常州大学数值分析07-08试卷B及参考答案

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常州大学数值分析07-08试卷A及参考答案

江苏工业学院2007~2008学年第 2 学期硕士生考试试题参考解答

一、（10分）叙述防止误差的几个基本原则，并举一例说明其在数值计算中的应用。答：防止误差的几个基本原则主要有： 1）防止大数“吃”小数；

2）避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法； 3）避免相近数相减；

4）避免使用不稳定的算法；

5）注意简化计算步骤，减少运算次数； ………… 5 分例如：当x 充分大时，即1x >>时，计算

可以用表达式

来计算，以避免相近数相减。 ………… 5 分

二、(15分)（1）叙述Lagrange 插值或Newton 插值方法的方法思想。

(2) 设(1)0,(2)3,(3)10f f f ===, 试求)(x f 的二次Newton 插值多项式。解：（1）拉格朗日插值、牛顿插值的方法思想分别如下：对于给定的节点(,),0,1,2,,i i x y i n = 拉格朗日插值通过引入满足如下条件的基函数

(),0,

i j j i

l x j i

=⎧=⎨

≠⎩ 构造如下形式的插值多项式

()()n

n i i i P x l x y ==∑

其中0()

()()n

j i j i

j i

x x l x x x =≠-=

-∏。 ………… 4 分

牛顿插值方法是通过构造如下形式的多项式

01020101()()()()()()n n n N x a a x x a x x x x a x x x x -=+-+--++--

其中,0,1,2,,i a i n =通过Newton 差商公式得到，且仅与0,1,,,i x x x 有关，由此可以保

数值分析2007第二学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷（A 卷）

2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120 分钟

学号姓名年级专业

一、判断题（每小题2分，共10分）

1. 用计算机求

1000

n n

=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。（）

2. 为了减少误差,进行计算。（）

3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）

4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（）

5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有

关，与常数项无关。

（）

二、填空题（每空2分，共36分）

1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.

2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

则1A =_____，2x =______，Ax ∞

=_____.

3. 已知5

()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .

4. 为使求积公式

1231

()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰

的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .

6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)

()(0,1,2,)k k X

MX N k +=+= 产

数值分析试卷及答案

数值分析试卷

一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）

1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？

A. 数值计算方法

B. 数值误差

C. 数值软件

D. 数学分析答：A、B、C

2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？

A. 插值法

B. 微积分基本公式

C. 数值微积分

D. 数值积分公式

答：A

3. 数值积分的目的是求解什么？

A. 函数的导数

B. 函数的原函数

C. 函数的极值

D. 函数的积分

答：D

4. 数值微分的目的是求解什么？

A. 函数的导数

B. 函数的原函数

C. 函数的极值

D. 函数的积分

答：A

5. 数值微分的基本方法有哪几种？

A. 前向差分

B. 后向差分

C. 中心差分

D. 插值法

答：A、B、C

6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？

A. 迭代法

B. 曲线拟合法

C. 插值法

D. 数值积分法

答：A、B、C

7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？

A. 当迭代结果开始发散

B. 当迭代结果接近真实解

C. 当迭代次数超过一定阈值

D. 当迭代结果在一定范围内波动

答：B

8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？

A. 拉格朗日插值

B. 牛顿插值

C. 三次样条插值

D. 二次插值

答：A、B、C

9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？

A. 直接法

B. 迭代法

C. 插值法

D. 拟合法

答：A、B

10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？

A. 直接法

B. 迭代法

C. 插值法

D. 曲线拟合法

答：B

二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）

1. 数值积分的基本公式是_________。

数值分析考试题

山东科技大学2008-2009学年第一学期

《数值分析》考试

一、设x =9.1234, y =10.486均具有5位有效数字。试分析x - y和x3 y啲绝对误差

限和相对误差限。

二、求一条拟合3点A(0,1), B(1,3),C(2,2)的直线。

三、设n _ 2为正整数，c为正数，记x*二n.c

1) 说明不能用下面的迭代格式

1 _n

x k 1 = cx k ,k =Q1,2：= = " =

求x*的近似值。

2) 构造一个可以求x*的迭代格式，证明所构

造迭代格式的收敛性，并指出收敛阶数四、给定线性方程组

_4 -1 0卩1 一2〕

-1 a 1 x2 = 6

4」］X3」：2J

】0 1

其中a为非零常数。

1) 写出Jacobi迭代格式与Gauss-Seidel迭代格式并分析其收敛性。

2) 分析a在什么范围取值时以上迭代格式收敛。

五、做一个5次多项式H (x)使得

H(1) =3,H (2) = —1, H(4) =3,H'(1) =2, H'(2) =1, H *(2) =2,

六、求f (x) =x2在区间0,1上的一次最佳一致逼近多项式。

七、给定积分公式:

f(x)d x ：Af (-1) Bf (0) f (1)

■ -4

1) 试确定求积系数A,B,C，

使其具有尽可能高的代数精度，并指出其代数

精度。

2) 试判断该求积公式是否为高斯型求积公式，并

说明理由。

3) ................................................................................................ 将区间-1,作n等分，

07-08学年数值分析试卷

1 1 显然当 x 0,2时， ( x) 0,2 且成立 ( x ) 2
因此，上述迭代过程收敛于方程故有

x 2 x 1 0 的正根。
1 5 x 2

试分析每种迭代公式的收敛性。
1 解：1）对于迭代公式 xk 1 1 2 ,其迭代函数为 xk
1 ( x) 3 x ( x) 2 (1.3)3 1 故当 x .3,1.6 时，有 1
1 ( x) 1 2 x
此外成立
1 1 1.3 1 2 ( x) 1 2 1.6 1.6 1.3
(k 0,1,2, )
6、写出求积分

b
a
f ( x)dx 的辛普生公式
ba ab S f (a) 4 f ( ) f (b) 6 2
它具有 3 次代数精度。
5 2 1 7、设 A 2 1 0 ，则 0 8 2
1 2
五、讨论题（本大题共10分）
3 2
为用迭代法求方程 x x 1 0 在区间 1.3,1.6 内的一个实根，将方程改写成下列等式形式，并建立相应的迭代公式：
1 1) x 1 2 ，迭代公式为 x

1 xk 1 1 2 (k 0,1,) xk 1 1 2 2) x ，迭代公式为 xk 1 (k 0,1,) x 1 xk 1

060708研究生数值分析试卷(A).doc

武汉大学

2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题

(A 卷)

科H 名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：

注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、(12分)设方程组Ax = 0为

■

1、 (1

J 1>

(1)

用Doolittle 分解法求解方程组;

(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A

的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取值范围，使迭代格式收敛。三、(12分)已知数据

试用二次多项式p ⑴=ax 1 2

+hx + c 拟合这些数据。四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：

取得最小值。

六、 (12)确定常数片，使求积公式

求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；

2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R

五、(12分)确定常数。，b 的值，使积分

r I

I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dx

c 2

^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)

的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。

七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。对于常

数人，构造新的迭代格式：

A 1 ,、

队=一从+ 一心)

1 +

2 1 + 人

问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。

八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：

2007—2008第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案

武汉大学数学与统计学院

2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题

（180学时）

一、（87'⨯）试解下列各题：

1、计算lim n →∞

2、计算0

ln(1)lim

cos 1

x x x x →+--

3、计算arctan d x x x ⎰

4、计算4

x ⎰

5、计算

d x

xe x +∞-⎰

6、设曲线方程为sin cos 2x t y t

=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4

t π=

处的切线方程。

7、已知2

d cos d y

x t

e t t t =

⎰⎰

，求x

y d d

8、设11x y x

-=+，求()n y

二、（15分）已知函数3

(1)

y x =

-求：

1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；

2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0

()()d x f x g t t =⎰

1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；

2、证明()f x 在1x =处右连续；

四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2

y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x

轴旋转一周所形成的立体体积；

2、在抛物线2

(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴

所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,f b f f b b ξξ'-=∈ 对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b b

ξ→

武汉大学数学与统计学院 B 卷

07-08-3高等数学B期中考试试卷参考答案.

线

07-08-3高数B期中试卷参考答案08.4.11

一.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分

1. 级数（常数） [ A ]

(A绝对收敛 (B条件收敛 (C发散 (D敛散性与的取值有关

2.下列反常积分发散的是 [ C ]

(A (B(C (D

3.已知直线与，则与 [ B ] (A相交 (B异面 (C平行但不重合 (D重合

4.设函数，，

，其中，

，则 [ B ]

(A (B(C(D

二．填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分

5.若垂直于，且，则与的夹角为；

6. 曲线绕轴旋转一周所成的曲面方程是；

7.曲线在面上的投影曲线方程是；

8.设幂级数在处条件收敛, 则该幂级数的收敛半径为；

9.幂级数的收敛域为.

三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分

10．求过点且与直线及直线都平行的平面方程.

解，平面方程为，

即

11．求过点，与平面平行，且与直线

相交的直线方程.

解设所求直线与直线的交点为，，

，于是

，得，交点为，所求直线方程为

12．将函数展开为的幂级数，并求收敛域.

解

，

13.求幂级数的和函数，并指明收敛域.

解令，

，

四（14）．（本题满分9分）求母线平行于向量，准线为的柱面方程.

解设是准线上一点，则，则，

，代入准线方程即得所求的柱面方程

五（15）。（本题满分9分）判断级数的敛散性.

解，而收敛，由比较判别法得知级数收敛

六（16）.（本题满分10分）将函数展开成正弦级数，并求级数的和.

解由题设知，，，

，

取，得，即

2007-2008考试试卷及答案

2005级VB期末试题部分（2006 2007 — 2008 学年第二学期

《复变函数》课程考试试卷A

注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间120分钟

3、姓名、学号必须写在指定地方阅卷负责人签名：

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）

1．Ln i＝

2．＝

3．若函数2222

()(2)

f z x axy y i x xy y

=+-+-++在复平面内处处解析，则a= ____

4．幂级数

(1)n n

i z

∞

∑的收敛半径为______

5．复变函数积分

(1)

⎰＝

二、选择题（本题共6小题，每小题3分，满分18

分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把

所选项前的字母填在题后的括号内.）

1．点0

z=为函数

sin z

的

[ ]

（A）可去奇点（B）本性奇点（C）一级极点（D）二级极点

2．下列命题正确的是

[ ]

(A) 如果()

f z在

z连续，那么

()

f z'存在；

(B) 如果

()

f z'存在，那么()

f z在

z解析；.

z是()

f z的奇点，那么()

f z在

z不可导；

(D) 如果()

f z在区域D内解析且实部为常数，那么()

f z在D内是

常数.

3．关于函数()

f z z

=的性质下列说法错误的是

[ ]

（A）()

f z在整个复平面上都是连续的（B）()

f z仅仅在原点可导

（C）()

f z在原点解析（D）()

f z在整个复平

面上都不解析

4．下列说法正确的是

[ ]

(A) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；

(B) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内解析；

常州大学数值分析作业(共六章)

2 12 30 56
3 14 33 60
4 16 36 64
30 70 110 150
30 70 110 150
30 70 110 150
A.^2 ans = 1 4 25 36 81 100 169 196 A+B ans = 2 7 12 17
9 49 121 225
16 64 144 256
100 228 356 484
1 x x 2 n 1 x3 x5 x 2 n 1 ln 2 2( x ),1 x 1 1 x 3 5 2n 1 n 1 2n 1
clear x=1; s=0; for k=1:100; s=s+((-1)^(k+1))*(x^k)/k; end y=s %计算值% g=log(2) %真实值% err=y-g %绝对误差% y= 0.6882 g= 0.6931 err = -0.0050
2c b 2 4ac b
输入 a=1 输入 b=2 输入 c=1 d= 0 x1 = -1 x2 = -1
， x2
b b 2 4ac 。 2a
输入 a=1 输入 b=5 输入 c=2 d= 17 x1 = -4.5616 x2 = -0.4384
输入 a=2 输入 b=2 输入 c=1 d= -4 x1 = -2.0000 - 2.0000i x2 = -0.5000 + 0.5000i

《数值分析》试卷B

2007─2008学年第二学期

《数值分析》课程考试试卷( B 卷)

专业：信计年级：06级考试方式：闭卷学分：4 考试时间：120分钟

一、填空题(每空3分，共30分)

1．设73()1f x x x =++，则0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦ = ，0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦ = ，

2．用二分法求方程3()10f x x x =+-=在区间[]0,1内的根，进行二步后根所在区间为．

3．2()(5)x x x ϕα=+-，要使迭代法1()k k x x ϕ+=局部收敛到*5x =，则α的取值范围是．

4．设A 为正交矩阵，则A 的谱条件数2cond()A = ．

5．设3221A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，23x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则A ∞= ，Ax ∞≤ ． 6．求解线性方程组12123511405

x x x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩的Jacobi 迭代格式为，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径()G ρ= ，此迭代格式是（收敛或发散）．

二、（本题10分）

序列{}n y 满足递推关系题号

一二三四五六总分得分

阅卷人得分阅卷人得分

1101n n y y -=- （1,2,n = ），若02 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

三、（本题15分）

对于()0f x =的Newton 公式1()()k k k k f x x x f x +=-'，证明：12

12()k k k k k x x R x x ----=-收敛到()2()

常州大学数值分析作业第一章

姓名：李俊乾专业：化学
2、下列各近似值的绝对误差限都是1/2×10-3，试指出他们各有几位有效数字：x=1.00052,y=0.052,z=0.00052. 答：绝对误差=1/2×10-3，则有m-n=-3 x=1.00052=0.100052×10 m=1 n=4 y=0.052=0.52×10-1 m=-1 n=2 z=0.00052=0.52×10-3 m=-3 n=0 3、计算圆的面积，要使其相对无误差限为1%，问测量半径为r允许的相对误差限是多少？答：根据题意可得：记圆的面积为S，|dS/S|≤1%。因为S=πr2知：dS=2πrdr 所以dS/S=(2πrdr)/(πr2)=2(dr/r) |dr/r|≈1/2|e(S)|≤0.5×1% =0.5% 11、数组与矩阵是Matlab编程的基础，学习其中数组与矩阵的表示方法，并举例介绍他们的常见运算。答：数组的运算是指数组对应元素之间的运算，也称点运算。矩阵的乘法、乘方和除法有特殊的数学含义，并不是数组对应元素的运算，所以数组乘法、乘方和除法的运算符前特别加了个点。
end b=abs(err1-err2); %算法1和算法2在计算相同次数后的误差 s2 n2 err2 b s1 =0.6931 n1 = 10000 err1 = 4.9997e-05 s2 = 0.6931 n2 =11 err2 =1.0680e-07 b =4.9891e-05 根据算式1和2的计算可以发现：算式1经过10000次后误差为err1 = 4.9997e-05并且仍未达精度要求（err<=1e-6），算式2仅用11次就达到精度要求err2 =1.0680e-07，由此可得算式2的计算精度更高。

数值分析详细答案(全)

第二章插值法习题参考答案

)12)(12()

1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)(2+-+-⋅

+------⋅-+-+-+⋅

=x x x x x x x L

37236

52-

x x . 3. 线性插值：取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ，则

620219.0)54.0()54.0(54.0ln 00

101-=-⋅--+

=≈x x x y y y L ；

二次插值：取

510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ，则

)54.0(54.0ln 2L ≈

))(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0())(()

54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----⋅

+----⋅+----⋅=

＝－0.616707 .

6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k

==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，则有

)()(x R x P x n n k +=

)

())(()!1(1

)(0)1(0

n n n

i k j j x x x x f n x x l --++

=+=∑ ξ

由于0)()

1(=+ξn f

，故有k

i k j j

x x l

≡∑=0

)(.

ii) 构造函数,)()(k

常州市2007-2008学年度第一学期期末质量调研高三数学试卷答案

江苏省常州市2006－2007学年度第一学期期末质量调研高三数学试题参考答案及评分标准 2008年1月

第I 卷(必做题)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．填对得5分，填错不得分. 1. 2 2. (0,1)- 3. 12i - 4.7 5. 1 6.

8. 答案不惟一，如

3k >，或3k <-等 9. 60 10. (),1-∞ 11.

12. 230x y -+= 13. 215

14. 21

n s

x n =

+ 二、解答题：本大题共6小题，共90分，分步得分.

15. 解: 解：（I ）∵0m n =

，

∴(sin ,sin cos )(,2)C B A b c

＝0. ∴sin 2sin cos 0.b C c B A += ………………………………2分

∵

,sin sin b c

B C

= ∴2cos 0.bc cb A += ………………………………4分

∵0,0,b c ≠≠

∴12cos 0.A +=

∴1cos .2

A =- ………………………………6分 ∵0,A π<<

∴2.3

A π

………………………………8分（II ）△ABC 中，

∵222

2cos ,a c b cb A =+- ∴2

1244cos120b b =+-.

∴2

280.b b +-= ………………………………10分 ∴4() 2.b b =-=舍， ………………………………12分

∴△ABC 的面积 11sin 22222

S bc A =

=⨯⨯⨯= ……………14分 16. （I ） E 为线段1AD 的中点，F 为线段1BD 的中点，

常州大学2012-2013级研究生数值分析试卷A解答及评分标准

一．（1）已知函数2

()73f x x x =++，用秦九昭方法计算(2)f ；

（2）秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要多少次乘法？（3）至少写出四种减少误差危害的常用手段。解：（1）2

()73(31)7f x x x x x =++=++

22(2)(321)2759f =⨯++=

………… 5 分

（2）秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要n 次乘法。

………… 5 分

（3） A ）防止大数“吃”小数； B ）避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；C ）

避免相近数相减；D ）避免使用不稳定的算法；E ）注意简化计算步骤，减少运算次数；

………… 5 分

二．给定方程组

123311413132156x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1）以分量形式写出解此线性方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss -Seidel 迭代格式；（2）求1A 和A

∞

；

（3）判断Gauss -Seidel 迭代格式的敛散性。解：（1）Jacobi 迭代

(1)()()

123(1)()()213(1)()()312(4)/3

(3)/3(62)/5

k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++=--=+-=-+， 0,1,2,k = Gauss-Seidel 迭代

(1)()()

123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(4)/3

(3)/3(62)/5

k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++=--=+-=-+， 0,1,2,k =

常州大学数值分析习题解答

1.1解：

m=3;

f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m);

g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m);

f(3.33)

g(3.33)

有ans = 121

ans =121

实际上，当m=2时，就可以看出这两种算法在计算的精确度上的区别：

m=2;

f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m);

g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m);

f(3.33)

g(3.33)

有ans = 120

ans =130，可以看出，两者在计算精度上的不同区别，数学上恒等，在数值上不一定恒等。

1.2解：

（1）精确到小数点后第三位，故有4位有效数字

（2）精确到小数点后第三位，故有2位有效数字

（3）精确到小数点后第三位，故有0位有效数字

1.3 解;

记圆的面积为S，由题意有|e(S)|≤1%。由S=πr2知：dS=2πrdr所以

dS/S=(2πrdr)/(πr2)=2(dr/r)

∴|e(r)|≈1／2|e(S)|≤0.5×1%=0.5%

1.4 解：

由题有：|e(x)|≤1/2×10^-2 ; |e(y)|≤1/2×10^-2; |e(z)||≤1/2×10^-2

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