九年级二次函数复习资料

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九年级数学------二次函数基础知识点(全)

二次函数知识点复习1.定义：一般地，如果c b a c bx axy ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质：抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是，对称轴是 .3.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：的形式，其中abac k ab h 4422-=-=，.4.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是，对称轴是直线 .(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为，对称轴是 .(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是 . 6.抛物线c bx axy ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定(2)b 和a 共同决定 .由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线 ,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b(即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab(即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定 .①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 7. 二次函数的三种表达式一般式：顶点式：交点式：8.用待定系数法求二次函数的解析式. 二次函数的解析式有三种形式：顶点式，一般式，交点式。

(1)已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择(2)已知图像的顶点或对称轴，通常选择 . (3)已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常 . 9.直线与抛物线的交点 (1)y 轴与抛物线c bx axy ++=2得交点为(2)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx axy ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔ ； ③没有交点⇔(3)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有交点； ③方程组无解时⇔l 与G 交点. (4)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx axy ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax的两个根，故 ac x x ab x x =⋅-=+2121,()()aaac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=4442221221221211、抛物线的顶点是（－2,3），且过点（－1，5），求二次函数解析式。

九年级二次函数知识点

九年级二次函数知识点一、二次函数的定义和表示方式二次函数是指具有以下形式的函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。

一般常用的表示方式有标准形式、顶点形式和描点法。

标准形式：y = ax^2 + bx + c，常用于确定二次函数的参数和特征。

顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h,k)为函数的顶点坐标。

描点法：通过确定函数的一些特定点求得二次函数的表达式。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向：- 当a>0时，二次函数开口向上；- 当a<0时，二次函数开口向下。

2. 对称轴：对称轴是二次函数图像的镜像轴，其方程为x = -b/(2a)。

3. 零点：零点是指使二次函数取值为0的x的值，即方程ax^2 + bx + c = 0的解。

4. 最值：- 当a>0时，二次函数有最小值，最小值为函数的顶点值；- 当a<0时，二次函数有最大值，最大值为函数的顶点值。

三、二次函数的性质1. 函数增减性：- 当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；- 当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。

2. 函数的最值：- 当a>0时，函数的最小值为顶点值；- 当a<0时，函数的最大值为顶点值。

3. 零点与因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解或求根公式求得，形式为(x - x1)(x - x2) = 0。

4. 判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac可用于判断二次函数的零点个数和开口方向。

- 当Δ > 0时，有两个不相等的实根，函数图像与x轴相交于两点；- 当Δ = 0时，有两个相等的实根，函数图像与x轴相切于一个点；- 当Δ < 0时，无实根，函数图像与x轴无交点。

四、二次函数的应用1. 抛物线运动：二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹，如抛体自由落体运动的轨迹等。

2. 最值问题：对于一些实际问题，二次函数可以用来求解最值问题，例如求解最大面积、最小花费等。

中考数学《二次函数》复习资料

（1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（3）画出草图
（4）观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.
14、如图，已知二次函数
的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，求点C的坐标
A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()
A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第__象限( )
A.一B.二C.三D.四
（三）、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：（，，为常数，）；
2.顶点式：（，，为常数，）；
3.两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
8.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.
9、二次函数的对称轴是．
10二次函数的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．
11抛物线的顶点横坐标是-2，则 =．
12、抛物线的顶Байду номын сангаас是，则、c的值是多少？

九年级数学二次函数复习知识点归纳汇总

五、二次函数 y a x h2 k 与 y ax2 bx c 的比较从解析式上看， y a x h2 k 与 y ax2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过
配方可以得到前者，即
y

a

x

b 2a
2

4ac 4a
b2
，其中 h b 何 2a
九年级数学二次函数复习知识点归纳汇总
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如 y＝ax2+bx+c（a,b,c 是常数，a≠0）的函数，叫
做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a≠0，而
b何 c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数 y＝ax2+bx+c 的结构特征：
的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数 b （a 和 b 共同决定抛物线对称轴的位置）
.抛物线 y ax 2 bx c 的对称轴是直线 x b ，故：① b 0 时，对称轴为 y 2a
轴；②
（即 a 、 b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；③
（即 a 、 b 异号）时，
对称轴在 y 轴右侧.
x
b 2a
(x1 x2 )
无实根
两根为 x1，x2
（有两个不相等的实数根）
（有两个相等的实数根）
▲抛物线上两点
A( x1 ,
y0 ),
B(x2 ,
y0 )
，则抛物线对称轴为直线
x

x1
2
x2
十一、函数的应用
何何何何二次函数应用何何何何何何何何

九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)

九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)二次函数知识点总结一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a≠0），则称y为x的二次函数。

二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和B（x2，0）），对称轴所在的直线为x=注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：x1x22bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

四、抛物线的性质1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点2aP。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）bb4ac-b24ac-b22．抛物线有一个顶点P，坐标为P（-，）。

当x=-时，y最值=，当a>02a2a4a4a时，函数y有最小值；当a6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。

Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。

五、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

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二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果y =ax 2 +bx +c(a, b, c 是常数，a ≠ 0) ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y =ax 2 的性质（1）抛物线y =ax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数y =ax 2 的图像与a 的符号关系.①当a > 0 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a < 0 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2（a ≠ 0）.3.二次函数y =ax 2 +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成：y =a(x -h)2 +k 的形式，其中h =- b，k =2a4ac -b 2.4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y =ax 2 ；② y =ax 2 +k ；③ y =a(x -h)2 ；④ y =a(x -h)2 +k ；⑤ y =ax 2+bx +c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.① a 的符号决定抛物线的开口方向：当a > 0 时，开口向上；当a < 0 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x = 0 .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法⎛ b ⎫24ac -b 2 b 4ac -b 2（1）公式法：y =ax 2 +bx +c =a +x ⎪+，∴顶点是（-，），⎝2a ⎭4a 2a 4a对称轴是直线x =-b .2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a(x -h)2 +k 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线x =h .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y =ax 2 +bx +c 中，a, b, c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 2 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax 2 +bx +c 的对称轴是直线x = - b2a，故：① b = 0 时，对称轴为 y 轴；② b > 0 （即a 、b 同号）时，a 对称轴在 y 轴左侧；③ b< 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧.a（3） c 的大小决定抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点的位置.当 x = 0 时， y = c ，∴抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴有且只有一个交点（0，c ）：① c = 0 ，抛物线经过原点; ② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c < 0 ,与 y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 b< 0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： y = ax 2 + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式： y = a (x - h )2 + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1 、 x 2 ，通常选用交点式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ). 12. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线 y = ax 2 + bx + c 得交点为(0, c ).（2）与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax 2 + bx + c 有且只有一个交点( h ,ah 2 + bh + c ).（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1 、 x 2 ，是对应一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔ ∆ > 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相交；②有一个交点（顶点在 x 轴上） ⇔ ∆ = 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相切；③没有交点⇔ ∆ < 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相离.（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2 +bx +c =k 的两个实数根.（5）一次函数y =kx +n(k ≠ 0)的图像l 与二次函数y =ax 2 +bx +c(a ≠ 0)的图像y =kx +nG 的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两y =ax 2 +bx +c组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2 +bx +c 与x 轴两交点为A(x ，0)，B(x ，0)，由于x 、x是方程ax 2 +bx +c = 0 的两个根，故1 2 1 2第二部分典型习题１.抛物线y＝x2＋2x－2 的顶点坐标是（ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数y =ax 2 +bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0第２,３题图第4 题图３.二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为 BC 上一点，，交AB 于点 E ，交AC 于点 F （EF 不过 A 、B ），设 E 到 BC 的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（Ｄ）５.抛物线 y = x 2 - 2x - 3 与 x 轴分别交于 A 、B 两点，则 AB 的长为 4 ．6. 已知二次函数 y ＝kx 2＋(2k －1)x －1与 x 轴交点的横坐标为 x 1、 x 2 （ x 1＜x 2 ），则对于下列结论：①当 x ＝－2 时，y ＝1；②当 x ＞x 2 时，y ＞0；③方程kx 2＋(2k －1)x -1＝0 有两个不相等的实数根 x 、 x ；④ x ＜- 1， x ＞－1 ；⑤1212x －x，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．21k7. 已知直线 y = -2x + b (b ≠ 0)与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ；一抛物线的解析式为 y = x 2 - (b + 10)x + c .（1）若该抛物线过点 B ，且它的顶点 P 在直线 y = -2x + b 上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点 B 作直线 BC⊥AB 交x 轴交于点 C ，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线 y = -2x + b 的解析式. 解：（1） y = x 2 - 10 或 y = x 2 - 4x - 6将（0， b ) 代入，得c = b .顶点坐标为(b +10, - b 2 +16b +100 ) ，由题意得2 4-2 ⨯ b +10 + b = - b 2 +16b +100 ，解得b= -10, b = -6 . 2 41 2⎩ ⎩ ⎨ ⎨ ⎨b （2） y = -2x - 28. 有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 y ，且 y 是 x 的二次函数，已知输入值为- 2 ,0,1时, 相应的输出值分别为 5, - 3 , - 4 ．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值 x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ,⎧a (-2) 2 + b (-2) + c = 5⎧c = -3 ⎧a = 1则 a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = -3 ,即⎪2a - b = 4 ,解得⎪= -2 ⎪a + b + c = -4 ⎪a + b = -1 ⎪c = -3⎩故所求的解析式为: y = x 2 - 2x - 3 .（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值 y 为正数时，输入值 x 的取值范围是 x < -1 或 x > 3 ．9. 某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘下图．请根据图象回答：第 9 题制成1⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．解：⑴第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要 12 小时⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是 39℃⑶ y = - x 2 + 2x + 24(10 ≤ x ≤ 22)1610. 已知抛物线 y = ax 2 + ( 4+ 3a )x + 4 与 x 轴交于3A 、B 两点，与 y 轴交于点C ．是否存在实数 a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由．解：依题意，得点 C 的坐标为（0，4）．BO 2 + OC 2 | - 4 |2 +423a设点 A 、B 的坐标分别为（ x 1 ，0），（ x 2 ，0），由ax 2 + (4 + 3a )x + 4 = 0 ，解得 x = -3 ， x = - 4．3 1 23a∴ 点 A 、B 的坐标分别为（-3，0），（ - 4 3a，0）．∴ AB =| - 4+ 3 |， AC = 3a= 5 ，BC = =．∴ AB 2 =| - 4+ 3 |2 = 16- 2 ⨯ 3⨯ 4 + 9 = 16 - 8 + 9 ，3a 9a 2 3a9a 2 aAC 2 = 25 ， BC 2 = 169a 2+16 ．〈ⅰ〉当 AB 2 = AC 2 + BC 2 时，∠ACB＝90°．由 AB 2 = AC 2 + BC 2 ，得16 - 8 + 9 = 25 + ( 16+16) ． 9a 2解得a a = - 1． 49a 2∴ 当a = - 1 时，点 B 的坐标为（ 16 ，0）， AB 2 =625 ， AC 2 = 25 ，439BC 2 =400 ．9于是 AB 2 = AC 2 + BC 2 ．∴ 当a = - 1时，△ABC 为直角三角形．4〈ⅱ〉当 AC 2 = AB 2 + BC 2 时，∠ABC＝90°．由 AC 2 = AB 2 + BC 2 ，得25 = (16 - 8 + 9) + ( 16+ 16) ． 9a 2 a 9a 2AO 2 + OC 25 5解得 a = 49 当a = 4时， - 49 3a=44 3⨯9= -3 ，点 B （-3，0）与点 A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当BC 2 = AC 2 + AB 2 时，∠BAC＝90°．由BC 2 = AC 2 + AB 2，得 169a 2解得 a = 4．不合题意．9+16 = 25 + ( 16 9a 2 - 8 + 9) ． a 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当a = - 1时，△ABC 为直角三角形．411. 已知抛物线 y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A 、B 分别在原点的两侧，并且 AB ＝，试求 m 的值；（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则 x 1 ，x 2 是方程 x 2－mx ＋m －2＝0 的两根.∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即 m ＜2 ;又 AB ＝∣x 1 — x 2∣＝（+ ）x 2 - 4x x =,121 2∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1 或 m=3(舍去) , ∴m 的值为 1 .．2 - m 2 -m 2 - m （2）M(a ，b)，则 N(－a ，－b) .∵M、N 是抛物线上的两点,∴ ⎨⎪-a 2 + ma - m + 2 = b , ①-a 2 - ma - m + 2 = -b . ②⎪①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 .∴当 m ＜2 时，才存在满足条件中的两点 M 、N.∴ a = .这时 M 、N 到 y又点 C 坐标为（0，2－m ）,而 S △M N C= 27 ,1∴2× ×（2－m =27 .2∴解得 m=－7 .12. 已知：抛物线 y ＝ax 2＋4ax ＋t 与 x 轴的一个交点为 A （－1，0）．（1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 5∶2 的点，如果点 E 在（2）中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．0 0解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为 x ＝－2．∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 A （－1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（－3，0）．（2） ∵ 抛物线 y ＝ax 2＋4ax ＋t 与 x 轴的一个交点为 A （－1， 0），∴ a (－1)2＋4a (－1)＋t ＝0．∴ t＝3a ．∴ y ＝ax 2＋4ax ＋3a ．∴D （0，3a ）．∴ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，且点 C 在抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋3a 上，∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形 ABCD 的面积为 9，∴1 ( AB + CD ) ⋅OD ＝9 ．∴ 21 (2＋4) 3a ＝9 ． 2∴ a±1．∴所求抛物线的解析式为 y ＝x 2＋4x ＋3 或．（3）设点 E 坐标为（ x 0 ， y 0 ）.依题意， x 0＜0 ，y ＝- x 2 - 4ax -y 0＜0，且 y ＝ 5 ．∴ y ＝－ 5x ．x 22 0⎨ ①设点 E 在抛物线 y ＝x 2＋4x ＋3 上，∴ y ＝x 2＋4x ＋3 ．⎧5 ⎧x '＝- 1⎪ y 0＝－ x 0 , ⎨⎧x ＝- 6，⎨0 2解方程组⎪⎨y ＝x 2＋2 4x ＋3得 ⎩0 y 0＝15；⎪ y '＝5． ⎩ 0 0 0⎪ 0 4∵ 点 E 与点 A 在对称轴 x ＝－2 的同侧，∴ 点 E 坐标为（ - 125 ，）．4设在抛物线的对称轴 x ＝－2 上存在一点 P ，使△APE 的周长最小．∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须 PA ＋PE 最小．∴ 点 A 关于对称轴 x ＝－2 的对称点是 B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线 BE 与对称轴 x ＝－2 的交点．设过点 E 、B 的直线的解析式为 y ＝mx ＋n ，⎧ 15 ⎧m ＝1 , ⎪- m ＋n ＝ ,∴ 解得 2⎨ 24 ⎩－3m ＋n ＝0.⎪n ＝ 3 . ⎩ 2点 P 坐标为（－2，）．②设点 E 在抛物线 y ＝- x 2 - 4x - 3 上，∴ y ＝- x 2 - 4x - 3 ．⎧y ＝－ 5 x , 解方程组⎪ 02 0消去 y3 ，得x 2 + x 0＋3＝0 ．⎪⎨ y ＝- x 2 - 4x - 3. ⎩ 0 0 02∴ 直线 BE 的解析式为 y ＝ 1 x ＋ 3 ．∴ 把 x ＝－2 代入上式，得 y ＝ 1．222∴ 1 2∴△＜0 . ∴此方程无实数根．1综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（－2，），使△APE 的周长最小．2解法二：（1）∵抛物线y＝ax2＋4ax＋t 与x 轴的一个交点为A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴．y＝ax2＋4ax＋3a令y＝0，即ax2＋4ax＋3a＝0 ．解得x ＝－1，x ＝－3 ．1 2∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（－3，0）．（2）由y＝ax2＋4ax＋3a ，得 D（0，3a）．∵ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，且点 C 在抛物线y＝ax2＋4ax＋3a 上，∴ C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD 的面积为9，∴1( AB＋CD) OD＝9 ．解得 OD＝3．2∴ 3a＝3 ．∴ a±1．∴ 所求抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3 或y＝－x2－4x－3 ．（3）同解法一得，P 是直线 BE 与对称轴 x＝－2 的交点．∴如图，过点E 作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x 轴的交点为 F．由PF∥EQ，可得BF＝PF．∴1＝PF ．∴PF＝1 BQ EQ．1点P 坐标为（－2，）．2 以下同解法一．5 5 2 2 413.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标．（2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q．当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合），设 NQ 的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求S 与t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需∴- ， P 要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式 y = a (x + 1)(x - 2) ， ∴ - 2 = a ⨯1⨯ (-2) ．∴a = 1 ．∴ y = x 2 - x -2 ．其顶点 M 的坐标是⎛ 1 ，- 9 ⎫ ．⎪ ⎝ 2 4 ⎭（2）设线段 BM 所在的直线的解析式为 y = kx + b ，点 N 的坐标为 N （t ，h ），∴ ⎨ ⎧0 = 2k + b ，3 ⎪ 9= 1k + b . ．解得k = 2 ，b = -3 ． ⎪ 4 2∴ 线段 BM 所在的直线的解析式为 y = 3x - 3 ．2∴ h = 3 t - 3 ，其中 1 < t < 2 ．∴ s = 1 ⨯1⨯ 2 + 1 (2 + 2 t - 3)t = 3 t 2 - 1t +1．222 2342∴s 与t 间的函数关系式是S = 3t 2 - 1 t +1，自变量 t 的取值范围是42 1< t < 2 ． 2（3）存在符合条件的点 P ，且坐标是P⎛ 5 7⎫ ， ⎪ ⎛ 3 ，- 5 ⎫ ．1 2⎝ 4 ⎭2 ⎝ 2 4 ⎭⎪设点 P 的坐标为 P (m ，n ) ，则n = m 2 - m - 2 ．PA 2 = (m +1)2 + n 2 ， PC 2 = m 2 + (n + 2)2，AC 2 = 5 ．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC＝90°，则PC 2 = PA 2 + AC 2 ．⎪n = m 2 - m - 2，∴⎪⎩m 2 + (n + 2)2 = (m + 1)2 +n 2 + 5. 解得： m = 5 ， m = -1（舍去）． ∴ 点P ⎛ 5 7 ⎫．1 221 ， ⎪ ⎝2 4 ⎭ii ）若∠PCA＝90°，则PA 2 = PC 2 + AC 2 ．⎪n = m 2 - m - 2，∴⎪⎩(m +1)2 + n 2 = m 2 + (n + 2)2 + 5.解得： m = 3 ，m = 0 （舍去）．∴ 点P ⎛ 3 ，－ 5⎫ ．3242 ⎝4 ⎪⎭iii ）由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时， PA > AC ，所以边 AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点 O ，点 A （或点 O ，点 C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 OA （或边 OC ）的对边上，如图 a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点 A ，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边上，如图 b ，此时未知顶点坐标是 E ⎛- 12 ⎫ ，F ⎛ 4 ， ⎪ 8 ⎫ ．⎪ ⎝ 5 5 ⎭⎝ 55 ⎭图 a图 b14. 已知二次函数 y ＝ax 2－2 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x 轴的交点的个数．解：根据题意，得 a －2＝－1.2，-2∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是 y ＝x 2- 2 ．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与 x 轴有两个交点．15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面 1∶11000 的比例图上，跨度 AB ＝5 cm ，拱高 OC ＝0.9 cm ，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ≈ 1.4 ，计算结果精确到 1 米）．解：（1）由于顶点 C 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为y ＝ax 2＋ 9 ．10因为点 A （ - 5 ，0）（或 B （ 5 ，0）在抛物线上，所以0＝a ⋅(- 5 )2＋ 9，2 2 得a ＝－ 18．1252 10因此所求函数解析式为 y ＝－18x 2＋ 9 (- 5 ≤ x ≤ 5) ．（2）因为点 D 、E 的纵坐．所以点 D 的坐标为（ 125 10 2 2标为 9 ，所以 9 =－ 18 x 2＋ 9 ，得 x ＝ 20 ， 9 ）， 20 125 点 E 的坐标为（10 ， 9 ）． 20 203 2 c所以DE ＝ 5 2－(-52) 5 2 ．＝ 44 2因此卢浦大桥拱内实际桥长为 5 2⨯11000 ⨯ 0.01＝275 ≈ 385 （米）． 216. 已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象经过点A 、B ，与 y 轴相交于点C ．（1） a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段 OC 的长度是线段 OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果 b ＝－4， AB ＝4 ，求 a 、c 的值．解:（1） a 、c 同号．或当 a ＞0 时，c ＞0；当 a ＜0 时，c ＜0．（2）证明：设点 A 的坐标为（ x 1 ，0），点 B 的坐标为（ x 2 ，0），则0＜x 1＜x 2 ．∴ OA = x 1 ， OB = x 2 ， OC = c ．据题意， x 1 、 x 2 是方程ax 2＋bx ＋c = 0(a ≠ 0) 的两个根． ∴ x 1 ⋅ x 2 = ．a由题意，得OA ⋅OB ＝OC 2 ，即 c＝c 2＝c 2 ．a所以当线段 OC 长是线段 OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．(x 1＋x 2)2 - 4x 1x 22 3 33 3 （3）当b = -4 时，由（2）知， x ＋xb 40 ，∴ a ＞0．12＝－ a ＝ a ＞解法一：AB ＝OB －OA ＝ x －x ＝，21∴ AB =∵ AB = 4=， ∴ 2 = ． a 3 ＝4 ．得a = 1．∴ c ＝2. a 2 解法二：由求根公式， x 2 ± 3 ， a ∴ x ＝ x ＝ 2 + 3 ．12∴ AB ＝OB －OA ＝x －x ＝2 +3 ．21a∵ AB ＝4 ，∴2 3 ＝4 ，得a ＝ 1．∴ c＝2． a 217. 如图，直线 y = -A 、B 两点． 3 x + 3分别与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ，⊙E 经过原点 O 及（1）C 是⊙E 上一点，连结 BC 交 OA 于点 D ，若∠COD＝∠CBO，求点 A 、B 、C的坐标；（2）求经过 O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长 BC 到P ，使 DP ＝2，连结 AP ，试判断直线 PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．16 - 4ac a 2 ( 4 )2－4( c ) a a 3 33 3 3 解：（1）连结 EC 交x 轴于点 N （如图）．∵ A 、B 是直线 y = - 3 x +3分别与 x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B又∠COD＝∠CBO． ∴ ∠CBO＝∠ABC．∴ C 是的中点． ∴ EC⊥OA．∴ ON = 1 OA = 3 , EN = OB = ．22 2 23,- 2 连结 OE ．∴ ）． 2 EC = OE = ． ∴ NC = EC - EN = 3．∴ C 点的坐标为（2 （2）设经过 O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为 y = ax (x - 3)．∵ C（ 3 ,- 2 ）． ∴ - 3 = a ⋅ 3 ( 3 - 3) ．∴ a =2 3 ． 2 2 2 2 9∴ y = 2 3 x 2 - 9 2 3 x 为所求． 8（3）∵ tan ∠BAO = 3 ， ∴ ∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴ ∠OBD = 1 ∠ABO - 1 ⨯ 60︒ = 30︒ ．2 2∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2．∵ ∠ADC＝∠BDO＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP＝60°．∴ ∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线 PA 是⊙E 的切线．(0, 3) ．3 33“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

九年级上册二次函数复习资料

每个学生都可以用的“超级数学学习笔记”二次函数的定义1、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为。

二次函数的对称轴、顶点、最值2．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是。

3．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 4．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 二次函数的平移、增减性、图象5.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。

6.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝，b ＝，c ＝ .7.将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.8．把抛物线y=－2x 2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

9.已知函数y=4x 2－mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x 的增大而减少；则x ＝1时,y 的值为。

10.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象2如图所示，则下列结论正确的是（） A ．a+b+c> 0 B ．b> -2aC ．a-b+c> 0D ．c< 0二次函数与x 轴、y 轴的交点 1. 已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。

函数解析式的求法2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，求二次函数的解析式。

初三九年级二次函数专题复习

基础知识知识点一、二次函数的有关概念1、二次函数的概念：一般地，我们把形如c bx ax y ++=2（其中c b a ，，是常数，0≠a ）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

x 称为自变量，y 称为因变量。

知识点二、二次函数的基本性质 1、二次函数的图像：抛物线。

2、二次函数的常见的几种表达式 ①、一般式：c bx ax y ++=2②、顶点式：()k h x a y +-=2a b h 2-= ab ac k 442-=3、抛物线的三要素：开口方向（与a 有关系）、对称轴（与a 、b 有关系）、顶点()k h ,。

4、二次函数的基本性质5、二次函数c bx ax y ++=2与()k h x a y +-=2之间的转化6、二次函数的平移7、二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 正负的判定a ：看开口方向 0>a 开口向上；0<a 开口向下。

b ：看对称轴对称轴在y 轴左边，则与a 正负相同，对称轴在y 轴右边，则与a 正负相反。

c ：看于y 轴的交点 0>c 于y 轴交于正半轴； 0<c 于y 轴交于负半轴。

知识点四：二次函数解析式的求法 1、设一般式：c bx ax y ++=2一般题目提供已知三个点坐标，则设所求抛物线解析式一般式，将已知条件带入解析式，得到关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组求出a 、b 、c 的值即可得到解析式。

2、设顶点式：()k h x a y +-=2一般题目提供已知一个点和顶点坐标，则设所求抛物线解析式顶点式，将已知条件带入解析式，得到一个关于a 的一元一次方程，求出a 即可得到解析式。

知识点四：二次函数的实际问题二次函数的实际应用题解题步骤：1、分析：分析此题的类型：行程问题、销售问题……2、提取：提取题目中的已知条件，并标记：如行程问题，则跟速度、时间、路程有关，应标清楚是什么量。

九年级数学上册二次函数知识点汇总

二次函数的复习资料知识点1.二次函数的定义1、一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据． 2、当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．练习（1）下列函数中，二次函数的是（）A ．y=ax 2+bx+c B 。

2)1()2)(2(---+=x x x y C 。

xx y 12+= D 。

y=x(x —1)练习（2）如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m是二次函数，那么m 的值为知识点2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。

已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。

（1）、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. （2）、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点（3）、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（，）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（，）。

二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k=练习（３）抛物线1822-+-=x x y 的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是_ ___. 练习（４）若抛物线232)1(2-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为（4）、二次函数 c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=－2ba运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A （m,n ）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=－2pm + 练习（５）已知A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）（5）增减性：二次函数 c bx ax y ++=2的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减性）若0>a ，当x 时（在对称轴侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴侧），y 随x 的增大而减小，若0<a ，当x 时（在对称轴侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴侧），y 随x 的增大而减小，练习（６）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）练习（７）二次函数542+-=mx x y ，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增大而增大。

中学九年级上二次函数总复习

九年级二次函数总复习中考必记知识一．二次函数的有关概念1．形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数）的函数中，若0≠a ，则其为二次函数.2．二次函数的一般形式为)0(2≠++=a c bx ax y ，顶点式为二．二次函数的图象和性质1．二次函数的一般形式为)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是一条抛物线，其顶点坐标为(a b ac a b 4422--，)，对称轴为ab x 2-=。

2．在抛物线c bx ax y ++=2中：（1）当0>a 时，开口向上，且当a b x 2->时，y 随x 的增大而增大，当a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小；（2）当0<a 时，开口向下，且当a b x 2->时，y 随x 的增大而减小，当ab x 2-<时，y 随x 的增大而增大；3．在二次函数c bx ax y ++=2中：（1）当0>a 时，y 有最小值，且这时ab x 2-=，最小值为 a b ac 442-；（2）当0<a 时，y 有最大值，且这时ab x 2-=，最大值为 a b ac 442- 三．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点个数的确定1．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的个数与b 2-4ac 的值有关：（1）当b 2-4ac >0时抛物线与x 轴有两个交点，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；（2）当b 2-4ac =0时抛物线与x 轴有一个交点，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；（3）当b 2-4ac <0时抛物线与x 轴没有交点；方程02=++c bx ax 没有实数根；四．抛物线的平移1．将2ax y =的图象平移：（1）将2ax y =的图象向上（k >0）或向下（k <0）平移k 个单位，即可得到2ax y =+k 的图象，其顶点坐标是(0,k)；（2）将2ax y =的图象向左（h <0）或向右（h >0）平移h 个单位，即可得到2)(h x a y -=的图象，其顶点坐标是(h,0)；（3）将2ax y =的图象得到2)(h x a y -=+k 的图象，既需要左右平移，还需要上下平移，方法同上；（4）可简单归纳平移说法“上加下减，左加右减”。

九年级数学《二次函数》综合复习

九年级数学《二次函数》综合复习【知识梳理】1.二次函数的定义；2.二次函数的图像和性质（数形结合）；（1）开口方向；（2）对称轴（最重要的性质）；（3）顶点（最值）；（4）增减性；（5）抛物线与坐标抽的交点。

3.二次函数的解析式；（1）一般式；（2）顶点式；（3）两点式。

4.其他有关二次函数的知识点：（1）二次函数与一元二次方程的关系；（2）抛物线的图形变换；（3）最值的实际应用（比如最短线段、最大面积、最大利润等）；（4）存在性问题和动态问题。

【例题精讲】例题1：若y=（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为．例题2：如图是二次函数y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac，②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）A．②④B．①④C．②③D．①③例题3：在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）A．B．C．D．例题5：二次函数y=﹣2x2+bx+c经过点（1，0）和点（﹣1，﹣16），则此二次函数的解析式为．例题6：某人投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）例题7：已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．【课堂训练】1.函数y=ax﹣a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．关于二次函数y=﹣（x﹣3）2﹣2的图象与性质，下列结论错误的是（）A．抛物线开口方向向下B．当x=3时，函数有最大值﹣2C．当x＞3时，y随x的增大而减小D．抛物线可由y=x2经过平移得到3．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1，3，则下列结论正确的个数有（）①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．A．1 B．2 C．3 D．44．已知二次函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4 B．k≤4 C．k＞4 D．k≤4且k≠35．已知点A（2、5），B（4、5）是抛物线y=ax2﹣bx+c上两点，则抛物线的对称轴方程是．6.“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？7.二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b的图象如图所示，当y2＞y1时，根据图象写出x的取值范围．8.如图所示，对称轴是x=﹣1的抛物线与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），作直线AC，点P是线段AB上不与点A、B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，交抛物线于点E，连结CE、OD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当P在A、O之间时，求线段DE长度s的最大值；（3）连接AE、BC，作BC的垂直平分线MN分别交抛物线的对称轴x轴于F、N，连接BF、OF，若∠EAC=∠OFB，求点P的坐标．【课后练习】1．在同一坐标系中，函数y=ax2+bx与y=的图象大致为下图中的（）A． B． C． D．2．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2 B．0＜x＜3 C．2＜x＜3 D．x＜0或x＞33．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于点O、A，顶点为B，连接AB并延长，交y轴于点C，则图中阴影部分的面积和为（）A．4 B．8 C．16 D．324.函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，若点P（4，0）在该抛物线上，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为．6．东门天虹商场购进一批“童乐”牌玩具，每件成本价30元，每件玩具销售单价x（元）与（1）求y与x的函数关系式；（2）设东门天虹商场销售“童乐”牌儿童玩具每天获得的利润为w（元），当销售单价x为何值时，每天可获得最大利润？此时最大利润是多少？（3）若东门天虹商场销售“童乐”牌玩具每天获得的利润最多不超过15000元，最低不低于12000元，那么商场该如何确定“童乐”牌玩具的销售单价的波动范围？请你直接给出销售单价x的范围．7．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求b、c．（2）如图1，在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得三角形BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标，求出三角形BCD的面积最大值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc

九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料 Ⅰ ② . 向平移 h h 0 个单位能够获得 ya x2 a 0 ；h③ . 向平移 hh 0个单位，再移 h h0 个单位能够获得y a x2k a 0 .二次函数的图象及其性质h编写：绥阳中学何开红⑶ . 一般形式： yax 2 bx c aax2知识点：抛物线 ybx c a 0 对称轴为.极点坐标为（） . 张口方向：当．．．．．．．．．．．1、二次函数的定义：形如（ a 、 b 、c 为常数，且 a 0 ）的函数 . 注a 0，张口向上；当 a0 ，张口向下 . 增减性：当 a0 时，在对称轴的左边，y 随 x 的增意四个方面的特色（重点词：函数、整式、整理、二次） .．．．．．．．b2、二次函数的图象：大而；当a 0 时，在对称轴的左边，y 随 x 的增大而.最值：当 a 0 ，x 二次函数的图象是一条；是对称图形 .．．2a3. 二次函数的性质：时， y 取最值为；当 a0 ， xb时， y 取最值为.⑴ . 特别形式：① . 抛物线 yax 2 a0 的对称轴为. 极点坐标为（）. 张口方向：当 a 0 ， 2a．．．．．．．．．．．张口向上；当 a 0 ，张口向下 . 增减性：当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而；例题分析：．．．当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而 . 最值：当 a 0 ，x 0 时， y 取最值例 1、选择题：．．为；当 a 0 ， x 0 时， y 取最值为 . ⑴ . 对于抛物线 y 1 x 23 ，以下结论： ① . 抛物线张口向下； ② . 对称轴是直线 x 1 ；③ .1 ② . 抛物线 y ax2 k a 0 的对称轴为 . 极点坐标为（） . 张口方向：当 a 2．．．．．．．．．．．极点坐标为 1, 3 ；④ . 当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小 . 此中正确的个数为（） 0 ，张口向上；当 a 0 ，张口向下 . 增减性：当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增A.1B.2C.3D.4．．．大而；当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而. 最值：当 a 0 ， x 0 ⑵ . 在同一平面直角坐标系中，直线 y y ax b 和抛物线 y ax 2bx c 的图象可能是（）．．yyy时， y 取最值为；当 a 0 ， x 0 时， y 取最值为 .③ . 抛物线 y a x2a0 的对称轴为.极点坐标为（）. 张口方向：当 ah．．．．．．．．．．．xOx Ox，张口向上；当 a0 ，张口向下 . 增减性：当 a 0 时，在对称轴的左边，y 随 x 的增大xOO．．．．．．．而；当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而. 最值：当 a 0 ， x h 时，AB CD ．．y 取最值为；当 a 0 ， x h 时， y 取最值为.例 2、填空题： 2⑵ . 配方形式： y a x 2k a 0⑴ . 二次函数 y x2x 4 的图象的张口方向是，对称轴是，极点坐标是.h抛物线 y a x h 2k a 0 对称轴 .）. 张口方向：当 a⑵ . 若函数 y2m x m 2 m 4x 1 是二次函数，则 m = ，其图象的极点坐标为.为极点坐标为（m．．．．．．．．．．．x 2y0，张口向上：当 a，张口向下 . 增减性：当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大 ⑶ . 假如抛物线 y6x c 在 x 轴上，则 c 的值为.．．．而；当 a 0 时，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而. 最值：当 a 0 ， x h 时，22．．⑷ . 如图二次函数 y2mxm 4m5 的大概图象，则 m = .y 取最值为；当 a 0 ， x h 时， y 取最值为.xOx若把抛物线 y ax 2a 0进行平移：⑸ . 已知抛物线 yx 24x 有两点 P 1 3, y 1 、P 21 , y2 ，则 y 1、 y 2 的大小关系为 y 1y 2 .ax 2① . 向平移 k 个单位能够获得 yk a 0 ；2（填“ >”、“ <”或 “ =”） .九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 1 页（共 12 页）第 2 页（共 12 页）九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc⑹ . 二次函数 y ax2bx c 的部分点的坐标满足右表，则该函数极点的坐标为， m.⑺ . 已知二次函数 y ax2bx c 的图象的张口方向向上，极点在第三象限，则点 A b 24ac,b在第象限 .ya3例 3、已知抛物线 y x22x32⑴.求抛物线的对称轴和极点坐标；1⑵ . 画出抛物线的大概图形，并用虚线标出对称轴；x⑶ . 察看图象，你能得出哪些结论？请起码写出三条.–3–2–1O 123例 4、已知抛物线 y24x 5 .–1 x⑴.求此抛物线极点的坐标以及抛物线与坐标轴交点的的坐标；–2⑵ . 画出抛物线的大概图形；–3⑶ . 求按序连结抛物线极点和抛物线与坐标轴交点组成的几何图形的面积.追踪练习：1. 选择题：⑴ . 如图，抛物线y1 a x21x2 1 交于点 A 1,3，过点 A 作y x轴的平行线，2 3 与y232分别交两条抛物线于B、 C 两点，则以下结论：① . a1；② . 不论 x 取何值， y2的值老是正数；③ . 2AB3AC .B A C④ . 当x0 时，y2y14；此中正确的结论是（）A. ①②B.②③C.③④D.①④O x⑵.若A 3, y1, B5, y2, C1, y3为二次函数 y x24x 5 的图象上的三点，则444y1、 y2、 y3的大小关系是（）A. y1y2y3B.y2y1y3C.y3y1y2D.y1y3y2⑶ . 若抛物线 y x22x c与 y 轴的交点为0, 3，则以下说法不正确的的是（）A. 抛物线的张口向上B.抛物线的对称轴是 x1C. 当x1时， y 取最大值为4D.抛物线与 x 轴的交点为1, 3 ，3,02. 填空题：⑴ . 抛物线 y4x 28x 3的张口方，对称轴为，极点坐标为.⑵ . 已知以下函数：① .y x2；② .y x2；③ .y x122 .此中，图象经过平移能够得到 y x22x 3 的图象有.（填序号） .⑶ . 在二次函数y x23x 1 的图象中，若y 随x的增大而增大，则x 的取值范围是.⑷ . 二次函数 y ax2bx c 的部分点的坐标知足右表，则该函数极点的坐标为.⑸ .已知二次函数 y ax2bx c 的图象的张口向下，极点在第一象限，则点A b,c在第a 象限 .⑹ . 已知抛物线 y2x 2m 3 x1的对称轴在 y 轴的右边，最大值为2，则 m =.⑺ . 若抛物线 y m 2 x24m2 x m 3 的极点在y轴上，则此抛物线的张口方向，y 有.2y （填最大值或最小值），写出此抛物线的分析式1⑻ . 如图两条抛物线y11x21, y21x2 1 分别经过2,0 , 2,0–3–2–1O 1 23x–122y1–2且平行于 y 轴的两条平行线围成的暗影部分的面积为.–3y2–41 x2a5 的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么⑼ . 已知函数y a3x a 的取值范.a1y围是⑽ . 二次函数y a x2n 的图象以下图，则一次函数myy mx n 的图象经过象限 .x33、已知二次函数y x2bx 3 的图象经过点3,0 .O21⑴ . 求b的值；⑵ . 求出该二次函数极点的坐标和对称轴；–3–2–1O123x⑶ . 在所给的坐标系中画出y x2bx 3 的图象；–1⑷ . 若抛物线 y x2bx 3 与坐标均有交点，恳求出按序–2连结抛物线极点和抛物线与坐标轴交点组成的几何图形的–3面积 .4、以下图，已知二次函数y x22x 1 的图象的极点为 A ,二次函数yx22y2x 1 y ax2bx 的图象与 x 轴交于原点O以及另一点C , 它的极点B在函数1y x22x 1 上的图象的对称轴上 .x ⑴. 求点A以及点C的坐标；–2–1O 123⑵ . 当四边形AOBC为菱形时，求y ax2bx 的关系式 .–1⑶ . 求四边形AOBC为菱形时的面积 .–2九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ第3页（共12页）第4页（共12页）九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc九年级数学上期《二次函数》单元专题复习资料Ⅱ求二次函数的分析式问题知识点：1、待定系数法的一般步骤:设出分析式的形式→代入→ 解答并求出待定系数的值→ 返回写出分析式.2、常有的求二次函数分析式的方法和门路：⑴ . 一般式：① . 设出二次函数的一般式为：y ax2bx c 0 a 0；②. 代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组；③ . 进行解答并求出求出待定系数的值；④ . 最后返回写解出分析式 .⑵ . 极点式：① . 设出二次函数的极点式为：y a x m 2n a 0 ；② . 代入极点坐标和另一个条件的值；注意若我们设极点坐标为a,b ，则 m a, n b ；③. 进行解答并求出求出待定系数的值；④ . 最后返回写解出分析式 .⑶ . 交点式：① . 设出二次函数的一般式为： y a x x1 x x2 a 0 ；这里的 x1、 x2是抛物线与 x 轴交点的横坐标；②. 代入 x1、 x2和此外一个条件的值；③ . 进行解答并求出求出待定系数的值；④. 最后返回写解出分析式 .⑷ . 特别式：① . 设出二次函数的特别式：若极点为原点可设为 y ax2a0 的形式；若极点在y 轴上可设为y ax 2k a 0 的形式；若极点在 x 轴上可设为y a x h 2a 0 的形式；② . 代入条件组成方程或方程组；③. 进行解答并求出求出待定系数的值；④ . 最后返回写解出分析式 .⑸. 平移式平移式主假如抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求分析式的一般步骤：① . 第一把已知的二次函数的分析写成配方式，形如y a x m 2n a 0 ；② . 由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的分析式其 a 值不变化，其上下左右平移的规律是：若左右平移 k k 0 单位：向右平移则在m 数据上减去k k 0 ，向左平移则在m 数据上加上 k k 0 ；若上下平移 h h 0 单位：向上平移则在n 数据上加上 h h 0，向下平移则在n 数据上减去h h 0 .一句话：左右平移决定配方式括号里m 数据的变化，口诀是“左加右减” ；上下平移决定配方式括号外后边n 数据的变化，口诀是“上加下减”.⑹. 对称式① . 抛物线对于x 轴对称：分析式对应的各项系数及常数项均互为相反数.② . 抛物线对于y 轴对称：分析式对应的二次项系数及常数项同样，而一次项系数互为相反数.③ . 抛物线对于原点对称：分析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数同样.例题分析：例 1、二次函数 y ax2bx c 的图象是过点 A 1,5、B0,4、 C4,0 的一条抛物线．2⑴ . 求这个二次函数的关系式；⑵ . 求这条抛物线的极点 D 的坐标和对称轴方程，并画出这条抛物线；⑶ . x 为什么值时，函数有最大值或最小值?最大值或最小值等于多少?⑷ . x 在什么范围内， y 跟着 x 的增大而增大 ?y⑸ .求四边形OBDC的面积．例 2、有一抛物线的拱形桥洞，桥洞顶离水面最大高度为4m ，跨度为 10m ，把它图形放在直角坐标系中（见表示图）4m⑴ . 求此抛物线所对应的函数关系式；1m⑵ . 在对称轴右边1m处桥洞离水面高是多少米？O10 mMx例 3、已知抛物线经过 A 3,0、B2,0 、 C 1, 4 ，求抛物线的极点的坐标？变式：若把上边例题中坐标“ A 3,0、B 2,0”改为“ A 1,4 、B 4, 4”其他条件不变，又该怎样求出抛物线的极点坐标呢？y例 4、已知 Rt V ABC 中， ACB90 o， AB25， AC 20 ；若以边CAB 所在的直线为x轴，Rt V ABC斜边 AB 的高 OC 所在的直线作为 y 轴成立平面直角坐标系（见图示）⑴ . 请起码用三种不一样求分析式方法求出过 A、B、C 三点的抛物A O Bx 线的分析式；⑵ . 求出⑴问中抛物线的极点的坐标和对称轴.追踪练习：九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ第5页（共12页）第6页（共12页）九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc1、分别写出抛物线的极点为原点，抛物线过原点，抛物线的对称轴为y 轴，物线的与 x 轴有且．．．．只有一个交点的分析式各起码两个 . （答案不独一）2、分别按条件写出平移后的分析式：⑴ . 抛物线 y 2x 24x 1 向左平移 3 个单位后的分析式是；⑵ . 抛物线 y x 26x2 向下平移 4 个单位后的分析式是； ⑶ . 抛物线 y1 x 22x 2 先右平移 2 个单位后再下平移 3 个单位的的分析式是.2y3、依据给出条件求，二次函数的分析式：⑴ . 已知二次函数图象极点在 y 轴上，且过 A 1, 6 、B 2，3 两点；1412 ⑵ . 已知二次函数图象极点在x 轴上，且过 A 2, 0 、B 0，8 两点；10⑶ . 已知二次函数图象对称轴为直线1, 4 和 5,0x 2 ，且经过点；8 ⑷ . 已知二次函数图象经过 A 1, 1 、B 0,2 、C 1,3 三点；6⑸ . 已知二次函数图象经过 A 3,0 、B2,0 、C 1,4三点； 4 ⑹ . 已知二次函数图象经过A 1,6 、B 2,6 、C 1,4 三点；2x⑺ . 与已知抛物线 yx 24x 1 对于直线 x 3 对称 .O 2 44题图4、在一幢建筑物里 10 米高的窗台处有一水管斜着向外喷水，以下图，喷出的水在垂直于墙壁的竖直平面内形成一条抛物线，其极点距离墙 1.5 米远，而且落在离墙 4 米处的地面上，求抛物线的极点比发射点高多少米？5、已知抛物线的极点 M 坐标为 - 2, 3 ，且过点 A 1，5 ，求此抛物线的分析式？y6、已知二次函数当x 1 时，函数 y 有最大值 0，且经过点 A 1，4 .A⑴ . 求该二次函数的分析式；2⑵ . 怎样平移该二次函数的图象，使平移后的抛物线的极点在B2,3 上？1 B⑶ . 写出平移后的点 A 的对应点 A' 的坐标是多少？CO12x–13 7、如图，抛物线 yax 2 bx c a 0 的极点为 A , 与坐标轴的交点–1–2分别为 B 、C . 依据图中标示：⑴ . 求此抛物线的分析式；⑵ . 请按序连结 A 、B 、 C ，试求 V ABC 的面积 .y8、如图抛物线的极点为A 3, 3 ，此抛物线交 x 轴交于 O 、B 两点 .x⑴ . 求此抛物线的分析式；-3O⑵ . 求△ AOB 的面积；-3⑶ . 若抛物线上还有一点 P 知足 S △ POB =S △ AOB , 恳求出 P 的坐标 .9、y如左图，在平面直角坐标系中，抛物线y1 x 2经过平移获得抛物 1 22y = ?2 x1212线 y2x .y =2?x 2?x2 xOx⑴ . 抛物线是怎样平移的？⑵ . 求出其对称轴与两段抛物线所围成的暗影部分的面积？（暗影部分见表示图）y3 10、如右图，一抛物线在平面直角坐标系中的地点以下图，直21角坐标系中横轴与纵轴的单位长度都是1.–5 –4 –3 –2 –1O12345x⑴ . 求援此抛物线的分析式；–1 ⑵ . 若将此抛物线先向右平移4 个单位，再向下移 2 个单位，请–2–3化出平移后的图象，并写出平移后抛物线的分析式；–4 ⑶ . 求出最先的抛物线和平移后的抛物线两个极点间的距离；–5–6⑷ . 求出最先的抛物线和平移后的抛物线两个极点所在直线的解y–7析式 .y11、如图①，已知抛物线y ax 2bxc3 AC3 AC经过 A0,3、B 3,0、C 4,3 .⑴ . 求抛物线的分析式；BB⑵.求抛物线的极点的坐标和对称轴；OxO3434 x⑶ . 把抛物线向上平移，使得极点落在x 轴上，直接写出两条两条抛物线、对称轴和①②y 轴围成的图形的面积S ( 图中暗影部分） .yADB12、如图，在矩形 OABC 中， AO 10, AB 8 , 沿直线 CD 折叠矩形 OABC的一边 BC , 使点 B 落在 OA 边上的点 E 处，抛物线 y ax 2bxc 经过EO 、D 、C 三点 . ⑴. 求 AD 的长；⑵ . 抛物线的分析式 .OC x九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 第 7 页（共 12 页）第 8 页（共 12 页）九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc二次联婚（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）知识点：1. 二次函数与一元二次方程的关系：已知一元二次方程 ax 2bx c 0 a 0 ，设抛物线 y ax2bx c a 0 .⑴ . △24ac ） 0一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与 x 轴有两个不一样（b的交点 .⑵ . △（b 24ac ） 0 一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与 x 轴有“独一” 的交点，这个交点就是抛物线的极点.⑶ . △（b 2 4ac ） 0一元二次方程方程无实数根，则抛物线与 x 轴无交点 .⑷ . △（b 2 4ac ） 0 一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与 x 轴有交点 .2. 二次函数与一元二次不等式的关系：已知一元二次不等式 ax 2bx c 0 a 0 或 ax 2bx c 0 a 0 ，设抛物线 y ax 2bx c a 0 ，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的会合.⑴ . 当 a 0 时：① . 若抛物线与 x 轴有两个不一样的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于取中间；② . 若抛物线与 x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”. ⑵ . 当 a 0 时：① . 若抛物线与 x 轴有两个不一样的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边； ② . 若抛物线与 x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体 .例题分析：y例 1、已知二次函数 yax 2 bx c a0 的图象如图，且OA OB , 有以下结论：① . abc4acb2ab c 0 ;AOB x0；②.=- 1；③ . –1C 124ay④ . b 4ac 0 ；⑤ . 4a 2b c 0 ；⑥ . b 2a1 ；⑦ . ac b1 0 .–1此中正确的有（填序号） .例 1图x 2例 2、已知二次函数 y2x m 的部分图象以下图 .⑴ . 求对于 x 的一元二次方程 x 2 2x m 0 的解；⑵ . 依据图象写出不等式 x22xm0的解集 .O13x例 3、已知二次函数 y 2x 2mx 2m⑴ .求证：对于随意实数m ，该二次函数的图象与x 轴总有公共交点；例 2图y⑵ . 若该二次函数的图象与x 轴有两个公共点 A 、B ，且点 A 坐标为3 1, 0 ，求点 B 的坐标 .2例 4、二次函数 y ax2bx c a的图象以下图，依据图象解答：1x九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ第 9 页（共 12 页） –1O1 2 3–1–2⑴ . 写出方程 ax 2bx c 0 的两根；⑵ . 写出不等式 ax 2bx c 0 的解集；⑶ . 写出 y 随 x 的增大而减小的自变量的取值范围；⑷ . 若方程 ax 2 bx ck 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围 .追踪练习： 1、选择题：⑴ . 已知二次函数 yx 2bx 2 的图象与 x 轴的一个交点的坐标为1, 0，则它与 x 轴的另一个交点的坐标为（） A. 1,0B.2, 0 C. 2, 0D.1, 0 ⑵ . 已知函数 y k 3 x 22x 1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（）A. k 4B.k 4C.k 4 且k 3 D. k 4 且 k 3⑶ . 已知二次函数 y ax 2bx c 的 x 与 y 的部分对应值如右表，则以下判断正确的选项是（）A. 当 x 0 时，B.抛物线与 y 轴交于负半轴yC. y 0 抛物线张口向上D.方程 ax 2bx c 0 的正根在3 和4 之间 .2、填空题：⑴ . 已知抛物线 y ax 22axc 与 x 轴一个交点的坐标为1, 0 ，则一-6O 1x元二次方程 ax 22ax c0 的根为.⑵ . 如图是二次函数y ax 2bx c a0 的图象，则 ax 2bx c 0 时 x =； ax 2 bx c 0 时 x 的取值范围是； ax 2bx c 0时 x 的取值范围是 .⑶ . 若 y2x 2 m 2 x 1 在 x 轴上截得的线段长为6 ，则 m =.x1yax 23⑷ . 如图是二次函数ybx c a 0 的图象，有以下结论：① . ab 0 ；② . a b c 0 ；③ . b 2c0；④. a 2b 4c 0 ；⑤ . a3b . 此中正确的有（填序号） .–2–1O 1x2x 23、已知二次函数y 2x m 1 .⑴ . 若该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值；⑵ . 若该二次函数的图象与一次函数 y x 2m 的图象只有一个交点，求m 的值 .4、已知二次函数y x2kx k 5y⑴ . 求证：不论 k 取何实数，此二次函数的图象与x 轴都有两个交点； AOB x⑵ . 若此二次函数图象的对称轴为 x 1，求它的分析式；⑶ . 若⑵中的二次函数的图象与x 轴交于 A 、B ，与 y 轴交于点 C ；HDD 是第四象限函数图象上的点，且ODBC 于 H , 求点 D 的坐标．C第 10 页（共12页）九年级数学《二次函数》单元专题复习资料.doc5、已知二次函数y x2m28 x 2 m26.⑴ . 求证：不论 m 取何实数，此函数的图象都与x 轴有两个交点，且两个交点都在x 轴的正半轴 .⑵ . 设函数的图象与x 轴交于B、C两点，与y 轴交于 A 点，若△ ABC 的面积为48，求m的值.]利用二次函数的解决实质问题举例利用二次函数解决实质问题，在本册各种题中从几何面积、商品收益、抛物线形等切入的居多；主要经过成立二次函数关系式，为解决实质中的最大面积、最高收益、抛物线形等问题牵线搭桥；实质上就是数学上一种建模思想的又一详细运用. 下边我就本专题作简单的分类举例：题目一：利用二次函数解决面积问题例 1、如图，在矩形ABCD中， AB6cm, BC12cm ；点P从点A点开始沿AB边向点B一每秒的速度运动；点 Q 从点B点开始沿BC边向点C一每秒2cm的速度运动；若P、 Q 分别同1cmA D时从 A、 B 同时出发，设S表示V PDQ的面积, x 表示运动时间 .P⑴. 求出S与 x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；⑵. 求出S的最大值或最小值，并说明原因.B CQ, 10例 2、如图，抛物线经过,、B 5,0、C三点，设 E x, y 是抛物线上一动点，且在 xA 1 03y轴的下方，四边形 OEBF 是以 OB 为对角线的平行四边形.C⑴. 求抛物线的分析式；⑵. 当 E x, y 运动时，试求平行四边形OEBF 的面积 A 与x之间F的函数关系式，并求出最大面积；O A B x ⑶. 能否存在着样的点E，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求 E 点和 F 的坐标；若不存在，请说明原因.E题目二：利用二次函数解决收益等代数问题例 1、某商场一商场某产品每件成本10 元，试销阶段发现每件产品的销售价x （元）与产品销售量 y （件）之间的关系以下表，且日销售量y （件）与是偶家x （元）是一次函数.⑴ . 求出日销售量y （件）与是偶家x （元）的函数函数关系式.⑵. 要使每天的收益最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时最大收益是多少？例 2、千年古镇赵化的某旅馆有50 个房间供游住宿，当每个房间的房价为每天180 元，房间会所有住满；当每个房间每天的房价每增添10 元时，就会有一个房间安闲，旅馆需对游旅居住的每个房间每天支出20 元各样花费，依据规定，每个房间每天的房价不得高于340 元，设每个房间的房价每天增添x 元（ x 为 10 的正整数倍）.⑴ . 设一天的房间数为y ，直接写出y 与x的函数关系式及自变量x 的取值范围；⑵ . 设旅馆一天的收益为W 元，求 W 与x的函数关系式；⑶ . 一天订住多少房间时旅馆的收益最大？最大收益是多少？题目三：利用二次函数解决抛物线形问题例、如图是抛物线形的小拱桥，当水面在AB 时，拱桥顶离水面 2 米（见图示），水面AB 宽为4米；若水面降落 1 米，水面CD宽度增添多少米？追踪练习：1、某店经营文具用品，已知成批购进时的单价是20 元 . 检查发现：销售单价是30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上升 1 元，月销售量就减少10 件，但每件文具售价不可以高于40元 . 设每件文具的销售单价上升x 元时（ x 为正整数），月销售收益为y 元.⑴ . 求y与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；⑵ . 每件文具的售价定为多少元时，月销售收益恰巧是2520 元？⑶ . 每件文具的售价定为多少元时辰使月销售收益最大？最大月收益是多少？2、某田户计划现有的一面墙再修四周墙，建成如所示的长方体水池，培养不一样品种鱼苗. 他已备足能够修高 1.5m、长 18 m 的墙的资料准备施工，设图中与现有一面墙垂直于的三面墙的长度都为 x m ，即AD EF BC x m ( 不考虑墙的厚度 )D F C⑴ . 若想水池的总容积为36 m3， x 的值应为多少？⑵ . 求水池的容积V与 x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围 .A E B⑶ . 若想使水池的容积V最大， x 应为多少？最大容积是多少？3、如图是一个抛物线的桥拱表示图，桥的跨度AB 为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10 米（不考虑立柱的粗细），此中距 A 点10米处的立柱C FE 的高度为3.6 米.⑴ . 求正中间的立柱OC 的高度；E⑵ . 能否存在一根立柱，其高度恰巧是OCAF OB 的高度的一半？请说明原因 .4、身高为 1.8 m 的运动员小王进行投篮训练，已知篮圈中心与地面的垂直距离为 3.05 m ，小王站在与篮圈中心的水平距离 4 m 的地方进行跳投，球的运动路线一条抛物线；当球运转的水平距离为 2.5 m 时，球达到距离地面 3.5 m 的最高点 .，运转一段时间后篮球最后恰巧落入篮圈.⑴ .请成立适合的坐标系，并以此求出球的运动路线的分析式；⑵ . 若篮球在小王的头顶上方0.25 m 出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少米？⑶ . 假如身高 2.26 m 的姚明练习定点投篮，球的运动路线也 3. 5m 3.05 m和此题的同样，球在姚明头顶上方0.34 m 处出手，则姚明应站在距离篮圈中心水平距离多远的地方投篮，才能使篮 2.5m4 m球正确落入篮圈？九数上期《二次函数》单元专题复习Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ第11页（共12页）第12页（共12页）。

九年级二次函数复习

x k y =二次函数复习一、知识回顾（做题并反思考查哪些知识点？你是怎样解决的？）1、当=m 时，函数()222-+=mx m y 为二次函数。

2、二次函数()132+--=x y 图象的开口，顶点坐标为。

3、抛物线：y= x 2-2x-3 的开口，顶点坐标为对称轴为，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小。

当x=时y 有最值为。

该图象与x 轴交点（填有或无），若有交点，交点的坐标为，与y 轴的交点为。

请画出该图象的草图。

据图象可知方程x 2-2x-3=0的根为，不等式x 2-2x-3＞0的解集为。

反思总结：二次函数解析式常用的求解方法①一般式： ②顶点式： ③交点式变式训练1：请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式. 变式训练2：已知点A 、B 、C 在函数的图象上，则、、的大小关系是（）。

A 、B 、C 、D 、变式训练3：已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图（一）所示，（1)abc 0 ；（2)a+b+c0；（3)a-b+c0；（4)2a-b0；（5)b 2-404、将y=2x 2的图象向左平移3个单位，向下平移2个单位，得到的新图象的表达式为。

变式训练1、将一抛物线向左平移3个单位，向下平移2个单位，得到的新图象的表达式为y=2x 2则原来抛物线的表达式为。

变式训练2、将二次函数y=2x 2图象所在的平面直角坐标的纵、横轴分别向左平移3个单位，向下平移2个单位，则在新的坐标系中该图象的表达式为。

二、展示反馈 (考点训练)（一）函数的图象与性质的考查 1、二次函数422-=x y 图象的开口，顶点坐标为对称轴为。

2、二次函数c bx ax y ++=2与一次函数在同一直角坐标系中图象大致是（）。

数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（） 3、已知反比例函4、二次函数y=x 2+ax+4的图象顶点在x 轴上，则a=，若顶点在y 轴上，则a=。