2014届高考数学：1.6.1不等关系与不等式

合集下载

2014高考调研理科数学课本讲解_7-1 不等式与不等关系

授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 数学（理）
请注意！
以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题.
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 数学（理）
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 数学（理）
1．两个实数的大小比较 (1)a>b⇔ a－b>0 . 2 a＝b⇔ a－b＝0 . ( ) 3 a<b⇔ a－b<0 . ( )
【答案】 (x2＋y2)(x－y) x2－y2)(x＋y) > (
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 数学（理）
2 已知 a， x，均正数且 ( ) b， y 为实，的大小关系是________．【解析】法一(作差法)
bx－ay x y ∵ －＝， x＋a y＋b x＋ay＋b 1 1 又 > 且 a、b∈R＋， a b ∴b>a> 又 x>y>0，∴bx>ay. 0 . bx－ay x y ∴ >0，即 > . x＋ay＋b x＋a y＋b 法二(作商法) 略
思考题 3 若二次函数 y＝f(x)的图像过原点，且 1≤f(－ 1)≤2 ≤f( ≤4，求 f(－2)的范围． 2 , 1 )
【解析】由题意可得 f(x)＝ax2＋bx，设 f(－2)＝mf(－1)＋nf( 1 ( ) m，n 为待定系数)，
z＝2x－3y 的取值范围是________．(答用间示案区表

高考一轮数学第六章第一节不等关系与不等式

能得出a>b＋1.因此，使a>b成立的充分不必要条件是 a>b＋1. [答案] A
返回
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 潍坊模拟)设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不等式中正确的是 A．a－b>0 C．a2－b2>0 B．a＋b>0 D．a3＋b3<0 ( )
等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意
函数性质在大小比较中的作用．返回
返回
[精析考题] [例1] 系为 x y A. > x＋a y＋b x y C. ＜ x＋a y＋b B. x y ≥ x＋a y＋b (2012· 珠海模拟)已知b>a>0，x>y>0，则： x y 与的大小关 x＋a y＋b ( )
序号都填上)．解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知
成立．答案：②③
返回
1．不等式性质使用时注意的问题：
在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条
件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式” 才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符号”等都需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不
次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要
特别注意．错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形，导致f(－2)的取值范围扩大．另外，本题也可用线性规划求解，题中a、b不是相互独立的，而是相互制约的，故不可分割开来．先建立待求范围的整体与已知范
围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等式关系的运
x3 所以 y4的最大值是27.
答案：A

2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)不等关系与不等式(含解析)

第一节不等关系与不等式[知识能否忆起]1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b . 2．不等式的基本性质[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题正确的是( ) A ．若ac ＞bc ⇒a ＞b B ．若a 2＞b 2⇒a ＞b C ．若1a ＞1b ⇒a ＜bD ．若a ＜b ⇒a ＜b答案：D2．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值( ) A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不确定解析：选A 由a <0，ay >0知y <0，又x ＋y >0，所以x >0.故x －y >0. 3．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若a －c >b －d ，c >d ，则a >b .但c >d ，a >b ⇒/ a －c >b －d .如a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－3时，a －c ”或“<”)．解析：12－1＝2＋1＜3＋1. 答案：<5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立．答案：②③1.使用不等式性质时应注意的问题：在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c 的符号”等也需要注意．2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．典题导入[例1] 已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小．[自主解答] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5；当q ＞0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4＜0，所以S 3a 3＜S 5a 5. 综上可知S 3a 3＜S 5a 5.若本例中“q ＞0”改为“q ＜0”，试比较它们的大小．解：由例题解法知当 q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝－q －1q 4.当－1＜q ＜0时，S 3a 3－S 5a 5＜0，即S 3a 3＜S 5a 5；当q ＝－1时，S 3a 3－S 5a 5＝0, 即S 3a 3＝S 5a 5；当q ＜－1时，S 3a 3－S 5a 5＞0，即S 3a 3＞S 5a 5.由题悟法比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．[注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．以题试法1．(2012·吉林联考)已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：选A c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0， ∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a . ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a .典题导入[例2] (1)(2011·大纲全国卷)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3(2)(2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[自主解答] (1)由a ＞b ＋1得a ＞b ＋1＞b ，即a ＞b ；且由a ＞b 不能得出a ＞b ＋1.因此，使a ＞b 成立的充分不必要条件是a ＞b ＋1.(2)∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确，故选C. [答案] (1)A (2)C由题悟法1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．以题试法2．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 C ．若a ＜b ＜0，则1a ＜1bD ．若a ＜b ＜0，则b a ＞ab解析：选B A 中，只有a ＞b ＞0，c ＞d ＞0时，才成立；B 中，由a ＜b ＜0，得a 2＞ab ＞b 2成立；C ，D 通过取a ＝－2，b ＝－1验证均不正确．典题导入[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． [自主解答] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．由题悟法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．以题试法3．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B 由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)·(a 2－1)>0，故M >N . 2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1≤x ≤4可得1≤x 2≤16，但由1≤x 2≤16可得1≤x ≤4或－4≤x ≤－1，所以“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的充分不必要条件．4．已知0＜a ＜1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不能确定解析：选A ∵0＜a ＜1b ，∴1＋a ＞0,1＋b ＞0,1－ab ＞0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab(1＋a )(1＋b )＞0.5．若1a <1b <0，则下列结论不．正确的是( ) A ．a 2|a ＋b |解析：选D ∵1a <1b <0，∴0>a >b .∴a 20，ab 符号不确定，所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错．因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b ，故C 正确．D 项中b a 与ab的大小不能确定．7．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4. ∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3)8．(2012·深圳模拟)定义a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＜b ，b ，a ≥b . 已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c＝________.(结果用a ，b ，c 表示)解析：∵log 30.3＜0＜0.33＜1＜30.3，∴c ＜b ＜a ， ∴(a *b )*c ＝b *c ＝c . 答案：c9．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋ba 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2 ＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0.求证：e (a －c )2＞e(b －d )2. 证明：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0. ∴0＜1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e (b －d )2. 11．已知b ＞a ＞0，x ＞y ＞0，求证：x x ＋a ＞y y ＋b .证明：x x ＋a －yy ＋b ＝x (y ＋b )－y (x ＋a )(x ＋a )(y ＋b )＝bx －ay(x ＋a )(y ＋b ).∵b ＞a ＞0，x ＞y ＞0， ∴bx ＞ay ，x ＋a ＞0，y ＋b ＞0， ∴bx －ay(x ＋a )(y ＋b )＞0，∴x x ＋a ＞y y ＋b. 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a ＞b ＞c ，求ca 的取值范围．解：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c )．又a ＞b ＞c ， ∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0， ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca.∴⎩⎨⎧2ca＜－1，ca ＞－2，解得－2＜c a ＜－12.1．已知a 、b 为实数，则“a ＞b ＞1”是“1a －1＜1b －1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a ＞b ＞1⇒a －1＞b －1＞0⇒1a －1＜1b －1，当a ＝0，b ＝2时，1a －1＜1b －1，∴1a －1＜1b －1⇒/ a ＞b ＞1，故选A. 2．(2012·洛阳模拟)若－1＜a ＜b ＜1，－2＜c ＜3则(a －b )·c 的取值范围是________．解析：∵－1＜a ＜b ＜1，∴－2＜a －b ＜0，∴2＞－(a －b )＞0. 当－2＜c ＜0时，2＞－c ＞0， ∴4＞(－c )[－(a －b )]＞0，即4＞c ·(a －b )＞0；当c ＝0时，(a －b )·c ＝0；当0＜c ＜3时，0＜c ·[－(a －b )]＜6， ∴－6＜(a －b )·c ＜0.综上得，当－2＜c ＜3时，－6＜(a －b )·c ＜4. 答案：(－6,4)3．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ (2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝2 000＋60x 800＋ax (a ∈N *,1≤x ≤10)．假设会超过3万元，则2 000＋60x800＋10x ＞3，解得x ＞403＞10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元． (2)设1≤x 1＜x 2≤10，则f (x 2)－f (x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝(60×800－2 000a )(x 2－x 1)(800＋ax 2)(800＋ax 1)＞0，所以60×800－2 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．1．已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，下列不等式成立的是( ) A ．log 2a ＞0 B ．2a －b ＞1C ．2ab ＞2D ．log 2(ab )＜－2解析：选D 由已知，0＜a ＜1,0＜b ＜1，a －b ＜0,0＜ab ＜14，log 2(ab )＜－2.2．若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b ＞b ＋1aB.b a ＞b ＋1a ＋1 C ．a －1b ＞b －1aD.2a ＋b a ＋2b ＞a b解析：选A 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a ＞b ＞0时，f (a )＞f (b )必定成立，但g (a )＞g (b )未必成立，可得，a －1a ＞b －1b ⇒a ＋1b ＞b ＋1a.3．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：选B 设甲用时间为T ，乙用时间为2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s (a ＋b )2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b，T －2t ＝s (a ＋b )2ab －2s a ＋b ＝s ×(a ＋b )2－4ab 2ab (a ＋b )＝s (a －b )22ab (a ＋b )＞0，即乙先到教室．4．若x ＞y, a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤ay ＞bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此 ①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出 ②④成立．答案：②④。

2014高考数学总复习第六章第一节《不等关系与不等式》课件理

A．0
B. 1
C．2
D．3
解
析
：
对
于
①
，
由
不
等
式
的
性
质
得
c a
－
d b
＝
bc－abad，因为 ab>0，bc－ad>0，
∴bc－abad>0，即ac－db>0，故该命题是真命题．类
似可推得命题②③也是真命题．故正确命题的个数为
三个．故选 D.
答案：D
变式探究
1．若a>b>0，则 ( )
A．a－b>1 C．lg(a－b)>0
解析：取特殊值．如 a＝2，b＝1，m＝ n＝1，则ba＝12，ab＝2，ba＋＋mm＝23，ab＋＋nn＝32.
∴ab>ab＋＋nn>ab＋＋mm>ba. 答案：ab>ab＋＋nn>ab＋＋mm>ba
考点探究
考点一不等式的性质的运用
【例1】已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： ① ② ③若若若aabbbc－>>00a，，d>bac0c－，－aacddb>－0>，0db则，>则a0c，b－c则－aadbbd>>>000.；；其中正确命题的个数是( )
当x≥2(x∈N*)，即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社．
变式探究
4．(1)已知4枝郁金香和5枝丁香的价格最多22元，而6 枝郁金香和3枝丁香的价格不小于24元，设每枝郁金香的价格为x元，每枝丁香的价格为y元，则满足上述所有不等关系的不等式组为______________．
(2)某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少 2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为______________．

高三文科数学总复习课件：6.1不等关系与不等式

.
①x2+5x+6<2x2+5x+9;
②(x-3)2<(x-2)(x-4);
③当x>1时,x3>x2-x+1;
④x2+y2+1>2(x+y-1).
【解析】①2x2+5x+9-x2-5x-6=x2+3>0; 所以x2+5x+6<2x2+5x+9,故①正确. ②(x-3)2-(x-2)(x-4)=1, 所以(x-3)2>(x-2)(x-4),故②错误. ③当x>1时,x3-(x2-x+1)=(x-1)(x2+1)>0, 所以当x>1时,x3>x2-x+1;故③正确. ④x2+y2+1-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0, 所以x2+y2+1>2(x+y-1),故④正确. 答案:①③④
3.真题小试感悟考题试一试 (1)(2014·四川高考)若a>b>0，c<d<0，则一定有( )
【解析】选D.因为c<d<0，所以-c>-d>0，
即得
又a>b>0，得
从A而. a有 b cd
B. a b cd
C. a b dc
D. a b dc
1 1 0， d c
a b. dc
a b， d c
对称传递性同向可加乘乘乘方开方不忘两端正
【小题快练】 1.思考辨析静心思考判一判 (1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.( ) (2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( ) (3)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( ) (4)同向不等式具有可加和可乘性.( ) (5)两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母.( )

【与名师对话】高考数学一轮复习 6.1不等关系与不等式的解法课件文

2．不等式的性质单向性： (1)传递性：a>b，b>c⇒ a>c . .
(2)同向相加性：a>b，c>d⇒ a＋c>b＋d (3)乘法单调性： a>b，c>0⇒ ac>bc ； a>b，c<0⇒ ac<bc ；
a>b>0，c>d>0⇒
ac>bd
；
a>b>0(n∈N*)⇒an>bn； n n a>b>0(n∈N*，n≥2)⇒ a> b. 双向性：a>b⇔ b<a .
问题探究1：两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗？提示：不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需要求差或求商时，可利用不等式的性质转化为同向不等式相加或相乘．
1 1 问题探究2：(1)a>b⇔ < 成立吗？ a b (2)a>b⇒an>bn(n∈N，且n>1)对吗？提示：(1)不成立．只有在a、b同号的前提下才成立，这是 1 1 b－a 1 1 因为－＝ .当a>b时，b－a<0，ab>0时才有 < . a b ab a b (2)不对，应是a>b>0.
问题探究4：当一元二次不等式二次项系数a<0时，不等式该怎么解？当首项系数为含有字母参数时，解不等式，应该注意哪些问题？提示：(1)当一元二次不等式的首项系数a<0时，要首先在不等式两边同乘以－1，使首项系数为正，然后再结合上表进行求解． (2)当首项系数含有字母参数时，要注意对首项系数是否为0 进行讨论，当首项系数为0时，不是一元二次不等式，当首项系数不为0时，才是一元二次不等式．

2014年高考数学一轮复习6.1不等关系与不等式课件理

题型四利用不等式性质求范围例 4 设 f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求 f(－2)的取值范围．
解析：方法一：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1) (m，n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
答案：D
3．已知 a，b，c，d 均为实数，有下列命题： ①若 ab＞0，bc－ad＞0，则ac－db＞0； ②若 ab＞0，ac－db＞0，则 bc－ad＞0； ③若 bc－ad＞0，ac－db＞0，则 ab＞0. 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①ac－db＝bc－abad＞0，成立． ②∵ac－db＝bc－abad＞0，ab＞0， ∴bc－ad＞0 成立． ③∵bc－ad＞0，ac－db＝bc－abad＞0， ∴ab＞0 成立．答案：D
解析：(1)因 c 的正负或是否为零未知，无法判断 ac 与 bc 的大小，所以是假命题；
(2)因 c2≥0，所以 c＝0 时，有 ac2＝bc2，故为假命题； (3)由 ac2＞bc2，知 c≠0，c2＞0，所以为真命题；
(4)由aa＜＜b0，， ⇒a2＞ab，又ab＜＜b0，， ⇒ab＞b2，所以为真命题；
4．给出如下四个命题： ①若 a>b，c>d，e>0，则 d－ae>c－be； ②若 a>b，c<0，d∈R，则(a－d)c<(b－d)c； ③若 a<b<0，c<d<0，则 ac<bd； ④若 a>b>0，c<d<0，e∈R，则a－e c<b－e d. 其中真命题是__________．

2014届高考数学一轮轻松突破复习1.6.1不等关系与不等式文

【名师精讲】2014届高考数学一轮轻松突破 1.6.1不等关系与不等式文一、选择题1．“a＋c ＞b ＋d”是“a＞b 且c ＞d”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ＋c ＞b ＋d 不能推出a ＞b 且c ＞d ，反之a ＞b 且c ＞d 可以推出a ＋c ＞b ＋d ，故选A. 答案：A2．给出三个条件：①ac2＞bc2；②a c ＞b c；③a2＞b2.其中能分别成为a ＞b 的充分条件的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①ac2＞bc2⇒a ＞b ，故ac2＞bc2是a ＞b 的充分条件；②a c ＞b cD a ＞b ，故不合题意； ③a2＞b2Da ＞b ，也不合题意．答案：B3．若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a1b1＋a2b2B ．a1a2＋b1b2C ．a1b2＋a2b1 D.12解析：特殊值法，取a1＝b1＝13，a2＝b2＝23，则a1b1＋a2b2＝59＞12，a1a2＋b1b2＝49＜12，a1b2＋a2b1＝49＜12，故选A. 答案：A4．设a ＞1，且m ＝loga(a2＋1)，n ＝loga(a －1)，p ＝loga(2a)，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n ＞m ＞pB ．m ＞p ＞nC ．m ＞n ＞pD ．p ＞m ＞n解析：当a ＞1时，a2＋1＞2×a×1＝2a ＝a ＋a ＞a －1＞0，因此有loga(a2＋1)＞loga(2a)＞loga(a －1)，即有m ＞p ＞n ，选B.答案：B5．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：设甲用时间为T ，乙用时间为2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a＋s 2b ＝s 2a ＋s 2b ＝＋2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b ， ∴T －2t ＝＋2ab －2s a ＋b ＝s×＋－4ab ＋＝－＋＞0，即乙先到教室．答案：B6．已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －d b＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵c a －d b ＞0⇔bc －ad ab＞0，∴任意两个作为条件，余下的作为结论，组成的命题都是真命题．答案：D二、填空题7．已知－1＜2a ＜0，A ＝1＋a2，B ＝1－a2，C ＝11＋a ，D ＝11－a ，则A 、B 、C 、D 按从小到大的顺序排列起来是__________．解析：取特殊值a ＝－13，计算可得A ＝109，B ＝89，C ＝32，D ＝34.∴D ＜B ＜A ＜C. 答案：D ＜B ＜A ＜C8．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是__________________．解析：a b2＋b a2－(1a ＋1b )＝a －b b2＋b －a a2＝(a －b)(1b2－1a2) ＝＋－a2b2. ∵a ＋b ＞0，(a －b)2≥0， ∴＋－a2b2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b. 答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．已知－π2≤α＜β≤π2，则α＋β2的取值范围是________；α－β2的取值范围是__________．解析：∵－π2≤α＜π2，－π2＜β≤π2， ∴－π＜α＋β＜π.∴－π2＜α＋β2＜π2. ∵－π2≤β＜π2，∴－π≤α－β＜π. ∴－π2≤α－β2＜π2. 又∵α－β＜0，∴－π2≤α－β2＜0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0 三、解答题 10．已知0＜a ＜1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，比较M 与N 的大小关系．解析：由已知，得a ＞0，b ＞0,0＜ab ＜1，于是M ＝11＋a ＋11＋b ＝b b ＋ab ＋a a ＋ab ＞b b ＋1＋a a ＋1＝N.所以M ＞N. 11．设f(x)＝logx3x ＋1，g(x)＝2logx2＋1，其中x ＞0且x≠1，试比较f(x)和g(x)的大小．解析：f(x)－g(x)＝logx3x －logx4＝logx 3x 4. (logx 34x 的正负取决于x 、34x 与1的大小，故分三类讨论)． ①当34x ＝1，即x ＝43时，logx 34x ＝0， ∴f(x)＝g(x)；②当0＜x ＜1且0＜34x ＜1或x ＞1且34x ＞1，即0＜x ＜1或x ＞43时，logx 34x ＞0，f(x)＞g(x)； ③当1＜x ＜43时，logx 34x ＜0，∴f(x)＜g(x)． 12．已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调递减函数，α，β，γ∈R 且α＋β＞0，β＋γ＞0，γ＋α＞0.试说明f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的关系．解析：由α＋β＞0，得α＞－β.∴f(x)在R 上是单调减函数，∴f(α)＜f(－β)．又∵f(x)为奇函数，∴f(α)＜－f(β)．∴f(α)＋f(β)＜0，同理f(β)＋f(γ)＜0.f(γ)＋f(α)＜0，∴f(α)＋f(β)＋f(γ)＜0.。

2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习第7篇第1讲不等关系与不等式

第1讲不等关系与不等式分层A 级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·浙江)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析当0<ab <1时，若b >0，则有a <1b ；若b <0，则a <0，从而有b >1a .故“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件．反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a <1b 或b >1a ，但ab <0.故选A.答案 A2．(2013·保定模拟)已知a >b ，则下列不等式成立的是( )．A ．a 2－b 2≥0B ．ac >bcC ．|a |>|b |D ．2a >2b 解析 A 中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2－b 2≥0不成立；当c ＝0时，B 不成立；当0>a >b 时，C 不成立；由a >b 知2a >2b 成立，故选D.答案 D3．(2012·晋城模拟)已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b 成立的有( )． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析运用倒数性质，由a >b ，ab >0可得1a <1b ，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.答案 C4．如果a ，b ，c 满足c acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析由题意知c <0，a >0，则A 一定正确；B 一定正确；D 一定正确；当b ＝0时C 不正确．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．解析由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.答案 (－π，0)6．(2013·南昌一模)现给出三个不等式：①a 2＋1>2a ；②a 2＋b 2>2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b －32；③7＋10>3＋14.其中恒成立的不等式共有________个．解析因为a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a 2＋b 2－2a ＋2b ＋3＝(a －1)2＋(b ＋1)2＋1>0，所以②恒成立；对于③，因为(7＋10)2－(3＋14)2＝270－242>0，且7＋10>0，3＋14>0，所以7＋10>3＋14，即③恒成立．答案 2三、解答题(共25分)7．(12分)比较下列各组中两个代数式的大小：(1)3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1；(2)当a >0，b >0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a .解 (1)∵3x 2－x ＋1－2x 2－x ＋1＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴3x 2－x ＋1>2x 2＋x －1.(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝a a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b . 当a >b ，即a －b >0，a b >1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1， ∴a a b b >a b b a .当a 1， ∴a a b b >a b b a .∴当a >0，b >0且a ≠b 时，a a b b >a b b a .8．(13分)已知f (x )＝ax 2－c 且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．解由题意，得{ a －c ＝f (1)，a －c ＝f (2)，解得⎩⎨⎧a ＝13[f (2)－f (1)]，c ＝－43f (1)＋13f (2). 所以f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋83f (2)．因为－4≤f (1)≤－1，所以53≤－53f (1)≤203，因为－1≤f (2)≤5，所以－83≤83f (2)≤403.两式相加，得－1≤f (3)≤20，故f (3)的取值范围是[－1,20]．分层B 级创新能力提升1．(2013·黄山模拟)已知ab ≠0，那么a b ＞1是b a ＜1的( )． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 a b ＞1，即a －b b ＞0，所以a ＞b ＞0，或a ＜b ＜0，此时b a ＜1成立；反之b a ＜1，所以a－ba＞0，即a＞b，a＞0或a＜0，a＜b，此时不能得出ab＞1.答案 A2．(2013·汉中一模)若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]上的一切x值，ax＋b>0恒成立；条件乙：2b－a>0，则甲是乙的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当x∈[－1,0]时，恒有ax＋b>0成立，∴当a>0时，ax＋b≥b－a>0，当a<0时，ax＋b≥b>0，∴b－a>0，b>0，∴2b－a>0，∴甲⇒乙，乙推不出甲，例如：a＝32b，b>0时，则2b－a＝12b>0，但是，当x＝－1时，a·(－1)＋b＝－32b＋b＝－12b<0，∴甲是乙的充分不必要条件．答案 A3．(2012·泉州一模)已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调减函数，α，β，γ∈R，且α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，则f(α)＋f(β)＋f(γ)与0的关系是________．解析∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵α＋β>0，β＋γ>0，γ＋α>0，∴α>－β，β>－γ，γ>－α，而f(x)在R上是单调减函数，∴f(α)<f(－β)＝－f(β)，f(β)<f(－γ)＝－f(γ)，f(γ)<f(－α)＝－f(α)，以上三式相加得：2[f(α)＋f(β)＋f(γ)]<0，即f(α)＋f(β)＋f(γ)<0.答案f(α)＋f(β)＋f(γ)<04．(2013·南京一模)给出下列四个命题：①若a>b>0，则1a>1 b；②若a>b>0，则a－1a>b－1b；③若a>b>0，则2a＋ba＋2b>ab；④设a，b是互不相等的正数，则|a－b|＋1a－b≥2.其中正确命题的序号是________．解析①作差可得1a－1b＝b－aab，而a>b>0，则b－aab<0，此式错误．②a>b>0，则1a<1b，进而可得－1a>－1b，所以可得a－1a>b－1b正确．③2a＋ba＋2b－ab＝b(2a＋b)－a(a＋2b)(a＋2b)b ＝b2－a2(a＋2b)b＝(b－a)(b＋a)(a＋2b)b<0，错误．④当a－b<0时此式不成立，错误．答案②5．已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0.(1)求证：ca－c＞cb－c；(2)求ca的取值范围．(1)证明∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴3a＞a＋b＋c＝0∴a＞0.3c＜a＋b＋c＝0∴c＜0.∵a ＞b ＞c ，∴a －c ＞b －c ＞0，∴1a －c ＜1b －c，又∵c ＜0，∴c a －c ＞c b －c . (2)解由a ＋b ＋c ＝0，得b ＝－a －c ，又a ＞b ＞c ，∴a ＞－a －c ＞c ，∴⎩⎨⎧ a ＞－a －c ，－a －c ＞c .即{ 2a ＞－c ，－a ＞2c ，又∵a ＞0，c ＜0，∴－2＜c a ＜－12.6．(2011·安徽)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .证明 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立.。

湖南师范大学附属中学2014届高三数学总复习课件：3.1 不等关系与不等式

x
0
y 0
第七页，编辑于星期日：十六点十一分。
知识探究(二)：比较实数大小的基本原理
思考1：实数可以比较大小，对于两个实数
a，b，其大小关系有哪几种可能？
a＞b，a＝b，a＜b. 思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？
大数对应的点位于小数对应的点的右边
第十四页，编辑于星期日：十六点十一分。
3.用“差比法”比较两个实数的大小，一般
分三步进行：作差→变形→判断符号. 其中变形的目的在于判断差式的符号，常用的变形手段有因式分解、配方等.
作业：
P74练习：1，2.
P75习题3.1B组：1.
第十五页，编辑于星期日：十六点十一分。
里的不等关系？
f 2.5%
p 2.3%
第四页，编辑于星期日：十六点十一分。
思考3：设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d与|AB|的大小关系怎样表示？
A d
d≤|AB|
B
第五页，编辑于星期日：十六点十一分。
思考4:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元？
第十三页，编辑于星期日：十六点十一分。
小结作业
1.用不等式表示不等关系是一种数学建模，准确理解题意，设定字母表示相关数量，是正确建模的关键.对具有多个不等关系的实际问题，要用不等式组来表示.
2.两个实数的差的符号能反映这两个实数的大小关系，这是确定两个实数大小关系的基本原理，同时也是发掘不等式性质的理论依据.

高中数学高三一轮第六章不等式 6.1不等关系与不等式考向归纳(素材)

6。

1 不等关系与不等式考向归纳考向1用不等式(组）表示不等关系1.已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如下表：100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和62 000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________．【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤1006x ＋7y ≥5602x ＋y ≥155，x ≥0y ≥0【答案】错误!1．用不等式(组）表示不等关系的解题策略（1）分析题目中有哪些未知量；（2）选择其中起关键作用的未知量，设为x，再用x来表示其他未知量;(3）根据题目中的不等关系列出不等式(组)．提醒：在列不等式（组）时要注意变量自身的范围，解题时极易忽略,从而导致错解．2．文字语言与符号语言的转化将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组）时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换，常见的转换关系如表:文字语言大于,高于，超过小于，低于，少于大于等于,至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言>〈≥≤考向2比较大小（1)已知a1，a2∈（0，1），记M＝a1a2,N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系为________．(2）已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c －b＝4－4a＋a2，则a,b，c的大小关系是________．(3)比较a a b b与a b b a的大小．（a>0，且a≠1，b>0且b≠1）的大小．【解析】（1）M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝a1（a2－1)－（a2－1）＝（a1－1)（a2－1)，因为a1，a2∈（0，1）,故a1－1<0，a2－1<0。

所以（a1－1）(a2－1)>0，所以M〉N。

【答案】M〉N(2）由c－b＝4－4a＋a2＝（2－a)2≥0，∴c≥b。

再由b＋c＝6－4a＋3a2, ①c－b＝4－4a＋a2, ②①－②得：2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∵1＋a2－a＝错误!2＋错误!>0，∴b＝1＋a2>a。

2014高考系统复习数学(文)精品课件(人教A版)2-1不等关系与不等式

【答案】 (1)(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y) (2)①④
需注意的是在用“比较法”时，有时可先将原数式变形后再作差或作商进行比较，若是选择、填空题还可用特殊值法判断数的大小关系．
已知 a>0，b>0，试比较 a ＋ b 与 a＋ b的大小． ba
解：
a＋ b
ba－(
a－b<0⇔a 1⇔a > b (2)作商法ab＝1⇔a ＝ b a∈R，b>0.
ab<1⇔a b，b>c⇒ a>c .
(2)同向相加性：a>b，c>d⇒ a＋c>b＋d .
(3)乘法单调性： a>b，c>0⇒ ac>bc ； a>b，c<0⇒ ac<bc ； a>b>0，c>d>0⇒ ac>bd ； a>b>0(n∈N*)⇒an>bn；
由ba＋ab－2＝b2＋aa2b－2ab＝a－abb2， ∵b<a<0，∴ab>0，(a－b)2>0. ∴a－abb2>0，即ba＋ab>2，∴④正确．
答案：B
实数大小的比较问题常常用“比较法”来解决，“比较法”有“作差比较法”和“作商比较法”两种，可根据数式的结构特点灵活选用．
若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；
④ba＋ab>2 中，正确的不等式有
()
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个

2014高考数学核心考点轻松阅读22不等关系和基本不等式

考点22 不等关系和基本不等式【考点分类】热点一不等关系与不等式1.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】下列选项中，使21x x x<<成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)-C ． (0,1)D ．(1,)+∞3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】设,,a b c R ∈，且a b >，则（）（A ）ac bc >（B ）11a b< （C ）22a b > （D ）33a b >4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）(A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞【答案】B5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】不等式220x x +-<的解集为___________．6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】不等式021xx <-的解为．7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2()4f x x x =-.那么不等式(2)5f x +<的解集是____________.8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】不等式222x -<的解集是（）（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,29.(2012年高考辽宁卷理科12)若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（） (A)21xe x x ++ (211)124x x <-+(C)21cos 12x x -… (D)21ln(1)8x x x +-…10.(2012年高考全国卷理科9)已知125ln ,log 2,x y z eπ-===，则（）A ．x y z <；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<.12.(2012年高考湖北卷文科9)设a,b,c,∈ R,,则 “abc=1+a b c ≤++”的( )A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要的条件13.(2012年高考湖南卷文科7)设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论： ①c a ＞cb；② c a ＜c b ； ③ log ()log ()b a a c b c ->-；其中所有的正确结论的序号是 . A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③14.(2012年高考重庆卷文科7)已知2log 3log a =+，2log 9log b =-，3log 2c =则a,b,c 的大小关系是( )（A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >>【方法总结】(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题.热点二基本不等式15. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为（） A.0 B.98 C.2 D.9416.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】若221,x y x y +=+则的取值范围是（）A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[]2,-+∞D ．[],2-∞-17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】设,a b R ∈，若0x ≥时恒有43220(1)x x ax b x ≤-++≤-,则ab 等于______________.【答案】-1法四：由已知得到：当0x ≥时，32210xx ax b ---+≥恒成立，所以令1x =得到：0a b +≤.令0x =，所以1b ≤.再由当0x ≥时，430x x ax b -++≥，所以令1x =得到0ab +≥成立，令0x =，所以0b ≥成立.所以0a b +=，10b ≥≥，当0b =时，0a =，当0x ≥时，430x x ax b -++≥不一定恒成立，所以当1,1b a ==-时，43223223222222222201(1)0(1)(1)(1)(1)0(1)(1)(1)(1)0(1)(1)(1)(1)0(1)(1)01210x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇐≤--+≤-⇐≤---≤-+⇐≤--≤-+⇐≤-++≤-+⇐≤++≤+⇐≤++≤++⇐≥，所以1ab =-.18.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为．20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =____________.21.(2012年高考浙江卷文科9)若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A.245 B. 285C.5D.6【答案】C 【解析】x+3y=5xy ，135y x +=， 113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥ 1132555⨯+=. 22.(2012年高考福建卷理科5)下列不等式一定成立的是（）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+【方法总结】利用基本不等式求最值的关键在于变形创设“一正二定三相等”这一条件．常见的变形的方法有：变符号、凑系数、拆项、添项、分子分母同除等方法.利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解． (2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值.【考点剖析】一．明确要求1.结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.二．命题方向1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用是命题的热点．着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、低档．考查题型多为选择、填空题.2.利用基本不等式求最值是命题热点．客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的应用．各种题型都有，难度中、低档.三．规律总结一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．两条常用性质 (1)倒数性质：①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ； ②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b ； ③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd ；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a . (2)若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m (b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m (b －m ＞0)．一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．【考点模拟】一．扎实基础1. 【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试】已知a b <，则下列不等式正确的是( ) A ．22a b > B ．11a b> C ．22a b > D ．22a b ->- 【答案】C【解析】根据不等式的性质易得.2.【2013年安徽省安庆市高三模拟考试（三模）】设}11|{≥∈=xR x P ，}0)1ln(|{≤-∈=x R x Q ，则“P x ∈”是“Q x ∈”的 ( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 【2013年“江南十校”高三学生第二次联考（二模）测试】下列各式中，最小值为2的是（）A ．1xx + B C ．1ln ln x x + D ．1tan tan x x +4. 【2013年山东省临沂市高三教学质量检测考试】没a ，b 为实数，则“01ab << ”是“1b a<”的（） (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5. 【安徽省2013届高三开年第一考文】已知0,0,a b >>,a b 的等比中项是1，且1m b a=+，1n a b=+，则m n +的最小值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B6. 【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】已知a b >，且1ab =，则22a b a b+-的最小值是.7. 【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】最小值为__________.8. 【北京市房山区2013届高三上学期期末考试】某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营前n *()n ∈N 年的总利润n S （单位：万元）与n 之间的关系为2(6)11n S n =--+.当每辆客车运营的年平均利润最大时，n 的值为 .9. 【山东省威海市2013届高三上学期期末考试】已知0x >，则24xx +的最大值为________. 【答案】1410. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】已知0,0a b >>，141a b+=，则a b +的最小值是 .二．能力拔高11. 【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试】设,x y ∈R ,1,1a b >>，若2x y a b ==，24a b +=，则21x y+的最大值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．412. 【山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试】已知函数94(1)1y x x x =-+>-+，当x=a 时，y 取得最小值b,则a+b=（）A ．-3B ．2C ．3D ．8 【答案】C13. 【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a 14a =，则14m n+的最小值为（） A.32 B. 53 C. 256D. 不存在14. 【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】三个实数a ，b ，c 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝3，则b 的取值范围是（）A 、[1,0)-B 、(0,1]C 、[1,0)-∪(0,3]D 、[3,0)-∪(0,1]15. 【天津一中2012—2013学年高三数学一月考】,,x y z 均为正实数,且22log x x =-,22log y y -=-，22log z z -=，则（）A. x y z <<B.z x y <<C.z y x <<D.y x z<<16. 【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】已知正项等比数列{a n }满足：765=2a a a +，若存在两项,n m a a 14a =，则nm 41+的最小值为（） A.23 B. 35 C. 625 D. 不存在17. 【北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考】若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是．（写出所有正确命题的编号）．①1ab ≤； +≤； ③ 222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥ 【答案】①，③，⑤．【解析】对于命题①由2a b =+≥，得1ab ≤，命题①正确；18. 【山东省烟台市2013届高三第一次模拟诊断性测试】给出下列命题：已知向量a=（x －l ，2），b=（4，y ），若a ⊥b ，则93x y +的最小值为 .19. 【山东省济南市2013届高三高考第一次模拟考试】若点()1,1A 在直线02=-+ny mx 上，其中,0>mn 则11m n+的最小值为 .20. 【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】已知1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy 的最小值是_______. 【答案】e【解析】因为1x >，1y >，，所以1ln 04x >，ln 0y >，因为1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，所以三．提升自我21. 【内蒙古赤峰市2013届高三最后一次仿真统考】已知,0a b ≥，且21a b +=，则的最大值为（）A B ． C D ．22. 【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】若两个正实数,x y 满足211x y+=，并且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A. (,2][4,)-∞-+∞B. (,4][2,)-∞-+∞C. (2,4)-D. (4,2)-23. 【浙江省镇海中学2013年高三考前模拟】设t R ∈，若*n N ∈时，不等式(20)ln()0ntn t-≥恒成立，则t 的取值范围是 .24. 【2013年浙江省第二次五校联考】已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=，且22(2)4k x y x y +≤+恒成立，则k 的最大值是________．25. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】某投资公司年初用98万元购置了一套生产设备并即刻生产产品，已知与生产产品相关的各种配套费用第一年需要支出12万元，第二年需要支出16万元，第三年需要支出20万元，……，每年都比上一年增加支出4万元，而每年的生产收入都为50万元．假设这套生产设备投入使用n 年，*∈N n ，生产成本等于生产设备购置费与这n 年生产产品相关的各种配套费用的和，生产总利润)(n f 等于这n 年的生产收入与生产成本的差. 请你根据这些信息解决下列问题：（Ⅰ）若0)(≥n f ，求n 的值；（Ⅱ）若干年后，该投资公司对这套生产设备有两个处理方案：方案一：当年平均生产利润取得最大值时，以26万元的价格出售该套设备；方案二：当生产总利润)(n f 取得最大值时，以8万元的价格出售该套设备．你认为哪个方案更合算？请说明理由．【考点预测】1.已知函数9()4(1)1f x x x x =-+>-+，当x=a 时，()f x 取得最小值,则在直角坐标系中，函数11()()x g x a+=的大致图象为（）2. 0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为（）A. p q >B. p q ≥C. p q <D. p q ≤3. 若log 1m n =-，则3m n +的最小值为（）A ． 2 B. C. 4【答案】C4. 已知M 是ABC ∆内的一点（不含边界），且23AB AC ∙=，030BAC ∠=，若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为x,y,z,则14x y z++的最小值是 .5.提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足 ()40250kv x x =--，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．(1) 当0<x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．( 2.236≈）。