2015-2016年福建省福州市鼓楼区文博中学高一(上)数学期中试卷和答案

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高一年级第一学期期中考试数学试卷及其参考答案

高一年级第一学期期中考试数学试卷（基础模块第一章、第二章）一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列表示正确的是（）．A.{ 0 }＝∅B.｛全体实数｝＝ＲＣ.{ a }∈{ａ,ｂ,c } D.{ x∈R∣x2+1＝0 }＝∅2.已知全集U={ 0,1,2,3,4,5}，集合A={1,2,5}，B={2,3,4}，则（U C A）B＝（）．A.{2}B.{0,2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,3,4,5}3.已知A={ (x,y) | 2x-y=0 }，B={ (x,y) | 3x+2y=7 }，则A B＝（）．A.{(2,1)}B.{1,2}C.{(1,2)}D.{x=1,y=2}4．设A={ x | 0< x < 1 }，B={ x | x < a } ，若A⊆B，则a的取值范围是（）．A.[1,＋∞) B.(－∞,0]C.[0,＋∞)D.(－∞,1]5.已知集合A={ x | x2＋14= 0 }，若A∩R =∅，则实数ｍ的取值范围是（）．A.m<1B.m≥1C.0<m<1D.0≤m<16.“A⊆B”是“A B＝A”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.不等式21-+xx≤0的解集为（）．A.{ x | x≥2}B.{ x | x≥2或x<－1 }C.{ x|－1<x≤2 }D.{x| x≥2或x≤－1 }8.已知a<b<0，c>0，那么（）．A.a2<b2B.a b<1C.ca<cb D.ca>cb9.绝对值不等式| 2x－3 |<5的解集是（）．A.{ x | x<－1或x>4 }B.{ x |－1<x<4 }C.{ x | x<－1 }D.{ x | x>4 }10.与不等式－x2－2x＋3>0同解的不等式(组)是（）．A. x2＋2x－3>0B. (x＋3)(x－1)<0C.x+3>0x-1D.x+3<0x-1>0⎧⎨⎩a 、b 、c 的大小顺序是（）． A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b12.若实数0<a <1，则)0>1(a-x)(x-a的解集为（）． A.{ x |1<x<a a } B.{ x | 1<<a x a} C.{ x | 1< >x a 或x a } D.{ x | 1<a >x 或x a}二、填空题（每小题4分，共16分）13.设全集U={ 1,2,3,4,5 },A={ 2,5 }，则U C A 的所有子集的个数为 _________． 14.符合条件｛ａ｝⊆Ｍ｛ａ，ｃ，ｄ｝的集合Ｍ的个数是 _________．15.设ａ，ｂ为实数，则“ａ2＝ｂ2”是“ａ＝ｂ”的 _________条件．(填充分或必要)16.不等式2+2m x x+n>0的解集是(11,32-)，则不等式2-nx +2x-m >0的解集是 _________．三、解答题（共74分，解答应写出文字说明及演算步骤） 17.已知U={ x |－2<x<7 ,x ∈N }，A={ 1,2,4 }，B={ 2,3,5}．求: ⑴ A U B ；⑵ A B ；⑶ B C C U U A；⑷ B C C U U A ．(12分)18.若集合A={ x | mx 2＋2x －1 = 0 , m ∈R , x ∈R }中有且仅有一个元素，那么m 的值是多少？(12分)19.设集合A={ x | x 2－3x ＋2 = 0 }，B = { x | x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0 }，若A B = { 2 }，求实数ａ的值．(12分) 20.解不等式x+23-x≤1．(12分) 21.设全集为R ，A={ x | |x-1|<3 }，B={ x | x 2－x －2≥0 },求A B ，A U B ，A CB ．(12分)22.已知集合A={ x | x 2－x －12 ≤0 }，集合B={ x | m －1≤x ≤2m ＋3 }，若A U B=A ，求实数m 的取值范围．(14分)高一年级第一学期期中考试数学试卷参考答案二、填空题（每小题4分，共16分）13、 8 14、 3 15、必要 16、（－2,3）三、解答题：（22题14分，17~21题每题12分，共计74分）17.解：U={ 0,1,2,3,4,5,6 }. ⑴A U B={1,2,3,4,5}.⑵A B={2}.⑶B C C U U A ={ 0,3,5,6 }U { 0,1,4,6 }={ 0,1,3,4,5,6, }. ⑷ B C C U U A={ 0,3,5,6 } { 0,1,4,6 }={ 0,6 }.18. 解：当m=0时, A=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,符合题意.当m ≠0时,要使集合A 中有且仅有一个元素,必须方程mx 2＋2x －1 = 0有两个相等实数根, ∴ 2∆=2+4m =0, 即m=－1,综上所述,m=0或m=－1. 19. 解：A={ 1,2 }∵ A B={ 2 }, ∴ 2 B, ∴ 2是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0的根,把x=2代入此方程得2a +4a+3=0, ∴ a=-1或a=-3, 当a=-1时,B={ -2,2 }, A B={ 2 },符合题意. 当a=-3时,B={ 2 }, A B={ 2 },符合题意. 综上所述,a 的值为-1或3. 20. 解：原不等式⇔x+2-13-x ≤0⇔x+2-(3-x)3-x ≤0⇔2x-13-x≤0 ⇔2x-1x-3≥00≠⎧⇔⎨⎩x-3(2x-1)(x-3)≥012⇔x ≤或x>3, ∴ 解集为12{x |x ≤或x>3}. 21. 解：解|x-1|<3得-2<x<4, 故A=(-2,4).解x 2－x －2≥0得x ≤－1或x ≥2, 故B=(-∞,-1]∪[2,+∞).∴ A B=(-2,-1]∪[2,4),A U B=R,A C B=(-2,4) (-1,2)=(-1,2).22.解: 解x2－x－12 ≤0得－3≤x≤4, 故A=[-3,4],由A U B=A，知B A，∴⎧⎪⎨⎪⎩m-1≤2m+3,m-1≥-3,2m+3≤4,即12⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩m≥-4,m≥-2,m≤,∴ -2≤m≤12.。

福建省福州文博中学2016届高三数学上学期期中试题文

福州文博中学2015-2016学年高三年第一学期期中考数学（文科）题目卷第Ⅰ卷（选择题:共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合}8.7.6.5,4,3,2,1{=U ，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则)(T C S U = （）A.{1,2,4}B.{1,2,3,4,5,7}C.{1,2}D.{1,2,4,5,6,8}2、设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩ 若=)2(f （） A ． -2 B ． 2 C ．4 D ．-43、已知角α的终边上有一点P 的坐标是)4,3(，则αcos 的值为（）A ．3B ．4C ．53D ．54 4、设m ,n 是整数，则“m ,n 均为偶数”是“m +n 是偶数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、直线05=++y x 的倾斜角为（）A. 120°B. 45°C. 135°D. 60°6、下列函数中，在区间(0,)+∞上是增函数的是（）A ．2()2f x x =-+B ．2()f x x =C ．x x f )21()(= D ．2()log f x x = 7、已知平面向量a ＝(1,3)-,(4,2)b =-，若a b λ-与a 垂直，则λ等于（）A ．2-B ．2C ．1-D ．18、函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（） A ．（3，4）e ） C ．（1，2） D ．（0，1）9、若0,0>>y x 则y x +最小值是（） A.9 B.2 C.225+D.5 10、已知等比数列{}n a ,0n a >，199,a a 为方程210160x x -+=的两根，则205080a a a ⋅⋅=（）A.32B.64C.256D.±6411、若函数2(),()1||(0,1),x a f x a g x og x a a -==>≠且(3)f ·(3)0g -<则函数()f x 、()g x 在同一坐标系内的大致图象是（）12、半圆的直径AB ＝4, O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则C P B P A P ∙+)(的最小值是（）.A.0B. －1C. －2D. －4第Ⅱ卷（共90分）本卷包括填空题与解答题，解答题为必考题和选考题，每个试题考生都必需作答。

福建省福州市高一数学上学期期中试题

福建省福州市2015-2016学年高一数学上学期期中试题一．选择题（每小题5分,共60分．把答案填在答题卷上相应的表格中）1．已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U 则3,2,2.1,0,4,3,2,1,0（） A ． {}2 B ． {}3 C ． {}432，，D ． {}43210，，，。

2．集合}),{(x y y x A ==，集合}5412),{(⎩⎨⎧=+=-=y x y x y x B 之间的关系是（）A ．B A ∈ B ．A B ∈C ．B A ⊆D ．A B ⊆ 3．下列函数是偶函数的是（）. A ． x y = B ． 322-=x y C ． 21-=xy D ． ]1,0[,2∈=x x y4．下列等式成立的是（）. A ． log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4 B ．4log 8log 22＝48log 2 C ．log 2 23＝3log 2 2D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 45．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点,则m 的取值范围是（）.A ．（-2,6）B ．[-2,6]C ． {}6,2-D ．()()∞+-∞-.62,6．已知2211)(x x x f -+=，则)(x f 不满足．．．的关系是（） . A ．)()(x f x f =- B ．)()1(x f xf -= C ． )()1(x f x f = D ．)()1(x f xf -=-7．函数()x bf x a-=的图象如图所示，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是（）.A ．1>a ,0<b B ．1>a ,0>b C ．10<<a ,0>b D ．10<<a ,0<b8．已知函数84)(2--=kx x x f 在区间)20,5(上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是（）.A ．),160[∞+B ．]40,(-∞C ．),160[]40,(∞+-∞D ．),80[]20,(+∞-∞ 9．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（）.A ．b c a <<．B ． c b a <<C ． c a b <<D ．a c b <<10．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（）.A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)-- D ．(1,1)-11．设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（）.A ．（1,1．25）B ．（1．25,1．5）C ．（1．5,2）D ．不能确定 12.用C(A)表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),,,⎩⎨⎧<-≥-=*B C A C A C B C B C A C B C A C B A 若{}2,1=A ,()(){}0222=+++=ax x ax x x B ，1=*B A 且，设实数a 的所有可能取值构成集合S ,则()=S C ( ).A.4B.3C.2D.1二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．若幂函数()x f y =的图象经过点（9,13）, 则()25f 的值是． 14．函数()()1log 143++--=x x xx f 的定义域是． 15.若1052==ba, 则=+ba 11 . 16．当21x x ≠时，有2)()()2(2121x f x f x x f +<+，则称函数)(x f 是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是①．x y = ②．x y = ③．2x y = ④．x y 2log =三．简答题：（本大题共6小题，共74分）17．（本题12分）已知集合{|240}A x x =-<，{|05}B x x =<<，全集U R =，求：（1）AB ；（2）()U C A B ．18．（本题12分）不用计算器求下列各式的值（1）()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---+ ；（2）7log 23log lg 25lg 473+++。

福建高一高中数学期中考试带答案解析

福建高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如图所示的几何体,是由下列哪个平面图形旋转得到的（）2.数列1，，，…，，….是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列3.如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（）A．B．1C．D．4.在中，若，则（）A．B．C．D．不确定5.过点和点的直线的倾斜角是( )A．B．C．D．6.下列说法的正确的是（）A．经过定点的直线都可以用方程表示B．经过定点的直线都可以用方程表示C．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示D．不经过原点的直线都可以用方程表示7.已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若∥，m∥，则m∥B．若m⊥，m⊥，则∥C．若⊥，m⊥，则m⊥D．若m∥，m⊥n，则n⊥8.设A为圆上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程是（）A．B．C．D．9.等差数列,的前项和分别为,,若,则=（）A．B．C．D．10.给出下列四个命题，其中错误的命题是（）①若，则是等边三角形②若，则是直角三角形；③若，则是钝角三角形；④若，则是等腰三角形；A．①②B．③④C．①③D．②④11.有一个数阵排列如下：则第20行从左至右第10个数字为 .二、填空题1.若，，点在轴上，且，则点的坐标为．2.圆和圆的位置关系为．3.如图所示的三个等腰直角三角形是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．4.已知直线与直线平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的方程为．三、解答题1.在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切，求圆的方程．2.（本小题满分8分）在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，．（1）求角C；（2）若，，求的面积．3.风景秀美的湖畔有四棵高大的银杏树，记做、、、，欲测量、两棵树和、两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现在可以方便的测得、两点间的距离为米，如图，同时也能测量出，，，，则、两棵树和、两棵树之间的距离各为多少？4.已知数列是一个等差数列且,,（1）求通项公式；（2）求的前项和的最小值．5.如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.(1)求证DM∥平面APC;(2)求证平面ABC⊥平面APC;(3)若BC=PC=4,求二面角P-AB-C的正弦值.6.已知曲线C：（1）当为何值时，曲线C表示圆；（2）在（1）的条件下，若曲线C与直线交于M、N两点，且，求的值.（3）在（1）的条件下，设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．福建高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.如图所示的几何体,是由下列哪个平面图形旋转得到的（）【答案】A【解析】几何体上边是圆锥体，其纵截面是等腰三角形，下面是上大下小的圆台，其纵截面是上大下小的等腰梯形，各取它们的一半可知，选择.【考点】旋转几何体的形成.2.数列1，，，…，，….是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【答案】【解析】显然该数列从第二项起,各项的分母是偶数且越来越大，所以数列的各项越来越小.【考点】数列增减性的判断.3.如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（）A．B．1C．D．【答案】D【解析】根据直观图可知,根据直观图与平面图的关系可知,平面图中,,在轴上,且 ,所以.【考点】直观图与平面图的关系4.在中，若，则（）A．B．C．D．不确定【答案】C【解析】根据正弦定理（为三角形外接圆半径），有，所以根据题意有，即，根据三角形中，大边对大角有.【考点】正弦定理.5.过点和点的直线的倾斜角是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据斜率的计算式可知,则,所以.【考点】斜率的计算.6.下列说法的正确的是（）A．经过定点的直线都可以用方程表示B．经过定点的直线都可以用方程表示C．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示D．不经过原点的直线都可以用方程表示【答案】C【解析】中的方程表示有斜率的直线,但过定点不一定有斜率,错误;的错误原因与相同;中的方程表示在轴有截距的直线，不过原点但可能在轴上,所以错误.【考点】直线方程的判断.7.已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若∥，m∥，则m∥B．若m⊥，m⊥，则∥C．若⊥，m⊥，则m⊥D．若m∥，m⊥n，则n⊥【答案】B【解析】中当时错误;中若⊥，，则或∥,错误.中得看的位置关系,可能垂直,可能平行,可能相交,所以错误.【考点】线面关系的判断.8.设A为圆上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设圆心为,则半径为,设.根据直线与圆相切,有中,,所以根据两点间距离公式化简可得.【考点】直线与圆相切.9.等差数列,的前项和分别为,,若,则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为等差数列的前项和公式为形式,所以根据题意不妨设,则有,,所以两者的比值为.【考点】等差数列前项和公式形式的灵活应用,利用求.10.给出下列四个命题，其中错误的命题是（）①若，则是等边三角形②若，则是直角三角形；③若，则是钝角三角形；④若，则是等腰三角形；A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】D【解析】①中三者乘积为1,则其中一个应当大于1,另外两个乘积小于1,显然后者可以成立,但是前者不成立,故前者只能取到1,所以剩余两个乘积为1,同理只能都为1,因为,所以,正确;②当时, ,三角形是等边三角形,错误;③三角形中,当内角是钝角时,余弦值为负数,所以三个内角中必有一个是钝角,两个是锐角,三角形必然是钝角三角形,正确;④当时,有所以,三角形为等腰三角形或是直角三角形,错误.【考点】利用角判断三角形的形状.11.有一个数阵排列如下：则第20行从左至右第10个数字为 .【答案】【解析】观察该数阵的第一列，设其为数列，则其各项为,显然该数列具有性质,则根据叠加法有,所以.则该数阵的第20行的第一个数就是数列的第20项,所以.观察该数阵的每一行,则会发现,第一行中的数满足:从第二个数起,每个数与其前一个数的差为;第二行中的数满足:从第二个数起,每个数与其前一个数的差为;则第20行中的数满足:从第二个数起,每个数与其前一个数的差为;所以以此类推可得第20行的第10个数是.【考点】特殊数列的分析.二、填空题1.若，，点在轴上，且，则点的坐标为．【答案】【解析】设,根据,利用空间中两点间的距离公式,计算可得.【考点】空间中两点间的距离公式.2.圆和圆的位置关系为．【答案】内切【解析】通过利用两点间的距离公式计算,寻找其与两圆的半径和,差的关系,判断可知,所以内切.【考点】两圆位置关系的判断.3.如图所示的三个等腰直角三角形是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．【答案】【解析】根据三视图可知,该几何体是棱长为1的正方体的一角,所以其外接球的半径为该正方体体对角线的一半,所以该球体的表面积为.【考点】观察三视图寻找原几何体,构建空间球体.4.已知直线与直线平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的方程为．【答案】【解析】根据直线的平行可设其方程为,则其与坐标轴的交点分别为,当时,有,此时;当时,有,此时.【考点】直线的平行,未知字母系数的讨论.三、解答题1.在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切，求圆的方程．【答案】【解析】要求圆的方程,需知圆的圆心与半径,由题可知圆心为,半径为原点到直线的距离,根据点到直线的距离公式可求得.由题意圆的半径等于原点到直线的距离，即，所以圆的方程为：．【考点】圆的方程,半径的求法.2.（本小题满分8分）在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，．（1）求角C；（2）若，，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】根据,可联想到余弦定理,则利用余弦定理可求得,根据和的范围,可求出角.因为知道边和角(由(1)知),所以可利用面积公式,则需要求出边.根据,利用正弦定理可得,即可求得面积.（1）又由余弦定理得．（2），由正弦定理得【考点】正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的选择与计算.3.风景秀美的湖畔有四棵高大的银杏树，记做、、、，欲测量、两棵树和、两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现在可以方便的测得、两点间的距离为米，如图，同时也能测量出，，，，则、两棵树和、两棵树之间的距离各为多少？【答案】,【解析】要求长,将其放入中,已知,可根据正弦定理求得;要求长,将其放入中,已知,需找到,利用余弦定理求.将放入中,根据,,即可求出.因为在中，所以由正弦定理有：因为在中，有,，, 所以因为在中,所以由余弦定理有：则．答：P、Q两棵树之间的距离为米，A、P两棵树之间的距离为米．………8分【考点】正弦定理,余弦定理.4.已知数列是一个等差数列且,,（1）求通项公式；（2）求的前项和的最小值．【答案】(1)(2) 当时，取得最小值.【解析】根据等差数列前项和公式展开题中所给条件,可得首项与公差,即可得到数列的通项公式. （2）法一:根据等差数列前项和公式，将转化为关于的二次函数，并讨论其最小值；法二：根据（1）可知，该数列是首项为负，公差为正的递增数列，所以其前项和先递减后递增，当中的取最大值时，前项和最小.（1）设的首项为,公差为，则根据等差数列前项和公式有，，（2）法一：，时，取得最小值．法二：由，得，当时，取得最小值【考点】等差数列前项和公式及其最值的讨论,通项公式;5.如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.(1)求证DM∥平面APC;(2)求证平面ABC⊥平面APC;(3)若BC=PC=4,求二面角P-AB-C的正弦值.【答案】(3)【解析】(1)从平面内找一条与平行的直线,根据题意可知, 是的中位线,有∥,则证明.(2)要证面面垂直得有线面垂直,根据题意可证,从而得到,进而有,最终可证.(3)首先得做出二面角的平面角,所以过作，垂足为，连接,猜想为二面角的平面角,根据二面角的平面角定义,只需证明 ,显然根据已知以及(1)中的结论,可证平面,则可证明猜想.将放入中,即可求其正弦值.证明为中点, 为中点,中,有∥,又,∥平面(2)证明为正三角形,且为中点,又由(1)知, ∥.又,(3)过作，垂足为，连接，，为中点，，又由（2）知平面，,平面,又平面,为二面角的平面角,为中点,,又由（2）平面，∴，，又，为中点,为正三角形，∴，∴，∴∴在，即二面角的正弦值为．【考点】线面平行，面面垂直，二面角.6.已知曲线C：（1）当为何值时，曲线C表示圆；（2）在（1）的条件下，若曲线C与直线交于M、N两点，且，求的值.（3）在（1）的条件下，设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) (2)(3)存在,【解析】(1)根据圆的一般式可知, ,可得范围;(2)将(1)中圆变形为标准方程,可知存在于半径中,所以根据圆中,先求出圆心到直线的距离,即可求半径得.(3)假设存在,则有,设出两点坐标,可得.根据直线与圆的位置关系是相交,所以联立后首先根据初步判断的范围,而后利用根与系数的关系用表示出,将其带入解之,如有解且在的范围内,则存在,否则不存在.（1）由，得.（2），即，所以圆心,半径，圆心到直线的距离.又,在圆中，即，．（3）假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，所以.设，则有,即.由得，，即，又由（1）知，故根据根与系数的关系知:,故存在实数使得以为直径的圆过原点，【考点】圆的一般方程的判断,直线与圆的位置关系的应用, 的使用.。

福建省福州文博中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题

福建省福州文博中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题（完卷时间：120分钟，总分：150分）注意：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．复数i 215+的共轭复数为 ( ). A ．－31035-i B ．－i 31035+C ．1+2iD ．1－2i 2．已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =（）A.{}|0x x ≤B. {}42≤≤x x C. {}|024x x x ≤<>或 D.{}|024x x x <≤≥或3．命题p ：),0[+∞∈∀x ，1)2(log 3≤x ，则( ).A ．p 是假命题，p ⌝：1)2(log ),,0[030>+∞∈∃x xB ．p 是假命题，p ⌝：1)2(log ),,0[3≥+∞∈∀x xC ．p 是真命题，p ⌝：),0[0+∞∈∃x ，1)2(log 03>xD ．p 是真命题，p ⌝：1)2(log ),,0[3≥+∞∈∀x x4．“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A.－12B.12C.－32D.326．将函数f(x)＝sin(x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到图象y= g(x)，若y= g(x)的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ的一个可能取值是 ( )A.π12B.π6C.5π6D.7π127．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.37 B ．13 C ．6 D.1278．已知f (x )是R 上的偶函数，且最小正周期为π2，当π≤≤x 0时，f (x )＝x －cos x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[]ππ2,2-上与x 轴的交点的个数为( ) A.2B.4C.6D.89．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[],ππ-上的图象大致是（）10．设函数()f x =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（）A.[1,]eB.1[,1]e -C.[1,1]e +D.1[,1]e e -+二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分，答案填在答卷上）11．323381932log 2log 5-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-＝_______12．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________14．已知函数()sin f x x ω=的部分图像如图所示，若图中阴影部分的面积为13，则ω的值是15.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是单调增函数如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6题，满分80分）16．（13分）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)若0<α<π2，且sin α＝23，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．17．（13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)若(AB →－kOC →)⊥OC →，求k 的值．18．（13分）已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．（13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =．（1）若m n ∥，c =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅=，4cos 5A =，求cos C 的值．20．（14分）如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3 (A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B (－1,2).赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧DE . (1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EO 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且∠POE ＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．21．（14分）已知函数f (x )＝ln x －mx （m ∈R ）．（1）若曲线y ＝f (x )过点P (1，－1)，求曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程；（2）求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值；（3）若函数f (x )有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1x 2＞e 2．福州文博中学2014-2015学年第一学期高三年级期中考理科数学考试（答案）二、填空题：（本题共5小题，每小题4 分，共20分）11、 8- 12、 2 13、 2/3 14、 6 15、 ( 1/e ，e ) 三、解答题16、解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， (1)若0<x <π2，且sin x ＝23，f (α)= 43(2)223222πππππ+≤-≤-k x k 增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ 17、解：(1)由题意，得AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．故所求两条对角线的长分别为4 2，2 10.(2)∵OC →＝(－2，－1)，AB →－kOC →＝(3＋2k ，5＋k )， ∴(AB →－kOC →)·OC →＝(3＋2k ，5＋k )·(－2，－1)＝－11－5k ＝0.∴511-=k 18、解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.20、解 (1)由条件，得A ＝2，T4＝3.∵T ＝2πω，∴ω＝π6.∴曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3.当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，即∠DOE ＝π4.(2)由(1)，可知OD ＝ 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在DE 上，故OP ＝ 6. “矩形草坪”的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin 2θ)＝6⎝⎛⎭⎫12sin 2θ＋12cos 2θ－12 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－3. ∵0<θ≤π4，∴当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值.。

福建省福州文博中学2016届高三数学上学期期中试题理

福州文博中学2015-2016学年第一学期高三数学（理科）期中考考试（题目卷）（完卷时间：120分钟，总分150分）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．） 1．复数i215+的共轭复数为 ( ). A ．－31035-i B ．－i 31035+ C ．1+2i D ．1－2i 2．已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =（）A.{}|0x x ≤B. {}42≤≤x x C. {}|024x x x ≤<>或 D.{}|024x x x <≤≥或3．“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1a =１，公差2d =，n 2n 24S S +-=，则n =（） A ．8 B ．7 C ．6 D ．55．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为(A ．－12B ．12C ．－32D ．326. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ． 1 C ．0 D ．1- 7．已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（R x ∈，0A >，0ω>，2πϕ<）的图象（部分）如图所示，则要得到()y f x =的图像，只需要把sin y A x ω=的图像( A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移16个单位 D ．向右平移16个单位8．函数f (x )＝2e－x2－x 的图象大致是 ( )N9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC=3DF ，设AC =a ，BD =b ，则AF =（）A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a b D ．1233+a b 10.已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (2－x )，且函数y ＝f (x )在区间[0,1]内有且只有一个零点12，则y ＝f (x )在区间[0，2 016]上的零点的个数为( )A ．2 012B ．1 006C ．2 016D ．1 00711．已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（） A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<-12. 已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1,1)，现有下列命题：①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中的所有正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①② 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分） 13． ()1x11edx -+⎰=14．设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅ ＝ .15．设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若CcB b A a cos 3cos 2cos ==则sin B = ；三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：5726a a a +=３＝7，，数列{}n a 的前n 项和为n s ．（1）求n a 及n s ；（2）令n a n b 3= (n ∈N *)，求数列{}b n 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c,已知a b cosC c sinB .=⋅+⋅ （1）求B ；（2）若b=2,求△ABC 面积的最大值. 19．（本小题满分12分）已知向量(cos x sin x sin x b (cos x sin x,x)a ωωωωωω=-=--，），，设函数()f x a b λ=⋅+(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且2144n n n a a a ++=-()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．21．（本小题满分12分）设函数()()ln f x x a x x a =+-+. (1) 设()()g x f x '=，求函数()g x 的单调区间；(2) 已知,0,0a x a <<∃>∀使得.0ln >+x x a 试研究0a >时函数)(x f y =的零点个数.22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xoy 中，圆C 1的参数方程为22cos (y=2sin ϕϕϕ⎧⎨⎩x=＋为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为sin ρθ＝4（1）写出圆C 1的普通方程及圆C 2的直角坐标方程；（2）圆C 1与圆C 2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．。

【数学】2015-2016年福建省福州一中高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

2015-2016学年福建省福州一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）已知集合M={x|0＜x＜1}，N={x|x=t2+2t+3}，则（∁N M）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}3．（4分）已知cos（π+x）=，x∈（π，2π），则cos（）=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（4分）已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），则“a=2”是“∥”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）函数f（x）=log2|x|，g（x）=﹣x2+2，则f（x）•g（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．6．（4分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了解函数g（x）=Asin（ωx）的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+1）2，当﹣1＜x＜2时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+…+f（2015）=（）A．0 B．1 C．2 D．38．（4分）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（4分）在△ABC中，若3cos（A﹣B）+5cosC=0，则tanC的最大值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣210．（4分）已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣2，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．（1，2） B．（，1）C．（，）D．（0，）二、填空题（每小题3分，共12分）11．（3分）已知a=3，b=log2，c=log35，则a，b，c的大小关系为．12．（3分）cos2xdx等于．13．（3分）已知函数y=f（x），对于任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，则下列不等式中成立的有．①＜f（）②f（）f（）③f（0）f（）④f （）f（）14．（3分）已知非零向量，，满足||=||=||，＜＞=，则的最大值为．三、解答题15．（8分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴张半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．16．（8分）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m2+2m﹣2对任意x∈R恒成立；q：函数y=（m2﹣3）x是增函数，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m 的取值范围．17．（10分）已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=（1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若f（A）=4，b=1，得面积为，求a的值．18．（10分）为迎接2016年到来，某手工作坊的师傅要制作一种“新年礼品”，制作此礼品的次品率P与日产量x（件）满足P=（c为常数，且c∈N*，c＜20），且每制作一件正品盈利4元，每出现一件次品亏损1元．（Ⅰ）将日盈利额y（元）表示为日产量x（件）的函数；（Ⅱ）为使日盈利额最大，日制作量应为多少件？（注：次品率=×100%）19．（12分）已知函数f（x）=x2e kx．（Ⅰ）当k=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=+2（a＞0），且对于任意的x1，x2∈[0，2]，均有g（x1）≥f（x2）恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年福建省福州一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选：A．2．（4分）已知集合M={x|0＜x＜1}，N={x|x=t2+2t+3}，则（∁N M）∩N=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x≥2}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：集合M={x|0＜x＜1}，∴∁R M={x|x≤0或x≥1}，由N中x=t2+2t+3=（t+1）2+2≥2，得到N={x|x≥2}，则（∁R M）∩N={x|x≥2}，故选：C．3．（4分）已知cos（π+x）=，x∈（π，2π），则cos（）=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：cos（π+x）=，x∈（π，2π），可得cosx=﹣，x∈（π，），cos（）=sinx=﹣=﹣．故选：A．4．（4分）已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），则“a=2”是“∥”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若∥，则a（1﹣a）+2=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1，则“a=2”是“∥”的充分不必要条件，故选：B．5．（4分）函数f（x）=log2|x|，g（x）=﹣x2+2，则f（x）•g（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）与g（x）都是偶函数，∴f（x）•g（x）也是偶函数，由此可排除A、D．又由x→+∞时，f（x）•g（x）→﹣∞，可排除B．故选：C．6．（4分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了解函数g（x）=Asin（ωx）的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=2，=•=﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=，求得φ=，∴f（x）=2sin（2x+），故把f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x）的图象，故选：D．7．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+1）2，当﹣1＜x＜2时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+…+f（2015）=（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），∴T=4，∵当﹣2≤x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+1）2，当﹣1＜x＜2时，f（x）=x，∴f（1）=1，f（2）=f（﹣2）=﹣1，f（3）=f（﹣1）=0，f（4）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=503×0+f（1）+f（2）+f（3）=0．故选：A．8．（4分）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．9．（4分）在△ABC中，若3cos（A﹣B）+5cosC=0，则tanC的最大值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣2【解答】解：△ABC中，若3cos（A﹣B）+5cosC=0，即3cos（A﹣B）+5cos（π﹣A﹣B）=3cos（A﹣B）﹣5cos（A+B）=0，即3cosAcosB+3sinAsinB﹣5cosAcosB+5sinAsinB=0，故8sinAsinB=2cosAcosB，tanAtanB=，tanA+tanB≥2=1，∴tan（A+B）=≥=，则tanC=﹣tan（A+B）≤﹣，当且仅当tanA=tanB时，等号成立，故选：B．10．（4分）已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣2，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．（1，2） B．（，1）C．（，）D．（0，）【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，，由图象可知，当0＜m＜2时，f（u）﹣m=0有三个不同的解，即|u+1|=m或lg（u﹣1）=m，故u=﹣1﹣m或u=﹣1+m或u=1+10m，故g（x）=x2﹣2x+2m﹣2=﹣1﹣m或x2﹣2x+2m﹣2=﹣1+m或x2﹣2x+2m﹣2=1+10m，故x2﹣2x+3m﹣1=0或x2﹣2x+m﹣1=0或x2﹣2x+2m﹣3﹣10m=0，∵函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，∴方程x2﹣2x+3m﹣1=0、x2﹣2x+m﹣1=0与x2﹣2x+2m﹣3﹣10m=0都有两个不同的解，∴，解得，m＜，故0＜m＜，故选：D．二、填空题（每小题3分，共12分）11．（3分）已知a=3，b=log2，c=log35，则a，b，c的大小关系为c＞b ＞a．【解答】解：∵0＜a=3＜1，b=log2＜0，c=log35＞1，∴c＞b＞a．故答案为：c＞b＞a．12．（3分）cos2xdx等于．【解答】解：cos2xdx=dx=（1+cos2x）dx=（x+sin2x）=故答案为：13．（3分）已知函数y=f（x），对于任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，则下列不等式中成立的有②③④．①＜f（）②f（）f（）③f（0）f（）④f （）f（）【解答】解：构造函数F（x）=，x，则F′（x）=＞0，∴函数F（x）在x上单调递增，∴F（）＞F（），即2f（）＞f（），可得＞f（），①错误；同理可得F（）＜F（），即f（）＜f（），可得f（）f （），②正确；同理F（0）＜F（），即f（0）＜f（），③正确；同理F（）＜F（），即f（）＜2f（），可得f（）f（），④正确．故答案为：②③④14．（3分）已知非零向量，，满足||=||=||，＜＞=，则的最大值为．【解答】解：设，=，则=．∵非零向量，，满足||=||=||，∴△OAB是等边三角形．设=，则=，=．∵＜＞=，∴点C在△ABC的外接圆上，则当OC为△ABC的外接圆的直径时，取得最大值==．故答案为：．三、解答题15．（8分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴张半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）消去参数t可得直线l的普通方程为x+y﹣2=0，∵圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=aρsinθ，∴x2+y2=ay，当a=2时，可得圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，化为标准方程可得x2+（y﹣1）2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣）2=，∴圆心为（0，），半径为，∴圆心到直线l：x+y﹣2=0的距离d=，∵直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，∴（）2=（）2+（）2，解得a=2．16．（8分）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m2+2m﹣2对任意x∈R恒成立；q：函数y=（m2﹣3）x是增函数，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1，当（x﹣1）（x﹣2）≤0，即1≤x≤2时，取得等号，即函数f（x）的最小值为1；（Ⅱ）由关于x的不等式f（x）≥m2+2m﹣2对任意x∈R恒成立，即有1≥m2+2m﹣2，解得﹣3≤m≤1；函数y=（m2﹣3）x是增函数，即有m2﹣3＞1，解得m＞2或m＜﹣2．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假，即有或，解得﹣2≤m≤1或m＞2或m＜﹣3．17．（10分）已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=（1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若f（A）=4，b=1，得面积为，求a的值．【解答】解：（1）∵向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），∴函数f（x）=•=sin2x+2+2cos2x=sin2x+cos2x+3=2sin（2x+）+3，∵ω=2，∴T=π，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得到kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的最小正周期为π；单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）由f（A）=4，得到2sin（2A+）+3=4，即sin（2A+）=，∴2A+=或2A+=，解得：A=0（舍去）或A=，∵b=1，面积为，∴bcsinA=，即c=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2=3，则a=．18．（10分）为迎接2016年到来，某手工作坊的师傅要制作一种“新年礼品”，制作此礼品的次品率P与日产量x（件）满足P=（c为常数，且c∈N*，c＜20），且每制作一件正品盈利4元，每出现一件次品亏损1元．（Ⅰ）将日盈利额y（元）表示为日产量x（件）的函数；（Ⅱ）为使日盈利额最大，日制作量应为多少件？（注：次品率=×100%）【解答】解：（Ⅰ）依题意，y=4（x﹣Px）﹣Px=（4﹣5P）x，当0＜x≤c时，y=（4﹣）x=x，当x＞c时，y=（4﹣5•）x=0，∴y=；（Ⅱ）由（I）可知要使日盈利额最大，则0＜x≤c，此时令y′==0，解得：x=15或x=25（舍），∴当0＜c＜15时，y′＞0，此时y在区间（0，c]上单调递增，∴y max=f（c）=，此时x=c；当15≤c＜20时，y在区间（0，15）上单调递增、在区间（15，20）上单调递减，∴y max=f（15）=45；综上所述，若0＜c＜15，则当日制作量为c件时，日盈利额最大；若15≤c＜20，则当日制作量为15件时，日盈利额最大．19．（12分）已知函数f（x）=x2e kx．（Ⅰ）当k=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=+2（a＞0），且对于任意的x1，x2∈[0，2]，均有g（x1）≥f（x2）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）当k=1时，f （x ）=x 2e x ．的导数为f′（x ）=（x 2+2x ）e x ， f （1）=e ，切线的斜率为f′（1）=3e ，即有切线方程为y ﹣e=3e （x ﹣1），即3ex ﹣y ﹣2e=0；（2）“任意的x 1，x 2∈[0，2]，均有g （x 1）≥f （x 2）恒成立”等价于“当a ＞0时，对任意的x 1，x 2∈[0，2]，g min （x ）≥f max （x ）成立”，当a ＞0时，函数g （x ）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，而g （0）=2，g （2）=+2，所以g （x ）的最小值为g （0）=2，f （x ）的导数f′（x ）=2xe kx +x 2e kx •k=（kx 2+2x ）e kx ，当k=0时，f （x ）=x 2，x ∈[0，2]时，f max （x ）=f （2）=4，显然不满足f max （x ）≤1，当k ≠0时，令f′（x ）=0得，x 1=0，x 2=﹣，①当﹣≥2，即﹣1≤k ≤0时，在[0，2]上f′（x ）≥0，所以f （x ）在[0，2]单调递增，所以f max （x ）=f （2）=4e 2k ，只需4e 2k ≤1，得k ≤﹣ln2，所以﹣1≤k ≤﹣ln2； ②当0＜﹣＜2，即k ＜﹣1时，在[0，﹣]，f （x ）单调递增，在[﹣，2]，f （x ）单调递减，所以f max （x ）=f （﹣）=，只需≤1，得k ≤﹣，所以k ＜﹣1；③当﹣＜0，即k ＞0时，显然在[0，2]上f′（x ）≥0，f （x ）单调递增， f max （x ）=f （2）=4e 2k ，4e 2k ≤1不成立．综上所述，k 的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套,新课标版)

高一级第一学期期中调研考试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题．．．．区域书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。

3．本卷命题范围：新人教版必修第一册第一章～第四章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{123}A =，，，{}223B x x x =->，则A B =A ．{12}，B ．∅C ．{23}，D ．{1}2．命题“R x ∃∈，||0x ”的否定是A ．R x ∀∈，||0x ≥B ．R x ∃∈，||0x <C ．R x ∀∈，||0x <D ．R x ∃∉，||0x <3．若a b >，则下列不等式中成立的是 A ．11<a bB ．33a b >C ．22a b >D ．a b >4．函数y =的定义域为 A ．(12)-，B ．(02)，C ．[12)-，D ．(12]-，5．某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为2()410C x x x =++（万元）。

一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为 A ．139万元B ．149万元C ．159万元D ．169万元6．已知集合2{Z |Z}1A x x =∈∈-，则集合A 的真子集的个数为 A ．13B ．14C ．15D ．167．若0.33a =，3log 0.3b =，13log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<8．若函数()f x 是奇函数，且在定义域R 上是减函数，(2)3f -=，则满足3(3)3f x -<-<的实数x 的取值范围是 A ．(15)，B ．(24)，C ．(36)，D ．(25)，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省福州文博中学高一上学期期中考试数学试题(无答案).pdf

福州文博中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）
1、已知集合，则如下关系式正确的是（）
A． B． C． D．
2、函数的定义域是（）
A．B．C．D．
3、下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A． B．
C . D．
4、有下列4个等式（其中且），正确的是（）
A．B．
C．D．
5、已知幂函数的图像过(36，6)，则此函数的解析式是( )
A． B． C． D．
6、设，则、、的大小关系是（）
A． B．
C． D．
7、设，则的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
8、在同一直角坐标系中，函数与的图像只能是（）
9、以下函数在区间(0，2)上必有零点的是（）
A． B． C． D．
10、已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是（）
A． B．
C． D．
11、如果二次函数在上是减函数，在[－，+∞)上是增函数，则的最小值为（）
A． B． C． D．
12、在上既是奇函数，又为减函数若，则的取值范围是A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

在答题卡上的相应题目的答题区域内作答）
13、函数的零点个数为．
14、若，且f(0.625)0，f(0.6875)0时，，.
（１）求证：为奇函数；
（２）求证：在R上是减函数；
（3）求函数在上的最大值和最小值。

【数学】2016-2017年福建省福州市文博中学高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

2016-2017学年福建省福州市文博中学高三（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数z满足是虚数单位），则|z|=（）A．l B．C．2 D．42．（5分）设集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|y=lg（﹣x）}，则A∩B=（）A．（0，1]B．[﹣1，0）C．[﹣1，0]D．（﹣∞，1]3．（5分）已知，比较A，B，C的大小结果为（）A．A＜B＜C B．B＜C＜A C．A＜C＜B D．B＜A＜C4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值为（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．1766．（5分）已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0）且cosθ=x，则x等于（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣3 D．﹣7．（5分）曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e28．（5分）已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（，+∞）D．（，+∞）9．（5分）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．8日 B．9日 C．12日D．16日10．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）12．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．13．（5分）已知非零向量，的夹角为60°，且||=1，|﹣|=1，则|+2|=．14．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=1，则实数a的值是．15．（5分）对函数，有下列说法：①f（x）的周期为4π，值域为[﹣3，1]；②f（x）的图象关于直线对称；③f（x）的图象关于点对称；④f（x）在上单调递增；⑤将f（x）的图象向左平移个单位，即得到函数的图象．其中正确的是．（填上所有正确说法的序号）．16．（5分）已知函数f（x）=lnx﹣x+﹣1，g（x）=﹣m，P={m|任意x1，x2∈（{0，2}），f（x1）≥g（x2）}，Q={m|任意x1∈（0，2），存在x2∈（0，）≥g（x2）}，则P∩Q=．2），f（x三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足．（1）求数列{a n}的通项公式并证明；（2）设函数，b n=f（a1）+f（a2）+…+f（a n），若．求T n．19．（12分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x（x＞0），求用x表示AE的函数关系式；（2）设AD=x（x＞0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；（3）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请说明理由．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x0∈（0，），f（x0）=，若g（x）=1+2cos2x，求g（x0）的值；（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）﹣h（x）=0在[0，]上有解，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（k∈R），（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+…+＜（n∈N，n＞1）．22．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．2016-2017学年福建省福州市文博中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数z满足是虚数单位），则|z|=（）A．l B．C．2 D．4【解答】解：∵，∴|z|=．故选：B．2．（5分）设集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|y=lg（﹣x）}，则A∩B=（）A．（0，1]B．[﹣1，0）C．[﹣1，0]D．（﹣∞，1]【解答】解：∵集合A={y|y=sinx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，B={x|y=lg（﹣x）}={x|x＜0}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜0}=[﹣1，0）．故选：B．3．（5分）已知，比较A，B，C的大小结果为（）A．A＜B＜C B．B＜C＜A C．A＜C＜B D．B＜A＜C【解答】解：∵﹣1＜a＜0，∴0＜1+a＜1，A﹣B=（1+a2）﹣（1﹣a2）=2a2＞0，得到A＞B，C﹣A=﹣1﹣a2=﹣＞0，得到C＞A，∴B＜A＜C，故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+1+2+…+（i﹣1）的值∵输入n的值为4，∴满足条件i≤4的最大i=4，∴输出S=1+1+2+3=7．故选：C．5．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选：B．6．（5分）已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0）且cosθ=x，则x等于（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣3 D．﹣【解答】解：已知角α的终边经过点P（x，3）（x＜0）所以OP=，由三角函数的定义可知：cosθ=x=，x＜0解得x=﹣1．故选：A．7．（5分）曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e2【解答】解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f′（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选：D．8．（5分）已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（，+∞）D．（，+∞）【解答】解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选：C．9．（5分）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．8日 B．9日 C．12日D．16日【解答】解：由题可知，良马每日行程a n构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程b n构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列，则a n=103+13（n﹣1）=13n+90，b n=97﹣0.5（n﹣1）=97.5﹣0.5n，则数列{a n}与数列{b n}的前n项和为1125×2=2250，又∵数列{a n}的前n项和为×（103+13n+90）=×（193+13n），数列{b n}的前n项和为×（97+97.5﹣0.5n）=×（194.5﹣n），∴×（193+13n）+×（194.5﹣n）=2250，整理得：25n2+775n﹣9000=0，即n2+31n﹣360=0，解得：n=9或n=﹣40（舍），即九日相逢．故选：B．10．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（﹣，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），故选：C．11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x﹣2）=f（x+2）=f（2﹣x），即f（x）=f（x+4），即函数的周期是4．当x∈[0，2]时，﹣x∈[﹣2，0]，此时f（﹣x）=（）﹣x﹣1=f（x），即f（x）=2x﹣1，且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1．分别作出函数f（x）（图中黑色曲线）和y=log a（x+2）（图中红色曲线）图象如图：由在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，可得函数f（x）和y=log a（x+2）图象有3个交点，故有，求得＜a＜2，故选：D．12．（5分）设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：令，∵，∴函数g（x）为奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x2＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，，即g（1﹣m）≥g（m），∴1﹣m≤m，∴．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．13．（5分）已知非零向量，的夹角为60°，且||=1，|﹣|=1，则|+2|=．【解答】解：非零向量，的夹角为60°，且||=1，|﹣|=1，所以设，则△AOB是等边三角形，所以，所以|+2|2==1+4+2=7，所以|+2|=；故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=1，则实数a的值是±1．【解答】解：因为f（a）=1，且f（x）=．所以当a≥0时，有f（a）=2a﹣1=1⇒2a=2⇒a=1；当a＜0时，有f（a）=﹣a2﹣2a=1⇒（a+1）2=0⇒a=﹣1．综上得：a=±1．故答案为：±1．15．（5分）对函数，有下列说法：①f（x）的周期为4π，值域为[﹣3，1]；②f（x）的图象关于直线对称；③f（x）的图象关于点对称；④f（x）在上单调递增；⑤将f（x）的图象向左平移个单位，即得到函数的图象．其中正确的是①②④．（填上所有正确说法的序号）．【解答】解：对函数，他的周期为=4π，值域为[﹣3，1]，故①正确．当x=时，f（x）=1，为最大值，故f（x）的图象关于直线对称，故②正确．当x=﹣时，f（x）=﹣1，不是函数的最值，故故f（x）的图象不关于直线对称，故③错误．在上，x+∈（﹣，），故f（x）=2sin（x+）单调递增，故f（x）在上单调递增，故④正确．将f（x）的图象向左平移个单位，即可得到函数y=2sin[（x+）+]=2sin （x+）的图象，故⑤错误，故答案为：①②④．16．（5分）已知函数f（x）=lnx﹣x+﹣1，g（x）=﹣m，P={m|任意x1，x2∈（{0，2}），f（x1）≥g（x2）}，Q={m|任意x1∈（0，2），存在x2∈（0，）≥g（x2）}，则P∩Q=．2），f（x【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵，∴f′（x）=，由f′（x）＞0得，1＜x＜3，由f′（x）＜0得，0＜x＜1或x＞3，∴函数f（x）的单调递增区间为（1，3）；单调递减区间为（0，1），（3，+∞）；∴函数f（x）在区间（0，2）上的最小值为f（1）=﹣，∵g（x）=（）x﹣m在（0，2）上单调递减，∴g（x）＜1﹣m．则集合P满足1﹣m，即m，即P={m|m}，由于“对任意x1∈（0，2），总存在x2∈（0，2），使f（x1）≥g（x2）”，等价于“g（x）在区间（0，2）上的最小值不大于f（x）在区间（0，2）上的最小值﹣”即，∴m＞，即Q={m|m＞}，∴则P∩Q={m|m}，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，由正弦定理，得．…（6分）（Ⅱ）由得，，由得，，则，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，化简得，b2﹣2b﹣15=0，解得b=5或b=﹣3（舍负）．所以．…（13分）18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足．（1）求数列{a n}的通项公式并证明；（2）设函数，b n=f（a1）+f（a2）+…+f（a n），若．求T n．=（1﹣a n﹣1），a n=S n﹣S n﹣1，【解答】解：（1）当n≥2时，S n﹣1∴=，整理得：2a n=﹣a n+a n﹣1，∴，当n=1时，，解得：，∴数列{a n}是首项，公比为的等比数列，∴，证明：由等比数列前n项公式可知：，∵，∴，∴．（2）∵，∴=，=．∵，∴，∴T n=．19．（12分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x（x＞0），求用x表示AE的函数关系式；（2）设AD=x（x＞0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；（3）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请说明理由．【解答】解：（1）由题意：DE把草坪分成面积相等的两部分，AD=x，∴，即，∴（x＞0），…①（2）AD=x（x＞0），ED=y，在△ADE中，y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°，即y2=x2+AE2﹣x•AE，②①代入②得：（y＞0），∴（1≤x≤2）．（3）如果DE是水管，，当且仅当，即时“=”成立，故，即DE∥BC，且时，DE最短；如果DE是参观线路，记，根据勾勾函数的图象及性质，可知函数在上递减，在上递增，故f（x）max=f（1）=f（2）=5，∴，即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x0∈（0，），f（x0）=，若g（x）=1+2cos2x，求g（x0）的值；（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）﹣h（x）=0在[0，]上有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由图知A=2，（解法只要合理，均可给分）（1分），（2分）∴f（x）=2sin（2x+φ），∴，∴，，（3分）∴；（4分）（2），（6分）；（8分）（3），，（9分）=，（10分）∵，（11分）∴a∈[﹣2，1]．（12分）21．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（k∈R），（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+…+＜（n∈N，n＞1）．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，（x＞1）∴f′（x）=﹣k，当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数，当k＞0时，令f′（x）=0，得x=当f′（x）＞0，即1＜x＜时，函数为增函数，当f′（x）＜0，即x＞时，函数为减函数，综上所述，当k≤0时，函数f（x）在（1，+∞）为增函数，当k＞0时，函数f（x）在（1，）为增函数，在（，+∞）为减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当k≤0时，f′（x）＞0函数f（x）在定义域内单调递增，f （x）≤0不恒成立，当k＞0时，函数f（x）在（1，）为增函数，在（，+∞）为减函数．当x=时，f（x）取最大值，f（）=ln≤0∴k≥1，即实数k的取值范围为[1，+∞）（Ⅲ）由（Ⅱ）知k=1时，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2∴＜1﹣，取x=3，4，5…n，n+1累加得，∵==＜=∴+…+＜+++…+=，（n∈N，n＞1）．22．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=6sinθ，可化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9；（2）直线l的参数方程为为参数），代入x2+（y﹣3）2=9，可得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，∴t 1+t 2=﹣2（cosα﹣sinα），t 1t 2=﹣7， ∴===≥，∴的最小值为．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

福建省福州文博中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题

福建省福州文博中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题（完卷时间：120分钟，总分150分）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1、如果集合{}1->=x x P ，那么( )A ．P ⊆0B ．P ∈}0{C ．P ∈∅D ．P ⊆}0{2、下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是（）A ．21x y = B ．4x y = C ．1y x -= D ．3y x =3、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,)21(0,)(2x x x x f x ，则))2((-f f 的值是( )A ．4B ．41C ．81D ．1614、函数y =( ) A ．(0,2] B ．[)(,0)2,-∞⋃+∞ C ．[]0,2 D ．(,2]-∞5、函数||y x x =的图像大致是( )6、方程220xx --=的一个根所在的区间为（）A. (-3,-2)B. (-2,-1)C. (-1,0)D. (0,1)7、设a >l ，则0.20.2log 0.2、、a a a 的大小关系是( )A ．0.20.2log 0.2a a a <<B ．0.20.2log 0.2a a a <<C ．0.20.20.2log a a a <<D ．0.20.20.2log a a a <<8、若偶函数)(x f 在区间]0,5[-上是增函数且最小值为﹣4，则)(x f 在区间]5,0[上是( )A ．减函数且最小值为﹣4B ．增函数且最小值为﹣4C ．减函数且最大值为4D ．增函数且最大值为49、在映射:f A B →中，(){},|,A B x y x y R ==∈，且()():,,f x y x y x y →-+，则与A 中的元素()1,2-对应的B 中的元素为（） A ．()3.1- B ．()1,3 C ．()1,3-- D ．()3,110、已知函数1()lg,1xf x x-=+若()f a b =则()f a -的值是（） A ．b B ．b - C ．1b D ．1b-11、函数y ＝a x 在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数232ay x bx =++在[)0,+∞上是单调函数，则有（） A ．0b >B ．0b <C ．0b ≥D ．0b ≤12、对于函数12()f x x =定义域内的任意21,x x 且21x x ≠，给出下列结论：①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+； ②)()()(2121x f x f x x f ⋅=⋅； ③0)()(2121>--x x x f x f ； ④2)()()2(2121x f x f x x f +>+，其中正确结论的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：（每小题4分，共4小题16分）13、已知集合{0,1,2}A =，则集合A 的子集有___________个； 14、已知x x x f 2)1(2-=+，则(2)f = ；15、函数1()31x f x =+的定义域为_ ；16、对于函数()y f x =，若(2)()f x af x b =+(R b a ∈,)恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”；若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，(1)3f =，且当[1,2)x ∈时，()f x =23k x --，关于函数()f x 有以下三个判断：①k =4； ②()f x 在区间[1,2)上的值域是[3，4]； ③24)8(-=f . 则正确判断的所有序号是；三、解答题：本大题共6小题，共74分。

福建省福州文博中学高一数学上学期期末考试试题

福州文博中学2015-2016学年第一学期高一年级期末考数学科考试（题目卷）（完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（）A ．234aB ．233aC ．232aD ．23a3．若直线l 经过原点和点A （2，2），则它的倾斜角为( )A ．－45°B ．45°C ．135°D ．不存在4．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知A 1A=2，AD=1，AB=1.则对角线AC 1与平面ABCD 所成角为（）A.300B.450C.600D.9005.设m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，给出下列四个命题： ①若α⊥m ，α//n ，则n m ⊥ ②若βα//，γβ//，α⊥m ，则γ⊥m ③若α//m ，β//m ，则βα//④若γα⊥，γβ⊥，则βα//其中正确命题的序号是（）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④6.已知直线l ：20x y ++=与圆C ：22(1)(1)2x y -++=，则圆心C 到直线l 的距离( )A ．22B ．2C ．2D ．2 7．已知l 是过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线，下列结论错误的是（）. A. D 1B 1∥l B. BD //平面AD 1B 1 C. l ∥平面A 1D 1B 1 D. l ⊥B 1 C 18.在正方形S G 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，现沿S E 、S F 、EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3重合为点G ，则有（）.A. SG ⊥面EFGB. EG ⊥面SEFC. GF ⊥面SEFD. SG ⊥面SEF9.已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（） A ．12- B ．1C ．2D ．1210. 过点P(1,2)且与原点O 距离最大的直线l 的方程（）.A. 052=-+y xB.042=-+y xC. 073=-+y xD.053=-+y x 11．直线x+y+a=0半圆与y=21x -有两个不同的交点，则a 的取值范围是（） A ．[)2,1 B ． C ． D ． (]1,2--12.已知0≠ab ，点M （b a ,）是圆222r y x =+内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程是2r by ax =+，则下列结论正确的是（） A ．m ∥l 且l 与圆相交 B. m ⊥l 且l 与圆相切 C ． m ∥l 且l 与圆相离 D. m ⊥l 且l 与圆相切离二、填空题（每小题4分，共4小题，满分16分）13、点P （5，－2）关于直线x －y +5=0 对称的点Q 的坐标。

2016-2017年福建省福州市文博中学高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

2016-2017学年福建省福州市文博中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，复数化简是（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i2．（5分）设全集U=R，集合A={x|x≥0}，B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜0}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x＜3}3．（5分）D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（）A．B．C．D．4．（5分）已知cos（π﹣α）=﹣且α是第一象限角，则sinα=（）A．B．C．D．5．（5分）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1），若，则函数y=log a|x|的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）=x2+（π﹣a）x，g（x）=cos（2x+a）则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，函数f（x）和g（x）都是奇函数B．∃a∈R，函数f（x）和g（x）都是奇函数C．∀a∈R，函数f（x）和g（x）都是偶函数D．∃a∈R，函数f（x）和g（x）都是偶函数7．（5分）点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图2中的（）A．①、②、③B．②、③、④C．①、③、④D．②、④、③8．（5分）已知正六边形ABCDEF的边长为1，则的值为（）A．B．C．D．9．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S5=（）A．B．C．D．10．（5分）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0ω＞0，，x∈R）在一个周期的图象如图所示，当时，=（）A．B．C．D．11．（5分）点A、B、C、D在同一球面上，AD⊥平面ABC，AD=AC=5，AB=3，BC=4，则该球的表面积为（）A．B．C．50πD．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：，且f（0）=，则的最小值为（）A．0 B．C．1 D．2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．13．（5分）设函数，若f（1）=3，则f（﹣2）的值为．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，a2=2bc+3c2，则=．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，且2nS n=（n+1）S n+1+（n﹣1）S n﹣1（n ≥2，n∈N），则S30=．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．18．（12分）已知等比数列{a n}的前n项为和S n，且a3﹣3a2=0，S2=12，数列{b n}中，b1=1，b n+1﹣b n=2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前N项和T n．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PCD；（Ⅱ）若△PAC是边长为2的等边三角形，PB=，求三棱锥P﹣BEC的体积．20．（12分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x（x＞0），求用x表示AE的函数关系式；（2）设AD=x（x＞0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；（3）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=mlnx+（其中m为常数），且x=1是f（x）的极值点．（Ⅰ）设曲线y=f（x）在（，f（））处的切线为l，求l与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）求证：f（x）＞4f′（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．2016-2017学年福建省福州市文博中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，复数化简是（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：复数===1﹣i．故选：D．2．（5分）设全集U=R，集合A={x|x≥0}，B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜0}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x＜3}【解答】解：全集U=R，集合A={x|x≥0}，∴∁U A={x|x＜0}，集合B={x|（x﹣3）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜3}．那么（∁U A）∩B={x|﹣1＜x＜0}．故选：B．3．（5分）D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点．∴．故选：C．4．（5分）已知cos（π﹣α）=﹣且α是第一象限角，则sinα=（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（π﹣α）=﹣，∴cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，则cosα=，∵α是第一象限角，∴sinα===．故选：B．5．（5分）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1），若，则函数y=log a|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=a x，，∴a=，故函数y=log a|x|的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上为减函数，故选：A．6．（5分）若函数f（x）=x2+（π﹣a）x，g（x）=cos（2x+a）则下列结论正确的是（）A．∀a∈R，函数f（x）和g（x）都是奇函数B．∃a∈R，函数f（x）和g（x）都是奇函数C．∀a∈R，函数f（x）和g（x）都是偶函数D．∃a∈R，函数f（x）和g（x）都是偶函数【解答】解：∵函数f（x）=x2+（π﹣a）x，g（x）=cos（2x+a）当a=π时，函数f（x）和g（x）均为偶函数，故∃a∈R，函数f（x）和g（x）都是偶函数正确，故选：D．7．（5分）点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图2中的（）A．①、②、③B．②、③、④C．①、③、④D．②、④、③【解答】解：由正视图的定义可知：点A、B、B1在后面的投影点分别是点D、C、C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②，左视图为③，俯视图为④；故选：B．8．（5分）已知正六边形ABCDEF的边长为1，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，在△ABC中，AB=BC=1，∠BAC=30°；∴；∴=．故选：D．9．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S5=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为=2n﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣，∴S n=2n﹣1+2﹣，∴S5=25+1﹣=32．故选：B．10．（5分）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0ω＞0，，x∈R）在一个周期的图象如图所示，当时，=（）A．B．C．D．【解答】解：根据f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0ω＞0，，x∈R）在一个周期的图象，可得A=1，==+，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，f（x）=sin（2x+）．故当=sin（2x+）时，=sin（+2x﹣）=sin（2x+）=，故选：B．11．（5分）点A、B、C、D在同一球面上，AD⊥平面ABC，AD=AC=5，AB=3，BC=4，则该球的表面积为（）A．B．C．50πD．【解答】解：由题意画出图形如图，∵三棱锥D﹣ABC的顶点都在球O的球面上，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD=5，且DA⊥平面ABC，∴三棱锥扩展为长方体，长方体的对角线的长为：DC，∵AD⊥AC，AC=5，∴DC=5，∴球的半径为．∴球O的表面积S=4π×（）2=50π．故选：C．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：，且f（0）=，则的最小值为（）A．0 B．C．1 D．2【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，则g（x）==x2+c，即f（x）=（x2+c）e x，∵f（0）=，∴f（0）=ce0=c=，则f（x）=（x2+）e x，则==（|x|+）≥2=1，即的最小值为1，故选：C．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．13．（5分）设函数，若f（1）=3，则f（﹣2）的值为2．【解答】解：∵函数，f（1）=3，∴f（1）=41﹣a=3，解得a=1，∴f（﹣2）=log2（﹣2）+a=log22+1=2．故答案为：2．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为6．【解答】解：作出可行域如图，由z=x+2y知，y=﹣x+z，所以动直线y=﹣x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（2，2）．结合可行域可知当动直线经过点A（2，2）时，目标函数取得最大值z=2+2×2=6．故答案为：6．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，a2=2bc+3c2，则=．【解答】解：∵，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：a2=b2+c2+bc，①又∵a2=2bc+3c2，②∴②﹣①，可得：2c2+bc﹣b2=0，∴2（）2+﹣1=0，∴解得：=，或﹣1（舍去）．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，且2nS n=（n+1）S n+1+（n﹣1）S n﹣1（n≥2，n∈N），则S30=．【解答】解：∵2nS n=（n+1）S n+1+（n﹣1）S n﹣1（n≥2，n∈N），∴（n﹣1）a n=（n+1）a n+1，∴=．∴a n=••…•××a2=×…××3==6．∴S30=1+6×+…+=1+6×=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．【解答】解：（1）f（x）=•=2cos2x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，函数y=f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，（Ⅱ）∵f（A）=2∴2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=…（7分）．又∵0＜A＜π，∴A=．…（8分）∵a=，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①…（9分）∵sinB=2sinC∴b=2c ②…（10分）由①②得c2=．…（11分）∴S△ABC=．…（12分）18．（12分）已知等比数列{a n}的前n项为和S n，且a3﹣3a2=0，S2=12，数列{b n}中，b1=1，b n+1﹣b n=2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前N项和T n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a3﹣3a2=0，S2=12，∴a1q2﹣3a1q=0，a1+a1q=12，解得q=3，a1=3，∴数列{a n}是等比数列，∴a n=3n．﹣b n=2，即数列{b n}是以2为公差的等差数列，∵b n+1又b1=1，∴b n=2n﹣1；（2）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）•3n∵T n=1×3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，∴3T n=1×32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1，两式相减得：﹣2T n=3+2×（32+33+34+…+3n）﹣（2n﹣1）3n+1=﹣6﹣2（n﹣1）3n+1，∴T n=3+（n﹣1）3n+1．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PCD；（Ⅱ）若△PAC是边长为2的等边三角形，PB=，求三棱锥P﹣BEC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，∴∠ACB=∠DAC=45°，，∴BC∥AD，，（2分）取PD中点F，连结EF，FC，∵E为PA的中点，∴EF∥AD，，∴EF∥BC，EF=BC，∴四边形EFCB为平行四边形，∴BE∥CF．（4分）又BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD．（6分）（Ⅱ）解：∵，∴PC2=PB2+BC2，∴BC⊥PB．（7分）又BC⊥AB，PB∩AB=B，∴BC⊥平面PAB．（8分）∵，∴PA2=PB2+AB2，∴PB⊥AB．（9分）∴．（10分）=V C﹣PBE====．（12分）∴V A﹣BEC20．（12分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x（x＞0），求用x表示AE的函数关系式；（2）设AD=x（x＞0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；（3）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请说明理由．【解答】解：（1）由题意：DE把草坪分成面积相等的两部分，AD=x，∴，即，∴（x＞0），…①（2）AD=x（x＞0），ED=y，在△ADE中，y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°，即y2=x2+AE2﹣x•AE，②①代入②得：（y＞0），∴（1≤x≤2）．（3）如果DE是水管，，当且仅当，即时“=”成立，故，即DE∥BC，且时，DE最短；如果DE是参观线路，记，根据勾勾函数的图象及性质，可知函数在上递减，在上递增，故f（x）max=f（1）=f（2）=5，∴，即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．21．（12分）已知函数f（x）=mlnx+（其中m为常数），且x=1是f（x）的极值点．（Ⅰ）设曲线y=f（x）在（，f（））处的切线为l，求l与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）求证：f（x）＞4f′（x）．【解答】（Ⅰ）解：由已知可得，则f'（1）=0⇒m=0或m=1，而当m=0与条件不符（舍去），∴m=1．…（2分）所以，，从而，，故切线l的方程为：，…（4分）l与坐标轴的交点分别为，B（0，2e﹣2），所以切线l与坐标轴所围成的三角形的面积为=．…（6分）（Ⅱ）证明：对于，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x=1时，f'（x）=0，当x＞1时，f'（x）＞0．∴f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）递增，故（f（x））min=f极小值（x）=f（1）=1．…（8分）又，令，则，从而，即（4f'（x））max=4f'（2）=1．…（10分）故f（x）≥1≥4f'（x），但f（x）与4f'（x）不同时取得最值，所以上式等号不同时成立，即f（x）＞4f'（x）成立．…（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．。

高中福建省福州市鼓楼区高一上学期期中数学试题

福建省福州市鼓楼区【精品】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ={-1，0，1，2}，{|02}B x x =≤<，则A B =( )A ．{1,-0，1}B ．{0,1，2}C ．{}0,1D ．{}1,22．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（） A ．12y x =B ．23y x =C ．4y x -=D ．13y x =3．下列给出的同组函数中，表示同一函数的是（）0(1)()()1,? 0(2)()(){;1,0(3)()1().f x g x x xf xg x x xf xg x x ==>==-<==和和A ．（1）、（2）B ．（2）C ．（1）、（3）D ．（3）4．函数()f x = ）A ．(1,0)(0,1]-⋃B ．(]1,1-C ．(4,1]-D ．(4,0)(0,1]-⋃5．函数21()()1f x x R x =∈+的值域是（） A ．()0,1 B ．(]0,1C ．[)0,1D ．[]0,16．函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图像可能是（）． A ． B ．C ．D ．7．已知函数()11(0,1)x f x a a a -=+>≠的图象恒过点A ，下列函数图象不经过点A( )A．2y =B ．21y x =-+C ．131y x-=+D ．12x y -=8．“()20a b c -⋅>”是“a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．若()14f x x =,则不等式816f x f x 的解集是( )A ．162,7⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．(]0,2 C ．[)2,+∞D ．()0,∞+10．已知函数()f x =m 的取值范围是（） A ．04m <≤B ．01m ≤≤C ．4m ≥D ．04m ≤≤11．已知函数()()()211,121,1a x a x f x a x x ⎧--≤⎪=⎨⎪+>⎩为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(),1-∞-B ．(),4-∞-C ．(]1,4--D ．(],4-∞-12．已知函数()21f x ax x =-+，（0a ≠），若任意1x ，[)21x ∈+∞,且12x x ≠都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（）A ．[)1,+∞ B ．(]0,1C ．[)2,+∞D ．()0,∞+二、填空题13．已知函数()212f x x x -=-，则()2f =______．14．已知函数()35bf x ax x=++，且()79f =，则()7f -=______．15．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则a =______．16．给出以下四个命题：①若集合{},A x y =，{}20,B x =，A B =，则1x =，0y =；②若函数()f x 的定义域为()1,1-，则函数()21f x +的定义域为()1,0-； ③若函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞⋃+∞； ④命题“R x Q ∃∈，3x Q ∈”的否定是“x Q ∀∈，3x Q ∉”其中正确的命题有______.(只填序号)三、解答题 17．计算：()2133227101(2))(2)(0.25)927π----+；()2已知13x x -+=，求1122x x -+．18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．()1现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数()f x 的图象，并根据图象写出函数()f x 的增区间；()2写出函数()f x 的解析式和值域．19．已知全集U R =，集合{|15}A x x =≤<，{|28}B x x =<<，{|3}C x a x a =<≤+．()1求A B ⋃，()U A B ⋂；()2若“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．20．已知函数f (x )＝211x x -+，x ∈[3，5]．（1）判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；（2）求该函数的最大值和最小值． 21．设函数f （x ）＝x 2﹣3x（1）若不等式f （x ）≥m 对任意x ∈[0，1]恒成立，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，当m 取最大值时，设x ＞0，y ＞0且2x +4y +m ＝0，求11x y+的最小值.22．设函数()2(01,)xxf x ka a a a k R -=->≠∈且，()f x 是定义域为R 的奇函数．（1）确定k 的值；（2）若()13f =，函数()()222xx g x aa f x -=+-，[]0,2x ∈，求()g x 的最小值；（3）若3a =，是否存在正整数λ，使得()()()221f x f x λ≤+对[]2,1x ∈--恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．参考答案1．C 【解析】【分析】由交集的概念直接运算即可．【详解】解：{}A 1,0,1,2=-,{|02}B x x =≤<,{}0,1A B ∴⋂=.故选:C. 【点睛】本题考查了列举法,描述法的定义,交集的运算,考查了计算能力,属于基础题. 2．B 【解析】对于A ，12y x =定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，所以A 不具有奇偶性，不对；对于B ，23y x =是过点()0,0，()1,1的偶函数，B 对；对于C ，4y x -=定义域为{}|0x x ≠ 不过点()0,0，不对；对于D ，13y x =过点()0,0，()1,1但它为奇函数，不对；故选B 3．B 【解析】试题分析：（1），，所以不是同一函数，（2），函数的三个要素一样，所以是同一函数，（3）的定义域是,的定义域是，定义域不同，所以不是同一函数．考点：函数的表示方法 4．A 【解析】【分析】根据函数解析式，写出自变量满足的条件，即可求解. 【详解】要使函数有意义，则23401011x x x x ⎧--+≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得11x -<≤且0x ≠，所以函数定义域为(1,0)(0,1]-⋃. 故选：A 【点睛】本题主要考查了给出解析式的函数的定义域，属于中档题. 5．B 【分析】本题首先可令21t x =+，然后将函数21()1f x x=+转化为1y t =，最后利用反比例函数性质得出当[)1,+t ∈∞时函数1y t=的值域，即可得出结果. 【详解】令21t x =+，则[)1,+t ∈∞，因为函数1y t=在[)1,+∞上单调递减，所以当[)1,+t ∈∞时函数1y t=的值域为(]0,1，则函数21()()1f x x R x=∈+值域为(]0,1，故选：B. 【点睛】本题考查函数值域的求法，考查通过换元法求函数值域，考查反比例函数的性质，考查推理能力，是简单题. 6．D 【解析】试题分析：∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ，当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.考点：函数图象的平移. 7．D 【分析】令10x -=求得()f x 图象恒过点A 的坐标,再验证选项中的函数是否过点A . 【详解】解：函数()11x f x a-=+中,令10x -=,解得1x =,()0112y f a ==+=,所以()f x 的图象恒过点A(1,2);对于A,1x =时,22y ==,则函数图象过点A ; 对于B,1x =时,1212y =-+=,则函数图象过点A ; 对于C,1x =时,13112y -=+=,则函数图象过点A ;对于D,1x =时,1121y -==, 则函数图象不过点A .故选:D. 【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的问题,属于基础题. 8．A 【分析】利用不等式的性质,结合充分条件和必要条件的概念判断即可得出答案. 【详解】解：由()20a b c -⋅>,得20c >,a b ∴>,则()20a b c -⋅>是a b >的充分条件;反之,由a b >,得()20a b c -⋅≥,则()20a b c -⋅>是a b >的不必要条件;∴“()20a b c -⋅>”是“a b >”的充分不必要条件.故选:A. 【点睛】本题考查不等式的基本性质,考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题. 9．A 【分析】由幂函数()14f x x =的定义域和单调性得出不等式组08160816x x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪>-⎩,解不等式组即可得出答案. 【详解】解：由()14f x x=得()f x 是定义在[)0,+∞上的增函数,则由不等式816f xf x 得()()082082x x x x ⎧≥⎪-≥⎨⎪>-⎩,解得:162x 7≤<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的定义域和单调性的应用,属于基础题,本题易错点是不考虑定义域. 10．D 【解析】试题分析：因为函数()f x =0m =时，函数1f x对定义域上的一切实数恒成立；当0m >时，则240m m ∆=-≤，解得04m <≤，综上所述，可知实数m 的取值范围是04m ≤≤，故选D. 考点：函数的定义域. 11．D 【分析】根据分段函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】解：若函数()f x 在R 上为减函数,则10101112a a a a a ⎧⎪-<⎪+<⎨⎪⎪--≥+⎩, 即114a a a <⎧⎪<-⎨⎪≤-⎩,解得4a ≤-, 即实数a 的取值范围是(],4-∞-, 故选:D. 【点睛】本题主要考查了分段函数单调性的应用,深刻理解分段函数单调性的性质是解决本题的关键,是常考题型,属于基础题. 12．A 【分析】设12x x >，由已知可得()()1122f x x f x x ->-，从而可得函数()f x x -在[)1,+∞上单调递增，进而得到关于a 的不等式，解出即可. 【详解】设12x x >，因为对任意的1x ，[)21x ∈+∞,且12x x ≠都有()()12121f x f x x x ->-，故可得()()1122f x x f x x ->-，可得函数()f x x -在[)1,+∞上单调递增，()221f x x ax x +=-+的对称轴为1x a=， ∴011a a>⎧⎪⎨≤⎪⎩，解之得1a ≥.故a 的取值范围是[)1,+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 13．3【分析】推导出函数()212f x x x -=-,()()231f f =-,由此能求出结果.【详解】解：函数()212f x x x -=-,()()22313233f f ∴=-=-⨯=.故答案为:3. 【点睛】本题考查函数值的求法,考查函数性质的应用,考查运算求解能力,属于基础题. 14．1 【分析】由已知可得()377597b f a =++=,从而可求377ba +,然后代入()7f -即可求解. 【详解】解：()35bf x ax x=++, ()377597bf a ∴=++=,3747b a ∴+=,由()337777b b a a ⎛⎫-+=-+ ⎪-⎝⎭, 则()37754517b f a ⎛⎫-=-++=-+= ⎪⎝⎭.故答案为:1. 【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值,解题的关键是整体思想的应用. 15．14【分析】由已知分段函数表达式可看出在分段定义域上均为单调增函数,则可得0111a a <<⎧⎨+≥⎩或0111a a <+<⎧⎨≥⎩,分别讨论a 的值,利用()()1f a f a =+求出a 的值即可.【详解】解：由()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩可得在分段定义域上函数均为单调增函数,当()0,1a ∈,[11,)a +∈+∞时,得()0,1a ∈,由()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,()()1f a f a =+,2a =,解得14a =;当[)1,a ∈+∞,()10,1a +∈时解得a 无解. 故答案为:14. 【点睛】本题考查了分段函数的应用,考查分类讨论思想以及计算能力,属于基础题. 16．①② 【分析】直接利用集合的元素的性质,函数的定义域的求法,函数的图象,命题的否定的应用求出结果. 【详解】解：①若集合{},A x y =,{}20,B x =,当A B =,所以:2x x y=⎧⎨=⎩与集合的元素的互异性相矛盾，故舍去，则20x x y ⎧=⎨=⎩解得1x =,0y =;故正确.②若函数()f x 的定义域为()1,1-,则1211x -<+<,解得10x -<<,所以函数()21f x +的定义域为()1,0-;故正确.③利用函数()1f x x=的图象,单调递减区间是(),0-∞和()0,∞+;故错误. ④命题“R x Q ∃∈,3x Q ∈”的否定是“R x C Q ∀∈，3x Q ∉”,故错误.故答案为:①② 【点睛】本题考查的知识要点:集合的元素的性质的应用,函数的定义域的求法和应用,函数的图象单调性的应用,命题的否定的应用,主要考查学生的转换能力及思维能力,属于基础题型.17．（1）38948;（2【分析】()1利用指数幂的运算性质即可得出;()2利用指数幂的运算性质结合完全平方公式即可得出.【详解】解：()1原式21332225641()1()()9274--=--+5918316=--+ 38948=; ()123x x -+=,112122()25x x x x --∴+=++=,又11220x x-+>,1122x x-∴+=.【点睛】本题考查了指数幂的运算性质,属于基础题. 18．（1）递增区间是()1,0-，()1,+∞，图像见解析（2）()222,0{|1}2,0x x x f x y y x x x ⎧+≤=≥-⎨->⎩，【分析】() 1由函数为偶函数,图象关于y 轴对称,故直接补出完整函数()f x 的图象即可,再由图象直接可写出()f x 的增区间;()2直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到.【详解】解：()1因为函数为偶函数,故图象关于y 轴对称,补出完整函数图象如图所示:由图可得函数()f x 的递增区间是()1,0-,()1,+∞.()2设0x >,则0x -<,所以()22f x x x -=-,因为()f x 是定义在R 上的偶函数,所以()()f x f x -=,所以0x >时,()22f x x x =-, 故()f x 的解析式为()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 由图像可得值域为{|1}y y ≥-. 【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题.19．（1）{}()|18{|58}U A B x x C A B x x ⋃=≤<⋂=≤<，;（2）[)1,2 【分析】() 1根据集合运算定义直接进行计算即可;()2由“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件,得集合CA ,再结合集合的包含关系,求出a的取值范围即可. 【详解】解:()1集合{|15}A x x =≤<,{|28}{|18}B x x A B x x =<<∴⋃=≤<,(){|1U C A x x =<或5}x ,(){|58}U C A B x x ⋂=≤<;()2“x C ∈”为“x A ∈”的充分不必要条件,得C A ,351a a +<⎧∴⎨≥⎩,解得12a ≤<,故a 的取值范围是[)1,2. 【点睛】本题考查了集合的运算,集合与充分必要条件的转化关系,属于基础题. 20．（1）单调递增；证明见解析；（2）f (x )min ＝54，f (x )max ＝32. 【分析】（1）直接利用函数的单调性的定义证明即可；（2）利用函数的单调性，直接求解函数的最值即可．【详解】证明：设任意x 1，x 2，满足3≤x 1<x 2≤5. 因为()()()()()()()()()()()122112121212121221121132121111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x -+--+----=-==++++++因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )＝211x x -+在[3，5]上是单调递增的．（2）由（1）可知函数是增函数， ∴f (x )min ＝f （3）＝2315=314⨯-+，f (x )max ＝f (5)＝25193==5162⨯-+. 【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力． 21．(1) m ≤﹣. 【分析】（1）分析函数f （x ）＝x 2﹣3x 在[0，1]上的单调性，进而求出函数的最小值，可得实数m 的取值范围；（2）由（1）得：m ＝﹣2，即x +2y ＝1，利用基本不等式，可得11x y+的最小值．【详解】解：（1）函数f （x ）＝x 2﹣3x 的图象是开口朝上，且以直线x 32=为对称轴的抛物线，故函数f （x ）＝x 2﹣3x 在[0，1]上单调递减，当x ＝1时，函数取最小值﹣2，若不等式f （x ）≥m 对任意x ∈[0，1]恒成立，则m ≤﹣2；（2）由（1）得：m ＝﹣2，即2x +4y ＝2，即x +2y ＝1 由x ＞0，y ＞0故11x y +=（11x y +）（x +2y ）＝32y x x y ++≥=即11x y+的最小值为．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键． 22．（1）2 ；（2）2-；（3）存在，{}1,2,3,4,5．【解析】【分析】（1）由题可知，()00f =，代入函数解析式即可求出k 的值；（2）根据已知条件得2a =，运用换元法令22x x t -=-，得函数()()215420,4g x h t t t t ⎡⎤==-+∈⎢⎥⎣⎦，,结合二次函数的图象与性质即可求出最小值；（3）由题意，将问题转化为()11233xxλ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭在[]2,1x ∈--恒成立，【详解】解：（1）()2(01,)xxf x ka a a a k R -=->≠∈且是定义域为R 上的奇函数，()00f ∴=，得2k =，()22xxf x a a -=-，经验证符合题意，2k ∴=．（2）由（1）可知，()22xxf x a a -=-，又()13,f =1223a a -∴-=，即22320,a a --=2a ∴=或12a =-（舍去），2a ∴=,()()()()22222422224222x x x x x xx x g x ----=+--=---+，令()2202xxt x -=-≤≤，22x x t -=-在[]02，是增函数，得150,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()215420,4g x h t t t t ⎡⎤==-+∈⎢⎥⎣⎦，,函数对称轴1520,4t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦可知2t =时，有最小值2-. （3）存在理由如下：3a =，()()2299xxf x -=-，()()233xx f x -=- ，则()()()4992133x xxx λ---≤+-对[]2,1x ∈--恒成立，330,x x --<所以()11233x xλ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，设113,,93xu u ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦易证1z u u =+在11,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，当13u = 时最小值103min Z =，即[]2,1x ∈--时，1233xxy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为203，所以2013λ+≤，173λ≤， ∵λ是正整数， ∴{}1,2,3,4,5λ∈．【点睛】本题考查奇函数的性质，考查运用构造函数法和换元法求解函数的最值和不等式恒成立问题的方法，考查转化思想和计算能力.。

2015-2016年福建省福州市文博中学高一上学期期末数学试卷与答案Word版

2015-2016学年福建省福州市文博中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对2．（5.00分）各棱长均为a的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．3．（5.00分）若直线l经过原点和点A（2，2），则它的倾斜角为（）A．﹣45°B．45°C．135° D．不存在4．（5.00分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知A1A=，AD=1，AB=1，则对角线AC1与平面ABCD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④6．（5.00分）已知直线l：x+y+2=0与圆C：（x﹣1）2+（y+1）2=2，则圆心C到直线l的距离（）A．B．2 C．D．7．（5.00分）已知l是过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（）A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1D1B1D．l⊥B1C18．（5.00分）如图（1）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1，G2，G3三点重合于G，下面结论成立的是（）A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF D．DG⊥平面SEF 9．（5.00分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．10．（5.00分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=011．（5.00分）直线x+y+a=0半圆与y=有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．[1，）B．[1，]C．[﹣，1]D．（﹣，﹣1]12．（5.00分）已知ab≠0，点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=r2，则下列结论正确的是（）A．m∥l，且l与圆相交 B．l⊥m，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离 D．l⊥m，且l与圆相离二、填空题（每小题4分，共4小题，满分16分）13．（4.00分）点P（5，﹣2）关于直线x﹣y+5=0 对称的点Q的坐标．14．（4.00分）水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为．15．（4.00分）已知C的圆心为（0，﹣1），直3x+4y﹣11=0与C相交A，B两点，并且弦|AB|=6，则C的方程为．16．（4.00分）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12.00分）已知一个几何体的三视图如下图，大致画出它的直观图，并求出它的表面积和体积．18．（12.00分）已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0．试确定m，n的值，使（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为﹣1．19．（12.00分）如图，在棱长都等于1的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，D、E分别为AA1、B1C的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BDE的体积．20．（12.00分）如图，圆x2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦，（1）当α=135°时，求|AB|（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．（3）求过点P的弦的中点的轨迹方程．21．（12.00分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．22．（14.00分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．附加题23．已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．2015-2016学年福建省福州市文博中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为正方形，下面看是正方形，并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，故这个三视图是四棱台．故选A．2．（5.00分）各棱长均为a的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即：4×=故选：D．3．（5.00分）若直线l经过原点和点A（2，2），则它的倾斜角为（）A．﹣45°B．45°C．135° D．不存在【解答】解：设直线l的倾斜角为α，则0°≤α＜180°，∵直线l经过原点和点（2，2），∴l的斜率为k==1，∴k=tanα=1，∴α=45°；故选：B．4．（5.00分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知A1A=，AD=1，AB=1，则对角线AC1与平面ABCD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接AC，则长方体中，C1C⊥平面ABCD，则∠C1AC是对角线AC1与平面ABCD所成的角，∵AD=1，AB=1，∴AC=，∵A1A=，∴tan∠C1AC===1，即∠C1AC=45°，故选：B．5．（5.00分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【解答】解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A．6．（5.00分）已知直线l：x+y+2=0与圆C：（x﹣1）2+（y+1）2=2，则圆心C到直线l的距离（）A．B．2 C．D．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y+1）2=2的圆心（1，﹣1），圆心C到直线l的距离为：d==．故选：C．7．（5.00分）已知l是过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（）A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1D1B1D．l⊥B1C1【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1B1∥BD，∵BD⊂平面ABCD，D1B1⊄平面ABCD∴D1B1∥平面ABCD．又∵平面ABCD∩平面AD1B1=l，∴D1B1∥l．故A正确；∵D1B1⊂平面A1D1B1，∴l∥平面A1D1B1，选项C正确；∵BD∥D1B1，D1B1⊂平面AD1B1，∴BD∥平面AD1B1，故B正确．从而选D．故选：D．8．（5.00分）如图（1）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1，G2，G3三点重合于G，下面结论成立的是（）A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF D．DG⊥平面SEF 【解答】证明：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG．故选：A．9．（5.00分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选：C．10．（5.00分）过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选：A．11．（5.00分）直线x+y+a=0半圆与y=有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．[1，）B．[1，]C．[﹣，1]D．（﹣，﹣1]【解答】解；曲线y=表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分．作出曲线y=的图象，在统一坐标系中，再作出斜率是1的直线，由左向右移动，可发现，直线先与圆相切，再与圆有两个交点，求出相切时的a值为：﹣，最后有两个交点时的a值为﹣1，则﹣＜a≤﹣1．故选：D．12．（5.00分）已知ab≠0，点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=r2，则下列结论正确的是（）A．m∥l，且l与圆相交 B．l⊥m，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离 D．l⊥m，且l与圆相离【解答】解：以点M为中点的弦所在的直线的斜率是，直线m∥l，点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，所以a2+b2＜r2，圆心到ax+by=r2，距离是＞r，故相离．故选：C．二、填空题（每小题4分，共4小题，满分16分）13．（4.00分）点P（5，﹣2）关于直线x﹣y+5=0 对称的点Q的坐标（﹣7，10）．【解答】解：设点P（5，﹣2）关于直线x﹣y+5=0 对称的点Q的坐标为（a b），则由，求得，故点Q的坐标为（﹣7，10），故答案为：（﹣7，10）．14．（4.00分）水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为．【解答】解：∵直观图中A′C′=3，B′C′=2，∴Rt△ABC中，AC=3，BC=4由勾股定理可得AB=5则AB边上的中线的实际长度为故答案为：15．（4.00分）已知C的圆心为（0，﹣1），直3x+4y﹣11=0与C相交A，B两点，并且弦|AB|=6，则C的方程为x2+（y+1）2=18（或写成：x2+y2+2y﹣17=0）．【解答】解：圆心（0，﹣1）到直线3x+4y﹣11=0的距离为=3，再由弦长公式得6=2，∴半径r=3，故圆的方程为x2+（y+1）2=18，故答案为：x2+（y+1）2=18．16．（4.00分）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为12．【解答】解：如图，若投影投在AA1D1D或BB1CC1平面上，投影面积由E点确定，最大面积为8，E 与A1重合时取最大面积；若投影投在ABCD或A1B1C1D1平面上，投影面积由F点确定，最大面积为8，F 与D1重合时取最大面积；若投影投在ABA1B1或DD1CC1平面上，投影面积由E点与F点确定，当E与A1，F与C1重合时，可得最大面积，G投在BB1的中点，是个直角梯形S==12．故答案为12．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12.00分）已知一个几何体的三视图如下图，大致画出它的直观图，并求出它的表面积和体积．【解答】解：几何体是一个以直角梯形为底面的直四棱柱．由三视图得：此棱柱的高是1，底面直角梯形的两个底边长分别为1与2，垂直于底边的腰长度是1，故与底边不垂直的腰的长度为，所以体积，表面积S表面=2S底+S侧面=．18．（12.00分）已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0．试确定m，n的值，使（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为﹣1．【解答】解：（1）当m=0时，显然l1与l2不平行．当m≠0时，由=≠得m•m﹣8×2=0，得m=±4，8×（﹣1）﹣n•m≠0，得n≠±2，故当m=4，n≠﹣2时，或m=﹣4，n≠2时，l1∥l2．（2）当且仅当m•2+8•m=0，即m=0时，l1⊥l2．又﹣=﹣1，∴n=8．即m=0，n=8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为﹣1．19．（12.00分）如图，在棱长都等于1的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，D、E分别为AA1、B1C的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥B1﹣BDE的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：取BC中点G，连结AG，EG，∵G，E分别为CB，CB1的中点，∴EG∥BB1，…2 分∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，AA1∥BB1，AA1=BB1，D为AA1中点∴AD∥BB1，AD=BB1，∴EG∥AD，EG=AD，∴四边形ADEG为平行四边形∴AG∥DE又∵AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC；（Ⅱ）∵BB1⊥平面ABC，AG⊂平面ABC，∴AG⊥BB1，∵AB=BC，G为BC中点，∴AG⊥BC∴AG⊥平面B1BE又DE∥AG，DE=AG，∴DE⊥平面B1BE且DE=AG=∵E为B1C中点，∴∴三棱锥B1﹣BDE的体积．20．（12.00分）如图，圆x2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦，（1）当α=135°时，求|AB|（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．（3）求过点P的弦的中点的轨迹方程．【解答】解：（1）过点O做OG⊥AB于G，连接OA，当α=1350时，直线AB的斜率为﹣1，故直线AB的方程x+y﹣1=0，∴OG=∵r=∴，∴（2）当弦AB被P平分时，OP⊥AB，此时K OP=﹣2，∴AB的点斜式方程为（x+1），即x﹣2y+5=0（3）设AB的中点为M（x，y），AB的斜率为K，OM⊥AB，则消去K，得x2+y2﹣2y+x=0，当AB的斜率K不存在时也成立，故过点P的弦的中点的轨迹方程为x2+y2﹣2y+x=021．（12.00分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，所以OF∥DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE∥平面ACF…．（4分）（II）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（9分）（III）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，∴CG⊥EO．由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得．…（14分）22．（14.00分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1（2分）d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=（8分）整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）附加题23．已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（1）由题意知，圆M的半径r=2，M（0，4），设P（2b，b），∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP=90°，∴，解得，∴P（0，0）或．（2）设P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，由，解得或，∴圆过定点（0，4），．（3）因为圆N 方程为，即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0，②﹣①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，点M到直线AB 的距离，相交弦长即：，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页（共21页）函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f ．(．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．当时，AB 有最小值．。

福建省福州文博中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案

福州文博中学2015-2016学年第一学期高一年级期中考数学考试（题目卷）（完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则AB 等于A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．1D ． {}12. 若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ,则B A ⋃的子集个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．163.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．y ＝1，xxy =B ．y ＝lgx 2，y ＝2lgxC ．y ＝x ，33x y=D ．x=y ，2)(x y =4.用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0.1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)5.函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（）A.（-∞，1）B.（1，+∞）C.（-1,1）∪（1，+∞）D.（-∞，+∞） 6．方程3lg =+x x 的解所在区间为（）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞) 7.已知322.5a -=， 23log 2.5b =， 22.5c -=，则a 、b 、c 的大小关系是（）A.a > b > cB.b> a > cC.c> a > bD..a > c > b8. 某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%,因库存积压，若按9折出售，每件还可获利（）A 15B 25C 35D 459.已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g ＝x 的解集为 ( ) A.{1} B.{2} C.{3} D.∅10.如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上（） A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5- C ．减函数且最大值是5- D ．减函数且最小值是5-12. 若函数)(x f 满足)()(x f x f =-，且0>x 时，xx f 3)(=，则0<x 时，)(x f 等于（）A ．x-3B ．x 3C ．-x-3D ．-x3二、填空题：（本大题4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13、函数)(x f 是幂函数，其图象过点（2,8），则f(3)=14、已知函数()()()200x x f x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则f 的值是 . 15、函数log a y x =在上的最大值比最小值大1，则 a 的值是 .16. 已知集合M 为点集，记性质P 为“对任意(,)x y M ∈，(0,1)k ∈，均有(,)kx ky M ∈”．给出下列集合：①2{(,)|}x y x y ≥，②22{(,)|21}x y x y +<，③22{(,)|+2+20}x y x y x y +=，④332{(,)|0}x y x y x y +-=，其中具备有性质P 的点集的有．（请写出所有符合的选项）三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (12分)计算(1)log 2748＋log 212－12log 242；（2）421033)21(25.0)31()2(--⨯+--18.（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，()f x 22x x =+．(1)现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的增区间； (2)写出函数()f x 的解析式和值域19．(12分)已知集合A ＝{x |1≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }，全集为实数集R .(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ； (2)求A ∩C .20. (12分)已知函数)3(log )(ax ax f -=（1）若)(x f 的图象经过点（4，1），求a 的值（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在区间[]2,1上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值，如果不存在，请说明理由。

福建省福州市高一数学上学期期中试题(有答案)(精选)

福建省福州市高一数学上学期期中试题（完卷时间：120分钟，总分150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．） 1．下列关系正确．．的是（） A ．{}10,1∈B ．{}10,1∉C ．{}10,1⊆D ．{}{}10,1∈2．下列四组函数中，相等的两个函数是（）A ．2(),()x f x x g x x == B ．,0()||,(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩C ．lg y x =,21lg 2y x =D ．(),()f x g x x == 3．函数()12log 21-=x y 的定义域为（）A ．（，+∞） B ．（，1 C ．［1，+∞ D ．()+∞,14．已知幂函数()αx x f =的图象经过点22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()4f 的值为（） A ．116 B ． 16 C ．2 D ． 125．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的函数为（） A 1y x=B ln y x =C 3y x = D 2y x = 6．下列大小关系正确的是（）A 3.0log 34.044.03<< B 4.04333.0log 4.0<<C 4.03434.03.0log << D 34.044.033.0log <<7．若函数()xa x f =（0>a ，且1≠a ）的图象如图，其中a 为常数．则函数()()0≥=x xx g a的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．8．随着我国经济不断发展，人均GDP （国内生产总值）呈高速增长趋势，已知2008年年底我国人均GDP 为22640元，如果今后年平均增长率为%9，那么2020年年底我国人均GDP 为( ) A ．1322640(1 1.09)⨯+元 B ．1222640(1 1.09)⨯+元 C ．1322640 1.09⨯元D ．1222640 1.09⨯元9．根据表格中的数据，可以断定方程20xe x --=的一个根所在的区间是（）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3） 10．可推得函数2()21f x ax x =-+在区间[1,2]上为增函数的一个条件是( ) A ．0a =B ．011a a<⎧⎪⎨<⎪⎩C ．012a a >⎧⎪⎨>⎪⎩D ．011a a>⎧⎪⎨<⎪⎩11．已知函数()x x f x3log 21-⎪⎭⎫⎝⎛=，若实数0x 是方程()0=x f 的解，且010x x <<，则()1x f 的值( )A. 恒为正值B.恒为负值C. 等于0D.不能确定12．定义在R 上的偶函数()f x ，当[1,2]x ∈时，()0f x <且()f x 为增函数，给出下列四个结论： ①()f x 在[2,1]--上单调递增； ②当[2,1]x ∈--时，有()0f x <； ③()f x -在[2,1]--上单调递减； ④ ()x f 在[2,1]--上单调递减．其中正确的结论是( ) A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。