北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(三)利用定积分求简单几何体的体积
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10
a
11
变式练习1、求曲线 y e ，直线
x
转体的体积。 答案： (e 1) ； 2 例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是 一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴 旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其 体积。
5
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。 将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。 则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线 方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB绕X轴旋转一周形成的。 解：将其轴载面按下图位置放 置，并建立如图的坐标系。则 A(12,0)， B(4,4)
V f 2 x dx，即可求旋转体体积的值。
a
b
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对 定积分概念的进一步理解过程，总结求旋 转体体积公式步骤如下：1．先求出 y f x b 的表达式；2．代入公式 V f 2 x dx ，即可求旋转体体积的值。 （四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习 题4-3中6、7 五、教后反思：
2
x
轴旋转而成的旋转体体积为 .其侧面积为 V [ f ( x)] dx
a
a
求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解 过程，总结求旋转体体积公式步骤如下： 9 1．先求出 y f x 的表达式；2．代入公式
S侧 2 f ( x) 1 [ f ( x)] dx
' 2
，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为： 2 y 2 px ，
6
代入
2
y 4x （
y 0） 设直线AB的方程为： x qy 12 ，代入B(4,4) 求得： q 2
∴所求“冰激凌”的体积为：
2
B(4,4) 求得：p 2 ∴抛物线方程为：
1 ∴直线AB的方程为： y x6
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
利用定积分求简单几何 体的体积
1
一、教学目标 1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思 想求简单旋转体的体积问题。 二、 学法指导 本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次 的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用， 建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积 问题。 三、教学重难点： 重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单 的旋转体的体积问题； 难点；数学模型的建立及被积函数的确定。 四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 2
x 2 y2 (1) 1 49 98 Ａ’ 8 8 1 2 2 ( 2)V x dy ( y 49)dy 12 12 2 Ｂ’
取3.14）
Ｃ’ Ｃ Ａ
8Ｂ
归纳总结：求旋转体的体积和侧面积
由曲线
x a, x b及
b
b
y f ( x) ，直线
x
轴所围成的曲边梯形绕
例1、求由曲线 y 4 x, x 1 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
2
分析： y （1）分割; (2)以直代曲； （3）求和； (4)逼近。 o 1 V＝ 4 xdx 2
y2 4x
x=1 x
4
0
1 x 0， x 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋2
来自百度文库
12 1 4 224 2 2 3 (2 x ) dx ( x 6) dx (cm) 4 2 3 0
7
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分 绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A’是 双曲线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个端点， B,B’ 是下底直径的两个端点，已知 AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m. (1)建立坐标系，并写出该曲线方程． (2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，
（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积 的方法是什么？(2)、定积分的几何意义 是什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析
x
问题：函数 y f x， x a, b的图像绕 轴旋转一周，所得到的几何体的体积 V b 。 2
V [ f ( x)] dx
a
3
例题研究 利用定积分求曲边旋转体的体积
a
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变式练习1、求曲线 y e ，直线
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转体的体积。 答案： (e 1) ； 2 例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是 一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴 旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其 体积。
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分析：解此题的关键是如何建立数学模型。 将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。 则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线 方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB绕X轴旋转一周形成的。 解：将其轴载面按下图位置放 置，并建立如图的坐标系。则 A(12,0)， B(4,4)
V f 2 x dx，即可求旋转体体积的值。
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（三）、课堂小结：求体积的过程就是对 定积分概念的进一步理解过程，总结求旋 转体体积公式步骤如下：1．先求出 y f x b 的表达式；2．代入公式 V f 2 x dx ，即可求旋转体体积的值。 （四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习 题4-3中6、7 五、教后反思：
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轴旋转而成的旋转体体积为 .其侧面积为 V [ f ( x)] dx
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求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解 过程，总结求旋转体体积公式步骤如下： 9 1．先求出 y f x 的表达式；2．代入公式
S侧 2 f ( x) 1 [ f ( x)] dx
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，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为： 2 y 2 px ，
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代入
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y 4x （
y 0） 设直线AB的方程为： x qy 12 ，代入B(4,4) 求得： q 2
∴所求“冰激凌”的体积为：
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B(4,4) 求得：p 2 ∴抛物线方程为：
1 ∴直线AB的方程为： y x6
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
利用定积分求简单几何 体的体积
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一、教学目标 1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思 想求简单旋转体的体积问题。 二、 学法指导 本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次 的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用， 建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积 问题。 三、教学重难点： 重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单 的旋转体的体积问题； 难点；数学模型的建立及被积函数的确定。 四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程 2
x 2 y2 (1) 1 49 98 Ａ’ 8 8 1 2 2 ( 2)V x dy ( y 49)dy 12 12 2 Ｂ’
取3.14）
Ｃ’ Ｃ Ａ
8Ｂ
归纳总结：求旋转体的体积和侧面积
由曲线
x a, x b及
b
b
y f ( x) ，直线
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轴所围成的曲边梯形绕
例1、求由曲线 y 4 x, x 1 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积。
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分析： y （1）分割; (2)以直代曲； （3）求和； (4)逼近。 o 1 V＝ 4 xdx 2
y2 4x
x=1 x
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1 x 0， x 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋2
来自百度文库
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变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分 绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A’是 双曲线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个端点， B,B’ 是下底直径的两个端点，已知 AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m. (1)建立坐标系，并写出该曲线方程． (2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，
（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积 的方法是什么？(2)、定积分的几何意义 是什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析
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问题：函数 y f x， x a, b的图像绕 轴旋转一周，所得到的几何体的体积 V b 。 2
V [ f ( x)] dx
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例题研究 利用定积分求曲边旋转体的体积