多元正态分布

§2.2 多元正态分布的定义
1. 多元正态分布的定义
2. 多元正态分布的性质
§2.2 多元正态分布的定义
在一元统计中，若U～N(0,1),则U的任意线性变 换X=σU+μ～N(μ,σ2)。利用这一性质，可以从标准 正态分布来定义一般正态分布： 若U～N(0,1),则称X =σU+μ的分布为一般正态分 布,记为X ～N(μ, σ2 )。 此定义中，不必要求σ＞0,当σ退化为0时仍有意 义。把这种新的定义方式推广到多元情况，可得 出多元正态分布的第一种定义。
0 ) 3
§2.2 多元正态分布的性质
(2)
X 2 0 1 0 X 1 0 0 1 X BX , 令 Y X 3 1 0 0 2 X 3 X1
由性质1知,Y为3维正态随机向量,且
0 1 0 2 0 y B x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2
则 X(1) ～ Nr(μ(1),Σ11), X(2) ～ Np-r(μ(2),Σ22).
§2.2 多元正态分布的性质
证明： 取 B1 I r O , r维向量 d1 0,
r p
由性质1可得： X 类似地
(1)
B1 X d1 ~ Nr ( , 11 ).
(1)
取 B2 O I p r , p r维向量 d 2 0, 则
1 1 f (x) exp ( x ) ( x ) 1 2 p 2 2 (2 ) 1
其中μ是p维实向量,Σ是p阶正定阵,则称X=(X1,X2…Xp )′ 服从(非退化的)p元正态分布.也称X为p维正态随机向量 ,简记为 X～Np(μ,Σ).
1 1 exp ( x )() ( x ) 12 2 2 1
§2.2 多元正态分布的定义
证明 ① 因Σ＞0,rk(Σ)=p,由线性代数的知识知存在 非奇异方阵A,使得 Σ=AA′，且 X = AU+μ 其中U=(U1,…,Up)′,且U1,…,Up相互独立同N(0，1)分 布。 ② U的联合密度函数(p元函数）为
④ 积分变换的Jacobi行列式J(u→x)可利用线性变换 x=Au+μ及J(x→u)来计算： x

来自百度文库
p
u1 x p u p
12

A AA

12
§2.2 多元正态分布的定义
1 1 2 故 J (u x) . J ( x u)
§2.2 多元正态分布的定义
1 1 fU (u ) exp u u p 2 (2 ) 2
§2.2 多元正态分布的定义
③ 利用U的联合密度函数及随机向量的变换求 X=AU+μ的密度函数。 对任给Borel可测集B，求p元函数fX(x)使得
P{ X B} f X ( x)dx
d为s×1常向量，令Z=BX+d,则
Z～Ns(Bμ+d , BΣB ). 该性质指出正态随机向量的任意线性组合 仍为正态分布.
§2.2 多元正态分布的性质
证明 因Σ ≥0, Σ可分解为Σ=AA ,其中A为p×q 矩阵 .已知X～Np(μ,Σ),由定义2.2.1可知 d X = AU+μ
( p-r) p
X
( 2)
B2 X d2 ~ N pr ( , 22 ).
( 2)
§2.2 多元正态分布的性质
此推论指出，多元正态分布的边缘分布仍为
正态分布。但反之，若随机向量的任何边缘分布
均为正态分布，也不一定能导出该随机向量服从
多元正态分布.
如例2.1.1,证明了X1,X2均为一元正态分布,但由 (X1,X2) 联合密度函数的形式易见它不是二元正态.
§2.2 多元正态分布的性质
y B x B 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 0 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0 3 0 1 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 1
1 1 f (x) exp ( x ) ( x ) 1 2 p 2 2 (2 ) 1
其中μ是p维实向量,Σ是p阶正定阵,则称X=(X1,X2…Xp )′ 服从(非退化的)p元正态分布.也称X为p维正态随机向量 ,简记为 X～Np(μ,Σ).
(d表示两边的随机向量服从相同的分布.)
其中U=(U1,…,Uq),且U1,…,Uq 相互独立同 N(0，1)
分布。
§2.2 多元正态分布的性质
d Z=BX+d = B(AU+μ)+d
= (BA)U+(Bμ+d)
由定义2.2.1可知 Z ～Ns(Bμ+d, (BA)(BA))， 即 Z ～Ns(Bμ+d, BΣB).
§2.2 多元正态分布的性质
例如:设三维随机向量X=(X1,X2,X3),且
X1 2 1 1 0 ~ N ( 0 , 1 2 0 ), X X 2 0 0 0 3 X3
则有(1) X1 ~ N(2,1),
X2 0 2 X ~ N 2 ( 0 , 0 3
B
P{U D} fU (u )du
其中 D={u | u=A-1(x-μ), xB}
D
§2.2 多元正态分布的定义
根据附录§8 (P397)公式(8.4),即有
P{ X B} fU (u )du
D B
[u A ( x )]
1
fU ( A1 ( x )) J (u x)dx f X ( x)dx
1 (2 )
p 2

12
1 1 exp ( x ) ( x ) 2
1
( 这里Σ=AA′,
1 1 1 ( AA ) ( A ) A )
§2.2 多元正态分布的定义
定义2.2.4 若 p 维随机向量X=(X1,X2…Xp)′的联合密 度函数为
则称X服从 p 维正态分布,记为 X ～Np(μ,Σ) .
t ' t X (t ) exp[ it ' ] ( 0) 2
§2.2 多元正态分布的定义
定义2.2.3 若p维随机向量X的任意线性组合均服从 一元正态分布，则称X为p维正态随机向量. 定义2.2.4 若 p 维随机向量X=(X1,X2…Xp)′的联合密 度函数为
⑤ 写出X=AU+μ的密度函数： 1 1 f X ( x) exp u u J (u x) p 2 (2 ) 2 1 1 2 1 1 1 exp [ A ( x )][ A ( x )] p 2 (2 ) 2
§2.2 多元正态分布的定义
定义2.2.1 设U=(U1,…,Uq)′为随机向量,U1,…, Uq相互独立且同N(0，1)分布；设μ为p维常数向量 ，A为p×q常数矩阵，则称X=AU + μ的分布为p维
正态分布，或称X为p 维正态随机向量,记为X ～
Np(μ, AA′)。 定义2.2.2 若p维随机向量X的特征函数为:
§2.2 多元正态分布的性质
§2.2 多元正态分布的性质
性质3 若X～Np(μ,Σ),E(X)=μ,D(X)=Σ. 证明 因Σ≥0,Σ可分解为：Σ=AA′， 则由定义2.2.1可知 X = AU+μ (A为p×q实矩阵)
其中U=(U1,…,Uq)′,且U1,…,Uq相互独立同N(0，1)分
布,故有 E(U )=0, D(U )=Iq .
(这里Σ=AA).
§2.2 多元正态分布的性质
性质1 设X～Np(μ,Σ), B为s×p常数阵， d为s×1常向量，令Z=BX+d,则 Z～Ns(Bμ+d , BΣB ).
§2.2 多元正态分布的性质
X(1) 推论 设X= (2) X
r p-r
～Np(μ,Σ),将μ,Σ剖分为
(1) r 11 12 r ( 2) p r , pr 22 21
§2.2 多元正态分布的定义
定义2.2.2 若p维随机向量X的特征函数为:
t ' t X (t ) exp[ it ' ] ( 0) 2
则称X服从 p 维正态分布,记为 X ～Np(μ,Σ) .
§2.2 多元正态分布的定义
性质 设X=(X1,…,Xp)′为p维随机向量，则X服从p维
正态分布 对任一p维实向量a,ξ=a′X是一维正态随 机变量. 定义2.2.3 若p维随机向量X的任意线性组合均服从 一元正态分布，则称X为p维正态随机向量.
§2.2 多元正态分布的定义
性质 设X～Np(μ,Σ),且Σ＞0 (正定),则X的联合密度 函数为
1 1 () ( x ) f ( x) exp ( x ) 1 2 2 (2 ) p 2 1
§2.2 多元正态分布的定义
定义2.2.1 设U=(U1,…,Uq)′为随机向量,U1,…,
Uq相互独立且同N(0，1)分布；设μ为p维常数向量
，A为p×q常数矩阵，则称X=AU + μ的分布为p维 正态分布，或称X为p 维正态随机向量,记为X ～ Np(μ, AA′)。 简单地说，称q个相互独立的标准正态随机变
故 X2 0 2 0 1 Y X 3 ~ N ( 0 , 0 3 0 ). 2 1 0 1 X1
§2.2 多元正态分布的性质
(3) 设Z=2 X1-X2+3X3,试求随机变量Z的分布. Z=2 X1-X2+3X3 =(2,-1,3)X=CX 2 故有: z C x (2,1,3) 0 4 0 2 z C xC 1 1 0 2 2 (2,1,3) 1 2 0 1 1,0,9 1 0 0 3 3 3 29 所以 Z ~ N(4,29).
B
以下来求Jacobi行列式J(u→x).
§2.2 多元正态分布的定义
x1 u 1 因 x J ( x u) u x 1 x1 a11u1 ..... a1 p u p 1 u p
x p a p1u1 ..... a ppu p p
量的一些线性组合构成的随机向量的分布为多元
正态分布。
§2.2 多元正态分布的定义
性质1 设U= (U1,…,Uq)′为随机向量, U1, …,Uq 相 互独立且同 N(0,1)分布；令X=μ+AU,则X的特征函
数为
1 X (t ) exp[ it t AAt ]. 2
这里t=(t1,…,tp), 故ΦX(t)为p元函数.
§2.2 多元正态分布的定义
以上给出了多元正态分布的4种定义。定义2.2.4
用密度函数给出定义，它可看成一元正态密度的直
接推广；但在这个定义里要求Σ是正定阵,它给出的
是非退化的正态分布的定义。
另三种定义中把Σ阵推广到非负定的情形,这三种 定义是等价的。
§2.2 多元正态分布的性质
性质1 设X～Np(μ,Σ), B为s×p常数阵，