高中数学第三章指数函数与对数函数学业分层测评(21)指数函数、幂函数、对数函数增长的比较北师大必修1

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第三章 指数函数与对数函数 学业分层测评（21）指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 北

师大版必修1

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．(2016·佛山高一检测)四人赛跑，其跑过的路程f (x )与时间x 的函数关系分别如下四个选项所示，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系为( )

A ．f 1(x )＝x 1

2

B ．f 2(x )＝1

4x

C ．f 3(x )＝log 2(x ＋1)

D ．f 4(x )＝log 8(x ＋1)

【解析】 A 、C 、D 中函数增长特点是越来越慢，B 中一次函数型增长特点是正比例增长，故选B.

【答案】 B

2．函数y 1＝2x

与y 2＝x 2

，当x >0时，图像的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

【解析】 当x ＝2或4时，y 1＝y 2，当x >4时，y 1>y 2，故交点个数是2. 【答案】 C

3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图像大致为( )

【解析】 由题意，设林区原来的蓄积量为a ，则ax ＝a (1＋10.4%)y

，即1.104y

＝x ，则y ＝log 1.104x ，故y ＝f (x )的图像大致为D.

【答案】 D

4．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y ＝10e kt

，其中k 为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( )

A ．640

B ．1 280

C ．2 560

D ．5 120

【解析】 由题意可得，当t ＝0时，y ＝10，当t ＝1时，y ＝10e k

＝20，可得e k

＝2.故10个细菌经过7小时培养，能达到的细菌个数为10e 7k

＝10×(e k )7

＝1 280.

【答案】 B

5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是( )

A ．y ＝0.2x

B ．y ＝110(x 2

＋2x )

C ．y ＝2

x

10

D ．y ＝0.2＋log 16x

【解析】 将x ＝1,2,3，y ＝0.2,0.4,0.76分别代入验算，可知选C. 【答案】 C 二、填空题

6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000ln ⎝

⎛

⎭

⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．

【解析】 当v ＝12 000时，2 000×ln ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋M m ＝12 000，

∴ln ⎝

⎛⎭

⎪⎫

1＋M m

＝6，∴M m

＝e 6

－1.

【答案】 e 6

－1

7．池塘浮萍每天生长原来的一倍，15天刚好长满池塘，则________天长满半池塘. 【导学号：04100068】

【解析】 设第一天生长a ，则第二天有浮萍2a ，第三天4a ，…第14天213

a ，第15天214

a .

因214

a ＝2×213

a ，∴14天长满半池塘． 【答案】 14 三、解答题

8．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n ＋1)元时，比礼品价值为n 元(n ∈N ＋)时的销售量增加10%.

(1)写出礼品价值为n 元时，利润y n (元)与n 的函数关系式； (2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．

【解】 (1)设未赠礼品时的销售量为m ，则当礼品价值为n 元时，销售量为m (1＋10%)n

. 利润y n ＝(100－80－n )·m ·(1＋10%)n

＝(20－n )m ×1.1n

(0＜n ＜20，n ∈N ＋)． (2)令y n ＋1－y n ≥0， 即(19－n )m ×1.1n ＋1－(20－n )m ×1.1n

≥0，

解得n ≤9，

所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9＝y 10， 令y n ＋1－y n ＋2≥0， 即(19－n )m ×1.1

n ＋1－(18－n )m ×1.1

n ＋2

≥0，

解得n ≥8，所以y 9＝y 10＞y 11＞…＞y 19.

所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润． 9．某工厂利润数据如下表：

y ＝ab

x

＋c 和二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c ，若4月份的利润为5.1万元，选哪个模型比较好？(其中

ab ≠0，且b ≠1)

【解】 先把前3个月份的数据代入y ＝ab x

＋c ，

得⎩⎪⎨⎪⎧

ab ＋c ＝2，ab 2

＋c ＝5，ab 3＋c ＝6，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－272

，

b ＝1

3，

c ＝132.

∴y ＝－272·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13

2.

把x ＝4代入得y ≈6.33.

再把三组数据代入y ＝ax 2

＋bx ＋c ，

得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＋

b ＋

c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，9a ＋3b ＋c ＝6，