2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课后作业理

8．3 圆的方程

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一、选择题

1．(2017·豫北名校联考)圆(x －2)2

＋y 2

＝4关于直线y ＝3

3

x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2

＋(y －1)2

＝4 B ．(x －2)2

＋(y －2)2

＝4 C ．x 2

＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2

＋(y －3)2

＝4 答案 D

解析 设圆(x －2)2

＋y 2

＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝

3

3

x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧

b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，

解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2

＝

4.故选D.

2．(2017·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2

－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )

A ．1＋ 2

B ．2

C ．1＋

2

2

D ．2＋2 2

答案 A

解析 将圆的方程化为(x －1)2

＋(y －1)2

＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|

2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2

＋1，故选A.

3．已知点P 在圆x 2

＋y 2

＝5上，点Q (0，－1)，则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．x 2

＋y 2

－x ＝0 B ．x 2＋y 2

＋y －1＝0 C ．x 2

＋y 2

－y －2＝0 D ．x 2

＋y 2

－x ＋y ＝0

答案 B

解析 设P (x 0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x ，y )，则x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x 2

＋(2y ＋1)2

＝5，化简得x 2

＋y 2

＋y －1＝0.故选B.

4．(2018·山西运城模拟)已知圆(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )

A ．3x ＋y －5＝0

B ．x －2y ＝0

C ．x －2y ＋4＝0

D ．2x ＋y －3＝0

答案 D

解析 直线x －2y ＋3＝0的斜率为1

2，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的

斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.

5．(2018·唐山期末)若当方程x 2

＋y 2

＋kx ＋2y ＋k 2

＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝( )

A.3π4

B.π4

C.3π2

D.5π4

答案 A

解析 将圆x 2

＋y 2

＋kx ＋2y ＋k 2

＝0化成标准方程，得

⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 2

4， ∵半径r 满足r 2

＝1－3k 2

4

，

当圆取得最大面积时，k ＝0，半径r ＝1.

因此直线y ＝(k －1)x ＋2即y ＝－x ＋2.得直线的倾斜角α满足tan α＝－1， ∵直线的倾斜角α∈[0，π)，∴α＝3π

4

.故选A.

6．若方程 16－x 2

－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4 D ．4≤m ≤4 2

答案 B

解析 由题意知方程16－x 2

＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2

与y ＝x ＋m 的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m ≤4 2.故选B.

7．(2017·广东七校联考)圆x 2

＋y 2

＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3

b

的最小值是( )

A ．2 3

B.203

C ．4 D.163

答案 D

解析 由圆x 2

＋y 2

＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2

＋(y －3)2

＝9，∵圆x 2

＋y 2

＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥

1

3

⎝

⎛

⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝16

3

，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.

8．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆C ：x 2

－6x ＋y 2

＋8＝0引切线，则切线长的最小值为

( )

A ．1

B ．2 2 C.7 D ．3 答案 C

解析 解法一：切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径长为r ＝1，故切线长的最小值为d 2－r 2

＝

8－1＝7.

解法二：易知P (m ，m ＋1)在直线y ＝x ＋1上，由切线长公式得|PC |＝

m 2－6m ＋m ＋

2

＋8＝ m －

2

＋7，由m ∈R 可得|PC |min ＝7.

9．(2017·山东菏泽一模)已知在圆M ：x 2

＋y 2

－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )

A ．3 5

B ．6 5

C ．415

D ．215

答案 D

解析 圆x 2

＋y 2

－4x ＋2y ＝0可化为(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝5，圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦为圆的直径，∴AC ＝2 5.∵BD 为最短弦，∴AC 与BD 垂直，易求得ME ＝2，∴BD ＝2BE ＝25－2＝2 3.

S

四边形ABCD

＝S △ABD ＋S △BDC ＝12BD ·EA ＋12BD ·EC ＝12BD ·(EA ＋EC )＝12BD ·AC ＝1

2

×23×25

＝215.故选D.

10．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2

＋y 2

－6x －6y ＋14＝0上，则x ＋y 的最大值与最小值是( ) A ．6＋22，6－2 2 B ．6＋2，6－ 2 C ．4＋22，4－2 2 D ．4＋2，4－ 2

答案 A