥PQ∥MN，∴∠QBC+∠2=180°，∠MAC+∠1=180°，∴∠QBC+∠2+∠MAC+∠1=360°，∵∠QBC=180°-m°，∠MAC=2m°，∴∠BCA=∠1+∠2=360°-（180°-m°）-2m°=180°-m°，而∠ACD=120°，∴∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-m°）=m°-60°，∵∠CAN=180°-2m°，∴∠BAC=60°-（180°-2m°）=2m°-120°，∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是利用平行线的判定与性质分情况讨论．4．（1）ABC ∠100=；（2）B F ∠>∠；（3）2180PNC HAP ∠+∠=︒，理由见解析．【分析】（1）过B 作 //BM HD ，证明 ////BM HD GE ，进而证明B B CG M C ∠=∠，ABM HAB ∠=∠，问题得解；（2）通过角平分线求出20FCB BCG ∠=∠=，∠FAB=∠HAF=30°，利用（1）结论，求出B F ∠∠，，问题得解；（3）设APN CPN x PCN E y CN ∠=∠=∠=∠=,，得∠PNC=180°- x -y ；利用（1）结论得出1802HAP x y ∠++=，进而得出HAP ∠和PNC ∠的数量关系．【解析】（1）过B 作 //BM HD∵//,HD GE//BM GE ∴∴=40B G M C BC ∠=∠︒，120DAB ∠=,∴60HAB ∠=︒∵ //BM HD ，60ABM HAB ∴∠=∠=，ABC ABM MBC ∴∠=∠+∠6040100=+=（2）解：∵CB 平分∠FCG20FCB BCG ∠=∠=∵AF 平分∠HAB ，∴∠FAB=∠HAF=(180°-120°) ÷2=30°，由（1）可得F HAF F G C ∠=∠+∠304007=+=B HAB BCG ∠=∠+∠602080=+=︒B F ∴∠>∠（3）设APN CPN x PCN E y CN ∠=∠=∠=∠=,过N 作//FQ PC,FNP CPN x BNC PCN y ∠=∠=∠=∠=则180PNC FNP QNC ∴∠=−∠−∠180x y =︒−−同理可得：APC HAP PCG ∠=∠+∠即21802x HAP y =∠+−1802HAP x y ∠+∴+=1801802HAP PNC ∠+∴∠=︒−即2180PNC HAP ∠+∠=︒【点评】图1是与平行线有关的求角的常见图形，一般称之为“M”型，解决问题的常见思路是通过添加平行线进行求解，要熟知这一结论．5．（1）∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠（2）见解析（3）①65②215°−12n【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D+∠FCD=180°，∠B ＝∠BCF ，然后根据已知条件即可得到结论；（3）①过点E 作EF ∥AB ，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED 的度数； ②∠BED 的度数改变．过点E 作EF ∥AB ，先由角平分线的定义可得：∠ABE ＝12∠ABC ＝12n°，∠CDE ＝12∠ADC ＝35°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°−∠ABE ＝180°−12n°，∠CDE ＝∠DEF ＝35°，进而可求∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝180°−12n°＋35°＝215°−12n°．【解析】（1）过点A 作ED BC ∥B EAB ∴∠=∠，C ∠=∠DAC ．EAB BAC DAC ∠+∠+∠180=︒180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒故答案为：∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠；（2）如图2，过C 作CF ∥AB ，∵AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠D+∠FCD=180°，∴∠B ＝∠BCF ，∵BCD ∠=∠FCD+∠BCF ，∴D BCD B ∠+∠−∠=180D FCD BCF B D FCD B B D FCD ∠+∠+∠−∠=∠+∠+∠−∠=∠+∠=︒；即180D BCD B ∠+∠−∠=︒；（3）①如图3，过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥EF ，∴∠ABE ＝∠BEF ，∠CDE ＝∠DEF ，∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，∴∠ABE ＝12∠ABC ＝30°，∠CDE ＝12∠ADC ＝35°，∴∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝30°＋35°＝65°；故答案为：65；②如图4，过点E 作EF ∥AB ，∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC ＝n°，∠ADC ＝70°∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12n°，∠CDE ＝12∠ADC ＝35°∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥EF ，∴∠BEF ＝180°−∠ABE ＝180°−12n°，∠CDE ＝∠DEF ＝35°，∴∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝180°−12n°＋35°＝215°−12n°．故答案为：215°−12n ．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性6．（1）详见解析；（2）118034∠+︒=∠+∠，详见解析；（3）230∠=︒【分析】（1）如下图，延长AC ，DE 相交于点G ，利用∠G 作为过渡角可证；（2）如下图，作//CP AB ，可得//CP DE ，推导得出118034∠+︒=∠+∠；（3）如下图，过Q 作1//AD l ∠，利用平行可得出70x y +=︒，再利用////QR AB DE 得到22110x y z +−=︒，从而得出z 的值．【解析】（1）延长,AC DE 相交于点G ．∵//AB DE ，//AC DF∴1G ∠=∠，2G ∠=∠∴12∠=∠．（2）作//CP AB ，则//CP DE∵//CP AB ，//CP DE ．∴1ACP ∠=∠，4180ECP ∠+∠=︒∴11804ACP ECP ∠+︒=∠+∠+∠即118034∠+︒=∠+∠．（3）过Q 作1//AD l ∠则5D ∠=．6y ∠=∵56110180∠+∠+︒=︒∴110180x y ++︒=︒即70x y +=︒旁证：过Q 作//QR AB ，则//QR DE ．设DAQ x ∠=，APQ y ∠=，2z ∠=．则2BAQ x ∠=，2FDQ y ∠=，1z ∠=．∵////QR AB DE∴2AQR BAQ x ∠=∠=，2EDQ DQR y z ∠=∠=−．∴22110x y z +−=︒又∵70x y +=︒∴22140x y +=︒∵(2)(22)30x y x y z z +−+−==︒∴230∠=︒【点评】本题考查角度的推导，第（3）问的解题关键是通过方程思想和整体思想，计算得出∠2的大小．7．（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由见解析【分析】（1）利用∠CAF=∠BAF -∠BAC 求出∠CAF 度数，求∠EMC 度数转化到∠MCH 度数；（2）过点C 作CH ∥GF ，得到CH ∥DE ，∠CAF 与∠EMC 转化到∠ACH 和∠MCH 中，从而发现∠CAF 、∠EMC 与∠ACB 的数量关系．【解析】（1）过点C 作CH ∥GF ，则有CH ∥DE ，所以∠CAF=∠HCA ，∠EMC=∠MCH ，∵∠BAF=90°，∴∠CAF=90°-60°=30°．∠MCH=90°-∠HCA=60°，∴∠EMC=60°．故答案为30°，60°．（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：过点C 作CH ∥GF ，则∠CAF=∠ACH ．∵DE ∥GF ，CH ∥GF ，∴CH ∥DE ．∴∠EMC=∠HCM ．∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．【点评】考查了平行线的判定和性质，解题关键是熟记并灵活运用其性质和判定．8．（1）50°；（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1，理由详见解析；（3）∠ABC=25°．【分析】（1）先根据平行线的性质求出∠ABN，然后再根据角平分线的定义即可求出∠CBD；（2）先根据平行线的性质可得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，然后再由角平分线的定义即可发现规律；（3）由平行线的性质可得∠ACB=∠CBN=50°+∠DBN，再结合条件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，即可求解．【解析】解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，又∵∠A=80°，∴∠ABN=180°－80°=100°，∴∠ABP+∠PBN=100°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=100°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=50°；（2）不变，∠APB：∠ADB=2：1．∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB：∠ADB=2：1；（3）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，∴∠ABC=∠DBN，由（1）可知∠ABN=100°，∠CBD=50°，∴∠ABC+∠DBN=50°，∴∠ABC=25°．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定是解题的关键，即：①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角相等两直线平行．9．（1）80︒；（2）①APE αβ∠=∠+∠；②APE βα∠=∠−∠，理由见解析；（3）1()2ANE αβ∠=∠+∠【分析】（1）利用平行线的性质分别求出,BPG CPG ∠∠的度数，再根据角的和差即可得；（2）①过点P 作PQ DF ，先根据平行线的性质可得,QPE QPA αβ∠=∠∠=∠，再根据APE QPE QPA ∠=∠+∠即可得；②过点P 作PQ DF ，先根据平行线的性质可得,QPE QPA αβ∠=∠∠=∠，再根据APE QPA QPE ∠=∠−∠即可得；（3）先根据角平分线的定义可得11,22NED NAC αβ∠=∠∠=∠，过点N 作NQ DF ，再根据平行线的性质可得11,22QNE NED QNA NAC αβ∠=∠=∠∠=∠=∠，然后根据ANE QNE QNA ∠=∠+∠即可得．【解析】解：（1）,125PG AB PBA ∠=︒，18055BPG PBA ∴∠=︒−∠=︒， ∥AB CD ，PG CD ∴，18025CPG PCD ∴∠=︒−∠=︒，80BPC BPG CPG ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：80︒；（2）①APE αβ∠=∠+∠，理由如下：如图，过点P 作PQ DF ，QPE α∴∠=∠，DF CG ，PQ CG ∴，QPA β∴∠=∠，APE QPE QPA αβ∴∠=∠+∠=∠+∠；②APE βα∠=∠−∠，理由如下：如图，过点P 作PQ DF ，QPE α∴∠=∠，DF CG ，PQ CG ∴，QPA β∴∠=∠，APE QPA QPE βα∴∠=∠−∠=∠−∠；（3）1()2ANE αβ∠=∠+∠，理由如下：,EN AN 分别平分,PED PAC ∠∠，1111,2222NED PED NAC PAC αβ∴∠=∠=∠∠=∠=∠，如图，过点N 作NQ DF ，12QNE NED α∴∠=∠=∠， DF CG ，NQ CG ∴， 12QNA NAC β∴∠=∠=∠，111()222ANE QNE QNA αβαβ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．【点评】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，过拐点作平行线，利用平行线的判定与性质是解题关键．10．（1）6013；（2）∠CEF=140°；（3）NEF 2AOG ∠∠=，是定值【分析】（1）根据直角三角形面积计算的不同方法，即可求出CD 的长度．（2）根据对顶角相等和互余的性质得出∠CED=40°，再根据邻补角得出∠CEF=140°即可；（3）作CP ∥x 轴，则CP ∥DM ∥x 轴，根据平行线的性质得∠AOG=∠1，∠2+∠CEF=180°，由于∠NEC+∠CEF=180°，所以∠2=∠NEC ，由∠1+∠2=90°，∠NEF+2∠2=180°，推出∠NEF=2∠1=2∠AOG ，由此即可得出结论；【解析】解：（1）∵AC ⊥BC ，BC=12cm ， ∴12ABC S ∆=AC 1BC 2AB CD ⨯=⨯， ∴115121322CD ⨯⨯=⨯⨯， ∴60CD 13=，∴点C 到AB 的距离为6013cm ，故答案为：6013；（2）∵∠AOG=50°，∴∠POC=50°，∴∠COQ=40°，∴∠CQO=50°，∴∠DQE=50°，∴∠CED=40°，∴∠CEF=140°；（3）NEFAOG∠∠为定值．理由如下：作CP∥x轴，如图3，∵CP∥DM∥x轴，∴∠AOG=∠1，∠2+∠CEF=180°，而∠NEC+∠CEF=180°，∴∠2=∠NEC，∵∠1+∠2=90°，∴∠NEF+2∠2=180°，∴∠NEF=2∠1=2∠AOG，∴NEF2AOG∠∠=，是定值．【点评】此题考查了平行线的判定与性质：平行线于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．11．（1）见解析；（2）见解析；(3)当点H在点D的左侧时，∠BHD=2∠EBI，当点H在点D 的右侧时，∠BHD=180°-2∠EBI．【分析】（1）依据∠BDE+∠DBE=90°及BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，可得∠ABD+∠CDB=2（∠BDE+∠DBE）=180°，进而判定AB∥CD；（2）按要求画出图形，分别过点E、F作AB的平行线，利用平行线的性质和角的转化即可得到答案；（3）分点H在点D的左侧和点H在点D的右侧两种情况，利用平行线和角平分线的性质即可得到结论．【解析】解：（1）∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD=2∠EBD，∠CDB=2∠BDE，∵∠BDE+∠DBE=90°，∴∠ABD+∠CDB=2（∠BDE+∠DBE）=180°，∴AB∥CD；（2）按要求画出图形，如图，由∠ABE=3∠ABF，设∠ABF=α，则∠ABE=3α，过F作FG∥AB，∴∠ABF=∠BFG，∠CDF=∠DFG，∴∠ABF+∠CDF=∠BFD，∴∠CDF=30°-α，过E作EH∥AB，则有∠ABE+∠CDE=∠BED，∴∠CDE=90°-3α，∴∠FDE=60°-2α，∴1306022 CDFCDEαα∠︒−==∠︒−；（3）当点H在点D的左侧时，如图3所示，∠BHD=2∠EBI．理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABH=∠BHD，∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，∴∠ABE=∠EBD，∠HBI=∠IBD．∵∠ABH=∠ABE+∠EBH=∠EBD+∠EBH=2（∠EBH+∠HBI），∴∠BHD=2∠EBI．当点H在点D的右侧时，∠BHD=180°-2∠EBI．理由如下：∵AB∥CD，∴∠GBH=∠BHD，∵BE平分∠ABD，BI平分∠HBD，∴∠ABE=∠EBD，∠HBI=∠IBD，∵∠EBI=∠EBD+∠DBI=12∠ABD+12∠DBH=12∠ABH=12（180°-∠HBG）∴∠EBI=90°-12∠BHD．∴∠BHD=180°-2∠EBI．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用平行线的判定与性质，依据角的和差关系进行计算．12．（1）50；（2）50，130，65；；（3）∠FQG的度数为130 3.【分析】（1）过点P作PL AB，利用平行线的性质可得∠1=∠AEP，∠2=∠PGC，由∠EPG=∠1+∠2，等量代换可得结论；（2）过点Q作QM CD，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可；（3）当点F在点E右侧时，设∠EFG=x°，则∠BFG=（180-x）°，利用（2）的结论即可求解．当点F在点E左侧时，同理可得结论．【解析】（1）如图1，过点P作PL AB，∵AB CD，∴PL AB CD，∴∠1=∠AEP=40°，∠2=∠PGC，∵∠EPG=∠1+∠2=90°，∴∠PGC=90°-40°=50°．故答案为：50；（2）解：过点Q作QM CD．因为∠PGC+∠PGD=180°，由（1）得∠PGC=50°，所以∠PGD=180°-∠PGC=130°，因为GQ平分∠PGD，所以∠PGQ=∠QGD=12∠PGD=65°．因为QM CD，所以∠MQG=180°-∠QGD=180°-65°=115°，因为QM CD，AB CD，所以QM AB CD，所以∠FQM=∠EFQ，因为FQ平分∠EFG，∠EFG=30°，所以∠EFQ=∠FQM=12∠EFG=15°．所以∠FQG=∠MQG+∠FQM=115°+15°=130°；故答案为：50，130，65；（3）当点F在点右侧时，如图3，设∠EFG=x°，则∠BFG=（180-x）°，∵QF平分∠EFG，∴∠EFQ=12x°，由（2）可知∠MQG=115°，∠FQM=∠EFQ=12x°，∠FQG=（115+12x）°，∵∠FQG=2∠BFG，∴115+12x=2（180-x），解得：x=98°，故∠EFG的度数是98°，此时两条角平分线没有交点，故舍去；当点F在点E左侧时，如图4，由（1）知，∠DGP=130°，∵PQ平分∠DGP，∴∠DGQ=12∠DGP=65°，延长FQ交CD于H，则∠FHG=∠HFE，∵FQ平分∠EFG，∴∠EFG=2∠EFH=2∠GFH，∵∠FQG=2∠BFG，∴∠FQG=4∠EFH，∵AB CD，∴∠EFH=∠FHG，∴∠DGQ=∠FQG-∠FHG=3∠EFH=65°，∴∠EFH=653︒，∴∠EFG=2∠EFH=1303︒．综上所述，∠EFG=1303︒．【点评】本题考查平行线间的角度计算，需要灵活进行角度的转换，建立等量关系，从而求解.13．(1)∠P＝130°；(2)3∠P+∠BED＝360°；(3)∠P＝360mn︒︒−．【分析】（1）过E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，再根据∠BED＝100°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，即可得到∠P的度数．（2）过E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，再根据∠ABP＝13∠ABE，∠CDP＝13∠CDE，即可得到∠PBE+∠PDE＝23（∠ABE+∠CDE）＝240°﹣23∠BED，再根据四边形内角和得出∠P与∠E的数量关系；（3）利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣m°，再根据∠ABP＝1 n∠ABE，∠CDP＝1n∠CDE，即可得到∠PBE+∠PDE＝1nn−（∠ABE+∠CDE）＝1nn−（360°﹣m°），再根据四边形PDEB内角和，即可得到∠P＝360°﹣1nn−（360°﹣m°）﹣m°＝360mn︒︒−．【解析】解：(1)如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，又∵∠BED＝100°，∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣100°＝260°，又∵BP、DP分别平分∠ABE、∠CDE，∴∠PBE+∠PDE＝12(∠ABE+∠CDE)＝12×260°＝130°，∴∠P＝360°﹣130°﹣100°＝130°；(2)3∠P+∠BED＝360°；如图②，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，又∵∠ABP＝13∠ABE，∠CDP＝13∠CDE，∴∠PBE+∠PDE＝23(∠ABE+∠CDE)＝23×(360°﹣∠BED)＝240°﹣23∠BED，∴∠P＝360°﹣∠BED﹣(240°﹣23∠BED)＝120°﹣13∠BED，即3∠P+∠BED＝360°；(3)∠P＝360mn︒︒−．如图③，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，同理可得，∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣m°，又∵∠ABP＝1n∠ABE，∠CDP＝1n∠CDE，∴∠PBE+∠PDE＝n1n−(∠ABE+∠CDE)＝n1n−(360°﹣m°)，∴四边形PDEB中，∠P＝360°﹣n1n−(360°﹣m°)﹣m°＝360mn︒︒−．【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．14．(1)BF＝EF(2) BF＝EF成立(3) BF＝EF成立．【解析】(1)BF＝EF(2)结论BF＝EF成立．证明：如图①，过点F作FG⊥BE于点G，∴∠FGB＝90°，图①∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＋∠FGB＝180°，∴FG∥AB.又∵∠CED＝90°，∴∠CED＝∠BGF.∴FG∥DE.∴AB∥FG∥DE.∴＝.∵点F是AD的中点，∴AF＝FD.∴BG＝GE.又∵FG⊥BE，∴BF＝EF；(3)结论BF＝EF成立．证明：如图②，过点F作FM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，连接FN.∴∠FMC＝∠DNC＝90°.图②∵△CDE绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，∴∠DCN＝∠DCE.在△CDN和△CDE中，，∴△CDN≌△CDE(AAS)．∴CN＝CE.在△FNC和△FEC中，，∴△FNC≌△FEC(SAS)．∴FN＝EF.∵∠ABC＝90°，∠FMN＝∠DNC＝90°.∴AB∥FM∥DN.由(2)推理可知BF＝FN.∴BF＝EF.【点评】熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键.15．（2）∠B+∠C=360°﹣∠BEC；证明见解析；（3）20°．【分析】利用平行线的性质求解即可.【解析】（1）∠CEF；∠BEF；∠BEF+∠CEF.（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC，EF∥AB，∴EF∥DC，∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，∴∠B+∠C+∠BEC=360°，∴∠B+∠C=360°﹣∠BEC；（3）∠A=20°．平行线的判定定理（1）同位角相等，两直线平行.（2）内错角相等，两直线平行.（3）同旁内角互补，两直线平行.平行线的性质定理：（1）两直线平行，同位角相等.（2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.【点评】平面几何中，判定定理和性质定理是成对出现的，定义也可以作为判定定理使用.16．（1）证明见解析（2）6（3）3，9【解析】（1）∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠EBC∵ DE∥BC∴∠DEB=∠EBC=∠ABE∴BD=ED∴△DBE为等腰三角形（2）∵点D为AB中点∴AD=BD=ED∴∠A=∠AED∵∠A+∠AED+∠ABE+∠BED=1800∴∠AED+∠BED=900即∠AEB=900=∠CEB∵∠ABE=∠EBC BE=BE∴△ABE≌△CBE(ASA)∴BC=AB=6（3）3，917．(1)、AB∥CD；理由见解析；(2)、30°；(3)、①∠DGP﹣∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变；证明过程见解析.【分析】(1)、根据角平分线得出∠1=∠CAB，从而得出∠2=∠CAB，从而说明平行线；(2)、根据角平分线的性质得出∠DCF=12∠DCE=35°，∠ABE=2∠ABF，根据CD∥AB得出∠2=∠DCF=35°，根据∠2=∠CFB+∠ABF，∠CFB=20°得出∠ABF和∠ABE的度数；(3)、根据三角形外角性质得出∠1=∠BPG+∠B，根据角平分线的性质得出∠GPQ=12∠BPG，∠MGP=12∠DGP，根据AB∥CD得出∠MGP=12（∠BPG+∠B），根据PQ∥GN得出∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，从而根据∠MGN=∠MGP﹣∠NGP=12∠B，从而得出答案.【解析】(1)、AB∥CD．∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠CAB，∵∠1=∠2，∴∠2=∠CAB，∴AB∥CD；(2)、如图2，∵BF平分∠ABE，CF平分∠CDE，∴∠DCF=12∠DCE=35°，∠ABE=2∠ABF，∵CD∥AB，∴∠2=∠DCF=35°，∵∠2=∠CFB+∠ABF，∠CFB=20°，∴∠ABF=15°，∴∠ABE=2∠ABF=30°(3)、如图3，根据三角形的外角性质，∠1=∠BPG+∠B，∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，∴∠GPQ=12∠BPG，∠MGP=12∠DGP，∵AB∥CD，∴∠1=∠DGP，∴∠MGP=12（∠BPG+∠B），∵PQ∥GN，∴∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，∴∠MGN=∠MGP﹣∠NGP=12（∠BPG+∠B）﹣12∠BPG=12∠B，根据前面的条件，∠B=30°，∴∠MGN=12×30°=15°，∴①∠DGP﹣∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变．【点评】考点：(1)、平行线的性质；(2)、角平分线的性质. 18．(1)145︒(2)214BE C BEC∠=∠，理由见解析(3)()2na ︒【分析】（1）先过E 作EF AB ∥，根据AB CD ∥，得出AB EF CD ∥∥，再根据平行线的性质，得出1B ∠=∠，2C ∠=∠，进而得到145BEC ABE DCE ∠=∠+∠=︒；（2）先根据ABE ∠和DCE ∠的平分线交点为1E ，运用（1）中的结论，得出111111222CE B ABE DCE ABE DCE BEC∠=∠+∠=∠+∠=∠；同理可得22211111112224BE C ABE DCE ABE DCE CE B BEC∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠；（3）根据1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ，得出214BE C BEC ∠=∠；根据2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，得出318BE C BEC ∠=∠；⋯据此得到规律12n n E BEC ∠=∠，最后求得n BE C∠的度数．【解析】（1）解：如图1，过E 作EF AB ∥，AB CD ∥，AB EF CD ∴∥∥，1B ∴∠=∠，2C ∠=∠，12BEC ∠=∠+∠，7570145BEC ABE DCE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）214BE C BEC ∠=∠，理由如下：如图2，ABE ∠和DCE ∠的平分线交点为1E ，∴由（1）可得，111111222CE B ABE DCE ABE DCE BEC ∠=∠+∠=∠+∠=∠；1ABE ∠和1DCE ∠的平分线交点为2E ，∴由（1）可得，22211111112224BE C ABE DCE ABE DCE CE B BEC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠；（3）如图2，1ABE ∠和1DCE ∠的平分线交点为2E ，∴由（1）可得，22211111112224BE C ABE DCE ABE DCE CE B BEC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠； 2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，33322211112228BE C ABE DCE ABE DCE CE B BEC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠；⋯ 以此类推，12n n E BEC ∠=∠，∴当BEC α∠=度时，n BE C ∠等于()2n a ︒．【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．。

专题01 相交线与平行线(原卷版)-【挑战压轴题】2021-2022学年七年级数学下册压轴题专题精选

2021-2022学年人教版数学七年级下册压轴题专题精选汇编专题01 相交线与平行线一．选择题1．（2021秋•道里区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF．下列结论：①AF＝DF；②S△ABD：S△ACD＝AB：AC；③∠BAF＝∠ACF；④BF⊥AC．其中命题一定成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021秋•呼和浩特期末）下列命题：①等腰三角形的角平分线、底边中线、高线三线合一；②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2020秋•南岸区期末）如图，D是∠ABC的边BC上一点，DE∥BA，∠CBE和∠CDE的平分线交于点F，若∠F＝α，则∠ABE的大小为（）A．αB．αC．2αD．4．（2021春•红谷滩区校级期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°5．（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．（2020秋•奉化区校级期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2二．填空题7．（2021秋•南岗区期末）如图，m∥n，l⊥n，垂足为点A，l交m于点B，点C在直线n上，请在直线m上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交直线l于点E，若∠BED＝60°，则∠ACD＝度．8．（2021秋•长春期末）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是．9．（2020秋•成都期末）如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若∠β＝56°，则∠α＝．10．（2021秋•南岗区校级期中）如图，在直线AB上有一点O，OC⊥OD，OE是∠DOB的角平分线，当∠DOE＝20°时，∠AOC＝°．11．（2021秋•香坊区校级期中）如图，已知AB∥CD，BE、DE分别平分∠ABF、∠CDF，∠F＝40°，则∠E ＝．12．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝．13．（2021春•东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝1480'；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正确的有个．14．（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠P n＝度．15．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E ＝34°，则∠B的度数为．16．（2019秋•南岗区校级期中）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE 在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝．17．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为．18．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF 交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝．三．解答题19．（2021秋•朝阳区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．（1）若∠1＝25°，则∠2的度数为；（2）直接写出∠1与∠3的数量关系：；（3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：；（4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE 角度所有可能的值．20．（2021秋•福田区校级期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：BD∥EF；（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，则∠B的度数为．21．（2021秋•道里区期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（﹣1，4），（﹣4，﹣1），（1，1），如果将三角形ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1，点A1，B1，C1分别为点A，B，C平移动后的对应点．（1）请在图中画出三角形A1B1C1；（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标和三角形A1B1C1的面积．22．（2021秋•长春期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：．（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为．23．（2021秋•德惠市期末）已知AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点．（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（），∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（），∴∠BAE+∠DCE＝+ （等式的性质）．即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是．（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．24．（2021秋•九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．25．（2021秋•法库县期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB 上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．（1）如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x＝；②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．26．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到的距离，是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）27．（2021秋•南岗区校级期中）已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD．（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝68°时，求∠GMH的度数．（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是∠MHD的平分线，作HN ∥PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）28．（2021春•江汉区期中）问题探究：如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．问题解答：（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．29．（2021春•兴宾区期末）已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN＜∠BAM≤90°．（1）如图①，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．阅读并将下列推理过程补齐完整：过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，所以AM∥（）．所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（）．所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．（2）如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．求证：∠DEB＝∠DBE；（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由．。

七年级下册压轴题50道人教版

七年级下册压轴题50道人教版一、相交线与平行线1. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE = 4：1，求∠AOF的度数。

解析：设∠BOE = x°，因为OE平分∠BOD，所以∠BOD = 2∠BOE=2x°。

又因为∠AOD + ∠BOD = 180°，且∠AOD：∠BOE = 4：1，所以∠AOD = 4x°。

则4x+2x = 180，6x=180，x = 30。

所以∠BOD = 60°，∠COE=180°∠BOE = 150°。

因为OF平分∠COE，所以∠COF=(1)/(2)∠COE = 75°。

∠AOC=∠BOD = 60°，所以∠AOF=∠AOC+∠COF = 60°+75° = 135°。

2. 已知直线l_1∥ l_2，点A，B分别在l_1，l_2上，点P是l_1，l_2间一点，连接PA，PB。

(1) 如图1，若∠A = 50°，∠B = 70°，求∠APB的度数；(2) 如图2，点C在l_1上方，连接PC，AC，若∠PAC = 150°，∠PBC = 130°，求∠APC + ∠BPC的度数。

解析：(1) 过点P作PD∥ l_1，因为l_1∥ l_2，所以PD∥ l_2。

∠A = ∠APD = 50°（两直线平行，内错角相等），∠B = ∠BPD=70°。

所以∠APB=∠APD + ∠BPD = 50°+70° = 120°。

(2) 过点P作PE∥ l_1，过点C作CF∥ l_1。

因为l_1∥ l_2，所以PE∥ l_2，CF∥ l_2。

∠PAC + ∠APE = 180°，所以∠APE = 180° 150°=30°。

部编数学七年级下册期末难点特训(四)和相交线平行线有关的压轴题(解析版)含答案

七下期末难点特训（四）和相交线平行线有关的压轴题 1．直线AB //CD ，点M 、N 分别在直线AB 、CD 上．(1)如图1，AMP ∠、DNP ∠、MPN ∠的数量关系为：________；(2)如图2，直线EF 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，连接MN ，EMN ∠的平分线MH 交CD 于点H ．①当MH //EF ，PN //EF 时，请判断EFD ∠与PNM ∠的数量关系，并说明理由；②如图3，当PN 保持PN //EF 并向左平移，在平移的过程中猜想EFD ∠、PNM ∠与MHN ∠的数量关系，请直接写出结论．【答案】(1)∠AMP +∠MPN -∠PND =180°(2)①∠EFD =∠PNM ；②当点P 在M N 的右侧时，2∠MHN =∠EFD +∠PNM ；当点P 值MN 的左侧时，2∠MHN 十∠PNM =∠EFD【分析】（1）结论：∠AMP +∠MPN -∠PND = 180°，如图1中，过点P 作PT ∥AB ，利用平行线的性质证明即可；（2）①结论：∠EFD =∠PN M ，利用平行线的性质角平分线的定义证明即可；②分两种情形：当点P 在M N 的右侧时，2∠MHN =∠EFD +∠PNM ；当点P 值MN 的左侧时，2∠MHN 十∠PNM =∠EFD ．（1）如图1中，过点P 作PT ∥AB ，∵AB ∥CD ，PT ∥АВ，∴AB ∥PT ∥CD ，∴∠ AMP + ∠MPT = 180°，∠PND =∠TPN ，∴∠AMP + ∠MPN - ∠PND=∠AMP +∠MPT +∠TPN －∠PND = 180°，故答案为：∠AMP +∠MPN -∠PND =180°；（2）①∠EFD=∠PNM，理由如下：∵MH∥EF，∴∠EFD=∠MHN，∵AB∥CD，∴∠MHN=∠AMH，∵MH平分∠AMN，∴∠AMH=∠HMN，∴∠EFD=∠HMN，∵MH∥PN，∴∠HMN =∠PNM，∴∠EFD =∠PNM，故答案为∠EFD =∠PNM；②如图，当点P在MN的右侧时，∵AB∥CD，∴∠MHD=∠AMH，∵MH平分∠AMN，∴∠AMH=∠HMN，∴∠MHD=∠HMN，∵PN∥EF，∴∠EFD=∠PND，∵∠MHN+∠HMN=∠PND+∠PNM，∴2∠MHN =∠EFD+∠PNM，当点P 在MN 的左侧时，∵AB ∥CD ，∴∠MHD =∠AMH ，∵MH 平分∠AMN ，∴∠AMH =∠HMN ，∴∠MHD =∠HMN ，∵PN ∥EF ，∴∠EFD =∠PND ，∵∠MHN +∠HMN =∠PND -∠PNM ，∴2∠MHN +∠PNM =∠EFD ．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图1，直线EF 与直线AB CD ，分别交于点E 、F ，EM 平分AEF ∠交CD 于点M ，且FEM FME ∠=∠．(1)求证：AB CD ∥；令,ABF x AEF y ∠=∠=，则根据角平分线定义得FBH x ∠=，FED y ∠=，过F 作1FG l ∥，过A 作1AJ l ∥，则12FG AJ l l ∥∥∥，,1802EFG DEF y BAJ ABC x \∠=∠=∠=∠=°-，DAJ ADE ∠=∠，BFG HBF x BFE EFG y b \∠=∠==∠+∠=+①，Q 在ADE D 中，=90DAE ∠°，90ADE AED \∠+∠=°，902DAJ ADE y \∠=∠=°-，()1802902BAJ ABC x DAJ BAD y a \∠=∠=°-=∠+∠=°-+②，由①得x y b =-，由②得()902x y a °=+-，将①代入②得902b a °=+；2.点D 在ABF ∠的边BF 上，如图所示：令,ABF x AEF y ∠=∠=，则根据角平分线定义得FBH x ∠=，FED y ∠=，过F 作1FG l ∥，过A 作1AJ l ∥，则12FG AJ l l ∥∥∥，,1802EFG DEF y BAJ ABC x \∠=∠=∠=∠=°-，DAJ ADE ∠=∠，BFG HBF x BFE EFG y b \∠=∠==∠+∠=+①，Q 在ADE D 中，=90DAE ∠°，90ADE AED \∠+∠=°，902DAJ ADE y \∠=∠=°-，()1802902BAJ ABC x DAJ BAD y a \∠=∠=°-=∠+∠=°-+②，由①得x y b =-，由②得()902x y a °=+-，将①代入②得902b a °=+；3.点D 在ABF ∠内，如图所示：令,ABF x AEF y ∠=∠=，则根据角平分线定义得FBH x ∠=，FED y ∠=，过F 作1FG l ∥，过A 作1AJ l ∥，则12FG AJ l l ∥∥∥，,1802EFG DEF y BAJ ABC x \∠=∠=∠=∠=°-，DAJ ADE ∠=∠，BFG HBF x BFE EFG y b \∠=∠==∠+∠=+①，Q 在ADE D 中，=90DAE ∠°，90ADE AED \∠+∠=°，902DAJ ADE y \∠=∠=°-，()1802902BAJ ABC x DAJ BAD y a \∠=∠=°-=∠+∠=°-+②，由①得x y b =-，由②得()902x y a °=+-，将①代入②得902b a °=+；4.点D 在ABF ∠的边AB 上，0BAD a ∠==°，如图所示：令,ABF x AEF y ∠=∠=，则根据角平分线定义得FBH x ∠=，FED y ∠=，过F 作1FG l ∥，过A 作1AJ l ∥，则12FG AJ l l ∥∥∥，,1802EFG DEF y BAJ ABC x \∠=∠=∠=∠=°-，DAJ ADE ∠=∠，BFG HBF x BFE EFG y b \∠=∠==∠+∠=+①，Q 在ADE D 中，=90DAE ∠°，90ADE AED \∠+∠=°，902DAJ ADE y \∠=∠=°-，()1802902BAJ ABC x DAJ BAD y \∠=∠=°-=∠+∠=°-②，由①得x y b =-，由②得()902x y °=-，将①代入②得45b =°，\0a =°，45b =°，满足902b a °=+；5.点D 在ABF ∠的边AB 右侧，如图所示：令,ABF x AEF y ∠=∠=，则根据角平分线定义得FBH x ∠=，FED y ∠=，过F 作1FG l ∥，过A 作1AJ l ∥，则12FG AJ l l ∥∥∥，,1802EFG DEF y BAJ ABC x \∠=∠=∠=∠=°-，DAJ ADE ∠=∠，BFG HBF x BFE EFG y b \∠=∠==∠+∠=+①，Q 在ADE D 中，=90DAE ∠°，90ADE AED \∠+∠=°，902DAJ ADE y \∠=∠=°-，()1802902BAJ ABC x DAJ BAD y a \∠=∠=°-=∠-∠=°--②，由①得x y b =-，由②得()902x y a °=--，将①代入②得902b a °=-；综合上述1、2、3、4、5可得902b a °=+或902b a °=-．【点睛】本题考查平行线的性质，涉及到角平分线的性质、邻补角定义、直角三角形锐角互余等性质，根据题意作出辅助线，分类讨论并根据图形恰当表示出各角之间的关系是解决问题的关键．4．如下图，点E 、C 分别在直线GN 、BM 上，点A 为平面内BM 、GN 之间的一点，若CAE BCA AEG ∠=∠+∠．(1)证明：BM ∥GN ；(2)如下图，若60CAE ∠=°，AC ∥EF ，点D 在线段AC 上，连接DE ，且2FED BCA ∠=∠，试判断DEA ∠与GEA ∠的数量关系，并说明理由；(3)如下图，若85CAE ∠=°，35BCA ∠=°，且EF 、EP 分别平分AEQ ∠、NEQ ∠，求FEP ∠的度数．【答案】(1)证明见解析(2)2DEA GEA ∠=∠，证明见解析(3)65.FEP °∠=【分析】（1）如图，过A 作,AR BM ∥ 证明,BCA CAR ∠=∠再结合CAE BCA AEG ∠=∠+∠，证明RAE AEG ∠=∠，从而可得结论；（2）如图，设,,BCA DEA GEA a b g ∠=∠=∠=先证明60a g °=-，再证明180CAE DEA FED °∠+∠+∠=，即602180b a °°++=，整理再把60a g °=-代入可得答案；（3）如图，设,PEQ x FEN y ∠=∠=，证明2FEQ FEA y x ∠=∠=+，结合85,35,CAE BCA AEG BCA ∠=∠+∠=°∠=°可得502180y x y °°+++=，可得65x y °+=，从而可得结论．（1）证明：如图，过A 作,AR BM ∥ ∴,BCA CAR ∠=∠CAE BCA AEG ∠=∠+∠Q ，CAR RAE BCA AEG \∠+∠=∠+∠，RAE AEG \∠=∠，∴AR GN ∥，.BM GN \∥（2）2,DEA GEA ∠=∠理由如下：如图，设,,BCA DEA GEA a b g∠=∠=∠=2FED BCA ∠=∠Q ，2FED a \∠=，,60CAE BCA AEG CAE °∠=∠+∠∠=Q ，60a g °\=+，60a g °\=-，∵,AC EF ∥180CAE FEA °\∠+∠=，180CAE DEA FED °\∠+∠+∠=，602180b a °°\++=，2120b a °\+=，2(60)120b g °°\+-=，化简得：2b g =，即2.DEA GEA ∠=∠（3）如图，设,PEQ x FEN y ∠=∠=，∵EP 平分,NEQ Ð PEQ PEN x \∠=∠=，+2FEQ FEN PEN PEQ y x \∠=∠+∠+∠=，∵EF 平分,AEQ Ð 2FEQ FEA y x \∠=∠=+，∵85,35,CAE BCA AEG BCA ∠=∠+∠=°∠=°8535AEG °°\=+∠，50AEG °\∠=，180GEN °∠=Q ，180AEG FEA FEN °\∠+∠+∠=，502180y x y °°\+++=，22130x y °\+=，65x y °\+=，FEP FEN PEN x y ∠=∠+∠=+Q ，65.FEP °\∠=【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的含义，设出合适的参数，再利用整体思想与方程思想进行证明与求解角度的大小是解本题的关键．5．如图，直线AB CD P ，点E 在直线AB 上，点F 在直线CD 上，点P 在直线AB ，CD 之间，连接PE ，PF ，EF ，50PFE ∠=°，直线l 与直线AB ，CD 分别交于点M ，N ，MNC a ∠=()090a °<<°，EO 是MEF ∠的平分线，交直线CD 于点O ．∠OCD =2∠PCO =360°-2∠AOB ，根据（2）∠OCD +∠BO ′E ′=360°-∠AOB ，进而推出∠AOB =∠BO ′E ′．【详解】解：（1）∵CD ∥OE ，∴∠AOE =∠OCD =120°，∴∠BOE =360°-∠AOE -∠AOB =360°-90°-120°=150°；（2）∠OCD +∠BO ′E ′=360°-α．证明：如图②，过O 点作OF ∥CD ，∵CD ∥O ′E ′，∴OF ∥O ′E ′，∴∠AOF =180°-∠OCD ，∠BOF =∠E ′O ′O =180°-∠BO ′E ′，∴∠AOB =∠AOF +∠BOF =180°-∠OCD +180°-∠BO ′E ′=360°-（∠OCD +∠BO ′E ′）=α，∴∠OCD +∠BO ′E ′=360°-α；（3）∠AOB =∠BO ′E ′．证明：∵∠CPO ′=90°，∴PO ′⊥CP ，∵PO ′⊥OB ，∴CP ∥OB ，∴∠PCO +∠AOB =180°，∴2∠PCO =360°-2∠AOB ，∵CP 是∠OCD 的平分线，∴∠OCD =2∠PCO =360°-2∠AOB ，∵由（2）知，∠OCD +∠BO ′E ′=360°-α=360°-∠AOB ，∴360°-2∠AOB +∠BO ′E ′=360°-∠AOB ，∴∠AOB =∠BO ′E ′．【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．9．已知//a b ，直角ABC V 的边与直线a 分别相交于O 、G 两点，与直线b 分别交于E ，F点，且90ACB ∠=°．（1）将直角ABC V 如图1位置摆放，如果56AOG ∠=°，则CEF ∠=________；（2）将直角ABC V 如图2位置摆放，N 为AC 上一点，180NEF CEF ∠+∠=°，请写出NEF∠与AOG ∠之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角ABC V 如图3位置摆放，若135GOC ∠=°，延长AC 交直线b 于点Q ，点P 是射线GF 上一动点，探究,POQ OPQ ∠∠与PQF ∠的数量关系，请直接写出结论．【答案】（1）146°；（2）∠AOG +∠NEF =90°；（3）见解析【分析】（1）作CP //a ，则CP //a //b ，根据平行线的性质求解．（2）作CP //a ，由平行线的性质及等量代换得∠AOG +∠NEF =∠ACP +∠PCB =90°．（3）分类讨论点P 在线段GF 上或线段GF 延长线上两种情况，过点P 作a ，b 的平行线求解．【详解】解：（1）如图，作CP //a ，∵a //b ，CP //a ，∴CP //a //b ，∴∠AOG =∠ACP =56°，∠BCP +∠CEF =180°，∴∠BCP =180°-∠CEF ，∵∠ACP +∠BCP =90°，∴∠AOG +180°-∠CEF =90°，∴∠CEF =180°-90°+∠AOG =146°．（2）∠AOG +∠NEF =90°.理由如下：如图，作CP //a ，则CP //a //b ，∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，∵∠NEF+∠CEF=180°，∴∠BCP=∠NEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+∠NEF=90°．（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，∴∠GOP=135°-∠POQ，∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．10．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m，n，l（即始终满足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”为主题开展数学活动．操作发现（1）如图1，展翅组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B重合，边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；结论应用（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．【答案】（1）75°；（2）见解析；（3）∠2＝3∠3【分析】（1）利用三角板的度数，求出∠DBC的度数，再利用平行线的性质得到∠BDN的度数，由此得到∠1的度数；（2）过B点作BG∥直线m，利用平行线的性质可得到∠3＝DBG和∠LAB＝∠ABG，再利用等量代换得到∠3+∠LAB＝75°，利用余角性质得到∠LAB＝90°-∠2，由此证明结论；（3）结论：∠2＝3∠3．利用（2）中结论，结合平行线的性质得到∠2和∠3的度数由此证明结论．【详解】（1）∵直线n∥直线l，∴∠DBC＝∠BDN，又∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣30°＝15°，∴∠BDN＝15°，∴∠1＝90°﹣15°＝75°．（2）如图所示，过B点作BG∥直线m，∵BG∥m，l∥m，∴BG∥l（平行于同一直线的两直线互相平行），∵BG∥m，∴∠3＝DBG，又∵BG∥l，∴∠LAB＝∠ABG，∴∠3+∠LAB＝∠DBA＝30°+45°＝75°，又∵∠2和∠LAB互为余角，∴∠LAB＝90°﹣∠2，∴∠3+90°﹣∠2＝75°，∴∠2﹣∠3＝15°．（3）结论：∠2＝3∠3．理由：在（2）的条件下，∠2﹣∠3＝15°，又∵CN平分∠BCA，∴∠BCN＝∠CAN＝22.5°，又∵直线n∥直线l，∴∠2＝22.5°，∴∠3＝7.5°，∴∠2＝3∠3．【点睛】考查平行线的性质并结合了三角板中的特殊角度，学生需要作辅助线利用平行线的传递性将特殊的角的关系联系起来，熟悉掌握平行线之间角的关系是解题的关键．11．已知，直线AB与直线CD平行，在这两条直线的内侧有一点E，连接BE、ED，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F．（1）如图1：当点E在直线BD的左侧时，补全图形并且直接写出∠BFD与∠E的关系．（思路提示：过点E、点F分别做出AB或CD的平行线，通过∠ABE和∠CDE即可建立∠BFD与∠E的关系）（2）当点E在直线BD的右侧时，在图2中补全图形，请问：（1）中的结论是否发生变化，如果变化了请写出变化后的结论，并说明理由．【答案】（1）∠BED＝2∠BFD，理由见解析（2）2∠BFD＋∠BED＝360°，理由见解析【分析】（1）过点E、点F分别作AB∥FG、AB∥HE，依据平行线的性质，即可得到∠E＝∠ABE ＋∠CDE，∠F＝∠ABF＋∠CDF，依据角平分线的定义，即可得到∠BED＝2∠BFD；（2）过点E、点F分别作AB∥FG、AB∥HE，依据平行线的性质，即可得到∠BFG＝∠ABF，∠ABE ＋∠HEB＝180°，∠DFG＝∠FGC、∠CDE＋∠HED＝180°，依据角平分线的定义，即可得到2∠BFD ＋∠BED＝360°．【详解】（1）补全图形如图所示，∠BED＝2∠BFD过点E、点F分别作AB∥FG、AB∥HE，∴AB∥FG∥CD，AB∥HE∥CD，∴∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠HED，∠ABF=∠BFG, ∠CDF=∠DFG∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE，∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，又∵∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F．∴∠ABE=2∠ ABF，∠CDE =2∠ CDF，∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE =2∠ ABF+2∠ CDF=2（∠ABF＋∠CDF）=2∠BFD；故结论∠BED＝2∠BFD；（1）如图1，求证：12∠=∠；∠∠∠这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，猜想1,3,4【分析】（1）如下图，延长AC ，DE 相交于点G ，利用∠G 作为过渡角可证；（2）如下图，作//CP AB ，可得//CP DE ，推导得出118034∠+°=∠+∠；（3）如下图，过Q 作1//AD l ∠，利用平行可得出70x y +=°，再利用////QR AB DE 得到22110x y z +-=°，从而得出z 的值．【详解】（1）延长,AC DE 相交于点G ．∵//AB DE ，//AC DF∴1G ∠=∠，2G∠=∠∴12∠=∠．（2）作//CP AB ，则//CP DE∵//CP AB ，//CP DE ．∴1ACP ∠=∠，4180ECP ∠+∠=°∴11804ACP ECP ∠+°=∠+∠+∠即118034∠+°=∠+∠．（3）过Q 作1//ADl ∠则5D ∠=．6y∠=∵56110180∠+∠+°=°∴110180x y ++°=°即70x y +=°旁证：过Q 作//QR AB ，则//QR DE ．设DAQ x ∠=，APQ y ∠=，2z ∠=．则2BAQ x ∠=，2FDQ y ∠=，1z ∠=．∵////QR AB DE∴2AQR BAQ x ∠=∠=，2EDQ DQR y z ∠=∠=-．∴22110x y z +-=°又∵70x y +=°∴22140x y +=°∵(2)(22)30x y x y z z +-+-==°∴230∠=°【点睛】本题考查角度的推导，第（3）问的解题关键是通过方程思想和整体思想，计算得出∠2的大小．13．问题情境：我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．已知三角板ABC 中，60,30,90BAC B C ∠=∠=°∠=°°，长方形DEFG 中，DE GF P ．问题初探：（1）如图（1），若将三角板ABC 的顶点A 放在长方形的边GF 上，BC 与DE 相交于点M ，AB DE ^于点N ，求EMC ∠的度数．分析：过点C 作CH GF ∥，则有CH DE ∥，从而得,CAF HCA EMC MCH ∠=∠∠=∠，从而可以求得EMC ∠的度数．由分析得，请你直接写出：CAF ∠的度数为____________，EMC ∠的度数为___________．类比再探：（2）若将三角板ABC 按图（2）所示方式摆放（AB 与DE 不垂直），请你猜想写出CAF ∠与EMC ∠的数量关系，并说明理由．【答案】（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由见解析【分析】（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC 求出∠CAF 度数，求∠EMC 度数转化到∠MCH 度数；（2）过点C 作CH ∥GF ，得到CH ∥DE ，∠CAF 与∠EMC 转化到∠ACH 和∠MCH 中，从而发现∠CAF 、∠EMC 与∠ACB 的数量关系．【详解】（1）过点C 作CH ∥GF ，则有CH ∥DE ，所以∠CAF=∠HCA ，∠EMC=∠MCH ，∵∠BAF=90°，∴∠CAF=90°-60°=30°．∠MCH=90°-∠HCA=60°，∴∠EMC=60°．故答案为30°，60°．（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：过点C 作CH ∥GF ，则∠CAF=∠ACH ．∵DE ∥GF ，CH ∥GF ，∴CH ∥DE ．∴∠EMC=∠HCM ．∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．系．【答案】（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由见解析；（3）∠APC=β-α．【分析】（1）过P作PE∥AB，先推出PE∥AB∥CD，再通过平行线性质可求出∠APC；（2）过P作PE∥AB交AC于E，先推出AB∥PE∥DC，然后根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；（3）过点P作PE∥AB交OA于点E，同（2）中方法根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=128°，∠PCD=124°，∴∠APE=52°，∠CPE=56°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=108°；（2）∠APC=α+β．理由如下：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；（3）∠APC=β-α．理由如下：过点P作PE∥AB交OA于点E，同（2）可得，α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题．。

【数学】人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线压轴题专项练习

人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线压轴题专项练习人教版七下第五章相交线与平行线单元能力提升卷压轴题专项培优1.（1）如图1，a∥b，则∠1+∠2=（2）如图2，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3= ，并说明理由;（3）如图3，a∥b，则∠1+∠2+∠3+∠4=（4）如图4，a∥b，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= （直接写出你的结论，无需说明理由）2.探究：如图，已知直线l∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和点D，直线l3有一点P1（1）若点P在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生，并说明理由．（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD 之间的关系又是如何？并说明理由．3.（1）已知：如图1，直线AC∥BD，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）如图2，如果点P在AC与BD之内，线段AB的左侧，其它条件不变，那么会有什么结果？并加以证明；（3）如图3，如果点P在AC与BD之外，其他条件不变，你发现的结果是_______（只写结果，不要证明）．4.如图,已知AB∥CD,C在D的右侧,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在直线交于点E,∠ADC=70°．（1）求∠EDC的度数；（2）若∠ABC =n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED 的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由．5.如图（1），E是直线AB，CD内部一点，AB//CD,连接EA,ED.(1)探究猜想:①若∠A=300, ∠D=400，则∠AED等于多少度?②若∠A=200，∠D=600,则∠AED等于多少度?③猜想图(1)中∠AED, ∠EAB, ∠EDC的关系，并证明你的结论.（2）拓展应用:如图(2),射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界，其中区域③④位于直线AB上方），P是位于以上四个区域中的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系(不要求证明).6.如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC =70°．（1）求∠EDC的度数；（2）若∠ABC =n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由．7.已知AB∥CD.如图1,你能得出∠A＋∠E＋∠C=360°吗？如图2,猜想出∠A、∠C、∠E的关系式并说明理由.如图3,∠A、∠C、∠E的关系式又是什么?8.如图，已知AM∥BN，∠A=60°.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D.（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律.（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是 .9.如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF.（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA 度数；若不存在，说明理由.10.已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B.（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE 平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数.11.已知BC∥OA,∠B=∠A=100°.试回答下列问题：（1）如图1所示,求证：OB∥AC；（2）如图2,若点E、F在BC上,且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF.试求∠EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值。

难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析)

难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析)1．如图，//AD BC ，D ABC ∠=∠，点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ．点F 是边AB 上一点．使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ∠=︒，则BEG ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒2．如图，已知//AB CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ，第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ，第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，⋯，第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ．若1n E ∠=度，那BEC ∠等于度3．如图，//AB CD ，CF 平分DCG ∠，GE 平分CGB ∠交FC 的延长线于点E ，若34E ∠=︒，则B ∠的度数为．4．如图，直线//a b ，A 是直线a 上一点，D 、E 分别是直线b 上的点，C 是AE 上一点，80ACD ∠=︒，//EG CD 交AD 于G ，F 是GE 上一点使FGC FCG ∠=∠，作CB 平分ACF ∠，则BCG ∠= ．5．如图，已知//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点A 、C ，CH 平分ACD ∠，点G 为CD 上一点，连接HA 、HG ，HC 平分AHG ∠，若42AHG ∠=︒，180HGD EAB ∠+∠=︒，则ACD ∠的度数是 ︒．6．如图，直线//MN PQ ，点A 在直线MN 与PQ 之间，点B 在直线MN 上，连结AB ．ABM ∠的平分线BC 交PQ 于点C ，连结AC ，过点A 作AD PQ ⊥交PQ 于点D ，作A F A B⊥交PQ于点F ，AE 平分DAF ∠交PQ 于点E ，若45CAE ∠=︒，52ACB DAE ∠=∠，则ACD ∠的度数是．7．探究：如图①，////AB CD EF ，试说明BCF B F ∠=∠+∠．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由．解：//AB CD ，（已知） 1B ∴∠=∠．( )同理可证，2F ∠=∠．12BCF ∠=∠+∠， BCF B F ∴∠=∠+∠．( )应用：如图②，//AB CD ，点F 在AB 、CD 之间，FE 与AB 交于点M ，FG 与CD 交于点N ．若115EFG ∠=︒，55EMB ∠=︒，则DNG ∠的大小为度．拓展：如图③，直线CD 在直线AB 、EF 之间，且////AB CD EF ，点G 、H 分别在直线AB 、EF 上，点Q 是直线CD 上的一个动点，且不在直线GH 上，连结QG 、QH ．若70GQH ∠=︒，则AGQ EHQ ∠+∠= 度．8．综合与探究如图，已知//AM BN ，60A ∠=︒，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合）．BC ，BD 别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点C ，D ．（1）求ABN ∠、CBD ∠的度数；根据下列求解过程填空．解：//AM BN ，180ABN A ∴∠+∠=︒60A ∠=︒， ABN ∴∠= ， 120ABP PBN ∴∠+∠=︒，BC 平分ABP ∠，BD 平分PBN ∠， 2ABP CBP ∴∠=∠、PBN ∠= ，( )22120CBP DBP ∴∠+∠=︒， CBD CBP DBP ∴∠=∠+∠= ．（2）当点P 运动时，APB ∠与ADB ∠之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P 运动到使ACB ABD ∠=∠时，直接写出ABC ∠的度数．9．已知直线12//l l ，直线3l 与1l 、2l 分别交于C 、D 两点，点P 是直线3l 上的一动点，如图①，若动点P 在线段CD 之间运动（不与C 、D 两点重合），问在点P 的运动过程中是否始终具有312∠+∠=∠这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P 在线段CD 之外且在CD 的上方运动（不与C 、D 两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．10．课上教师呈现一个问题：已知：如图1，//AB CD ，EF AB ⊥于点O ，FG 交CD 于点P ，当130∠=︒时，求EFG ∠的度数．甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：甲同学辅助线的做法和分析思路如下：辅助线：过点F 作//MN CD ．分析思路：①欲求EFG ∠的度数，由图可知只需转化为求2∠和3∠的度数之和； ②由辅助线作图可知，21∠=∠，从而由已知1∠的度数可得2∠的度数； ③由//AB CD ，//MN CD 推出//AB MN ，由此可推出34∠=∠； ④由已知EF AB ⊥，可得490∠=︒，所以可得3∠的度数； ⑤从而可求EFG ∠的度数．（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路．辅助线：分析思路：（2）请你根据丙同学所画的图形，求EFG ∠的度数． 11．已知，//AB CD ，点E 为射线FG 上一点．（1）如图1，若30EAF ∠=︒，40EDG ∠=︒，则AED ∠= ︒；（2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，此时CD 与AE 交于点H ，则AED ∠、EAF ∠、EDG ∠之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI 平分EDC ∠，交AE 于点K ，交AI 于点I ，且:1:2EAI BAI ∠∠=，22AED ∠=︒，20I ∠=︒，求EKD ∠的度数．12．已知，直线//AB DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当60BAP ∠=︒，20DCP ∠=︒时，求APC ∠．（2）如图2，点P 在直线AB 、CD 之间，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，写出AKC ∠与APC ∠之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 外，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，AKC ∠与APC ∠有何数量关系？并说明理由．13．如图，已知：EF AC ⊥，垂足为点F ，DM AC ⊥，垂足为点M ，DM 的延长线交AB 于点B ，且1C ∠=∠，点N 在AD 上，且23∠=∠，试说明//AB MN ．14．（1）如图①，90CEF ∠=︒，点B 在射线EF 上，//AB CD ，若130ABE ∠=︒，求C ∠的度数；（2）如图②，把“90CEF ∠=︒”改为“120CEF ∠=︒”，点B 在射线EF 上，//AB CD ．猜想ABE ∠与C ∠的数量关系，并说明理由．15．如图1，已知//AB CD ，30B ∠=︒，120D ∠=︒；（1）若60E ∠=︒，则F ∠= ；（2）请探索E ∠与F ∠之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数．16．已知直线12//l l ，直线3l 和直线1l 、2l 交于点C 和D ，点P 是直线3l 上一动点（1）如图1，当点P 在线段CD 上运动时，PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．（2）当点P 在C 、D 两点的外侧运动时(P 点与点C 、D 不重合，如图2和图3)，上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的数量关系，不必写理由．17．（1）如图（1），已知任意三角形ABC ，过点C 作//DE AB ，求证：DCA A ∠=∠；（2）如图（1），求证：三角形ABC 的三个内角（即A ∠、B ∠、)ACB ∠之和等于180︒；（3）如图（2），求证：AGF AEF F ∠=∠+∠；（4）如图（3），//AB CD ，119CDE ∠=︒，GF 交DEB ∠的平分线EF 于点F ，150AGF ∠=︒，求F ∠．18．如图，已知直线12//l l ，且3l 和1l ，2l 分别交于A ，B 两点，4l 和1l ，2l 相交于C ，D 两点，点P 在直线AB 上，（1）当点P 在A ，B 两点间运动时，问1∠，2∠，3∠之间的关系是否发生变化？并说明理由；（2）如果点P 在A ，B 两点外侧运动时，试探究ACP ∠，BDP ∠，CPD ∠之间的关系，并说明理由．19．已知直线//AB CD ，（1）如图1，点E 在直线BD 上的左侧，直接写出ABE ∠，CDE ∠和BED ∠之间的数量关系是．（2）如图2，点E 在直线BD 的左侧，BF ，DF 分别平分ABE ∠，CDE ∠，直接写出BFD ∠和BED ∠的数量关系是．（3）如图3，点E 在直线BD 的右侧BF ，DF 仍平分ABE ∠，CDE ∠，那么BFD ∠和BED ∠有怎样的数量关系？请说明理由．20．（1）如图1，//a b ，则12∠+∠=（2）如图2，//AB CD ，则123∠+∠+∠= ，并说明理由（3）如图3，//a b ，则1234∠+∠+∠+∠=（4）如图4，//a b ，根据以上结论，试探究1234n ∠+∠+∠+∠+⋯+∠= （直接写出你的结论，无需说明理由）21．问题情境：（1）如图1，//AB CD ，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒．求APC ∠度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P 作//PE AB ，请你接着完成解答问题迁移：（2）如图3，//AD BC ，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A 、B 两点之间运动时，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．试判断CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？（提示：过点P 作//)PE AD ，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你猜想CPD ∠、α∠、β∠之间的数量关系．22．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，点E 在BC 上．点G 在CA 的延长线上，EG 交AB 于点F ，AFG G ∠=∠，求证：//GE AD ．23．如图1，//AB CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，点G 在CD 上，点P 在直线EF 左侧、且在直线AB 和CD 之间，连接PE 、PG ．（1）求证：EPG AEP PGC ∠=∠+∠；（2）连接EG ，若EG 平分PEF ∠，110AEP PGE ∠+∠=︒，12PGC EFC ∠=∠，求AEP ∠的度数；（3）如图2，若EF 平分PEB ∠，PGC ∠的平分线所在的直线与EF 相交于点H ，则EPG ∠与EHG ∠之间的数量关系为．24．已知E 、D 分别在AOB ∠的边OA 、OB 上，C 为平面内一点，DE 、DF 分别是CDO ∠、CDB ∠的平分线．（1）如图1，若点C 在OA 上，且//FD AO ，求证：DE AO ⊥；（2）如图2，若点C 在AOB ∠的内部，且DEO DEC ∠=∠，请猜想DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系，并证明；（3）若点C 在AOB ∠的外部，且DEO DEC ∠=∠，请根据图3、图4分别写出DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系（不需证明）．25．如图 1 ，//MN PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上，过点B 作BG AD ⊥，垂足为点G ．（1）求证：90MAG PBG ∠+∠=︒；（2）若点C 在线段AD 上（不与A 、D 、G 重合），连接BC ，MAG ∠和PBC ∠的平分线交于点H ，请在图 2 中补全图形，猜想并证明CBG ∠与AHB ∠的数量关系；（3）若直线AD 的位置如图 3 所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出CBG ∠与AHB ∠的数量关系．26．已知：如图，点C 在AOB ∠的一边OA 上，过点C 的直线//DE OB ，CF 平分ACD ∠，CG CF ⊥于点C ．（1）若40O ∠=︒，求ECF ∠的度数；（2）求证：CG 平分OCD ∠．27．完成下面的证明．已知：如图，//BC DE ，BE 、DF 分别是ABC ∠、ADE ∠的平分线．求证：12∠=∠．证明：//BC DE ，(ABC ADE ∴∠=∠ )．BE 、DF 分别是ABC ∠、ADE ∠的平分线．132ABC ∴∠=∠，142ADE ∠=∠．34∴∠=∠．∴ // ( )．12(∴∠=∠ )．28．将一副三角板中的两根直角顶点C 叠放在一起（如图①)，其中30A ∠=︒，60B ∠=︒，45D E ∠=∠=︒．（1）若150BCD ∠=︒，求ACE ∠的度数；（2）试猜想BCD ∠与ACE ∠的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板ABC 不动，绕顶点C 转动三角板DCE ，试探究BCD ∠等于多少度时，//CD AB ，并简要说明理由．29．如图，已知AD BC ⊥，EF BC ⊥，12∠=∠．求证：//DG BA ．30．如图，已知12180∠+∠=︒，3B ∠=∠，试判断AED ∠与ACB ∠的大小关系，并说明理由．31．如图，已知//AB CD ，点E 在AC 的右侧，BAE ∠，DCE ∠的平分线相交于点F ．探索AEC ∠与AFC ∠之间的等量关系，并证明你的结论．32．已知：如图，12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠．求证：//ED FB ．33．操作探究：如图，对折长方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上（设落地为)N ，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，连接BN 、MN ，请你猜想MBN ∠的度数是多少，并证明你的结论．34．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是/a ︒秒，灯B 转动的速度是/b ︒秒，且a 、b 满足2|3|(4)0a b a b -++-=．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即//PQ MN ，且45BAN ∠=︒（1）求a 、b 的值；（2）若灯B 射线先转动20秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，BAC ∠与BCD ∠的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．35．已知：射线//OP AE（1）如图1，AOP ∠的角平分线交射线AE 与点B ，若58BOP ∠=︒，求A ∠的度数．（2）如图2，若点C 在射线AE 上，OB 平分AOC ∠交AE 于点B ，OD 平分COP ∠交AE 于点D ，39ADO ∠=︒，求ABO AOB ∠-∠的度数．（3）如图3，若A m ∠=，依次作出AOP ∠的角平分线OB ，BOP ∠的角平分线1OB ，1B OP∠的角平分线2OB ，1n B OP -∠的角平分线n OB ，其中点B ，1B ，2B ，⋯，1n B -，n B 都在射线AE 上，试求n AB O ∠的度数．36．请把下列证明过程补充完整．已知：如图，B ，C ，E 三点在同一直线上，A ，F ，E 三点在同一直线上，12E ∠=∠=∠，34∠=∠．求证：//AB CD证明：2E ∠=∠（已知）∴ //(BC )3∴∠=∠ ( )34∠=∠（已知）4∴∠=∠ ( )12∠=∠（已知）12CAF CAF ∴∠+∠=∠+∠即BAF ∠=∠4∴∠=∠ （等量代换）∴ ( )37．如图所示，已知//AB CD ，分别探索下列四个图形中P ∠与A ∠，C ∠的关系．要求：（1）、（3）直接写出结论，（2）、（4）写出结论并说明理由．结论：（1）；（2）；（3）；（4）．证明：（2）（4）38．如图，已知直线12//l l ，直线3l 和直线1l 、2l 交于点C 和D 、A 、B 两点分别在1l 和2l 上，直线3l 上有一动点P（1）如果P 点在C 、D 之间运动时，猜测PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间有什么关系，证明你的结论（2）若点P 在DC 的延长线上运动时，PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系为（3）在（2）的条件下，PAC ∠和PBD ∠的角平分线相交于点Q ，探索APB ∠和AQB ∠的关系，并证明．39．已知如图，90COD ∠=︒，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，射线OE 与射线AF 交于点G ．（1）若OE 平分BOA ∠，AF 平分BAD ∠，42OBA ∠=︒，则OGA ∠= ；（2）若13GOA BOA ∠=∠，13GAD BAD ∠=∠，42OBA ∠=︒，则OGA ∠= ；（3）将（2）中的“42OBA ∠=︒”改为“OBA α∠=”，其它条件不变，求OGA ∠的度数．（用含α的代数式表示）（4）若OE 将BOA ∠分成1:2两部分，AF 平分BAD ∠，(3090)ABO αα∠=︒<<︒，求OGA ∠的度数．（用含α的代数式表示）40．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即//PQ MN，且∠∠=．BAM BAN:2:1（1）填空：BAN∠=︒；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠与BCD∠=︒，则在转动过程中，请探究BAC∠的数量∠交PQ于点D，且120ACDACD关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．41．如图，BG平分CBDCBD∠=︒，EF BG交AC于点F，100∠，E为BC的延长线上一点，//∠=︒，求EFC∠的度数．A2542．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中30∠=OCD∠=︒，45ONM（1）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使30∠=︒，如图②，MN与BON∠的度数；CD相交于点E，求CEN（2）将图①中的三角尺OMN 绕点O 按每秒15︒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边MN 恰好与边CD 平行；在第秒时，直线MN 恰好与直线CD 垂直．（直接写出结果） 43．我们知道同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）观察与思考：如图1，若//AB CD ，点P 在AB 、CD 内部，BPD ∠、B ∠、D ∠之间的数量关系为，不必说明理由；（2）猜想与证明：如图2，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ，利用（1）中的结论（可以直接套用）求BPD ∠、B ∠、D ∠、BQD ∠之间有何数量关系？并证明你的结论；（3）拓展与应用：如图3，设BF 交AC 于点M ，AE 交DF 于点N ，已知140AMB ∠=︒，105ANF ∠=︒．利用（2）中的结论直接写出B E F ∠+∠+∠的度数为度，A ∠比F ∠大度．44．已知：直线//a b ，点A ，B 分别是a ，b 上的点，APB 是a ，b 之间的一条折弦，且90APB ∠<︒，Q 是a ，b 之间且在折线APB 左侧的一点，如图．（1）若133∠=︒，74APB ∠=︒，则2∠= 度．（2）若Q ∠的一边与PA 平行，另一边与PB 平行，请探究Q ∠，1∠，2间满足的数量关系并说明理由．（3）若Q ∠的一边与PA 垂直，另一边与PB 平行，请直接写出Q ∠，1∠，2之间满足的数量关系．45．直线MN 与直线PQ 相交于O ，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动．（1）如图1，若80AOB ∠=︒，已知AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，若80AOB ∠=︒，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，AD 、BC 的延长线交于点F ，点A 、B 在运动的过程中，F ∠= ；DE 、CE 又分别是ADC ∠和BCD ∠的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，CED ∠的大小也不发生变化，其大小为：CED ∠= ．（3）如图3，若90AOB ∠=︒，延长BA 至G ，已知BAO ∠、OAG ∠的角平分线与BOQ ∠的角平分线及其延长线相交于E 、F ，则EAF ∠= ；（4）如图3，若AF ，AE 分别是GAO ∠，BAO ∠的角平分线，90AOB ∠=︒，在AEF ∆中，如果有一个角是另一个角的4倍，则ABO ∠的度数= ．46．在学习“相交线与平行线”一章时，课本中有一道关于潜望镜的拓广探索题，老师倡议班上同学分组开展相关的实践活动．小钰所在组上网查阅资料，制作了相关PPT 介绍给同学（图1、图2)；小宁所在组制作了如图所示的潜望镜模型并且观察成功（图3)．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．（1）图4中，AB，CD代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证AB与CD平行，入射光线与反射光线满足12∠=∠，34∠=∠，这样离开潜望镜的光线MN就与进入潜望镜的光线EF平行，即//MN EF．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由）．//AB CD（已知），2∴∠=∠()．12∠=∠，34∠=∠（已知），1234(∴∠=∠=∠=∠)．（2）在之后的实践活动总结中，老师进一步布置了一个任务：利用图5中的原理可以制作一个新的装置进行观察，那么在图5中方框位置观察到的物体“影像”的示意图为．A．B．C．D．47．已知，////AB CD EF，且CB平分ABF∠，CF平分BEF∠，请说明BC CF⊥的理由．解：//AB E（已知）∴∠+∠=．CB平分ABF∠（已知）1 12ABF∴∠=∠同理，142BEF ∠=∠114()2ABF BEF ∴∠+∠=∠+∠= ．又//AB CD （已知）12∴∠=∠同理，34∠=∠1423∴∠+∠=∠+∠2390∴∠+∠=︒（等量代换）即90BCF ∠=︒BC CF ∴⊥ ．48．如图，已知40ABC ∠=︒，射线DE 与AB 相交于点O ，且//DE BC ．解答以下问题：（注EDF ∠为小于180︒的角）（1）画EDF ∠，使DF ∠的另一边//DF AB ．请在如图①和图②中画出符合题意的图形，并求EDF ∠的度数．（2）如果EDF ∠的顶点D 在ABC ∠的内部，边//DE BC ，另一边//DF AB ．请在如图③和图④中画出相应的图形，并使用量角器分别测量出ABC ∠与EDF ∠的度数后，直接写出ABC ∠与EDF ∠的关系，不必说明理由．（3）如果EDF ∠的顶点D 在ABC ∠的内部，边DF BC ⊥，请在如图⑤中画出相应的图形，并使用量角器分别测量出ABC ∠与EDF ∠的度数后，直接写出ABC ∠与EDF ∠的关系，不必说明理由．49．如图（1），四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是线段CD 上一点，（1）说明：AEB DAE CBE ∠=∠+∠；（2）如图（2），当AE 平分DAC ∠，ABC BAC ∠=∠． ①说明：90ABE AEB ∠+∠=︒；②如图（3）若ACD ∠的平分线与BA 的延长线交于点F ，且60F ∠=︒，求BCD ∠．50．如图，已知射线//CD AB ，110C ABD ∠=∠=︒，E ，F 在CD 上，且满足EAD EDA ∠=∠，AF 平分CAE ∠．（1）求FAD ∠的度数；（2）若向右平行移动BD ，其它条件不变，那么:ADC AEC ∠∠的值是否发生变化？若变化，找出其中规律；若不变，求出这个比值；（3）在向右平行移动BD 的过程中，是否存在某种情况，使AFC ADB ∠=∠？若存在，请求出ADB ∠度数；若不存在，说明理由．难点突破“相交线与平行线(提高)”压轴题50道(含详细解析)参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．如图，//AD BC ，D ABC ∠=∠，点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ．点F 是边AB 上一点．使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ∠=︒，则BEG ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【解答】解：设FBE FEB α=∠=，则2AFE α∠=，FEH ∠的角平分线为EG ，设GEH GEF β∠=∠=， //AD BC ，180ABC BAD ∴∠+∠=︒，而D ABC ∠=∠，180D BAD ∴∠+∠=︒，//AB CD ∴，100DEH ∠=︒，则100CEG FAE ∠=∠=︒，1801802AEF AED BEG β∠=︒-∠-∠=︒-，在AEF ∆中，10021802180αβ︒++︒-=︒，故40βα-=︒，而40BEG FEG FEB βα∠=∠-∠=-=︒，故选：B ．二．填空题（共5小题）2．如图，已知//AB CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ，第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ，第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，⋯，第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ．若1n E ∠=度，那BEC ∠等于 2n 度【解答】解：如图①，过E 作//EF AB ，//AB CD ， ////AB EF CD ∴，1B ∴∠=∠，2C ∠=∠， 12BEC ∠=∠+∠， BEC ABE DCE ∴∠=∠+∠；如图②，ABE ∠和DCE ∠的平分线交点为1E ，111111222CE B ABE DCE ABE DCE BEC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠．1ABE ∠和1DCE ∠的平分线交点为2E ，22211111112224BE C ABE DCE ABE DCE CE B BEC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠；如图②，2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，33322211112228BE C ABE DCE ABE DCE CE B BEC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠；⋯以此类推，12n nE BEC ∠=∠． ∴当1n E ∠=度时，BEC ∠等于2n 度．故答案为：2n ．3．如图，//AB CD ，CF 平分DCG ∠，GE 平分CGB ∠交FC 的延长线于点E ，若34E ∠=︒，则B ∠的度数为 68︒ ．【解答】解：如图，延长DC 交BG 于M ．由题意可以假设CDF GCF x ∠=∠=，CGE MGE y ∠=∠=．则有22x y GMC x y E =+∠⎧⎨=+∠⎩①②，①-②2⨯可得：2GMC E ∠=∠，34E ∠=︒， 68GMC ∴∠=︒， //AB CD ， 68GMC B ∴∠=∠=︒，故答案为68︒．4．如图，直线//a b ，A 是直线a 上一点，D 、E 分别是直线b 上的点，C 是AE 上一点，80ACD ∠=︒，//EG CD 交AD 于G ，F 是GE 上一点使FGC FCG ∠=∠，作CB 平分ACF ∠，则BCG ∠= 40︒ ．【解答】解：设BCD y ∠=，FGC FCG x ∠=∠=，//CD EG ，DCG FGC x ∴∠=∠=， CB 平分ACF ∠， ACB BCF ∴∠=∠，80y x y x ∴︒-=++， 2280x y ∴+=︒， 40x y ∴+=︒， 40BCG x y ∴∠=+=︒，故答案为40︒5．如图，已知//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点A 、C ，CH 平分ACD ∠，点G 为CD 上一点，连接HA 、HG ，HC 平分AHG ∠，若42AHG ∠=︒，180HGD EAB ∠+∠=︒，则ACD ∠的度数是 106 ︒．【解答】解：HC 平分AHG ∠，且42AHG ∠=︒，21CHG ∴∠=︒， HC 平分ACG ∠，12HCG ACG ∴∠=∠，180CAB EAB ∠+∠=︒，180HGD EAB ∠+∠=︒， BAC HGD ∴∠=∠，//AB CD ，180BAC ACD ∴∠+∠=︒，设ACD α∠=，则1122MCG ACD α∠==，180BAC HGD α∠=∠=︒-， HGD ∠是CHG ∆的外角，HGD CHG HCG ∴∠=∠+∠，即1180212αα︒-=︒+，解得106α=︒，106ACD ∴∠=︒．故答案为：106︒．6．如图，直线//MN PQ ，点A 在直线MN 与PQ 之间，点B 在直线MN 上，连结AB ．ABM ∠的平分线BC 交PQ 于点C ，连结AC ，过点A 作AD PQ ⊥交PQ 于点D ，作A F A B⊥交PQ于点F ，AE 平分DAF ∠交PQ 于点E ，若45CAE ∠=︒，52ACB DAE ∠=∠，则ACD ∠的度数是 27︒ ．【解答】解：设DAE α∠=，则EAF α∠=，52ACB α∠=，AD PQ ⊥，AF AB ⊥，90BAF ADE ∴∠=∠=︒，90BAE BAF EAF α∴∠=∠+∠=︒+，90CEA ADE DAE α∠=∠+∠=︒+， BAE CEA ∴∠=∠，//MN PQ ，BC 平分ABM ∠，BCE CBM CBA ∴∠=∠=∠，又360ABC BCE CEA BAE ∠+∠+∠+∠=︒，180BCE CEA ∴∠+∠=︒， //AE BC ∴，ACB CAE ∴∠=∠，即5452α=︒，18α∴=︒， 18DAE ∴∠=︒，Rt ACD ∴∆中，9090(4518)27ACD CAD ∠=︒-∠=︒-︒+︒=︒，故答案为：27︒．三．解答题（共44小题）7．探究：如图①，////AB CD EF ，试说明BCF B F ∠=∠+∠．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由．解：//AB CD ，（已知） 1B ∴∠=∠．( 两直线平行内错角相等 )同理可证，2F ∠=∠．12BCF ∠=∠+∠， BCF B F ∴∠=∠+∠．( )应用：如图②，//AB CD ，点F 在AB 、CD 之间，FE 与AB 交于点M ，FG 与CD 交于点N ．若115EFG ∠=︒，55EMB ∠=︒，则DNG ∠的大小为度．拓展：如图③，直线CD 在直线AB 、EF 之间，且////AB CD EF ，点G 、H 分别在直线AB 、EF 上，点Q 是直线CD 上的一个动点，且不在直线GH 上，连结QG 、QH ．若70GQH ∠=︒，则AGQ EHQ ∠+∠= 度．【解答】解：探究：：//AB CD，∴∠=∠．（两直线平行内错角相等）B1同理可证，2∠=∠．F∠=∠+∠，BCF12∴∠=∠+∠．（等量代换）BCF B F故答案为：两直线平行，内错角相等，等量代换．应用：由探究可知：MFN AMF CNF∠=∠+∠，1155560∴∠=∠=︒-︒=︒．CNF DNG故答案为60．拓展：如图③中，当的Q在直线GH的右侧时，36070290∠+∠=︒-︒=︒，AGQ EHQ当点Q'在直线GH的左侧时，70∠'+∠'=∠'=︒．AGQ EHQ GQ H故答案为70或290．8．综合与探究如图，已知//∠=︒，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC，BDAAM BN，60别平分ABP∠，分别交射线AM于点C，D．∠和PBN（1）求ABN∠的度数；根据下列求解过程填空．∠、CBD解：//AM BN，∴∠+∠=︒180ABN A∠=︒，60AABN ∴∠= 120︒ ， 120ABP PBN ∴∠+∠=︒，BC 平分ABP ∠，BD 平分PBN ∠， 2ABP CBP ∴∠=∠、PBN ∠= ，( )22120CBP DBP ∴∠+∠=︒， CBD CBP DBP ∴∠=∠+∠= ．（2）当点P 运动时，APB ∠与ADB ∠之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P 运动到使ACB ABD ∠=∠时，直接写出ABC ∠的度数．【解答】解：（1）//AM BN ，180ABN A ∴∠+∠=︒， 60A ∠=︒， 120ABN ∴∠=︒120ABP PBN ∴∠+∠=︒，BC 平分ABP ∠，BD 平分PBN ∠，2ABP CBP ∴∠=∠、2PBN PBD ∠=∠，（角平分线的定义）， 22120CBP DBP ∴∠+∠=︒， 60CBD CBP DBP ∴∠=∠+∠=︒．故答案为120︒，2PBD ∠，角平分线的定义，60︒．（2）APB ∠与ADB ∠之间数量关系是：2APB ADB ∠=∠．不随点P 运动变化．理由是：//AM BN ，APB PBN ∴∠=∠，ADB DBN ∠=∠（两直线平行内错角相等）， BD 平分PBN ∠（已知）， 2PBN DBN ∴∠=∠（角平分线的定义）， 22APB PBN DBN ADB ∴∠=∠==∠=∠（等量代换），即2APB ADB ∠=∠．（3）结论：30ABC ∠=︒．理由：//AM BN ，ACB CBN ∴∠=∠，当ACB ABD ∠=∠时，则有CBN ABD ∠=∠，ABC CBD CBD DBN ∴∠+∠=∠+∠，ABC DBN ∴∠=∠，由（1）可知120ABN ∠=︒，60CBD ∠=︒，60ABC DBN ∴∠+∠=︒， 30ABC ∴∠=︒9．已知直线12//l l ，直线3l 与1l 、2l 分别交于C 、D 两点，点P 是直线3l 上的一动点，如图①，若动点P 在线段CD 之间运动（不与C 、D 两点重合），问在点P 的运动过程中是否始终具有312∠+∠=∠这一相等关系？试说明理由；如图②，当动点P 在线段CD 之外且在CD 的上方运动（不与C 、D 两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．【解答】解：（1）312∠+∠=∠成立，理由如下：如图①，过点P 作1//PE l ，1AEP ∴∠=∠，12//l l ， 2//PE l ∴，3BPE ∴∠=∠，2BPE APE ∠+∠=∠， 312∴∠+∠=∠；（2）312∠+∠=∠不成立，新的结论为312∠-∠=∠，理由为：如图②，过P 作1//PE l ，1APE ∴∠=∠，12//l l ，2//PE l ∴，3BPE ∴∠=∠，2BPE APE ∠-∠=∠，312∴∠-∠=∠．10．课上教师呈现一个问题：已知：如图1，//AB CD ，EF AB ⊥于点O ，FG 交CD 于点P ，当130∠=︒时，求EFG∠的度数．甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：甲同学辅助线的做法和分析思路如下：辅助线：过点F 作//MN CD ．分析思路：①欲求EFG ∠的度数，由图可知只需转化为求2∠和3∠的度数之和；②由辅助线作图可知，21∠=∠，从而由已知1∠的度数可得2∠的度数； ③由//AB CD ，//MN CD 推出//AB MN ，由此可推出34∠=∠；④由已知EF AB ⊥，可得490∠=︒，所以可得3∠的度数；⑤从而可求EFG ∠的度数．（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路．辅助线：过点P 作//PN EF 交AB 于点N分析思路：（2）请你根据丙同学所画的图形，求EFG ∠的度数．【解答】解：（1）辅助线：过点P 作//PN EF 交AB 于点N ．分析思路：①欲求EFG ∠的度数，由辅助线作图可知，EFG NPG ∠=∠，因此，只需转化为求NPG ∠的度数；②欲求NPG ∠的度数，由图可知只需转化为求1∠和2∠的度数和；③又已知1∠的度数，所以只需求出2∠的度数；④由已知EF AB ⊥，可得490∠=︒；⑤由//PN EF ，可推出34∠=∠；//AB CD 可推出23∠=∠，由此可推24∠=∠，所以可得2∠的度数；⑥从而可以求出EFG ∠的度数．（2）如图，过点O 作//ON FG ，//ON FG ，130EFG EON ONC ∴∠=∠∠=∠=︒，//AB CD ，30ONC BON ∴∠=∠=︒，EF AB ⊥，90EOB ∴∠=︒，9030120EFG EON EOB BON ∴∠=∠=∠+∠=︒+︒=︒．11．已知，//AB CD ，点E 为射线FG 上一点．（1）如图1，若30EAF ∠=︒，40EDG ∠=︒，则AED ∠= 70 ︒；（2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，此时CD 与AE 交于点H ，则AED ∠、EAF ∠、EDG ∠之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI 平分EDC ∠，交AE 于点K ，交AI 于点I ，且:1:2EAI BAI ∠∠=，22AED ∠=︒，20I ∠=︒，求EKD ∠的度数．【解答】解：（1）如图，延长DE 交AB 于H ，//AB CD ，40D AHE ∴∠=∠=︒，AED ∠是AEH ∆的外角，304070AED A AHE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：70；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠．理由：//AB CD ，EAF EHC ∴∠=∠，EHC ∠是DEH ∆的外角，EHG AED EDG ∴∠=∠+∠，EAF AED EDG ∴∠=∠+∠；（3）:1:2EAI BAI ∠∠=，∴设EAI α∠=，则3BAE α∠=，22AED ∠=︒，20I ∠=︒，DKE AKI ∠=∠，又180EDK DKE DEK ∠+∠+∠=︒，180KAI KIA AKI ∠+∠+∠=︒， 2EDK α∴∠=-︒， DI 平分EDC ∠，224CDE EDK α∴∠=∠=-︒，//AB CD ，EHC EAF AED EDG ∴∠=∠=∠+∠，即32224αα=︒+-︒，解得18α=︒，16EDK ∴∠=︒，∴在DKE ∆中，1801622142EKD ∠=︒-︒-︒=︒．12．已知，直线//AB DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当60BAP ∠=︒，20DCP ∠=︒时，求APC ∠．（2）如图2，点P 在直线AB 、CD 之间，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，写出AKC ∠与APC ∠之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 外，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，AKC ∠与APC ∠有何数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）如图1，过P 作//PE AB ，//AB CD ，////PE AB CD ∴，APE BAP ∴∠=∠，CPE DCP ∠=∠，602080APC APE CPE BAP DCP ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）12AKC APC ∠=∠．理由：如图2，过K 作//KE AB ，//AB CD ，////KE AB CD ∴，AKE BAK ∴∠=∠，CKE DCK ∠=∠，AKC AKE CKE BAK DCK ∴∠=∠+∠=∠+∠，过P 作//PF AB ，同理可得，APC BAP DCP ∠=∠+∠，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠， 12AKC APC ∴∠=∠；（3）12AKC APC ∠=∠．理由：如图3，过K 作//KE AB ，//AB CD ，////KE AB CD ∴，BAK AKE ∴∠=∠，DCK CKE ∠=∠，AKC AKE CKE BAK DCK ∴∠=∠-∠=∠-∠，过P 作//PF AB ，同理可得，APC BAP DCP ∠=∠-∠，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∴∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠， 12AKC APC ∴∠=∠．13．如图，已知：EF AC ⊥，垂足为点F ，DM AC ⊥，垂足为点M ，DM 的延长线交AB于点B ，且1C ∠=∠，点N 在AD 上，且23∠=∠，试说明//AB MN ．【解答】证明：EF AC ⊥，DM AC ⊥，90CFE CMD ∴∠=∠=︒（垂直定义）， //EF DM ∴（同位角相等，两直线平行）， 3CDM ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）， 32∠=∠（已知）， 2CDM ∴∠=∠（等量代换）， //MN CD ∴（内错角相等，两直线平行）， AMN C ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）， 1C ∠=∠（已知）， 1AMN ∴∠=∠（等量代换）， //AB MN ∴（内错角相等，两直线平行）．14．（1）如图①，90CEF ∠=︒，点B 在射线EF 上，//AB CD ，若130ABE ∠=︒，求C ∠的度数；（2）如图②，把“90CEF ∠=︒”改为“120CEF ∠=︒”，点B 在射线EF 上，//AB CD ．猜想ABE ∠与C ∠的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）如图①，过E 作//EK AB ，则1180ABE ∠+∠=︒， 118050ABE ∴∠=︒-∠=︒，90CEF ∠=︒，290140∴∠=︒-∠=︒，//AB CD ，//EK AB ，//EK CD ∴，240C ∴∠=∠=︒；（2）60ABE C ∠-∠=︒，理由：如图②，过E 作//EK AB ，则1180ABE ∠+∠=︒， 1180ABE ∴∠=︒-∠，//AB CD ，//EK AB ，//EK CD ∴，2C ∴∠=∠，12120CEF ∠=∠+∠=︒，即180120ABE C ︒-∠+∠=︒， 18012060ABE C ∴∠-∠=︒-︒=︒．15．如图1，已知//AB CD ，30B ∠=︒，120D ∠=︒；（1）若60E ∠=︒，则F ∠= 90︒ ；（2）请探索E ∠与F ∠之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数．【解答】解：（1）如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ， ////EM AB FN ∴，30B BEM ∴∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，又//AB CD ，//AB FN ，//CD FN ∴，180D DFN ∴∠+∠=︒，又120D ∠=︒，60DFN ∴∠=︒，30BEF MEF ∴∠=∠+︒，60EFD EFN ∠=∠+︒， 60EFD MEF ∴∠=∠+︒3090EFD BEF ∴∠=∠+︒=︒；故答案为：90︒；（2）如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ， ////EM AB FN ∴，30B BEM ∴∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，又//AB CD ，//AB FN ，//CD FN ∴，180D DFN ∴∠+∠=︒，又120D ∠=︒，60DFN ∴∠=︒，30BEF MEF ∴∠=∠+︒，60EFD EFN ∠=∠+︒， 60EFD MEF ∴∠=∠+︒，30EFD BEF ∴∠=∠+︒；（3）如图2，过点F 作//FH EP ，由（2）知，30EFD BEF ∠=∠+︒，设2BEF x ∠=︒，则(230)EFD x ∠=+︒， EP 平分BEF ∠，GF 平分EFD ∠，12PEF BEF x ∴∠=∠=︒，1(15)2EFG EFD x ∠=∠=+︒， //FH EP ，PEF EFH x ∴∠=∠=︒，P HFG ∠=∠，15HFG EFG EFH ∠=∠-∠=︒，15P ∴∠=︒．16．已知直线12//l l ，直线3l 和直线1l 、2l 交于点C 和D ，点P 是直线3l 上一动点（1）如图1，当点P 在线段CD 上运动时，PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．（2）当点P 在C 、D 两点的外侧运动时(P 点与点C 、D 不重合，如图2和图3)，上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的数量关系，不必写理由．【解答】解：（1）APB PAC PBD ∠=∠+∠，如图1，过点P 作1//PE l ，APE PAC ∴∠=∠，12//l l ，2//PE l ∴，BPE PBD ∴∠=∠，APE BPE PAC PBD ∴∠+∠=∠+∠， APB PAC PBD ∴∠=∠+∠；（2）不成立，如图2:PAC APB PBD ∠=∠+∠，理由：过点P 作1//PE l ，APE PAC ∴∠=∠，12//l l ，2//PE l ∴，BPE PBD ∴∠=∠，APB APE BPE PAC PBD ∠=∠-∠=∠-∠，PAC APB PBD ∴∠=∠+∠；如图3:PBD PAC APB ∠=∠+∠，理由：过点P 作1//PE l ，APE PAC ∴∠=∠，12//l l ，2//PE l ∴，BPE PBD ∴∠=∠，APB BPE APE PBD PAC =∠-∠=∠-∠，PBD PAC APB ∴∠=∠+∠．17．（1）如图（1），已知任意三角形ABC ，过点C 作//DE AB ，求证：DCA A ∠=∠；（2）如图（1），求证：三角形ABC 的三个内角（即A ∠、B ∠、)ACB ∠之和等于180︒；（3）如图（2），求证：AGF AEF F ∠=∠+∠；（4）如图（3），//AB CD ，119CDE ∠=︒，GF 交DEB ∠的平分线EF 于点F ，150AGF ∠=︒，求F ∠．【解答】证明：（1）//DE BC ，DCA A ∴∠=∠；（2）如图1所示，在ABC ∆中，//DE BC ，1B ∴∠=∠，2C ∠=∠（内错角相等）． 12180BCA ∠+∠+∠=︒，180A B C ∴∠+∠+∠=︒．即三角形的内角和为180︒；（3）180AGF FGE ∠+∠=︒，由（2）知，180GEF EG FGE ∠+∠+∠=︒，AGF AEF F ∴∠=∠+∠；（4）//AB CD ，119CDE ∠=︒，119DEB ∴∠=︒，61AED ∠=︒， GF 交DEB ∠的平分线EF 于点F ，59.5DEF ∴∠=︒，120.5AEF ∴∠=︒，150AGF ∠=︒，AGF AEF F ∠=∠+∠，150120.529.5F ∴∠=︒-︒=︒．18．如图，已知直线12//l l ，且3l 和1l ，2l 分别交于A ，B 两点，4l 和1l ，2l 相交于C ，D 两点，点P 在直线AB 上，（1）当点P 在A ，B 两点间运动时，问1∠，2∠，3∠之间的关系是否发生变化？并说明理由；（2）如果点P 在A ，B 两点外侧运动时，试探究ACP ∠，BDP ∠，CPD ∠之间的关系，并说明理由．【解答】证明：（1）如图1，过点P 作1//PQ l ，1//PQ l ，14∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）， 1//PQ l ，12//l l （已知），2//PQ l ∴（平行于同一条直线的两直线平行），52∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）， 345∠=∠+∠，312∴∠=∠+∠（等量代换）；（2）如图2，过P 点作//PF BD 交CD 于F 点，//AC BD ，//PF AC ∴，ACP CPF ∴∠=∠，BDP DPF ∠=∠，CPD DPF CPF BDP ACP ∴∠=∠-∠=∠-∠；同理，如图③，CPD ACP BDP ∠=∠-∠；。

特训02 相交线平行线压轴题(八大题型归纳)(解析版)

特训02相交线平行线压轴题（八大题型归纳）目录：题型1：添加辅助线构造平行题型2：角平分线在平行线中的应用题型3：动直线、动射线、动三角形的旋转问题及其应用题型4：动点问题题型5：一副三角板及其在平行线中的应用题型6：单个三角板在平行线中的应用题型7：折叠问题题型8：定值问题题型1：添加辅助线构造平行1．【阅读探究】（1）如图1，,,AB CD E F ∥分别是,AB CD 上的点，点M 在,AB CD 两平行线之间，50,20AEM CFM ∠=︒∠=︒，求EMF ∠的度数．解：过点M 作∥MN AB ，所以EMN ∠=∠______，因为AB CD ，所以MN CD ∥，所以FMN ∠=∠______，因为50,20AEM CFM ∠=︒∠=︒，所以502070EMF EMN FMN AEM CFM ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒．（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将AEM ∠和CFM Ð“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中,AEM EMF ∠∠和CFM Ð之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________．【方法应用】（3）如图2，,,AB CD E F ∥分别是,AB CD 上的点，点M 在,AB CD 两平行线之间，135,155AEM CFM ∠=︒∠=︒，求EMF ∠的度数．【应用拓展】（4）如图3，,,AB CD E F ∥分别是,AB CD 上的点，点M 在,AB CD 两平行线之间，作AEM ∠和CFM Ð的平分线,EP FP ，交于点P （交点P 在两平行线AB CD 、之间），若EMF α∠=︒，则EPF ∠的度数为________︒（用含α的式子表示）．∴EMN AEM ∠=∠，∵AB CD ，∴180AEM NME ∠+∠=︒，∵AB CD ，∴MN CD ∥，∴180CFM NMF ∠+∠=︒，∴AEM NME NMF CFM ∠+∠+∠+∠即360AEM EMF CFM ∠+∠+∠=︒∵135AEM ∠=︒，155CFM ∠=︒，∴36013515570EMF ∠=︒-︒-︒=︒．（4）∵EP 、FP 分别是AEM ∠和∴12AEP AEM ∠=∠，12CFP ∠=∠过点P 作PH AB ∥，如图3所示：∵AB CD ∥，∴PH CD ∥，∴EPH AEP ∠=∠，FPH CFP ∠=∠∴EPF EPH FPH AEP ∠=∠+∠=∠同理可得：360EMF AEM ∠=︒-∠∴360AEM CFM α∠+∠=︒-，∴()(1136022AEM CFM ∠+∠=⨯︒-∴11802EPF α=︒-∠．2．已知，直线AB DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．(1)如图1，点P 在直线AB ，CD 之间，当60BAP ∠=︒，20DCP ∠=︒时，求APC ∠的度数．(2)如图2，点P 在直线AB ，CD 之间，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，写出AKC ∠与APC ∠之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点P 落在CD 外．①直接写出APC ∠、BAP ∠、DCP ∠的数量关系为______．②BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，请直接写出AKC ∠与APC ∠的数量关系为______．AB CD∥，∴PE AB CD∥∥，∴APE BAP∠=∠，∠∴APC APE∠=∠+∠（2）解：12 AKC∠=如图2，过K作KE∥AB CD ∥ ，KE AB CD ∴∥∥，AKE BAK ∴∠=∠，CKE ∠AKC AKE CKE ∴∠=∠+∠=过P 作PF AB ∥，同理可得，APC BAP ∠=∠BAP ∠ 与DCP ∠的角平分线相交于点∴12BAK DCK BAP ∠+∠=∠∴12AKC APC ∠=∠；（3）解：①如图3，过P 作AB CD ∥ ，∴PF AB CD ∥∥，∴BAP APF ∠=∠，DCP CPF ∠=∠，∴APC APF CPF BAP ∠=∠-∠=∠-故答案为：APC BAP DCP ∠=∠-∠②如图3，过K 作KE AB ∥，AB CD ∥ ，KE AB CD ∴∥∥，BAK AKE ∴∠=∠，DCK CKE ∠=∠AKC AKE CKE BAK ∴∠=∠-∠=∠由①知，APC BAP DCP ∠=∠-∠，BAP ∠ 与DCP ∠的角平分线相交于点∴1122BAK DCK BAP DCP ∠-∠=∠-∠∴12AKC APC ∠=∠．3．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图，已知点A 是BC 外一点，连接AB 、AC ，求B BAC C ∠+∠+∠的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A 作ED BC ∥，所以B ∠=，C ∠=，又因为180EAB BAC DAC ∠+∠+∠=︒，所以180B BAC C ∠+∠+∠=︒．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将BAC ∠、B ∠、C ∠“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图1，已知AB CD ∥，求B BPD D ∠+∠+∠的度数；(3)深化拓展：已知直线AB CD ∥，点P 为平面内一点，连接PA 、PD ．①如图2，已知50A ∠=︒，140D ∠=︒，请直接写出APD ∠的度数；②如图3，请判断∠PAB 、CDP ∠、APD ∠之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)EAB ∠；DAC∠(2)360B BPD D ∠+∠+∠=︒(3)①90︒；②180PAB CDP APD ∠+∠-∠=︒，理由见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论；（2）过点P 作PF AB ∥，根据两直线平行同旁内角互补得出180D FPD ∠+∠=︒，180B FPB ∠+∠=︒，即可得到最后结论；（3）①APD ∠的度数为90︒，过点P 作PG AB ∥，根据平行线性质求得50APG ∠=︒，40GPD ∠=︒，即可求得APD ∠的度数；②180PAB CDP APD ∠+∠-∠=︒，过点P 作PF AB ∥，根据平行线性质得到CDP DPF ∠=∠，180PAB APE ∠+∠=︒，即可退出最后结论．【解析】（1）解：过点A 作ED BC ∥，B EAB ∠=∠，C DAC ∠=∠，又因为180EAB BAC DAC ∠+∠+∠=︒，所以180B BAC C ∠+∠+∠=︒；（2）解：如图，过点P 作PF AB ∥，AB CD ∥ ，PF CD ∴∥，180D FPD ∴∠+∠=︒，PF AB ∥ ，180B FPB ∴∠+∠=︒，360B FPB FPD D ∴∠+∠+∠+∠=︒，360B BPD D ∴∠+∠+∠=︒；（3）解：①APD ∠的度数为90︒；理由：过点P 作PG AB ∥，50A APG ∴∠=∠=︒，AB CD ∥ ，GP CD ∴∥，180GPD D ∴∠+∠=︒，140D ∠=︒ ，18014040GPD ∴∠=︒-︒=︒，504090APD APG GPD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；②180PAB CDP APD ∠+∠-∠=︒，理由：过点P 作PF AB ∥，AB CD ∥ ，PF CD ∴∥，CDP DPF ∴∠=∠，PF AB ∥ ，180PAB APE ∴∠+∠=︒，APF DPF APD ∠=∠-∠ ，180PAB DPF APD ∴∠+∠-∠=︒，180PAB CDP APD ∴∠+∠-∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推理．4．（1）【问题解决】如图1，已知AB CD ∥，36BEP ∠=︒，152CFP ∠=︒，求EPF ∠的度数；（2）【问题迁移】如图2，若AB CD ∥，点P 在AB 的上方，则PFC ∠，PEA ∠，EPF ∠之间有何数量关系？并说明理由；（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知EPF α∠=，PEA ∠的平分线和PFC ∠的平分线交于点G ，求G ∠的度数（结果用含α的式子表示）．∵PQ AB ∥，∴36EPQ BEP ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴CD PQ ∥．∵PN AB ∥，AB CD ∥，∴PN CD ∥，PEA NPE ∴∠=∠，FPN NPE EPF ∠=∠+∠ FPN PEA EPF ∠=∠+∠∴∵PN CD ∥，FPN PFC ∴∠=∠，PFC PEA EPF ∠=∠+∠∴；（3）如图3，过点G 作GH ∵GH AB ∥，AB CD ∥，∴AB CD GH ∥∥，HGE AEG ∴∠=∠，HGF ∠又PEA ∠ 的平分线和PFC ∠12HGE AEG AEP ∴∠=∠=∠由（2）得，CFP P ∠=∠+题型2：角平分线在平行线中的应用5．如图，已知AD BE ∥，AC 平分BAD ∠交BE 于点C ，点P 、Q 分别在射线AD 、BE 上运动（点Q 不与点B 、C 重合），且满足APQ B ∠=∠，连结CP ．(1)AB 与PQ 平行吗？请说明理由；(2)设B α∠=，CPQ β∠=．①当点Q 在线段BC 上，求ACP ∠的度数；（用含α，β的代数式表示）②当点Q 在射线CE 上，CPQ ∠的平分线PF 交射线BE 于点F ，连结AF ，若60α=︒，20CAF ∠=︒，试探索AFP ∠与ACP ∠的数量关系．∵PF 平分CPQ ∠，∴60PCE APC β∠=∠=︒-，PFE ∠=∠∴180606060ACP ββ∠=︒-︒-︒+=︒+6．已知：直线a b ∥，点A 和点B 是直线a 上的点，点C 和点D 是直线b 上的点，连接AD ，BC ，设直线AD 和BC 交于点E ．(1)在如图1所示的情形下，若AD BC ⊥，求ABE CDE ∠+∠的度数；(2)在如图2所示的情形下，若BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，且BF 与DF 交于点F ，当64ABC ∠=︒，72ADC ∠=︒时，求BFD ∠的度数；(3)如图3，当点B 在点A 的右侧时，若BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，且BF ，DF 交于点F ，设ABC α∠=，ADC β∠=，用含有α，β的代数式表示BFD ∠的补角．∵a b ∥，∴EG CD ∥，∴ABE BEG ∠=∠，CDE ∠∴ABE CDE BEG ∠+∠=∠∵AD BC ⊥，∴ABE CDE BED ∠+∠=∠（2）如图，过点F 作FH ∵a b ∥，∴FH CD ∥，∴ABF BFH ∠=∠，CDF ∠=∴BFD BFH DFH ∠=∠+∠=∵BF 平分ABC ∠，DF 平分∴1322ABF ABC ∠∠=︒，CDF ∠∴BFD ABF CDF ∠=∠+∠=（3）如图，过点F 作FQ ∥∵a b ∥，∴FQ CD ∥，∴180ABF BFQ ∠+∠=︒，∴BFD BFQ DFQ ∠=∠+∠∵BF 平分ABC ∠，DF 平分∴1122ABF ABC α∠=∠=∴180BFD ABF ∠=︒-∠+∴BFD ∠的补角1122α=-【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质求角的度数是解本题的关键．7．已知：直线a b ∥，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，(1)连接AD ，BC ，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，且BE ，DE 所在直线交于点E ．①如图1，若60ABC ∠=︒，70ADC ∠=︒，则BED ∠的度数为；②如图2，设ABC α∠=，ADC β∠=，则BED ∠的度数为（用含有α，β的式子表示）．(2)如图3，EF 平分MEN ∠，NP 平分END ∠，EQ NP ∥，则FEQ ∠和BME ∠的数量关系是．(3)如图4，若25BAP BAC ∠=∠，25DCP ACD ∠=∠，且AE 平分BAP ∠，CF 平分DCP ∠，猜想E F ∠+∠的结果并且证明你的结论；BEF EBA ∴∠=∠，∥ AB CD ，∴EF CD ∥，FED EDC ∴∠=∠，BEF FED EBA ∴∠+∠=∠+∠BE 平分ABC ∠，DE 平分1302EBA ABC ∴∠=∠=︒，∠65BED EBA EDC ∴∠=∠+∠=故答案为：65︒；②过点E 作EF AB ∥，如图180BEF EBA ∴∠+∠=︒，180BEF EBA ∴∠=︒-∠，∥ AB CD ，∴EF CD ∥，FED EDC ∴∠=∠，180BEF FED EBA ∴∠+∠=︒-∠BE 平分ABC ∠，DE 平分1122EBA ABC α∴∠=∠=，∠180BED EBA EDC ∴∠=︒-∠+∠故答案为：1118022αβ︒-+（2）解：∵EF 平分MEN ∠∴2MEN FEN END ∠=∠∠，∵EQ NP ∥，∴QEN ENP ∠=∠，由（1）中的结论得：2MEN FEN BME ∠=∠=∠2BME QEN =∠+∠，∴22BME FEN QEN ∠=∠-∠2FEQ =∠，故答案为：2BME FEQ ∠=∠（3）解：∵AE 平分BAP ∠∴1125BAE BAF BAC ∠=∠=∠由（1）的结论得：15E BAE ECD ∠=+∠∠=∠题型3：动直线、动射线、动三角形的旋转问题及其应用8．如图，直线a b ∥，直线EF 与直线a ，b 分别交于点E ，F ，点B 在射线EF 上运动（点B 不与点E ，F 重合），A 是直线b 上的一个定点，连接AB ，过点B 作直线l AB ⊥，在直线b 上取一点C ，使得ABC ACB α∠=∠=．(1)若直线l b ∥，则α的度数是______；(2)若直线l 与a 相交于点D ，完成以下问题：①当90BAF ∠>︒时，猜想BDE ∠与α之间有怎样的数量关系，并写出证明过程；②当90BAF ∠<︒时，判断①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出它们之间的数量关系．【答案】(1)45︒(2)①290BDE α-∠=︒，证明见解析；②不成立，290BDE α+∠=︒【分析】（1）根据平行线的性质得出180BAC ABD ∠+∠=︒，进而利用等腰直角三角形的性质解答；（2）①过B 作BH a ∥，根据两直线平行，内错角相等和三角形内角和定理解答即可；②过B 作BH a ∥，根据两直线平行，内错角相等和三角形内角和定理解答即可．【解析】（1）解：直线l AB ⊥，90ABD ∴∠=︒，直线l b ∥，180BAC ABD ∴∠+∠=︒，90BAC ∴∠=︒，ABC ACB α∠=∠= ，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，45α∴=︒，故答案为：45︒；（2）解：①290BDE α-∠=︒，理由如下：过B 作BH a ∥，直线a b ∥，BH a b ∴∥∥，BDE DBH ∴∠=∠，HBA BAC ∠=∠，ABC ACB α∠=∠= ，1802BAC α∴∠=︒-，(1802)BDE DBH DBA HBA DBA BAC DBA α∴∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠-︒-，AB l ⊥ ，90ABC GBC ∴∠+∠=︒，90DBA ∠=︒，90GBC α∴∠=︒-，180DBA ABC GBC ∠+∠+∠=︒ ，90(1802)BDE α∴∠=︒-︒-，即290BDE α-∠=︒；②290BDE α+∠=︒，理由如下：过B 作BH a ∥，直线a b ∥，BH a b ∴∥∥，BDE DBH ∴∠=∠，HBA BAF ∠=∠，ABC ACB α∠=∠= ，2BAF α∴∠=，2BDE DBH DBA HBA DBA BAF DBA α∴∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠-，AB l ⊥ ，90DBA ∴∠=︒，902BDE α∴∠=︒-，即290BDE α+∠=︒．【点睛】本题是几何综合题，此题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．9．长江汛期即将来临，江阴防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是/a ︒秒，灯B 转动的速度是/b ︒秒，且a 、b 满足()2340a b a b -++-=．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ MN ∥，且45BAN ∠=︒．(1)求a 、b 的值；(2)若灯B 射线先转动20秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线第一次与MN 垂直之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，BAC ∠与BCD ∠的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【答案】(1)3a =，1b =；(2)当10t =秒或85秒时，两灯的光束互相平行；(3)不变，23BAC BCD ∠=∠．【分析】（1）根据非负数的性质列方程组求解即可；（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，分两种情况：①在灯A 射线到达AN 之前；②在灯A 射线到达AN 之后，分别列出方程求解即可；（3）设A 灯转动时间为t 秒，则180?3CAN t ∠=︒，3135BAC BAN CAN t ∠=∠-∠=-︒，过点C 作CF PQ ∥，则CF PQ MN ∥∥，得出1802BCA CBD CAN t ∠=∠+∠=︒-，290BCD ACD BCA t ∠=∠-∠=-︒，即可得出结果．【解析】（1）()2340a b a b -++-= ，∴3040a b a b -=⎧⎨+-=⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，故3a =，1b =；（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，①在灯A 射线到达AN 之前，由题意得：()3201t t =+⨯，解得：10t =，②在灯A 射线到达AN 之后，由题意得：3180180(20)1t t -︒=︒-+⨯，解得：85t =，综上所述，A 灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；（3）BAC ∠与BCD ∠的数量关系不发生变化，23BAC BCD ∠=∠；理由：设A 灯转动时间为t 秒，则1803CAN t ∠=︒-，45(1803)3135BAC BAN CAN t t ∴∠=∠-∠=︒-︒-=-︒，PQ MN ∥，如图2，过点C 作CF PQ ∥，则CF PQ MN ∥∥，BCF CBD ∴∠=∠，ACF CAN ∠=∠，18031802BCA BCF ACF CBD CAN t t t ∴∠=∠+∠=∠+∠=+︒-=︒-，CD AC ⊥ ，90ACD ∴∠=︒，90(1802)290BCD ACD BCA t t ∴∠=∠-∠=︒-︒-=-︒，23BAC BCD ∴∠=∠．【点睛】本题考查了非负数的性质、解二元一次方程组、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ ∥MN ，连结AB ，且45ABN ∠=︒．灯A 射线自AQ 顺时针旋转至AP 便立即回转，灯B 射线自BM 顺时针旋转至BN 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A 转动的速度是1度/秒，灯B 转动的速度是3度/秒．(1)若两灯同时转动，在灯B 射线第一次转到BN 之前，两灯射出的光线交于点C ．①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求ABC ∠的度数．②如图2，当两灯光线同时转动55秒时，过C 作CD BC ⊥交PQ 于点D ，求ABC ∠与ACD ∠的比值．(2)若灯A 射线先转动30秒，灯B 射线才开始转动，在灯A 射线第一次转到AP 之前，B 灯转动几秒，两灯的光线互相平行？【答案】(1)①15︒；②32(2)A 灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行【分析】（1）①当转动50秒时，有150MBC ∠=︒，即有18030CBN MBC ∠=︒-∠=︒，根据ABC ABN CBN ∠=∠-∠，即可得解；②过点C 作CH MN ∥，315565MBC ∠=⨯︒=︒，55QAC ∠=︒，，即有55ACH QAC ∠=∠=︒，15HCB CBN ∠=∠=︒，根据ABC ABN CBN ∠=∠-∠，可得30ABC ∠=︒，再根据ACB ACH BCH ∠=∠+∠，可得20ACD ∠=︒，即问题得解；（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，A 灯先转动30秒，则AQ 转到AP 还需要18030150-=（秒）即150t 0＜＜，①当B 射线第一次垂直MN 时，用时90330÷=（秒），此时A 射线共计运动303060+=秒，即60QAE ∠=︒，即在灯B 射线到达BN 之前，先证明MBF QAE ∠=∠，即有：330=+t t ，即可求解；②在灯B 射线到达BN 之后，回到BM 前，根据①中，同理有：()30MBF QAE t ∠=∠=+︒，()3180FBN t ∠=-︒即有：()318030180t t -++=，即可求解；③在灯B 射线回到BM 后，第二次到BN 前，由题意得：336030t t -=+，即可求解，即问题得解．【解析】（1）两灯速度为：灯A 转动的速度是1度/秒，灯B 转动的速度是3度/秒．①当转动50秒时，503150MBC ∠=⨯︒=︒，∴18030CBN MBC ∠=︒-∠=︒，∴453015ABC ABN CBN ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒；∵PQ M N ∥，∴CH PQ ∥，两灯光线同时转动55秒时，则∴55ACH QAC ∠=∠= ，HCB ∠∴ABC ABN CBN ∠=∠-∠，即451530ABC ∠=︒-︒=︒，又∵ACB ACH BCH ∠=∠+∠，即5518016570ACB ∠=︒+︒-︒=而90BCD ∠=︒，∴9020ACD ACB ∠=︒-∠=︒∴303:202ABC ACD ︒∠∠==︒．即比值为：32；（2）两灯速度为：灯A 转动的速度是t∵PQ M N ∥，BF AE ∥，∴ABF EAB ∠=∠，PAB ABN ∠=∠，∴180180ABN ABF BAP BAE ︒-∠-∠=︒-∠-∠，∴MBF QAE ∠=∠，即有：330=+t t ，解得：15t =（秒）；②如图4，在灯B 射线到达BN 之后，回到BM 前，根据①中，同理有：()30MBF QAE t ∠=∠=+︒∵()3180FBN t ∠=-︒即有：()318030180t t -++=，解得：82.5t =．③如图5，在灯B 射线回到BM 后，第二次到BN 前，由题意得：336030t t -=+，解得：195t =（舍去）．综上所述，A 灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系，厘清角度之间的关系并注意分类讨论是解答本题的关键．题型4：动点问题11．已知AB CD ∥，30AEC ∠=︒，点P 在直线AE 上，E 为CD 上一点，F 为AB 上一点．(1)如图1，当点P 在线段AE 上运动时，连接FP ，求BFP FPE ∠+∠的值；(2)如图2，当点P 在AE 的延长线上运动时，连接FP ，求BFP FPE ∠-∠的值；(3)如图3，当点P 在EA 的延长线上运动时，连接FP ，求BFP FPE ∠-∠的值．【答案】(1)210︒；(2)30︒；(3)150︒．【分析】（1）过点P 作PH AB ∥，得到AB CD PH ∥∥，利用平行线的性质即可求解；（2）过点P 作PH AB ∥，得到AB CD PH ∥∥，利用平行线的性质即可求解；（3）过点P 作PH AB ∥，得到AB CD PH ∥∥，利用平行线的性质即可求解；本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，根据图形，正确作出辅助线是解题的关键．【解析】（1）解：如图所示，过点P 作PH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD PH ∥∥，∴180BFP HPF ∠+∠=︒，30HPE AEC ∠=∠=︒，∴18030210BFP FPE BFP HPF HPE +=++=︒+︒=︒∠∠∠∠∠；（2）解：如图所示，过点P 作PH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD PH ∥∥，∴FPH BFP ∠=∠，30HPA AEC ∠=∠=︒，∴30BFP FPE FPH FPE HPA ∠-∠=-==︒∠∠∠；（3）解：如图所示，过点P 作PH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD PH ∥∥，∴30HPE AEC ∠=∠=︒，180HPF BFP ∠+∠=︒，∵30HPF HPE FPE FPE =-=︒-∠∠∠∠，∴30180FPE BFP ︒-∠+∠=︒，∴150BFP FPE ∠-∠=︒．12．问题情境：如图1，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠度数．小明的思路是：过P 作PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．(1)按小明的思路，易求得APC ∠的度数为______度；（直接写出答案）(2)问题迁移：如图2，AB CD ∥，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在（2）的条件下，如果点P 在B 、D 两点外侧运动时（点P 与点O 、B 、D 三点不重合），请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．【答案】(1)110(2)APC αβ∠=+，理由见解析(3)当P 在BD 延长线上时，CPA αβ∠=-；当P 在DB 延长线上时，CPA βα∠=-．【分析】（1）过点P 作PE AB ，通过平行线性质求APC ∠即可；（2）过点P 作PE AB ，交AC 于E ，推出AB PE CD ，根据平行线的性质得出APE α=∠，CPE β=∠，即可得出答案；（3）分两种情况：P 在BD 延长线上时，P 在DB 延长线上时，分别画出图形，根据平行线的性质得出APE α=∠，CPE β=∠即可得出答案．【解析】（1）解：过点P 作PE AB ，AB CD ∥ ，PE AB CD ∴∥∥，180PAB APE ∴∠+∠=︒，180PCD CPE ∠+∠=︒，130PAB ∠=︒ ，120PCD ∠=︒，50APE ∴∠=︒，60CPE ∠=︒，110APC APE CPE ∴∠=∠+∠=︒．故答案为：110；（2）APC αβ∠=+，理由：如图，过点P 作PE AB ，交AC 于E ，AB CD ∥ ，AB PE CD ∴∥∥，APE α∴=∠，CPE β=∠，APC APE CPE αβ∴∠=∠+∠=+；（3）当P 在BD 延长线上时，如图所示，由（2）可知APE α=∠，CPE β=∠，CPA αβ∴∠=-，当P 在DB 延长线上时，如图所示，由（2）可知APE α=∠，CPE β=∠，CPA βα∴∠=-，【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．题型5：一副三角板及其在平行线中的应用13．在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中30,60,45A B C D ∠=︒∠=︒∠=∠=︒）(1)将三角尺如图1所示叠放在一起．①AOD ∠与BOC ∠大小关系是________；②BOD ∠与AOC ∠的数量关系是________．(2)小亮固定其中一块三角尺COD △不变，绕点O 顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA 与OC 重合开始，到图3的OA 与OC 在一条直线上时结束，探索AOB 的一边与COD △的一边平行的情况．①求当AB CD 时，如图4所示，AOC ∠的大小；②直接写出AOC ∠的其余所有可能值．【答案】(1)①相等；②180BOD AOC ∠+∠=︒(2)①75AOC ∠=︒；②30︒或45︒或120︒或135︒【分析】（1）①利用同角的余角相等，即可得到答案；②根据90DOC ∠=︒，90AOB BOC AOC ∠=∠+∠=︒，即可得到180BOD AOC ∠+∠=︒；（2）①过点O 作OE//AB 则AB ∥CD ∥OE ，即可得到AOE A ∠=∠=30°，COE C ∠=∠=45°即可得到答案；②分情况讨论：当AB OC ∥时；当OA CD ∥时，当AB OD ∥时，当OB CD ∥时，分别根据平行线的性质进行计算即可．【解析】（1）解：①AOD ∠与BOC ∠大小关系是相等；∵90AOD AOC ∠+∠=︒，90BOC AOC ∠+∠=︒，∴AOD BOC ∠=∠，故答案为：相等；②BOD ∠与AOC ∠的数量关系是：180BOD AOC ∠+∠=︒；∵90DOC ∠=︒，90AOB BOC AOC ∠=∠+∠=︒，∴180BOD AOC COD COB AOC ∠+∠=∠+∠+∠=︒；（2）解：①过点O 作OE AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD OE ∥∥，∴30AOE A ∠=∠=︒，45COE C ∠=∠=︒，∴75AOC AOE COE ∠=∠+∠=︒；②当AB OC ∥时，如图，则30AOC A ∠=∠=︒；当OA CD ∥时，如图，则45AOC C ∠==︒∠；当AB OD ∥时，如图，则60BOD B ∠=∠=︒，∴3609090120AOC BOD ∠=︒-︒-︒-∠=︒；当OB CD ∥时，则45BOD D ∠=∠=︒，∴3609090135AOC BOD ∠=︒-︒-︒-∠=︒；∴综上所述：AOC ∠的其余可能值为30︒或45︒或120︒或135︒．【点睛】本题考查了同角的余角相等，角的和差计算，平行线的判定和性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质，正确分类讨论．14．如图，直线PQ MN ∥，一副三角尺（90,30,ABC CDE ACB BAC ∠∠∠∠==︒=︒=60,45DCE DEC ∠∠︒==︒）按如图①放置，其中点E 在直线PQ 上，点B ，C 均在直线MN 上，且CE 平分ACN ∠．(1)求DEQ ∠的度数．(2)如图②，若将三角形ABC 绕点B 以每秒4度的速度逆时针方向旋转（,A C 的对应点分别为F ，G ），设旋转时间为t （s ）（045≤≤t ）；①在旋转过程中，若边∥BG CD ，求t 的值；②若在三角形ABC 绕点B 旋转的同时，三角形CDE 绕点E 以每秒3度的速度顺时针方向旋转（,C D 的对应点为H ，K ）请求出当边BG HK ∥时t 的值．30ACB ∠=︒ ，180150ACN ACB ∴∠=︒-∠=︒，CE 平分ACN ∠，//BG CD ，GBC DCN ∠=∠∴，DCN ECN ECD ∠∠∠=-=∵30GBC ∴∠=︒，430t ∴=，7.5t s ∴=，∴在旋转过程中，若边∥BG CD ②如图③中，当//BG HK 时，延长//BG HK ∵，GBN KRN ∠∠∴=，603,QEK t K QEK ∠∠∠=︒+= 90(603)30KRN t ∠∴=︒-︒+=︒//BG KR ，180GBN KRM ∴∠+∠=︒，603,QEK t EKR ∠∠∴=︒+120(18060KRM ∠∴=︒-︒-43180t t ∴+=︒，1807t s ∴=综上所述，满足条件的t 的值为【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．15．在数学活动课中，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形ABC 和三角形DEF ，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，45DEF DFE ∠=∠=︒，且AC DE <）开展数学活动．操作发现：(1)如图1，将三角形ABC 沿BC 方向移动，得到三角形111A B C ，我们会发现11AB A B ∥，推理的根据是：________；(2)将这副三角板如图2摆放，并过点E 作直线a 平行于边BC 所在的直线b ，点A 与点F 重合，求1∠的度数；(3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形DEF ，将三角形ABC 能点C 旋转一周，当AB DE ∥时，请判断直线BC 和直线b 是否垂直，并说明理由．【答案】(1)同位角相等，两直线平行(2)15︒(3)垂直，见解析【分析】（1）由平行线的判定方法或平移的性质可得答案；（2）过A 作直线AG a ∥，交ED 于G ，而a b ∥，则a AG b ∥∥，可得1EAG ∠=∠，ABC BAG ∠=∠，再利用角的和差关系可得答案；（3）如图所示，当AB DE ∥时，ABC 旋转到如下位置，延长B A ''交BA 于点H ，可得A B DE ''‖，证明AH A C '‖，而90CA B CAB ''∠=∠=︒，可得90ACA '∠=︒，即旋转角位90︒，可得90BCB ACA ''∠=∠=︒，从而可得结论．【解析】（1）解：同位角相等，两直线平行或平移前后的对应线段平行；（2）过A 作直线AG a ∥，交ED 于G ，而a b ∥，∴a AG b ∥∥，∴1EAG ∠=∠，同理ABC BAG ∠=∠，∴115EAG BAE BAG BAE ABC ∠=∠=∠-∠=∠-=︒．（3）垂直，理由如下如图所示，当AB DE ∥时，ABC 旋转到如下位置，延长B A ''交BA 于点HA B DE''‖∴90EDA DHA '∠=∠=︒∴90DHA AHA ''∠=∠=︒∴AH A C '‖，而90CA B CAB ''∠=∠=︒，∴90ACA '∠=︒，即旋转角位90︒，∴90BCB ACA ''∠=∠=︒，∴B C b '⊥．【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键．题型6：单个三角板在平行线中的应用16．在一次数学活动课上，同学们用一个含有60︒角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60CAB ∠=︒，EF GH ∥．(1)如图1，点C 在EF 上，点A 在GH 上，AB 与EF 交于点D ，若120∠=︒，求2∠的度数；(2)如图2，点C 在EF 上，点A 在EF 上方，点B 在GH 下方，BC 与GH 交于点Q ，作ACE ∠的角平分线并反向延长与CQH ∠的角平分线交于点O ，求O ∠的度数；(3)如图3，点C 在EF 上，点A 在直线EF ，GH 之间（不含在EF ，GH 上），点B 在GH 下方，AB ，BC分别与GH 交于点P ，Q ．设FCB n ∠=︒，是否存在正整数m 和n ，使得APH m FCB ∠=∠．若存在，请求出m 和n 的值；若不存在，请说明理由．EF GH ∥ ，EF OP GH ∴∥∥，DCE COP ∴∠=∠，POQ OQH ∠=∠CD 平分ACE ∠，QO 平分CQH ∠题型7：折叠问题17．如图1，现有一张纸条ABCD ，AD BC ∥，将纸条沿EF 折叠，点C 落在C '处，点D 落在D ¢处，D E '交BC 于点G ．(1)①若55DEF ∠=︒，则'∠=BGD ______；②若DEF x ∠=︒，则'∠=BGD ______；(2)如图2，在图1的基础上将纸条沿MN 继续折叠，点A 落在A '处，点B 落在B '处，已知60DEF ∠=︒，EF MA '∥，求证：MN D E '∥；(3)如图3，在图1的基础上将纸条沿BC 继续折叠，点C '落在C ''处，点D ¢落在D ''处，AE BF <，设AED x '∠=︒，求C FE ''∠的度数．（用含x 的式子表示）18．在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，点D ，E 分别在AB AC ，上，将DEA △沿DE 翻折，得到DEF ．(1)如图①，若70CED ∠=︒，则CEF ∠=______︒；(2)如图②，BDF ∠的平分线交线段BC 于点G .若CED BDG ∠=∠，求证BC DF ∥．(3)已知A α∠=，BDF ∠的平分线交直线BC 于点G .当DEF 的其中一条边与BC 平行时，直接写出BGD ∠的度数（可用含α的式表示）．（3）解：∥，如图①所示：①当ED BC∴190C ∠=∠=︒，∴180190ADF A α∠=︒-∠-∠=︒-，∴18090FDB ADF α∠=︒-∠=︒+，∵BDF ∠的平分线交线段BC 于点G ∴1124522BDF α∠=∠=︒+，∵90B α∠=︒-，∴11802452BGD B α∠=︒-∠-∠=︒+③当EF BC ∥，如图③所示：∴90FDB A α∠=∠=︒-，∵BDF ∠的平分线交线段BC 于点G ，∴114522GDB BDF α∠=∠=︒-，∴11452BGD GDB α∠=∠-∠=︒-；⑤当EF BC ∥时，F 在AB 的下方，如图⑤所示：∴1290α∠=∠=︒-，∵翻折，F A α∠=∠=，∴1902FDB F α∠=∠-∠=︒-，19．如图，已知四边形纸片ABCD 的边AB CD ∥，E 是边CD 上任意一点，BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 的位置．(1)观察发现：如图①所示：60C ∠=︒，45FED ∠=︒，则ABF ∠=______．(2)拓展探究：如图②，点F 落在四边形ABCD 的内部，探究FED ∠，ABF ∠，C ∠之间的数量关系，并证明；(3)迁移应用：如图③，点F 落在边CD 的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明．【答案】(1)15︒(2)FED ABF C ∠∠=∠+，证明见解析(3)不成立，数量关系应为：ABF FED C ∠-∠=∠，证明见解析【分析】（1）根据已知条件，结合平行线的性质，算出ABC ∠，再结合折叠、四边形内角和，算出FBC ∠，最后根据ABF ABC FBC ∠=∠-∠计算即可；（2）过点F 作MN CD ∥，交AD 于点M ，交BC 于点N ，由平行线的性质可得FED EFN ∠=∠，根据平行公理的推论可得MN AB ∥，继而得到NFB ABF ∠=∠，再结合折叠的性质可得数量关系；（3）过点F 作GH CD ∥，由平行线的性质可得FED HFE ∠=∠，根据平行公理的推论可得GH AB ∥，继而得到得ABF HFB ∠=∠，再结合折叠的性质可得数量关系．【解析】（1）解：AB CD ∥ ，BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 的位置，60C ∠=︒，45FED ∠=︒，180120ABC C ∴∠=︒-∠=︒，（两直线平行，同旁内角互补）180135FEC FED ∠=︒-∠=︒，60F C ∠=∠=︒，3603606060135105FBC F C FEC ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，（四边形内角和为360︒）12010515ABF ABC FBC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒（2）解：如下图，过点F 作MN CD ∥，交AD 于点M ，交BC 于点N则FED EFN ∠=∠，AB CD ∥ ，MN AB ∴∥，NFB ABF ∴∠=∠，FED ABF EFN NFB EFB ∴∠∠=∠∠=∠++，由折叠的性质得，BCE BFE ≌，EFB C ∴∠=∠（全等三角形对应角相等）FED ABF C∴∠∠=∠+（3）解：如下图，过点F 作GH CD ∥，则FED HFE ∠=∠，AB CD ∥ ，GH AB ∴∥，ABF HFB HFE BFE FED BFE ∴∠=∠=∠∠=∠∠++，由折叠的性质得，BCE BFE ≌，BFE C ∴∠=∠（全等三角形对应角相等）ABF FED C ∴∠=∠∠+，即ABF FED C∠-∠=∠【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．题型8：定值问题20．综合与实践问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边AD BC ∥，将纸片沿折痕EF 折叠，点A ，B 分别为点A '，B '，线段B F '与DE 交于点G （说明：折叠后纸带的边A E B F ''∥始终成立）操作探究：(1)如图1，若B F AD '⊥，则EFG ∠的度数为______°．(2)如图2，改变折痕EF 的位置，其余条件不变，小彬发现图中12∠=∠始终成立，请说明理由；(3)改变折痕EF 的位置，使点B '恰好落在线段AD 上，然后继续沿折痕MN 折叠纸带，点M ，N 分别在线段FC 和B D '上．①如图3，点C 的对应点与点B '重合，点D 的对应点为点.D '若70,80BFE CMN ∠=︒∠=︒，直接写出FB M '∠的度数．②如图4，点C ，D 的对应点分别为点C '，D ¢，点C '，D ¢均在AD 上方，若BFE α∠=，CMN β∠=，当FB MC ''∥时，直接写出α与β之间的数量关系．【答案】(1)45(2)说明理由见解析(3)①120FB M ∠='︒；②90αβ+=︒【分析】（1）由AD BC ∥，证明DEF BFE ∠=∠，由折叠知，BFE EFG ∠=∠，可得EFG DEF ∠=∠，结合B F AD '⊥，从而可得答案；（2）由A E B F ''∥，可得2DGB '∠=∠，由AD BC ∥，可得1DGB '∠=∠，从而可得答案；（3）①：由折叠得出2140B FB BFE '∠=∠=︒，同理得出180220B MF CMN '∠=︒-∠=︒，即可得出结论；②：同①的方法得，2BFB α'∠=，1802C MF β'∠=︒-，由平行得出BFB C MF ∠='∠'，即可得出答案．【解析】（1）解：在长方形ABCD 中，AD BC ∥，DEF BFE ∴∠=∠，由折叠知，BFE EFG ∠=∠，EFG DEF ∴∠=∠，B F AD '⊥ ，90AGF ∴∠=︒，90DEF EFG ∴∠+∠=︒，45EFG ∴∠=︒，故答案为：45；（2）解：∵A E B F ''∥，2DGB '∴∠=∠，∵AD BC ∥，1DGB '∴∠=∠，12∴∠=∠；（3）解：①：由折叠知，BFE BFE '∠=∠，2B FB BFE '∴∠=∠，180********B FM BFB ''∴∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒，同理：180220B MF CMN '∠=︒-∠=︒，1801804020120FB M B FM B MF '''∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；②：同①的方法得，2BFB α'∠=，1802C MF β'∠=︒-，∴FB MC ''∥，BFB C MF ''∴∠=∠，21802αβ∴=︒-，90αβ∴+=︒．【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质是解本题的关键．21．如图，AB CD ，点E 在直线AB 和CD 之间，且在直线BD 的左侧，14ABE CDE α∠=∠=．(1)如图1，求BED ∠的度数（用含α的式子表示）；(2)连接BD ，过点E 作EF BD ∥，交AB 于点F ，动点G 在射线BE 上，BEF k α∠=．①如图2，若5k =，DG 平分BDE ∠，判断DG 与BE 的位置关系并说明理由．②连接DF ，若12DFE DFB ∠=∠，DG BE ⊥于点G ，是否存在常数k ，使FDG ∠为定值，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．。

第五章相交线与平行线压轴题考点训练(解析版)

第五章相交线与平行线压轴题考点训练1．如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（）A．115°B．110°C．105°D．100°【答案】C【详解】解：过A作//AD a，Q，////a b\，AD b\Ð=°-Ð=°-°=°，180218015525DAB\Ð=°-Ð-Ð=°，180175CAD DABAD aQ，//\Ð=°-Ð=°，3180105CAD故选：C．2．①如图1，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，AB ∥CD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④【答案】C∥，【详解】解：①过点E作直线EF AB∵AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，∴∠A ＋∠1＝180°，∠2＋∠C ＝180°，∴∠A ＋∠C ＋∠AEC ＝360°，故①错误；②过点E 作直线EF AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，∴∠A ＝∠1，∠2＝∠C ，∴∠AEC ＝∠A ＋∠C ，即∠AEC ＝∠A ＋∠C ，故②正确；③过点E 作直线EF AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD EF ∥∥，∴∠A ＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A ＋∠AEC －∠2＝180°，即∠A ＋∠AEC －∠1＝180°，故③正确；④如图，过点P 作直线PF AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD PF ∥∥，∴∠1=∠FPA ，∠C=∠FPC ，∵∠FPA =∠FPC +∠CPA ，∴∠1＝∠C ＋∠CPA ，∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠1，即∠A ＝∠C+∠C PA ，故④正确．综上所述，正确的小题有②③④．故选：C ．3．如图，在ABC V 中，56A Ð=°，46C Ð=°，D 是线段AC 上一个动点，连接BD ，把BCD △沿BD 折叠，点C 落在同一平面内的点C ¢处，当C D ¢平行于ABC V 的边时，CDB Ð的大小为______．【答案】67°或118°【详解】根据题意可分类讨论：①如图，当//C D AB ¢时，∵//C D AB ¢，∴56C DA A ¢Ð=Ð=°．∴180********C DC C DA ¢¢Ð=°-Ð=°-°=°．根据折叠可知C DB CDB ¢Ð=Ð，∴11(360)(360124)11822CDB C DC ¢Ð=°-Ð=°-°=°；②如图，当//C D BC ¢时，∵//C D BC ¢，∴46C DA C ¢Ð=Ð=°．∴180********C DC C DA ¢¢Ð=°-Ð=°-°=°．根据折叠可知C DB CDB ¢Ð=Ð，∴111346722CDB C DC ¢Ð=Ð=´°=°．故答案为：67°或118°．4．如图，已知AB CD ∥，100B Ð=°，40E Ð=°，则C Ð=________度．【答案】110【详解】过E 作一条直线FG AB∥∵AB CD ∥，∴FG CD ∥，∵AB FG ∥，110ABE Ð=°，∴18070BEF ABE Ð=°-Ð=°，∴CEF BEF BEC Ð=Ð+Ð7040=°+°110=°又∵CD FG ∥，∴110C CEF Ð=Ð=°．故答案为：110．5．如图，已知BC ⊥AE ，DE ⊥AE ，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，BC 平分∠ABD ，则∠ACH ＝______°．【答案】57【详解】解：∵BC 平分∠ABD ，∴∠HBC =∠DBC =12ABD Ð，∵BC ⊥AE ，DE ⊥AE ，∴BC ∥DE ，∴∠3+∠DBC =180°，∵∠2＋∠3＝180°，∴∠DBC =∠2，∴CH ∥BD ，∴∠DBA =∠1=66°，∴∠DBC =∠2=11663322ABD Ð=´°=°，∴∠ACH =∠ACB -∠2=90°-33°=57°．故答案为：57．6．如图，在Rt △ABC ，∠B ＝90°，∠ACB ＝50°．将Rt △ABC 在平面内绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置，连接CC ′．若AB ∥CC ′，则旋转角的度数为_____°．【答案】100【详解】解：∵AB CC ¢∥，∴ACC CAB¢Ð=Ð∴9040CAB ACB Ð=°-Ð=°由旋转的性质可得AC AC ¢=∴40AC A C C C Ð=Ð=¢¢°∴180100CA AC A C C C C ¢¢¢Ð=°-Ð-Ð=°故答案为：100．7．如图，直线1l 分别与直线2l ，3l 交于点A ，B ，1102Ð=°，258Ð=°，若直线1l ，3l 保持不动，将直线2l 绕点A 逆时针旋转，使得23l l ∥，则旋转的最小角度是______．【答案】20°【详解】解：过点A 作43//l l ，∵43//l l ，∴4258Ð=Ð=°，∴3180141801025820Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．8．如图，在ABC V 中，40B Ð=°，30C Ð=°，点D 在BC 上，将ACD △沿直线AD 翻折后，点C 落在点E 处，连结DE ，如果DE AB ∥，那么ADB =∠______°．【答案】70【详解】解：由翻折性质可得ADC V ≌ADE V ，∴30C E Ð=Ð=°，12CAD EAD EAC Ð=Ð=Ð，∵DE AB ∥，∴30BAE E Ð=Ð=°，∵40B Ð=°，30C Ð=°，∴180110BAC B C Ð=°-Ð-Ð=°，∴80EAC BAC BAE Ð=Ð-Ð=°，∴1402Ð=Ð=°CAD EAC ，∵40CAD DAE Ð=Ð=°，∴70BAD Ð=°，在ABD △中，18070BDA B BAD Ð=°-Ð-Ð=°．故答案为：70．9．已知：AB ∥CD ．点E 在CD 上，点F ，H 在AB 上，点G 在AB ，CD 之间，连接FG ，EH ，GE ，∠GFB =∠CEH ．(1)如图1，求证：GF ∥EH ；(2)如图2，若∠GEH =α，FM 平分∠AFG ，EM 平分∠GEC ，试问∠M 与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M ）？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】(1)证明见解析过程；(2)∠FME =90°-2a，证明见解析过程．【解析】(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠CEH =∠EHB ，∵∠GFB =∠CEH ，∴∠GFB =∠EHB ，∴GF ∥EH ；(2)解：∠FME =90°-2a，理由如下：如图2，过点M 作MQ ∥AB ，过点G 作GP ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴MQ ∥CD ，∴∠AFM =∠FMQ ，∠QME =∠MEC ，∴∠FME =∠FMQ +∠QME =∠AFM +∠MEC ，同理，∠FGE =∠FGP +∠PGE =∠AFG +∠GEC ，∵FM 平分∠AFG ，EM 平分∠GEC ，∴∠AFG =2∠AFM ，∠GEC =2∠MEC ，∴∠FGE =2∠FME ，由（1）知，GF ∥EH ，∴∠FGE +∠GEH =180°，∵∠GEH =α，∴∠FGE =180°-α，∴2∠FME =180°-α，∴∠FME =90°-2a．10．已知：如图1，直线AB //CD ，EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，AEF Ð，CFE Ð的平分线相交于点M ．(1)求M Ð的度数；(2)如图2，AEM Ð，CFM Ð的平分线相交于点1M ，请写出1M Ð与M Ð之间的等量关系，并说明理由；(3)在图2中作1AEM Ð，1CFM Ð的平分线相交于点2M ，作2AEM Ð，2CFM Ð的平分线相交于点3M ，依此类推，作2020AEM Ð，2020CFM Ð的平分线相交于点2021M ，请直接写出2021M Ð的度数．【答案】(1)90°；(2)∠M 1=12∠M ．证明见解析；(3)（12）2021×90°【解析】(1)解：如图1中，∵AB ∥CD ，∴∠AEF +∠CFE =180°，∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M，∴∠MEF=12∠AEF，∠EFM=12∠CFE，∴∠MEF+∠MFE=12（∠AEF+∠CFE）=90°，∴∠M=180°-90°=90°；(2)结论：∠M1=12∠M．理由：如图2中，过点M1作M1J∥AB．∵AB∥CD，M1J∥AB，∴M1J∥CD，∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，∴∠AEM1=12∠AEM，∠CFM1=12∠CFM，∵∠EM1J=∠AEM1，∠JM1F=∠CFM1∴∠EM1F=∠AEM1+∠CFM1=12（∠AEM+∠CFM）=12×90°=45°；所以∠EM1F=12∠M．(3)由（2）可知，∠M1=12×90°，同法可知，∠M2=12∠M1=14∠M，•••，∠Mn=（12）n×90°，当n=2021时，∠M2021=（12）2021×90°．11．平面内有直线AB和直线CD，点E是平面内任意一点，连接AE、CE，∠AEC＝60°．(1)若直线AB∥CD；如图1，当点E在两条平行线之间时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系；如图2，当点E在两条平行线外部时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系；(2)若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图3，当点E在∠AOC内部，且∠AEC＝45°，猜想∠BAE与∠DCE的数量关系，并证明；(3)我们小学学习过三角形的内角和等于180°，若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图4，当点E在∠AOC外部，且∠AEC＝45°，分别作射线AM平分∠BAE、作射线CN平分∠DCE，反向延长AM 与CN交于点P，求∠APN的度数？【答案】(1)①∠BAE+∠DCE＝60°；②∠DCE﹣∠BAE＝60°；(2)∠BAE+∠DCE＝105°，见解析；(3)52.5°【解析】(1)解：①∠BAE+∠DCE＝60°，理由如下：如图1，过点E作EF∥AB，∴∠BAE＝∠AEF，∵AB//CD，∴EF//CD，∴∠DCE＝∠CEF，∵∠AEC＝60°，∴∠BAE+∠DCE＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝60°；故答案为：∠BAE+∠DCE＝60°．②∠DCE﹣∠BAE＝60°，理由如下：如图2，过点E作EF//AB，∴∠BAE＝∠AEF，∵AB//CD，∴EF//CD，∴∠DCE＝∠CEF，∵∠AEC＝60°，∴∠DCE﹣∠BAE＝∠CEF﹣∠AEF＝∠AEC＝60°．故答案为：∠DCE﹣∠BAE＝60°．(2)猜想：∠BAE+∠DCE＝105°，理由如下：如图3，连接OE，∵∠BAE是△AOE的外角，∠DCE是△COE的外角，∴∠BAE＝∠AOE+∠AEO，∠DCE＝∠COE+∠CEO，∵∠AOC＝60°，∠AEC＝45°，∴∠BAE+∠DCE＝∠AOE+∠AEO+∠COE+∠CEO＝∠AOC+∠AEC＝60°+45°＝105°；(3)如图4，设AO与CE相交于点G，设∠AGE ＝∠CGO ＝x °，则∠AGC ＝180°﹣x °，∵∠BAE 是△AEG 的外角，∠AEC ＝45°，∴∠BAE ＝∠AEC +∠AGE ＝45°+x °，∵AM 平分∠BAE ，∴∠BAM ＝∠EAM ＝12∠BAE ＝22.5°+12x °，∴∠PAG ＝∠BAM ＝22.5°+12x °，∵∠DCE 是△COG 的外角，∠AOC ＝60°，∴∠DCE ＝∠CGO +∠AOC ＝x °+60°，∵CN 平分∠DCE ，∴∠DCN ＝∠ECN ＝12∠DCE ＝12x °+30°，∵∠PAG +∠AGC +∠ECN +∠APC ＝360°，∴∠APC ＝360°﹣∠PAG ﹣∠AGC ﹣∠ECN＝360°﹣（22.5°+12x °）﹣（180°﹣x °）﹣（12x °+30°）＝127.5°，∴∠APN ＝180°﹣∠APC ＝52.5°．12．已知，如图1，直线AB CD ∥，E 为直线AB 上方一点，连接ED BE 、，ED 与AB 交于P 点．(1)若110,70ABE CDE Ð=Ð=°°，则E Ð=_________°(2)如图1所示，作CDE Ð的平分线交AB 于点F ，点M 为CD 上一点，BFM Ð的平分线交CD 于点H ，过点H 作HG FH ^交FM 的延长线于点G ，GF BE ∥，且2320E DFH Ð=Ð+°，求EDF G Ð+Ð的度数．(3)如图2，在（2）的条件下，25FDC Ð=°，将FHG △绕点F 顺时针旋转，速度为每秒钟3°，记旋转中的FHG △为FH G ¢¢V ，同时FDE Ð绕着点D 顺时针旋转，速度为每秒钟5°，记旋转中的FDE Ð为F DE Ð¢¢，当FDE Ð旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t （秒），则当FH G ¢¢V 其中一条边与F DE Ð¢¢的边DF′互相垂直时，直接写出t 的值．【答案】(1)40；(2)EDF G Ð+Ð=70°；(3)t 的值为10．【解析】(1)解：∵AB CD ∥，70CDE Ð=°，∴∠EPB =∠CDE =70°，∵∠ABE 是△BEP 的外角，110ABE Ð=°，∴∠E =∠ABE -∠EPB =110°-70°=40°，故答案为：40；(2)解：∵GF BE ∥，∴∠GFB =∠FBE ，∠HDF =∠PFD∵FH 平分BFM Ð，∴∠GFH =∠HFP ，∴∠GFB =2∠HFB =2∠HFD +2∠DFP∵DF 平分CDE Ð，∴∠FDH =∠FDE =∠PFD ，∴∠EPB =∠PDH =2∠PDF =2∠PFD∵∠EBF 为△EBP 的外角，∴∠EBF =∠E +∠EPB =∠E +2∠PFD ，∴2∠HFD +2∠DFP =∠E +2∠PFD ，∴∠E =2∠DFH ，∵2320E DFH Ð=Ð+°，∴4∠DFH =3∠DFH +20°，∴∠DFH =20°，∵HG FH ^，∴∠FHG =90°，∴∠G +∠GFH =90°，∴∠G +∠PFH =∠G +∠HFD +∠PFD =90°，∴∠G +∠PFD =90°-∠HFD =90°-20°-70°，∴EDF G Ð+Ð=70°；(3)当25FDC Ð=°时，∠HFP =∠HFD +∠DFP =45°，∴∠GFH =∠HFP =45°，∴∠G =45°，当FH G ¢¢V 其中一条边与F DE Ð¢¢的边DF′互相垂直，分三种情况，当G′H′⊥DF′时，FH′交CD 与S ，FH′∥F′D ，∠FSC =∠CDF ′，∠CDF′=25°+5t ，∠FSC =45°+3°t ，∴25°+5t =45°+3°t ，解得t =10,当GF ⊥F′D 时，GF 交CD 于R ，交DF′于Q ，∠HDF ′=25°+5t ，∠CRG =∠GFA =3t -90°，∠QRD +∠QDR =90°即3t-90°+180°-(25+5t )=90°，解得t =-12.5＜0舍去，当H′F ⊥DF ′，H′F 交CD 于U ，交DF′于V ，∠HDF′=25°+5°t ，∠CUF =∠AFH′=3°t -90°-45°，∵∠VUD +∠UDV =90°， ∴180°-（25°+5°t ）+3°t -90°-45°=90°，解得t =-35＜0舍去，综合t 的值为10．13．如图①．已知AM CN ∥，点B 为平面内一点，AB BC ^于点B ，过点B 作BD AM ^于点D ，设BCN a Ð=．（1）若30a =°，求ABD Ð的度数；（2）如图②，若点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，使得BE 平分ABD Ð、BF 平分DBC Ð，求EBF Ð的度数；（3）如图③，在（2）问的条件下，若CF 平分BCH Ð，且3BFC BCN Ð=Ð，求EBC Ð的度数．【答案】（1）30°；（2）45°；（3）97.5°【详解】解：（1）延长DB ，交NC 于点H ，如图，//AM CN Q ，BD AM ^，DH NC \^．90BHC \Ð=°．30BCN a Ð==°Q ，9060HBC BCN \Ð=°-Ð=°．AB BC ^Q ，90ABC \Ð=°．18030ABD ABC HBC \Ð=°-Ð-Ð=°；（2）延长DB ，交NC 于点H ，如图，//AM CN Q ，BD AM ^，DH NC \^．90BHC \Ð=°．BCN a Ð=Q ，90HBC a \Ð=°-．AB BC ^Q ，90ABC \Ð=°．180ABD ABC HBC a \Ð=°-Ð-Ð=．BE Q 平分ABD Ð，12DBE ABE a \Ð=Ð=．90HBC a Ð=°-Q ，18090DBC HBC a \Ð=°-Ð=°+．BF Q 平分DBC Ð，114522DBF CBF DBC a \Ð=Ð=Ð=°+．11454522EBF DBF DBE a a \Ð=Ð-Ð=°+-=°；（3）BCN a Ð=Q ，180180HCB BCN a \Ð=°-Ð=°-．CF Q 平分BCH Ð，119022BCF HCF HCB a \Ð=Ð=Ð=°-．//AM CN Q ，1902DFC HCF a \Ð=Ð=°-．3BFC BCN Ð=ÐQ ，3BFC a \Ð=．7902DFB DFC BFC a \Ð=Ð-Ð=°-．由（2）知：1452DBF a Ð=°+．BD AM ^Q ，90D \Ð=°．90DBF DFB \Ð+Ð=°．1745909022a a \°++°-=°．解得：15a =°．4552.5FBC DBF a \Ð=Ð=°+=°．52.54597.5EBC FBC EBF \Ð=Ð+Ð=°+°=°．14．已知：直线AB 、CR 被直线UV 所截，直线UV 交直线AB 于点B ，交直线CR 于点D ，∠ABU +∠CDV ＝180°．（1）如图1，求证：AB ∥CD ；（2）如图2，BE ∥DF ，∠MEB ＝∠ABE +5°，∠FDR ＝35°，求∠MEB 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点N 在直线AB 上，分别连接EN 、ED ，MG ∥EN ，连接ME ，∠GME ＝∠GEM ，∠EBD ＝2∠NEG ，EB 平分∠DEN ，MH ⊥UV 于点H ，若∠EDC ＝17∠CDB ，求∠GMH 的度数．【答案】（1）见详解；（2）∠MEB＝40°，（3）∠GMH=80°【详解】（1）证明：∵∠ABU+∠ABD=180°，∠ABU+∠CDV＝180°．∴∠ABU=180°-∠ABD，∠CDV＝180°-∠ABU，∴∠ABD=∠CDV，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD；∴∠ABD=∠RDB，∴∠ABE+∠EBD=∠FDB+∠FDR，∵BE∥DF，∴∠EBD=∠FDB，∴∠ABE=∠FDR，∵∠FDR＝35°，∴∠ABE=∠FDR=35°，∴∠MEB＝∠ABE+5°=35°+5°=40°，（3）解：设ME交AB于S，∵MG∥EN，∴∠NES=∠GMS=∠GES，设∠NES=y°,∵∠EBD＝2∠NEG∴∠NEG=∠NES+∠GES=2∠NES=2y°，∴∠EBD =4∠NES=4y°,∵∠EDC＝17∠CDB，设∠EDC=x°，∴∠CDB=7x°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，即∠GBE+∠EBD+∠CDB=180°，∴35+4y+7x=180，∵∠BDE=∠BDC-∠EDC=7x-x=6x，∴∠BED=180°-∠EBD-∠EDB=180°-4y°-6x°，∵EB平分∠DEN，∴∠NEB=∠BED，∵∠NEB=∠NES+∠SEB=y°+40°，∴y°+40°=180°-4y°-6x°，∴7414565140x yx y+=ìí+=î，解得1510xy=ìí=î，∴∠EBD=4y°=40°=∠MEB，∴ME∥UV，∵MH⊥UV，∴MH⊥ME，∴∠SMH=90°，，∵∠SMG=∠NES=10°，∴∠GMH=90°-∠SMG=90°-10°=80°．15．已知AM ∥CN ，点B 为平面内一点，AB BC ^于B ．(1)如图1，直接写出A Ð和C Ð之间的数量关系．(2)如图2，过点B 作BD AM ^于点D ，求证：ABD C Ð=Ð．(3)如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分DBC Ð，BE 平分ABD Ð，若2ABF ABE Ð=Ð，求EBC Ð的度数．【答案】(1)90A C Ð+Ð=°；(2)见解析；(3)105°【解析】(1)解：如图，//AM CN Q ，C AOB \Ð=Ð，AB BC ^Q ，90A AOB \Ð+Ð=°，90A C ÐÐ\+=o ；(2)解：如图，过点B 作//BG DM ，BD AM ^Q ，DB BG \^，即90ABD ABG Ð+Ð=°，又AB BC ^Q ，ABD CBG \Ð=Ð，//AM CN Q ，//BG AM ，//CN BG \，C CBG \Ð=Ð，ABD C \Ð=Ð；(3)解：如图，过点B 作//BG DM ，BF Q 平分DBC Ð，BE 平分ABD Ð，DBF CBF \Ð=Ð，DBE ABE Ð=Ð，由（2）可得ABD CBG Ð=Ð，ABF GBF \Ð=Ð，设DBE a Ð=，ABF b Ð=，则ABE a Ð=，2ABD CBG a Ð==Ð，GBF AFB b Ð==Ð，33BFC DEB a Ð=Ð=，3AFC a b \Ð=+，180AFC NCF Ð+Ð=°Q ，180FCB NCF Ð+Ð=°，180FCB AFC BCF \Ð=Ð+Ð=°，可得(2)3(3)180a b a a b ++++=°，①由AB BC ^可得290b b a ++=o ，②由①②联立方程组，解得15a =°，15ABE \Ð=°，1590105EBC ABE ABC \Ð=Ð+Ð=°+°=°．16．已知//AB CD ，点M 、N 分别是AB 、CD 上的点，点G 在AB 、CD 之间，连接MG 、NG ．（1）如图1，若GM GN ^，求AMG CNG +∠∠的度数．（2）在（1）的条件下，分别作BMG Ð和GND Ð的平分线交于点H ，求MHN Ð的度数．（3）如图2，若点P 是CD 下方一点，MT 平分BMP Ð，NC 平分TNP Ð，已知40BMT Ð=°．则判断以下两个结论是否正确，并证明你认为正确的结论．①MTN P Ð+Ð为定值；②MTN P Ð-Ð为定值．【答案】（1）90° （2）135° （3）②是正确的，证明见解析【详解】（1）如图所示，过点G 作//GE AB ，∵//AB CD ，//GE AB ，∴////AB GE CD ，∴AMG MGE Ð=Ð，CNG NGE Ð=Ð，∴AMG CNG MGE NGE MGN Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，∵GM GN ^，∴90MGN Ð=°，∴90AMG CNG +=°∠∠.（2）如图所示，过点G 作//GE AB ，过点H 作//FH AB ，∵//AB CD ，∴//////GE AB FH CD ，∴180BMG MGE Ð+Ð=°，180DNG NGE Ð+Ð=°，∴360BMG DNG MGN Ð+Ð+Ð=°，∵90MGN Ð=°，∴270BMG DNG Ð+Ð=°，∵MH 平分BMG Ð，NH 平分DNG Ð，∴12BMH BMG Ð=Ð，12DNH DNG Ð=Ð，∴1()1352BMH DNH BMG DNG Ð+Ð=Ð+Ð=°，∵////AB HF CD ，∴BMH MHF Ð=Ð，DNH NHF Ð=Ð，∴135MHN MHF NHF BMH DNH Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°.（3）如图所示，∵//AB CD ，∴BMP DQP Ð=Ð，∵MT 平分BMP Ð，∴40BMT PMT Ð=Ð=°，∴80BMP DQP Ð=Ð=°，∴100MQN Ð=°，∵CN 平分TNP Ð，∴CNT CNP Ð=Ð，设CNT CNP x Ð=Ð=，则180100P PQD CNP x Ð=°-Ð-Ð=°-，∴360MTN PMT MQN CNT Ð=°-Ð-Ð-Ð36040100CNT =°-°-°-Ð220x =°-，∴120MTN P Ð-Ð=°，3202MTN P x Ð+Ð=Ð°-，∴②中MTN P Ð-Ð的值为定值.故②是正确的.。

七年级数学下册第5章相交线与平行线期末复习(新版)新人教版

第五章《相交线与平行线》班级姓名座号一、选择题1、如下图所示，∠1是∠2的对顶角的图形有（）21212121A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 2．下列说法正确的是（）.A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；B. 连接直线外一点与直线上各点的所有线中垂线最短C. 两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直D.. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3、如图，下列条件不能断定AB ∥CD 的是（） A 、∠1=∠4 B 、∠2=∠3 C 、∠5=∠B D 、∠BAD+∠D=180°4、如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB,则图中互余的角有（） A 、4对 B 、3对 C 、2对 D 、1对5、如图，AB ∥CF ∥DC,EG ∥DB ，则图中与∠1相等的角共有（） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个6、在平移过程中，对应线段（）A 、互相平行且相等B 、互相垂直且相等C 、互相平行（或在同一条直线上）且相等D 、互相平行 7、如图，2条直线最多有2)12(2-＝1个交点，3条直线最多有2)13(3-＝3个交点，4条直线最多有2)14(4-＝6个交点，……由此猜想，8条直线最多有（）个交点。

A 、32 B 、16 C 、28 D 、40二、填空题8、将命题“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”改写“如果……那么……”的形式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿54321CDBA DBAC1GFEC AD BDCBA＿。

9、如图所示，AB ∥CD, ∠D ＝80°∠CAD ∶∠BAC=3∶2,则∠CAD ＝＿＿＿，∠ACD=＿＿＿。

10、如图所示，一条公路两次拐弯和原来的方向相同，即拐弯前后的两条路平行，若第一次拐角是150°，则第二拐角为＿＿＿。

11、如图，给出下列论断①AB ∥CD ②AD ∥BC ③∠A+∠B=180°④∠B+∠C=180°其中一个作为题设，一个作为结论，写出一个真命题为＿＿。

七年级下册数学期末复习(二)相交线与平行线

第一节相交线一、知识要点：（一）当同一平面内的三条直线相交时，有三种情况：一种是只有一个交点；一种是有两个交点，即两条直线平行被第三条直线所截；还有一种是三个交点，即三条直线两两相交。

（二）余角、补角、对顶角1、余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.2、补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.3、对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.4、互为余角的有关性质：①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2＝90°，∠1+∠ 3＝90°，则∠2＝∠3.5、互为补角的有关性质：①若∠A +∠B ＝180°，则∠A 、∠B 互补；反过来，若∠A 、∠B 互补，则∠A +∠B ＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A +∠C＝180°，∠A +∠B ＝180°，则∠B ＝∠C . 6、对顶角的性质：对顶角相等.（三）垂直：相交的一种特殊情况是垂直，两条直线交角成90︒。

1、经过直线外一点，作直线垂线，有且只有一条；2、点到直线上各点的距离中，垂线段最短。

（四）两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：1、同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；2、内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；3、同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；题型一：列方程求角例1：一个角的余角比它的补角的21少20°.则这个角为（）A 、30°B 、40°C 、60°D 、75°分析：若设这个角为x ，则这个角的余角是90°－x ，补角是180°－x ，于是构造出方程即可求解演练1、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30 ，那么这两个角是（）A 、42138、 B 、都是10 C 、42138 、或4210 、 D 、以上都不对分析：两个条件可以确定两个角互补，列方程即可 2、如图1，∠1=21∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数. 题型二：三线八角判断例1：如图2，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，AOE ∠的对顶角是，COF ∠的邻补角是若AOC ∠：AOE ∠=2：3，130=∠EOD ，则BOC ∠=图2 图3 图4例2：如图3，以下说法错误的是（）Ａ、1∠与2∠是内错角Ｂ、2∠与3∠是同位角Ｃ、1∠与3∠是内错角Ｄ、2∠与4∠是同旁内角例3：如图4，按各角的位置，下列判断错误的是（）A 、∠1与∠2是同旁内角B 、∠3与∠4是内错角C 、∠5与∠6是同旁内角D 、∠5与∠8是同位角例4：直线AB 、CD 相交于点O ，过点O 作射线OE ，则图中的邻补角一共有（）图1图1ab M P N 123 B EDACFA 、3对B 、4对C 、5对D 、6对演练： 1、两条直线相交，有_____对对顶角，三条直线两两相交，有_____对对顶角. 2、下列所示的四个图形中，1∠和2∠是同位角．．．的是（）A 、②③B 、 ①②③C 、①②④D 、 ①④3、下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（）12121212A 、0B 、1C 、2D 、3 4、三条直线相交于一点，构成的对顶角共有（） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对题型三：做辅助线（平行线）求角例1：已知AB ∥CD ，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于（）A 、60°B 、50°C 、40°D 、30°分析：要求∠3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过∠2的顶点作EF ∥AB ，由有∠1＝∠AEF ，∠3＝∠CEF ，再由∠1＝30°，∠2＝90°例2：如图6，若AB ∥CD ，则∠A 、∠E 、∠D 之间的关系是 ( ) A 、∠A +∠E +∠D =180° B 、∠A －∠E +∠D =180°C 、∠A +∠E －∠D =180° D 、∠A +∠E +∠D =270°例3：如图7，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.演练：图8 图91、如图8，a b ∥，M N ，分别在a b ，上，P 为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠=（） A 、180 B 、270 C 、360D 、540 2、如图9，AB DE ∥，65E ∠=，则B C∠+∠=（）A 、135B 、115C 、36D 、65题型四：求点到直线的距离例1：如图8，能表示点到直线的距离的线段共有（）Ａ、2条Ｂ、3条Ｃ、4条Ｄ、5条例2：已知线段AB 的长为10cm ，点A 、B 到直线L 的距离分别为6cm 和4cm ，•则符合条件的直线L 的条数为（）F E ①2121②12③12④图6A、1B、2C、3D、4习题演练：1、平面内三条直线的交点个数可能有（）A、1个或3个B、2个或3个C、1个或2个或3个D、0个或1个或2个或3第二节平行线一、知识要点：（一）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.（二）平行公理 1、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（三）平行线的判定1、平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行 2、平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行3、平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行4、平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行5、平行线判定定理5：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行题型一：概念判断例1：下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线相截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（）A、①②是正确的命题B、②③是正确命题C、①③是正确命题D、以上结论皆对例2：下列语句错误的是（）A、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；B、两条直线平行，同旁内角互补C、若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为邻补角D、平移变换中，各组对应点连成两线段平行且相等演练：1、在同一平面内，两条直线可能的位置关系是．2、在同一平面内，三条直线的交点个数可能是．3、下列说法正确的是（）A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有无数条直线与已知直线平行C．经过一点有一条直线与已知直线平行 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行题型二：平行线判定定理例1：如图10，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°。