交叉超立方体的转发指数

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作为分布式并行计算的网络拓扑结构, 超立方体 以其具有的正则性、可迁性和良好的连通性成为互连体系的首选。但人们在实践中发现, 尽管超立方体有许多优点, 却也存在一些无法克服的不足, 如直径较大不易扩展等。交叉超立方体 最初是作为具有更小直径的变体超立方体提出来的。在随后的研究中发现,交叉超立方体除了保留超立方体大部分好的属性外, 还具有许多特有的网络属性。如交叉超立方体 的直径 [4]为几乎是同维度超立方体的一半。交叉超立方体具有几乎泛圈性和比较强的模拟其他网络的能力, 并且在可嵌入方面也具有超立方体所不具备的某些性质, 有可能成为下一代互连体系的拓扑结构。
定义2.2.3[1]如果对图G中任何两条边 和 ，存在一个自同构 使得 ，那么称图G是边可迁的。
定理2.2.1[1]Cayley图是点可迁的。
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超立方体结构是由Michigen大学的Squire和Pahl ls从图论的角度提出来的。多年来，许多人对超立方体拓扑结构和超立方体结构的并行计算机系统进行了较全面的分析和研究。超立方体由于其正则性、对称性、强容错性、较短的直径、可嵌入性和网络通信能力的可扩展性等特点，深受研究者和实践者的欢迎。从网络结构特性看，超立方体结构介于最简单的环与最复杂的全互连网络之间。超立方体能够模拟多种互连网络结构(比如：线性阵列、环、网格、树等等)。超立方体结构有许多比其它点一点结构更理想的特性，因此，一些商用的并行计算机系统都采用超立方体网络结构作为处理机之间的互连网络结构。
(7)所有长度在4到2n之间的圈都能以扩张l嵌入 中，但 中只能以扩张l嵌入偶长圈；
(8)一棵具有2n-1个顶点的完全二叉树能以扩张l嵌入 而不能以扩张l嵌入 ；
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图是网络拓扑的数学模型，研究网络的结构性质就归结为研究图的构性质。为此，我们描述一下本文用到的图论术语和记号。
2.1
定义2.1.1[1]设 是一个图．对于 ，
称为 的邻集；
称为与 关联的边集。显然， 对任何 成立。 称为 的度。度为d的点称为d度点，0度点称为孤立点．G称为d正则的，如果G中每个点都是d度点。
Keywords:hypercube, crossed cube,forwardindex,routing
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互连网络是泛指各种组件，如计算机、计算机内部的处理器、存储器、通信设备、其它元件或设备等的集合以及通讯信道的集合按一定的点对点方式相互连接所形成的系统。网络中组件和组件之间的连接方式称为该网络的拓扑结构。在分析网络拓扑结构时，人们通常把网络中组件抽象成一个点，把通信信道抽象成两点之间的连线，那么该网络的拓扑结构就被抽象成一个图。
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定理3.1.2.1[1](a) 是n正则的,有 顶点和 条边；
(b) 是二部图；
(c)若n≥2,则 含有Hamilton圈；若n为偶数,则 含有Euler回路；
(d) 的直径为 ；
(e) 的连通度 ；
(f) 是点可迁和边可迁的;
(g) 可以表示为两个n-1维子立方体加上一个完美匹配得到,记为 。这里 表示第j位坐标为i其他n-1维坐标按立方体的定义取值并在所得数组进行按立方体定义的方式连边,显然这 个点导出一个n-1维立方体,有时我们分别 ,其中 我们把 之间的边集构成的 的完美匹配记作 。从而可知,
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定义3.2.1.1[4]: 两个长度为2的二进制串 和 ,当且仅当 {(00,00),(10,10),(01,11),(11,01)}时,称 和 是关联的, 记为 。
在此基础上,Kemal Efe 给出了交叉超立方体的原始定义:
定义3.2.1.2[4]: ,交叉超立方体 的顶点由互不相同且长度为 的二进制串组成。 称为交叉超立方体的维度;( , )是 的边当且仅当存在一个 使得
图H称为G的子图，记为 ，如果 且 。G的子图H称为支撑子图，如果 。
设B是 中的非空子集，G-B表示G的支撑子图G[E\B]。同样地，G+F表示在G中添加边集F后得到的图。
定义2.1.2[1]设图 )是任意的图，那么
,
并且奇度点的数目是偶数。
对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ，
称为边e的度；
称为图G的边度。
，和
分别称为G的最大度和最小度。
如下图：
100 101
110 11000 001
110 111
000 01
010 011
图3.2 图3.3 图3.4
从上面的定义我们可以直接得出 =(V,E)有|V|= 点和|E|=n 边。每个点可以看作一个n元字符串,两个点之间有边当且仅当两个n元串中恰一个坐标不同。超立方体网络是点可迁的,且该图也是边可迁的。
院系名称数学学院
20年月日
交叉超立方体的转发指数
摘要：交叉超立方体CQn是超立方体Qn的变形之一，它有许多和Qn一样的优良性质。CQn的直径几乎是Qn直径的一半。当n≥5时，交叉超立方体CQn不具备可迁性。转发指数是衡量网络性能的重要指标之一。本文主要介绍了超立方体Qn的定义与性质和交叉超立方体CQn的定义、性质与点(边)转发指数；借助于SolidWorks软件的绘图功能，画了较低阶数的交叉超立方体（n≤5）的图形，通过分析得到了一个猜想；通过C++编程语言验证了较低阶数的交叉超立方体Qn（n≤11）具有此特性，并计算了交叉超立方体的点转发指数。
此定义构建交叉超立方体流程如下图：
图3.5从CQ2到CQ3的扩展
图3.6从CQ3到CQ4的扩展
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定理3.2.2.1[1]交叉超立方体有如下性质：
(1)有2n个顶点，nx2n-1条边；
(2)是n正则图；
(3)连通度是n；
(4)最短圈长是4；
(5)结构具有递归性。
(6)n维交叉超立方体 的直径为 ，大约是n维超立方体 的一半；
关键词：超立方体 、交叉超立方体、转发指数、路由选择
Forwarding index of cross-hypercube
Abstract:Cross-hypercube (CQn) is one of the deformation of thehypercube(Qn),it has many excellent properties as Qn.The diameter of the CQn is almost half of the diameter of Qn.When n ≥ 5,Cross-hypercube not have transitivity.Forwarding index is an important indicator to measure network performance.Inthis paper, it mainly introduces the definition and properties of hypercube cube and cross hypercubes definition, the nature, and the point (edge) forward index.By SolidWorks software,to draw a low order numbercross-hypercube (n ≤ 5)graphics,a conjecture was obtainedby analyzing.ThroughC + + programming language, verify the lower order cross hypercube Qn (n ≤ 11) has this feature,and calculate the point forwarding index of cross-hypercube.
如果存在非空子集 使得G-S中不含（x，y）路那么称S为G的（x，y）分离集。如果（x，y） E(G)，那么G中所有分离集的最小顶点数目称为（x，y）的连通度，记为 。
定义2.1.4[1]设 是非平凡有限群，S 是 X 的非空子集，且不含 的单位元e。定义有向图如下：
V(G)= ；(x ，y) E(G) x-1y S, x,y .它由Cayley[2]首先提出，故称G为群 关于S的Cayley图，记为 。
定义3.2.1.5[6]：n维交叉超立方体 是一个n-标号图，它的每一个顶点由不相同的n位二进制串 进行编号，其归纳定义如下： 是顶点标号分别为0和l的完全图 ；当 时， 由两个n-1维交叉超立方体 和 构成； 中的顶点 和 中的顶点 在 中邻接当且仅当
(1)如果n是偶数，xn-2=yn-2，
(2)当 是， .
度量互连网络性能最有用的参数或许是通过该网络将信息从它的源送到目的地的传输延迟(或者时间延迟)。在存储转发型互连网络中，信息从它的源到达目的地往往需要经过若干个中间点的存储和转发才能到达它的目的地。信息的传输延迟或者信号减弱常常与它经过的点数是成比例的。所以，信息传输所经过的点数越小，网络的通信效率就越高。而且，处理器之间的互连费用是随着网络处理器之间的物理连线的增加而增大。图的距离和直径概念在分析互连网络有效性中起了重要作用，为度量网络的传输延迟提供了度量参数。
定义2.1.3[1]在连接两点 和 之间的所有路中，长度最短的路称为最短 路。最短路的长称为点 与点 之间的距离，记为 。参数
称为G的直径。
设x和y是图G中两个不同的顶点。P1，P2，…，Pw是G中w条(x，y)路。如果他们任何两条没有公共的内部交点，那么称他们是内点不交的；如果他们任何两条没有公共的边，那么称他们是边不交的。
a)( , ),
b) ,
c)如果 是偶数, ,
d) 。
Efe给出的这个定义比较复杂,交叉超立方体的结构特性不容易得出。文献[4]指出交叉超立方体中最小圈的长度为4。下面我们给出最小圈的定义。
定义3.2.1.3[5]:记 称 为 的后缀,记为suff(u)= 。
定义3.2.1.4[5]:记 为一个二进制串或者空集,给 加上不同的后缀00,10,11,01 并顺序连结u00,u10,u11,u01组成一个圈,称这样一个长为4的圈为一个最小圈。