常州大学数值分析07-08试卷B及参考答案
常州大学数值分析07-08试卷A及参考答案
江苏工业学院2007~2008学年第 2 学期硕士生考试试题参考解答一、（10分）叙述防止误差的几个基本原则，并举一例说明其在数值计算中的应用。
答：防止误差的几个基本原则主要有： 1） 防止大数“吃”小数；2） 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3） 避免相近数相减；4） 避免使用不稳定的算法；5） 注意简化计算步骤，减少运算次数； ………… 5 分 例如：当x 充分大时，即1x >>时，计算可以用表达式来计算，以避免相近数相减。
………… 5 分二、(15分)（1）叙述Lagrange 插值或Newton 插值方法的方法思想。
(2) 设(1)0,(2)3,(3)10f f f ===, 试求)(x f 的二次Newton 插值多项式。
解：（1）拉格朗日插值、牛顿插值的方法思想分别如下： 对于给定的节点(,),0,1,2,,i i x y i n = 拉格朗日插值通过引入满足如下条件的基函数1,(),0,i j j il x j i=⎧=⎨≠⎩ 构造如下形式的插值多项式()()nn i i i P x l x y ==∑其中0()()()nj i j ijj ix x l x x x =≠-=-∏。
………… 4 分牛顿插值方法是通过构造如下形式的多项式01020101()()()()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x -=+-+--++--其中,0,1,2,,i a i n =通过Newton 差商公式得到，且仅与0,1,,,i x x x 有关，由此可以保证在增加节点时， 原先的计算量能够被充分利用。
………… 4 分 (2) 根据列表函数可得差商表如下：0 0 0 3 3 0 10 7 2)(x f 的二次Newton 插值多项式为()3(1)2(1)(2)P x x x x =-+--即2()231P x x x =-+。
2022年常州大学公共课《大学计算机基础》期末试卷B(有答案)
2022年常州大学公共课《大学计算机基础》期末试卷B(有答案）一、单项选择题1、二进制数110010转换成十进制数是（）A48 B 50 C52 D562、十进制数111等于二进制数（）A.10110111B.10110011C.01101111D.011001113、将十进制数57转换为二进制数是（）A.111011B.111001C.101111D.1100114、下面关于二进制的运算中，错误的是（）A．10+01=11 B.11+01=111 C.11-01=10 D.10-01=015、通常所说的“计算机病毒”是指（）A.细菌感染B.生物病毒感染C.被损坏的程序D.特制的具有破坏性的程序6、用16×16点阵存储一个汉字的字形码，需要用（）A.16个字节B.32个字节C.64个字节D.256个字节7、第四代计算机的逻辑器件，采用的是（）A. 晶体管B. 大规模、超大规模集成电路C. 中、小规模集成电路D. 微处理器集成电路8、在“记事本”中，选定内容并“复制”后，复制的内容放在（）A.任务栏中B.剪贴板中C.软盘中D.回收站中9、Windows 72000“附件”中的“画图”程序不支持的图形格式是（）A.BMPB.JPGC.GIFD.PSD10、在Windows 7中,下列不正确的文件名是（）A.X.Y.ZB.MyFilesC.X$Y.CD.A<B,DOC11、在Windows 7中，想选定多个文件名，如这多个文件名连续成一个区域的，则先选定第一个文件名，然后按住（）键，再在最后一个文件名上单击一下即可。
A. CtrlB. AltC. ShiftD. DEL12、在Windows 7中，打开在桌面上的多个窗口的排列方式（）A. 由系统自动决定，用户不能调整B. 只能平铺排列C. 可以平铺排列，也可以层叠排列D. 只能层叠排列13、Windows7的应用程序窗口中，一般不存在（）A.“关闭”按钮B."最小化”按钮C.“最大化/还原”按钮D.“确定”按钮14、在Word2010中，快捷键“Crtl+Y"的功能是（）A恢复B撤消C剪切D复制15、在Word“字体”对话框中，不能设置（）A.边框B.字号C.字体颜色D.下划线16、在Word中，以下不能实现创建新文档的方法是（）A.选择“文件”菜单中“新建”命令B.单击“常用”工具栏中“新建空白文档”按钮C.按快捷键Ctrl+ND.选择“插入”菜单中“文件”命令17、编辑Word文档时,为文档的文本提供解释需要插入脚注,脚注一般出现在（）A.文档中每一页的顶部B.文档中每一页的底端C.整个文档的结尾D.文档中每一节的结尾18、在Word文档中，要查看被图形覆盖的那部分文字，可通过（）A.设置图形的叠放次序实现B.对齐图形实现C.排列图形实现D.组合图形实现19、在Word文档编辑中，添加“页眉和页脚”应选择（）A.“视图”菜单B.“插入”菜单C.“格式”菜单D.“工具”菜单20、当向Excel 2010工作表某单元格输入公式时，引用了单元格地址D$2，表明在公式中使用了D列2行单元格的数据，该单元格的引用称为（）A. 交叉地址引用B. 混合地址引用C. 相对地址引用D. 绝对地址引用21、下列有关Word 2010分隔符的叙述中，正确的是（）A.对文档设置不同的页眉和页脚，应先插入分页符B.插入分页符的操作可在“页面布局”功能区完成C.在文档中插入的分节符无法被删除D.在文档中插入分节符后，文档同时也必然会被分页22、在Excel 2010的新增迷你图中，包含有（）A.条形图B.XY散点图C.盈亏图D.饼图23、利用Word 2010的文档导航功能，不能快速查找的是（）A.表格B.公式C.图形D.页眉24、Exce12010的图表类型中，XY图是指（）A.折线图B.饼图C.散点图D.面积图25、在Excel 2010中，一个工作簿最多可包含工作表数是（）A.3个B.16个C.255个D.256个26、演示文稿中的“标尺”命令是在哪个菜单中（）A.编辑B.视图C.插入D.格式27、设置PowerPoint 2010动画时，若对动画出现的方向进行设置，单击（）A.“效果”按钮B.“动画样式”按钮C.“预览”按钮D.“添加动画”按钮28、向邮件服务器发送电子邮件时使用的协议是（）A.HTTPB.FTPC.POPD.SMTP29、下列有关计算机病毒的叙述中，正确的是（）A.严禁在计算机上玩游戏是预防计算机病毒侵入的唯一措施B.计算机病毒是一种人为编制的特殊程序，会使计算机系统不能正常运转C.只要不上网，计算机就不会感染病毒D.计算机病毒只破坏内存中的程序和数据30、Ipv4支持的地址空间是（）A.16位B.32位C.64位D.128位二、填空题31、在Windows 7桌面的空白处，单击鼠标右键会弹出快捷菜单，在快捷菜单中选择“属性”命令，则弹出_________32、汉字在计算机内部的编码被称之为____________________。
《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。
(完整word版)数值分析试题(word文档良心出品)
一、填空题（每空2分，共20分）1、解非线性方程阿西吧的f(x)=0的牛顿迭代法具有＿＿＿＿＿＿＿收敛2、迭代过程（k=1,2,…）收敛的充要条件是＿＿＿3、已知数 e=2.718281828...,取阿西吧的近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是＿＿＿4、高斯--塞尔德迭代法解阿西吧的线性方程组的迭代格式中求阿西吧的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足＿＿＿＿＿＿＿，则p(x)是不超过二次的多项式6、对于n+1个节点的插值求积公式至少具有＿＿＿次代数精度.7、插值型求积公式的求积系数之和＿＿＿8、 ,为使A可分解为A=LL T, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围＿9、若则矩阵A的谱半径(A)=＿＿＿10、解常微分方程初值问题的梯形格式是＿＿＿阶方法二、计算题（每小题15分，共60分）1、用列主元消去法解线性方程组2、已知y=f（x）的数据如下x 0 2 3f（x） 1 3 2求二次插值多项式及f（2.5）3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。
4、欧拉预报--校正公式求解初值问题取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位.三、证明题（20分每题 10分）1、明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度2、若，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。
参考答案：一、填空题1、局部平方收敛2、< 13、 44、5、三阶均差为06、n7、b-a8、9、 1 10、二阶方法二、计算题1、2、3、≈1.25992 (精确到,即保留小数点后5位)4、y(0.2)≈0.01903三、证明题1、证明：当=1时，公式左边：公式右边：左边==右边当=x时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：左边==右边当时左边：右边：故具有三次代数精度A卷一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共9×3＝27分）1、要使11的近似值的相对误差不超过0.1%，应取______________有效数字。
常州大学数值分析课后习题答案第二章第三章第四章节资料
数值分析作业第二章1、用Gauss消元法求解下列方程组：2x1-x2+3x3=1,(1) 4x1+2x2+5x3=4,x1+2x2=7;(2) 解：A=[2 -1 3 1;4 2 5 4;1 2 0 7]n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1;% 消元过程for k=1:n-1for i=k+1:nif abs(A(k,k))>epsA(i,k+1:n+1)=A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); elseflag=0;returnendendend% 回代过程if abs(A(n,n))>epsx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);elseflag=0;returnendfor i=n-1:-1:1x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); endreturnxA = 2 -1 3 14 25 41 2 0 7x = 9-1-611x1-3x2-2x3=3,(2)-23x1+11x2+1x3=0,x1+2x2+2x3=-1;(2) 解：A=[11 -3 -2 3;-23 11 1 0;1 2 2 -1]n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1;% 消元过程for k=1:n-1for i=k+1:nif abs(A(k,k))>epsA(i,k+1:n+1)=A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k);elseflag=0;returnendendend% 回代过程if abs(A(n,n))>epsx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);elseflag=0;returnendfor i=n-1:-1:1x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i);endreturnxA = 11 -3 -2 3-23 11 1 01 2 2 -1x = 0.21240.5492-1.15544、用Cholesky分解法解方程组3 2 3 x1 52 2 0 x2 33 0 12 x3 7解：.A=[3 2 3;2 2 0;3 0 12];b=[5 3 7];lambda=eig(A);if lambda>eps&isequal(A,A')[n,n]=size(A);R=chol(A);%解R'y=by(1)=b(1)/R(1,1);if n>1for i=2:ny(i)=(b(i)-R(1:i-1,i)'*y(1:i-1)')/R(i,i);endend%解Rx=yx(n)=y(n)/R(n,n);if n>1for i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-R(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/R(i,i);endendx=x';elsex=[];disp('该方法只适用于对称正定的系数矩阵!');endR= 1.7321 1.1547 1.73210 0.8165 -2.44950 0 1.7321y= 2.8868 -0.4082 0.5774x= 1.0000 0.5000 0.33335. 用列主元Doolittle分解法解方程组解：A=[3 4 5; -1 3 4; -2 3 -5;]; 3 4 5 X1 2 b=[2,-2 6]'; -1 3 4 X2 -2 [L,U,pv]=luex(A); -2 3 -5 X3 6y = L\b(pv);x = U\y结果如下：x = 11-114.已知，计算.解：A=[100 99;99 98];cond(A,inf)ans =3.9601e+04cond(A,2)ans =3.9206e+0427.编写LU分解法，改进平方根法，追赶法的Matlab程序，并进行相关数值试验。
07-08-3高等数学B期中考试试卷参考答案.
线
07-08-3高数B期中试卷参考答案08.4.11
一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分
1. 级数（常数） [ A ]
(A绝对收敛 (B条件收敛 (C发散 (D敛散性与的取值有关
2.下列反常积分发散的是 [ C ]
(A (B(C (D
3.已知直线与，则与 [ B ] (A相交 (B异面 (C平行但不重合 (D重合
4.设函数，，
，其中，
，则 [ B ]
(A (B(C(D
二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分
5.若垂直于，且，则与的夹角为；
6. 曲线绕轴旋转一周所成的曲面方程是；
7.曲线在面上的投影曲线方程是；
8.设幂级数在处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为；
9.幂级数的收敛域为.
三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分
10．求过点且与直线及直线都平行的平面方程.
解，平面方程为，
即
11．求过点，与平面平行，且与直线
相交的直线方程.
解设所求直线与直线的交点为，，
，于是
，得，交点为，所求直线方程为
12．将函数展开为的幂级数，并求收敛域.
解
，
13.求幂级数的和函数，并指明收敛域.
解令，
，
四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量，准线为的柱面方程.
解设是准线上一点，则，则，
，代入准线方程即得所求的柱面方程
五（15）。
（本题满分9分）判断级数的敛散性.
解，而收敛，由比较判别法得知级数收敛
六（16）.（本题满分10分）将函数展开成正弦级数，并求级数的和.
解由题设知，，，
，
取，得，即。
08级高数BII试卷答案.doc
故级数收一填空题1. 设 z = sin y + 2x~y ,则 dz = 2xydx + (cos y + 2x~ )dy ；2. 函数u = x- +xy 在(1,1)处的梯度为(3,1),在(1,1)处函数减少最快的方向是(-3,-1)；00 003. 设幕级数工a”x"的收敛半径是4,贝U 幕级数£G ….X 2,,+1的收敛半径是R = 2； n=0 n=04. y" + 2y' + 3y = 0 的通解为 qe" cos 迈t + c 2e^' sin 迈t 。
二计算下列各题1•极限lim 匚上是否存在？说明理由。
(x,y )T (0,0) x + y解 不存在。
因为lim 兰二2 =上兰，其值随k 变化，故极限不存在。
x + y 1 + ky=kx 丿2.求曲面z = 2x 2 +3y 3在点(一2,1, 12)处的切平面方程。
解 n = (z x ,z y -1) = (4x,12y 2,-1),在点(一2,1, 12)处，"=(―& 12,-1),切平面方程—8(% + 2) + 12(y-1) + (-l)(z-12)-0,即 8x-12y + z + 16 = 03.计算二次积分 fdyf v (x 2 + y 2)dx.(a > 0) o71 解 / = jj(x 2 + y 2)da = d0^ r 2 - rdrdO = —a^。
D* 1•已知平面薄片D 由y = x 2及直线y = x 所围成，面密度函数为/?(x,y) = x 2y ,求其质量。
=Jjp(x, y)t/cr = yd (j = f dx J 2 x 1 ydy =—D 352. 给定容积为4的开口长方形容器，问尺寸怎样时它具有最小的表面积。
解 设长，宽，高分别为贝'J 5 = xy + 2yz + 2zx ,满足兀％ = 4,_oo_ zrn4.判别级数工仝的敛散性。
常州大学数值分析作业(共六章)
第二章：20.（1）用 Jacobi 迭代法解方程组 AX=b. function [x,iternum,flag]=jacobi(A,b,x0,delta,max1) %检验输入参数，初始化 if nargin<2,error('more augments are needed');end if nargin<3,x0=zeros(size(b));end if nargin<4,delta=1e-13;end if nargin<5,max1=100;end if nargin>5,error('incorrect number of input');end n=length(b);x=0*b;flag=0;iternum=0; %用Jacobi迭代法解方程组 for k=1:max1 iternum=iternum+1; for i=1:n if abs(A(i,i))<eps error('A(i,i) equal to zero,divided by zero'); end x(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i); end err=norm(x-x0); relerr=err/(norm(x)+eps); x0=x; if (err<delta)||(relerr<delta) flag=1; break; end end if flag==1 disp('The Jacobi method converges.') x=x; else disp(['The Jacobi method does not converge with '... ,num2str(max1),' iterations']) end return A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1]; b=[1;1;1]; [x,iternum,flag]=jacobi(A,b) 输出结果为： The Jacobi method converges. ans = -3 3 1 iternum =4 flag = 1
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差,进行计算。
（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
数值分析考试卷及详细答案解答
数值分析考试卷及详细答案解答姓名班级学号一、选择题1.()2534F,,,-表示多少个机器数(C ).A 64B 129C 257D 2562. 以下误差公式不正确的是( D)A ．()()()1212x *x *x *x *εεε-≈+B ．()()()1212x *x *x *x *εεε+≈+C ．()()()122112x *x *x *x *x x *εεε?≈+ D ．()()()1212x */x *x *x *εεε≈-3. 设)61a =, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出a 较好的近似值？(D )A6)12(1+ B 27099- C 3)223(- D3)223(1+4. 一个30阶线性方程组, 若用Crammer 法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )A 31×29×30!B 30×30×30!C 31×30×31!D 31×29×29!5. 用一把有毫米的刻度的米尺来测量桌子的长度, 读出的长度1235mm, 桌子的精确长度记为（ D ）A 1235mmB 1235-0.5mmC 1235+0.5mmD 1235±0.5mm二、填空1.构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。
2.十进制123.3转换成二进制为1111011.01001。
3.二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。
4. 二进制0101.转换成十进制为57。
5.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限5% 。
6. ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是 0.693 。
7.31415926x .π==，则131416*x .=，23141*x .=的有效数位分别为5 和3 。
8.设200108030x*.,y*.==-是由精确值x y 和经四舍五入得到的近似值，则x*y*+的误差限0.55×10-3 。
常州大学数值分析作业—第二章
20.分别用Jacobi 迭代法、Gauss-seidel 迭代法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+.122,1,122321321321x x x x x x x x x解：Jacobi 迭代法收敛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡133321x x x ，Gauss-seidel 迭代法不收敛。
27.编写LU 分解法、改进平方根法、追赶法的Matlab 程序，并进行相关数值实验。
3.将矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1100110211100201A 进行Doolittle 和Crout 分解 解：Doolittle 分解：结果如下，程序见后面。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2.100015001110020112.000010200100001LU A Crout 分解：结果如下，程序见后面。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==1002.0100111002012.1100050200100001LU A 7.用改进平方根法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----000142002511013101144321x x x x 解：结果如下，程序见后面。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0256.00513.00769.02821.04321x x x x 8（2）.用追赶法求解方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------00001210001210001210001210001254321x x x x x解：结果如下，程序见后面。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1429.02413.02857.03571.04321x x x x%检验输入参数，初始化if nargin<2,error('more augments are needed');endif nargin<3,x0=zeros(size(b));endif nargin<4,delta=1e-13;endif nargin<5,max1=100;endif nargin>5,error('incorrect number of input');endn=length(b);x=0*b;flag=0;iternum=0;%用Jacobi迭代法解方程组for k=1:max1iternum=iternum+1;for i=1:nif abs(A(i,i))<epserror('A(i,i) equal to zero,divided by zero');endx(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i); x(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i);enderr=norm(x-x0);relerr=err/(norm(x)+eps);x0=x;if (err<delta)||(relerr<delta)flag=1;break;endendif flag==1disp('The Jacobi method converges.')x=x;elsedisp(['The Jacobi method does not converge with '...,num2str(max1),' iterations'])endA=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1] b=[1;1;1]A =1 2 -21 1 12 2 1b =111 jacobi(A,b)The Jacobi method converges. ans =-331%检验输入参数，初始化if nargin<2,error('more augments are needed');end if nargin<3,x0=zeros(size(b));end if nargin<4,delta=1e-13;end if nargin<5,max1=100;endif nargin>5,error('incorrect number of input');end n=length(b);flag=0;iternum=0;%用Gauss-Seidel 迭代法解方程组 for k=1:max1iternum=iternum+1; x=x0;for i=1:nif abs(A(i,i))<epserror('A(i,i) equal to zero,divided by zero'); endx0(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i); enderr=norm(x-x0);relerr=err/(norm(x0)+eps);if (err<delta)||(relerr<delta) flag=1; break ; end endif flag==1disp('The Gauss-seidel method converges.') x=x0; elsedisp(['The Gauss-seidel method does not converge with '... ,num2str(max1),' iterations']) end returngseid(A,b) The Gauss-seidel method does not converge with 100 iterations ans = 1.0e+31 * -9.1905 9.2222 -0.0634 A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1] b=[1;1;1] A = 1 2 -2 1 1 1 2 2 1 b = 1 1 1%检验输入参数，初始化b=size(A);n=b(1);if b(1)~=b(2)error('Matrix A should be a Square matrix.'); endif n~=rank(A)error('Matrix A should be FULL RANK.');endL=zeros(n,n);U=zeros(n,n);for i=1:nU(i,i)=1;end%将矩阵A进行Crout分解for k=1:nfor i=k:ntemp_sum=0;for t=1:k-1temp_sum=temp_sum+L(i,t)*U(t,k);endL(i,k)=A(i,k)-temp_sum;endfor j=k+1:ntemp_sum=0;for t=1:k-1temp_sum=temp_sum+L(k,t)*U(t,j);endU(k,j)=(A(k,j)-temp_sum)/L(k,k);endendreturnA=[1 0 2 0;0 1 1 1;2 0 -1 1;0 0 1 1]A =1 02 00 1 1 12 0 -1 10 0 1 1 [L,U]=Crout(A)L =1.0000 0 0 00 1.0000 0 02.0000 0 -5.0000 00 0 1.0000 1.2000 U =1.0000 02.0000 00 1.0000 1.0000 1.00000 0 1.0000 -0.20000 0 0 1.0000%检验输入参数，初始化b=size(A);n=b(1);if b(1)~=b(2)error('Matrix A should be a Square matrix.'); endif n~=rank(A)error('Matrix A should be FULL RANK.');endL=zeros(n,n);U=zeros(n,n);for i=1:nU(i,i)=1;end%将矩阵A进行Doolittle分解for k=1:nfor i=k:ntemp_sum=0;for t=1:k-1temp_sum=temp_sum+L(i,t)*U(t,k);endL(i,k)=A(i,k)-temp_sum;endfor j=k+1:ntemp_sum=0;for t=1:k-1temp_sum=temp_sum+L(k,t)*U(t,j);endU(k,j)=(A(k,j)-temp_sum)/L(k,k);endendreturnA=[1 0 2 0;0 1 1 1;2 0 -1 1;0 0 1 1]A =1 02 00 1 1 12 0 -1 10 0 1 1 [L,U]=Doolittle(A)L =1.0000 0 0 00 1.0000 0 02.0000 0 1.0000 00 0 -0.2000 1.0000 U =1.0000 02.0000 00 1.0000 1.0000 1.00000 0 -5.0000 1.00000 0 0 1.2000function [x]=improvecholesky(A,b,n)%检验输入参数，初始化L=zeros(n,n);D=diag(n,0);S=L*D;for i=1:nL(i,i)=1;endfor i=1:nfor j=1:nif (eig(A)<=0)|(A(i,j)~=A(j,i))disp('Matrix A should be a Positive-definite matrix.');break;endendendD(1,1)=A(1,1);%用改进平方根法解方程组for i=2:nfor j=1:i-1S(i,j)=A(i,j)-sum(S(i,1:j-1)*L(j,1:j-1)');L(i,1:i-1)=S(i,1:i-1)/D(1:i-1,1:i-1);endD(i,i)=A(i,i)-sum(S(i,1:i-1)*L(i,1:i-1)');endy=zeros(n,1);x=zeros(n,1);for i=1:ny(i)=(b(i)-sum(L(i,1:i-1)*D(1:i-1,1:i-1)*y(1:i-1)))/D(i,i); endfor i=n:-1:1x(i)=y(i)-sum(L(i+1:n,i)'*x(i+1:n));endreturnA=[4 1 -1 0;1 3 -1 0;-1 -1 5 2;0 0 2 4] b=[1;0;0;0]A =4 1 -1 01 3 -1 0-1 -1 5 20 0 2 4b =10 n=4[x]=improvecholesky(A,b,n)n =4x =0.2821-0.07690.0513-0.0256function [L,U,x]=pursue(a,b,c,f)n=length(b);u(1)=b(1);for i=2:nif(u(i-1)~=0)l(i-1)=a(i-1)/u(i-1);u(i)=b(i)-l(i-1)*c(i-1);elsebreak;endendL=eye(n)+diag(l,-1);U=diag(u)+diag(c,1);x=zeros(n,1);y=x;y(1)=f(1);for i=2:ny(i)=f(i)-l(i-1)*y(i-1);endif(u(n)~=0)x(n)=y(n)/u(n);endfor i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-c(i)*x(i+1))/u(i);enda=[1 -1 -1 -1];b=[2 2 2 2 2];c=[-1 -1 -1 -1];f=[1 0 0 0 0 ];[L,U,x]=pursue(a,b,c,f)L =1.0000 0 0 0 00.5000 1.0000 0 0 00 -0.4000 1.0000 0 00 0 -0.6250 1.0000 00 0 0 -0.7273 1.0000 U =2.0000 -1.0000 0 0 00 2.5000 -1.0000 0 00 0 1.6000 -1.0000 00 0 0 1.3750 -1.00000 0 0 0 1.2727 x =0.3571-0.2857-0.2143-0.1429。
常州大学数值分析第六章习题解答-推荐下载
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
常州大学2012-2013级研究生数值分析试卷A解答及评分标准
一．（1）已知函数24()73f x x x =++，用秦九昭方法计算(2)f ；（2）秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要多少次乘法？ （3）至少写出四种减少误差危害的常用手段。
解：（1）2422()73(31)7f x x x x x =++=++22(2)(321)2759f =⨯++=………… 5 分（2） 秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要n 次乘法。
………… 5 分（3） A ）防止大数“吃”小数； B ）避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；C ）避免相近数相减；D ）避免使用不稳定的算法；E ）注意简化计算步骤，减少运算次数；………… 5 分二．给定方程组123311413132156x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1）以分量形式写出解此线性方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss -Seidel 迭代格式； （2）求1A 和A∞；（3）判断Gauss -Seidel 迭代格式的敛散性。
解：（1）Jacobi 迭代(1)()()123(1)()()213(1)()()312(4)/3(3)/3(62)/5k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++=--=+-=-+， 0,1,2,k = Gauss-Seidel 迭代(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(4)/3(3)/3(62)/5k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++=--=+-=-+， 0,1,2,k =………… 5 分（2）17A =，8A∞=；………… 5 分（3）因为方程组系数矩阵严格对角占优，所以Gauss -Seidel 迭代格式收敛。
………… 5 分三． 已知方程2()30x f x e x =-=，（1）证明该方程在区间[0.6,1.2]上存在唯一实根； （2）叙述牛顿法求方程()0f x =根的方法思想；（3）以初值01x =，用牛顿法求上述方程的近似解，要求误差不超过210- 。
常州大学数值分析习题解答
1.1解：m=3;f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m);g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m);f(3.33)g(3.33)有ans = 121ans =121实际上，当m=2时，就可以看出这两种算法在计算的精确度上的区别：m=2;f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m);g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m);f(3.33)g(3.33)有ans = 120ans =130，可以看出，两者在计算精度上的不同区别，数学上恒等，在数值上不一定恒等。
1.2解：（1）精确到小数点后第三位，故有4位有效数字（2）精确到小数点后第三位，故有2位有效数字（3）精确到小数点后第三位，故有0位有效数字1.3 解;记圆的面积为S，由题意有|e(S)|≤1%。
由S=πr2知：dS=2πrdr所以dS/S=(2πrdr)/(πr2)=2(dr/r)∴|e(r)|≈1／2|e(S)|≤0.5×1%=0.5%1.4 解：由题有：|e(x)|≤1/2×10^-2 ; |e(y)|≤1/2×10^-2; |e(z)||≤1/2×10^-2∴|e（S）|≈|xe(x)+ye(y)|+ |ze(z)|^2≈x|e(x)|+y|e(y)|+z^2|z(z)|^2≤4.21×0.005+1.79×1.005+2.11×2.11×0.005^2=0.03≤1/2×10^-1又S=4.21*1.79+2.11^2=11.988∴S至少具有3位有效数字。
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江苏工业学院2007~2008学年第 2 学期硕士生考试试题解答一、（10分）举例说明如何在数值计算过程中防止相近数相减及避免“大数吃小数”。
答：1）防止相近数相减举例：当x 充分大时，即1x >>时，计算会出现相近数相减， 可以用下述数学上等价的表达式来计算，以避免相近数相减。
………… 5 分2） 避免“大数吃小数”举例：设,1:1000,i i δ=为区间[0, 0.5]上的随机数，在字长为5的计算机上计算12100012345S δδδ=++++时，如果采用上述给定的顺序计算S ，则会出现大数吃小数的现象；要避免大数吃小数，这里可以采用表达式：212100012345S δδδ=++++规定的顺序来计算即可。
………… 5 分注：学生的举例只要符合要求均可以算对。
二、(15分)（1）叙述Newton 插值方法的方法思想；(2) 设(1)0,(2)1,(3)3,(4)5f f f f ====, 试求)(x f 的三次Newton 插值多项式； (3) 利用上述插值公式近似计算(2.3)f . 解：(1) 牛顿插值方法是通过构造如下形式的多项式01020101()()()()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x -=+-+--++--其中,0,1,2,,i a i n =通过Newton 差商公式得到，且仅与0,1,,,i x x x 有关，由此可以保证在增加节点时， 原先的计算量能够被充分利用。
………… 6 分(2) 根据列表函数可得差商表如下：0 0 0 0 1.0000 1.0000 0 0 3.0000 2.0000 0.5000 0 5.0000 2.0000 0 -0.1667 )(x f 的三次Newton 插值多项式为:3()(1)0.5(1)(2)0.1667(1)(2)(3)N x x x x x x x =-+------………… 6 分(3) 3(2.3)(2.3) 1.5405f N ≈≈………… 3 分三、（15分）（1）简要叙述求非线性方程()0f x =根的迭代法的方法思想。
（2）选用适当的迭代方法求方程32210x x x ---=在0 2.5x =附近的一个根, 精度为310-。
解：（1）求非线性方程()0f x =根的迭代法的方法思想： 将方程()0f x =改写成()x x ϕ=由给定的初始近似解0x ，给出如下迭代公式1()k k x x ϕ+=，0,1,2,k =，如果上述迭代序列{}k x 收敛，即lim *k k x x →∞=则*x 为方程()0f x =的根。
………… 7 分（2）将方程32210x x x ---=改写成3212x x x =++由此可得到相应的迭代公式1k x +=由于上述迭代公式的迭代函数在0 2.5x =处的导数的绝对值小于1，因此上述迭代公式在0 2.5x =附近具有局部收敛性。
………… 4 分通过上述迭代可以得到上述方程根的数值近似计算结果如下：………… 4 分四、（10分）叙述确定二次函数2拟合下述列表函数的步骤220(,,)(())ni i i i a b c ax bx c f x ϕ==++-∑………… 5 分第二步，令000a b cϕϕϕ∂=∂∂=∂∂=∂ 上述方程是关于所求参数,,a b c 的线性方程组。
第三步，解上述方程组可得所求参数,,a b c ，由此可得到用二次函数拟合上述列表函数的最小二乘解。
………… 5 分五、（15分）叙述复化Simpson 积分公式n S 计算()b af x dx ⎰的方法思想，并用复化Simpson公式n S 计算积分320cos I x dx π=⎰,其中3n ≥。
解：方法思想：由截断误差可知, 当区间长度b －a 较大时, 梯形求积公式的误差较大. 为此，利用积分关于区间具有可加性, 将[a ，b]区间上的积分, 分成若干小区间上的积分, 以此来减少积分区间长度引起的误差. 这就引入了复合求积公式. 具体如下： 设分点,()/i x a ih h b a n =+=-将区间[a ，b]分成n 等分，则11()()ii nbx ax i f x dx f x dx -==∑⎰⎰将每个小区间上的积分都用Simpson 公式给出，则得计算定积分的复化Simpson 公式如下：11/21()[()4()()]6nb i i i n ai hf x dx f x f x f x S --=≈++=∑⎰………… 7 分利用上述公式，取3n =时，可得如下计算结果：s = 0.7023………… 8 分六、（15分）说明求解微分方程初值问题的Runge-kutta 方法的方法思想，并选用适当的方法解微分方程初值问题3sin ,00.4(0)1y x y x x y '=-≤≤⎧⎨=⎩的数值解, 取步长0.2h =. 解：对于方程000(,),()n y f x y x x x y x y '=≤≤⎧⎨=⎩龙格-库塔（Runge －Kutta ）方法利用微分中值:111()()'()()(,())()i i i i i i y x y x y x x f y x x ξξξ+++-=-=-其中1(,)i i x x ξ+∈. 由于ξ未知, 从而(,())f y ξξ未知, 故我们不能直接应用上述公式解微分方程. 在实际计算时, 我们只好寻找(,())f y ξξ的适当近似, 并由此得到相应的算法. 例如: 若用(,())i i f x y x 近似(,())f y ξξ就可以得到Euler 公式; 更一般地, 我们可以考虑用区间1[,]i i x x +上某几个点处(,())f x y x 的值的加权平均作为(,())f y ξξ的近似, 并满足一定误差要求，由此给出相应的公式: 这就是Runge-Kutta(龙格-库塔)算法的思想.………… 7 分上述方程利用Runge-lutta 方法计算得到的数值解为：x=0.2时, k1= 0.0000 k2= 0.2002 k3= 0.1982 k4= 0.3935 y( 1)= 1.0397 x=0.4时, k1= 0.3934 k2= 0.5811 k3= 0.5756 k4= 0.7503 y( 2)= 1.1549 即x = 0 0.2000 0.4000 y =1.0000 1.0397 1.1549………… 8 分注: 允许用其他方法,例如Euler 方法, 求解微分方程的数值解. 七、（10分）用LU 分解法求解方程组：1232115200241413x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：用LU 分解法上述方程组，设A ＝LU 则有L =[ 1 0 0 -1 1 0 -2 1 1] U =[ 2 -1 1 0 -1 1 0 0 -3]………… 5 分解方程组Ly b =可得 y = 5 3 -6解方程组Ux y =可得原方程组的解 x = 1 -1 2………… 5 分八、（10分）1）写出求解线性方程组Ax b =的Jacobi 迭代格式的分量形式，其中()n n ij A a R ⨯=∈，n b R ∈；2）编写求解线性方程组Ax b =的Jacobi 迭代格式的Matlab 程序，要求该程序能根据方程的系数矩阵A 、右端项b 、初始近似解0x 、精度delta 及最大许可迭代次数max1输出在许可迭代次数内由Jacobi 迭代得到的满足精度要求的近似解及达到精度要求需要的最少迭代次数或输出在许可的迭代次数内Jacobi 迭代没有得到满足精度要求的近似解的提示信息。
解：1）Jacobi 迭代格式的分量形式为：1111()/i nk k k ii ij jijjii j j i xb a x a xa -+==+=--∑∑，1,2,,i n =，其中0ii a ≠，1,2,,i n =。
………… 4 分2）满足上述要求的Matlab 程序如下： function [x,iternum]=jacobi(A,b,x0,delta,max1) % Input -A is an n by n nonsingular matrix % -b is an n by 1 matrix% -x0 is an n by 1 matrix; the initial guess % -delta is tolerance for X% -max1 is the maximum number of iterations% Output-X is an n by 1 matrix;the jacobi approximation to the solution of AX=B%Examining the inputs if nargin<2error('more augments are needed'); break; endif nargin< 3x0=zeros(size(b)); endif nargin< 4delta=1e-13;endif nargin< 5max1=100;endif nargin> 5error('Incorrect number of inputs');break;endn=length(b);x=0*b;flag=0;iternum=0;for k=1:max1iternum=iternum+1;for j=1:nif abs(A(j,j))< (delta+eps)error('A(j,j) equal to zero,divided by zero');endx(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:n])*x0([1:j-1,j+1:n]))/A(j,j);enderr=norm(x-x0);relerr=err/(norm(x)+eps);x0=x;if (err<delta)|(relerr<delta)flag=1;break;endendif flag==1disp('The Jacobi method converges . ')elsedisp(['The Jacobi method does not converge within ', num2str(max1), ' iterations ']) end。