03两个角动量相加

1 1 2 2
8
问题的讨论
ˆ ˆ ˆ2 ˆ 已知 { j m (1) j m (2)} 是{J12 , J1z , J 2 , J 2 z }共同 的正交归一完备本征函数系 →可将 jm (12) 作展开
1 1 2 2
jm (12)
j1 j2 m1m2
C jjm j m j m (1) j m (2) m
２、总自旋算符的本征方程
2 ˆ2 S S ( S 1) SM (12) SM (12) ˆ Sz M
SM (12)可向 { m (1) m (2)}作展开
1 2
→
SM
(12) C
m1 m2
SM 1 m1 1 m2 m1 2 2
(1) m (2)
2
15
两个电子体系的总自旋波函数
( j1 m )( j1 m 1) 2 j1 ( j1 1)
( j1 m )( j1 m 1) 2 j1 ( 2 j1 1)

1 2 1 2 1 2
0
m 1 j1 ( j1 1) 2
( j1 m 1)( j1 m 1) ( 2 j1 1)( j1 1)
1) m m1 m2 2) j j1 j2 , j1 j2 1,, | j1 j2 | 3) | m1 | j1 , | m2 | j2 , | m | j
19
二、C-G系数的性质—２
●C-G系数是联系耦合表象和非耦合表象 的幺正变换矩阵的矩阵元
jj
1 2
jm
第三章 两个角动量相加
２００４年１０月
1
§3.1 两个角动量算符之和
2
角动量算符和仍为角动量算符
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ●轨道角动量 L r p；[ Lx , Ly ] iLz ˆ ˆ ˆ ●自旋角动量 S；[ S x , S y ] iS z ˆ ˆ ˆ ˆ ● [ L, S ] 0 → J L S 仍为角动量
( j1 m )( j1 m ) j1 ( 2 j1 1)

1 2 1 2
1
( j1 m )( j1 m 1) ( 2 j1 1)( 2 j1 2 )
( j1 m )( j1 m 1) 2 j1 ( j1 1)
( j1 m )( j1 m 1) 2 j1 ( 2 j1 1)
22
二、C-G系数的性质—２（续）
●系数矩阵幺正性的证明（续）
m j ' m'| jm C jj 'm '' j m 'C jjm j m m m1 'm2 ' m1m2
1 1 2 2 1 1 2 2
j1m1 '| j1m1 j2 m2 '| j2 m2
m j ' j m 'm C jj 'm ' j m C jjm j m m m1m2
i i i
i 1,2
7
总角动量的本征方程；问题
对两粒子体系（只考虑角动量涉及的自由 度），其总角动量 J J1 J 2 的本征方程为 ˆ J 2 jm (12) j ( j 1) 2 jm (12)
ˆ J z jm (12) m jm (12)
问题：１） j与j1、j2的关系 ２） jm (12)与 j m (1)、 j m (2)的关系
lsjm (s z ) C
m1 m2 jm lm l 1 ms lm l 2
Y ( ) m ( s z )
s
其中j l 1 , l 1 2 2
l l
1 2
l1m 2 l1m 2
(s z ) (s z )
l m 1 2 2 l 1 lm 1 2
●进一步：任意个两两对易的角动量算符 之和仍为角动量算符 证明：设 J n J m iJ n nm ˆ ˆ ˆ 即 [ J nx , J my ] iJ nz nm
4
一般论证
则对于
k ˆ ˆ J J n J J n ; k n 1 n 1
C jjm j m j m j m m
m1m2
1 1 2 2 1 1 2
2
"J J J Jz"
1
jm C jjm j m j m j m m
1 2 2 1 1 2 2
2 2 1 2
2
"J Jபைடு நூலகம்J J "
2 1 1z
2 2 2z
20
二、C-G系数的性质—２（续）
●两个电子体系的例子 SM SM C m m m
11 22
m1m2
1 2
1 12
2
1 2
1
1 m 2 2
ˆ 2Sz " "s s S ˆ ˆ ˆ
2 2 1 2
"s s s s " ˆ ˆ ˆ ˆ
1 2
2 2 1 1z 2 2 z
00 0 12 1 1 1 0 1 10 0 2 11 0 0
1 1 2 2 1 1 2 2
9
§3.3 C-G系数的解析表达式 及性质
10
一、解析表达式
C-G系数的推导很繁琐，结果——
C
jm j1m1 j2 m2
( j1 j2 j )!( j1 j2 j )!( j2 j1 j )! [(2 j 1) ( j1 j2 j 1)!
1 2 1 2
1 2 1 (1) 2

( 2)
1 2
11 (12)
m1 m 2
11 C 12 m1 12 m2 m1 (1) m 2

1 2
( 2)
1 2 1 2
C 11 (1) (2) (1) (2)
1111 2222 1 2
16
二电子体系总自旋波函数
利用表１得到 10 (12) C 10 m
m1 m 2
1 2 111 222 1 2 1 2
1 12
m2 m1 (1) m 2

(2)
1 2 111 222 1 2 1 2
C 10 (1) (2) C 10 (1) (2)
1 2

查表
1 2
(1) (2)
1 2 1 2
1 2 1 (1) 2
1 1 1 1 1 1 1 1
j
2
' m2 '
| j m j
2 2
2
' j2
m 'm
2
2
j 'm ' | jm j ' j m 'm
以下记： j m | j1m1 ; | j m | j2 m2 ; |
1 1 2 2
| jm | jm
0 12 0
0 1 1 2 2 1 1 0 2 2 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2
21
二、C-G系数的性质—２（续）
●系数矩阵幺正性的证明
j 'm ' | j m j ' j m 'm
( j1 m1 )!( j1 m1 )!( j2 m2 )!( j2 m2 )!( j m)!( j m)!]1/ 2 (1) [ !( j1 j2 j )!( j1 m1 )!( j2 m2 )!
0
( j j2 m1 )!( j j1 m2 )!]1 m,m m
1 1 2 2 1 1 2 2
23
二、C-G系数的性质—２（续）
●系数矩阵幺正性的证明（续）
| jm | j ' m' j ' j m 'm
j 'm ' m | j ' m' C jj 'm ' j m C jjm j m m j 'm ' m1m2
1 1 2 2 1 1 2 2
m | j1m1 | j2 m2 C jj 'm ' j m | j ' m' j 'm '
1 1 2 2
→非耦合表象的基矢向耦合表象的基矢 的反展开式
25
二、C-G系数的性质—３
C-G系数的对称性
m 1) C jj m j m () j j
x, y , z
→ [J , J ] [ k J , k J ] k k [J , J ] ˆx ˆ y nx my nx my
n 1 m 1 k n 1m 1
ˆ ˆ ˆ iJ n nm iJ nz iJ z
n 1m 1 n 1
j1 m 2 j 1 1 1 1/ 2 j1 m 2 2 j 1 1
12
1 1/ 2 2
两个常用C-G系数表
●表２
j \ m2 j1 1 j1 j1 1
j2 1 C jjm m 1m m
1 2 2

1
( j1 m )( j1 m 1) ( 2 j1 1)( 2 j1 2 )
k
k
5
§3.2 两角动量算符和的 本征值和本征函数
6
两角动量各自的本征方程解
设 J1、J 2 分别是粒子1、2的角动量
j m 、 j m 是相应的本征函数 有 J 2 (i ) j ( j 1) 2 (i ) ˆ
1 1 2 2
i
ji mi
i
i
i
ji mi
ˆ J iz j m (i ) mi j m (i )

m1m2
jm C j1m1 j2 m2

j 'm '
j 'm ' C j1m1 j2 m2
| j ' m'
24
二、C-G系数的性质—２（续）
●系数矩阵幺正性的证明（续） | jm C jjm j m | j1m1 | j2 m2 又，已知 m mm 与上式比较得
1 1 2 2 1 2

( 2)
1 2
11 (12)
m1 m 2
1 2
11 C 12 m1 12 m2 m1 (1) m 2

( 2)
1 2 1 2
C 11 (1) (2) (1) (2)
11 22 1 2 1 2 1 2
17
单电子总角动量波函数
也可利用表１写出

13
1 2
1 2
1 2
两个电子体系的总自旋波函数
１、两电子自旋算符的本征方程
1 1 si2 ( 2 1) 2 ˆ m (i ) 2 m (i ) siz mi ˆ
i i
i 1,2
{ m (1) m (2)} 构成两电子自旋态空
1 2
间的完备基底
14
两个电子体系的总自旋波函数
Y

1 2
l m 1 2 2 l 1 lm 1 1 2 2
Y

1 2
l m 1 2 2 l 1 lm 1 2
Y

1 2
l m 1 2 2 l 1 lm 1 1 2 2
Y

18
二、C-G系数的性质—１
量子数必须满足的关系 ——已包含在C-G系数解析表达式中
00 (12) C 00 m
m1 m 2
1 2 111 222 1 2 1 2 1 12
m2 m1 (1) m 2

( 2)
1 2 111 222 1 2 1 2
C 00 (1) (2) C 00 (1) (2)
1 2

查表
1 2
(1) (2)
1
2
11
两个常用C-G系数表
●表１
j2 1 C jjm m m 2
1 1 2 2 m2
j \ m2 j1
1 2
1 2
1 2
1 1/ 2 2
j1 1 2
j1 m 2 j 1 1 1 1/ 2 j1 m 2 2 j1 1
ˆ ˆ ˆ 证： [ J x , J y ] [ Lx S x , L y S y ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ Lx , L y ] [ S x , S y ] ˆ ˆ ˆ i L z i S z i J z
3
一般论证
●一般地若两角动量满足 [ J1 , J 2 ] 0 则 J J1 J 2也是角动量