数学北师大版八年级下册第二章《运用公式法》

北师大版八年级下册
第二章《运用公式法》的教学设计
佛山市南海区西樵镇西樵中学林健【教材分析】《运用公式法》选自义务教育课程标准实验教材北师大版八年级下册第二章分解因式的第三节。

用平方差公式分解因式是整式乘法的逆运用，与整式乘法运算有着密切的联系。

它被广泛地用于初等数学之中，为解决许多数学问题的计算提供一种优化的方法，同时也为学习分式，利用分解因式解一元二次方程奠定基础，对整个教科书起到了承上启下的作用。

学生在此之前已经学习了整式乘法和提公因式法分解因式，对如何分解因式已经有了初步的认识，但对于平方差公式进一步的应用及正确判断分解因式的彻底性，可能会产生一定的困难，所以通过问题串的形式，引导学生去思考，经历自学、合作交流、归纳等活动，完成教学任务，从而增强学生学好数学的愿望与信心。

【学情分析】
从心理特征来说，初中阶段的学生已经具备了一定的观察能力，思考能力和分析问题的能力。

同时，这一阶段的学生爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中抓住这些特点，通过提出问题，引发学生思考，创造条件和机会，让学生发表见解，展示自我，获得成功的体验。

从知识基础来说，在七年级整式乘法运算的学习中，学生已经学习了平方差公式。

在本章前几节课学习了分解因式的概念，并了解整式乘法与分解因式之间的互逆关系，这为这节课的学习提供了必要的基础
【设计理念】
1、教师的教学活动必须建立在学生的认知发展和已有的知识经验基础上，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会。

设计中通过设计一连串的问题，引导学生自主构建新概念，力争达到水到渠成效果。

2、教学过程既是学生认识的过程，又是学生发展的过程。

教师的主要任务是为学生设计学习的情境，使问题符合学生的最近发展区，引导学生在情境中，自己开动脑筋进行学习，解决问题。

设计中通过课前创设情境引课，课中自主探究，巩固练习导课，体现了学习过程的环环相扣。

3、根据新课程目标：倡导学生主体参与、乐于探究、勤于动手，培养学生分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。

设计中用低起点的问题入手，学生自主探究，相互间合作归纳、总结，及时练习体验成功，体现了学生的主体地位和快乐学习。

【教学目标】
（一）知识与技能
会用平方差公式分解因式，掌握提取公因式法、平方差公式分解因式的综合运用及今后解题过程中的应用意识。

（二）过程与方法
经历通过整式乘法的逆向运算得出平方差分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。

（三）情感与态度
学生通过自己发现问题，解决问题，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，并体验成功的喜悦和勇于探索的精神。

【教学重点和难点】
1、重点：掌握平方差公式结构特征，进行分解因式
2、难点：灵活地运用平方差公式和提公因式法进行分解因式，正确判断分解因式的彻底性及应用的意识。

【教法和学法】
（一）教学方法:1、情境法2、自主探究法3、演示法 4、归纳法5、检测法
（二）学习方法: 自主探索、合作交流、归纳总结
【教学手段】
黑板教学与多媒体教学相结合
【教学过程】
（一）创设情景
师：把下列各式变形为一个式子的平方形式 ①216
9c =（ ）2 ②64x 2y 2 ＝ ( )2
③9(m ＋n)2=〔 〕2
（学生口答填空）
【设计意图】: 为了下面的自主学习作铺垫，起到承上启下的作用。

师：计算：999992-1=______
生：9999800000。

（一些同学很快得到答案）
师：正确，非常棒！你想知道他是怎样快速的得到答案的呢？请认真听本节课的内容，很快你也知道了。

【设计意图】: 唤起绝大多数学生的强烈求知欲望，激发学生兴趣，从而自然导入新课。

（二）导入新课
师：观察图形，你能得出什么恒等式。

（电脑演示过程）
生：a 2—b 2=（a+b ）（a —b ）
【设计意图】: 从形的方面初步认识平方差结构特征。

师：(1) 下列多项式中，他们有什么共同特征?
① x 2－25
② 9x 2－ y 2
(2)尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴交流.
生：他们共同特征是都可以写成两个数的平方差的形式，
x 2－25= x 2－（5）2=（x+5）（x —5）
9x 2－ y 2=（3x ）2-y=（3x+y ）（3x —y ）
师：事实上
a 2－b)
平方差公式
【设计意图】: 此环节从观察入手，再通过思考、合作交流、类比、归纳的形式，让学生从数的方面初步认识平方差公式结构特征，通过整式乘法的逆向变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受整式乘法与分解因式互为逆变形，从中感受类比思想，为下一个教学环节奠定基础。

（三）自主探究
活动一：
师：观察例1，口答：用平方差公式分解因式的结构特征？
例1把下列各式分解因式
（1）25－16x 2 （2）9a 2－4
1b 2 解：（1）25－16x 2=52-（4x ）2=（5+4x ）（5-4x ）
（2）9a 2－41b 2=（3a ）2－（21b ）2=（3a+21b ）（3a —2
1b ） 生：左边：两项，平方，差，右边：两项和与两项差的乘积
【设计意图】: 对于例1的学习，以口答的形式回答问题。

原因是由于前面的实践活动已经作出了铺垫，所以问题的答案就显而易见了。

此题主要面向中下层学生，了解他们对知识掌握程度，让学生体会化归思想，从而体现教学大纲所要求：不同的人在数学上得到不同的发展。

活动二：
师：自学例2（3分钟），然后小组交流回答以下问题：
(1)能够充分用平方差公式分解因式的结构特征是什么？对比例1，你发现平方差公式中的a ，b 可以表示什么？
（2）分解因式有哪些步骤？
例2把下列各式分解因式
（1）9()2n m +-()2
n m - （2）23x -8x 解：9()2n m +-()2n m -=﹝3（m+n ）﹞2-()2
n m -=（3m+3n+m —n ）（3m+3n-m+n ）
=（4m+2n）（2m+4n）=4（2m+n）（m+2n）
23x-8x=2x（2x-4）=2x（x+2）（x-2）
生：左边：两项，平方，差，右边: 两项和与两项差的乘积，a、b可以表示数，字母、多项式。

能提公因式的要先提公因式，在利用平方差公式进行分解因式，结果要因式分解彻底。

（学生在回答这些问题，可能说的不够完整，老师可以适当的引导，或让其他小组补充）
师：平方差公式分解因式的结构特征：左边：两项，平方，差，右边: 两项和与两项差的乘积
a、b可以表示单项式、多项式等代数式
分解因式的步骤：（简称三步曲）1提2套3验。

（将这些归纳的内容板书在黑板上，突出它的重要性）
【设计意图】: 通过例2中（1）的探究，与例1形式形成对比，再通过归纳总结，使学生更深入理解a、b含义，逐渐形成整体思想，更进一步体会平方差分解因式的结构特征，为有效的掌握用平方差公式分解因式这项技能奠定基础。

对于例题的第二题的探究，使学生发现本题直接用平方差公式分解因式的想法是行不通的，从而激发学生联系已经学习的知识，再结合新知，共同解决本题，提高学生解决综合问题的能力，从中反思出分解因式的步骤，使学生的感性认识升华到理性认识，为突破本节课的难点作铺垫。

（四）尝试练习
活动一：
师：判断下例式子的正误
（1）x2+y2=(x+y)(x+y)（）
（2）x2－y2=(x+y)(x－y)（）
（3）－x2+y2=(－x+y)(－x+y)（）
（4）－x2－y2=－(x+y)(x－y)（）
师：第（3）你能改正吗？
生：－x2+y2= y2－x2= (y+x)( y－x)
－x2+y2=-（x2-y2）=-（x+ y）（x-y）
师：你能更具体的概括出用平方差公式分解因式的结构特征吗？
生：左边：两项，平方，两项异号，右边: 两项和与两项差的乘积
【设计意图】: 为下面提高分解因式的技能作铺垫。

特别是对于第（3）小题，可以通过改正的形式，增强了知识的运用性，更能理解用平方差分解因式的结构特征。

活动二：
师：接下来我们玩抽卡片的游戏，以小组或个人为单位，准备4张颜色、大小一样的卡片，（如图）从下面的4张卡片中，任抽2张，将卡片上的式子任意作差（和），将能分解因式的式子，再进行分解因式。

比一比谁做的快、准、多，
（这时，老师走下讲台，监督各组进行的情况，做适当的点拨，并鼓励学生。

）师：好，时间已到，接下来展示成果，哪位小组愿意先展示自已的作品。

好这位小组上台展示。

（用实物投影来展现）其他小组的同学看一看这个小组做的是否正确，哪里有错，怎样改正，还有哪个小组补充能分解因式的式子。

（学生通过小组竞争形式，学生的激情一下子被调动起来了，下面是一片讨论声，学生纷纷欲试，纷纷举手。

老师要用“不错”，“这个小组很棒”，“有进步”等词语去鼓励学生的展品，将较好的作品贴到课室的墙上）
【设计意图】: 在这个环节中：改变传统的习题模式，以游戏的形式进行基础技能的训练，使学生在快乐中学习，不仅能够增强分解因式技能，加强了学生创新意识，同时最大限度的调动学生积极主动投入教学活动中。

通过展示成果，让学生互相查漏补缺，突破本节难点，充分体现学生主体地位，同时让学生体会数学中的乐趣和美感。

活动三：
师：如图，大小两圆的同心相同，已知它们的半径分别是Rcm和rcm，求它们
R=8.45，r=3.45呢？
（2007年佛山中考）上数学课时，老师提出了一个问题：“一个奇数的平方减1，结果是怎样的数？”请你解答这个问题．
【设计意图】: 通过解决实际问题，体会用平方差分解因式来计算的优化性，让学生能学以致用，获得成功感，从而体现数学源于生活、寓于生活，用于生活的思想，同时与课前导入遥相呼应。

（五）归纳小结
师：1、你能用自己的语言概括出，用平方差公式分解因式的结构特征？
2、分解因式有哪些步骤？
3、你还有什么不理解的内容吗？
（由学生自由发言、互相补充，教师进行修正、精炼阐述。

）
【设计意图】: 这样的小结既梳理了知识，又点明了本节课的学习要点，同时使学生对本节知识体系有一个清晰的认识，为下节的学习打下良好基础，起到画龙点晴的作用。

（六）达标检测
1、下式中不能用平方差公式分解的是（）
A 9-a2
B a2-16x2
C –m2-n2
D –y2+36
2、分解因式4x2-1=
（形式可采用堂上批改，互相挑错）
3、将边长为a的正方形四角各剪去一个边长为b的小正方形，求剩余部分的面积。

如果a=3.6，b=0.8呢？
【设计意图】:本节课内容通过以上形式完成教学，但学生掌握的如何呢？基于这方面的考虑，所以我设计了这一环节，通过检测的形式,让老师能全面了解学生掌握情况，以便老师能及时进行查漏补缺，为下节课的学习奠定基础。

（七）作业布置，
1、基础练习：61页1（1）（7）（必做）
2、应用练习：62页8
3、探究练习：63页15（选做）
【设计意图】:通过这样分层设计，不仅仅将作业分层，同时针对班级不同程度的学生提出不同的要求，最终达到教学大纲所要求：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

【教师寄语】
数学是人类的重要文化 ，可以帮助我们探索和认知这个美好的世界，希望每一位同学在学习数学过程中找到属于自己的快乐！
【板书设计】 运用公式法（1）
一、平方差公式分解因式： 例1把下列各式分解因式
a 2—
b 2=（a+b ）（a-b ）
二、结构特点： （1）25－16x 2 （2）9a 2－4
1b 2 1、左边：两项，平方，异号
2、右边：两项和与两项差的乘积 例2把下列各式分解因式
3、a 、b 含义 （1）9()2n m +-()2
n m - 三、分解因式步骤： （2）23x -8x
1、提
2、套
3、验
【设计意图】: 整个板书力求做到条理清晰，有利于学生对所学知识的回顾与总结。

【评价分析】
本节课，我主要处理好教师主导与学生主体之间的关系。

教师方面：阅读提纲的设计既贴近教学内容，又贴近学生实际，练习设计有一定的思考性和层次性，在整个教学过程中，注重培养学生的自学能力、创新精神、实践能力，使学生的基本素质和个性品质得到较全面、和谐、充分发展。

学生方面：在教师的引导下，学生始终处于积极的思考状态之中，给学生提供了思、说、练的机会，所有的问题都是学生经过努力解决的，较好的突出了学生的主体地位，学生在保持并增进学习兴趣的同时谋求充分、自由、全面的自我
发展。

同时，本节课我采取了灵活多样的评价方式，通过自评、互评等形式，激励学生积极参与教学评价中来，使评价过程成为再学习的过程，收到了良好的效果。