高考数学(理)一轮资源库 第七章 7.3基本不等式及其应用
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最大值为___1_____.
思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)∵x>0，y>0，且 2x＋y＝1，
∴1x＋1y＝2xx＋y＋2x＋ y y ＝3＋xy＋2yx≥3＋2 2.当且仅当 xy＝2yx时，取等号. (2)∵x>0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x ≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x ＝1 时取等号.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
利用基本不等式求最值
【例 3】 (1)已知 x>0，y>0， 且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值 为___3_＋__2__2______； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的
最大值为___1_____.
思维启迪 解析 答案 思维升华
数学 苏（理）
§7.3 基本不等式及其应用
第七章 不等式、推理与证明
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1.基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件： a≥0，b≥0
.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R). (2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号). (3)ab≤a＋2 b2 (a，b∈R). (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2 (a，b∈R).
∴xy≤3.当且仅当3x＝4y时取等号.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
不等式与函数的综合问题
【例 2】 (1)已知 f(x)＝32x－(k＋ 思维启迪 解析 答案 思维升华
1)3x＋2，当 x∈R 时，f(x)恒为
正值，则 k 的取值范围是
________________.
的最小值为____4____.
(2)已知 x，y∈R＋，且满足x3＋4y＝1，则 xy 的最大值为___3_____.
解析
(1)
依
题
意
知
，
(
x＋ y
y)(
y x
＋x)
＝1＋
y2＋ x
x2＋ y
1≥
2＋
2
yx2×xy2＝4，当且仅当 x＝y＝1 时取等号，故(xy＋y)·(yx＋
x)的最小值为 4.
(2)∵x>0，y>0 且 1＝3x＋4y≥2 1xy2，
(1)利用 基本不等式 求函数最 值时，注意“一正、二定、三 相等，和定积最大，积定和最 小”.
(2)在求最值过程中若不能直接 使用基本不等式，可以考虑利 用拆项、配凑、常数代换、平 方等技巧进行变形，使之能够 使用基本不等式.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)已知正实数 x，y 满足 xy＝1，则(xy＋y)·(xy＋x)
利用基本不等式求最值可以 先对式子进行必要的变换.如 第 (1)问把1x＋1y中的 “1”代 换为“2x＋y”，展开后利用 基本不等式；第(2)问把函数
最大值为________.
式中分子分母同除“x”，再
利用基本不等式.
基础知识
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题型分类·深度剖析
题型一
利用基本不等式求最值
【例 3】 (1)已知 x>0，y>0， 且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值
最大值为________.
基础知识
题型分类
思想方法
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题型一
利用基本不等式求最值
【例 3】 (1)已知 x>0，y>0， 且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值
为______________； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的
思维启迪 解析 答案 思维升华
思维启迪 解析 答案 思维升华
对不等式恒成立问题可
________________.
(2) 已 知 函 数
f(x)
＝
x2＋ax＋11 x＋1
(a∈R)， 若 对 于 任 意 x∈N*，
f(x)≥3 恒成立，则 a 的取值范
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3.算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 2 ，几何平均数 为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数 .
4.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有
为______________； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的
最大值为________.
思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)∵x>0，y>0，且 2x＋y＝1，
∴1x＋1y＝2x＋x y＋2x＋ y y
＝3＋yx＋2yx≥3＋2 2.当且仅当
yx＝2yx时，取等号.
(2)∵x>0
最 小 值是 2 p.(简记：积定和最小)
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有
p2 最 大 值是 4 .(简记：和定积最大)
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1) × (2) × (3) × (4) × (5) ×(6) √
④
1 －∞，14
－2
解析
基础知识
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题型一
利用基本不等式求最值
【例 3】 (1)已知 x>0，y>0， 且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值
思维启迪 解析 答案 思维升华
为______________； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的
，
∴f(x)
＝
2x x2＋1
＝
பைடு நூலகம்
2 x＋1x
≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝
1 时取等号.
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题型一
利用基本不等式求最值
【例 3】 (1)已知 x>0，y>0， 且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值 为___3_＋__2__2______； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的
(2) 已 知 函 数
f(x)
＝
x2＋ax＋11 x＋1
(a∈R)， 若 对 于 任 意 x∈N*，
f(x)≥3 恒成立，则 a 的取值范
围是_________________.
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题型二
不等式与函数的综合问题
【例 2】 (1)已知 f(x)＝32x－(k＋ 1)3x＋2，当 x∈R 时，f(x)恒为 正值，则 k 的取值范围是
思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)∵x>0，y>0，且 2x＋y＝1，
∴1x＋1y＝2xx＋y＋2x＋ y y ＝3＋xy＋2yx≥3＋2 2.当且仅当 xy＝2yx时，取等号. (2)∵x>0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x ≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x ＝1 时取等号.
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利用基本不等式求最值
【例 3】 (1)已知 x>0，y>0， 且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值 为___3_＋__2__2______； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的
最大值为___1_____.
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§7.3 基本不等式及其应用
第七章 不等式、推理与证明
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要点梳理
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1.基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件： a≥0，b≥0
.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R). (2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号). (3)ab≤a＋2 b2 (a，b∈R). (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2 (a，b∈R).
∴xy≤3.当且仅当3x＝4y时取等号.
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题型二
不等式与函数的综合问题
【例 2】 (1)已知 f(x)＝32x－(k＋ 思维启迪 解析 答案 思维升华
1)3x＋2，当 x∈R 时，f(x)恒为
正值，则 k 的取值范围是
________________.
的最小值为____4____.
(2)已知 x，y∈R＋，且满足x3＋4y＝1，则 xy 的最大值为___3_____.
解析
(1)
依
题
意
知
，
(
x＋ y
y)(
y x
＋x)
＝1＋
y2＋ x
x2＋ y
1≥
2＋
2
yx2×xy2＝4，当且仅当 x＝y＝1 时取等号，故(xy＋y)·(yx＋
x)的最小值为 4.
(2)∵x>0，y>0 且 1＝3x＋4y≥2 1xy2，
(1)利用 基本不等式 求函数最 值时，注意“一正、二定、三 相等，和定积最大，积定和最 小”.
(2)在求最值过程中若不能直接 使用基本不等式，可以考虑利 用拆项、配凑、常数代换、平 方等技巧进行变形，使之能够 使用基本不等式.
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跟踪训练 1 (1)已知正实数 x，y 满足 xy＝1，则(xy＋y)·(xy＋x)
利用基本不等式求最值可以 先对式子进行必要的变换.如 第 (1)问把1x＋1y中的 “1”代 换为“2x＋y”，展开后利用 基本不等式；第(2)问把函数
最大值为________.
式中分子分母同除“x”，再
利用基本不等式.
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利用基本不等式求最值
【例 3】 (1)已知 x>0，y>0， 且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值
最大值为________.
基础知识
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利用基本不等式求最值
【例 3】 (1)已知 x>0，y>0， 且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值
为______________； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的
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对不等式恒成立问题可
________________.
(2) 已 知 函 数
f(x)
＝
x2＋ax＋11 x＋1
(a∈R)， 若 对 于 任 意 x∈N*，
f(x)≥3 恒成立，则 a 的取值范
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3.算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 2 ，几何平均数 为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数 .
4.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有
为______________； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的
最大值为________.
思维启迪 解析 答案 思维升华
(1)∵x>0，y>0，且 2x＋y＝1，
∴1x＋1y＝2x＋x y＋2x＋ y y
＝3＋yx＋2yx≥3＋2 2.当且仅当
yx＝2yx时，取等号.
(2)∵x>0
最 小 值是 2 p.(简记：积定和最小)
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有
p2 最 大 值是 4 .(简记：和定积最大)
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夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1) × (2) × (3) × (4) × (5) ×(6) √
④
1 －∞，14
－2
解析
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利用基本不等式求最值
【例 3】 (1)已知 x>0，y>0， 且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值
思维启迪 解析 答案 思维升华
为______________； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的
，
∴f(x)
＝
2x x2＋1
＝
பைடு நூலகம்
2 x＋1x
≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝
1 时取等号.
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题型一
利用基本不等式求最值
【例 3】 (1)已知 x>0，y>0， 且 2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值 为___3_＋__2__2______； (2)当 x>0 时，则 f(x)＝x22＋x 1的
(2) 已 知 函 数
f(x)
＝
x2＋ax＋11 x＋1
(a∈R)， 若 对 于 任 意 x∈N*，
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围是_________________.
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不等式与函数的综合问题
【例 2】 (1)已知 f(x)＝32x－(k＋ 1)3x＋2，当 x∈R 时，f(x)恒为 正值，则 k 的取值范围是