选修2-2课件312数系的扩充与复数的概念
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高中数学 331《数系的扩充与复数的概念》(2) 新人教A版选修22PPT课件
有向线段的始点和终点.
思考2：用坐标表示平面向量，如何根据
向量的坐标画出表示向量的有向线段？
y
以原点为始点，向量
(a ， b)
的坐标对应的点为终
点画有向线段.
O
x 12
思考3：在复平面内，复数z＝a＋bi（a， b∈R）用向量如何表示？
y
b
Z：a＋bi
Oa
x
以原点O为始点，点Z（a，b）为终点的 向量O Z .
a＋bi（a，b∈R）；
实部和虚部分别相等.
3
3.实数、虚数、纯虚数的含义分别如 何？
设z＝a＋bi（a，b∈R）.
当b＝0时z为实数； 当b≠0时，z为虚数； 当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.
4
4.复数集、实数集、虚数集、纯虚数 集之间的关系如何？
复数 纯虚数 实数
虚数
5
5.实数与数轴上的点一一对应，从而 实数可以用数轴上的点来表示，这是实 数的几何意义，根据类比推理，复数也 应有它的几何意义.因此，探究复数的几 何意义就成为一个新的学习内容.
6
7
探究（一）：复数的点表示 思考1：在什么条件下，复数z惟一确定？
给出复数z的实部和虚部
思考2：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）， 以z的实部和虚部组成一个有序实数对 （a，b），那么复数z与有序实数对（a， b）之间是一个怎样的对应关系？
一一对应 8
思考3：有序实数对（a，b）的几何意义
是什么？复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以
Z：a＋bi
0，2，－i，－2＋3i.
Oa
x
10
思考5：一般地，实轴上的点，虚轴上的
点，各象限内的点分别表示什么样的数？
思考2：用坐标表示平面向量，如何根据
向量的坐标画出表示向量的有向线段？
y
以原点为始点，向量
(a ， b)
的坐标对应的点为终
点画有向线段.
O
x 12
思考3：在复平面内，复数z＝a＋bi（a， b∈R）用向量如何表示？
y
b
Z：a＋bi
Oa
x
以原点O为始点，点Z（a，b）为终点的 向量O Z .
a＋bi（a，b∈R）；
实部和虚部分别相等.
3
3.实数、虚数、纯虚数的含义分别如 何？
设z＝a＋bi（a，b∈R）.
当b＝0时z为实数； 当b≠0时，z为虚数； 当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.
4
4.复数集、实数集、虚数集、纯虚数 集之间的关系如何？
复数 纯虚数 实数
虚数
5
5.实数与数轴上的点一一对应，从而 实数可以用数轴上的点来表示，这是实 数的几何意义，根据类比推理，复数也 应有它的几何意义.因此，探究复数的几 何意义就成为一个新的学习内容.
6
7
探究（一）：复数的点表示 思考1：在什么条件下，复数z惟一确定？
给出复数z的实部和虚部
思考2：设复数z＝a＋bi（a，b∈R）， 以z的实部和虚部组成一个有序实数对 （a，b），那么复数z与有序实数对（a， b）之间是一个怎样的对应关系？
一一对应 8
思考3：有序实数对（a，b）的几何意义
是什么？复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以
Z：a＋bi
0，2，－i，－2＋3i.
Oa
x
10
思考5：一般地，实轴上的点，虚轴上的
点，各象限内的点分别表示什么样的数？
人教课标版高中数学选修2-2《数系的扩充和复数的概念》参考课件1
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点
在虚轴上”的（ ）C 。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
数系的扩充和复数的概念
教学目标
• 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复 数及其相关概念。
• 教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与 纯虚数，明白各数系的关系。
• 教学难点：复数及其相关概念的理解
引言：在人和社会的发展过程中，常常需 要立足今天，回顾昨天，展望明天。符合客观 发展规律的要发扬和完善，不符合的要否定和 抛弃。那么，在实数集向复数集发展的过程中， 我们应该如何发扬和完善，否定和抛弃呢？
i4n 1
i4n2 -1
i4n1 i i4n3 i
实数可以用数轴上的点来表示。
实数 一一对应 数轴上的点
(数) 规定了
直线
正方向，
(形)
原点，单位长度
数轴
o1
x (几何模型)
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
（数）
y
直角坐标系中的点Z(a,b) 平面向量 OZ （形）
例2 已知 (2x 1) i y (3 y)i ，其中 x, y R 求 x与y.
解题思考：
复数相等的 问题
转化
求方程组的解 的问题
一种重要的数学思想：转化思想
1、若x，y为实数，且
x 2 y 2 x yi 2 4i
求x，y
i 2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值.
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
人教B版选修2-2高中数学3.1《数系的扩充与复数的概念》ppt课件
2 7 , 0.618, 2 i, 0
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8，
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
满足 i2 1
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚
数单位，并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行
四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换 率、结合率和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b
纯虚数a 0非纯虚数 a
0，b 0 0，b
0
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚 数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与 虚部。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8，
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
满足 i2 1
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚
数单位，并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行
四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换 率、结合率和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b
纯虚数a 0非纯虚数 a
0，b 0 0，b
0
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚 数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与 虚部。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
数系的扩充和复数的概念
3、4、5、…正整数是现实世界最基本的数量，是全部
数学的发源地．
古代印度人最早使用了“0” 公元5世纪时，“0”已经传入罗马。
但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任 何使用“0”。有一位罗马学者在笔记中 记载了关于使用“0”的一些好处和说明， 就被教皇召去，砍去了双手
2021/2/4
1
3
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
2021/2/4
1
29
谢谢观赏！
2020/11/5
30
(3)全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母 C 表示.
2021/2/4
1
19
C RQZ N
2021/2/4
1
20
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
1．新数 i 叫做虚数单位,并规定： （1）i 2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算,在进
行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.
2021/2/4
1
21
例题讲解
例1.写出下列复数的实部与虚部.
4 , 23i, 0 , 1 4 i,
5 2i, 6i 2 3
解: 4的实部为 4 ,虚部为 0 ;
2-3i的实部为 2 ,虚部为 -3 ;
0的实部为 0 ,虚部为 0 ;
1 2
4i 3
的实部为
1
2 ,虚部为
4
3;
5 2i的实部为 5 ,虚部为 2 ;
中国是世界上最早认识应用负数的
国家.早在2000多年前的《九章算术》 中,就有正数和负数的记载.公元3世纪，
刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正 负数：“两算得失相反，要令正负以名之”． 不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法 运算法则．千年之后，负数概念才经由阿 拉伯传人欧洲。负数的引入, 解决了在自然 数集中不够减的矛盾
数学的发源地．
古代印度人最早使用了“0” 公元5世纪时，“0”已经传入罗马。
但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任 何使用“0”。有一位罗马学者在笔记中 记载了关于使用“0”的一些好处和说明， 就被教皇召去，砍去了双手
2021/2/4
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数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
2021/2/4
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谢谢观赏！
2020/11/5
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(3)全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母 C 表示.
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C RQZ N
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数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
1．新数 i 叫做虚数单位,并规定： （1）i 2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算,在进
行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.
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例题讲解
例1.写出下列复数的实部与虚部.
4 , 23i, 0 , 1 4 i,
5 2i, 6i 2 3
解: 4的实部为 4 ,虚部为 0 ;
2-3i的实部为 2 ,虚部为 -3 ;
0的实部为 0 ,虚部为 0 ;
1 2
4i 3
的实部为
1
2 ,虚部为
4
3;
5 2i的实部为 5 ,虚部为 2 ;
中国是世界上最早认识应用负数的
国家.早在2000多年前的《九章算术》 中,就有正数和负数的记载.公元3世纪，
刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正 负数：“两算得失相反，要令正负以名之”． 不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法 运算法则．千年之后，负数概念才经由阿 拉伯传人欧洲。负数的引入, 解决了在自然 数集中不够减的矛盾
高中数学数系的扩充与,复数的概念(公开课)(共12张ppt)
数系的扩充与 复数的概念
自然数
充数 系 的 扩
图形表示
整数
N
有理数
Z Q
实数 ？
R
有理数系到实数系的扩充：x 2 2 0 思考
2 x 在实数系中， 1 0 无解，能否将实
数系进行扩展使其在新数系中有解？ 虚数单位
i 2 1 形如 a bi(a, b R) 的数叫做复数. 引入一个新数：
复数
纯虚数
b 0 虚数
a 0, b 0
非纯虚数
3.复数的几何意义
任何一个复数 z a bi 都可以由一个有序实数对（a,b) 唯一确定
y
b
Z : a bi
虚轴
这个a bi
一一对应
0
a
实轴
x
复平面内的点Z（a,b)
答案
(1) ( 2 3) ( 4i 4i ) 5 ( 2) 24i 21i 2 21 24i (3) 20 16i 15i 12i 2 32 i ( 4) a b
作业
必做 1.证明复数的除法满 足交换律、结合律、 分配律 2.计算
2 2 2 2 i
a, b, c, d R a bi c di a c, b d
练一练
判定下列各式是否为复数？若是，说出复数的实 部和虚部。
2 1 0, ,－2＋ i , 2 i , 3i , i 2 3
2.复数分类
z a bi ( a, b R )
b 0 实数
a 0, b 0
( z1 z 2 ) z3 [(a bi) (c di)] (e fi ) ( a c e) (b d f )i [ a (c e)] [b ( d f )]i ( a bi) [(c di) (e fi ) z1 ( z 2 z3 )
自然数
充数 系 的 扩
图形表示
整数
N
有理数
Z Q
实数 ？
R
有理数系到实数系的扩充：x 2 2 0 思考
2 x 在实数系中， 1 0 无解，能否将实
数系进行扩展使其在新数系中有解？ 虚数单位
i 2 1 形如 a bi(a, b R) 的数叫做复数. 引入一个新数：
复数
纯虚数
b 0 虚数
a 0, b 0
非纯虚数
3.复数的几何意义
任何一个复数 z a bi 都可以由一个有序实数对（a,b) 唯一确定
y
b
Z : a bi
虚轴
这个a bi
一一对应
0
a
实轴
x
复平面内的点Z（a,b)
答案
(1) ( 2 3) ( 4i 4i ) 5 ( 2) 24i 21i 2 21 24i (3) 20 16i 15i 12i 2 32 i ( 4) a b
作业
必做 1.证明复数的除法满 足交换律、结合律、 分配律 2.计算
2 2 2 2 i
a, b, c, d R a bi c di a c, b d
练一练
判定下列各式是否为复数？若是，说出复数的实 部和虚部。
2 1 0, ,－2＋ i , 2 i , 3i , i 2 3
2.复数分类
z a bi ( a, b R )
b 0 实数
a 0, b 0
( z1 z 2 ) z3 [(a bi) (c di)] (e fi ) ( a c e) (b d f )i [ a (c e)] [b ( d f )]i ( a bi) [(c di) (e fi ) z1 ( z 2 z3 )
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第三章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念
算时，原有加、乘运算律仍然成立．
a＋bi(a，b∈R) 的数叫做复数，a 叫做 2．复数的定义：形如_________________
实部 ，b 叫做复数的________ 虚部 ．全体复数所成的集合叫做 复数的________ 复数集 b＝ 0 ________， 用字母 C 表示． 对于复数 a＋bi(a， b∈R)， 当且仅当______ b≠0 时，复数 z＝a＋bi 时，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数 a；当________ a＝0且b≠0 时，z＝bi 叫做纯虚数；当且仅当________ a＝b＝0 叫做虚数；当____________
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念 3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念
栏 目 链 接
1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．虚数单位 i.
－1 ； (2)实数可以与它进行四则运算．进行四则运 (1)i2＝________
)
D．既不充分也不必要条件
栏 目 链 接
解析：若 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则 a＝0，b≠0. ∴a＋bi(a， b∈R)为纯虚数是 a＝0 的充分不必要条件． 答案：A
自 测 自 评
2．下列说法正确的是( ) A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0， 那么这两个复数相等 B．若 a，b∈R 且 a＞b，则 ai＞bi C．如果复数 x＋yi 是实数，则 x＝0，y＝0 D．复数 a＋bi 不是实数
解得 x≠－3 且 x≠5.
2 x －x－6 x＋3 ＝0， (3) 要使该复数是纯虚数，需满足 x2－2x－15≠0.
a＋bi(a，b∈R) 的数叫做复数，a 叫做 2．复数的定义：形如_________________
实部 ，b 叫做复数的________ 虚部 ．全体复数所成的集合叫做 复数的________ 复数集 b＝ 0 ________， 用字母 C 表示． 对于复数 a＋bi(a， b∈R)， 当且仅当______ b≠0 时，复数 z＝a＋bi 时，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数 a；当________ a＝0且b≠0 时，z＝bi 叫做纯虚数；当且仅当________ a＝b＝0 叫做虚数；当____________
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念 3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念
栏 目 链 接
1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．虚数单位 i.
－1 ； (2)实数可以与它进行四则运算．进行四则运 (1)i2＝________
)
D．既不充分也不必要条件
栏 目 链 接
解析：若 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则 a＝0，b≠0. ∴a＋bi(a， b∈R)为纯虚数是 a＝0 的充分不必要条件． 答案：A
自 测 自 评
2．下列说法正确的是( ) A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0， 那么这两个复数相等 B．若 a，b∈R 且 a＞b，则 ai＞bi C．如果复数 x＋yi 是实数，则 x＝0，y＝0 D．复数 a＋bi 不是实数
解得 x≠－3 且 x≠5.
2 x －x－6 x＋3 ＝0， (3) 要使该复数是纯虚数，需满足 x2－2x－15≠0.
《数系的扩充和复数的概念》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第3.1.1课时)
实数
课前导入
x - 2 = 0 由于自然数扩充到实数系我们解决了类似, 2
在有理数集中无解的问题.
进入我们今天学习的内容
课前导入
x2 = -1
联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？
实数系究
用什么方法解决方程 x2 + 1 = 0 在实数集中无解的问题？
人教版高中数学选修2-2
第3章 数系的扩充与复数的引入
3.1.1数系的扩充和复数的概念
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
自然数系如何扩充到实数系？
自然数
整数
有理数
无理数
(1)m= ±1 (2)m ±1
(3)m=-2
课堂练习
若x，y为实数，且 x2 + y2 + x + yi = 2 + 4i 求x，y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
x2 + y2 + x = 2 得 x=-3,y=4 y = 4
课堂练习
若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i =0，求x的值.
新知探究
知识要点 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .
新知探究
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z = a + bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位.
b称为虚部而不称为虚数系数
新知探究
复数集中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d ∈R),两个 复数相等的充要条件是？
人教a版数学【选修2-2】第3章《数系扩充与复数引入》总结课件
[答案] A
[解析] z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，据条件有
2 a －1＝0， 2a＜0.
∴a＝－1.
3．(2013· 吉林白山一中高二期末)若复数 1＋i、－2＋i、3 －2i 在复平面上的对应点分别为 A、B、C，BC 的中点 D，则 → 向量AD对应的复数是( 3 5 A．2－2i 3 5 C．－2＋2i ) 1 3 B．2＋2i 1 3 D．－2－2i
[答案] 1
[解析] 设 z1＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z2＝a＋bi－i(a－bi)＝a－b＋(b－a)i. ∵z2 的实部是－1.即 a－b＝－1， ∴z2 的虚部 b－a＝1.
典例探究学案
复数的概念 熟练掌握复数的代数形式，复数的相等及复数表示各类数的 条件是熟练解答复数题的前提．
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
数系的扩充与复数的引入
第三章 章末归纳总结
1
自主预习学案
1.复数代数形式z＝a＋bi中，a、b∈R应用复数相等的条件， 必须先化成代数形式． 2．复数表示各类数的条件，其前提必须是代数形式z＝a＋ bi(a，b∈R)，z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯 虚数的区别． 3．复数运算的法则，不要死记硬背，加减可类比合并同类 项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．
[答案] A
)
B．在圆上 D．不能确定
2＋i 2＋i1＋i [解析] ∵a＋bi＝ ＝ 2 1－i 1 3 ＝2＋2i(a，b∈R)， 1 a＝2 ∴ b＝3 2
，
1 3 5 2 2 ∵ 2 ＋ 2 ＝2>2，
数学：3.1《数系扩充和复数概念》PPT课件(新人教选修2-2)
a
一一对应
面 y 向 量
b
o
x
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y
| z | = a 2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
| z || z | a2 b2
练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
2
练习2:复数z1,z2分别对应复 平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|=
| z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应
的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2
y
满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 +yi(x,y∈R)
5
5 O x
0 3 4 5 4 3 0 y 5 4 3 0 3- 4- 5- x
5 2 y 2x z
–5
复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
引言：在人和社会的发展过程中，常 常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。 符合客观发展规律的要发扬和完善，不符 合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复 数集发展的过程中，我们应该如何发扬和 完善，否定和抛弃呢？
如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径： (1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
一一对应
面 y 向 量
b
o
x
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y
| z | = a 2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
| z || z | a2 b2
练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
2
练习2:复数z1,z2分别对应复 平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|=
| z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应
的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2
y
满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 +yi(x,y∈R)
5
5 O x
0 3 4 5 4 3 0 y 5 4 3 0 3- 4- 5- x
5 2 y 2x z
–5
复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
引言：在人和社会的发展过程中，常 常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。 符合客观发展规律的要发扬和完善，不符 合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复 数集发展的过程中，我们应该如何发扬和 完善，否定和抛弃呢？
如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径： (1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
高中数学(新课标)选修2课件3.1.1数系的扩充和复数的概念
跟踪训练 1 (1)如果复数 z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i 为纯虚 数，那么实数 a 的值为( )
A．－2 B．1 C．2 D．1 或－2
解析：(1)由题意可知aa22＋ －a3－ a＋2＝2≠0， 0， 所以 a＝－2. 答案：(1)A
(2)下列命题中： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数． ②若 a，b∈R，且 a>b，则 a＋i3>b＋i2. ③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则实数 x＝±1. ④两个虚数不能比较大小．
【解析】 (1)若 z 为实数，
必须aa22－ －51a≠－0.6＝0. ∴aa＝≠－±11. 或a＝6， ∴当 a＝6 时，z 为实数．
(2)若 z 为虚数，必须aa22－－15≠a－0，6≠0， ∴aa≠ ≠－ ±11且a≠6， . ∴当 a∈{a∈R|a≠±1 且 a≠6}时，z 为虚数． (3)若 z 为纯虚数，
跟踪训练 2 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2 －2x－15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解析：(1)要使 z 是实数，必须且只需xx＋ 2－32≠x－0 15＝0 ， 解得 x＝5.
(2)要使 z 为虚数，必须且只需xx＋ 2－32≠x－0 15≠0 ， 解得 x≠－3 且 x≠5.
a＝0 a≠0
状元随笔 从代数形式可判定 z 是实数、虚数还是纯虚数．反
之， 若 z 是纯虚数，可设 z＝bi(b≠0，b∈R) 若 z 是虚数，可设 z＝a＋bi(b≠0，a∈R) 若 z 是复数，可设 z＝a＋bi(a，b∈R)
知识点三 复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔_a_＝__c_，__b_＝. d
人教a版数学【选修2-2】3.1.1《数系的扩充与复数的概念》ppt课件
新知导学 1．数系扩充的原因、脉络、原则 脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系→________ 复数系 原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求 与数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．
原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集； (2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主 要性质(如运算定律)________适用； 依然 (3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系 __________ ； (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾． 保持不变
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
数系的扩充与复数的引入
第三章 3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.1 数系的扩充与复数的概念
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案案
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学 内部的矛盾在数系扩充过程中的作用． 2．理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示． 3．理解复数相等的充要条件．
复数的相等与复数的分类 新知导学 3．复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔___________. a＝c且b＝d 4．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是 _____________，a＝0是z为纯虚数的____________条件． a＝0且b＝0 必要不充分
5．复数的分类
b＝0 (1)复数 z＝a＋bi(a、b∈R)，z 为实数⇔__________ ，z 为
b≠0 虚数⇔_________ ，z
人教a版数学【选修2-2】3.1.2《复数的几何意义》ppt课件
，
－1＜m＜2 ∴ m＞2或m＜1’
∴－1＜m＜1. (3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2. ∴m＝2.
[方法规律总结] 1.复数的几何意义包含两种： (1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的 一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵 坐标． (2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时 ，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建 立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理 解复数的相关知识． 2．有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、 某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实 部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解．
[分析]
确定z的实部、虚部 → 列方程不等式组
→ 求解m
[解析] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m －2，虚部为m2－3m＋2. (1)由题意得m2－m－2＝0. 解得m＝2或m＝－1.
2 m －m－2＜0 (2)由题意得 2 m －3m＋2＞0
实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应 的点Z在：(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上 ？ [解析] 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数 ． 若已知复数z＝a＋bi，则当a<0，且b<0时，复数z对应的点在 第三象限； 当a>0，且b<0时，复数z对应的点在第四象限； 当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．
2 P(3m－2，m－1)，当 m>1 时，P 在第一象限；当 m<3时，P 在 2 2 第三象限，当3<m<1 时，P 在第四象限，当 m＝3时，P 在 y 轴 上，当 m＝1 时，P 在 x 轴上，故选 B.
高中数学选修2-2课件3.1.1《数系的扩充与复数的概念》课件
规定:两复数 a bi 与 c di (a, b, c, d R)
相等的充要条件是 a c 且 b d .
复数的发展史 虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法接受
的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚 数单位 i 的假设研究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是 1545 年开始讨 论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了 100 年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但 是又过了 140 年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之 中”，并用 i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种 数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830 年，高 斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数 a bi ，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
并且其中只有 0.2i 是纯虚数.
显 然,实 数 集R是 复 数 集 C的 真 子 集,即R C. 这 样,复 数z a bi 可 以
虚数集 复数集 纯虚数集 实数集
分 类 如 下:
图3.1 1
复 数z
实数b 0,
虚数b 0,当a 0时为纯虚数.
复数集,实数集,虚数集,纯虚数集之间的关系, 可 用 图3.1 1表 示.
对于复数a bi,当且仅当b 0时,它是实数; 当且仅当a b 0时,它是实数0;
当b 0时,叫做虚数; 当a 0,且b 0时,叫做纯虚数.
例如,3 2i, 1 3i, 3 1 i,0.2i都是虚数,
2
2
它们的实部分别是3, 1, 3,0,
高中数学选修2《数系的扩充和复数的概念》课件
复数 z=a+bi 一一对应 复平面内的点 Z(a, b)
问题 3. 还记得向量的坐标表示吗? 你能画出向
量 a=(3, -2)? 能否借用向量表示复数? 如图, 向量 OZ = a = (3, - 2).
y
复平面上的点 Z(a, b) 唯一
对应向量 OZ = (a, b); 复平面上的点 Z(a, b) 唯一
复数的两种几何意义: (3) 向量 OZ 的模 r 叫复数 z=a+bi 的模, 记作 |z| 或 |a+bi|. |z| = |a + bi| = a2 + b2 . 如: z=3-2i.
y
3
O
x
-2
Z
|z| = 32 +(-2)2 = 13.
练习: (课本105页) 第 1、2、3 题.
练习: (课本105页)
当 b=0 时, a+bi=a 是一个实数; 当 b≠0 时, a+bi 就有一新引进的数 i, 这个数就 是我们要学习的虚数.
我们把集合 C={ a+bi | a, bR } 中的数, 即形如 a+bi (a, bR) 的数叫做复数, 其中 i 叫做虚数单位. 当 b=0 时, a+bi=a 是实数, 当 b≠0 时, a+bi 叫虚数.当 a=0, b≠0 时, a+bi=bi 叫纯虚数. 复数包含实数和虚数, 全体复数所成的集合 C 叫做复数集.
(1) 3+2i;
(4)
-
1 2
i;
(2) - 3; (5) 0;
(3) 1-i; (6) (1- 3)i.
(1)(2)(3)(4)(5)(6)都是复数.
(2)(5)是实数.
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