高数第9章答案
高等数学2第九章答案_37700
习题9-1 多元函数的基本概念1.求下列各函数的定义域： （1）ln(z y x =-（2）u =2.求下列各极限： （1）(,)(0,0)limx y →；（2）(,)(2,0)tan()limx y xy y →.（3）2222()lim()x y x y x y e-+→∞→∞+令22u x y =+，原式1limlim 0u uu u u e e →∞→∞===（4）()(,0,0limx y →令t =23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t xt t t t t t +++→→→--==== 习题9-2 偏导数1.求下列函数的偏导数： （1）2sin()cos ()z xy xy =+；（2）(1)y z xy =+；（3）arctan()z u x y =-.（4）设()23y z xy x ϕ=+，其中()u ϕ可导，证明22z z x y xy x y∂∂+=∂∂ 解 ()()222,33z y z yy xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂左边()()22222233z y y x y x y xy y xy x xy x x ϕϕ∂⎡⎤''=+=-++=+=⎢⎥∂⎣⎦右边2.求下列函数的22z x ∂∂，22z y ∂∂和2zx y∂∂∂.（1）arctany z x=；（2）x z y =.习题9-3 全微分1.求下列函数的全微分： （1）y xz e =；（2）yzu x =.（3）sin2yz yu x e =++. 解11,c o s ,22yz yz u u y uze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂，所求的全微分为 1cos 22yz yz y du dx ze dy ye dz ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭‘（4）()222tanz y x u ++=解 u x ∂=∂， u y ∂=∂u z ∂=∂)du xdx ydy zdz =++2.求函数yz x=，当2x =，1y =，0.1x ∆=，0.2y ∆=-时的全增量和全微分。
华南理工大学高数答案第9章
第九章 曲线积分与曲面积分作业13 对弧长的曲线积分1．计算d Lx s ⎰，其中L 为直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界．解：L 可以分解为[]1:,1,0,1L y x y x '==∈及[]22:,2,0,1L y x y x x '==∈1211d d d LL L x s x s x s x x x x =+=+⎰⎰⎰⎰⎰()()113222001121d 1414883212x x x x =++=+⋅+=+2．4433d L x y s ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰，其中L 为星形线33cos ,sin x a t y a t = =在第一象限内的弧π02t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭．解：L 为33cos ,sin ,0,,2x a t y a t t π⎡⎤= =∈⎢⎥⎣⎦223cos sin ,3sin cos ,3sin cos dx dya t t a t t ds a t tdt dt dt=-== 原式()4722442233031cossin 3sin cos 1sin 2sin 222a t t a t tdt a t tdt ππ⎛⎫=+⋅=- ⎪⎝⎭⎰⎰()7772223333003311cos 2cos 2cos 2cos 2883a t d t a t t a ππ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰ 3．计算d xyz s Γ⎰，其中Γ折线ABC ，这里A ，B ，C 依次为点)3,4,1(),3,2,1(),0,0,0(．解：[]:,,2,3,0,1,123x y zAB x t y t z t t ds =====∈= []:1,3,,2,4,BC x z y t t ds dt ===∈=[]:,,4,3,0,1,143x y zCA x t y t z t t ds =====∈=142d d d 231318ABBCxyz s xyz s xyz s t t t t dt Γ=+=⋅⋅+⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰4．()22d xy z s Γ+⎰，其中Γ为螺线cos ,sin ,x t t y t t z t = ==上相应于t 从0变到1的一段弧．解：Γ为[]cos ,sin ,,0,1,x t t y t t z t t ds = ==∈=()()112222201d (222x y z s t t t t Γ+=⋅=+-+⎰⎰⎰ ()()1532222122222253t t ⎡⎤=+-⋅+==⎢⎥⎣⎦5．计算22d Lx y s +⎰，其中L ：0,22>=+a ax y x ．解：将L 参数化，22cos ,sin cos ,cos ,cos ,x r t y r t r ar t r a t x a t ==⇒===cos sin ,,,sin 2,cos 2,22y a t t t dx a tdt dy a tdt ds adt ππ⎡⎤=∈-=-==⎢⎥⎣⎦222222222d 2cos 2sin 2Lx y s a tdt a ta ππππ-+====⎰⎰⎰6．计算22ed x y Ls +⎰，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分[]12:0,0,,;:sin,cos ,0,,;4L y x a ds dx L x a t y a t t ds adt π⎡⎤=∈===∈=⎢⎥⎣⎦2123:,,;L y xx ds L L LL ⎡=∈==++⎢⎣⎦从而22400ed 4aax yxax aLa s e dx e adt e e ππ+=+⋅+=++⎰⎰⎰112244a a a a aa a e e e e e ππ=-++-=+-作业14 对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1) ()()d d L x y x x y y ++-⎰，其中L 为按逆时针方向绕椭圆22221x y a b+=一周；解：L 为cos ,sin ,:02x a t y b t t π==→原式()()20sin cos sin cos cos sin a t a t b t b t a t b t dt π=-++-⎡⎤⎣⎦⎰ 22222200sin 2cos 2sin 2cos 20224a b ab t a b ab t t dt t ππ⎛⎫⎛⎫++=-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰(2)()d d 1d x x y y x y z Γ+++-⎰，其中Γ是从点()1,1,1到点()2,3,4的一段直线；解：Γ是111,1,12,13,:01213141x y z x t y t z t t ---===+=+=+→--- 原式()()()1121231121t t t t dt =+++++++-⎡⎤⎣⎦⎰()()1126146713t dt t t=+=+=⎰(3)d d d y x x y z Γ-+⎰，其中Γ是圆柱螺线2cos ,2sin , 3 x t y t z t ===从0t =到2πt =的一段弧；解：Γ是2cos ,2sin , 3 ,:02x t y t z t t π===→原式()()202sin 2sin 2cos 2cos 3t t t t dt π=--+⎡⎤⎣⎦⎰ ()()2200432dt t πππ=-+=-=-⎰(4) 计算曲线积分(12e )d (cos e )d y y Lxy x y x y +--⎰,其中L 为由点A (-1, 1)沿抛物线2y x =到点O (0, 0), 再沿x 轴到点B (2, 0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分2:,:10AO y x x =-→；:0,:02OB y x =→原式222221(12e )d (cos e )2dx (e )d x x xx x x x x x -=+--+⎰⎰2223221(12e 2cos 2e )d d x x x x x x x x -=+-++⎰⎰()222004211113sin e d de 21sin1sin11xx x x xx x xee ----=-+++=-++=+-⎰⎰2． 设力F 的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依y 轴的负方向，求质量为m 的质点沿抛物线21x y -=从点()1,0移动到点()0,1时，力F 所作的功．解：{}{}{}2220,10,,,,:1,:01F x x ds dx dy L x y y =-=-==-→()()11352240028123515L L y y W Fds x dy y y dy y ⎛⎫==-=--+=--+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰3．把对坐标的曲线积分()(),d ,d LP x y x Q x y y +⎰化成对弧长的曲线积分，其中L为：(1) 在xOy 平面内沿直线从点()0,0到点()1,1； (2) 沿抛物线2y x =从点()0,0到点()1,1．解：（1）:,:01,0;L y x x dx ds =→>==()()()(),,,d ,d ,,d L L P x x Q x x P x y x Q x y y P x x Q x x x +⎡⎤+=+=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（2）2:,:01,0;L y x x dx ds =→>=()()()()22,2,,d ,d ,2,d L L P x x xQ x x P x y x Q x y y P x x xQ x x x +⎡⎤⎡⎤+=+=⎣⎦⎰⎰⎰作业15 格林公式及其应用1．填空题(1) 设L 是三顶点(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向边界,(24)d (536)d Lx y x y x y -+++-=⎰12 ．(2) 设曲线L 是以)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--D C B A 为顶点的正方形边界，d d L x yx y ++⎰不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可导的点_．（3）相应于曲线积分(,,)d (,,)d (,,)d LP x y z x Q x y z y R x y z z++⎰的第一型的曲线积分是⎰． 其中L 为从点(1, 1 ,1)到点(1, 2, 3)的直线段． 2．计算33(e sin )d (ecos )d x xLI y y x y x y =-++⎰,其中L 是沿半圆周x =从点),0(a A -到点),0(a B 的弧．解：L 加上:0,:BA x x a a =→-构成区域边界的负向()3322(e sin )d (e cos )d 3cos axxLDaI y y x y x y x y d ydy σ-=-++=-+-⎰⎰⎰⎰34230233cos 2sin 4a aaa d r dr ydy a πππθ-=-+=-+⎰⎰⎰v3．计算e 31d e 33d xy xy Ly x y x x x y y ⎡⎤⎡⎤+-+++-+⎣⎦⎣⎦⎰,其中L 为椭圆 22221x y a b+=正向一周． 解：原式()()e 33e 31xy xyD x x y y x y dxdy x y ⎡⎤∂∂=+-+-+-+⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰ 44Ddxdy ab π==⎰⎰4．计算曲线积分[]()sin d ()cos πd ,LI f x y x f x y x y '=+-⎰其中)(x f '为连续函数，L 是沿圆周222(1)(π)1πx y -+-=+按逆时针方向由点(2,2π)A 到点)0,0(O 的一段弧．解：令1:,:02L y x x π=→ 则，原式()[]111π()sin d ()cos πd L L L L DI dxdy f x y x f x y x y +'=-=--+-⎰⎰⎰⎰⎰()222π1()sin ()cos ππd 2f x x f x x x x ππππ'⎡⎤=-⋅+-+-⎣⎦⎰ ()()222422223π1()sin ππ1222222x f x x ππππππππ⎡⎤=-⋅+--=-⋅++=-⎢⎥⎣⎦5．计算22d d L x y y xx y -+⎰,其中L 为（1）圆周()()22111x y -+-=（按反时针方向）；解：()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭++，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式0= （2）闭曲线1x y +=（按反时针方向）．解：()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭++，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周220.01x y +=（1L 也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得， 原式()1122d d d d 1001120.01L L Dx y y xx y y xdxdy x y π--===+=+⎰⎰⎰⎰ 6．证明下列曲线积分在xOy 平面内与路径无关,并计算积分值： （1）()()(),0,0e cos d sin d a b x y x y y -⎰；解：由于()()e sin e sin e cos x xx y y y x y∂∂-=-=∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内与路径无关，沿折线()()()0,00,,b a b →→积分即可， 原式()()0sin e cos d cos 11cos cos 1bax a ay dy b x b e b e b =-+=-+-=-⎰⎰ （2）()()()()2,14231,023d 4d xy yx x xy y -++-⎰；解：由于()()233442423x xy x y xy y x y∂∂-=-=-+∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内与路径无关，沿直线10,1,:122110x y y x x --==-→--积分也可， 原式=()()()24321211341d x x x x x x x ⎡⎤---++--⎣⎦⎰()()243213235141d x x x x x ⎡⎤=-+----⎣⎦⎰()()2543213115x x x x x ⎡⎤=-+----=⎣⎦ （3）()()()()π,20,0ecos d e sin d yy x m x x my y -+-⎰．解：由于()()e sin e cos e cos y y y x my x x m x y∂∂-==-∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内与路径无关，沿折线()()()0,0,0,2ππ→→积分即可，原式()()20cos e sin d y ex m dx my y ππ=-+-⎰⎰()2200sin 2my x mx π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2m m π=--7．设()f x 在(),-∞+∞上具有连续导数，计算()()2221d 1d L y f xy x x y f xy y y y +⎡⎤+-⎣⎦⎰， 其中L 为从点23,3⎛⎫ ⎪⎝⎭到点()1,2的直线段．解：由于()()()()2222111y f xy x y f xy f xy xyf xy x y y y y ⎡⎤+⎧⎫∂∂'⎡⎤-=+-=⎨⎬⎢⎥⎣⎦∂∂⎩⎭⎣⎦在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线12:2,,:31L xy y x x==→积分即可，原式()()()()2122232421122d d 22x f f x x x x x x x⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦+⎰13xdx =⎰1232x ⎛⎫= ⎪⎝⎭1942-==- 8．验证下列()(),d ,d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）()()e e d e 1e d x y x yx y x x y ⎡⎤⎡⎤+-+-+⎣⎦⎣⎦；解：由于()()e 1e e e x y x yx y x e e x y x y∂∂⎡⎤⎡⎤-+=-=+-⎣⎦⎣⎦∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内是某一函数的全微分，设这个函数为(),u x y ， 则()(),e 1e ,e e x y x y u u u u du dx dy x x y x y y x∂∂∂∂=+=-+=+-∂∂∂∂ 从而()()()e 1e e 1e x y x yu x dy y x g x ⎡⎤=-+=-++⎣⎦⎰()()()e e e e =e x y x y x ux y y g x g x x x∂''=+-=-+⇒∂ ()=e x x x x x g x xd xe e dx xe e c =-=-+⎰⎰，()()1e 1e x y u x y x c =+--++（2）()()223238d 812e d yx y xy x x x y y y ++++；解：由于()()32222812e 31638y x x y y x xy x y xy x y∂∂++=+=+∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内是某一函数的全微分，设这个函数为(),u x y ， 则原式3223224d 412e d yydx y x x dy x dy y y =++++()3322224d 412de yydx x dy y x x dy d y =++++⎰()()()32241212e d yyd yx d x y d ye y =++-⎰()32241212e y y d yxx y ye =++-可取32241212e yyu yx x y ye =++-（3）()()222cos cos d 2sin sin d x y y x x y x x y y ++-解：可取折线()()()0,0,0,x x y →→作曲线积分()()22202d 2sin sin d sin cos yx u x x y x x y y y x x y =+-=+⎰⎰9．设有一变力在坐标轴上的投影为2,28X x y Y xy =+=-,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：{}2,28F x y xy =+-，质点在此场内任意曲线L 移动时，场力所作的功为()()228Lw x y dx xy dy =++-⎰由于()2282xy y x y x y∂∂⎡⎤-==+⎣⎦∂∂在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16 对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分： (1)()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中∑为锥面z =被柱面222x y ax +=所截得的有限部分； 解：∑为x y z z z ===dS ==，:02cos ,22D r a ππθθ≤≤-≤≤原式2cos 2302d d cos a Dzx S x y d r dr πθπθθ∑-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()42242422cos cos 12sin sin sin 4a d d πππθθθθθθ--+=⎰⎰ （2）()222d xy z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z ax ++=．解：∑为两块y y x a x x =±==dS ==，:0,02D r a θπ≤≤≤≤原式12222d 2d Da a ax S ax S ∑∑+=+=⎰⎰⎰⎰22Da a +2334aDaad πθ=⎰223340=888a d a r aa a πππ--=-=2．计算d y S ∑⎰⎰，∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x截出的有限部分．解：∑为两块4,1,1x y z x y z z =--=-=-，dS =，:01,02D r θπ≤≤≤≤原式D=13220sin 03ar d r dr ππθθθ==⋅=⎰ （或由()(),,,,x y z x y z ∈∑⇒-∈∑，而积分微元反号推出）3．求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积． 解：∑为两块x y z z z ===dS ==，:0,02D r a θπ≤≤≤≤原式12d 2DS dS ∑∑=+=⎰⎰⎰⎰cos 22=2a ad πθπθ-⎰⎰()()cos 222202=2sin 41242a ad a a a d a a ππθππθθθπ-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰4．设圆锥面z =()a h 为圆锥面的底面半径，为高,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为()00,0,zDDzdS ∑==⎰⎰200ad r dr πθ==⎰⎰DDdS dxdy ∑==⎰⎰ad rdr πθπ==⎰⎰023h z ==，故重点坐标为20,0,3h ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．求抛物面壳()2212z x y =+()01z ≤≤的质量，此壳的密度按规律z ρ=而变更． 解：(2212Dm dS x y ρ∑==+=⎰⎰⎰⎰2012d r π=⎰()()22532200222(1112253515t t t πππ⎛⎫⎡⎤=+-=+-+=- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰作业17 对坐标的曲面积分1．d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：:01,03,cos 0,0yz y z x D y z x x α=≤≤≤≤>==原式=d d d d d d 0d d yzzxD D z x y x y z y z x y z z x ∑∑∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13100032d 262yz D y z dy π====⎰2．计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰，其中∑为旋转抛物面221()2z x y =+下侧介于平面0z =及2z =之间的部分． 解：22221(),,,:4;2x y xy z x y z x z y D x y =+==+≤:02,yz x D z y =≤≤≤原式=1122()d d ()d d d d zx y z z x y z z x y ∑∑∑+++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰((22221d d d d ()d d 2yz yz zxD D D z y z z y z x y z x =-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222300112d ()d d 222yzzx D D y z x y z x dz d r dr πθ=++=+⎰⎰⎰⎰⎰224232000222824z dz r dr z πππππ=+=+⋅=⎰⎰3．计算d d d d d d xy y z yz z x xz x y ∑++⎰⎰其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。
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另外,环境影响评价三个层次的意义，环境影响评价的资质管理、分类管理，建设项目环境影响评价的内容，规划环境影响评价文件的内容，环境价值的衡量还可能是将来考试的重点。
对于不同的评价单元，可根据评价的需要和单元特征选择不同的评价方法。证明:设 为曲面上任意一点
（3）安全现状评价。令
; ;
切平面方程：
D.可能造成轻度环境影响、不需要进行环境影响评价的建设项目，应当填报环境影响登记表切平面在三坐标轴上的截距分别为
A.国家根据建设项目影响环境的范围，对建设项目的环境影响评价实行分类管理所以截距和为
法向量 ，
由题意知 ，得
法线方程：
习题9-7方向导数与梯度
1.求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数。
2.求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数。
3.求函数 在球面 上点 处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。
4.设 ，求 及 .
5.求函数 在点 处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。
5.设 ，而 ， 为可导函数，证明 .
6.设 ，其中 具有二阶导数，求 ， ， .
习题9-5隐函数的求导公式
1.设 ，求 .
2.设 ，求 及 .
3.设 具有连续偏导数，证明由方程 所确定的函数 满足 .
4.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：
（1） ，求 ， .
（2） ，求
解方程组两边分别对 求偏导数得
习题9-3全微分
1.求下列函数的全微Hale Waihona Puke ：（1） ；（2） .
（3） .
解 ，所求的全微分为
‘
（4）
解 ，
高等数学课后习题答案第九章
高等数学课后习题答案第九章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN习题九1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ,,343αβγ===的方向导数。
解：(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)cos cos cos u u u uy l x z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππcoscos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=---2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。
解：{4,3,12},13.AB AB ==AB 的方向余弦为4312cos ,cos ,cos 131313αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105uyz x uxz yuxy z ∂==∂∂==∂∂==∂故4312982105.13131313u l∂=⨯+⨯+⨯=∂ 3.求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。
解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为2222220,x y b xy y a b a y ''+==-所以在点处切线斜率为2.b y a a'==-法线斜率为cos a b ϕ=. 于是tan sin ϕϕ== ∵2222,,z z x y x a y b ∂∂=-=-∂∂∴2222zl a b⎛∂=--=∂⎝4.研究下列函数的极值：(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2)22()e x y-+;(5)z=xy(a－x－y),a≠0.解：（1）解方程组22360360xyz x xz y y⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.(2)解方程组222e(2241)02e(1)0xxxyz x y yz y⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩得驻点为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭.22224e(21)4e(1)2exxxxxyxyyz x y yz yz=+++=+=在点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值e1,122z⎛⎫=--⎪⎝⎭. (3) 解方程组22(62)(4)0(6)(42)0xyz x y yz x x y⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Z xx=－2(4y-y2),Z xy=4(3－x)(2－y)Z yy=－2(6x－x2)在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36. 在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点.在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点.在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组2222()22()222e(1)02e(1)0x yx yx x yy x y-+-+⎧--=⎪⎨--=⎪⎩得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，故函数z在点P0处取得极小值z=0.再讨论函数z=u e-u由de(1)duzuu-=-，令ddzu=得u=1,当u >1时，d 0d z u <；当u <1时，d 0d z u >,由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有2222()1()e e x y z x y -+-=+≤.故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -1(5)解方程组(2)0(2)0x y z y a x y z x a y x =--=⎧⎨=--=⎪⎩得驻点为12(0,0),,33a a P P ⎛⎫⎪⎝⎭ z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .故z 的黑塞矩阵为222222ya x y H a x y x ---⎡⎤=⎢⎥---⎣⎦ 于是122033(),().0233aa a H P H P a a a ⎡⎤--⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3,2733a a a z ⎛⎫=⎪⎝⎭,H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3,2733a a a z ⎛⎫=⎪⎝⎭.5. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x ,y )，研究其极值。
高数第9章习题课
x2 a2
by22
cz22
1
z c c abc
由实际意义可知
M a a b a c,
bb , a b c
a c b c c
为所求切点 .
例11 求旋转 zx抛 2y2与 物平 面 xy面 2z2 之间的最短距离． 解 设P(x,y,z)为抛物 z面 x2y2上任一 ,则点 P到平x面 y2z20的距离 d, 为
2) 显式情况. 空间光滑曲面 :zf(x,y)
法向量
n(fx,fy,1)
法线的方向余弦
co s fx ,co s fy ,
1 fx 2 fy 2
1 fx 2 fy 2
cos
1
1fx2fy2
切平面方程
z z 0 f x ( x 0 , y 0 ) ( x x 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) ( y y 0 )
x y
(t) (t)
切向量
z (t)
T ( ( t 0 ) ,( t 0 ) ,( t 0 ))
切线方程 xx0 yy0 zz0
(t0) (t0) (t0)
法平面方程
(t0)x (x0)(t0 )(y y 0 )(t0 )z( z 0 ) 0
2) 一般式情况. 空间光滑曲线 : G F((xx,,yy,,zz)) 0 0
dx hz
dxgyhz gy
代 (1 )得 入 d d u x fxfy g y g xfy g y g zh zh x.
例7 设函 ux数 3y.而 x,y是由x5方 y程 t与 方x程 2y3t2所 确 定 d.u， 求 dt
答d d案 u t1x 3 5 x y ： 2 2 [3 y (3 y 2 2 t) 2 x 2 (5 x 3 t 1 )].
大一高数1-9的习题答案
大一高数1-9的习题答案大一高数1-9的习题答案大一高数是大学数学的基础课程之一，对于理工科学生来说是非常重要的一门课程。
在学习过程中，习题是帮助我们巩固知识、提高能力的重要工具。
下面我将为大家提供大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
第一章：极限与连续1. 求以下极限：a) lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)答案：2b) lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)答案：2c) lim(x→0) sinx / x答案：12. 判断以下函数在给定点是否连续：a) f(x) = x^2 + 3x - 2, x = 2答案：连续b) f(x) = 1 / x, x = 0答案：不连续第二章：导数与微分1. 求以下函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1答案：f'(x) = 6x - 2b) f(x) = sinx + cosx答案：f'(x) = cosx - sinxc) f(x) = e^x + ln(x)答案：f'(x) = e^x + 1 / x2. 求以下函数的微分：a) f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1答案：df(x) = (6x^2 - 10x + 3)dx b) f(x) = √x + ln(x)答案：df(x) = (1 / (2√x) + 1 / x)dx 第三章：定积分1. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) x^2 dx答案：1 / 3b) ∫(1 to 2) 2x dx答案：3c) ∫(0 to π) sinx dx答案：22. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) (x^3 + 2x^2 + x) dx 答案：7 / 12b) ∫(1 to 2) (2x^2 + 3x + 1) dx答案：19 / 3第四章：不定积分1. 求以下函数的不定积分：a) ∫(3x^2 - 2x + 1) dx答案：x^3 - x^2 + x + Cb) ∫(2sinx + cosx) dx答案：-2cosx + sinx + C2. 求以下函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 3x^2 + x) dx答案：(1 / 2)x^4 + x^3 + (1 / 2)x^2 + C b) ∫(e^x + 1 / x) dx答案：e^x + ln|x| + C第五章：级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^2)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n)答案：发散2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛第六章：多元函数微分学1. 求以下函数的偏导数：a) f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2答案：∂f / ∂x = 2x + 2y, ∂f / ∂y = 2x + 2yb) f(x, y) = sinx + cosy答案：∂f / ∂x = cosx, ∂f / ∂y = -siny2. 求以下函数的全微分：a) f(x, y) = x^3 + 2xy^2答案：df = (3x^2 + 2y^2)dx + (4xy)dyb) f(x, y) = e^x + ln(y)答案：df = e^xdx + (1 / y)dy第七章：多元函数积分学1. 求以下二重积分：a) ∬(D) x^2 dA, D为单位圆盘答案：π / 3b) ∬(D) y dA, D为正方形区域，顶点为(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 答案：12. 求以下二重积分：a) ∬(D) (x + y) dA, D为上半平面答案：无穷大b) ∬(D) (2x + 3y) dA, D为单位正方形答案：5 / 2第八章：无穷级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^3)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n^2 / 2^n)答案：收敛第九章：常微分方程1. 求以下常微分方程的通解：a) dy / dx = x^2答案：y = (1 / 3)x^3 + Cb) dy / dx = 2x + 1答案：y = x^2 + x + C2. 求以下常微分方程的特解：a) dy / dx = y^2, y(0) = 1答案：y = 1 / (1 - x)b) dy / dx = 2x, y(0) = 3答案：y = x^2 + 3以上是大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。
《高等数学》同济第六版 第9章答案
1 得C = 0 ， 9 1 1 故所求的特解为: y = x ln x − x 3 9
代入初始条件 y (1) = − 11．求下列微分方程的通解 （1） y′′ − 4 y′ + 3 y = 0 （3） y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 解： （1）特征方程为 （2） y′′ − 4 y′ = 0 （4） y′′ − 4 y′ + 5 y = 0
x )dy = 0 y
解： （1）原方程可化为: 3
dy x 2 y = + , 这是齐次方程. dx y 2 x
设u
=
y dy du ,由 y = xu 得 =u + x⋅ dx dx x
3u 2 1 du = dx 代入原方程并分离变量得： 3 x 1 − 2u
两边积分得： −
3
1 ln 1 − 2u 3 = ln x + ln C1 2 1 C 3 ，即 1 − 2u = 2 ， 2 2 C1 x x
3 3 ⎤ ∫ y dy ⎡ y − ∫ y dy x=e dy + C ⎥ ⎢∫ − e ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦
y 1 1 y2 = y 3 ( ∫ − ⋅ 3 dy + C ) = y 3 ( + C ) = Cy 3 + 2 2 y 2y
10．求微分方程 xy′ + 2 y = x ln x 满足 y (1) = − 解：原方程化为 将 P ( x) =
有⎨
⎧ C1 = 0 解得 C1 = 0, C2 = 1 . C + 2 C = 1 ⎩ 2 1
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程．
4
（1）曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于该点横坐标的 5 倍. (2) 曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于该点横坐标与纵坐标乘积的倒数. 答案．(1) y ′ = 5 x (2) y ′ =
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
高数第9章傅里叶级数
1 端点处收敛于 [ f ( 0 ) f ( 0 )] 2
x , x 0 例 2 将 函 数 展 开 为 傅 立 叶 f ( x ) x , 0 x
级 数 .
解
所给函数满足狄利克雷充分条件.
y
拓广的周期函数的傅 氏级数展开式在 [ , ] 收敛于f ( x) .
( n 1 , 2 , 3 , )
0 , m n sin mx sin nxdx , , m n
0 , m n cos mx cos nxdx , , m n
其中 m , n 1 , 2 , ) sin mx cos nxdx 0 . (
[ a cos kx sin nxdx b sin kx sin nxdx ] b , k k n
1 ( n 1 , 2 , 3 , ) b f ( x ) sin nxdx n
傅里叶系数
1 a f( x ) cos nxdx , ( n 0 , 1 , 2 , ) n 1 b f( x ) sin nxdx , ( n 1 , 2 , ) n
较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动
y A s i n kx k k k
的叠加
k 1 ,2 , ,n
y y A s i n k x k k k
k 1 k 1
n
n
（2）
如：非正弦周期函数:矩形波
1 , 当 t 0 u ( t ) 1 , 当 0 t u
0 2
高数2复习题第九章(第二版)
高数2复习题第九章 第九章答案 P194，习题9.11．写出下列级数的通项 n x （1）"−+−+−564534232 解：11(1)()n n n x n++=− 2．判断下列级数的敛散性 （1）""+++++n 001.0001.0001.0001.03解：1(0.001)nn x =，li ，所以级数发散。
m 1n n x →∞=（3）""+−++++12151311n 解：因为1121lim 12n n n→∞−=，且级数11n n∞=∑发散，所以由正项级数的比较判别法知，原级数发散。
（5）""+++++!1!31!211n 解：因为11!(1)2112221<⋅⋅"11()2n −= n n n =−⋅"而级数111()2n n ∞−=∑收敛，所以由正项级数的比较判别法知，原级数收敛。
3.判断下列级数的敛散性 （2）∑∞=+1)1ln(1n n 解：因为11ln(1)1n n >++，而级数111n n ∞=+∑发散，所以，∑∞=+1)1ln(1n n 发散 （3）∑∞=+13232n n n n解：因为2323lim 2n n n n n→∞+=，且级数11n n∞=∑发散，所以由正项级数的比较判别法知，原级数发散。
（6）∑∞=−1)cos 1(n n π解：因为211(1cos )2sin 2n n n n ππ∞∞==−=∑∑，222sin 2lim 2()2n n nππ→∞=，而级数21(2n nπ∞=∑收敛，所以由正项级数的比较判别法知，原级数∑∞=−1cos 1(n n π收敛。
（7）∑∞=122n n n解：∑∞=122n n n 的通项为22n n n a =，211(1)2n n n a +++=， 221122(1)(1)12lim lim lim 1222n n n n n nnn a nn a n ++→∞→∞→∞++===<，所以由正项级数的达朗贝尔判别法知，级数∑∞=122n nn 收敛。
高数二重积分习题解答
2 dy
4y2 f (x, y)dx ；
0
0
0
1 1y2
1
0
(5)
0
y1
1
dy f (x, y)dx dy
1y 2 f (x, y)dx ；
1 0
0
0
(6)
1
x2
3
3 x
dx f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
0
0
1
0
所属章节：第九章第二节
(5)
sin( x )d
2
dy
y3
sin(
x
)dx
2
(
y
cos1
y
cos
y
2)dy
3cos1 sin1 sin 4 ．
D
y
1
y
y
1
2
所属章节：第九章第二节
难度：二级
12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定 f(x，y)在积分区域上连续)：
(1)
1
dy
y f (x, y)dx ；
1
4
的面积为
1 4
，在其中1
sin( x2
y2)
1
e4
，而等号不恒成
1
立，故 π I πe4 ．
4
4
所属章节：第九章第一节
难度：二级
7．设
f(x，y)是连续函数，试求极限： lim r 0
1 πr 2
x2 y2 r2
f ( x,
y)d
解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得
lim
D D1
D
D1
华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)
华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)、计算对弧长的曲线积分C，其中曲线C是y0某2a的一段弧a0某2aco2解：C的参数方程为y2acoin2原式202aco24a2cod4a244332、计算某yd，其中L星形线某aco3t,yain3t在第一象限的弧L0t272intcot解：原式2acotint3acotintdt3aa3060664443733、计算某yzd，其中为折线ABC，这里A,B,C依次为点0,0,0,1,2,3,1,4,3某t某1解：AB段参数方程y2t0t1，BC段参数方程y22t0t1 z3z3t原式AB某yzdBC某yzd3dt1212tdt1121412t6t18004、计算某2y2d，其中为螺旋线某tcot,ytint,zt上相应于t从0到1的弧。
解：方法一原式tt111112222tdtt2t2t2dt0202221t02111原式lnt4204220方法二、原式tt1112tdt22211u11201u1202211220原式方法三、原式lnu121202ln224tt34222因为tt422lnt11所以lntt421111lntln1ln原式422205、计算L，其中L:某2y2a某a02某aco2解：某ya某raco，曲线L的参数方程为yainco22原式22aco2a220cod2a26、计算L,其中L为圆周某2y2a2，直线y某,y0在第一象限内所围成的扇形的边界。
解：如右图，线段OA的参数方程为某t0t2yt某acot弧AB的参数方程为0t4yaint线段OB的参数方程为某t0tay0aat原式4eadtedt000a4etaet00ae1aaaaaee1ea24427、求曲线某at,ya2at,zt30t1的质量，其密度。
23解：m1aut2020a20a1u23aa388h3a1lnh823ln3a168、求半径为a，中心角为的均匀圆弧（线密度1）的质心。
高等数学第9章参考答案
第八章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= 222{(,)|(,)R ,1};x y x y y x ∈+≠ 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明极限 242)0,0(),(lim yx yx y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x yx xy y x f 在整个xoy 面上连续。
证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。
当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f yx xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数1、设z=x yx e x y + ,验证 z xy +=∂∂+∂∂yzyx z x 证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yx y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，zu ∂∂ 解：1-=∂∂y zx y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂ 5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分：1）x y e z = )1(2dy x dx xy e dz x y+-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz yz yln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx z z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(),(2222y x y x y x y x y x f 在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
高数课后习题九详细答案
第9章课后习题详解 重积分课后习题全解习题9-1★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为),(y x μμ=的电荷，且),(y x μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解：将D 任意分割成n 个小区域{}i σ∆，在第i 个小区域上任取一点),(i i ηξ，由于),(y x μ在D 上连续和i σ∆很小，所以用),(i i ηξμ作为i σ∆上各点函数值的近似值，则i σ∆上的电荷i i i i Q σηξμ∆≈∆),(从而该板上的全部电荷⎰⎰∑=∆==→Dni i i i d y x Q σμσηξμλ),(),(lim 1其中λ是各i σ∆中的最大直径。
★★2.利用二重积分定义证明：（1）σσ=⎰⎰Dd （σ为区域D 的面积）；（2）⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ),(),(（其中k 为常数）；（3）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ，其中21D D D=, 21,D D 为两个无公共内点的闭区域。
证明：（1）这里，被积函数1),(≡y x f ，由二重积分的定义，对任意分割和取点法，=∙⎰⎰Dd σ1∑∑=→=→∆∙=∆n i i ni iiif 111lim ),(lim σσηξλλ∑=→∆=ni i 1lim σλσσλ==→0lim ，∴σσ=⎰⎰Dd ，其中λ是各iσ∆中的最大直径。
（2）=⎰⎰Dd y x kf σ),(∑∑=→=→∆=∆ni i i i ni iiif k kf 101),(lim ),(lim σηξσηξλλ∑=→∆=ni i i i f k 1),(lim σηξλ⎰⎰=Dd y x f k σ),(（3）将1D 任意分割成1n 个小区域{}1i σ∆，1λ是其各小区域的最大直径，将2D 任意分割成2n 个小区域{}2i σ∆，2λ有类似的意义。
高数下第九章的答案
，即 ；又 在直线 上，
联立方程 解得
从而点 到直线 的距离为 .
9.5空间曲面
P.31.习题9.5
1.指出下列方程在平面解析几何和在空间解析几何中分别表示什么图形.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
解：（1） 在平面解析几何中表示平行于y轴的直线，在x轴上的截距为2； 在空间解析几何中表示平行于yoz面的平面，在x轴上的截距为2；
.
（3）已知非零向量a、b、c且满足 ，证明 .
（4）设向量 ，证明三向量a、b、c共面.
证明：（1）
（2）
相加得 .
（3）已知 ，右乘b得 ，即 ；同理 ；
所以 .
（4）因为 ；
所以设向量 ，证明三向量a、b、c共面.
南阳理工学院高等数学（下）课后答案选解
第九章向量代数与空间解析几何
9.1向量及其坐标表示
P.9习题9.1
2.已知一边长为a的正方体，现取正方体下底面的中心为原点，正方体的顶点在x轴、y轴上，求此正方体各顶点的坐标.
解：下底面的四个顶点分别是：
对应的上底面的四个顶点分别是：
3.求出点 到原点、各坐标轴及坐标面的距离.
；所求直线为 .
（5）过点 且与直线 垂直相交的直线方程为
；则 ；联立
解得
所以，过点 且与直线 垂直相交的直线方程为
.
2.用点向式方程及参数方程表示直线
解：设直线的方向向量为 ；在直线
上任取一点 ，则 解得
所以，点向式方程为 ；参数方程为
3.求直线 与平面 之间的夹角.
解：因为
高数第九章解答_khdaw
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高数第九章复习题答案
第九章 复习题答案一、填空题1. 22{(,)02}x y x x y x y x <≤+<≤且。
2. y y x +-1)1(2 。
2*. 2xy 。
3.0 。
3*.___3_____ 。
4.223z y e z - 。
4*.___1_______ 。
4**. 22sin()y y x x - 。
5.1ln ln yz yz yzyzx dx zx xdy yx xdz -++ 。
5*. 11d d x y x y+。
5**. d d xy xy ye x xe y + 。
5***. 11d d x y x y -+ 。
5****.1d ln d y yyx x x x y -+ 。
5*****. y x d 3d 3-- 。
5******. 22d -d 55x y 。
5*******123d d d x y z x y z ++ 。
6. -3 。
7. 42x y π++=+。
7* 8350x y z ++-= 。
7**2/31/2449144x y z ---==-。
8. 114261x y z ---==-。
8*. 624=-+z y x 。
8**. 40x y z +-= 。
8***. 022=--+z y x 。
8***.)21,21,21(- 9. =);,,(λz y x F 22222()(1)z x y z yyx x z λμ++++-+++-。
10. {1，2，13} 。
10*. 。
10**. 11(,1,)22。
11. 0 。
11*。
12. （0，0） ，（2，0） 。
13.（0，0） 。
二、选择题1. D 1*.C 1**.C 1**B .1****. D 1***** D 1*****. B2. B2*. C2**. C 2***. D 2****. D 3. D 4. B 4*. D 5. A 5*. C 6. C7. A 8. B *8 D 9. D三、计算题1. 解 两边同时对x 求偏导得2z xz z x -=zz x， （4分） =x z zx z+（7分） 1解：u x∂∂=)2()2sin(x z z y x ∂∂+⋅++-，对方程320z y x z x --=两边关于x 求偏导，得22213z xz x yz x∂+=∂-，当1,0,1x y z ===时，所以10sin(21)(21)sin 3.x y ux==∂=-+⋅-=-∂1** 解：⎪⎭⎫⎝⎛+=+dx dy e dx du y x 1 )'2( 令 ()x y y y x F --=s i n 21, )'3( 则yF F dx dy yx cos 2111-=-= )'6(则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+y e dx du yx cos 21111 )'7(1***.解：d d d d (d d d )010(1)d d 1z y x z y x z y xz y xz y xz y x e x xe z y x e xez x y xe------------++--=∴+≠=-++当时，d 1****.解：视)(z x x =,)(z y y =,方程组两边关于z 求导,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++02d d 2d d 201d d d d z z y y zx x zyz x , 解得 y x z y z x --=d d , yx xz z y --=d d .2. 解： 122x z f yf ''=+ )'4(111221222()()xy z f xf f xfy f '''''''''=++++ 1112222(2)f x y f x y f f '''''''=++++ )'7( 2**.解：u x ∂∂==1f '(,y x z y )y1………………..4’2u x y ∂∂∂=(11f ''(-2y x )+12f ''z 1)y 1+1f ' (-21y)…………….8’2***.解1221'()',u y f f x x z ∂=-+∂211121221111()()u y f f f x y x x x x z∂'''''=⋅⋅-+⋅-+⋅⋅∂∂111213211""'.y f f f x xz x =-+-2****. .解 x z ='1f +'2yf （4分）xy z =''11f -+''12xf +y (''21f -+''22xf )+'2f=1112222()f x y f xyf f '''''''-+-++ （7分）2*****. 解：,12'2'1f y xf x z +=∂∂22122221222222223211212()()z x x x x x f f f f f f x y y y y y y y y∂''''''''''=⋅⋅--+⋅-=---∂∂ 2******.解：12zyf f x∂''=+∂ 2'""""'"""1111221221112212()()zy xxxyx y x yfffffffff∂=++++=++++∂∂2&.12212222122222 2(1) 2zf g yg x z f g x g xy g x y f xg xyg g ∂'''=++∂∂''''''=⋅-+++∂∂''''''=-+++解： 2&&3.解：令F=23zz e xy -+- ………………………………………………………1’ 则 ={F x,F y,F z}|021），，（={2y,2x,1-ze }|)0,2,1(={4,2,0}//(2,1,0)……………..7’切平面方程为： 2（x-1）+1(y-2)=0 或 2x+y=4……………………………………..8’3*解 设球面上一点为（000,,z y x ），则202020z y x ++=9（*）（1分）令F （x,y,z ）=222z y x ++-9,则)2,2,2(000z y x n =-//),,(000z y x （3分） 切平面为0x （x-0x ）+0y (y-0y )+0z (z-0z )=0, 因与2x+y-2z=0 平行，故0x /2=0y /1=0z /（-2） ，即0x =20y ， 0z =-20y （5分）代入（*）得0y =±1，所求切点为±（2，1，-2） （7分）3** 解{4,1,1}{1,1,1}{0,5,5}n =--⨯=--，故所求平面方程为 (3)0y z -++=即30y z -+=。
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高数第9章答案高等数学（化地生类专业）（下册）姜作廉主编《习题解答》习题91,{6,6,3},6(2)6(1)3(2)0,2280.3(2,3,n AB x y z x y z π==---++-=-+-=v v u u u v 指出下列平面与坐标系的位置关系，并作图：（1）x-2y+1=0;(2)3z+2=0;(3)x+2y+3z=1;(4)2y+z=0.2已知A(2,-1,2)和B(8,-7,5),求一平面通过A 且垂直于线段AB.解：设所求平面的法向量为n 由点法式方程，有：故平面方程为：求过点0),(2,3,4),(0,6,0)0,230230,,,.46460Ax By Cz D A B D D D DA B c D A B C B D --+++=++=⎧⎪--++==-=-=-⎨⎪+=⎩≠的平面方程。
解：设所求平面方程为将已知三点带入，解得：显然，由题意D 0,故所求方程为：3x+2y+6z-12=04求过点(-1,-1,2)且在三个坐标轴上有相同截距的平面方程。
解：设平面在三个坐标轴上的截距为t ，则平面方程由截距式1,,0,3yzt t D x ++=⇒≠≠=可得：x将点（1,-1,2）代入，1-1+2=t t=2.t 故平面方程：x+y+z-2=0.5(1)通过x 轴和M(2,-1,1)解：设所求过x 轴平面方程为By+Cz+D=0,将M 代入：-B+C+D=0,又D=0,故B=C(0),平面方程y+z=0(2)平行于yOz 平面且经过点（3,0,5）D解：设平面为Ax+D=0,将点代入：3A+D=0,A=-显然3故平面方程(0),202.6(1,2,1),(3,2,1)31,,3121133,3,.321213DB C y A B y x y zA B A C A C A C A C ⎧=-≠⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪=⎩=--++=⎧+-=⎪⎪=-=-⎨⎪-++=⎪⎩(3)通过(1,2,-1)和(-5,2,7)且平行于x 轴。
解：设平面方程为By+Cz+D=0,2B-C+D=0故平面方程：2B+7C+D=0平面过在轴的截距为解：设平面方程将代入解得：故平面方程为21,230333x y zx y z -+-=-++=：即：7.2608(1,1,1)2410350.0,0239240,,10350x y z x y z x y z Ax By Cz D A B C D A B C A B A B C ≠--+=--+-=++=+++=-++=⎧⎪-+==-=-⎨⎪++=⎩过点（1,2,3）且平行于x-2y-z+6=0.解：设平面方程为tx-2ty-tz+D=0(t 0)D将点代入：t-4t-3t+D=0,t=故平面方程为：6过点且垂直于和解：设平面方程由题意得：解得：2,,10523910409C D C x y z =+--=故平面方程为：判别下列每组中两个平面是否平行，垂直，重合或相交：（1）x-3y+2z-1=0,2x-6y+4z+2=0;(2)x-y+z-1=0,2x+y+z+1=0;(3)3x+y+z+1=0,x-4y+z+2=0;(4)2x+3y+z-1=0,4x+6y+2z-2=0;10求经过原点及（6,-3,2）且与平面4x-y+2z=8垂直的平面。
解：设2223,,,0,0,2:223011(0,1,0)00,2,,.12A B C B D B x y z Ax By Cz D B D C D A D B D C D A B C Cπ⎧⎪==-=≠⎨⎪⎩+-=-+++=⎧⎪-+=⎪+====-⎨++=平面方程Ax+By+Cz+D=0,由题意得：D=06A-3B+2C+D=0解得：显然4A-B+2C=0故平面方程为求过和（0,0,1）且与xOy 平面成角的平面方程3解：设平面方程为解得：显然0,21012{2,1,3};(2)(1,2,3);(3)D x y z ≠±+-+==--v 故平面方程为分别求满足下列每组条件的直线标准方程：（1）过点(1,2,3)且平行于向量s 过原点及过点（1,0,-1）且平行与x 轴；（4）经过点（0,-3,2）而与两点（3,4,-7)和(2,7,-6)的连线平行。
1310,(2)10;2340,290,(3)(4)35210;8230;11114925326015(2,1,1)420x y y z x y z x z x y z y z x y z x y z M x y z --=⎧⎧⎨⎨+-=⎩⎩+--=+-=⎧⎧⎨⎨-++=+-=⎩⎩---==--+-=⎧-+-+=化下列直线的一般方程为标准方程：x+2y-z-6=0,（1）2x-y+z+1=0;化直线的标准方程为直线的一般方程。
求过点且平行于直线162211,;01110210,10,(2)210,210.173,348976,4512y z x y z x y z x y z x y z x y z y z y z x y ⎨⎩+--+====---++-=---=⎧⎧⎨⎨-++=-++=⎩⎩+==++--====的直线方程。
求下列两直线的交角：x-1（1）1判定下列每组直线是否共面？若共面，求它们所在的平面方程。
x （1）直线:x-y-3=0,3x-y-z-4=0;2x+2(2)37.21867,3614324030(2),.50201944223;73(2)327233;1420(1,2z x y y z x y z x y z x x z z y z x y z y z x y z --=⎧⎧⎨⎨+=⎩⎩+-+=++=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩+==---==-=+-==++=-判定下列每组直线是平行还是垂直3x+z=4（1）y+2z=9讨论下列直线与平面的位置关系：x+3（1）和2和3x-2y+7z=8;x-2(3)和3求12222010101110000222,1)2210021,221,22,12,[(1)(2)(1)]7,3144x y z y z t y t z t d x y z Ax By Cz D t d A B C -++-=-+===+=+=-+=-+-+++++=-==++++1到平面的距离。
解：过点且垂直于已知平面的直线方程为：x-1由直线与平面位置关系（垂直）可知交点坐标：1x 故距离其中解得：21345103453024122(1,2,1)13123(1,2,3),78910045632412125(3,2,1)0x y z x y z x y z x y z x y z y z x M +--=+-+=-++-==-==+++=-==--求两平行平面及间的距离。
求过点且与直线垂直的平面方程。
求过点垂直于直线且平行于平面的直线方程。
x+1求经过点（2,-1,3）,平行于平面x-y+z=1并与直线1相交的直线方程。
求点到直线21112262310126122721121{,,}320(1)213y z x y z x y z y z y z m n p m n p x y z m n p -==-+==++-=-+-==-==-=+-=⎧⎪---⎨==⎪⎩v 的距离求直线与平面的交点。
x-1求经过直线且垂直于平面x-4y+3z+6=0的平面方程。
3x+128过M(2,1,3)且与垂直相交的直线方程。
3解：设所求直线方程的方向向量为S m n p 又两直线共面：30(2)12,,2213214290,10(1,1,1)234030:,350p m n m x y z x y z x y z M x y z L y x z ===----==-+-=-+-=-++-=⎧⎨+-=⎩2 -12+1 1-1 3综上，解得：故所求直线方程为：求通过直线和点的平面方程。
求直线且在轴和z 轴上有相等截距的平面方程。
31求垂直于平面5x-y+3z-2=0且与它的交线在xOy 平面上的平面方程。
解：设平面方程为5300265,.,2,3:153266031A B C z A t B t C t D t x y z -+=⎧⎧⇔⎨⎨=≠⎩⎩==-=-=----=Ax+By+Cz+D=0,5A-B+3C=0(A-5t)x+(B+t)y+(C-3t)z+D+2t=0(t 0)综上，解得：故所求平面方程为求垂直于平面5x-y+3z-2=0且与y 轴和z 轴上有相等截距的平面方程。
10320101(1)033(1,2,3x y z x y z x y z L x y z x y z λλλλλλλλλ++-=⎧++=⎨-++=⎩++-+-++=⎧⎨⎩1求直线在平面上的投影方程。
解：设通过直线的平面方程为：即：（1+）x+(1-)y+(1+)z-1+=0,与所给平面垂直，则：1++1-+1+=0，解得：=-3，所求平面为：-2x+4y-2z-4=0-x+2y-z-2=0故投影方程为x+y+z=0求到两定点M 2222222222),(2,1,4)34450;(2)242100.35(1)(2),39(M y z z x y z x y z y z R -++--=++-++-=+++-===222的距离相等点的轨迹方程。
求下列球面的中心和半径：（1）x 求满足下列条件的各球面的方程：（1）中心在点（1,2,3）且半径为4（2）中心在（1，-1，2）且过点（2,1,4）解：设所求球面方程为:(x-1)将点坐标代入，解得：R 故球面：2222222222222221)(1)(2)9(3)1644(2)4;(2)16253722120381;(2)916x y z x y z y z z x y z x y z x y z y z -+++-=⎧++=⎧+=⎪⎨⎨=++-=⎪⎩⎩⎧++=⎨++-=⎩+==22中心在点（1,2,1）且与平面x+2y+2z-10=0相切。
36指出下列方程组表示的曲线：x （1）求圆的圆心和半径下列方程代表什么曲面，并作出他们的草图：x （1）22222222222222224;(3)4;(4)490;(5)0;(6) 1.49392216,0409,341(,)0,01x x x y x y x y x y z x y z y z x y z F x y z y z x =-=+=-=++=-+=++=++===Γ++=222分别求母线平行于轴和y 轴而通过曲线x 的柱面方程。
求母线平行于z 轴,准线为L:x 的柱面方程。
求以曲线为准线，以l,m,n 为柱面母线的方向数的柱面方程。
42求以曲线：x 2:300430,2x y z y z y z z x π⎧+++=⎨++=⎩+-==+2为准线，母线垂直于平面的柱面方程。