专题特殊三角形-讲义

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特殊三角形提高讲义

学生：科目：教师：知识框架（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

3. 等腰三角形中常用的辅助线211231线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

1、直角三角形的基本性质（1）直角三角形的两锐角互余；斜边长大于两直角边；面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的乘积的一半.（2）直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半.(3) 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2、判定直角的一些方法（1）三角形中有两个角互为余角；（2）勾股定理逆定理：三角形中有两条边的平方和等于第三条边的平方，则该三角形是以第三边为斜边的直角三角形;（3）若三角形一条边上的直线等于这条边的一半，则该三角形是直角三角形. 3、勾股定理的推广.4、两类特殊的直角三角形的三边关系（1）45,45,90的直角三角形（2）30,60,90的直角三角形B /A /EDCBAGFED CBANMCBA【例题精讲】1 利用“等边对等角”性质求角例1 如图，,AA BB 分别是,EAB DBC 的平分线，若AA BB AB ，求BAC 的度数.拓展训练 1、如图，在ABC 中，AB BC ,在BC 上取点M ，在MC 上取点N ，使MNNA ，若BAMNAC ，求MAC 的度数.2、如图，,AE AD 是直线，且AB BC CD DE EF FG GA ，求DAE 的值.3、已知ABC 的三角形的边长的长分别为,,a b c ，且a abc b cbca，试判定ABC 的形状.PDCBADCBAAQP FE DCBA4、在ABC 中，已知ABAC ，且过ABC 某一顶点的直线可将ABC 分成两个等腰三角形，求ABC 各内角的度数.5、四边形ABCD 中，ABDC ,,E F 分别是,BC AD 的中点，EF 交,BA DC 于,P Q ,求证：BPECQF .2、等腰三角形中的全等构造例 2 在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，BPAD ，垂足是P ，已知5,2,9ABBPAC，求证：3ABCC .例3 如图，在四边形ABCD 中，ABAD ,若2360BAD BCD,求证：AB AD AC例4 如图，在ABC 中，AB AC ,D 是BC 上一点，求证：22DB DCAB AD .FD CBAMDCBAFEDCBADCA拓展练习 1、如图，在ABC 中，7,11ABAC,点M 是BC 的中点，AD 是BAC 的平分线，MF∥AD ,求FC 的长.2、如图，ABC 中，AD BC 于D ，AB BD CD ,求证：2B C3、如图，在ABC 中，46ABC ,D 是BC 上一点，DC AB ,21DAB,求CAD的度数.3、等边三角形中的几何问题例5 如图，ABC 中，分别以,,BC CA AB 为边向外作等边三角形，记,,D E F 分别是等边三角形的中心.(1)求证：DEF 是等边三角形.(2) 若4,5,6BC CAAB，求DEF 的面积.PCBAFEDCBAFEDC BAMB例6 边长为a 等边ABC 中，,D E 是边,BC CA 上的点，AD 与BE 交于点F .(1) 若BD CE ,AFB 的度数.(2) 13BD CE a ，求证：CFAD .拓展训练1、一个六边形的六个内角均为120，连续四边的长依次是1,3,3,2，求该六边形的周长和面积.2、P 是等边ABC 内一点,3,4,150PA PB APB ，求PC 的长.3、如图，菱形ABCD 中，120BAD ,,E F 是,BC CD 边上的点，若AEF 中有一个内角是60，求证：AEF 是等边三角形.4、构造等边三角形解题例7 如图，ABC 中，44BAC BCA ,M 为ABC 内一点，使得30,16MCAMAC ，求BMC 的度数.DCBA DCBADCBAQPA拓展练习1、ABC 中，AB AC ,80BAC,O 为ABC 内一点，且10,OBC20,OCA求BAO 的度数.2、如图，在等腰ABC 中，AB AC ,20A ,在边AB 上取点D ，使得AD BC ，求BDC 的度数.例8 如图，在ABC 中，90,30,C CAD AC BCAD .求证：.CDBD .拓展练习 1、如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ,D 是ABC 内一点，且15DACDCA ，求证：BD BA .练习题1、在ABC 中，12,132,ABC ACB BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和AB 上，则（）.A BMCN .B BM CN.C BM CN .D ,BM CN 的大小关系不能确定.QPCBAEDCBAPCBANMCBA2、如图，已知等腰ABC 中，,,ABAC P Q 分别是,AC AB 上的点，且APPQQBBC ，求PCQ 的度数.3、如图，在ABC 中，60,40BAC ACB ,,P Q 分别在,BC CA 上，并且,AP BQ 分别是,BAC ABC的角平分线，求证：AQBQ AB BP .4、如图，ABC 中，60B ,延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AEBD ，联接,CE DE ，若CEDE ，求证：ABC 是等边三角形.5、如图，ABC 中，40ABC ACB , P 为ABC 内一点，使得20PCAPAB，求BPC 的度数.二讲解例 1 如图，ABC 中，,90AB AC BAC ,,M N 在BC 上，45MAN求证：222BM CN MNCBAF EDCBADCBADPCBAD拓展练习 1、如图，在ABC 中，90A,D 是斜边BC 的中点，DEDF ，求证：222EF BE CF2、在四边形ABCD 中，30,60,ABC ADC AD CD .求证：222BD AB BC例2 如图，四边形ABCD 中，2222AB CD AD BC ,求证：ACBD拓展练习1、如图，P 是矩形ABCD 内一点，若4,5,6PB PC PD,求PA 的长.DCBADCBADCBA2、ABC 中，13,14,15AB BCCA,求ABC 的面积.3、ABC 中，边,,BC CA AB 分别为,,a b c ，求BC 边上的中线a m .例3 在四边形ABCD 中，60,90,8,7A B D AD AB ,求BCCD .拓展练习1、在四边形ABCD 中，90,23,6,3BAD AB BC AC AD ,求CD 的长.2、如图，在ABC 中，45BAC ,AD BC 与点D ,4,3BD CD ，求ABC 的面积.个性化辅导讲义11HGFEP DCBAFEDCBAHGNMP D CBA3、P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作,,,AB BC CD DA 的垂线，垂足分别为,,,E F G H ，已知3,4,1,5,6,4,AH HD DG GC CFFB且1BEAE.求四边形ABCD 的周长.例3分别以锐角ABC 的边,,AB BC CA 为斜边向外作等腰直角三角形,,DAB EBC FAC ，求证：（1）AEDF ；（2）AEDF拓展练习如图，P 是正方形内一点，过点P 作边,,,AB BC CD DA 的垂线，垂足分别为,,,M N G H 若四边形PNCG 的面积是四边形PMAH 面积的二倍，求GAN 的度数.。

2022秋八年级数学上册第十七章特殊三角形17.1等腰三角形1等腰三角形的性质授课课件新版冀教版

BC AC,
在△PCB和△ECA中，∵
BCP
ACE
,
P C E C ,
∴△PCB≌△ECA（SAS）. ∴∠ABC＝∠CAE，
∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BC.
知4－练
2 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；
②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数
总结
知2－讲
证明两条线段相等时，通常利用全等三角形来证，此种方法先观察要证明相等的两个角分别属于哪两个三角形，设法证明这两个三角形全等，最后根据全等三角形的对应边相等可得结论.
知2－练
1 [中考·宿迁]如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥ BC. 求证：∠C＝2∠D.
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABD＋∠CBD＝2∠D，即∠ABC＝2∠D.∴∠C＝2∠D.
为( A )
A．3 B．2 C．1
D．0
等腰三角形中求角的度数的“三种方法” (1)利用等边对等角得相等的角. (2)利用三角形外角等于与其不相邻的两内角之和导出
各角之间的关系. (3)利用三角形内角和定理列方程.
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂
AB AC(已知)，
∵ 12(角平分线的概念)，
AD AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACF(SAS). ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
归纳
知2－导
等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
知2－讲
例2 已知：如图，在△ABC中， AB = AC，BD，CE

勾股定理第十七章特殊三角形第1课时

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(2)如图②，分别以直角三角形ABC 的
三边长为直径向三角形外作三个半圆，
则这三个半圆形的面积之间的关系式是
S1 S 2 S3
.(用图中字母表形、半圆及正多边形、圆都具有相同的
结论：
两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．
本例考查了勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细
4
当AB为斜边时，如图，
当BC为斜边时，如图，
3
C
图
4
AA
3
图
方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先
明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.
C
随堂演练
1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则
△ABC的斜边AB的长是
A.20
B.10
C.9.6
(
)
A
D.8
2.下图中,不能用来证明勾股定理的是( D )
第十七章特殊三角形
勾股定理
第1课时
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特殊三角形

特殊三角形知识定位特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。

特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理三角形类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“R t△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）2、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

浙教版八年级上册第2章特殊三角形全章复习课件

知识结构框架图如下:
等腰三角形
等腰三角形的性质: 轴对称性
在同一个三角形中, 等边对等角
底边上的高、中线、顶角平分线三线合一
特
殊
三角
等边三角形
形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形的判定方法: 在同一个三角形中,等角对等边
等边三角形的性质和判定直角三角形的性质
直角三角形的判定
两个锐角互余
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
又会有几个等腰三角形？
A
BE＋CF=EF仍然成立吗？
E
OF
B
C
例2、如图，AB=AD，BC=CD，AC，BD 相交于E点，由这些条件你能推导出哪些结论呢？请说明理由。
D
A
E
C
B
在网格中已有两个点A、B，现要在格点上寻找一个点C，使△ABC为等腰三角形。
① 已知BC=7cm，
D是AB的中点，CD
AD平分∠CAB，BC=10，
BD=7，求点D到
E
AB的距离为﹍3﹍﹍。
解: 过D作DE⊥AB于点E C
D
B
∵∠C= 90°， DE⊥AB ,AD平分∠CAB，
∴CD=D(E角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵ BC=10，BD=7
∴DE=CD=BC-BD=10-7=3
2 .如图，D为等腰三角形ABC底边BC
有两个角互余的三角如果三角形中两边的平方和等于第三边的平
形是直角三角形
方，那么这个三角形是直角三角形
形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形的判定方法: 在同一个三角形中,等角对等边
等边三角形的性质和判定直角三角形的性质

针角三角形的定义-概述说明以及解释

针角三角形的定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述针角三角形是一种特殊的三角形，它具有独特的性质和特点。

在几何学中，针角三角形是一种三个角都小于90度的三角形，也就是说，它的每个角都是锐角。

这与普通的三角形不同，普通三角形有可能存在直角三角形或者钝角三角形，而针角三角形则全部为锐角。

针角三角形的定义在一定程度上影响了它的性质和应用。

本文将深入探讨针角三角形的定义、性质和应用，希望读者通过本文的阐述能够更加全面地了解这一特殊类型的三角形。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍针角三角形的定义，包括其基本概念和特征；接着将探讨针角三角形的性质，如内角和等于180度、对顶边相等等；最后将探讨针角三角形在几何学中的应用，如在计算几何、机械设计等领域的具体运用。

通过对针角三角形的深入探讨，希望读者能更好地理解这一几何形状的特点和应用价值。

1.3 目的目的部分:本文旨在深入探讨针角三角形的定义、性质和应用，通过对针角三角形的研究，帮助读者更好地理解这一特殊类型的三角形，在数学领域的应用以及实际生活中的运用。

同时，通过本文的阐述，读者可以更好地理解三角形的形态和性质，提升数学思维和解题能力。

希望本文能够为读者提供全面而实用的知识，引发对数学的兴趣并启发进一步探究针对三角形的研究。

2.正文2.1 针角三角形的定义：针角三角形是一个特殊类型的三角形，它的三个角分别为一个锐角、一个直角和一个钝角。

具体来说，针角三角形是指其中一个角小于90度，一个角等于90度，另一个角大于90度的三角形。

在针角三角形中，直角是最明显的角，通常被放在三角形的右下角。

直角是一个90度角，它表示三角形的一条边与另一条边相垂直。

另外，钝角是另外一个大于90度的角，它通常被放在三角形的左上角或左下角。

钝角表示三角形的一条边与另一条边形成一个较大的夹角。

最后，锐角是三角形中的最小角，它通常被放在三角形的右上角。

锐角表示三角形的两条边之间形成一个较小的夹角。

初中数学特殊三角形复习讲义

等边”）．
数学语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
要点诠释：
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化
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2
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学习，为了追寻更好的自己！
为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相
类型六：直角三角形的性质运用 1、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的个数有（）
A．1 个
B．2 个
性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
４.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情
况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对
授课标题特殊三角形复习
1、熟记并理解运用特殊三角形的判定和性质学习目标 2、准确运用性质进行分类讨论
3、掌握直角三角形的补充性质并灵活运用三线合一的运用重点难点分类讨论问题
教学负责人签字处
1
学习，为了追寻更好的自己！
本次课课堂教学内容
一、知识点梳理
要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，

中考总复习：特殊三角形--知识讲解(提高)

中考总复习：特殊三角形—知识讲解（提高）
【考纲要求】
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】
1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．
2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．
3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．
【思路点拨】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【答案与解析】
解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°，
3．判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
要点诠释：
(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．
考点二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
∴ AB•PE+ AC•PF= AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.

中考数学复习第17讲三角形及特殊三角形课件

第17讲三角形及特殊三角形。第17讲三角形及特殊三角形。考点1 等腰三角形的定义及性质。┃第一环节：知识回顾(huígù) ┃。考点3 等边三角形的性质及其判定。考点3 直角三角形的定义、性质和判定。┃知识回顾 (huígù) ┃。┃第五环节：总结提升┃。1、学生针对达标检测的题目进行互改、合作、交流，不懂或做错的题目在小组
勾股数
能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数
2021/12/8
第五页，共二十二页。
第二(dìèr)环节：达标检测
课本(kèběn)P68 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
2021/12/8
第六页，共二十二页。
第三环节(huánjié)：交流展示
小组合作(hézuò)讨论第二环节题目
4．已知等腰△ABC 的腰 AB＝AC＝10 cm，底边 BC＝ 12 cm，则△ABC 的角平分线 AD 的长是__8______cm.
2021/12/8
第十二页，共二十二页。
5．如图 17－3，已知 D、E 是等腰△ABC 底边 BC 上两点，且 BD＝CE.求证：∠ADE＝∠AED.
证明：在等腰△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 又∵BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)． ∴∠ADB＝∠AEC. ∴∠ADE＝∠AED.
度数是( B ) A．20° B．30° C．35° D．40°
2．如图 17－2，坐标平面内一点 A(2，－1)，
O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以
点 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，
那么符合条件的动点 P 的个数为( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
3．等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程 x2－5x＋6 ＝0 的两个解，则这个等腰三角形的周长是__7_或__8___．

魏彩虹《三角形的基本性质+特殊三角形》复习讲义

21D CB AD CBA⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．⒉ 三角形的分类：(1)按边分类： (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．课题中考总复习 : 三角形基本性质、特殊三角形教学内容三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形 _C_B _AD CB A（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；③三角形三条高所在直线交于一点．4. 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.5.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．6. 三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180 ;图3图4 图5 图6图7(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。

八年级(上)培优讲义：第7讲特殊三角形(4)

第7讲:特殊三角形4（综合运用与本章小结）一、新知建构二、经典例题例1．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图) ．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于（）A． 4 B． 5C． 6 D．14例2．现在给出两个三角形（如图），请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．（画出示意图）l321S4S3S2S1例3．如图，AD ∥BC ，∠A =90°，E 是AB 上一点，∠1=∠2，AE =BC ，请说明∠DEC =90°．例4.．一圆柱体的底面周长为16cm ，高AB 为6cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．例5.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠B =90度，E 是AB 上一点，且AE =BC ，∠1=∠2 （1）Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？请说明理由；（2）AB ＝AD ＋BC（3）△CDE 是不是直角三角形？请说明理由。

21EDCBA例6.如图1，D 是边长为4㎝的等边△ABC 的边AB 上的一点，DQ ⊥AB 交边BC 于点Q ，RQ ⊥BC 交边AC 于点R ，RP ⊥AC 交边AB 于点E ，交QD 的延长线于点P . （1）请说明△PQR 是等边三角形的理由；（2）若BD =1.3㎝，则AE = ㎝（3）如图2，当点E 恰好与点D 重合时，求出BD 的长度。

三、基础演练1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A ．等边三角形B ．角C ．等腰三角形D ．直角三角形 2．下列判断正确的是（）A ．顶角对应相等的两个等腰三角形全等B ．腰对应相等的两个等腰三角形全等C ．有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等D ．顶角和底边分别对应相等的两个等腰三角形全等3．已知一个三角形的周长为15cm ，且其中两条边长都是第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．如图，△ABC 中，AB =AC ，过AC 上一点作DE ⊥AC ，EF ⊥BC ，若∠BDE =140°，则∠DEF =（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°C5．已知△ABC中，AB=AC，且∠B=α，则α的取值范围是（）A．450≤<αB．900<<αC．9045<<αD．9045<≤α6．如图，CD是AB CRt∆斜边AB上的高，将∆BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25 B．30 C．45 D．607．等腰三角形的一个角为40º，则它的底角=_______．8．等腰三角形一边长为1cm，另一边长为5cm，它的周长是cm．9．如图，,90=∠BCA CD⊥AB，DE⊥BC，则图中与∠A互余的角有个．10．如图，△ABC为等腰直角三角形，D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点，则图中共有个等腰直角三角形．11．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为______，腰上的高为．12．现用火柴棒摆一个直角三角形，两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒，则斜边需要用根．13．如图，B、C是河岸两点，A是对岸一点，测得,45=∠ABC,45,60=∠=BACmBC则点A到岸边BC的距离是m.14．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用yx,表示直角三角形的两条直角边()yx>．①;4922=+yx②;13=+yx③;2=-yx④.4942=+xy则上面关系式中正确的是．（写出编号）15．等边三角形的边长为2cm，那么它的面积是2cm．BADCFEBAD C四、直击中考1.（2014十堰））如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD =2∠ACB ．若DG =3，EC =1，则DE 的长为（） A ．2 B ．C ．2D ．2. （2014淄博）如图，矩形纸片ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE =1，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ．则矩形的一边AB 的长度为（） A ． 1 B ．C ．D ．23.（2014凉山州）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为．4.（2014潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．五、能力提升1．在△ABC 中，∠C =90°，BC =60cm ,CA =80cm ,一只蜗牛从C 点出发，以每分20cm 的速度沿CA －AB －BC 的路径再回到C 点，需要_______分钟时间.2. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是_________. 3．下列说法中错误的是（）A . 在△ABC 中，若B AC ∠-∠=∠，则△ABC 为直角三角形 B . 在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C =5∶4∶3，则△ABC 为直角三角形 C . 在△ABC 中，若c b c a 8.0,6.0==，则△ABC 为直角三角形D . 在△ABC 中，若5:4:3::=c b a ，则△ABC 为直角三角形 4．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，若AB =3，BC =5，则DC的长度是（•）A.85B.45C.165D.2255．下列说法中：①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；⑤△ABC中三边为cba,,满足()()()0=---accbba，则这个三角形是等边三角形．正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，已知正方形ABCD的边长为1，以AE为折痕，使AD落在AC上，DE的长为（）A B. 17．如图，在44⨯的方格中，求F到8．如图，在ABC∆中，ACAB=，︒=∠100BAC，求DEC∠的度数．9．两个全等的含有60,30角的三角尺ADE 与三角尺ABC 如图放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME 、MC ．试判断EMC 的形状，并说明理由．10．探险队的A 组由驻地O 出发，以h km /12的速度前进，同时，B 组也由驻地O 出发，以h km /9的速度向另一个方向前进，h 2后同时停下来，这时A 、B 两组相距km 30，那么A 、B 两组前进的方向成直角吗？六、挑战竞赛1.如图，在△ABC 中，AB =16，点M 、N 分别是BC 、AC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FN 的长为．2.如图是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC 的三个顶点落在小正方形的顶点上．在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC 成轴对称的三角形共有 ( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3.如图，ABC ∆为等边三角形，D F 、分别是BC AB 、上的点，且CD BF =,以AD 为边作等边ADE ∆。

初中数学专题27 特殊三角形【考点精讲】

第四部分　三角形数学专题27 特殊三角形知识导航知识精讲考点1：等腰三角形的性质与判定1．定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质:①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的两底角相等，即“等边对等角”;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线. 3．判定:①有两条边相等的三角形是等腰三角形;②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.B15°或75°针对训练B10或11知识精讲考点2：等边三角形的性质与判定1．定义:三边相等的三角形是等边三角形.2．性质:①等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;② “三线合一”;③等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.3．判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.方法技巧（1）等边三角形与全等三角形的结合运用;（2）等边三角形与含30°角的直角三角形的结合运用.针对训练B知识精讲考点3：直角三角形的性质1．性质:①直角三角形的两锐角互余;②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;③直角三角形中,斜边上的中线长等于斜边长的一半.2．判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.140°针对训练B知识精讲考点4：勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.12方法技巧（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.（3）用于证明平方关系的问题.针对训练DC按ESC键退出全屏播放。

特殊三角形基本知识点整理

特殊三角形基本知识点整理三角形是几何学中的基本形状之一，由三条边和三个内角组成。

在三角形中，有一些特殊的三角形具有独特的性质和特点。

本文将整理特殊三角形的基本知识点，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形。

一、等边三角形（Equilateral Triangle）等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

它具有以下特点：1. 所有的内角都是60度。

2. 任意两条角平分线，中点和顶点连线，三条线段相等。

3. 等边三角形的高、中线、角平分线、垂直平分线、中位线都是同一条线段。

二、等腰三角形（Isosceles Triangle）等腰三角形是指有两条边的长度相等的三角形。

它具有以下特点：1. 两个底边的角度相等。

2. 等腰三角形的高、中线、角平分线、垂直平分线、中位线都是同一条线段。

3. 等腰三角形的顶角为底角的一半。

三、直角三角形（Right Triangle）直角三角形是指有一个角为90度的三角形。

它具有以下特点：1. 直角三角形的两条边相互垂直，被称为直角边和斜边。

2. 两个锐角的和为90度。

3. 根据毕达哥拉斯定理，直角三角形的直角边的平方和等于斜边的平方。

四、等腰直角三角形（Isosceles Right Triangle）等腰直角三角形是指既是等腰三角形又是直角三角形的三角形。

它具有以下特点：1. 有一个角为90度。

2. 两个底边的角度相等。

3. 两个直角边的长度相等。

五、30-60-90特殊直角三角形（30-60-90 Special Right Triangle）30-60-90特殊直角三角形是指角度分别为30度、60度和90度的直角三角形。

它具有以下特点：1. 边长比例为1：√3：2。

2. 边长关系如下：斜边=2倍短边，长边=√3倍短边。

六、45-45-90特殊直角三角形（45-45-90 Special Right Triangle）45-45-90特殊直角三角形是指角度分别为45度、45度和90度的直角三角形。

2020数学中考备考-第17讲特殊三角形

思路点拨:(2)根据“等边对等角”和平行线的性质得到∠BAD=∠F,再根据 “等角对等边”求证. 解:(2)∵EF∥AC, ∴∠F=∠CAD, 又∵∠BAD=∠CAD, ∴∠BAD=∠F, ∴AE=FE.
等边三角形
[例2]如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,DE∥AB,过点E作 EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数;
在Rt△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD=1.5π,
∴ AC= 32 ( 3 π)2 = 3 4 π2 ,
2
2
故选C.
5.(2019广安)等腰三角形的两边长分别为6 cm,13 cm,其周长为 32 cm.
解析 : 由题意 , 知应分两种情况 :(1) 当腰长为 6 cm 时 , 三角形三边长为 6,6,13,6+6<13,不能构成三角形;(2)当腰长为13 cm时,三角形三边长为 6,13,13, ∴周长为2×13+6=32 cm.
思路点拨:(1)根据平行线的Байду номын сангаас质可得∠EDC=∠B=60°,根据三角形内角和定理即可求解; 解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°, ∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°, ∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°, ∴∠F=90°-∠EDC=30°.
(2)若CD=2,求DF的长. 思路点拨:(2)易证△EDC是等边三角形,再根据直角三角形的性质即可求解. 解:(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°, ∴△EDC是等边三角形. ∴ED=DC=2, ∵∠DEF=90°,∠F=30°, ∴DF=2DE=4.
规范解答:
证明:∵AD∥BC, ∴∠EAO=∠FCO,