高一数学下册知识点学业水平综合测试题40

三角恒等变换（二）1．函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )Ay ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－sin2x ，周期T ＝2π2＝π.2．函数f (x )＝sin x ＋cos x 的最大值是( ) A.12 B.2 C.22 D ．2 B∵f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)， ∴当x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，取得最大值为 2. 3．函数f (x )＝|sin x ＋cos x |的最小正周期是( )A.π4B.π2 C ．π D ．2πC∵f (x )＝|sin x ＋cos x |， ∴f (x )＝2|sin(x ＋π4)|.∵f (x ＋π)＝2|sin(x ＋π＋π4)|＝f (x )， ∴f (x )的最小正周期为π.4．化简2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α的结果为( )A ．tan αB ．tan2αC ．1 D.12B原式＝2sin2α2cos 2α·cos 2αcos2α＝tan2α. 5．若sin α2＝33，则cos α＝( ) A ．－23 B ．－13 C.13 D.23C本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2α2＝1－2(33)2＝13.6．函数f (x )＝sin x －cos x 的递增区间是________． (k ∈Z )∵f (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)， ∴2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2， 即2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )7．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的周期为π2，则ω＝________.2f (x )＝32sin2ωx －1＋cos2ωx 2 ＝32sin2ωx －12cos2ωx －12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12， 则有2π2ω＝π2，∴ω＝2.8．已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1) OQ →＝(cos x ，－1)，定义f (x )＝OP →·OQ →. (1)求f (x )的最小正周期． (2)求f (x )的最大值和最小值． (1)∵f (x )＝OP →·OQ →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)·(cos x ，－1) ＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1 ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，∴函数f (x )＝2sin(x ＋π4)的最小正周期为2π.(2)当x ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z 即 x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )max ＝ 2. 当x ＋π4＝2k π－π2即x ＝2k π－3π4，k ∈Z 时， f (x )min ＝－ 2.9．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12C∵y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－22，12＋22.10．函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)的一个单调递增区间是( )A ．B ．[5π4，9π4]C ．D ．[π4，5π4]By ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故 2π2ω＝π，所以ω＝1.则f (x )＝2sin(ωx ＋π4)＝2sin(x ＋π4)， ∴2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2即2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个增区间是[5π4，9π4]．11．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6C∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B )＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ， ∴3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )． 又A ＋B ＝π－C ， ∴整理得sin(C ＋π6)＝12. ∵0<C <π，∴π6<C ＋π6<7π6. ∴C ＋π6＝5π6.∴C ＝2π3.12、当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝______________5π6由y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)由0≤x <2π⇔－π3≤x －π3<5π3可知－2≤2sin(x －π3)≤2 当且仅当x －π3＝π2时即x ＝5π6取得最大值．13．设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．3本题考查了倍角公式及诱导公式的使用． sin2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∵α∈(π2，π)，故cos α＝－12，∴α＝23π， tan2α＝tan 43π＝tan π3＝ 3.14．关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的周期为π；②直线x ＝π4是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③点⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin2x 的图象．其中真命题的序号是________． ①③f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，则T ＝2π2＝π；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π4＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4不是函数f (x )的最值，则直线x ＝π4不是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8－π4＝0，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心； 将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，不是y ＝2sin2x 的图象，故①③正确，②④错误．15．(2018-2019·北京东城高三期末)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值及f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最大值和最小值．(1)∵f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin(2×π6＋π6)＝2，且函数f (x )的最小正周期为π.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2可知，π6≤2x ＋π6≤7π6， 所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值，最大值为2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )有最小值，最小值为－1. 16．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos 4x .(Ⅰ)求f (x )的最小正周期及最大值；(Ⅱ)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求a 的值． (Ⅰ)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x ＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin(4x ＋π4)所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22. (Ⅱ)因为f (α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1. 因为a ∈(π2，π)， 所以4a ＋π4∈(9π4，17π4)， 所以4a ＋π4＝5π2，故a ＝9π16.17．已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．(1)f (x )＝1－cos2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx＝3sin2ωx －cos2ωx ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋1. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 所以2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.因为0≤x ≤2π3， 所以－π6≤2x －π6≤7π6. 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.因此0≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1≤3， 即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域为．。