7学年高二10月月考数学试题(附答案) (1)
上海市上海交通大学附属中学闵行分校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
交大附中闵行分校高二月考数学试卷2024.10一.填空题1. 已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为，则椭圆的标准方程__________.2. 两定点，，动点满足，则动点M 的轨迹方程为______.3. 已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率为___________.4. 已知双曲线渐近线与圆相切，则_________.5. 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.6. 若点到直线l ：的距离为d ，则d 的取值范围是______．7. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P ，使，则椭圆的离心率e 的取值范围为__________.8. 已知双曲线，过点作直线和双曲线交于A ，B 两点.点A 在第一象限，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，则直线倾斜角的取值范围是__________.9. 已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为______．11. 双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另的x 13()15,0F -()25,0F (),M x y 128MF MF -=()2222:10x y C a b a b +=>>()20，312⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ()22210x y a a -=>22430x y y +-+=a =C 2221(0)9x y b b +=>1F 2F 2F C ,A B 1F AB V b ()2,1P --()()131225x y λλλ+++=+22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F 12120F PF ∠=︒22:41C x y -=(0,0)l C BH 2222x y 1(a b 0)a b +=>>2222x y 1(m 0,n 0)m n -=>>22198x y -=1F 2F 2F A B 120AF AF ⋅= 2220F B F A += 1F AB V一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为_________.12. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为 ______.二.选择题13. 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）A 关于轴对称 B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于原点中心对称14. 已知点，，点P 为椭圆上动点，则的最小值为（ ）A. B. C.D. 15. 如图，已知双曲线的左焦点为F ，过点F 的直线垂直于双曲线C 的一条渐近线，并分别交两条渐近线于两点(其中点A为垂足)，且点分别在第二、三象限内.若，则双曲线C 的渐近线方程为（）.的()2222:10x y C a b a b -=>，C F P Q ，M N 12cos 13PM PQ PM PQ PQN ∠+=-=- ，C 2219x y +=2220x xy y -+=x y y x =()0,1A ()10B ,22:143x y C +=PA PB +4+4-22-2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>l ,A B ,A B ||3||7AF FB =A. B. C. D. 16. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 三.解答题17. 已知圆关于直线对称，且过点．（1）求证：圆与直线相切；（2）若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程．18. 如图：已知椭圆的内切圆的一条切线交椭圆于A 、B ,且切线AB 与圆的切点Q 在轴右侧．是椭圆的右焦点．（1）设点，试用两点间距离公式推导的表达式（用 与的式子表示）；（2）判断的长是否为定值?如果是定值,求出此定值;如果不是,请说明理由．y x =y =y =y x =2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F ，1F C A B ，125tan 12F BF ∠=()22:00C x y ax by a ++-=>2y x =-()0,8P C 2160x y +-=l ()1,0C A B 、AB 4=l 22122:1(0)x y C a b a b+=>>2222:C x y b +=y (,0)F c 00(,)A x y AF 0x ,a c AQ AF +19. 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M 的轨迹方程为．（1）求的方程；（2）过上的点P 作圆的切线PT ，T 为切点，求的最小值；（3）已知点，直线交于点A ，B ，上是否存在点C 满足若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．20. 已知直线与椭圆有且只有一个公共点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值.(,)Mx y 1:l y =2:l y =34||||y x <ΓΓΓ22:(4)1Q x y +-=||PT 40,3G ⎛⎫ ⎪⎝⎭:2(0)l y kx k =+>ΓΓ0GA GB GC ++= 0x y ++=222:1x E y a+=E λE P Q 20x y λ--=λE ABCD AC BD S ABCD S交大附中闵行分校高二月考数学试卷2024.10一.填空题【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】##05【4题答案】【5题答案】【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】【8题答案】【答案】【9题答案】【10题答案】【答案】【11题答案】.2213632x y +=221(0)169x y x -=>12⎡⎣⎫⎪⎪⎭π(0,)41+24【12题答案】【答案】20二.选择题【13题答案】【答案】D【14题答案】【答案】B【15题答案】【答案】B【16题答案】【答案】A三.解答题【17题答案】【答案】（1）证明略（2）或．【18题答案】【答案】（1） （2）是定值，定值为.【19题答案】【答案】（1） （2）2 （3）【20题答案】【答案】（1）（2）存，（3）在0y =247240x y --=0c AF a x a=-⋅a 2213y x -=34C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2212x y +=⎛ ⎝169。
山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（ ）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（ ）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
河北省鸡泽县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 (含答案)
2024~2025学年度高二上学期10月月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设直线的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）A.B.C.1D.23.已知直线与平行，且过点，则（ ）A.B.3C.D.24.如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ）A. B.:80l x +=αα=30 60 120 150α()4,2,n m =- l ()1,3,2u =--l ∥αm =2-1-1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=2l ()3,1-ab=3-2-P ABC -G ABC V M PG 3PM MG =,,PA a PB b PC c === AM =311444a b c -++ 311434a b c-++C. D.5.已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（）A. B.C. D.6.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（）7.已知实数满足，且，则的取值范围为（）A. B.C. D.8.在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（）D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间向量，且，则下列说法正确的是（）111444a b c-++111434a b c-++()1,5-220x y-+=()2,72110x y+-=410x y--=4150x y+-=90x y+-=111ABC A B C-ABCV1AA=2AB=C1AB ,x y21y x=-12x-……63yx--[)9,3,4∞∞⎛⎤--⋃+⎥⎝⎦93,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)9,3,4∞∞⎛⎤-⋃+⎥⎝⎦9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦P ABC-3PA AB==M()2PM xPA yPB x y PC=++--AM ()()()1,2,3,23,0,5,2,4,a abc m=+=-=a ∥cA.B.C. D.10.已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）A.始终过定点B.若，则或C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限11.如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹长度为B.点到平面的距离是定值C.直线与平面D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为__________.13.已知向量，若共面，则__________.14.如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为b = 6m =()2b c a +⊥cos ,b c <>= 1:0l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=2l 21,33⎛⎫⎪⎝⎭1l ∥2l 1a =3-12l l ⊥0a =0a >1l 1111ABCD A B C D -,P M 1111A B C D AP BM AC =⊥P πM 1A BD CP ABCD PM 1()3,1P l x y l ()()()3,2,3,1,3,2,7,0,a b c λ=-=--= ,,a b cλ=111ABC A B C -12,AB AA M ==11B C N的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知的顶点坐标为.（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程.16.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与直线的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.AM CN 11ABB A ABC V ()()()1,6,3,1,4,2A B C ---D AC BD AB 111ABC A B C -1,AB AC AB AC AA ⊥==,E F 11,AB A B AF ∥1B CE 1C E AF 1111ABCD A B C D -ABCD 11,2AC DB AA ⊥==P 1DD 12DP PD =（1）求证：四边形为正方形；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知直线过定点.（1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程；（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上存在一点，使直线与平面，求的长.ABCD 1AD PAC ()1:340l kx y k k ---=∈R P P 2l 1l x A y ,B ABO V S O S 1l P ABCD -ABCD 90,1,2,60,30ADC BCD BC CD PD PDA PAD ∠∠∠∠======= PAD ⊥ABCD ABCD B BO AD ⊥AD O PO PO ⊥ABCD A PB C --PA M BM PAD PM2024~2025学年度高二上学期10月月考·数学参考答案、提示及评分细则1.A 因为直线的斜率为，又，.故选A.2.B 因为，所以，所以，解得.故选B.3.D 因为直线与直线平行，，解得，直线过，则得，经验证与不重合，.故选D.4.A 因为为的重心，所以，又点是线段上的一点，且，所以.故选A.5.C 点关于对称的点设为，则，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为，即，故选C.6.C 取的中点，则，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，所以在上的投影的长度为，:80l x +=k =tan α=0180α< …30α= l ∥αn u ⊥ 4620n u m ⋅=-++= 1m =-1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=12121313,,22k k k k a a=-=-=⇒-=-6a =2:l ()3,1-960b -++=3b =1l 2l 2ab∴=G ABC V ()()()1112333AG AB AC PB PA PC PA b c a =+=-+-=+-M PG 3PM MG =()()1131311132444443444AM AG GM AG GA AP PA AG a b c a b c a =+=++=-+=-+⨯+-=+-()1,5-220x y -+=(),x y ()51312351202y x x y y x -⎧=-⎪=⎧⎪+⇒⎨⎨=+⎩⎪--+=⎪⎩()()733,3,2,7,423k -==--()433y x =--+4150x y +-=AC O ,BO AC BO ⊥=O xyz -()()10,1,0,,0,1,0A B C -()1,0,2,0AB CA ==-CA 1AB11CA AB AB ⋅==故点到直线的距离为.故选C.7.D 由于点满足关系式，且，可知在线段上移动，且，，设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是，故选D.8.B 延长至点，使得，所以，又由，所以四点共面，所以的最小值为点到平面的距离，又点是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，又，易得点到平面的距离为，所以.故选B.9.ABD ，故A 正确；，设，故B 正确；，故C 错误；，故D正确.故选ABD.10.ACD11.BCD 因为，所以，即点在底面C 1AB d ==(),x y 21y x =-12x -……(),x y AB ()1,3A --()2,3B ()3,6Q ()()63963,331432QA QB k k ---====---(),x y AB 63y x --9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,PA PB PC ,,D E F 2,2,2PD PA PE PB PF PC ===()()22222x y x y PM xPA yPB x y PC PD PE PF --=++--=++ ()21222x y x y --++=,,,M D E F AM A DEF A PD A DEF P DEF 6PD PE PF DE DF EF ======P DEF AM ()()()1,2,3,23,0,5,2,1,1,a a b b b =+=-∴=--∴== ()2,4,,c m a = ∥c 121,24263a c m m λλλλλ=⎧⎧=⎪⎪=∴=⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩()()22,2,8,2212283260b c a b c +=-⋅+=-⨯+⨯+⨯=≠cos ,b c b c b c⋅<>===⋅AP ===11A P =E内是以为圆心､半径为1的圆上，所以点的轨迹长度为，故A 错误；在正方体中，，又平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，又平面，所以点到平面的距离是定值，故B 正确；因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，又，所以直线与平面所成角的正切，故C 正确；到直线的距离为落在上时，，故D 正确.故选BCD.12.答案见错题集13.5 因为共面，所以存在实数，使得，即，即14. 取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，且，因为为的中点，故，于是，平面的一个法向量为，1111A B C D 1A 14P π21111ABCD A B C D -AC BD ⊥,,,AC BM BD BM B BD BM ⊥⋂=⊂DBM AC ⊥DBM M 11B D 11B D ∥1A BD M 1A BD P ABCD P ABCD P 'P C 'CP ABCD min 1P C ='CP ABCD 1A 11B D d =,P M 11A C min 1PM =-,,a b c ,x y c xa yb =+ ()()()7,0,3,2,31,3,2x y λ=-+--73023,3,2, 5.32x yx y x y x y λλ=-⎧⎪=-+===⎨⎪=-⎩解得AB O O ()0,1,0A )CM a a ⎛- ⎝a ⎡∈⎣N AM 2a N ⎛ ⎝2a CN a ⎛= ⎝ 11ABB A )OC =cos ,OC CN OC CN OC CN⋅<>==⋅设，则，，故.15.（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.16.（1）证明：由于三棱柱是直三棱柱，所以，因为点分别为棱的中点，所以，则四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面（2）解：因为直三棱柱，所以以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，于是，设直线与直线的夹角为，则2a t t ⎡=∈⎢⎣cos ,OC CN <>==1t ⎡∈⎢⎣cos ,OC CN <>∈ D AC 3,42D ⎛⎫⎪⎝⎭14103932BD k --==--BD ()10139y x +=+109210x y -+=167312AB k --==-+AB 27-AB ()2247y x -=--27220x y +-=111ABC A B C -11AB A B ∥,E F 11,AB A B 1AE B F ∥1AEB F AF ∥1B E AF ⊄11,B CE B E ⊂1B CE AF ∥1;B CE 111,ABC A B C AB AC -⊥A 1,,AB AC AA x y z 12AA =()()()10,2,2,1,0,0,1,0,2C E F ()()11,2,2,1,0,2C E AF =--=1C E AF θ11cos C E AF C E AFθ⋅==⋅所以直线与直线17.（1）证明：连接，如图所示，在直四棱柱中，平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形；（2）解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，解得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，1C E AF DB 1111ABCD A B C D -1BB ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1BB AC ⊥111111,,,AC DB BB DB B BB DB ⊥⋂=⊂1BDB AC ⊥1BDB BD ⊂1BDB AC BD ⊥ABCDABCD D 1,,DA DCDD x y z )()()14,,0,0,2,0,0,3AC D P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()144,,233PA PC AD ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎭⎝⎭PAC (),,n xy z =403403n EA z n EC z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩3z =x y ==PAC ()n =1AD PAC θ所以，即直线与平面.18.答案见错题集19.答案见错题集111sin cos ,||n AD n AD n AD θ⋅==== 1AD PAC。
四川省南充2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4.考试结束后将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin 2θ=”是“π4θ=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断“sin 2θ=”和“π4θ=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当2sin 2θ=时，π2π,Z 4k k θ=+∈或3π2π,Z 4k k θ=+∈，推不出π4θ=；当π4θ=时，必有2sin 2θ=，故“sin 2θ=”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：C2.设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若//l α，//l β，则//αβC.若l α⊥，m α⊥，则//l mD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A ，若//l α，//m α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误.对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确.对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误.故选：C3.若sin 2αα-+=，则tan(π)α-=（）A. B.C.3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由sin 2αα-+=两边同时平方，从而利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化，【详解】由sin 2αα-+=两边同时平方，可得22sin cos 3cos 4αααα-+=，∴222222sin cos 3cos tan 34sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++，解得tan 3α=-.()tan tan 3παα∴-=-=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.23B.33C.23D.13【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA 与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.在三棱锥S ABC -中，()()20SC SA BS SC SA ++⋅-=，则ABC V 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SC SA BS BC BA SC SA BC BA ++=+-=- ，从而说明22BC BA = ，即可求解.【详解】()()22,SC SA BS SC SA SB SC SB SA SB BC BA SC SA AC BC BA ++=+-=-+-=+-==- ，()()()()2220SC SA SB SC SA BC BA BC BA BC BA ∴+-⋅-=+⋅-=-= ，BC BA ∴=，即BC BA =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.34【答案】B 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.7.已知函数()3f x x =，若正实数a ，b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49a b +=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.【详解】由已知()3f x x =，定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则()f x 是R 上的奇函数，且函数()3f x x =在R 上单调递增，又()()490f a f b +-=，即()()()499f a f b f b =--=-，则49a b =-，即49a b +=，且0a >，0b >，所以()1111114144415999a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又44a b b a +≥=，即()11141554199a b a b b a ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即32a =，3b =时，等号成立，即11a b+的最小值为1.故选：A.8.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈=，则集合T 所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.3D.π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后即可求解.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，集合T 所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分.）9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π6ϕ=C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得ϕ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+，π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以A 选项正确，B 选项错误.()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，得π12x =，所以()f x 关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z ，当11k =时，得()f x 在54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.3P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=C.若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃=【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A ：若A 与B 互斥，则()0P AB =，故A 错误；对于B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B =+= ，故B 正确；对于C ：若A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，故C 正确；对于D ：若A 与B 相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-⨯=，故D 错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D.(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面【分析】利用向量的线性运算可得()1MN a BC aBE =-+，结合向量的模的计算可判断B 的正误，结合向量夹角的计算可判断C 的正误，结合共面向量可判断D 的正误.【详解】因为四边形ABCD 正方形，故CB AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB BE ⊥.设MC AC λ=，则= BN BF λ，其中()0,1λ=，由题设可得MN MC CB BN AC CB BF λλ=++=++，()()()1BC BA CB BA BE BC BE λλλλ=-+++=-+，对于A ，当12λ=即2a =时，111222MN BC BE CE =-+= ，故A 正确；对于B ，()22222111221222MN λλλλλ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故22MN ≥，当且仅当12λ=即2a =时等号成立，故min 22MN =，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+，而平面ABEF 的法向量为BC 且()211MN BC BC λλ⋅=-=-，故cos ,MN BC =，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+ ，故,,MN BC BE为共面向量，而MN ⊄平面BCE ，故//MN 平面BCE ，故D 正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.复数2i12iz +=-的共轭复数z =______．【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i 12i z +=-()()()()2i 12i 12i 12i ++=-+5i i 5==，所以z =i -.故答案为：i-13.已知向量()2,1,1a =- ，()1,,1b x = ，()1,2,1c =-- ，当a b ⊥ 时，向量b 在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1-【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x =，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以210a b x ⋅=-+=，所以3x =．因为()1,3,1b = ，所以b 在c 上的投影向量为()1,2,1||||b c cc c c ⋅⋅=-=-．故答案为：()1,2,1-14.已知在ABC V 中，满足)34AB AC AB ACAB AC AB AC++=+,点M 为线段AB 上的一个动点，若MA MC ⋅ 取最小值3-时，则BC 边的中线长为______．【答案】1112【解析】【分析】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，根据题意可推得||3,||4AD AN == ，2π3ADE ∠=，进一步根据MA MC ⋅ 取最小值3-时，求得对应的AC =AB =，由此即可得解.【详解】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，则//,//AD EN AN DE ，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||4||||AB AD AD AN AE AC AN =====，22343712πcos 23423ADE ADE +-∴∠==-⇒∠=⨯⨯，又四边形ADEN 为平行四边形，3πBAC ∴∠=，设,,0,0MA AD AC AN λμλμ==≤≥，()()296MA MC MA MA AC AD AD AN λλμλλμ⋅=⋅+=⋅+=+，由题意2963λλμ+≥-即29630λλμ++≥恒成立，且存在,R λμ∈使得29630λλμ++=成立，其次29630λλμ++=当且仅当2296303Δ361080λλλμμμ⎧⎧=-++=⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪=⎩，此时AC ==AB ==所以BC边的中线长为122AB AC +===.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图,四边形ABCD 为矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,1PA =,E 为BC 的中点．（1）求证：PE DE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的外接球体积．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接AE ，由线面垂直得到PA DE ⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE ⊥平面PAE ，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1详解】连结,AE E 为BC 的中点,1EC CD ==，∴DCE △为等腰直角三角形,则45DEC ∠=︒，同理可得45AEB ∠=︒，∴90AED ∠=︒，∴DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥，又∵AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，∴P ABCD -的外接球直径2R =∴2R =，故：3344ππ332V R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，∴四棱锥P ABCD -．16.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A b c -=+.（1）求角A 的值；（2）若a ABC = ，求,b c .【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】cos cos a B b A b c -=+ ，由正弦定理可得：sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B ∴-=++，即2sin cos sin B A B -=，sin 0B ≠ ，1cos 2A ∴=-，(0,π)A ∈ ，2π3A ∴=.【小问2详解】由题意，1sin 24ABC S bc A bc ===△，所以4bc =，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，得()2216b c a bc +=+=，所以4b c +=，解得：2b c ==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A ，1B ，1C ，在实践考试中合格依次为2A ，2B ，2C ，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525P P A A =-=-⨯=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12A A ，12B B ，12C C ，并且1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C 相互独立，则()12412525P A A =⨯=，()12321432P B B =⨯=，()12224339P C C =⨯=,由于事件12A A ，12B B ，12C C 彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++，概率为212142141(1)(1)(1)52952952934P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，解得0.030a =．【小问2详解】成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数[)80,90m ∈，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以10562065621020z ⨯+⨯==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，且ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB AA B ∠=∠=．（1）若1A BC 为等边三角形，证明：平面1AAB ⊥平面ABC ；（2）若二面角1A AB C --的平面角为π3，求以下各值：①求点1B 到平面1A CB 的距离；②求平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA 为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB 的中点为E ，连接CE ，1A E ，如图所示，因为ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB A AB ∠=∠=，故1cos 452BC A B AB ==⋅︒=CE AB ⊥，且112CE AB ==，1112A E AB ==，因为1A BC 为等边三角形，故12==AC BC ，故22211A C CE A E =+，即1CE A E ⊥，又AB ，1A E ⊂平面1AA B ，1A E AB E ⋂=，故CE ⊥平面1AA B ，且CE ⊂平面ABC ，故平面1AA B ⊥平面ABC ；【小问2详解】①由（1）知，CE AB ⊥，1A E AB ⊥，且平面1AA B ⋂平面ABC AB =，故1CEA ∠即二面角1A AB C --的平面角，即1π3CEA ∠=，故1CEA 为等边三角形，则111CA CE A E ===，因为CE AB ⊥，1A E AB ⊥，1A E CE E ⋂=，且CE ，1A E ⊂平面1CEA ，所以AB ⊥平面1CEA ，设线段1A E 中点为F ，则1CF A E ⊥，AB CF ⊥，又AB ，1A E ⊂平面11ABB A ，1AB A E E = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又在三角形1CEA中易知：2CF =，∴11111112133226C A BB A BB V CF S -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，又在三角形1A BC 中，由11AC =，1BC A B ==则22211113cos 24BC A B A CA BC BC AB +-∠==⋅，1sin 4A BC ∠=，则11117sin 24A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠= ，设点1B 到平面1A CB 的距离为d ，又由1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△，可得7d =，即求点1B 到平面1A CB 的距离为2217；②由①知，AB ⊥平面1CEA ，而11//AB A B ，故11A B ⊥平面1CEA ，且1A C ⊂平面1CEA ，故111A B AC ⊥，则2211115B C A B AC =+=，设1AC 和1B C 的中点分别为M ，N ，连接MN ，BN ，BM，则11//MN A B ，11112MN A B ==，1MN AC ⊥，又因为12BC A B ==1BM A C ⊥，且MN ⊂平面11A B C ，BM ⊂平面1A BC ，故BMN ∠即二面角11B A C B --的平面角，且222211722BM BC CM BC A C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为112BB AA BC ===，故1BN B C ⊥，则222211322BN BC CN BC B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222731744cos 277212BM MN BN BMN BM MN +-+-∠==⋅⨯⨯，故平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值为277．。
黑龙江省哈尔滨师大附中2024-2025学年高二(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆的方程为x23+y24=1，则该椭圆的焦点坐标为( )A. (0,±1)B. (0,±7)C. (±1,0)D. (±7,0)2.已知直线l：x+3my−2=0的倾斜角为π3，则实数m=( )A. −1B. −13C. 13D. 13.已知直线l的方程是(3a−1)x−(a−2)y−1=0，则对任意的实数a，直线l一定经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，若PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则此椭圆的离心率为( )A. 12B. 23C. 13D. 535.若直线y=x+b与曲线y=1−x2有公共点，则b的取值范围是( )A. [−2,2]B. [−1,2]C. [−1,1]D. (−1,2)6.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，点A是椭圆C上的动点，点B是点A关于原点的对称点，若四边形AF1BF2的周长为12，则四边形AF1BF2面积的最大值为( )A. 45B. 25C. 235D. 357.已知圆C：(x+5)2+(y−12)2=9和两点A(0,m)，B(0,−m)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则实数m的取值范围为( )A. [11,15]B. [10,16]C. [9,13]D. [8,12]8.已知A，B是圆x2+y2=4上的两个动点，且|AB|=22，点M(x0,y0)是线段AB的中点，则|x0+y0−4|的最大值为( )A. 12B. 62C. 6D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在四面体中，已知点是的中点，记，则等于（ ）A. B.C. D.2.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ）A. B.C. D.3.若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.4.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）A. B. C. D.5.设是的二面角内一点，是垂足，，则的长度为（ ）A.B.56.对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）A.四点共面B.四点共面ABCD E CD ,,AB a AC b AD c === BE 1122a b c -++ 1122a b c -+ 1122a b c -+ 1122a b c -++ αμ l vl αθcos v v μθμ⋅= cos v v μθμ⋅=sin v v μθμ⋅= sin v vμθμ⋅= AB )1a =- 30 60 120 150()()1,1,2,1,2,1a b =-=- a b ()1,1,1-555,,663⎛⎫- ⎪⎝⎭555,,636⎛⎫- ⎪⎝⎭111,,424⎛⎫- ⎪⎝⎭P 120 l αβ--,,,PA PB A B αβ⊥⊥4,3PA PB ==AB O ,,A B C 2OP PA OB OC =-+ ,,,O A B C ,,,P A B CC.四点共面D.五点共面7.将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论不正确的是（）A.B.，所成角为C.为等边三角形D.与平面所成角为8.正方形的边长为12，其内有两点，点到边的距离分别为3，2，点到边的距离也分别是3和2.如图，现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合.则此时两点间的距离为（ ）二､多项选择题：体题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（ ）A.直线必过定点B.方程是直线的一般式方程C.直线的斜率为D.点到直线的距离为110.已知空间单位向量两两垂直，则下列结论正确的是（ ）A.向量与共线B.问量C.可以构成空间的一个基底,,,O P B C ,,,,O P A B C ABCD BD AC BD⊥AB CD 60︒ADC V AB BCD 60︒11ABB A ,P Q P 111,AA A B Q 1,BB AB AB 11A B ,P Q ()32y ax a a =-+∈R ()3,20Ax By C ++=10x ++=()5,3-20y +=,,i j k i j + k j - i j k ++ {},,i j i j k +-D.向量和11.如图，已知正六棱柱的底面边长为2，所有顶点均在球的球面上，则下列说法错误的是（ ）A.直线与直线异面B.若是侧棱上的动点，则C.直线与平面D.球的表面积为第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是__________.13.若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为__________.14.已知正三棱柱的底面边长为是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线的方程：（1）过定点；（2）斜率为.16.（本小题满分15分）如图，在四面体中，面是的中点，是i j k ++ k ABCDEF A B C D E F ''''-''O DE 'AF 'M CC 'AM MD +'AF 'DFE 'O 18π()1,2A -y kx b =+()1,6B --y kx b =+x 2,3,100y x x y mx ny =+=++=(),m n ABC A B C '-''P MN PM PN ⋅ l l ()3,4A -16ABCD AD ⊥,2,BCD AD M =AD P的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面.17.（本小题满分15分）如图所示，平行六面体中.（1）用向量表示向量，并求；（2）求18.（本小题满分17分）如图，在五棱锥中，平面是等腰三角形.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的大小.19.（本小题满分17分）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为是边长为2的等边三角形，且，点在棱上运动（包括端点）.请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：BM Q AC3AQ QC=PQ∥BCD1111ABCD A B C D-111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA∠∠∠======1,,AB AD AA1BD1BD1cos,BD ACP ABCDE-PA⊥,ABCDE AB∥,CD AC∥,ED AE∥,45,24,BC ABC AB BC AE PAB∠====VPCD⊥PACPB PCD111ABC A B C-1,AC CC1,,D E CABC,D ABCV12AA=F11B C（1）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（2）求锐二面角的余弦值的取值范围.F 11B C F BDE F BD E --滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二10月份考试数学试题参考答案一､单选题1.A2.D3.B4.C5.D6.B7.D8.【答案】B【详解】解法一：如图建系设圆柱底面半径为，则，所以，则所以.解法二：如图，设过点且平行底面的截面圆心为，过点且平行底面的截面圆心为，设圆柱底面半径为，则，所以，则，.r 2π12r =6πr =33,3,,9ππQ P ⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭PQ =P 1O Q 2O r 2π12r =6πr =121122222π,,63πO P O Q PQ PO O O O Q +===++222211221212||22PQ PO O O O Q r O O PO O Q∴=++=++⋅ 222266π36262cos 336,ππ3πPQ ⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅⋅=⋅+∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.AD 10.BCD.11.【答案】AC【详解】对于A ，如图①，连接，则，所以，所以直线与直线共面，故A 错误；对于B ，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，如图②所示.因为底面边长为，所以则的最小值为，故B 正确；对于C ，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图①所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的法向量为，则，即，令，得，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则，故C 错误；对于D ，如图③，设球的半径为，根据对称性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的连线的中点处.，则，所以球的表面积，故D 正确.,AD A D ''AD ∥,A D A D ''''∥E F ''AD ∥E F ''DE 'AF 'ACC A ''CC 'CDD C ''ADD A ''2π2,3ABC ∠=AC =AM MD +'AD =='F ,,FA FD FF 'x y z ()(()()(2,0,0,,0,0,0,0,,A F F D E '-'(()(,0,,AF FD FE =''=-=- DFE '(),,m x y z = 00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩ 00y x =⎧⎪⎨-++=⎪⎩1z =x =DFE ')m = AF 'DFE 'θ1sin 3θO R 12O O 1122,O C O O ==22222211922R OC O C O O ==+=+=O 294π4π18π2S R ==⨯=12.13.【答案】【详解】由解得把代入可得，所以，所以点到原点的距离当时等号成立，此时.所以点到原点的距离的最小值为14.【答案】【详解】由题意知内切球的半径为1，设球心为，则.因为.四､解答题15.【答案】（1）或.（2）或.【详解】（1）由题意知直线的斜率存在，设为则直线的方程为，它在轴，轴上的截距分别是，由已知，得，解得或.故直线的方程为或.（2）设直线在轴上的截距为，则直线的方程是，它在轴上的截距是，8-2,3,y x x y =⎧⎨+=⎩1,2.x y =⎧⎨=⎩()1,240mx ny ++=2100m n ++=102m n =--(),m n d ==4n =-2m =-(),m n []0,4O ()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+ ()2OP PO OM ON OM ON =+⋅++⋅ 2||1PO =- []0,4PM PN ⋅∈ 2360x y +-=83120x y ++=660x y -+=660x y --=l kl ()34y k x =++x y 43,34k k--+()43436k k ⎛⎫+⨯+=± ⎪⎝⎭123k =-283k =-l 2360x y +-=83120x y ++=l y b l 16y x b =+x 6b -由已知，得，所以.所以直线的方程为或.16.解法一：以为坐标原点，所在直线为z 轴，线段的延长线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，由题意得，因为，所以即即所以，所以又因为面BCD 的一个法向量为所以所以又因为面所以面.解法二：66b b -⋅=1b =±l 660x y -+=660x y --=D DA BD 2BD a =()()()10,2,0,0,0,2,0,0,1,0,,2B a A M P a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3AQ QC =34AQ AC = ()()3,,2,,24Q Q Q x y z x y -=-331,,442Q Q Q x x y y z ===331,,442Q x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭33,,044PQ x y a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄BCDPQ ∥BCD取的中点，连接，因为为BM 的中点，所以，所以平面，过作，交BC 于以为坐标原点，的方向分别为x 轴､y 轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为为中点，设则设点的坐标为.因为，所以.因为为的中点，故，又为的中点，故，所以又平面BCD 的一个法向量为，故，所以又平面BCD ，所以平面BC D.17.【答案】（1）2【详解】（1），BD O OP P OP ∥MD OP ⊥BCD O OE BD ⊥,E O ,,OE OD OP2,AD M =AD 2BD a=()()0,,2,0,,0A a B a -C ()00,,0x y 3AQ QC = 003131,,4442Q x a y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭M AD ()0,,1M a P BM 10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭00313,,0444PQ x a y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0,1n =0PQ n ⋅= PQ n⊥ PQ ⊄PQ ∥111,BD AD AA AB BD =+-= 111BD AD AB AD AA AB =-=+-则，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，因为是正方形，所以，则.18.【答案】（1）见详解（2）【详解】（1）证明：在中，因为，所以，因此故，所以，即又平面，所以.又平面，且，所以平面.又平面，所以平面平面.（或者建系求法向量，证明法向量垂直，略）（2）由（1）知两两相互垂直，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅ 111412*********=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯=1BD = AC AB AD =+ 11,2AB AD AA ===11ππ,23BAD BAA DAA ∠∠∠===ABCD AC = ()()221111BD AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB ⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅ 22ππππ11cos121cos 21cos 111cos 22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=111cos ,BD AC BD AC BD AC ⋅===⋅ π6ABC V 45,4,ABC BC AB ∠=== 2222cos458AC AB BC AB BC =+-⋅⋅= AC =222BC AC AB =+90BAC ∠= AB AC⊥PA ⊥,ABCDE AB ∥CD ,CD PA CD AC ⊥⊥,PA AC ⊂PAC PA AC A ⋂=CD ⊥PAC CDC PCD PCD ⊥PAC ,,AB AC AP ,,AB AC AP x y z如图所示的空间直角坐标系，由于是等腰三角形，所以.又，因此，.因为，所以四边形是直角梯形.因为，所以，因此，故，所以.因此.设是面的一个法向量，则，解得.取，得.又，设表示向量与平面的法向量所成的角，则，又因为，所以，因此直线与平面所成的角为.PAB V PA AB ==AC =()()0,0,0,A B ()(0,,0,0,C P AC ∥,ED CD AC ⊥ACDE 2,45,AE ABC AE ∠== ∥BC 135BAE ∠= 45CAE ∠= sin452CD AE =⋅== ()D (()0,,CP CD =-= (),,m x y z =PCD 0,0m CP m CD ⋅=⋅= 0,x y z ==1y =()0,1,1m =(BP =- θBP PCD m1cos 2m BP m BP θ⋅==⋅ π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3θ=PB PCD π619.【答案】（1（2）解法一：连接，因为在平面内的射影为，所以平面，由于平面，所以，由于三角形是等边三角形，所以，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，因为所以又因为为中点，所以所以设面的一个法向量为则令，则所以所以点到平面的距离为（2）因为在棱上（包括端点）设12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥ABC BD AC ⊥BD ==1DC ==D 1,,DB DA DC x y z (())11,0,1,0,,0,2C C B E ⎛-- ⎝)11C B CB == 1B F 11B C 12F 12BF ⎛= ⎝ BDE ()111,,m x y z =1(0,,2BD ED ⎛== ⎝ 111000x BD m y ED m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 11z =1y =()m = F BDE BF m m ⋅== F 11B C ()111,01C F C B λλ= ……因为，所以设平面的法向量为，令所以，设锐二面角为，则令，所以，设则二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以当时，该二次函数有最小值，当时，该二次函数有最大值，，即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.解法二：（1）连接，因为在平面内的射影为，所以平面，由于平面，所以，)11C B = )1,,0C F λ=BDF ()222,,n x y z = 11,,0),DF DC C F λλ=+=+= 22220000DF n x y x DB n λ⎧⋅=++=⎪⇒⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2y =2z λ=-()m λ=- F BD E --θ1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣1DC 1C ABC D 1DC ⊥ABC ,AC BD ⊂ABC 11,DC AC DC BD ⊥⊥由于三角形是等边三角形，所以，又以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，又，故，则设平面的法向量为，则，故可设，又，所以点到平面的距离为.（2）设，则，设平面的法向量为，则令，所以，所以，设锐二面角为，ABC ,BD AC BD ⊥==1DC ==D 1,,DCDB DCx yz (()()11,1,0,0,,2C C E B ⎛ ⎝()11C B CB ==-(11,2B F ⎛-- ⎝()1,,2DE DB ⎛== ⎝ BDE ()111,,m x y z =1111020m DE x z m DB ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩ ()m = 1,2BF ⎛=- ⎝ F BDE BF m m ⋅== ()()1111101,C F C B C B λλ=≤≤=- (()(11111DF DC C F DC C B λλλ=+=+=+-=- BDF ()222,,n x y z =22220000DF n x y y DB n λ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩ 2x =2z λ=)n λ=F BD E --θ则令，所以，设则二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以当时，该二次函数有最小值，当时，该二次函数有最大值，，即.所以锐二面角的余弦值的取值范围.1cos 2θ=[]()32,3t t λ-=∈cos θ==111,,32s s t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭cos θ=221112611244y s s s ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭14s =11,32s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦13s =21111261333⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭12s =2111261122⎛⎫⨯-⨯+= ⎪⎝⎭⎡⎣1cos 2θ⎡∈⎢⎣F BD E --12⎡⎢⎣。
高二10月月考(数学)试题含答案
高二10月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．已知()3,1A ，()1,2B -，()1,1C ，则过点C 且与线段AB 平行的直线方程为（ ）A ．3250x y +-=B ．3210x y --=C ．2310x y -+=D ．2350x y +-=2.（5分）2． “方程x 2+y 2-4y+k=0表示一个圆”是“0<k<4”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.（5分）3．若方程20x x m ++=有两个虚根,αβ，且||3αβ-=，则实数m 的值为（ ）A ．52B ．52-C ．2D ．2-4.（5分）4．袋中有a 个白球b 个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为（ ）A ．a a b +B ．b a b +C ．a bD ．b a5.（5分）5．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为（ ）”.A ．定值B ．变数C ．有时为定值、有时为变数D ．与正四面体无关的常数6.（5分）6．已知圆22:42150C x y x y +---=上有两个不同的点到直线():76l y k x =-+则k 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．11(,2),(2,)22∞∞⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪⎝⎭D ．1,(2,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭7.（5分）7．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B C a c A +=cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ）A ．(B ．(0,C ．(D ．(6, 8.（5分）8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过点C 做直线l ，使得直线l 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70，则这样的直线l （ ）A ．不存在B ．有2条C ．有4条D ．有无数条二、 多选题 （本题共计3小题，总分15分）9.（5分）9．下列命题中假命题的是（ ）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使()a b R λλ=∈B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若||1a b ->，则ππ3θ<≤ C ．若0a b ⋅=，则a b ⊥D ．已知1e 与2e 是互相垂直的单位向量，若向量12e ke +与12ke e +的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是0k >. 10.（5分）10．直线2326023180x y x m y ++=-+=，和23120mx y -+=围成直角三角形，则m 的值可为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．49- 11.（5分）12．设10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有28AP AB λ-≥，则下列一定正确的是（ ） A ．4PA ≥ B ．10PA PB +≥ C ．9PA PB ⋅-≥ D ．90APB ∠≥︒三、 填空题 （本题共计5小题，总分25分）12.（5分）11．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为24，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1613.（5分）13．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：9，8，8，9，7，8，9，10，7，5，估计该学员射击一次命中环数为___________.14.（5分）14.假设()0.7,()0.8,P A P B ==且A 与B 相互独立，则()P A B ⋃=___________.15.（5分）15．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2AC =，2BE EA =，AD 与CE 的交点为O ．若2AO BC ⋅=-，则AB 的长为______．16.（5分）16．在平面直角坐标系中，给定()()1,2,3,4M N 两点，点P 在x 轴的正半轴上移动，当MPN ∠最大值时，点P 的横坐标为_______.四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．已知复数z 满足234i z =+，且z 在复平面内对应的点位于第三象限. （1）求复数z ；（2）求20211()1z z++的值. 18.（12分）18.已知ABC 的面积为212sin b B ，cos cos 13A C =-. （1）求B 的大小；（2）若6b =，求该三角形内切圆半径r .19.（12分）19．已知圆()()22:1216C x y ++-=，直线()():211710l m x m y m ++--+=，m R ∈.（1）证明：不论m 取任何实数，直线l 与圆C 恒交于两点；（2）当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，求此最短弦长及直线l 的方程. 20.（12分）20．在一个文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组．给参赛选手甲，乙打分如下：（用小组A ，小组B 代表两个打分组）小组A ：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.3 8.4 9.5乙：7.0 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5小组B ：甲：7.4 7.5 7.5 7.6 8.0 8.0 8.2 8.9 9.0 9.0乙：6.9 7.5 7.6 7.8 7.8 8.0 8.0 8.5 9.0 9.9（1）选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组A 与小组B 那个更专业？（2）根据（1）的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；（3）若用专业评委打分的数据．选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后．剩下8个评委评分的平均分．那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？（只判断不说明）．（以上计算结果保留两位小数）21.（12分）21．已知圆M 过A ，(10,4)B ，且圆心M 在直线y x =上. （1）求圆M 的标准方程；（2）过点(0,4)-的直线m 截圆M 所得弦长为m 的方程；（3）过直线l: x+y+4=0上任意一点P 向圆M 作两条切线，切点分别为C ，D.记线段CD的中点为Q ，求点Q 到直线l 的距离的取值范围.22.（12分）22．在三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AB AA ⊥⊥12π,3A AC ∠=点M 为棱1CC 的中点，点T 是线段BM 上的一动点，12 2.AA AC AB ===（1）证明：1CC BM ⊥；（2）求平面11B BCC 与平面11A ACC 所成的二面角的正弦值；（3）设直线AT 与平面11B BCC 、平面11A ABB 、平面ABC 所成角分别为123,,.θθθ求123sin sin sin θθθ++的取值范围.答案一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1.B2.（5分） 2．B3.（5分） 3．A4.（5分） 4．A5.（5分）5．A6.（5分）6.【答案】C 【详解】由圆22:(2)(1)20,C x y -+-=():76l y k x =-+过定点()7,6,C R ∴=C 上有两个不同点到l即~∈C l d，<k 的取值范围为()()11,2,2,22∞∞⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪⎝⎭故选：C. 7.（5分）7．Dcos 2sin()26C C C π+=+=，得262C k πππ+=+，k Z ∈， (0,)2C π∈，3C π∴=． 由正弦定理知，sin sin B b A a =， 由余弦定理知，222cos 2b c a A bc +-=， cos cos sin sin 3sin A C B C a c A +=，∴22211223b c a b bc a c a +-⨯+=)0b c =， 0b≠，c ∴=由正弦定理，有4sin sin sin a b c A B C ====，4sin a A ∴=，4sin b B =， 锐角ABC ∆，且3C π=，(0,)2A π∴∈，2(0,)32B A ππ=-∈，解得(6A π∈，)2π，214(sin sin )4[sin sin()]4(sin sin ))326a b A B A A A A A A ππ∴+=+=+-=+=+， (6A π∈，)2π，(63A ππ∴+∈，2)3π，sin()6A π+∈1]， a b ∴+的取值范围为(6，．8.（5分）8．C 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，连接1,A D BD ，如图，则有11//BD B D ，显然11A B A D BD ==，即直线BA 1和B 1D 1所成角160∠=A BD ， 过点C 做直线l 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70可以转化为过点B 做直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均为70，A BD '∠的平分线AO 与直线BA 1和BD 都成30的角，让l '绕着点B 从AO 开始在过直线AO 并与平面A BD '垂直的平面内转动时，在转动到l '⊥平面A BD '的过程中，直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均相等，角大小从30到90，由于直线l '的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA 1和BD 所成的角均为70，又A BD '∠的邻补角大小为120，其角平分线与直线BA 1和BD 都成60的角， 当直线l '绕着点B 从A BD '∠的邻补角的平分线开始在过该平分线并与平面A BD '垂直的平面内转动时，在转动到l '⊥平面A BD '的过程中，直线l '与直线BA 1和BD 所成的角均相等，角大小从60到90，由于直线l '的转动方向有两种，从而得有两条直线与直线BA 1和BD 所成的角均为70， 综上得，这样的直线l '有4条，所以过点C 与直线BA 1和B 1D 1所成的角均为70的直线l 有4条.二、 多选题 （本题共计3小题，总分15分）9.（5分）9．ACD10.（5分） 10．ACD 由题意，若3260x y ++=和223180x m y -+=垂直可得： ()232230m ⨯+⨯-=，解得1m =±，经验证当1m =时，后面两条直线平行，构不成三角形，故1m =-；同理，若3260x y ++=和23120mx y -+=垂直可得：660m -=，解得1m =，应舍去；若223180x m y -+=和23120mx y -+=垂直可得：2490m m +=，解得0m =或49m =-，经验证均符合题意，故m 的值为：0，1-，49-． 11.（5分）12．AC 以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则(5,)AP x y =+，(10,0)AB =，2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，由28AP AB λ-≥得22(21010)464x y λ+-+≥，22(55)16x y λ+-+≥，对任意λ，22(55)16x y λ+-+≥恒成立，则216y ≥，即4y ≤-或4y ≥，此时min 4AP =（当5,4x y =-=±时取得），A 正确；若(0,4)P ，则(0,8)PA PB +=，8PA PB +=，B 错；22(5,)(5,)25025169PA PB x y x y x y ⋅=+⋅-=-+≥-+=-（20,4x y ==时等号成立），C正确；例如P 点坐标是(5,4)-时， 90PAB ∠=︒，APB ∠90<︒，D 错，故选：AC ．三、 填空题 （本题共计5小题，总分25分）12.（5分）11．AC设平行六面体的体积为24V =如左图，当取顶点1,,,A A B D 时，则该四面体体积11124466V V ==⨯=； 如右图，当取顶点11,,,A B C D 时，则该四面体体积21424448V V V =-=-⨯=.13.（5分）13．814.（5分） 14. 0.9415.（5分）15． ∵D 是BC 的中点，2BE EA =， ∵23BE BA =，2BC BD =． ∵E ，O ，C 三点共线，设()()21213BO BE BC BA BD λλλλ=+-=+-，且A ，O ，D三点共线， ∵()22113λλ+-=，解得34λ=， ∵1124BO BA BC =+． ∵()111244AO AB BO AB BA BC AB AC =+=++=+， ∵()()()()22211142444AO BC AB AC AC AB AC AB AB ⋅=+⋅-=-=-=-，∵212AB =，23AB =16.（5分）16．3 过点,,M N P 三点的圆的圆心在线段MN 的中垂线5y x =-上，其中MPN ∠为弦MN 所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，MPN ∠最大，设圆心坐标为(,5)E a a -，又由点P 在x 轴上移动，当圆和x 轴相切时，MPN ∠取得最大值，设切点为(,0)P a ，圆的半径为5a -，所以圆的方程为222()(5)(5)x a y a a -++-=-，代入点(1,2)M 代入圆的方程，可得222(1)(25)(5)a a a -++-=-，整理得2250a a +-=，解得3a =或5a =-（舍去）， 所以点P 的横坐标的为3.四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（1）2i z =--；（2）i .（1）设i z a b =+，,0a b <， 则2222i 34i z a b ab =-+=+，22,0232i 124a b a a b z b ab <⎧=-⎧⎪∴-=⇒⇒=--⎨⎨=-⎩⎪=⎩； （2）202120212021202111i 1i i i 1i 1i 1z z +--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18.（12分）18.【详解】（1）21sin 212sin ABC b S ac B B ==， 由正弦定理得：21sin sin sin sin 212sin B A C B B=，又sin 0B ≠，1sin sin 6A C ∴=， ()111cos cos cos cos sin sin 362B A C A C A C ∴=-+=-+=+=，又()0,B π∈，3B π∴=；（2）3612sin 3ABC S π===1sin 2ac B ∴==，解得：8ac =；由余弦定理得：()()222222cos 22cos 24363b a c ac B a c ac ac a c π=+-=+--=+-=，a c ∴+=6a b c ∴++=+()(132ABC S a b c r r =++⋅==r ∴= 19.（12分）19.【详解】（1）证明：因为()():211710l m x m y m ++--+=，所以()()2710m x y x y +-+-+=，因为m R ∈，所以2702103x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩故直线l 过定点()2,3A .因为圆C 的圆心为()1,2C -，4r =，4AC ，则点A 在圆内.所以直线l 与圆C 恒交于两点.（2）由（1）知直线l 过定点()2,3A ，所以当直线l 被圆C 截得的弦长最短时有l AC ⊥， 弦心距d ====因为321213AC k -==+，所以13k =-，故直线l 的方程为390x y +-=. 20.（12分）20．（1）小组A 更专业；（2）甲均分8.1，乙均分8；（3）甲均分8，乙均分8.06，两位选手排名有变化，我认为去掉一个最高分，一个最低分后更合理 （1）小组A 的打分中，甲的均值： 17.57.57.87.8888.28.38.49.5108.1X +++++++++== 甲的方差： 210.360.360.090.090.010.010.010.040.09 1.96100.302s +++++++++== 乙的均值： 277.87.87.8888.38.38.58.5108X +++++++++== 乙的方差： 2210.040.040.040.090.090.250.25100.18s +++++++== 小组B 的打分中，甲的均值： 37.47.57.57.6888.28.999108.11X +++++++++==甲的方差： 2222222222230.710.610.610.510.110.110.090.790.890.89100.3749s +++++++++== 乙的均值： 4 6.97.57.67.87.8888.599108.01X +++++++++== 乙的方差： 2222222222240.710.610.610.510.110.110.090.790.890.89100.3949s +++++++++== 由以上数据可得，在均值均差0.01的情况下，小组B 的打分方差较大，所以，小组A的打分更专业（2）由（1）可得：小组A 为专业评委，所以： 选手甲的平均分18.1X = 选手乙的平均分28X =（3）由专业评委的数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，甲乙的均值分别为： 7.57.87.8888.28.38.488X +++++++==甲 7.87.87.8888.38.38.588.06X +++++++=≈乙 去掉一个最低分，一个最高分之后，乙的均值高于甲，按照10个数据计算时，甲的均值高于乙的均值，排名不同。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
成都七中2023~2024学年度上期10月阶段性测试数学试题考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知点()0,3A ，点()1,23B -，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30︒B ．45︒C ．120︒D ．135︒2．已知直线,a b 的方向向量分别为()()1,0,1,1,1,0a b =-=-，且直线,a b 均平行于平面α，平面α的单位法向量为（）A ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭B ．333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．()1,1,1D ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭或333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．有2位同学在游艺楼的底层进入电梯，电梯共6层。
假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（）A ．15B ．45C ．56D ．164．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点,,M AB a AD b == ，1AA c = ，则1MC =（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c---C ．1122a b c-++D ．1122a b c--+5．成都七中高二年级15个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：85，85，86，87，88，89，90，91，91，91，92，93，94，96，98，则这组数据的80%分位数是（）A ．90B ．93.5C ．86D ．936．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A ．平均数为2，方差为2.4B ．中位数为3，方差为1.6C ．中位数为3，众数为2D ．平均数为3，中位数为27．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中5SA AO =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是（）A ．23535B ．66565C ．1315D ．358．已知正方体1111ABCD A B C D -，设其棱长为1（单位：m ）．平面α与正方体的每条棱所成的角均相等，记为θ．平面α与正方体表面相交形成的多边形记为M ，下列结论正确的是（）A ．M 可能为三角形，四边形或六边形B ．3cos 3θ=C ．M 235m 4D ．正方体1111ABCD A B C D -内可以放下直径为1.2m 的圆二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列命题中是真命题的为（）A ．若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+，则p 与,a b 共面C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+D ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面10.已知e为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），并且直线l 均不在平面,αβ内，那么下列说法中正确的有（）A ．1e n l α⊥⇔∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．12n n αβ⇔∥∥D ．1e n l α⊥⇔⊥11．以下结论正确的是（）A ．“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的充分不必要条件．B ．假设()()0.7,0.8P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()0.56P A B =C ．若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与事件,A B 互斥不能同时成立D ．6个相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，设A =“第一次取出球的数字是1”，B =“两次取出的球的数字之和是7”，则A 与B 相互独立12．如图，已知矩形,4,2,ABCD AB AD E ==为AB 中点，F 为线段EB （端点除外）上某一点．沿直线DF 沿ADF △翻折成PDF △，则下列结论正确的是（）A ．翻折过程中，动点P 在圆弧上运动B ．翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段圆弧C ．翻折过程中，二面角P DF B --的平面角记为α，直线PA 与平面BCDF 所成角记为β，则2αβ>．D ．当平面PDC ⊥平面BCDF 时，在平面PDC 内过点P 作,PK DC K ⊥为垂足，则DK 的取值范围为()1,2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体各面所在平面将空间分成________部分．14．某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________．15．如图，两条异面直线,a b 所成的角为3π，在直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b '⊥（AA '称为异面直线,a b 的公垂线）．已知，1,2A E AF ='=，5EF =，则公垂线AA '=__________．16．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式。
高二10月月考(数学)试题含答案
高二10月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．已知向量()2,a m =，()3,6b =，若a b ⊥，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-2.（5分）2．如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形OAB ，斜边长1OB =，那么原平面图形的面积是（ ）A ．2BCD ．123.（5分）3．下列命题中正确的个数是（ ）①四边形是平面图形；①四条线段顺次首尾相连，它们可能确定4个平面； ①若直线//a b ，直线b α⊂，则//a α；①如果直线l 不垂直于平面α，则α内就没有直线与l 垂直. A ．0B ．1C ．2D ．34.（5分）4．已知直线1:10l kx y -+=与2:(4)10l kx k y +-+=平行，则k 的值是（ ） A ．5B ．0或5C ．0D ．0或15.（5分）5．已知角a 的终边过点()3,4-，则sin 2a 的值为（ ）A ．725B ．2425C ．725-D ．2425-6.（5分）6．若a ，b ，c ，m ，n 为空间直线，α，β为平面，则下列说法错误的是（ ）A ．//a b ，b c ⊥，则a c ⊥B ．m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m nD ．a ，b 是异面直线，则a ，b 在α内的射影为两条相交直线7.（5分）7．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为1,BC CC 的中点，则点C 到平面AEF 的距离为（ ）A B C ．34 D ．238.（5分）8．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB PA =，则平面ABP 与平面CDP 夹角的余弦值为（ ）A ．13B C D 9.（5分）9．ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量(),p a c b =+，(),q b a c a =--．若//p q ，则角C 的大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π10.（5分）10．在直三棱柱111ABC A B C -中，若ABC 为等边三角形，且1BB ，则1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A ．38B ．14C D ．5811.（5分）11．已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若ƒ(-a )+ƒ(a )≤2ƒ(1)，则实数a 的取值范围是 A ．[-1，0)B ．[0，1]C ．[-1,1]D ．[-2,2]12.（5分）12．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -满足12AB AA =，点E 在线段1DD 上移动，F 点在线段1BB 上移动，并且满足1DE FB =.则下列结论中正确的是（ ）A ．直线1AC 与直线EF 可能异面B ．直线EF 与直线AC 所成角随着E 点位置的变化而变化 C ．三角形AEF 可能是钝角三角形D ．四棱锥A CEF -的体积保持不变二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．在等差数列{}n a 中，8100S =，16392S =，求24S =____________ 14.（5分）14．已知直线50x -=，则其倾斜角为____________．15.（5分）15．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________.16.（5分）16．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点，则下列结论中，正确结论的序号是_______________(把所有正确结论序号都填上).①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；①B 1D 1//平面EFG ；①四面体ACB 1D 1的体积等于12a 3；①BD 1①平面ACB 1；①二面角D 1－AC －D 平面角的正切值为.三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（本小题10分）（1）以(1,1)A ，(3,2)B ，(5,4)C 为顶点的ABC ，求边AB 上的高所在的直线方程（2）若点P 在直线350x y +-=上，且P 到直线10x y --=P 的坐标18.（12分）18．（本小题12分）在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60度．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值.19.（12分）19．（本小题12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（①）求数列{}n a 的通项公式；（①）若12n n b -=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .20.（12分）20．（本小题12分）如图，边长为2的正方形ACDE 所在平面与平面ABC垂直，AD 与CE 的交点为M ，AC BC ⊥，且AC BC =，（1）求证：AM ⊥平面EBC ；（2）求直线AD 与平面ABE 所成线面角．21.（12分）21．（本小题12分）如图，在四边形ABCD 中，π3DAB ∠=，:2:3AD AB =，BD =AB BC ⊥．（1）求sin ABD ∠的值； （2）若2π3BCD ∠=，求CD 的长．22.（12分）22．（本小题12分）如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD △折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）求二面角1A BD C --所成角的余弦值．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）B 2.（5分）B 3.（5分）B 4.（5分）C5.（5分）D/6.（5分）D7.（5分）D8.（5分）B9.（5分）B10.（5分）D/11.（5分）C12.（5分）D二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分） 13．87614.（5分） 14．56π15.（5分） 15．9216.（5分） 16．①④三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分） 17．解：（1）2140x y +-=. （2）(1,2)P 或(2,1)-． 18.（12分）18.解：（1）因为PO ⊥平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ，所以PBO ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，60PBO ∠=︒，PO OB ⊥，在直角三角形AOB 中，sin301OB AB =︒=，因为PO OB ⊥，所以tan 60PO OB =︒=ABCD 的面积为所以四棱锥P ABCD -的体积为123⨯，（2）取AB 的中点F ，连接，,EF DF 因为E 是PB 的中点，所以EF ∥PA ， 所以FED ∠是异面直线DE 与PA 所成的角（或它的补角），在直角三角形AOB中，cos30AO AB OP =︒=，所以在等腰直角三角形APO中，PA =EF =, 在等边三角形ABD 和等边三角形PBD 中,DE DF ==12cos EFFED DE ∠===所以异面直线DE 与PA所成角的余弦值为4，19．19.（12分）解：（①）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，由1a ，2a，5a 成等比数列，可得2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，解得2d =或0d =（舍），所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-. （①）由（①）得()1212n n n a b n -⋅=-⨯所以()0121123252212n nT n -=⨯+⨯+⨯++-⨯，可得()()12121232232212n n nT n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得()01212222222212n n nT n --=+⨯+⨯++⨯--⨯()()()()1212122121422212332212n n n n n n n n -⨯-=+⨯--⨯=-+⨯--⨯=-+-⨯-所以()3232n nT n =+-⨯.20.（12分）20.（1）证明：由ACDE 是正方形，则AM EC ⊥，面ACDE ⊥面ABC ，面ACDE面ABC AC =，AC BC ⊥，BC ⊂面ABC ，BC ∴⊥平面ACDE ，又AM ⊂平面ACDE ，AM BC ∴⊥，而EC BC C =，AM ∴⊥平面EBC ．（2）过C 作CFAB ⊥于F ，而ACDE 是正方形，即AE AC ⊥，面ACDE ⊥面ABC ，面ACDE 面ABC AC =，AE ⊂面ACDE ，∴AE ⊥面ABC ，CF ⊂面ACE ，则AE CF ⊥，又AEAB A =，∴CF ⊥面ABE ，即C 到面ABE的距离为CF =//CD AE ，易知//CD 面ABE ，∴D 到面ABE的距离h CF ==设直线AD 与平面ABE 所成线面角θ，故1sin 2h AD θ===， ∴直线AD 与平面ABE 所成线面角为6π． 21.（12分）21．解：（1）因为:2:3AD BD =， 所以可设2AD k =，3AB k =，0k>．又BD =π3DAB ∠=，所以由余弦定理，得()()222π32232cos3k k k k =+-⨯⨯，解得1k =, 所以2AD =，3AB =，2sin sin AD DABABD BD∠∠===．（2）因为AB BC ⊥，所以cos sin DBC ABD ∠=∠=所以sin DBC ∠=sin sin BD CD BCD DBC =∠∠，所以CD ==22.（12分）（文）22．（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=︒， DE ∴⊥平面ABCD ，DE AC ∴⊥．ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，因为,BD DE ⊂平面BDE ,BD DE D ⋂=,AC ∴⊥平面BDE .（2）证明：设AC BD O =，取BE 中点G ，连接FG ，OG ，OG 为BDE 的中位线1//2OG DE ∴//AF DE ，2DE AF =，//AF OG ∴，∴四边形AFGO 是平行四边形，//FG AO ∴．FG ⊂平面BEF ，AO ⊂/平面BEF ，//AO ∴平面BEF ，即//AC 平面BEF ．3（）平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥，AB ∴⊥平面.ADEF 因为//9022AF DE ADE DE DA AF ∠=︒===，，，DEF ∴的面积为122DEFSED AD =⨯⨯=，∴四面体BDEF 的体积1433DEFV S AB =⋅⨯=又因为O 是BD 中点，所以1223BOEF BDEF V V == 2.3BOEF V ∴=（理）22．（1）证明：四边形ABCD 是矩形，BC CD ∴⊥，1A O ⊥平面BCD ，且BC ⊂平面BCD ，1BC A O ∴⊥，1CDAO O =，BC ∴⊥平面1A CD ， 1A D ⊂平面1A CD ，1BC A D ∴⊥；（2）证明：翻折前，由于四边形ABCD 为矩形，则AB AD ⊥， 翻折后，对应地，有11A D A B ⊥，由（1）知，BC ⊥平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD ，1A D BC ∴⊥， 1A B BC B ⋂=，1A D ∴⊥平面1A BC ，1A D ⊂平面1A BD ，∴平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）过点O 在平面ABCD 内作OE BD ⊥，垂足为点E ，连接1A E ，因为1A O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AO BD ⊥， OE BD ⊥，1AO OE O ⋂=，BD ∴⊥平面1A OE ， 1A E ⊂平面1A OE ，故1BD A E ⊥，所以，二面角1A BD C --所成角的平面角为1A EO ∠，由（2）知，1A D ⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，11A D AC ∴⊥，16A D AD BC ===，10CD AB ==，18AC ∴=， 111245AC A D AO CD ⋅∴==，在1Rt A BD 中，16A D =，110A B =，BD ==1A O ⊥平面ABCD ，OE ⊂平面ABCD ，1A O OE ⊥，所以，111A B A D A E BD ⋅===，EO =，所以，119cos 25EO A EO A E ∠==， 因此，二面角1A BD C --的余弦值为925.。
山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线,若,则( )A.-1或2B.1C.1或-2D.-22.过点的直线与线段MN 相交，，则的斜率的取值范围为( )A.B.C.或D.或3.在三棱柱中,记,点满足,则( )A. B. C. D.4.已知点关于直线对称，则对称点的坐标为( )A. B. C. D.5.已知向量,若共面,则( )A.4B.2C.3D.16.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )7.下列命题中正确的是( )A.点关于平面对称的点的坐标是B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为12:20,:2(1)20l ax y l x a y +-=+++=12//l l a =(3,3)P l (2,3),(3,2)M N ---l k 1665k ≤≤566k ≤≤65k ≤6k ≥16k ≤65k ≥111ABC A B C -1,,AA a AB b AC c === P 12BP PC =AP = 121333a b c -+ 212333a b c ++212333a b c +-121333a b c ++(2,1)P -10x y -+=(0,1)-(0,2)-(1,1)-(2,1)-(2,1,3),(1,4,2),(1,3,)a b c λ=-=--=,,a b c λ=(2,1)P --:(13)(1)240(R)l x y λλλλ+++--=∈310x y -+=40x y +-=250x y +-=310x y -+=(3,2,1)M yOz (3,2,1)--l (1,1,2)e =- α(6,4,1)m =-l α⊥l α120︒l α30︒D.已知为空间任意一点,四点共面，且任意三点不共线，若，则8.在空间直角坐标系中,,点在平面ABC 内,则当|OH |取最小时，点的坐标是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则( )A.若，则B.若，则C.若,则D.若,则向量在向量上的投影向量10.下列说法正确的是( )A.直线的倾斜角的取值范围是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.过点且在轴,轴截距相等的直线方程为D.经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程.11.已知正方体的棱长为1,E 为线段的中点,点和点分别满足,其中,则下列说法正确的是( )A.平面AECB.AP 与平面所成角的取值范围为C.D.点到直线的距离的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.O ,,,A B C P 12OP mOA OB OC =-+12m =-O xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C H H 211,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,1,1)(2,1,1),(1,,2)a x b y ==-1,24x y ==-ab ‖1,1x y ==a b⊥1,12x y ==cos ,a b <>= 1,12x y ==ab 112,,333c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-210a x y -+=20x ay --=(1,2)P x y 30x y +-=()()1122,,,x y x y ()()()()211211x x y y y y x x --=--表示1111ABCD A B C D -1B C F P 11111,D F D C D P D B λμ==,[0,1]λμ∈BP ⊥11BDD B 45,60︒︒⎡⎤⎣⎦PE PF +P 1B C PE =12.在直线上求一点,使它到直线的距离等于原点到的距离,则此点的坐标为________________.13.已知空间向量两两夹角为,且,则__________________.14.如图,两条异面直线a,b 所成的角为,在直线a,b 上分别取点,和点A,F,使,且.已知,则线段的长为_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,三棱柱中,底面边长和侧棱长都等于1,.(1)设,用向量表示,(2)并求出的长度;(3)求异面直线与所成角的余弦值.16.(15分)已知点,_________________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处,并作答(1)求直线的方程;(2)求直线关于直线的对称直线的方程条件①:点关于直线的对称点的坐标为；条件②:点的坐标为，直线过点且与直线PM 平行;210x y -+=:320l x y +-=l ,,a b c 60︒||||||1a b c === |2|a b c -+= θA 'E AA a '⊥AA b '⊥,,A Em AF n EF l '===AA '111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1,,AA a AB b AC c === ,,a b c1BC 1BC 1AB 1BC (1,3)P 1l 2:250l x y +-=1l P 1l 1P (1,1)-M (6,2)-1l (2,4)-条件③:点N 的坐标为,直线过点且与直线PN 垂直.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.（15分）已知直线.(1)若坐标原点到直线,求的值;(2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程.18.(17分)如图,在四棱锥中,底面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,,分别为线段AD,DC,PB 的中点.(1)证明：平面PEF//平面GAC ；(2)求直线GC 与平面PCD 所成角的正弦值.19.(17分)如图1所示中,分别为PA,PB 中点.将沿DC 向平面ABCD上方翻折至图2所示的位置，使得。
江苏省扬州中学2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学(含答案)
2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）A B. C. 或 D. 或2. 若圆与圆相切，则（）A. 6B. 3或6C. 9D. 3或93. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D.4. 若点在圆内，则直线与圆C 的位置关系为（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ）A. B. C. D.6. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.7. 已知圆关于直线对称，则实数（ ）.()()2,02,3A B ､l ()1,2P AB l k 21k -≤≤112k -≤≤12k ≤-1k ≥2k ≤-1k ≥()2221:(4)0O x y r r ++=>222:(2)9O x y -+=r =1:10l x y -+=2:210l x y --=1l 2l 3450x y +-=3410x y --=3410x y -+=4310x y --=4310x y -+=(),P a b221Cx y +=：1ax by +=(2,1)M -2+1=0x y -22(2)(1)5x y -+-=22(2)(1)5x y -++=22(2)(1)25x y -++=22(2)(1)25x y -+-=224x y +=y x b =+b ()2,2-(()1--()1,1-22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =A 1或 B. 1 C. 3 D. 或38. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 若直线与圆交于两点，则（ ）A. 圆的圆心坐标为B. 圆的半径为3C. 当时，直线倾斜角为D. 的取值范围是10. 已知点在上，点，，则（ ）A. 点到直线的距离最大值是B. 满足的点有2个C. 过直线上任意一点作的两条切线，切点分别为，则直线过定点D. 的最小值为11. 设直线系（其中均为参数，），则下列命题中是真命题的是（）A. 当时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切B. 当时，若存在一点，使其到直线系中所有直线的距离不小于1，则C. 存在，使直线系中所有直线恒过定点，且不过第三象限D. 当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为1三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..的3-1-22:(cos )(sin )1(02π)M x y θθθ-+-=≤<22:240N x y x y +--=A B ､tan ANB ∠344543:2cos 0l x y θ-⋅=22:10E x y +--=,A B E ()-E 1cos 2θ=l π4AB ⎡⎢⎣P 22:4O x y +=e ()3,0A ()0,4B P AB 125AP BP ⊥P AB O e ,M N MN 4,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2PA PB +:cos sin 1m n M x y θθ+=,,m n θ{}02π,,1,2m n θ≤≤∈1,1m n ==M 2,1m n ==(),0A a M 0a ≤,m n M m n =M12. 已知直线，圆，写出满足“对于直线上任意一点，在圆上总存在点使得”的的一个值______．13. 已知二次函数与轴交于两点，点，圆过三点，存在一条定直线被圆截得弦长为定值，则该定值为__________.14. 如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B 两点）上的一个动点，，则的最小值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知直线与直线．（1）若，求m 的值；（2）若点在直线上，直线过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．16. 已知：及经过点的直线.（1）当平分时，求直线的方程；（2）当与相切时，求直线的方程.17. 如图，已知，直线.（1）若直线等分的面积，求直线的一般式方程；（2）若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程.的:1l x my =--22:6890O x y x y ++++=l A O B π2ABO ∠=m ()()223411y x m x m m =+---∈R x ,A B ()1,3CG ,,A B C l G ,3,2PB AB AB PB ⊥==1)3AP BA QC +⋅（()1:280l m x my ++-=2:40,R l mx y m +-=∈12l l //()1,P m 2l l l C e ()()22124x y -+-=()1,1P --l l C e l l C el (()(),0,0,12,0A BC (():20l k x y k k +--=∈R l ABC Vl (2,P P BC K AC I P PK18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆交于两点，当数的值；（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.19. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者．（1）计算点和点之间的“距离”；（2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积；（3）证明：对任意点．的M 340x -+=(M x M ()()():21174l m x m y m m +++=+∈R M ,P Q PQ =m M x M ,A B O ,OA OB 8x =,C D ,OAB OCD V V 12,S S 12S S ()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12t PP 1P 2P t -{}max ,p q ,p q ()1,2P ()2,4Q t -()000,P x y 0r >0P t -r 0P r t -O 12t -()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+2024—2025学年第一学期高二上10月自主学习效果评估数学试卷2024.10.08一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1（答案不唯一）【13题答案】【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）或【16题答案】【答案】（1） （2）或.【17题答案】【答案】（1； （2）.【18题答案】【答案】（1） （2）. （3）.【19题答案】【答案】（1）； （2）4；（3）证明见解析.3--1m =-10x y -+=20x y -=3210x y -+=1x =-51270x y --=170y +-=2100x -=22(4)16x y -+=23m =-1423。
福建省2024-2025学年高二上学期10月月考模拟数学试卷 (解析版)
2024-2025学年福建省高二上学期10月月考模拟数学试卷注 意 事 项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(0,3,3)a =是直线l 的方向向量，(1,1,0)b − 是平面m 的一个法向量，则直线l与平面m 所成的角为（ ） A ．π6B ．π4C．π3D ．π2【答案】A【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，结合线面角的公式即可得到结果. 【详解】设直线l 与平面m 所成的角为θ，由题意可得，1sin cos ,2a θ=< ，即π6θ=.故选：A 2．已知()2,1,3a =−，()1,4,2b =−− ，(),2,4c λ= ，若a ，b ，c共面，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由a，b，c 三向量共面，我们可以用向量a，b作基底表示向量c，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．【详解】 ()2,1,3a =− ，()1,4,2b =−−，∴a与b不平行，又 a，b，c三向量共面，则存在实数x ，y 使c xa yb =+，即242324x y x y x y λ−= −+=−= ，解得213x y λ== =． 故选：C3．如图，在棱长均相等的四面体O ABC −中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设,,OA a OB b OC c === ，则OE =（ ）A ．111663a b c ++B ．111333a b c ++C ．111663a b c +−D ．112663a b c ++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】由于12CE ED =， 所以()11113332CE CD CA AD CA AB==+=+ 1136CA AB +, 所以1136OE OC CE OC CA AB =+=++()()1136OC OA OC OB OA =+−+−112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D4．设,R x y ∈，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y =，()2,4,2c =− 且,//a c b c ⊥，则a b += （ ）A．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得,x y 的值，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量(),1,1,a x = ()1,,1,= b y ()2,4,2,=−c 且,//a c b c ⊥，可得2420124x y−+== − ，解得1,2x y ==−，所以()1,1,1a = ，()1,2,1b =− ，则()2,1,2a b +− ，所以3a b +=. 故选：C.5．已知三棱锥O ABC −，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a = ，OB b =，OC c = ，用a ，b ，c表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12b c a +− B ．()12a b c +− C ．()12a b c −+ D ．()12c a b −− 【答案】A【分析】由向量对应线段的空间关系，应用向量加法法则用OA ，OB ，OC 表示出MN即可.【详解】由图知：1111()2222MN MO OC CN OA OC CB OA OC OB OC =++=−++=−++− 1111()2222OA OB OC b c a =−++=+−.故选：A6．已知正三棱柱111ABC A B C −的各棱长都为2，以下选项正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1BC 垂直B ．1BC 与平面11AA B BC ．平面1ABC 与平面ABCD ．点C 到直线1AB【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,由空间向量法求空间角、距离，判断垂直． 【详解】如图，以AB 为x 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B，C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B，1C ，11(2,0,2),(2)AB BC −，112420AB BC ⋅=−+=≠ ，1AB 与1BC不垂直，A 错；平面11AA B B 的一个法向量为(0,1,0)m =，111cos ,BC m BC mBC m ⋅==所以1BC 与平面11AA B BB 正确； 设平面1ABC 的一个法向量是(,,)n x y z = ，又(2,0,0)AB =，由100n AB n BC ⋅= ⋅=得2020x x z = −+= ，令2y =得(0,2,n = ，平面ABC 的一个法向量是(0,0,1)p =，cos ,n p =所以平面1ABC 与平面ABCC 错；AC =，12AB AC ⋅=，d 所以点C 到直线1AB的距离为h ===，D 错； 故选：B ．7．在正方体1111ABCD A B C D −中，在正方形11DD C C 中有一动点P ，满足1PD PD ⊥，则直线PB 与平面11DD C C 所成角中最大角的正切值为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】根据题意,可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点.由BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角可知当PC 取得最小值时,PB 与平面11DD C C 所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,与半圆的交点为P,此时PC 取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得PC ,进而求得tan BPC ∠.【详解】正方体1111ABCD A B C D −中,正方形11DD C C 内的点P 满足1PD PD ⊥ 可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:当直线PB 与平面11DD C C 所成最大角时,点P 位于圆心E 与C 点连线上 此时PC 取得最小值.则BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角设正方体的边长为2,则1PC EC EP =−−,2BC =所以tan BC BPC PC ∠=【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.8．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍薨”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍薨，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，AD =ADE 与BCF 都是等边三角形，且二面角E AD B −−与F BC A −−相等，则EF长度的取值范围为（ ）A ．()2,14B ．()2,8C ．()0,12D ．()2,12【答案】A【分析】由题意找到二面角E AD B −−与F BC A −−的两个极端位置，即二面角的平面角为0 和180 时，求得相应EF 的长，集合题意即可得答案.【详解】由题意可知AD =ADE 与BCF 都是等边三角形，故ADE 与BCF 的底边,AD BC 上的高为3=， 因为二面角E AD B −−与F BC A −−相等，故当该二面角的平面角为0 时，此时EF 落在四边形ABCD 内，长度为8232−×=，当该二面角的平面角为180 时，此时EF 落在平面ABCD 上，长度为82314+×=，由于该几何体ABCDEF 为五面体，故二面角E AD B −−与F BC A −−的平面角大于0 小于180 ，故EF 长度的取值范围为()2,14，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024-2025学年牡丹江市一中高二数学上学期10月考试卷附答案解析
2024-2025学年牡丹江市一中高二数学上学期10月考试卷考试时间:120分钟分值:150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在x 轴与y 轴上截距分别为2,2的直线的倾斜角为（）A.150︒B.135︒C.90︒D.45︒2.若直线210x y +-=是圆()221x y a ++=的一条对称轴，则圆心坐标为（）A.(0,1)B.(0,1)- C.1(0,)2 D.1(0,2-3.直线:10l x y -+=与圆22:230O x y x +--=交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（）A.B.2C. D.24.直线1l ：()2410a x y -+-=，直线2l ：()230x a y +-+=，则直线12l l ⊥是3a =-的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A.(][),11,-∞-+∞ B.[]1, 1- C.[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6.已知空间中三点()()()0,0,0,1,,2,1,2,1A B m C --，平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =-，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A.32B.2C.3D.7.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且3AF FC = ，则AE DF ⋅=（）A .53-B.14-C.14D.538.在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A.12B.22C.32D.2二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线l 310y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线l 的一个法向量为)3,1B.若直线m ：310x -+=，则l m⊥C.点)3,0到直线l 的距离是2D.过()23,2与直线l 平行的340x y --=10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且5MP =.下列结论正确的是（）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.11.已知直线:10l kx y k +--=过定点P ，且与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，则（）A.点P 的坐标为()1,1 B.AB 的最小值是23C.OA OB ⋅的最大值是0D.2PA PB ⋅=-三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量(0,1,1),(2,1,2)OA OB ==-，则点A 到直线OB 的距离为___________．13.17世纪,笛卡尔在《几何学》中,通过建立坐标系,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,创立了新分支——解析几何,我们知道,方程1x =在一维空间中,表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面,过点()1,1,2P -,法向量为()1,2,3v =的平面的方程是_________.14.设R m ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的取值范围是___________.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程．16.如图，边长为2的等边PDC △所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =M 为BC 的中点．（1）求证：PD BC ⊥；（2）若N 为直线PA 上一点，且MN PA ⊥，求直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值．17.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．18.如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC △沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥，连接PB 得三棱锥P ABC -，如图2．（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．19.已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --.（1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.2024-2025学年牡丹江市一中高二数学上学期10月考试卷考试时间:120分钟分值:150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在x 轴与y 轴上截距分别为2,2的直线的倾斜角为（）A.150︒B.135︒C.90︒D.45︒【答案】B 【解析】【分析】由截距式确定直线方程即可求解.【详解】由题意可得直线方程为221x y+=，化简可得：2y x =-+，所以1k =-，即倾斜角为135︒.故选:B2.若直线210x y +-=是圆()221x y a ++=的一条对称轴，则圆心坐标为（）A.(0,1)B.(0,1)-C.1(0,)2D.1(0,2-【答案】A 【解析】【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值.【详解】圆()221x y a ++=的圆心为()0,a -，因为直线210x y +-=是圆的一条对称轴，所以圆心()0,a -在直线210x y +-=上，所以()2010a ⨯+--=，解得1a =-，故圆心坐标为(0,1).故选：A.3.直线:10l x y -+=与圆22:230O x y x +--=交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（）A.B.2C. D.2【答案】B 【解析】【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心()1,0O 作OD AB ⊥于D ，分别计算OD 和||AB ，即可求得AOB V 的面积.【详解】如图，由圆22:230O x y x +--=配方得，22(1)4x y -+=，知圆心为()1,0O ,半径为2，过点()1,0O 作OD AB ⊥于D ，由()1,0O 到直线:10l x y -+=的距离为OD ==,则||2||AB AD ==故AOB V 的面积为11222AB OD ⋅=⨯.故选：B.4.直线1l ：()2410a x y -+-=，直线2l ：()230x a y +-+=，则直线12l l ⊥是3a =-的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】假设12l l ⊥成立，去推导3a =-是否成立，假设3a =-去推导12l l ⊥是否成立即可得.【详解】若12l l ⊥，由()2410a x y -+-=，可得214k a =-，若240a -=，即2a =±，则需20a -=，即2a =，即可得2a =时，12l l ⊥，故12l l ⊥不是3a =-的充分条件；若3a =-，则1495k =-=-，211325k =-=---，此时121k k =-，故12l l ⊥，综上，直线12l l ⊥是3a =-的必要不充分条件.故选：B.5.已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A.(][),11,-∞-+∞ B.[]1, 1- C.[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】求出直线PA 、PB 的斜率后可求直线l 的斜率的范围.【详解】12103PA k --==-+，而11102PB k --==-，故直线l 的取值范围为(],1(1,)∞∞--⋃+，故选：A.6.已知空间中三点()()()0,0,0,1,,2,1,2,1A B m C --，平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =-，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A.32B.2C.3D.【答案】D【分析】运用法向量求出()1,,2B m 坐标，再求出平行四边形边长和夹角余弦值，进而求出正弦值，再用面积公式即可.【详解】平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =- ，则()1,1,1(1,,2)0n AB m ⋅=-⋅=，解得1m =-，故()1,1,2B -.()()1,1,2,1,2,1AB AC =-=--，则1cos 2||||AB ACA AB AC ⋅===⋅，则3sin 2A ==.则平行四边形面积为11||||sin 22222AB AC A ⋅⨯=⨯= .故选：D.7.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且3AF FC =，则AE DF ⋅=（）A.53-B.14-C.14D.53【答案】C【分析】取AB ，AC，AD 为基底，表示出AE ，DF ，再利用向量数量积的运算求解.【详解】如图：取AB ，AC，AD 为基底，则2AB AC AD === ，,,,60AB AC AB AD AC AD ===︒ ，所以22cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=.又1122AE AB AC =+ ，34DF AF AD AC AD =-=- .所以113224AE DF AB AC AC AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 231318282AB AC AB AD AC AC AD=⋅-⋅+-⋅313122428282=⨯-⨯+⨯-⨯14=.故选：C8.在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A.12B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】连接AC 交BD 于点O ，由题意得AC BD ⊥，接着建立空间直角坐标系求出向量AB和平面APC的法向量n即可根据向量法的点到平面距离公式AB n d n⋅=求解.【详解】连接AC 交BD 于点O ，由题意，得AC BD ⊥，1122OB OD AB ===，2OA OC ===，如图，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1110,,0,,0,0,0,,0,,0,22222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()11,,1,0,222AC AB BD ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，设()101BP BD λλ=≤≤ ，所以()111,,01,0,2,,22222AP AB BP AB BD λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面APC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则n ACn AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以00113202222y n AC x n AP x y z z λλλλ=⎧⎧⋅==⎪⎪⎪⎛⎫⇒-⎨⎨⎛⎫ ⎪⋅=-+++=⎝⎭⎪⎪ ⎪=⎝⎭⎩⎪⎩ ，取4x λ=，则()4,0,21n λλ=-，设顶点B 到平面APC 距离为d ，则AB n d n⋅==当0λ=时0d =，当01λ<≤时，d ==所以当12λ=即12λ=时点B 到平面APC 距离最大为12=.故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线l 的一个法向量为)B.若直线m ：10x -+=，则l m⊥C.点)到直线l 的距离是2D.过()2与直线l 40y --=【答案】CD 【解析】【分析】对于A ：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B ：根据直线垂直分析判断；对于C ：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D ：根据直线平行分析求解.【详解】对于A ，因为直线l 10y -+=的斜率k =11=≠-，可知)不为直线l 的一个法向量，故A 错误；对于B ，因为直线m：10x -+=的斜率3k '=，且11kk '=≠-，所以直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C，点)到直线l 的距离2d ==，故C 正确；对于D ，过()2与直线l平行的直线方程是2yx -=-，即40y --=，故D 正确．故选：CD.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =.下列结论正确的是（）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.【答案】ACD 【解析】【分析】取AD 的中点N ，分析可知MN ⊥平面ABCD .对于A ：分析可知动点P 的轨迹是以点N 为圆心，半径为1的半圆，即可得结果；对于B ：分析可知异面直线MP 与1BB 所成角即为PMN ∠，即可得结果；对于C ：根据数量积的几何意义分析判断；对于D ：分析可知O MN ∈，进而求球的半径和表面积.【详解】取AD 的中点N ，连接,MN NP ，因为,M N 分别为11,A D AD 的中点，则MN ∥1AA ，且12MN AA ==，又因为1AA ⊥平面ABCD ，则MN ⊥平面ABCD ，由NP ⊂平面ABCD ，可得MN NP ⊥.对于选项A ：在Rt MNP △中，1NP ==，可知动点P 的轨迹是以点N 为圆心，半径为1的半圆，所以动点P 的轨迹长度为12π1π2⨯⨯=，故A 正确对于选项B ：因为MN ∥1AA ，1BB ∥1AA ，则MN ∥1BB ，可知异面直线MP 与1BB 所成角即为PMN ∠，其正切值为1tan 2NP PMN MN ∠==，故B 错误；对于选项C ：因为线段MP 在平面ABCD 内的投影为NP ，结合选项A 可知：MP 在AB方向上的投影数量的最大值为1，所以MP AB ⋅的最大值为12AB ⨯= ，故C 正确；对于选项D ：设三棱锥P MAD -的外接球的球心为O ，半径为R ，因为MN ⊥平面ABCD ，且N 为PAD 的外接圆圆心，可知O MN ∈，则()2221R R =-+，解得54R =，所以三棱锥P MAD -的外接球表面积为225π4π4R =，故D 正确；故选：ACD.11.已知直线:10l kx y k +--=过定点P ，且与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，则（）A.点P 的坐标为()1,1 B.AB 的最小值是C.OA OB ⋅的最大值是0D.2PA PB ⋅=-【答案】ACD 【解析】【分析】将直线l 的方程化简为点斜式，判断出A 项的正误；根据OP l ⊥时l 被圆O 截得弦长最短，算出||AB 的最小值，从而判断出B 项的正误；利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合圆的性质求出OA OB ⋅ 的最大值与PA PB ⋅的大小，从而判断出CD 两项的正误．【详解】根据题意，圆22:4O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径2r =．对于A ，直线10kx y k +--=，可化为1(1)y k x -=--，所以直线l 经过点(1,1)，斜率为k -，因此直线:10l kx y k +--=过定点(1,1)P ，A 项正确；对于B ，当OP l ⊥时，直线l 到圆心O的距离||d OP ==此时||AB ==，可知||AB的最小值是，故B项不正确；对于C ，()22212cos 4cos 412sin 4124124AB AB OA OB OA OB AOB AOB BOM r ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⋅=⋅∠=∠=-∠=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于||AB的最小值是，此时24124AB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 取最大值，故最大值为0，故C 项正确；对于D ，设AB 的中点为M ，连接OM ，则OM AB ⊥，可得22()()()()||||PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA PM MA ⋅=+⋅+=+⋅-=-2222222(||||)(||||)||||242OP OM OA OM OP OA r =---=-=-=-=-，故D 项正确．故选：ACD ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量(0,1,1),(2,1,2)OA OB ==-，则点A 到直线OB 的距离为___________．【答案】1【解析】【分析】根据点到直线距离公式求出答案.【详解】OA 在OB方向上投影向量的模为||1OA OB d OB⋅== ，所以点A 到直线OB1==．故答案为：113.17世纪,笛卡尔在《几何学》中,通过建立坐标系,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,创立了新分支——解析几何,我们知道,方程1x =在一维空间中,表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面,过点()1,1,2P -,法向量为()1,2,3v =的平面的方程是_________.【答案】2350x y z ++-=【解析】【分析】在空间直角坐标系中,若法向量为(),,n A B C =,且平面过点()000,,x y z ,那么平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=计算可得.【详解】过点()1,1,2P -,法向量为()1,2,3v =的平面的方程为()()()1121320x y z -+++-=,即2350x y z ++-=.故答案为:2350x y z ++-=.14.设R m ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的取值范围是___________.【答案】⎡⎣【解析】【分析】可得直线分别过定点()2,7-和()1,3且垂直，可得22||25.PA PB +=设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=,π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则π4PA PB θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求值域即可．【详解】由题意可知，动直线()270x m y ++-=，经过定点()2,7A -，动直线30mx y m --+=即()130m x y --+=，经过定点()1,3B ，0m ≠ 时，动直线()270x m y ++-=和动直线30mx y m --+=的斜率之积为1-，0m =时，也垂直，所以两直线始终垂直，又P 是两条直线的交点，PA PB ∴⊥，222||||25PA PB AB ∴+===．设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=，由0PA ≥且0PB ≥，可得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎣⎦，()π5sin cos4PA PB θθθ⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ3π,444θ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，πsin ,142θ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，π4θ⎛⎫⎡∴+∈ ⎪⎣⎝⎭，故答案为：⎡⎣.【点睛】关键点点睛：因为222||||25PA PB AB +==，设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=，则π4PA PB θ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可求得PA PB +的取值范围.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程．【答案】（1）()()221220x y ++-=（2）3460x y -+=或2x =-【解析】【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A 半径r ，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；(2)过A 做AQ MN ⊥，由垂径定理可知圆心到直线l ，设出直线l ，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程【小问1详解】易知−1,2到直线270x y ++＝的距离为圆A 半径r ，所以r ==，则圆A 方程为()()221220x y ++-=【小问2详解】过A 做AQ MN ⊥,由垂径定理可知90MQA ∠︒＝，且MQ =，在Rt AMQ 中由勾股定理易知1AQ ==当动直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为2x =-，经检验圆心到直线l 的距离为1，且根据勾股定理可知MN =，显然2x =-合题意，当动直线l 斜率存在时，l 过点()2,0B -，设l 方程为：()2y k x =+，由−1,2到l 距离为11=得34k =，代入解之可得3460x y -+=，所以3460x y -+=或2x =-为所求l 方程．16.如图，边长为2的等边PDC △所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =M 为BC 的中点．（1）求证：PD BC ⊥；（2）若N 为直线PA 上一点，且MN PA ⊥，求直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）223【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质证明线面垂直进而得到线线垂直;（2）建立空间直角坐标系，求出平面PAM 的法向量，利用向量夹角余弦公式求出直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值.【小问1详解】因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面ABCD DC =，BC CD ⊥，⊂BC 平面ABCD ，所以⊥BC 平面PDC ，又因为PD ⊂平面PDC 所以.PD BC ⊥【小问2详解】如图，以D 点为原点，分别以直线,DA DC 为x 轴，y 轴，依题意，可得()0,0,0D ，(3P ，()0,2,0C ，()2,0,0A ，)2,2,0M ，所以2,1,3PM =，()2,2,0AM =-，222(2)1(3)6PM ∴=++-6AM =，又MN PA ⊥ ，N ∴为PA 的中点.132,,22N ⎫∴⎪⎪⎝⎭，所以132,,22DN ⎫=⎪⎪⎝⎭，设 =s s 为平面PAM 的法向量，因为2,1,3PM =，()2,2,0AM =-，则00n PM n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即230220y z x y +-=+=⎪⎩，取1y =，可得2,3x z ==所以2,1,3n =为平面PAM 的一个法向量，设直线DN 与平面PAM 所成角为θ，则2sin cos ,336DN nDN n DN nθ⋅===⨯⋅，所以直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值为2.317.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）2310x y --=，51(,77，（2）107.【解析】【分析】（1）设点B 的坐标是(,)m m ，由AB 的中点在直线CM 上，求得点B 的坐标，再求出点A 关于直线y x =的对称点即可求得直线BC 的方程，联立方程组求出点C 坐标.（2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积.【小问1详解】由点B 在y x =上，设点B 的坐标是(,)m m ，则AB 的中点12(,22m m ++在直线CM 上，于是1221022m m +++⨯-=，解得1m =-，即点(1,1)B --，设A 关于直线y x =的对称点为00(,)A x y '，则有00002112122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得0021x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)A '，显然点(2,1)A '在直线BC 上，直线BC 的斜率为1(1)22(1)3k --==--，因此直线BC 的方程为21(1)3y x +=+，即2310x y --=，由2310210x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得51,77x y ==，则点51(,)77C ，所以直线BC 的方程为2310x y --=，点C 的坐标为51(,)77.【小问2详解】由（1）得413||7BC ==，点A 到直线BC的距离d ==，所以ABC V 的面积110||27S BC d =⋅=.18.如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC △沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥，连接PB 得三棱锥P ABC -，如图2．（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；23【解析】【分析】（1）推导出PA AC ⊥，证明出⊥BC 平面PAB ，可得出PA BC ⊥，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，BC 、AC、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PM PC λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合01λ≤≤求出λ的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：翻折前，因为四边形ABCD 为平行四边形，60D ∠= ，则60B ∠= ，因为22DC AD ==，则2AB DC ==，1BC AD ==，由余弦定理可得22212cos 4122132AC AB BC AB BC B =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以，222AC BC AB +=，则BC AC ⊥，同理可证AD AC ⊥，翻折后，则有BC AC ⊥，PA AC ⊥，因为PC BC ⊥，AC PC C = ，AC 、PC ⊂平面PAC ，所以，⊥BC 平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，则PA BC ⊥，因为AC BC C = ，AC 、⊂BC 平面ABC ，所以，PA ⊥平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，以点A 为坐标原点，BC 、AC、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,0、0,0,1、()3,0C 、()3,0B -，设()()3,13,PM PC λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，则()()()0,0,13,0,3,1AM AP PM λλλλ=+=+-=-，()3,0AB =-，设平面ABM 的法向量为(),,m x y z = ，则()30310m AB x m AM y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取1y λ=-，则3z λ=，)31x λ=-，所以，))31,1,3m λλλ=--，平面MBC 的一个法向量为(),,n a b c =，()3,1PB =-- ，()3,1PC =-，则3030n PB a b c n PC b c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令3b =，可得()3,3n = ，则()224335cos ,823413m n m n m n λλλ-⋅==⋅⨯-+ ，整理可得23λ=，因此，线段PC 上存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，且23PM PC =.19.已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --.（1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1x =-或158170x y --=；（2）()()221436x y +++=；（3）存在；定点()1,4R 时，定值为22或定点14,1717R ⎛⎫⎪⎝⎭时，定值为346.【解析】【分析】（1）讨论斜率是否存在：当斜率不存在时，易判断1x =-为圆O 的切线；当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，进而确定直线方程.（2）由点到直线距离公式可先求得点M 到直线2120x y --=的距离，再根据所得弦长和垂径定理，即可确定半径，进而得圆M 的方程；（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(,)R a b ，(,)P x y ，22PQPRλ=，根据切线长定理及两点间距离公式表示出22,PQ PR，代入22PQ PRλ=并结合圆M 的方程，化简即可求得144,a b λλλλ--==，进而代入整理的方程可得关于λ的一元二次方程，解方程即可确定,,a b λ的值，即可得定点坐标及PQPR的值.【详解】（1）若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为1x =-，为圆O 的切线；当切线O 的斜率存在时，设直线方程为()41y k x +=+，即40kx y k -+-=，∴圆心O1=，解得158k =，∴直线方程为158170x y --=综上切线的方程为1x =-或158170x y --=.（2）点()1,4M --到直线2120x y --=的距离为d ==，∵圆被直线212y x =-截得的弦长为8，∴6r ==，∴圆M 的方程为()()221436x y +++=.（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(),R a b ，(),P x y ，22PQPRλ=∵点P 在圆M 上，∴()()221436x y +++=，则222819x y x y +=--+∵PQ 为圆O 的切线，∴OQ PQ ⊥，∴222211PQ PO x y =-=+-，()()222PR x a y b =-+-，∴()()22221x y x a y b λ⎡⎤+-=-+-⎣⎦21即()2228191281922x y x y ax by a b λ--+-=--+--++整理得()()()()2222288218190*a x b y a b λλλλλλλ-+++-+++---=若使()*对任意x ，y 恒成立，则222220882018190a b a b λλλλλλλ-++=⎧⎪-++=⎨⎪---=⎩，∴144a b λλλλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入得2214418190λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简整理得23652170λλ-+=，解得12λ=或1718λ=，∴1214a b λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或1718117417a b λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴存在定点()1,4R ，此时PQ PR为定值2或定点14,1717R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时PQ PR为定值6.【点睛】本题考查了过圆外一点的切线方程求法，注意斜率不存在的情况，由几何关系确定圆的方程，圆中定点和定值问题的综合应用，属于难题.。
河南省新乡市原阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年高二上期10月月考数学试卷考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的倾斜角是( )A. B. C.D.2.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k 等于( )A. 4B. -4C. 5D. 3.若双曲线离心率为2，过点，则该双曲线的方程为( )A. B. C. D. 4．若圆：与圆：相切，则（ ）A ．9B ．10C ．11D ．9或115．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A 到B 走过的路程为（）AB ．CD ．6．如图，棱长为1的正方体，中M ，N 点，分别是线段，的中点，记E 是线段的中点，则点E 到面的距离为（）10y --=3π-6π-6π3πα(1,2,2)a =-β(2,4,)b k =-- αβ⊥5-2222:1x y C a b-=2221x y -=2213y x -=22531x y -=22126x y -=1C ()()22121x y ++-=2C ()()22256x y r -++=r =()1,0A 10x y ++=()6,5B -1111ABCD A B C D -1BB 1DD 1MC 1ANBA．BCD ．7．已知，，动点P 满足，则点P 的轨迹与圆相交的弦长等于（）A ．BCD8．棱长为2的菱形ABCD 中，，将沿对角线BD 翻折，使A 到P 的位置，得到三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥B ．C ．存在某个位置，使得D ．存在某个位置，使得面BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．以下四个命题正确的有（）A ．直线与直线B ．直线l 过定点，点和到直线l 距离相等，则直线l 的方程为C ．点到直线D ．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件10．下列说法正确的是（）A ．在四面体OABC 中，若，则A ，B ，C ，G 四点共面B ．若G 是四面体OABC 的底面三角形ABC 的重心，则C ．已知平行六面体的棱长均为1，且，则2313()2,0A -()2,0B PAPB=224x y +=60BAD ∠=︒ABD △P BCD -P BCD -CD PC⊥CD PB⊥CP ⊥220x y +-=2410x y ++=()0,1-()3,4A --()6,3B 330x y -++=()1,210x y +-=a R ∈210ax y +-=()120a x ay a +-+=3a =151266OG OA OB OC =-++()13OG OA OB OC=++1111ABCD A B C D -1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒对角线D ．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为11“黄金椭圆”，在椭圆中，，，，分别是椭圆的左、右顶点和上、下顶点，，是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则下列选项中，能使椭圆是“黄金椭圆”的有（）A ．轴且B ．C ．四边形的内切圆过D ．非选择题部分三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知椭圆C ：，则椭圆的短轴长为______．13．已知，过定点M 的动直线与过定点N 的动直线相交于点P ，则的最大值是______．14．已知一张纸上画有半径为4的圆O ，在圆O 内有一个定点A ，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C ．则曲线C 上的点到点O 的最大距离为______．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）如图，在正方体中，E 为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．1AC =p mx n y k z =++ (),,m n k p {},,x y z p{},,a b c ()1,2,3p {},,a b a b c -+ 13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭()222210x y a b a b+=>>1A 2A 1B 2B 1F 2F 1PF x ⊥21//PO A B 2121122F F A F A F =1122A B A B 1F 2212A B F B ⊥2221x y +=a R ∈310ax y a --+=310x ay a +--=PM PN 2OA =A 'A 'OA '1111ABCD A B C D -1BB 1A C ⊥11AB D 1CC 1AD E16．（本小题15分）圆C 过点和，圆心C 在直线上．（1）求圆C 的标准方程（2）直线l 经过点，且被圆C 所截得的弦长为4，求直线l 的方程17．（本小题15分）已知O 为坐标原点，是椭圆C：的左焦点，点P 是椭圆的上顶点，以点P 为圆心且过的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆C 的方程（2）斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B两点，求面积的最大值18．（本小题17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD ，，，BD 是的平分线，且，二面角的大小为60°．（1）若E 是棱PC 的中点，求证：平面PAD（2）求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的夹角的余弦值19．（本小题17分）已知圆O 的方程为，与x 轴的正半轴交于点N ，过点作直线与圆O交于A 、B 两点．（1）若坐标原点O 到直线AB 的距离为1，求直线AB 的方程；（2）如图所示，已知点P(-4,0), 一条斜率为－1的直线交圆于R ，S 两点，连接PS ，PR ，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．()4,2A ()1,3B 1y x =-()1,1P -()11,0F -()222210x y a b a b+=>>1F x =AOB △P ABCD -PAD ⊥2PA AD ==4BD =AB =ADC ∠BD BC ⊥P AB D --//BE 2216x y +=()3.0M NPS ∠NPR ∠NPS NPR ∠+∠高二年级数学答案一、选择题：1．D 2．D 3．B 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 二、选择题；9．ACD 10．BCD 11．CD三、填空题；1213．4 14．3四、解答题；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，面，则，又，，∴面，则同理，，∴平面（Ⅱ）解法一：以A 为原点，AD 、AB 、分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为a ，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，∴，设直线与平面所成角为θ，则，故直线与平面所成角的正弦值为．BC ⊥11ABB A 1BC AB ⊥11AB A B ⊥1BC A B B = AB ⊥1A BC 11AB A C⊥111B D A C ⊥1111B D AB B = 1A C ⊥11AB D 1AA ()0,0,0A ()10,0,A a =()1,0,D a a 10,,2E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()10,0,AA a = ()1,0,AD a a = 10,,2AE a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1AD E (),,m x y z = 10m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()0102a x z a y z +=⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎩2z =2x =-1y =-()2,1,2m =--1AA 1AD E 11122sin cos ,33m AA a m AA a m AA θ⋅====⋅⋅1CC 1AD E 23解法二：设正方体的棱长为，则，，，， 由余弦定理知，∴，∴，设点到平面的距离为h ，∵，∴，∴，设直线与平面所成角为θ，则．故直线与平面所成角的正弦值为．16．（1）AB 的中垂线方程为，联立，知，则∴圆C 的标准方程是（2）若直线l 的斜率不存在，直线l ：，弦长，成立若直线l 的斜率存在，设直线l ：，圆心C到直线l 的距离为1，，则直线l ：∴直线l ：或17．（1）∴椭圆C 的方程为（2）设，，直线l ：联立方程，得2a 1AD =AE =13ED a =1212222AA D S a a a =⋅⋅=△2221111cos 2AD AE ED EAD AD AE +-∠===⋅⋅1sin EAD ∠=12111sin 32EAD S AD AE EAD a =⋅⋅∠=△1A 1EAD 111A EAD E AA D V V --=221132233h a a a ⋅=⋅⋅43h a =1AA 1AD E 1423sin 23a h AA a θ===1CC 1AD E 2335y x =-351y x y x =-⎧⎨=-⎩()2,1C r =()()22215x y -+-=1x =4=()11y k x +=-134k =3744y x =-1x =3744y x =-a =1c =2212x y +=()11,A x y ()22,B x y y x m=+2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2234220x mx m ++-=∵直线l 交椭圆C 于A ，B 两点 ∴，得，∴弦长又点O 到直线l 的距离∴当，即时取得等号 ∴18．解：（1）取CD 中点F ，连接BF ，EF ∵ ∴，则而B D 是的平分线，则，从而，则，BF 不在平面PAD 内，平面PAD ，则平面PAD E ，F 分别是PC ，CD 的中点，则，EF 不在平面PAD 内，平面PAD ，则平面PAD ，又∴平面平面PAD ∴平面PAD（2）由题知，，又面面ABCD ，得面PAD 则是二面角的平面角，即，是等边三角形，如图建系，，，设平面PAB 的一个法向量为，则，得，令，则()221612220m m ∆=-->23m <1243m x x +=-212223m x x -=2ABx =-=d 1122S AB d =⋅==≤232m =m =max S =BDBC ⊥BF DF =FDB FBD∠=∠ADC ∠FDB ABD ∠=∠FBD ADB ∠=∠//BF AD AD ⊆//BF//EF PD PD ⊆//EF EF BF F= //BEF //BE BA AD ⊥PAD ⊥BA ⊥PAD ∠P AB D --60PAD ∠=︒PAD ∆(P ()1,0B -()0,1,0D ()C ()1,,n x y z =1100n AP n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1z =()10,n =同理平面的PCD 一个法向量，设平面PAB 与平面PCD 的夹角为α则∴平面PAB 与平面PCD19．（1）若直线AB 的斜率不存在，距离为3，不符合若直线AB 的斜率存在，设直线AB ：，得∴直线AB 的方程为（2）设直线RS ：，，记，，联立方程，得 ∴，，∴，∴∵，都是锐角 ∴的定值．()1n =-1212cos n n n n α⋅==()3y k x =-1=k =y x =y x =y x m =-+()11,R x y ()22,S x y 111tan 4y k NPR x ==∠+222tan 4y k NPS x ==∠+2216x y y x m⎧+=⎨=-+⎩2222160x mx m -+-=12x x m +=212162m x x -=()12122y y x x m m +=-++=()()21212162m y y x m x m -=-+-+=()1212121244tan tan tan 1tan tan 144y yx x NPS NPRNPS NPR y y NPS NPR x x +++∠+∠∠+∠==-∠⋅∠-⋅++()()()12121212122484161416416x x m x x m m x x x x y y m -+-+++===+++-+NPS ∠NPR ∠0NPS NPR π<∠+∠<4πNPS NPR ∠+∠=。
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。
福建省厦门市同安第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)数学试题
福建省厦门市同安第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（ ） A ．()2,1,4--B ．()2,1,4C ．()2,1,4---D ．()2,1,4-2．若{},,a b c r r r 和{},,a b b c m +-r r r r r 都为基底，则m r不可以为（ ）A ．a rB ．c rC ．a c +r rD ．-r r a c3．若直线3m y x n m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在y 轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线1322y x =+的倾斜角的2倍，则（ ） A ．4m =-，3n =- B ．4m =，3n = C ．4m =，3n =-D ．4m =-，3n =4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11B C 和11A D 的中点，则直线AC 与平面ABEF 所成角的正弦值为（ ）A B C D 5．集合{}6,2,3A =-，集合{}7,1,2B =-，从A ，B 中各任意取一个数相加为a ，则直线1:430l x ay +-=与直线2:440l ax y ++=平行的概率为（ ）A ．19B ．49C ．13D ．296．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC V 是边长为3的正三角形，M 是AB 上一点，12AM MB =u u u u r u u u r ，D 为BC 的中点，N 为PD 上一点且23PN PD =u u u r u u u r ，则MN =（ ）A ．5B ．3 CD 7．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11AC 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得//PQ BDB ．存在点Q ，使得PQ ⊥平面11ABCD C ．三棱锥Q APD -的体积是定值D ．存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π68．设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（ ）A．B ．C ．3D ．6二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充分不必要条件B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．过()()1122,,,x y x y 两点的所有直线，其方程均可写为112121y y x x y y x x --=-- D ．已知()()2,4,1,1A B ，若直线:20l kx y k ++-=与线段AB 有公共点，则21,32k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．若直线l 的方向向量为()2,4,2m =-r ，平面α的一个法向量为()1,2,1n =--r，则l α⊥B ．若空间中任意一点O ，有111362OP OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．若空间向量a r ，b r 满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 夹角为钝角D ．若空间向量()1,0,1=r a ，()0,1,1b =-r ，则a r在b r 上的投影向量为110,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．122CQ AB AD AA =--+u u u r u u u r u u u r u u u rB ．点1C 到直线CQ C ．3CQ =u u u rD ．异面直线CQ 与BD 所成角的正切值为4三、填空题12．求经过()2,2且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．13．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，当AM 、BN 最短时，AM MN ⋅=uuu r uuu r．14．如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M ，N 分别为直线AB ，CE 上的动点，则MN 的最小值为．四、解答题15．在三棱锥P-ABC 中，2AB BC PC PB ====，90ABC ∠=︒，E 为AC 的中点，PB AC ⊥．(1)求证：平面PBE ⊥平面ABC ； (2)求点C 到平面P AB 的距离．16．已知ABC V 的顶点()4,2A -，顶点C 在x 轴上，AB 边上的高所在的直线方程为20x y m ++=．(1)求直线AB 的方程；(2)若AC 边上的中线所在的直线方程为40x y --=，求m 的值．17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，且14AA =，14CC CE =u u u u r u u u r，直线AE 与1AC 交于点F .(1)证明：1AC ⊥平面ABE . (2)求二面角1A BE A --的正弦值.18．在面积为S 的ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． (1)求C 的值；(2)若c ABC V 周长的最大值；(3)若ABC V 为锐角三角形，且AB 边上的高h 为2，求ABC V 面积的取值范围．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，5AB AD +=，CD 120PAD ∠=︒，=45ADC ∠︒.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)设AB AP =.①若直线PB 与平面PCD ，求线段AB 的长. ②在线段AD 上是否存在点G ，使得点P ，C ，D 在以G 为球心的球上？若存在，求线段AB 的长；若不存在，说明理由.。
广东省广州市铁一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
广州市铁一中学2024-2025学年第一学期10月月考高二数学本试卷共4页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分。
1．已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（）A ．B ．C ．D ．2．空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为1N 、2N 、3N ，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为，则该物体的重力大小为（）A ．B ．C ．D ．3．“”是“直线和直线平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图，在平行六面体中，为、的交点．若，，则向量（）A ．B．C D ．5．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．6．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点、分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱、、分别交于、、，设四面体的体积为，则的最小值为（）{,,}a b c2a b c -- a b c ++ 22a b +2a b- 3a c+ 32b c+ 60︒NN5N6N4a =()1:220l a x ay +++=()()2:1210l a x a y -+--=1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D ,AB a AD b == 1AA c =BM =1122a b c-++ 1122a b c++1122a b c--+ 1122a b c-+ ()2,1A -()3,B m 1m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦AB π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦π5π0,,π36⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭π2π0,,π63⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ ππ5π,,π326⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ABCD V M BC E F DM N AF N αAB AC AD O P Q AOPQ V 'V V'A．B ．C ．D ．7．在棱长为的正方体中，M ，N 分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（）．A ．B ．C ．D ．8．如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，、分别为直线、上的动点，则线段的最小值为（）ABCD二、多项选择题：本大题3小题，每小题6分，共18分。
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
湖南2024—2025学年意高二第一学期第一次大徐习数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知z=，则z=（）A.1i33-B.1i33+ C.12i33- D.12i33+【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求出答案.【详解】由题意得11i333z-===-，故选：A2.设集合{}(){}212,ln1A x xB y y x=+≤==+，则A B=（）A.[]0,1B.[]3,0- C.[)3,∞-+ D.[)0,+∞【答案】C【解析】【分析】由绝对值不等式解出集合A，再由对数的单调性得到集合B，最后求并集即可；【详解】由题意可得21231x x-≤+≤⇒-≤≤，所以{}3|1A x x=-≤≤，因为211x+≥，所以()2ln10y x=+≥，所以{}|0B y y=≥，所以[)3,A B=-+∞，故选：C.3.）A.2π B.3πC. D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面面积求出r，结合圆锥侧面积公式，即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r，，母线长为2r，1212r r⨯=∴=，则该圆锥的表面积为2π1π123π⨯+⨯⨯=，故选：B4.若角α满足ππcos()2cos()36αα+=-，则πcos(23α-=（）A.45- B.35- C.45 D.35【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式求出t n(aπ6α-，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式法求值.【详解】由ππcos()2cos()36αα+=-，得πππcos[()]2cos()266αα+-=-，即ππsin(2cos()66αα--=-，则πtan(26α-=-所以2222ππcos()sin()ππ66cos(2)cos2()ππ36cos()sin()66αααααα----=-=-+-2222π1tan()1(2)36π1(2)51tan()6αα----===-+-+-.故选：B5.已知平面上三个单位向量,,a b c满足()2ac b=+，则a c⋅=（）A.12B.2C.14D.34【答案】C【解析】【分析】将()2ac b=+平方后求出78a b⋅=-，再根据数量积的运算律，即可求得答案.【详解】由题意知平面上三个单位向量,,a b c满足()2ac b=+，则()2214a bc==+，即22148488a a b b a b +⋅=++=⋅ ，则78a b ⋅=- ，故()2712222284a c a ab a a b =⋅=⋅++⋅=-⨯=，故选：C6.若函数()f x 在定义域[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，则称()f x 为“Ω函数”．已知函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则实数m 的取值范围是（）A.[]4,10 B.[]4,14 C.[]10,14 D.[)10,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据“Ω函数”的定义确定()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩的值域为[0,]m ，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意可知()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩的定义域为[0,4]，又因为函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，故其值域为()()[0,4]f f ；而()()00,4f f m ==，则值域为[0,]m ；当02x ≤≤时，()5[0,10]f x x =∈，当24x <≤时，()24f x x x m =-+，此时函数在(2,4]上单调递增，则()(4,]f x m m ∈-，故由函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”可得041010m m ≤-≤⎧⎨≥⎩，解得1014m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]10,14，故选：C7.已知,A B 两点的坐标分别为()()0,1,1,0A B ，两条直线1:10l mx y -+=和()2:10l x my m +-=∈R 的交点为P ，则AP BP +的最大值为（）A.2B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点P 的轨迹，再设ABP θ∠=，结合辅助角公式求出即可；【详解】由题意可得直线1:10l mx y -+=恒过定点()0,1A ，2:10l x my +-=恒过定点()1,0B ，且两直线的斜率之积为1-，所以两直线相互垂直，所以点P 在以线段AB 为直径的圆上运动，AB =，设ABP θ∠=，则,AP BP θθ==，所以π2sin 4AP BP θθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以当π4θ=时，即0m =时，AP BP +取得最大值2，此时点P 的坐标为()1,1.故选：D.8.已知点P 在椭圆τ：22221x y a b +=(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设3,4PD PQ →→=直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（）A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设P 的坐标，由题意可得,A Q 的坐标，再由向量的关系求出D 的坐标，求出,AD PA 的斜率，设B 坐标，,P B 在椭圆上，将,P B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减所以可得224 PA PB b k k a⋅=-，再由PA PB ⊥可得,a b 的关系，进而求出离心率．【详解】设()11,P x y ，则()()1111,,,A x y Q x y ---，3,4PD PQ →→=，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则2211222222221 ,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212,,PBAD AB y y x x b k k k x x a y y -+==-⋅=-+即()1211211121124 ,4PA y y y y y y k x x x x x x ++===++，,PA PB ⊥故 1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故3 2e =.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若圆()22260x y x y a a +--+=∈R 上至多存在一点，使得该点到直线3450x y ++=的距离为2，则实数a 可能为（）A.5B.6C.7D.8【答案】BCD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径以及10a <，再结合题意列出相应不等式，即可求得答案.【详解】圆()22260x y x y a a +--+=∈R 即圆()()()221310x y a a -+-=-∈R ,需满足10a <，则圆心为()1,3圆心()1,3到直线3450x y ++=的距离为312545d ++==，要使圆()22260x y x y a a +--+=∈R 上至多存在一点，使得该点到直线3450x y ++=的距离为2，需满足42≥，解得610a ≤<，结合选项可知6，7，8符合题意，故选：BCD10.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，()1f x +为奇函数，则下列选项正确的是（）A.()f x 的图象关于直线1x =-对称B.()f x 的图象关于点()1,0对称C.()31f -=D.()f x 的一个周期为8【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB ；利用赋值法求出()1f 的值，结合对称性可求()3f ，判断C ；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D.【详解】由于函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为偶函数，则()()11f x f x --=-，即()()2f x f x --=，则()f x 的图象关于直线1x =-对称，A 正确；又()1f x +为奇函数，则()()11f x f x -+=-+，即()()2f x f x -+=-，故()f x 的图象关于点()1,0对称，B 正确；由于()()11f x f x -+=-+，令0x =，则()()()11,10f f f =-∴=，又()f x 的图象关于直线1x =-对称，故()()310f f -==，C 错误；又()()2f x f x --=，()()2f x f x -+=-，则()()22f x f x --=--+，故()()22f x f x -=-+，即()()4f x f x +=-，则()()8f x f x +=，即()f x 的一个周期为8，D 正确，故选：ABD11.在棱长均为1的三棱柱111ABC A B C -中，1160A AB A AC BAC ∠=∠=∠=，点T 满足1AT xAB y AC z AA =++，其中[],,0,1x y z ∈，则下列说法一定正确的有（）A.当点T 为三角形111A B C 的重心时，2x y z ++=B.当1x y z ++=时，AT 的最小值为3C.当点T 在平面11BB C C 内时，x y z ++的最大值为2D.当1x y +=时，点T 到1AA 的距离的最小值为2【答案】BCD 【解析】【分析】将AT 用1,,AB AC AA 表示，再结合1AT xAB y AC z AA =++ 求出,,x y z ，即可判断A ；将AT平方，将()1z x y =-+代入，再结合基本不等式即可判断B ；当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+- ，再根据1AT xAB y AC z AA =++ ，求出,,x y z ，再根据[],,0,1x y z ∈即可判断C ；求出AT 在1AA方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不等式即可判断D.【详解】对于A ，当点T 为三角形111A B C 的重心时，()()11111211323AT A B A C AB AC =⨯+=+，所以1111133A AA A T AB AC A T A =++=+ ，又因为1AT xAB y AC z AA =++ ，所以1,13x y z ===，所以53x y z ++=，故A 错误；对于B ，2222211221222xy AB AC xz AB AA yz AC AA AT x AB y AC z AA +⋅+⋅+++⋅=+222x y z xy xz yz =+++++()()()21x y z xy xz yz xy xz yz =++-++=-++，因为1x y z ++=，所以()1z x y =-+，则()()()1xy xz yz xy x y z xy x y x y ⎡⎤++=++=++-+⎣⎦()()()()()2224x y xy x y x y x y x y +=++-+≤++-+()()223321144333x y x y x y ⎛⎫=-+++=-+-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当23x y +=时取等号，所以()2121133AT xy xz yz =-++≥-= ，所以3AT ≥，所以AT 的最小值为63，故B 正确；对于C ，当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+-，则()11AT AB BT AB AC AA μμλ=+=-++ ，又因为1AT xAB y AC z AA =++ ，所以1,,x y z μμλ=-==，所以11x y z μμλλ++=-++=+，因为[]0,1z λ=∈，所以[]11,2λ+∈，所以x y z ++的最大值为2，故C 正确；对于D ，当1x y +=时，由A 选项知，()()22222221AT x y z xy xz yz x y z xy x y z z xy z =+++++=++-++=+-+ ，AT 在1AA 方向上的投影为111111AT AA xAB AA y AC AA z AA AA AA ⋅=⋅+⋅+⋅111222x y z z =++=+，所以点T 到1AA的距离d ==因为()2144x y xy +≤=，所以2d =≥=，当且仅当12x y ==时，取等号，所以点T 到1AA的距离的最小值为2，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：当点T 在平面11BB C C 内时，则存在唯一实数对(),λμ使得()11BT BB BC BB AC AB λμλμ=+=+- ，再根据1AT xAB y AC z AA =++，求出,,x y z ，是解决C选项的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机事件,A B 满足()()()111,,342P A P B P A B ==+=，则()P AB =____________．【答案】112【解析】【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案.【详解】由题意可知()()()111,,342P A P B P A B ==+=，故()()()()P A B P A P B P AB +=+-,则()()()()111134212P AB P A P B P A B =+-+=+-=，故答案为：11213.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为积为__________．【答案】100π【解析】【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果．【详解】由题意设三棱台为111ABC A B C -，如图，上底面111A B C所在平面截球所得圆的半径是112332O A =⨯⨯，1(O 为上底面截面圆的圆心)下底面222A B C所在平面截球所得圆的半径是2223432O A =⨯⨯，2(O 为下底面截面圆的圆心)由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O 在直线12O O 上，当O 在线段12O O1=，无解；当O 在12O O1=，解得225R =，因此球的表面积是24π4π25100πS R ==⨯=．故答案为：100π14.已知2024是不等式()22log 2321log x x a a+->+的最小整数解，则a 的取值范围为____________．【答案】2021202222a ≤<【解析】【分析】结合分式不等式和对数函数与指数函数互换的性质变形不等式，再分21log a +大于零和小于零时分类讨论即可；【详解】由题意可得012230xa a a >⎧⎪⎪≠⎨⎪->⎪⎩，变形不等式可得()()222222223log 2log 2321log 01log 1log 1log xx a x x a a a a a a-+-+-+-=>+++，当211log 02a a +>⇒>时，有2223log 20x a x a-+->，由指数函数和对数函数的互化并整理可得2223240x x a a -⋅->，即()()2420xxaa -+>，解得24x a >或2x a <-（舍去），从而2log 4x a >，又12a >时2log 41a >，所以要使2024是不等式()22log 2321log x x aa+->+的最小整数解，有22023log42024a ≤<，解得2021202222a ≤<，所以2021202222a ≤<，当211log 002a a +<⇒<<时，注意到20242024323212a ->->，此时，不等式的分子大于零，不符合题意，综上，a 的取值范围为2021202222a ≤<.故答案为：2021202222a ≤<.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布．（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值99c =，从样本中该医学指标在[]95,105上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？【答案】（1）97.5c =，() 3.5%q c =（2）815【解析】【分析】（1）由图1，根据漏诊率()0.5%p c =列式求出c ，再由图2求出误诊率()q c ；（2）根据图2求出100个未患病者中，该项医学指标在[]95,105中的人数以及被误诊者的人数，再利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.【小问1详解】依题可知，图1第一个小矩形的面积为50.0020.5%⨯>，所以95100c <<，所以()950.0020.5%c -⨯=，解得97.5c =，()()0.0110097.550.0020.035 3.5%q c =⨯-+⨯==．【小问2详解】由题可知，100个未患病者中，该项医学指标在[]95,105中的有100(0.0100.002)56⨯+⨯=人，其中被误诊者有100(10099)0.0110050.0022⨯-⨯+⨯⨯=人，记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件A ．分别用a ，b ，c ，d ，E ，F 表示这6人，E ，F 代表被误诊的2人，样本空间{},,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aE aF bc bd bE bF cd cE cF dE dF EF Ω=，事件{},,,,,,,A aE aF bE bF cE cF dE dF =，故()15n Ω=，()8n A =，()()()815n A P A n ==Ω，故2人中恰有一人为被误诊者的概率是815．16.已知圆22:80C x y y +-=，过点()2,2P 的直线l 与圆C 交于,A B 两点，点M 满足2OM OA OB =+，其中O 为坐标原点．（1）求点M 的轨迹方程；（2）若CMP !的面积为2，求AB ．【答案】（1）()()22132x y -+-=（2）【解析】【分析】（1）设s ，求出圆心坐标，利用CM MP ⊥的数量积为零求出轨迹方程即可；（2）设圆心到直线的距离为d ，由三角形面积公式求出2d ，再利用弦长公式求解即可；【小问1详解】由2OM OA OB =+可得点M 为线段AB 的中点，设s ，圆方程化为标准方程为()22416x y +-=，所以圆心()0,4C ，半径4r=，所以()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--，因为CM MP ⊥，所以()(),42,20x y x y -⋅--=，整理可得()()22132x y -+-=，所以点M 的轨迹方程为()()22132x y -+-=，【小问2详解】设圆心到直线的距离为d ，因为M 为AB 的中点，且CM AB ⊥，CMP !的面积为2，CP =所以122d =，即4d =，解得24d =，由弦长公式可得AB ===17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是矩形，PA PD ==，PB PC ==90APB CPD ∠=∠=︒，点M ，N 分别是棱BC ，PD 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）69【解析】【分析】（1）取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，由平面几何知识可得//NQ BM 且NQ BM =，进而可得//MN BQ ，由线面平行的判定即可得证；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，取EF 的中点为O ，连接OP ，建立空间直角坐标系后，求出平面PCD 的一个法向量为n 、直线MN 的方向向量MN，利用sin cos n MN n MN n MNθ⋅=⋅=⋅即可得解.【详解】（1）证明：取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，如图：又点N 是PD 的中点，则//NQ AD 且12NQ AD =，又点M 是BC 的中点，底面ABCD 是矩形，则12BM AD =且//BM AD ，∴//NQ BM 且NQ BM =，∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ ，又MN ⊄平面PAB ，BQ ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，则PF AB ⊥，PE PF P = ，∴AB ⊥平面PEF ，又AB ⊂平面ABCD ，∴平面PEF ⊥平面ABCD ，∵3PA PD ==，6PB PC ==90APB CPD ∠=∠=︒，∴3AB CD ==，2PE PF ==2BE CF ==，1AE DF ==.设平面PAB ⋂平面PCD l =，可知////l CD AB ，∵平面PAB ⊥平面PCD ，∴90EPF ∠=︒，∴2EF =，取EF 的中点为O ，连接OP 、OM ，则OP ⊥平面ABCD ，1OP =，∴OM 、OF 、OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OM ，OF ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,O xyz -，如图所示，则()0,0,1P ，()2,1,0C ，()1,1,0D -，()2,0,0M ，111,,222N ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴()2,1,1PC =- ，()1,1,1PD =--，511,,222MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由020n PD x y z n PC x y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=+-=⎩ ，令1y =可得()0,1,1n =r .设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，则6sin cos 9n MN n MN n MNθ⋅=⋅===⋅∴直线MN 与平面PCD所成角的正弦值为9.【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.18.已知P是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)上一点，以点P 及椭圆的左、右焦点F 1，F 2为顶点的三角形面积为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 2作斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，M 是l 1与C 两交点的中点，N 是l 2与C 两交点的中点，求△MNF 2面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=；（2）49﹒【解析】【分析】(1)由椭圆过的点的坐标及三角形的面积可得a ，b ，c 之间的关系，求出a ，b 的值，进而求出椭圆的标准方程；(2)由题意设直线1l 的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出交点的中点M 的纵坐标，同理求出N 的纵坐标，进而求出2MNF 面积的表达式，换元由函数的单调性求出其最大值．【小问1详解】由题意可得22222231122a b c c a b ⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得：28a =，24b =，∴椭圆的标准方程为：22184x y +=；【小问2详解】由(1)可得右焦点2(2,0)F ，由题意设直线1l 的方程为：2x my =+，设直线与椭圆的交点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则中点M 的纵坐标为122M y y y +=，联立直线1l 与椭圆的方程222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(2)480m y my ++-=，12242m y y m -+=+，∴222Mmy m -=+，同理可得直线2l 与椭圆的交点的纵坐标2212()21122()N m m y m m-⋅-==++-，∴2221|||||||2MNF M N S MF NF y y =⋅=⋅△22422222(1)2(1)||||2522(1)m m m m m m m m ++==++++222||121m mm m =+⋅++，设0m >，令212m t m+=，则2212MNF S t t=+△，令1()2f t t t =+，2t ，21()2f t t '=-，2t ，()0f t '>恒成立，∴()f t 在[2，)+∞单调递增，∴22241192222MNF S t t ==+⨯+△．∴2MNF 面积的最大值为：49．19.基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式为122a a +≥．由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．基本不等式可以推广到一般的情形：对于n 个正数12,,...,n a a a ，它们的算术平均数121...1nn n i i a a a A a n n =+++==∑（注：121...nin i aa a a ==+++∑）不小于它们的几何平均数()11121...nnnn ni i G a a a a =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏（注：121...ni n i a a a a ==∏），即)12...n n n a a a A G n+++≥≥，当且仅当12...n a a a ===时，等号成立．（1）已知0x y >>，求()1x y x y +-的最小值；（2）已知12,,...,0n a a a >且12...1n a a a +++=．（ⅰ）求证：()()2221111nnniii i a na==-≥-∏∏；（ⅱ）当2024n ≥，求3111nii i i a n a a =++-∑的最小值，其中11n a a +=．【答案】（1）3（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）421n n -【解析】【分析】（1）直接使用均值不等式即可证明()13x y x y +≥-，再构造取到等号的例子即可；（2）（ⅰ）使用适当的1n +元和1n -元均值不等式，再将所得结果相乘即可；（ⅱ）先研究函数()()()ln 1ln 1f x x x =---+的性质，再利用相应性质得到结果.【小问1详解】由均值不等式得()()()1133x y x y y x y y x y +=+-+≥⋅--.而当2x =，1y =时，有0x y >>，()112321x y x y +=+=--.所以()1x y x y +-的最小值是3.【小问2详解】（ⅰ）由于12,,...,0n a a a >，12...1n a a a +++=，故对1,2,...,i n =，由均值不等式有()()11121112111......1......n i i i i i n i i i i n a a a a a a a a n a a a a a a a +-+-++=++++++++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，()()11121112111......1......n i i i n i i n a a a a a a n a a a a a --+-+-=++++++≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅.将二者相乘，得()()2222211121111......nn nii i nia n a a a a a a+--+-≥-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.再将该不等式对1,2,...,i n =相乘，即得()()()()()22212112222211111111n n n nn n n n nnn i i i i i i i i a n a n a n a -⋅++-====⎛⎫⎛⎫-≥-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏.（ⅱ）对01x <<，设()()()ln 1ln 1f x x x =---+.则()1111f x x x'=--+，()()()2211011f x x x ''=+>-+.对01a b <<<，设()()()()()h u f u f b u b f b '=---，01u <<.则()()()h u f u f b '''=-，()()0h u f u ''''=>，所以()h u '在()0,1上递增.所以对0u b <<有()()()0h u f u f b '''=-<，对1b u <<有()()()0h u f u f b '''=->.这表明()h u 在()0,b 上递减，在(),1b 上递增，所以由a b ≠有()()()()()()0f a f b a b f b h a h b '---=>=.这就得到()()()()0f a f b a b f b '--->，同理有()()()()0f b f a b a f a '--->，即()()()()0f a f b a b f a '---<.再设()()()()()()11g t tf a t f b f ta t b =+--+-，01t ≤≤.则()()()()()()1g t f a f b a b f ta t b ''=---+-，()()()()210g t a b f ta t b ''''=--+-<.所以()g t '在[]0,1上递减.而()()()()()00g f a f b a b f b ''=--->，()()()()()10g f a f b a b f a ''=---<.所以一定存在01η<<，使得对0t η<<有()0g t '>，对1t η<<有()0g t '<.故()g t 在[]0,η上递增，在[],1η上递减，而()()010g g ==，结合()g t 的单调性，知对任意01t <<有()0g t >.特别地，有102g ⎛⎫>⎪⎝⎭，即()()022f a f b a b f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭，此即()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.对01b a <<<，同理有()()22f a f b a b f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.而对01a b <=<，显然有()()22f a f b a b f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭.综上，对任意(),0,1a b ∈，有()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.先证明一个引理：设()12,,...,0,1n a a a ∈，则()()()1212......n nf a f a f a a a a f nn ++++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.用数学归纳法证明.①当1n =时，结论显然成立.②若结论对n k =成立，则对()122,,...,0,1k a a a ∈，有()()()()()()()()()12212122.........222k k k k k f a f a f a f a f a f a f a f a f a k k k+++++++++++=+1212212122 (1)11222k k k k kk k k a a a a a a a a a a a a f f f f k k k k ++++++++++⎛++++++⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212212122............22k k k kk k k k a a a a a a a a a a a a k k f f k ++++++++++⎛⎫+ ⎪+++++++⎛⎫≥=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭.从而结论对2n k =也成立.结合①②，可知原结论对无穷多个正整数n 成立.③若结论对1n k =+成立，则对()12,,...,0,1k a a a ∈，有()()()()()()12121212 (1)kk k k a a a f a f a f a f f a f a f a a a a k f k kk k +++⎛⎫++++ ⎪++++++⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭()()()121212.........111k k k a a a f a f a f a f a a a k k f k k k k +++⎛⎫++++ ⎪++++⎛⎫⎝⎭≥⋅ ⎪+⎝⎭1221212.........111k k k k k a a a a a a a a a k k f f k k k k +++++⎛⎫++++ ⎪++++⎛⎫≥⋅-⎪ ⎪+⎝⎭⎪⎝⎭121212 (1)1k kka a a a a a a a a k f f f k k k k k ++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.从而结论对n k =也成立.由于原结论对无穷多个正整数n 成立，再结合③，即知原结论对任意的正整数n 成立.引理证毕，回到原题.由于我们有()()()21ln 1ln 1ln1f x x x x =---+=-，故1211111ln 122223332111111111e 1nn i i n n nna nnni i i i i i i i i i i i i i a a a n n n n n a a a a a a a =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭====++++∏⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥===⋅ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏∏∏()221111ln1111114ln11222222221eeeee111n nni i k i k k f a f a f n n n a n n n n n n n n n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑=⋅=⋅≥⋅=⋅=⋅=⋅=-⎛⎫- ⎪⎝⎭.而当121...n a a a n ====时，有2343222111113111111nnni i i i i i a n n n nn n n n a a n n n n n===++===⋅=-----∑∑∑.所以3111ni i i i a n a a =++-∑的最小值是421nn -.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对全新知识和工具的运用，适当运用工具方可解决问题.。
四川省成都2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学含答案
成都2024—2025学年度高二上期10月月考数学试卷（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第I 卷和第II 卷两部分；2．本堂考试120分钟，满分150分；3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂；4．考试结束后，将答题卡交回．第I 卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A ．①随机数法，②抽签法B ．①随机数法，②分层抽样C ．①抽签法，②分层抽样D ．①抽签法，②随机数法2．已知向量()1,2,1a =- ，()3,,b x y = ，且//a b r r，那么实数x y +等于（）A ．3B ．-3C ．9D ．-93．若,l n 是两条不相同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A ．若l n ⊥，n β⊥，则l //βB ．若αβ⊥，l α⊥，则l //βC ．若//αβ，l α⊂，则l //βD ．若//l α，//αβ，则l //β4．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA上，且2ON NA =，则MN =（）A ．121232a b c--+B ．211322a b c-++C ．211322a b c-- D ．111222a b c+-5．为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）A ．58或64B ．59或64C ．58D ．596．已知点D 在ABC V 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，正数,x y 满足23DO xOA yOB OC =+- ，则yx 21+的最小值为（）A ．25B ．29C ．1D ．27．现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．C ．6D ．128．如图，四边形,4,ABCD AB BD DA BC CD =====ABD △沿BD 折起，当二面角A BD C --的大小在[,63ππ时，直线AB 和CD 所成角为α，则cos α的最大值为（）A ．16B C ．16D ．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()2,0,1a =-，()4,0,2b =- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-，平面α的法向量是()6,4,1m =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =- ，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,1,1d = ，平面α的法向量()1,0,1n =，则直线l 与平面α所成角的大小为π310．小刘一周的总开支分布如图①所示，该周的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（）A ．娱乐开支比通信开支多5元B ．日常开支比食品中的肉类开支多100元C ．娱乐开支金额为100元D ．肉类开支占储蓄开支的1311．已知四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点.N M ,是该四面体内切球球面上的两点，P 是该四面体表面上的动点.则下列选项中正确的是（）A.DE 的长为44B.D 到平面ABC 的距离为66C.当线段MN 最长时，PN PM ⋅的最大值为31D.直线OE 与直线AB 所成角的余弦值为33第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是．13．已知(2,1,3),(1,4,2)a b =-=-- ，c (4,5,)λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数λ的值为.14．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则平面BDP 与平面BDQ 所成角余弦值的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（满分13分）15．已知向量()6a m = ,，()1,0,2=b ，()()2R c m =∈ (1)求()a b c ⋅-的值；(2)求cos b c ,；(3)求a b - 的最小值.（满分15分）16．成都市政府委托市电视台进行“创建文明城市”知识问答活动，市电视台随机对该市1565～岁的人群抽取了n人，绘制出如图所示的频率分布直方图，回答问题的统计结果如表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第一组[15，25)500.5第二组[25，35)180a第三组[35，45)x0.9第四组[45，55)90b第五组[55，65)y0.6a b x y的值；（1）分别求出,,,（2）从第二、三、四、五组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取7人，则从第二、三、四、五组每组回答正确的人中应各抽取多少人.-中，ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥（满分15分）17．如图，在四棱锥P ABCDPC=.平面ABCD，直线PA与平面PBC所成的角为45︒，2（1）若E，F分别为BC，CD的中点，求证：直线AC⊥平面PEF；（2）求二面角D PA B--的正弦值.（满分17分）18．随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准.根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图,如图.(1)求a ；(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人？(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？（精确到小数点后2位）（满分17分）19．如图，四面体ABCD 中，2,AB BC BD AC AD DC ======(1)求证：平面ADC ⊥平面ABC ；(2)若(01)DP DB λλ=<<，①若直线AD 与平面APC 所成角为30°，求λ的值；②若PH ⊥平面,ABC H 为垂足，直线DH 与平面APC 的交点为G ．当三棱锥CHP A -体积最大时，求DGGH的值．高二上10月月考数学答案一、单选题：C D C C A B A B二、多选题：AC;BCD;BC3三、填空题：10；5；318:（1）由频率直方图可得，（2）由频率分布直方图可得样本中女性⨯=，所以全市女性50.020.1⨯=，10000000.1100000。
2024-2025学年福建省部分学校教学联盟高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年福建省部分学校教学联盟高二上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线l 的一个方向向量是( 3,1)，则直线l 的倾斜角是( )A. π6 B. π4 C. π3 D. 5π62.如图，三棱锥O−ABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 为BC 中点，点N 满足ON =2NA ，则MN =( )A. 12a−13b−23cB. 12a−13b +23c C. 23a−12b−12c D. −12a−23b +12c 3.已知直线l 1:2x +my =1，l 2:mx +8y =m−2，则“m =−4”是“l 1//l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知直线l 过点(m,3)和(3,2)，且在x 轴上的截距是1，则实数m 等于( )A. 1B. 2C. 3D. 45.设点A(1,2)，B(2,1)，若直线ax +y +1=0与线段AB 有交点，则实数a 的取值范围是( )A. [1,3]B. (−∞,−3]∪[−1,+∞)C. [−3,−1]D. (−∞,1]∪[3,+∞)6.已知空间向量|a |=3,|b |=2，且a ·b =2，则b 在a 上的投影向量为( )A. aB. 29aC. 92a 7.下面三条直线l 1：4x +y =4，l 2：mx +y =0，l 3：2x−3my =4不能构成三角形，则m 的集合是( )A. {−1,23}B. {4,−16}C. {−1,−16,23,4}D. {−1,−16,0,23,4}8.在矩形ABCD 中，AD =a ，AB =b ，b >a.将▵ACD 沿着AC 翻折，使D 点在平面ABC 上的投影E 恰好在直线AB 上，则此时二面角B−AC−D 的余弦值为( )A. a 2b 2B. a bC. ab bD. a +b2b 二、多选题：本题共3小题，共18分。
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太原五中2016—2017学年度第一学期阶段性检测高 二 数 学一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题有且只 有一个正确答案）1.下列四个结论：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行;②两条直线没有公共点，则这两条直线平行;③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行;④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32.下列说法中正确的是（ ）A ．棱长为1的正方体的内切球的表面积为4πB ．正方体1111ABCD A BCD -中，AB 与11C D 异面C ．三条平行直线最多确定三个平面D ．若平面⊥α平面β，平面⊥β平面γ，则平面α∥平面γ3. 如果直线012=-+ay x 与直线014)13(=---ay x a 平行，则a 等于( )A ．0B ．31- C ．0或1 D ． 0或31-4.已知直线l 的斜率k 满足11k -≤<，则它的倾斜角α的取值范围是（）A.004545<<-α B. 004545<≤-αC.︒<≤︒︒<<︒180135450αα或D.︒<≤︒︒<≤︒180135450αα或5. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥nB ．若α⊥β，m ∥n 且n ⊥β，则m ∥αC ．若m ⊥α，n ⊥β且m ⊥n ，则α⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂β且m ∥n ，则α∥β6.在正方体1111ABCD A BC D -中，下列结论错误．．的是（ ）A ．直线1BD 与直线CB 1所成的角为2π B ．直线C B 1与直线11C A 所成的角为3π C ．线段1BD 恰被平面C AB 1平分D ．线段1BD 在平面C AB 1内的射影是一个点7. 若P 是棱长为1的正四面体内的任一点，则它到这个正四面体各面的距离之和为（ ） A.23 B ．33 C ．26 D ．36 8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A.16B.13C.12D.1 9.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错．误．的是（ ） A ．P D DC 11⊥ B ．平面P A D 11⊥平面AP A 1C ．1PD AP +的最小值为22+ D ．1APD ∠的最大值为90°10.长方体1111ABCD A BC D -中，已知二面角A BD A --1的大小为6π，若空间有一条直线l 与直线1CC 所成的角为4π，则直线l 与平面BD A 1所成角的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡127,12ππ B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,12ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）11.若直线02:=+-+a y ax l 在两坐标轴上的截距相等，则a 的值为_______.12. 在长方体1111ABCD A BC D -中，==BC AB 4，1AA ＝3，则异面直线1AB 与D A 1所成的角的余弦值为 ．13. 若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是︒180，则该圆锥的母线长为 .14. 已知三棱锥ABC O -中，C B A 、、三点均在球心为O 的球面上，1AB BC ==, 0120ABC ∠=，三棱锥ABC O -的体积为41，则球O 的体积是 . 15. 如图，矩形ABCD 中，24AB BC ==,E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△1A DE ．若M 为线段1AC 的中点，则在△ADE 翻转过程中： ①BM 是定值；②点M 在某个圆上运动；③存在某个位置，使1DE AC ⊥；④存在某个位置，使MB ∥平面1A DE ．其中正确的结论是 .三、解答题：（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,立．体几何题目用空间向量方法解答的不予计分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 16.已知直线1l 的方程为0832=+-y x ，求2l 的方程，使得(1)2l 与1l 垂直，且过点（1，-2）；(2)2l 与1l 平行，且2l 与两坐标轴围成的三角形面积为3.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，12AB AA ==，AC =，3BC =，M ，N 分别为11B C 、1AA 的中点．（1）求证：//MN 平面1ABC ；（2）求点M 到平面1ABC 的距离．18. 如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠,.3,2,1=====AC BC FC EF BE(1)求证：ACFD 平面⊥BF ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.19.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，△PAB 与△PAD 都是等边三角形．（1）求异面直线CD 与PA 所成角的大小；（2）求二面角C PB D --的平面角的余弦值．太原五中2016-2017学年度第一学期阶段性检测（10月）高二数学参考答案一、选择题1-5 ACDDC 6-10 CDADB二、填空题11.1或2 12.259 13.52 14.π332 15.①②④三、解答题0123),1(232231320832)1.(1622211211=++--=+∴-=∴-=⋅∴⊥=∴=+-y x x y l k k k l l k y x l 即的方程为的方程为直线 06320632232232∴2∴3232123-,∴32∴32∴//)2(222212==+=+=±===+==y x y x x y x y l b b b S b x b y l b x y l k l l 或即，或的方程为直线由题意可知，轴上的截距为在轴上的截距为在的方程可表示为17.(1)证明：延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示：∵平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC∴AC ⊥平面BCK ，BF ⊂平面BCK∴BF ⊥AC又∵EF ∥BC ，BE=EF=FC=1，BC=2∴△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点∴BF ⊥CK ，且AC ∩CK=C∴BF ⊥平面ACFD(2)∵BF ⊥平面ACFD∴∠BDF 是直线BD 和平面ACFD 所成的角∵F 为CK 中点,且DF ∥AC∴DF 为△ACK 的中位线，且AC=3∴DF=23 又∵BF=3 ∴在Rt △BFD 中,72122123cos ,221493===∠=+=BD DF BDF BD 即直线BD 和平面ACFD 所成角的余弦值为721 18.（1）取1BC 中点D ，连接AD ，DM∵M 为11B C 中点，D 为1BC 中点∴1121,//BB DM BB DM =又∵N 为1AA 中点，四边形11ABB A 为矩形 ∴1121,//BB AN BB AN =∴DM AN DM AN =,// ∴四边形ADMN 是平行四边形∴AD MN //又∵⊂AD 平面1ABC ，⊄MN 平面1ABC∴//MN 平面1ABC（2）过N 作1NH AC ⊥于H∵//MN 平面1ABC∴N 到平面1ABC 的距离即为M 到平面1ABC 的距离∵222AB AC BC +=∴AB AC ⊥又∵1AA ⊥平面ABC ∴1AA AB ⊥又∵1AC AA A =∴AB ⊥平面11AAC C∵⊂NH 平面11AAC C ∴AB NH ⊥ 又∵1NH AC ⊥，A AC AB =1 ∴NH ⊥平面1ABC∴11111122AA AC NH AC ⨯=⨯== ∴点M 到平面1ABC19.(1)取BC 的中点E ，连接AE ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接OA,OB,OE,OD ∵90ABC BAD ∠=∠=︒∴AD BC //又∵2BC AD =，E 是BC 中点∴AD CE =∴四边形ADCE 是平行四边形∴AE CD //∴PAE ∠为异面直线CD 与PA 的所成角（或其补角）∵△PAB 和△PAD 都是等边三角形∴PA=PB=PD ，又∵PO ⊥平面ABCD ∴OA=OB=OD∵ABD ∆为直角三角形∴点O 为AE 和BD 的交点设a PA =，在POA Rt ∆中，22a OA = ∴22cos ==∠PA OA PAO ∴︒=∠45PAO ∴异面直线CD 与PA 的所成角为︒45（2）∵在BCD ∆中，222CD DB CB +=∴CD DB ⊥∵PO ⊥平面ABCD ∴PO CD ⊥又∵O DB PO =∴⊥CD 平面PBD ∴⊥CD PB∵在BPD ∆中，222BD DP BP =+∴⊥PD PB 又∵D PD CD = ∴⊥PB 面PCD ∴⊥PB CP∴CPD ∠为二面角C PB D --的平面角在ADP Rt ∆中，a PC 3=，333cos ===∠aa PC PD CPD ∴二面角C PB D --的平面角的余弦值为33。