3.4.1《导数的加法与减法法则》课件(北师大版选修1-1)

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3.4.1《导数的加法与减法法则》课件(北师大版选修1-1)

一、选择题（每题5分，共15分） 1.已知曲线y=x6在点P处的切线与直线y= 1 x +3垂直，则此切线
6
的方程为(
)
(A)x+6y+5=0
(C)x-6y+5=0
(B)6x+y+5=0
(D)6x-y+5=0
【解析】选B.设切点坐标为（x0,x06），则切线的斜率 k=6x05=-6,∴x0=-1,∴切点为(-1,1)，∴切线方程为y-1= -6(x+1)即6x+y+5=0.
∵直线过原点，∴（0，0）符合上述方程，
∴ x0ex =ex , x 0 =1,
0 0
∴切点为（1，e），斜率为e. 答案：(1,e) e
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.求下列函数的导数：
xm + n x （1）y=cotx-cosx;(2)y=ex+log3x;(3)y= (n≠0). x
【解析】∵f′(x)=cosx+ 1 ,∴f′(1)=cos1+1. x 答案：1+cos1
5.过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ______，切线的斜率为 ______.
【解析】设切点坐标为 (x 0 ,ex ), 则过该切点的直线的斜率为
0
x x ex0 , ∴切线方程为 y-e 0 =e 0 (x-x0 ).
)
2.（5分）曲线y=x3-x与直线y=2x+b相切，则实数b= ______.
【解析】设切点为（x0,x03-x0），则f′(x0)=3x02-1=2, ∴x0=〒1,当x0=1时，切点为（1，0）代入y=2x+b得b=-2, 当x0=-1时，切点为（-1，0），代入y=2x+b得b=2. 答案：〒2

2020北师大版高中数学选修1-1 教师课件：第三章 4导数的四则运算法则

二、导数的乘法与除法法则
若两个函数 f(x) 和 g(x) 的导数分别是 f′(x) 和 g′(x) ，则 [f(x)·g(x)]′ ＝ __f_′__(x_)_g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′__(x_)__，[gfxx]′＝__f′___x__g_x_g_－ 2__xf__x_g_′___x__(g(x)≠0)．特别地，当 g(x)＝k 时，有[kf(x)]′＝___k_f_′__(x_)___.
，
)′＝(m－1)xm－2＋1－n n·
.
6．已知f′(x)是一次函数，且对于任意x∈R，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．解析：由f′(x)为一次函数，可知f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. 把f(x)，f′(x)代入方程，得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0. 要使对任意x∈R方程都成立，则需a＝b，b＝2c，c＝1，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即y＝－2(x2－2)x＋x22－4.② 因为两切线重合，所以2x1＝－2(x2－2)且－x21＝x22－4，解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0. 所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求 a，b，c的值．
解析：∵y＝ax2＋bx＋c，∴y′＝2ax＋b， ∵在点(2，－1)处的切线为y＝x－3，

2020北师大版选修(1-1)3.4《导数的四则运算法则》课件2 推荐

例2 设f(x)源自(1 x2 )(1 -
1 x2
),
求
f
(1).
解根据乘法法则，有
f
( x)
(1
x2 )(1 -
1 x2
)
(1
x2 )(1 -
1 x2
)
2x(1 -
1 x2
)
(1
x2)
2 x3
2 2x x3
所以 f (1) 4.
三、函数商的导数
法则 3 设 u=u(x)、v =v(x) 都是 x 的可
课前预习：
一、函数和(或差)的导数
法则 1 如果 u=u(x)、 v =v(x) 都是 x 的可
导函数，则 y=u v 也是 x 的可导函数，且
y =(u v) = u v
证当 x 取得增量 x 时，函数 u、v
和 y=u v 分别取得增量 u、v 和 y .
因为
u (x + x) - u(x) = u，
yx 2
1 (1 - x2 )
(1 - x2 )x
-x .
1- x2
达标练习
5. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
x
sec2
x.
即同理可得
(tan x) = sec2x . (cot x) = - csc2x .
练习设 y = sec x，求 y .
解根据推论 2，有
y
(se
cx)
1 cos
x
-
(cos x) cos2 x
sin x cos2 x
tan
x secx.

高中数学北师大版选修1-1课件：第三章 4 导数的四则运算法则 (2)

【提示】 (1)不成立； (2)成立； (3)不成立； (4)成立．
若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f′(x)和 g′(x)，则
[f(x)g(x)]′ ＝
，
[
f（x） g（x）
]′
＝
．
特别地，当 g(x)＝k 时，有[kf(x)]′＝．
题目类型一、利用导数的加法与减法法则求导
例 1 求下列函数的导数． (1)y＝2x3＋x2－x＋1； (2)y＝x4＋cos x； (3)y＝ex＋ln x.
C．(cos x·sin x)′＝(sin x )′cos x＋(cos x)′cos x
cos D. x2
x＝（cos
x）′－（x2）′ x2
【解析】根据导数的四则运算法则易知 A 正确．
【答案】 A
3. 已知 y＝xex 则 y′＝________．【解析】 y′＝(xex)′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex. 【答案】 ex＋xex
第三章变化率与导数
§4 导数的四则运算法则
1. 了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导. 2. 掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则，能正确
运用求导法则求某些简单函数的导数．
知识点一、导数的加、减法则
【问题导思】已知函数 f(x)＝1x，g(x)＝x. (1)如何求 h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？ (2)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)成立吗？
题目类型四、利用导数求参数例 4 (12 分)已知 f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x) ＝1，求 f(x)的解析式．
【思路点拨】根据 f′(x)是一次函数，设 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，再利用导数公式、运算法则求解即可．

北师大版选修1-1高中数学3.4《导数的四则运算法则》ppt课件

§4 导数的四则运算法则
-*-
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
学习目标
思维脉络
1.了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导. 2.掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则,能正确运用求导法则求某些简单函数的导数. 3.能正确地进行求导运算,树立多角度、换位思考的意识,优化解题思维, 简化解题过程.
2.导数的乘法与除法法则
一般地,若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f'(x)和 g'(x),则有
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
��(��) ��(��)
'=��'(��)��(��2)-(��()��)��'(��)[g(x)≠0].
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一利用导数公式及运算法则求导
利用导数的运算法则求函数的导数时,应注意以下几点: (1)要熟记基本初等函数的导数公式,并能根据具体情境灵活选择相应
的导数公式求其导数. (2)求导之前,尽可能地化简函数解析式,特别是对幂函数求导之前,应
先将根式转化为指数式,再利用幂函数的导数公式求导.
=(sin��+��(clons��)��)2ln��-sin��.
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高中数学(北师大版选修1-1)课件第3章4.1-2导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则 (共39张PPT)

【自主解答】
2 2 (1)∵y＝x＋2＋x ，∴y′＝1－x2.
1 1 x x (2)∵y＝1＋sin2cos2＝1＋2sin x，∴y′＝2cos x.
2 1 1 3 1 2 2 (3)∵y＝x x ＋x ＋x3 ＝x ＋1＋x2，∴y′＝3x －x3.
(4)∵y＝( x＋1) Nhomakorabea f x ________， gx′＝________.
特别地，当 g(x)＝k 时，有[kf(x)]′＝________.
f′xgx－fxg′x f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) kf′(x) g2x
【答案】
若函数 f(x)＝x2ln x，则 f′(x)＝________.
[再练一题] 1．求下列函数的导数： 1 5 4 3 (1)y＝5x －3x ＋3x＋ 2； x 4 x (2)y＝sin 4＋cos 4.
4
【导学号：63470068】
【解】 x4－4x2＋3.
1 5 4 3 (1)y′＝5x －3x ＋3x＋
′ 1 5′ 4 3′ 2 ＝5x －3x ＋(3x)′＋(
1 【解析】 f′(x)＝(x )′ln x＋x · (ln x)′＝2xln x＋x · x ＝(2ln x＋1)x.
2 2 2
【答案】 (2ln x＋1)x
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________

高中数学选修1-1北师大版导数的四则运算法则课件(29张)

x4 4x 2＋logax－xln a (3)y′＝ 2＋logax2
3 3 x 8x3＋4x3logax－ln a ＝ 2＋logax2
1 x 8＋4logax－ln a ＝ . 2＋logax2
3
理解和掌握求导法则和公式的结构特征是灵活进行求导运算的前
提条件，若运算过程中出现失误，其原因是不能正确理解求导法则，
2x 2x 2 2x 2x
导数运算法则的灵活应用
.求下列函数的导数： (1)y＝ex＋log3x； n xm＋ x (2)y＝ x (n≠0)．
.设函数 y＝f(x)满足以下条件： 2 ①f′(x)＝－x3；②f(1)＝2. 求函数 y＝f(x)的表达式．
2 解析：∵f′(x)＝－x3＝－2· x－2－1， 1 ∴f(x)＝x－2＋c＝x2＋c(c 为常数)，又∵f(1)＝2，∴1＋c＝2， 1 ∴c＝1，∴f(x)＝x2＋1.
)
C．3x2＋1 D．3x2＋x
A．x2ex＋2x
x2)ex
B．2xex
C．(2x＋x2)ex
D．(x＋
读教材理要点一、和(差) f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) f′xgx－fxg′x 二、f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) kf′(x) g2x 研重点究疑点 1．提示：两个函数和(差)的求导法则可以推广到有限个函数的情况，即[f1(x)± f2(x)± …± fn(x)]′＝f1′(x)± f2′(x)± …± fn′(x)． 2．提示：要求两个函数必须都可导且商式中要求分母不为零． 3．C ∵y＝x3＋x，∴f′(x)＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1. 4．C f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋(ex)′x2＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.

北师大版数学高二选修1-1 3.4 导数的四则运算法则课件

x )′ 1＋
1 x
＋Leabharlann (1－x)·1＋
1 x
′＝－21x－121＋
1x＋(1－
x)·－12x－32＝－
1 2x
－12－12x－1－12x－32＋12x－1＝－12x－21－21x－32＝－2x＋x 1x.
正解二：∵f(x)＝(1－ x)1＋ 1x＝1－ x＋ 1x－1＝－ x
＋1， x
∴f′(x)＝－ x＋ 1x′＝－12x－21－21x－32＝－2x＋x 1x.
解析： (1)f′(x)＝1xx＋1－x＋lnx1·2x＋1′－2xln 2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2(x>0)；
(2)f′(x)＝x＋3′x2＋3x2＋－3x＋2 3x2＋3′
＝x2＋3x－2＋x3＋23·2x＝－xx22－＋63x＋2 3(x>0)；
(3)∵f(x)＝1＋
1－ x
1．函数 y＝x＋1x的导数是( )
A．1－x12
B．1－1x
C．1＋x12
D．1＋1x
解析： y′＝(x)′＋1x′＝1－x12
答案： A
2．下列结论：①若
y＝
1 ，则 x
y′|x＝2＝－
22；②若
y
＝cosx，则 y′|x＝π2＝－1；③若 y＝ex，则 y′＝ex.正确的个
数是( )
A．0
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
1．可导函数的和、差、积、商的可导性如果函数 u(x)，v(x)在点 x 处可导，则 u(x)±v(x)，u(x)·v(x)， Cu(x)(C 为常数)都在点 x 处可导，另当 v(x)≠0 时，vuxx在点 x 处也可导．

2019北师大版高中数学选修1-1课件：3.4 导数的四则运算法则(共27张PPT)

到任意有限个可导函数的和(差)的导数,即(u1±u2±…±un)'= u'1±u'2±…±u'n .
预习探究
f'(x)g(x)+f(x)g'(x) kf'(x)
预习探究
解:①②不成立,③④成立.
备课素材
1．导数的运算法则的形式特点 (1)两个函数的和的导数等于两个函数导数的和，两个函数的差的导数等于两个函数的导数的差．该特点可以推广到多个函数的情形． (2)导数的加减法则，就是把每一个函数都求导然后再相加减． (3)导数的乘法法则中两个式子中间是加号，导数的除法法则中分子上的两个式子之间是减号，因此要注意两个函数的位置关系．

新课导入
[导入]
创设情景
1．四种常见函数 y＝c、y＝x、y＝x2、y＝1x的导数公式及应用；
函数
导数
y＝c
y′＝0
y＝x
y′＝1
y＝x2
y′＝2x
y＝1x y＝f(x)＝xn(n∈Q*)
y′＝－x12 y′＝nxn－1
新课导入
2.基本初等函数的导数公式表函数 y＝c
y＝xn(n∈Q) y＝sinx y＝cosx y＝ax y＝ex
重点难点
[重点] 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．
[难点] 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．
教学建议
教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可．在教学中，适量的练习对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系．本节引进四则运算的求导法则，就能得到两函数的和、差、积、商的导数与原来两函数的导数关系，应用这些法则就可以将比较复杂的函数的求导问题，化为会求的或易求的函数的导数问题，从而使许多函数的求导过程得到简化．

高中数学第三章变化率与导数3.4导数的四则运算法则3.4.1导数的加法与减法法则课件北师大选修1_1

3
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= . 解析:因为y'=αxα-1, 所以在点(1,2)处的切线斜率k=α, 则切线方程为y-2=α(x-1). 又切线过原点,故0-2=α(0-1),解得α=2. 答案:2
1
2
3
4
5
1.下列结论不正确的是( ) A.若y=3,则y'=0 B.若f(x)=3x+1,则f'(1)=3 1 C.若 y=- ��+x,则 y'=- +1 2 �� D.若y=sin x+cos x,则y'=cos x+sin x 解析:D中,y=sin x+cos x, ∴y'=(sin x+cos x)'=(sin x)'+(cos x)' =cos x-sin x. 答案:D
2
x.
1
2
3
4
5
3.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f'(x)>0的解集为( A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 解析:函数的定义域为(0,+∞), 4 2(��-2)(��+1) 令 f'(x)=2x-2- = >0, �� 解得x>2,故选C. 答案:C
3 1 解:因为 y=3�� 2 -x+5-9· �� 2 , 1 3 3 1 所以 y'=3· ·�� 2 -1-9· - ·�� 2

北师大版数学选修1-1作业课件：3.4 第21课时导数的加法与减法法则

3．B y＝x3－x，则y′＝3x2－1≥－1，则该曲线在点P处
的切线的倾斜角α的取值x)＝ax2＋b，则f′(x0)＝ax
2 0
＋b，又f(3)
＝9a＋3b，则由f(3)＝3f′(x0)得3a＋b＝ax
2 0
＋b，因为a≠0，故
可解得x0＝± 3.
A.0，2π C.34π，π
B.0，2π∪34π，π D.π2，34π
4．设f(x)＝
1 3
ax3＋bx(a≠0)，若f(3)＝3f′(x0)，则x0＝
() A．±1
B．±2
C．± 3
D．2
5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)
满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
谢谢观赏！
Thanks!
知识影响格局，格局决定命运！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！快乐分享，知识无限！
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)－g(x)为常数
C．f(x)＝g(x)＝0 D．f(x)＋g(x)为常数
6．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
A．4 B．－14 C．2 D．－12
2－2sin2
x 4
·cos2
x 4
＝1－
1 2
sin2
x 2
＝1－
12·1－2cosx＝34＋14cosx，∴y′＝34＋14cosx′＝－14sinx.
(3)y＝sin2x·cos2x＝12sinx，
∴y′＝12sinx′＝12cosx.
11.(13分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y ＝f′(x)的图像如图所示，求f(x)的解析式．

高中数学北师大版选修1-1《导数的四则运算法则》ppt导学课件

∴f'(1)= 1 =-1,
ln ��
∴ln a=-1,∴a=1.
e
4.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的一条切线,求 k 的值.
【解析】设切点坐标为(x0,y0).
∵y=ln x,∴y'=1.
x
∴f'(x0)=x10=k. ∵点(x0,y0)既在直线 y=kx 上,也在曲线 y=ln x 上,
则 y'= f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x)
.
(2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a,b 为常数).
(3)[f(x)±c]'=f'(x).
1 函数 y=lg x 的导数为( C ).
A.1
B.1ln 10
C. 1
x
x
xln 10
【解析】∵(logax)'=x
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
22
谢谢欣赏！
分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导
数乘以分子的积.
于是,正确解答为:
(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=-2x+2a.
(2)f'(x)=(xsin x)'=(xsin
ln x
x
)'ln x-xsin (ln x)2

【成才之路】高中数学 3.4导数的四则运算法则课件北师大版选修1-1

f x g(x)≠0， gx′＝
f(x)＋g(x)、f(x)· g(x)的导数的推导．设 f(x)、g(x)是可导函数， F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)· g(x)， Fx＋Δx－Fx 则 Δx fx＋Δx＋gx＋Δx－fx－gx ＝ Δx fx＋Δx－fx gx＋Δx－gx ＝＋， Δx Δx
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)· 3＝18x2－8x＋9. 解法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. 1 x x (2)∵y＝x－sin2· cos2＝x－2sinx， 1 ∴y′＝1－2cosx.
积的导数求函数y＝(2x－3)(x＋2)＋(3x＋1)(1－x)在x0＝3 处的导数．
[分析] 先求函数的导数，再将x0＝3代入即可得．
[解析] y′＝[(2x－3)(x＋2)＋(3x＋1)(1－x)]′ ＝[(2x－3)(x＋2)]′＋[(3x＋1)(1－x)]′ ＝ (2x － 3)′(x ＋ 2) ＋ (2x － 3)(x ＋ 2)′ ＋ (3x ＋ 1)′(1 － x) ＋ (3x ＋ 1)(1－x)′
)
D．lnx＋x
[答案] C
[解析] y′＝x′· lnx＋x· (lnx)′ 1 ＝lnx＋x· x ＝lnx＋1.
3．求下列函数的导数 (1)y＝2x2－3x＋1，y′＝________. (2)y＝(x＋2)2，y′＝________. (3)y＝sinx＋cosx，y′＝________. 1－lnx (4)y＝，y′＝________. 1＋lnx (5)y＝(x＋2)(3x－1)，y′＝________.
＝2(x＋2)＋2x－3＋3(1－x)－(3x＋1)＝－2x＋3.

2021年高中数学第三章变化率与导数3.4.1导数的加法与减法法则课件2北师大版选修1_1

导数的加法与减法法那么
复习回忆
求函数的导数的步骤是怎样的?
〔1〕求函数的增量 yf(x x )f(x )
〔2〕求函数的增量与自变量的增量的比值
yf(xx)f(x)
x
x
〔3〕求极限，得导函数 f(x)limy
x0 x
提出问题
如果两个函数的导数,如何求这两个函数的和与差的导数呢?
动手实践
讲
y ( x 2 2 x ) f ( x ) g ( x ) 2 x 2 x l2 n
（2）函数 y xlnx是函数 f (x) x 与 g(x)lnx的差，
解
由导数公式表，分别得出
f (x) 1
g (x) 1
2x
x
根据函数差的求导法那么可得
y(x ln x)f(x)g (x)11 2x x
导数加法与减法法那么
2、注重对问题的分析，会求函数在一点处的切线方程
导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
求函数 f(x)x- x2 的导函数
自变量一个改变量 x，则函数值的改变量为
yf(x x )f(x ) (x x ) - (x x )2 (x - x 2 )
x - 2xx - (x)2
相应的平均变化率为
y x - 2x x - ( x)21 - 2x - x
x
x
当 x 趋于0时，即
f(x)g(x) f(x)g(x), f(x)g(x) f(x)g(x).
例 1求下列函数的导数: (1)yx22x;(2)y xlnx.
解：（1）函数 yx2 2x是函数 f (x) x2与g(x) 2x 的和，
例
由导数公式表，分别得出
f(x)2x g(x)2xlnx

3.4.1《导数的加法与减法法则》课件(北师大版选修1-1)