方法技巧5 离散型随机变量的应用

方法技巧5 离散型随机变量的应用

【考情快递】 主要考查离散型随机变量的分布列、期望与方差的应用，常以解答题形式出现． 方法1：公式法

解题步骤 直接用公式计算离散型随机变量的分布列、期望与

方差．

适用情况

适用于可直接用公式求解的问题.

【例1】►(2012·黄冈中学月考)某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，并进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案，参加者每次从盒中抽取两张卡片，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．

(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是1

3.求抽奖者获奖的概率；

(2)现有甲、乙、丙、丁四个人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及E (ξ)，D (ξ)． 解 (1)设“世博会会徽”卡有n 张， 由C 2n

C 210＝13

，得n ＝6，故“海宝”卡有4张， 抽奖者获奖的概率为C 24

C 210＝215

.

(2)由题意知，符合二项分布，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，215，故ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 4

⎝ ⎛⎭

⎪⎫215k ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫13154－k

(k ＝0,1,2,3,4)或 ξ 0 1 2 3 4 P

⎝ ⎛⎭

⎪⎫13154 C 14215⎝ ⎛⎭

⎪⎫13153 C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫2152⎝ ⎛⎭

⎪⎫13152 C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫2153⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1315 ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2154 由ξ的分布列知，E (ξ)＝4×

215＝815

，

D (ξ)＝4×

215×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－215＝104

225

.

方法2：方程法

解题步骤

① 利用题干条件列方程；

②利用方程计算概率问题．

适用情况

适用于基本事件的个数可以用集合理论来说明的问题.

【例2】►某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为

512，至少一项技术指标达标的概率为11

12

.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．

(1)求一个零件经过检测，为合格品的概率是多少？

(2)依次任意抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？

(3)依次任意抽取该零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ. 解 (1)设A 、B 两项技术指标达标的概率分别为P 1、P 2，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ P 1·(1－P 2)＋P 2·(1－P 1)＝512，1－(1－P 1)(1－P 2)＝1112

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

P 1＝3

4，P 2＝23，

或⎩⎪⎨

⎪⎧

P 1＝2

3，P 2＝34，

所以P ＝P 1P 2＝1

2

，

即一个零件经过检测，为合格品的概率为1

2

.

(2)任意抽出5个零件进行检测，其中至多3个零件是合格品的概率为1－C 45⎝ ⎛⎭

⎪

⎫125

－C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝1316

. (3)依题意知ξ～B ⎝

⎛⎭⎪⎫

4，12，

故E (ξ)＝4×12＝2，D (ξ)＝4×12×1

2＝1.

方法运用训练5

1．(2011·雅礼中学英特班质检)A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片．规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止．设X 表示游戏终止时掷硬币的次数． (1)求X 的取值范围； (2)求X 的数学期望E (X )．

解 (1)设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，

则⎩⎨⎧

|m －n |＝5，

m ＋n ＝X ，1≤X ≤9，

可得：

当m ＝5，n ＝0或m ＝0，n ＝5时，x ＝5. 当m ＝6，n ＝1或m ＝1，n ＝6时，X ＝7. 当m ＝7，n ＝2或m ＝2，n ＝7时，X ＝9. 所以X 的所有可能取值为：5,7,9. (2)P (X ＝5)＝2×⎝

⎛⎭⎪⎫125＝2

32＝116； P (X ＝7)＝2C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝5

64； P (X ＝9)＝1－116－564＝55

64

； E (X )＝5×

116＋7×564＋9×5564＝27532

. 2．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为1

2，且各局胜负相互独立，求：

(1)打满3局比赛还未停止的概率；

(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E (ξ)．

解 令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．

(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为

P (A 1C 2B 3)＋P (B 1C 2A 3)＝123＋123＝1

4.

(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且 P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝122＋122＝1

2，

P (ξ＝3)＝P (A 1C 2C 3)＋P (B 1C 2C 3)＝123＋123＝1

4，

P (ξ＝4)＝P (A 1C 2B 3B 4)＋P (B 1C 2A 3A 4) ＝124＋124＝18

， P (ξ＝5)＝P (A 1C 2B 3A 4A 5)＋P (B 1C 2A 3B 4B 5) ＝125＋125＝116

， P (ξ＝6)＝P (A 1C 2B 3A 4C 5)＋P (B 1C 2A 3B 4C 5) ＝125＋125＝116，

故有分布列

ξ 2 3 4 5 6 P

12

14

18

116

116

从而E (ξ)＝2×12＋3×14＋4×18＋5×116＋6×116＝47

16

(局)．

3．在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结