专题直线与圆

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专题直线与圆的位置关系(知识点讲解)- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解(解析版)

专题9.2 直线与圆的位置关系（知识点讲解）

【知识框架】

【核心素养】

1．考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养．

2．考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养． 3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养．

【知识点展示】

一．圆的方程

1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程

(1) 若圆的圆心为C(a,b ),半径为r ，则该圆的标准方程为：． (2) 方程表示圆心为C(a,b ),半径为r 的圆． 3．圆的一般方程

(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：.

222

()()x a y b r -+-=222

()()x a y b r -+-=22

0x y Dx Ey F ++++=22

0x y Dx Ey F ++++=

①若，则方程表示以，

为圆心,为半径的圆； ②若，则方程只表示一个点，；

③若，则方程不表示任何图形．

4.点与⊙C 的位置关系

(1)|AC |<r ⇔点A 在圆内⇔； (2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上⇔； (3)|AC |>r ⇔点A 在圆外⇔.

二．圆的方程综合应用

1. 圆的标准方程为：

2．圆的一般方程．：（）.

3.点到直线的距离：.

三．直线与圆相切

1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；

3.代数法：，方程组有一组不同的解. 四．直线与圆相交及弦长

1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；

高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析

专题9.2 直线与圆的位置关系

1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为

”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要

条件【答案】A 【解析】

由1k =时,圆心到直线:1l y x =+

的距离d =

所以11

OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为

.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线

20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】

22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，

所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.

3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（）．

．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D

．0

x y +=【答案】A 【分析】

根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】

由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．

练基础

圆心()0,0到直线0x y c ++=1，

高一数学-直线与圆的方程——直线与圆的位置关系(带答案)

专题二直线与圆的位置关系

教学目标：

直线和圆的位置关系的判断教学重难点：

直线和圆的位置关系的应用教学过程：

第一部分知识点回顾

考点一：直线与圆的位置关系的判断：

直线:0l Ax By C ++=和圆()()2

C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。可从代数和几

何两个方面来判断：（1）代数方法

判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：

由⎩

⎨

⎧

=-+-=++2

22)()(0r b y a x C By Ax ，消元得到一元二次方程，计算判别式∆， ①0∆>⇔相交；②0∆<⇔相离；③0∆=⇔相切；（2）几何方法

如果直线l 和圆C 的方程分别为：0=++C By Ax ，2

)()(r b y a x =-+-. 可以用圆心),(b a C 到直线的距离=

d 2

Aa Bb C A B

+++与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系:

①d r <⇔相交；②d r >⇔相离；③d r =⇔相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。

例1 直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2

＋y 2

＝4的位置关系是( )

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．以上都有可能

答案 B 解析圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|

sin 2θ＋cos 2

所以直线与圆相切．例2 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2

＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )

专题四第1讲直线与圆

1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法. (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d＜r⇔直线与圆相交， d＝r⇔直线与圆相切，d>r⇔直线与圆相离. (2)判别式法：设圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线 l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方
解析 ∵P(3,4)为 C 上一点，m9 －126＝1，
解得m＝1，则B(1,0)， ∴kPB＝2，
PB 的中垂线方程为 y＝－12(x－2)＋2，令x＝0，则y＝3，
设外接圆圆心为M(0,3)，
r＝|MB|＝ 1＋32＝ 10，
∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.
热点三直线与圆、圆与圆的位置关系
即2x＋3y－5＝0.
热点二圆的方程及应用
1.圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2. 2.圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D2＋E2－4F>0，表示以－D2 ，－E2为圆心，
思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量. (2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.

直线与圆专题课

直线与圆专题

一、圆的方程

1、求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的

方程; （(x-4)2+(y-5)2=10 ）

2、求与x 轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截

得的弦长为的圆的方程。 2222(1)(3)9(1)(3)9

x y x y -+-=+++=或 3、求经过两圆22(3)13x y ++=和22(3)37x y ++=的交点，且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程 221789()()222

x y -++=

4、已知圆C 过点A （4,-1）,且与圆22

2650x y x y ++-+=相切于点B （1,2）,则圆C 的方程为()()22513y x +=-- 5、若直线3x+4y+m=0与圆

⎩⎨⎧+-=+=θ

θsin 2cos 1y x （θ为参数）

没有公共点，则实数m 的取值范围是 . (,0)(10,)-∞⋃+∞

二、位置关系

1、已知圆的方程为222

20x y ax y a ++++=，要使过定点A （1，2）作圆的切线有两条，则a 的取值

范围是 .

2、已知两圆

2210

x y

+=和

(1)(3)20

x y

-+-=相交于A B

，两点，则直线AB的方程是30

x y

3、两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．

a＝±25或a＝0

4、若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：

(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相

交于A、B两点，且两圆在

点A处的切线互相垂直，则

线段AB的长度为

________．4

高考专题之平面解析几何直线与圆

一、填空题

1.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为

A.(x+1)²+(y-0²=2

B.(x-1)²+(y+1)²=2

C.(x-1)²+(y-1)²=2

D.(x+1)²+(y+1)²=2

2.直线y=x+1与圆 x²+y²-1的位置关系为( )

A.相切

B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心

D.相离

3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2) 的圆的方程为( )

A. x²+(y-2)²=1

B.x²+(y+2)²=1

C.(x-1)²+(y-3)²-1

D. x²+(y-3)³=1

4.点P(4. -2) 与圆 x²+y²=4 上任一点连续的中点轨迹方程是 ( )

A.(x-2)²+(y+1)²=1

B.(x-2)²+(y+1)²=4

C.(x+4)²+(y-2)²=4

D.(x+2)²+(y-1)²-1

5.已知直线l:(k-3)x+(4-k)y+1=0,与l:2(k-3)x-2y+3=0,平行，则k 得值是( )

A. 1或3

B.1或5 C3或5 D.1或2

6.过原点且倾斜角为60°的直线被圆 x²+y²-4y=0. 所截得的弦长为( )

A.u√3

B.2

C.√6

D.2√3

7.原点到直线x+2y-5=0的距离为 ( )

A. 1

B.√3

C. 2

D.√5

8.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( )

A.y =−13x +13

B.y =−13x +1

C. y=3x-3

D.y =13x +1 9.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 ( )

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系专题

已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=0

1．位置关系的判定：

判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程

(1)△>0相交；

(2)△=0相切；

(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d

(1)d<r相交；

(2)d=r相切；

(3)d>r相离。

例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。

法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点，

∵点P在圆O内，

∴直线L与圆O相交。

法二：圆心O到直线L的距离为

当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，

∴14m2+4m+17>0

∴m∈R

所以直线L与直线O相交。

法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0

∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)

当m≠1时，△>0，直线与圆相交；

当m=1时，直线L：，此时直线L与圆O相交

综上得直线L与圆O恒相交。

[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。

例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25

的距离的最大最小值

解：如图，直线L过圆心，且与直线3x+4y=25垂直于点M，此时，l与圆有两个交点A、B，

∵原点到直线3x+4y=25的距离|OM|=5，

专题16 直线与圆的位置关系(解析版)

专题16 直线与圆的位置关系

考点一直线与圆的位置关系

1.已知集合P＝{(x,y)|y=−√25−x2,x,y∈R}，Q＝{（x，y）|y＝x＋b，x，y∈R}，若P∩Q≠∅，则实数b的取值范围是（）

A. [－5,5]

B. （－5√2，5）

C. [－5√2，5]

D. [－5√2，5√2]

【答案】C

【解析】集合P表示以原点为圆心，5为半径的圆的下半部分上的点，集合Q表示直线y＝x＋b上的点.因为P∩Q≠∅，所以两个曲线有交点.由图可知，当直线y＝x＋b经过点（－5,0）时，两曲线开始有交点，此时b＝5.当b逐渐减小时，直线与曲线一直有交点，直到直线y＝x＋b与半圆相切，此时

＝5，解得b＝±5√2.

√2

由图判断，b＝－5√2.所以－5√2≤b≤5，故选C.

2.若圆（x－1）2＋（y＋1）2＝R2上有且仅有两个点到直线4x＋3y＝11的距离等于1，则半径R的取值范围是（）

A.R＞1

B.R＜3

C. 1＜R＜3

D.R≠2

【答案】C

【解析】依题意可得，直线与圆可能相交，相切或相离.若直线4x＋3y＝11与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝R2相离，则圆上的点到直线的最小距离应小于1，即圆心到直线的

距离d∈（R,1＋R），从而有R＜10

＜1＋R，解得1＜R＜2.

若直线4x＋3y＝11与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝R2相切，则R＝10

＝2.

若直线4x＋3y＝11与圆相交，则圆上的点到直线的最小距离应小于1，即圆心到直线

的距离d∈（R－1，R），从而有R－1＜10

＜R，解得2＜R＜3.综上可得1＜R＜3，故选C.

2023年高考数学真题题源解密(新高考全国卷)专题11 直线与圆(解析版)

专题11

直线与圆

目录一览2023

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易错易混速记/二级结论速记

考向一直线与圆相切

1．（2023•新高考Ⅰ•第6题）过点（0，﹣2）与圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（）

A ．1

B ．

154

C ．

104

D ．

【答案】B

解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0可化为（x ﹣2）2+y 2＝5

，则圆心C （2，0），半径为r =5；设P （0，﹣2），切线为PA 、PB ，则PC =22+22

=22，△PAC

中，sin �

5cos �

所以sin α＝2sin �2

cos �

=2×

5×

154

．故选：B ．

考向二直线与圆相交

2．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知直线x ﹣my +1＝0与⊙C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85

”的m 的一个值．

【答案】2（或﹣2或12

或−12

）

解：由圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，可得圆心坐标为C （1，0），半径为r ＝2，因为△ABC 的面积为85

，可得S △ABC =12

×2×2×sin ∠ACB =85

，

解得sin ∠ACB =4

5，设12

∠ACB ＝θ所以∴2sin θcos θ=4

5，可得

2푠푖푛휃 푠휃푠푖푛2휃+ 푠2휃

5，∴

2푡푎푛휃푡푎푛2휃+1

=45，∴tan θ=1

2或tan θ＝2，

∴cos θ=

直线与圆复习专题

直线与圆复习专题（1）

——直线的方程与位置关系

〖双基回顾〗

1、直线的倾斜角：规定：当直线和x 轴平行或重合时其倾斜角为：_ __，所以直线的倾斜角的取值范围是：_________.

2、直线的斜率是指：_____________________________________________.

3、经过两面点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)的直线的斜率公式为：k =_______________. 4

5、两条直线：l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的位置关系：

⑴相交⇔ 垂直⇔ ⑵平行⇔ ⑶重合⇔

6、点P （x 0，y 0）到直线Ax +By +C =0的距离为

7、两条平行直线：Ax +By +C 1=0，Ax +By +C 2=0的距离为d =__________

8、①点（a,b ）关于点（x,y ）的对称点坐标是__ __；

②点（a,b ）关于x 轴，y 轴，原点，直线y=x ，直线y=-x 的对称点坐标分别是_________ _

〖典型例题〗

例1、求经过直线1:3450l x y +-=与直线2:2380l x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直

线的一般方程：

（1）经过原点；（2）与直线250x y ++=平行；（3）与直线250x y ++=垂直.

例2、已知三角形的顶点是(3,0),(2,2),(0,1).A B C --

（1）求AB 边上的中线所在直线方程；（2）求AB 边上的高所在直线方程；（3）求线段AB 的中垂线所在直线方程。

九年级数学奥数知识点专题精讲---直线和圆的位置关系

知识点、重点、难点

直线与圆有三种位置关系：相交，相切，相离．与圆相交的直线叫做圆的割线，与圆相切的直线叫做圆的切线。设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为R .

直线与圆相离d r ⇔>⇔直线与圆无公共点。直线与圆相切d r ⇔=⇔直线与圆有唯一公共点。

直线与圆相交d r ⇔<⇔直线与圆有两个公共点。

圆的切线垂直于过切点的半径，圆的切线与圆心的距离等于半径。从圆外一点P 引圆的两条切线长相等，且P 与圆心的连线平分这两条切线所夹的角。

弦切角等于它所夹的弧上的圆周角。

圆幂定理：包括相交弦定理、切割线定理和切线长定理。

处理直线和圆的有关几何问题的基本方法是由位置关系确定线段或角之间的数量关系，反之也可由数量关系确定直线与圆的位置关系。

例题精讲

例1：如图，已知D 是△ABC 的边AC 上的一点，AD ：DC =2：1，∠C = 45°，∠ADB = 60°，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线。

证明：如图，作△BCD 的外接圆，设圆心为O ，连结OB 、OC 、OD 、OD 交BC 于E .

因为∠DCB 是BD 所对的圆周角，∠BOD 是BD 所对的圆心角， ∠BCD =45°，所以∠BOD ＝90°.

又因为∠ADB 是△BCD 的一个外角，所以∠DBC =∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°．

于是∠DOC ＝30°，故∠BOC ＝120°. 因为OB = OC ，所以∠BCO =∠CBO =30°.

在△OEC 中，因为∠EOC －∠ECO =30°，所以OE =EC .

专题10直线与圆圆与圆的位置关系(4个知识点8种题型)(原卷版)

专题10直线与圆、圆与圆的位置关系（4个知识点8种题型）【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.直线与圆的位置关系的判断【方法二】实例探索法

题型1.直线与圆位置关系的判定与应用题型2.直线与圆相切的有关问题圆位置关系的判断【方法三】成果评定法

【倍速学习三种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.直线与圆的位置关系的判断

1．直线与圆的三种位置关系

代数法：由 ⎩⎨⎧

Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2

＋y －b

＝r

(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：

|r －r |＜d 0＜d ＜

⎭

⎬⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧

Δ＞0⇒相交，Δ＝0⇒内切或外切，

Δ＜0⇒外离或内含.

①外离（4条公切线）：d ＞r 1+r 2 ②外切（3条公切线）：d ＝r 1+r 2

③相交（2条公切线）：|r 1﹣r 2|＜d ＜r 1+r 2 ④内切（1条公切线）：d ＝|r 1﹣r 2| ⑤内含（无公切线）：0＜d ＜|r 1﹣r 2|

【方法二】实例探索法

题型1.直线与圆位置关系的判定与应用

【例1】已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2ym 为何值时，圆与直线：

(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．

【变式】已知直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，则直线l 与

圆C的位置关系为________．

高考专题--直线与圆、圆与圆的位置关系

最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想

知识梳理

1.直线与圆的位置关系

设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的

距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2

，

Ax ＋By ＋C ＝0

消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.

2.设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件.( )

(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )

(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( )

(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( ) 解析 (1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分不必要条件.

(2)除外切外，还有可能内切. (3)两圆还可能内切或内含.

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√

高考专题--直线与圆、圆与圆的位置关系

本文介绍了高考数学中与直线和圆、圆和圆的位置关系相关的知识点。首先讲解了直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离公式，可以得到关于x或y的一元二次方程，通过判别式Δ可以判断相交、相切、相离的位置关系。接着讲解了

圆与圆的位置关系，通过圆心距和半径之间的关系，可以判断相离、外切、内含、内切的位置关系。最后通过诊断自测，帮助读者巩固所学知识点。

本文旨在介绍高考数学中关于直线和圆、圆和圆的位置关系的知识点。首先，我们研究了如何判断直线和圆的位置关系，通过圆心到直线的距离公式，我们可以得到一个关于x或y的一元二次方程，并通过判别式Δ来确定相交、相切、相离的

位置关系。接着，我们研究了如何判断圆和圆的位置关系，通过圆心距和半径之间的关系，我们可以确定相离、外切、内含、内切的位置关系。最后，我们通过诊断自测来巩固所学知识点。

1.解析：根据题意，有以下两个公式：

AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}(y_1-y_2)^2-4y_1y_2}

1+k^2(x_1+x_2)^2-4x_1x_2

根据公式进行计算即可。

2.解析：求过一点的圆的切线方程，需要先判断该点是否在圆上，如果在圆上，则切线有无数条；如果不在圆上，则切线有且只有一条。斜率不存在的情况需要特别注意。

易错防范]

1.求圆的弦长问题，需要注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算。

2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解。

高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含答案解析)

高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含(Han)答案解析)

【知识要(Yao)点】

圆的(De)定义：平面内与一定点距离(Li)等于定长的点的轨迹称为圆

（一）圆的标(Biao)准方程

形如：

这个方程叫做圆的标准方程。

说明：1、若圆心在坐标原点上，这时

，则圆的方程就是

。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大

小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定a,b,r ，可以根据3个条件，利用待定系数

法来解决。

（二）圆的一般方程

将圆的标准方程2

22)()(r b y a x =-+-,展开可得

。可见，

任何一个圆的方程都可以写成 :

。

问题：形如

022=++++F Ey Dx y x 的方程的曲线是不是圆？将方程

2=++++F Ey Dx y x 左边配方得：

（1）当

时，方程（1）与标准方程比较，方程02

2=++++F Ey Dx y x 表示以

为圆心，以

为半径的圆。

（2）当

时，方程

2=++++F Ey Dx y x 只有实数解，解为,所

以表示一个点

)2,2(E

D --

（3）当时，方程

022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。圆的一般方程的定义：当0422>-+F E D 时，方程

022=++++F Ey Dx y x 称为圆的一般方程.

圆的一般方程的特点：（i ）的系数相同，不等于零；（ii ）没有xy 这样的二次

项。

专题12 直线与圆的位置关系知识精讲 (解析版)

专题十二直线与圆的位置关系

一知识结构图

二.学法指导

1．直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．

2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．

3．坐标法解决问题的一般步骤

(1)建立适当的平面直角坐标系；

(2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标及曲线的方程；

(3)利用所学公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；

(4)反演回去，得到几何问题的结论．

三.知识点贯通

知识点1 直线与圆的位置关系

1.直线与圆的三种位置关系

2.直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断

例题1.已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线：

(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．

【解析】法一：将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，

∴(1)当Δ>0时，即m >0或m <－4

3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；

(2)当Δ＝0时，即m ＝0或m ＝－4

专题直线与圆