平面向量经典习题-提高篇

平面向量：

1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数

λ等于( )

A．－2 B．－1 3

C．－1 D．－2 3

[答案] C

[解析] λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，

∵λa＋b与c共线，

∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.

2.(文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝( )

A．－1 B．－3

C．－3 D．1

[答案] C

[解析] a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，

∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，

∴k＝－3.

(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为( )

A．－6

11B．－

11

6

[答案] C

[解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直，

∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6

11

.

3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为( )

A．150° B．120°

C．60° D．30°

[答案] B

[解析] 如图，在▱ABCD中，

∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.

(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝

3

2

，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )

[答案] A

[解析] ∵|a－b|＝

3

2

，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝

3

4

，

∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，

设|b|＝x，则1＋x2－x＝3

4

，∵x>0，∴x＝

1

2

.

4.若AB→·BC→＋AB→2＝0，则△ABC必定是( )

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

[答案] B

[解析] AB→·BC→＋AB→2＝AB→·(BC→＋AB→)＝AB→·AC→＝0，∴AB→⊥AC→，∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形．

5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( )

A ．－a ＋3b

B ．a －3b

C ．3a －b

D ．－3a ＋b

[答案] B

[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

λ＋μ＝－2λ－μ＝4

，∴⎩⎪⎨

⎪⎧

λ＝1

μ＝－3

，∴c ＝a －3b ，故选B.

(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )

a ＋1

2

b a ＋13

b a ＋14

b

a ＋23

b

[答案] B

[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |

，

∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝2

3|CD |，

∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)

＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋1

3

b .

6. 若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )

A ．19

B ．14

C ．－18

D ．－19

[答案] D

[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935

，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－1935＝－19.

7. 若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( )

A ．12

B ．23

C ．3 2

D ．6

[答案] D

[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝1

2

，y ＝1时成立．

8. 若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 [答案] A

[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1.

9. (文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC

→)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关 [答案] C

[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC

→＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，