新人教A版选修2_2020-2021学年高中数学课时跟踪检测(八)“杨辉三角”与二项式系数的性质

高中数学选修2-3检测：八) 杨辉三角含解析

课时跟踪训练(八) 杨辉三角1．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( )A ．180B ．－180C ．45D ．－45 2．在(a －b )20的相同的项是( ) A ．第15项B ．第16项C ．第17项D ．第18项3．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．314．已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )A ．1B ．＋1C ．2D ．±25．在(1＋2x )7的展开式中，C 27是第________项的二项式系数，第3项的系数是________． 6．若(x ＋2)5的展开式第二项的值大于1 000，则实数x 的取值范围为________．7．已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n (n ∈N ＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含x 32的项．8．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9，求：(1)各项系数之和；(2)所有奇数项系数之和；(3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．答案1．选A a 8＝C 810·22＝180. 2．选B 第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件．3．选B C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C 2n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.4．选C 由题意知2n ＝32，n ＝5， T r ＋1＝C r 5(x )5－r a r ·x r 13－＝C r 5a r x 5526－r ，令52－56r ＝0，得r ＝3， ∴a 3C 35＝80，解得a ＝2.5．解析：由二项式系数的定义知C k n 为第k ＋1项的系数， ∴C 27为第3项的二项式系数．∵T 2＋1＝C 27·(2x )2＝22·C 27x 2，∴第3项的系数为22·C 27＝84.答案：3 846．解析：∵T 2＝C 15·(x )4·21＝10x 2>1 000，且x ≥0， ∴x >10.答案：(10，＋∞)7．由题意知第五项的系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101，解得n ＝8(n ＝－3舍去)．所以通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝C r 8(－2)r ·x r 852－. 令8－5r 2＝32，得r ＝1. ∴展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.8．解：(1)令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1.令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59.将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12. (3)法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59. 法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9的展开式中各项的系数和，令x ＝1，y ＝1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.(4)奇数项的二项式系数之和为C 09＋C 29＋…＋C 89＝28.偶数项的二项式系数之和为C 19＋C 39＋…＋C 99＝28.。

高中数学《杨辉三角》教学设计

《杨辉三角》教学设计一、教材分析：（1）教材内容：《杨辉三角》是全日制普通高级中学教科书人教现行人教B版选修2-3第1章第3节第2课时，本节内容是继二项式定理后对二项式系数的深入研究，是依现行教材开发的一节研究性学习内容。

本节课主要是总结杨辉三角的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。

杨辉三角的基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，因此它也是研究杨辉三角其他规律的基础。

（2）地位与作用：本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

这对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。

通过本节课的教学进一步提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感受体验数学美。

二、学情分析：1. 本班同学学习成绩比较突出，无论在观察问题还是分析问题上已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试总结归纳。

同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。

2. 我校实行“1121”教学模式，在“先学后教”的原则下，以学案为载体，进行授课。

班里设有合作学习小组，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点，学生还需要在老师的指导下共同完成。

三、目标分析：1、知识与技能目标：了解有关杨辉三角形的简史，熟悉杨辉三角的数字排列特点，从中发现二项式系数的主要性质，掌握这些性质；并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题。

2、过程与方法目标：通过小组讨论,培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神.3、情感、态度价值观目标：（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度；（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。

2019-2020学年人教A版数学选修2-3课时规范训练：1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

第一章 1.3 1.3.2【基础练习】1．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210【答案】C2．(2018年宁波模拟)若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．－3C ．1D ．1或－3【答案】D3．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，即a ＝C m 2m .同理b ＝C m 2m ＋1，∴13C m 2m＝7C m 2m ＋1，即13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6.4．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】A【解析】令x ＝－1，得[(－1)2＋1]×[2×(－1)＋1]9＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.故选A.5.(2019年六安期末)在(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8的展开式中，含x 2项的系数是________.(结果用数值表示)【答案】84 【解析】展开式中，含x 2项的系数是C 22+C 32+C 42+C 52+C 62+C 72+C 82=C 33+C 32+C 42+C 52+C 62+C 72+C 82=C 93=84.6．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．【答案】2n －17．(1－x )5(3＋2x )9＝a 0(x ＋1)14＋a 1(x ＋1)13＋…＋a 13(x ＋1)＋a 14，求： (1)a 0＋a 1＋…＋a 14的值； (2)a 1＋a 3＋…＋a 13的值．【解析】(1)令x ＝0，得a 0＋a 1＋…＋a 14＝39.(2)设A ＝a 0＋a 2＋…＋a 14，B ＝a 1＋a 3＋…＋a 13，则有A ＋B ＝39.令x ＝－2，有A －B ＝－35，联立方程组，解得a 1＋a 3＋…＋a 13＝39＋352.8．在(3x －2y )20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．【解析】(1)二项式系数最大的项是第11项， T 11＝C 1020·310·(－2)10·x 10y 10＝C 1020·610·x 10y 10. (2)设系数绝对值最大的项是第r ＋1项，于是⎩⎪⎨⎪⎧C r 20·320－r ·2r ≥C r ＋120·319－r ·2r ＋1，C r 20·320－r ·2r ≥C r －120·321－r ·2r －1.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3(r ＋1)≥2(20－r )，2(21－r )≥3r .解得725≤r ≤825.所以r ＝8，即T 9＝C 820·312·28·x 12y 8是系数绝对值最大的项． (3)由于第9项系数绝对值最大且为正，所以第9项系数最大． T 9＝C 820·312·28·x 12y 8. 【能力提升】A.-80B.-40C.40D.80【答案】D【解析】令x=1，可得展开式中各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2，解得a=1,则(1+a x )(2x-1x )5=(2x-1x )5+1x(2x-1x )5.其中，(2x-1x )5的展开式的通项为T r+1=C 5r (2x)5-r(-1x )r =(-1)r 25-r C 5r x 5-2r ，其中不含常数项，令r=2得T 3=80x ，所以该展开式中常数项为80.故选D.10．若(x ＋1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则(a 5＋a 3＋a 1)2－(a 4＋a 2＋a 0)2的值等于( )A ．0B ．－32C ．32D ．－1【答案】A【解析】令x ＝1得到25＝a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0，令x ＝－1得到0＝－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0，所以(a 5＋a 3＋a 1)2－(a 4＋a 2＋a 0)2＝(a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0)(a 5－a 4＋a 3－a 2＋a 1－a 0)＝0. 11．(2015年上海)在⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，x 2项的系数为________．(结果用数值表示)【答案】45【解析】⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎡⎦⎤(1＋x )＋1x 2 01510，其二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(1＋x )10－r x －2 015r .当r >0时不合题意，故r ＝0，问题转化为求(1＋x )10的展开式中x 2的系数，其二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10x k ，令k ＝2，则x 2项的系数为C 210＝45.12.(2019年江苏)设(1+x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，n ≥4，n ∈N *.已知a 32=2a 2a 4． (1)求n 的值；(2)设(1+3)n =a +b 3，其中a ,b ∈N *，求a 2-3b 2的值．【解析】(1)由(1+x )n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+…+C n n x n ,n ≥4，可得a 2=C n 2=12n (n -1),a 3=C n 3=16n (n -1)(n -2),a 4=C n 4=124n (n -1)(n -2)(n -3).由a 32=2a 2a 4，可得[16n (n -1)(n -2)]2=12n (n -1)·124n (n -1)(n -2)(n -3)，化简得2(n -2)=3(n -3)，解得n =5.(2)方法一:(1+3)5=C 50+C 513+C 52(3)2+C 53(3)3+C 54(3)4+C 55(3)5 =1+53+30+303+45+9 3 =76+443,又(1+3)n =a +b 3，其中a ,b ∈N *，所以a =76,b =44. 所以a 2-3b 2=762-3×442=-32. 方法二:(1+3)5=a 0+a 13+a 2(3)2+a 3(3)3+a 4(3)4+a 5(3)5=a +b 3，则(1-3)5=a 0+a 1(-3)+a 2(-3)2+a 3(-3)3+a 4(-3)4+a 5(-3)5=a -b 3，可得(a +b 3)(a -b 3)=(1+3)5(1-3)5, 即a 2-3b 2=(1-3)5=-32.。

2021年高中数学课时跟踪检测八双曲线及其标准方程新人教A版选修

2021年高中数学课时跟踪检测八双曲线及其标准方程新人教A 版选修1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：选D 将方程化为y 2－n m －x 2－n m＝1，由mn <0，知－n m>0，所以方程表示的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A ．12 B ．32C ．72D ．5解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当P 在M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72．4．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A ．12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1解析：选D 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1．5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1B ．x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1D ．x 22－y 22＝1解析：选A 由双曲线定义知， 2a ＝2＋22＋32－2－22＋32＝5－3＝2，∴a ＝1．又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1．6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________．解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16．答案：167．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1．答案：y 225－x 275＝18．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且·＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由·＝0，得PF 1⊥PF 2．根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20．根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a ．两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝19．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5．设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1．∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1．化简，得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254．又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254<0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24．∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1．10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C ．(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1．∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4．(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1， ∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x >1)．层级二应试能力达标1．设θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则关于x ，y 的方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆解析：选B 由题意，知x 2sin θ－y 2－cos θ＝1，因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线．故选B ．2．若双曲线x 2n－y 2＝1(n >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1B ．12C ．2D ．4解析：选A 设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2n ，已知|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ，|PF 1|·|PF 2|＝2．又|F 1F 2|＝2n ＋1，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，于是S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2＝1．故选A ．3．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．12D ．－12解析：选A 依题意，知双曲线的焦点在x 轴上，方程可化为x 21k－y 28k＝1，则k >0，且a2＝1k ，b 2＝8k ，所以1k ＋8k＝9，解得k ＝1．4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2为其两个焦点，若过焦点F 1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m解析：选C 由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋4a ＝m ＋4a ，于是△ABF 2的周长l ＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m ．故选C ．5．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，双曲线上的点P 到F 1的距离为12，则点P 到F 2的距离为________．解析：设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线的左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝22；当点P 在双曲线的右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝10，所以|PF 2|＝2．答案：22或26．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．解析：因为双曲线方程为x 2144－y 225＝1，所以c ＝144＋25＝13，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，则F 1(－13,0)，F 2(13,0)．设过F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)，则y 225＝132144－1＝25144，所以y ＝2512，即|AF 1|＝2512．又|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，所以|AF 2|＝24＋2512＝31312．即所求距离分别为2512，31312．答案：2512，313127．已知△OFQ 的面积为26，且·＝m ，其中O 为坐标原点． (1)设6<m <46，求与的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，||＝c ，m ＝⎝⎛⎭⎪⎫64－1c 2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．解：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧12| |·||sin π－θ＝26，| |·||cos θ＝m ，所以tan θ＝46m．又6<m <46，所以1<tan θ<4．即tan θ的取值范围为(1,4)．(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，Q (x 1，y 1)，则||＝(x 1－c ，y 1)，所以S △OFQ ＝12||·|y 1|＝26，则y 1＝±46c ．又·＝m ，即(c,0)·(x 1－c ，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫64－1c 2，解得x 1＝64c ，所以||＝x 21＋y 21＝38c 2＋96c2≥12＝23，当且仅当c ＝4时，||最小，这时Q 的坐标为(6，6)或(6，－6)．因为⎩⎪⎨⎪⎧6a 2－6b2＝1，a 2＋b 2＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12.于是双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1．8．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切． (1)求C 的圆心轨迹L 的方程； (2)已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点．求||MP |－|FP ||的最大值．解：(1)两圆的圆心分别为A (－5，0)，B (5，0)，半径为2，设圆C 的半径为r ．由题意得|CA |＝r －2，|CB |＝r ＋2或|CA |＝r ＋2，|CB |＝r －2，两式相减得|CA |－|CB |＝－4或|CA |－|CB |＝4，即||CA |－|CB ||＝4．则圆C 的圆心轨迹为双曲线，其中2a ＝4，c ＝5，b 2＝1， ∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为x 24－y 2＝1．(2)由(1)知F 为双曲线L 的一个焦点，如图，连接MF 并延长交双曲线于一点P ，此时|PM |－|PF |＝|MF |为||PM |－|FP ||的最大值．又|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝2， ∴||MP |－|FP ||的最大值为2．。

新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖数学探究杨辉三角的性质与应用内容解读〗

数学探究杨辉三角的性质与应用一、知识结构框图二、学习目标1．结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养．2．在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养．三、重点、难点重点：杨辉三角性质的发现和证明，利用杨辉三角解决古算题和其他领域的问题．难点：杨辉三角性质的应用．四、教科书编写意图及教学建议杨辉三角是一个很有魅力的数字三角形．它很实用，从低次到高次，从各行之间的相互独立到相邻两行之间关联的发现，从一两条性质到一系列性质的探究，从正整数的开方到组合数、幂和公式的导出，都体现了数学知识的由浅入深、由特殊到一般的过程，也体现了由直观到抽象、由猜想到论证的数学思维过程．它还很美，特别是对称之美，广受喜爱，曾经成为邮票或数学杂志封面的图案．它也很多元化，中国、阿拉伯、欧洲等地的众多数学家都曾经研究和运用它，数十幅带有不同文化元素的数字三角形展现了丰富生动的多元文化．考虑到杨辉三角在数学、数学思维和数学文化上的魅力，教科书专门将它作为一个主题，设置了数学探究活动，并安排了3课时，让学生以课题研究的形式，从不同角度探究它．通过自主探究或合作探究，既能够丰富数学知识，建立不同知识之间的联系，还能进一步学会如何进行数学探究，感悟数学价值，提升数学精神、应用意识，从而全面提升数学学科核心素养和人文素养．（一）杨辉三角的历史探源杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化．因此，教科书就从这里入手，给出了《详解九章算法》一书中的开方作法本源图，简单介绍了数学家杨辉，以及杨辉三角的由来．同时，这一段关于历史发展的介绍也是数学探究活动的背景，能够让学生在杨辉三角的演变中，了解为什么要研究杨辉三角，杨辉三角在我国的发现时间比欧洲早500年左右等，从而激发学生的民族自豪感和“一探究竟”的兴趣．在教学中，可以适当补充杨辉三角的演变历史，也可以让学生自己去搜集一些这方面的资料进行阅读，从而为接下来的数学探究活动作好准备，下面提供一些史料，供教学时参考．图1名为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》（1407）抄录的《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产，可惜《永乐大典》被掠至英国，现藏在剑桥大学图书馆内．《详解九章算法》由杨辉所著，他在书中提到“出释锁算书，贾宪用此术”．这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形．关于贾宪的生平，所知甚少．根据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023年至1050年这段时期．贾宪用这个数字三角形来进行开方，所以称为“开方作法本源”．而在宋元时期，数学家将开方或解数字方程称为“释锁”，故此图出现在《释锁》算书中．后来，朱世杰（1303）、吴敬（1450）、程大位（1592）等古代数学家均引用并发展了开方作法本源图．借助此图，古代数学家们开高次方、解高次方程，创造出了具有中国古代数学独特风格的高次方程的数值解法．（二）杨辉三角性质的探究杨辉三角性质的探究，是这个数学探究活动的重点，将杨辉三角作为一个探究主题有两个主要原因：一是由于前面提到的杨辉三角本身所具有的数学、数学思维和数学文化上的魅力；二是由于杨辉三角的直观性和性质的丰富性，既有“一目了然”的性质，也有“深藏不露”的性质，所以它可以让不同发展水平的学生都能探究，并有所收获．为了让学生顺利而又充分地开展探究活动，教科书在编写中重点关注了以下两个方面．1．探究的方法探究是一种复杂的学习活动，不同学科的探究，因其学科特点会有其特有的方法．在科学中，探究强调调查研究、实验验证、数据分析和解释，结论解释和预测；而在数学中，探究更多的是一种思维状态，强调观察和想象、归纳和猜想、推理和论证，当学生获得了探究的方法、养成了探究的习惯，他们就会自发地去探究、主动积极地学习，成为自主学习者．因此，教科书在杨辉三角性质探究这一部分，注重“如何探究”的引导，重在展现探究的方法，并加以示例说明．探究不是凭空产生的，它和数学问题紧密相联．首要的是发现和提出一个数学问题．如何发现和提出问题呢？教科书中的“1．观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连连线，算一算，写出你发现的结论”告诉学生：（1）需要“观察”．这种观察并不是单纯地看一看，它包含着积极的思维过程，要有目的，如数字排列的规律；要随时比较，如数字间的关系和差异；等等．（2）需要“实验”．虽然数学不像科学那样需要精密设备、精心设计的实验，但有时候还是需要人为地创造一些条件和方法辅助思维，如圈一圈、连一连、算一算等．而这些观察和实验的结果正是归纳推理的基础．（3）需要“归纳”．通过观察和实验，获得一定素材后，就可以进行归纳，作出初步的结论，然后用数学语言描述出来，就是一个猜想，即一个数学问题．为了说明这一一点，教科书以杨辉三角的基本性质C r n ＝C 11r n --＋C 1r n -为例，示范如何发现和提出问题．具体来说，通过观察和比较教科书中的图1和图2，发现杨辉三角和二项式系数之间的对应关系；通过连线和计算，如教科书上的图4，发现除了三角形的两个腰上的数字都是1，其余的数都是它肩上两个数相加，从特殊到一般，就归纳出结论：C rn ＝C 11r n --＋C 1rn -．这就是一个数学问题．在教学中，要特别注意探究方法的指导，至于发现结论和写出结论，应该由学生自己完成．例如观察和实验的指导，应关注于在数字三角形中圈一圈、连一连、算一算等手段的尝试；关注于有目的的观察，相邻行之间、各行数字的和等（图2）．基于观察、实验和归纳，学生会获得很多关于杨辉三角的结论，这里列出一些最基本的结论（更多的结论见“五、探究活动参考资料”），供教学时参考：（1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C r n ＝C n r n-．（2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C r n ＝C 11r n --＋C 1r n -．（3）第n 行奇数项之和与偶数项之和相等，即C n 0＋C n 2＋C n 4＋…＝C n 1＋C n 3＋C n 5＋…．（4）第n 行数的和为2n ，即C n 0＋C n 1＋C n 2＋…＋C n n ＝2n ．（5）第n 行各数平方和等于第2n 行中间的数，即（C n 0）2＋（C n 1）2＋（C n 2）2＋…＋（C n n ）2＝C 2n n （图3）．（6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n 个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即C r r ＋C 1r r +＋C 2r r +＋…＋C n －1r ＝C n r ＋1（图4）．在提出了一个数学问题后，就需要分析和解决这个问题，教科书中的“2．利用已学知识，尝试对所得结论进行证明”就指明了，在数学上，当我们获得一个猜想之后，必须要证明它，所用的就是逻辑推理的方法．从观察和实验，到归纳和猜想，再到推理和论证，这是一个完整的数学探究过程，数学探究中的“推理论证”不同于科学探究中的“实验验证”，数学中的结论一旦得到证明，是不会改变的，而科学中经过实验验证的结论有时会在若干年后推翻重建．在教学中，要特别注意强调推理论证在数学中的重要性及其作用，而且要鼓励或要求学生去证明自己发现的结论，让学生经历完整的数学探究过程．这样不仅有助提升学生的直观想象、数学抽象素养，而且还有助于提升学生的数学运算、逻辑推理素养．2．探究的开放性杨辉三角这个数学探究活动，从教科书的设计来看，它的开放性很大，除了给定一个“数字三角形”这个情境外，其他环节都是完全开放的，教科书给的示例也只是为了说明探究方法．在这种情况下，如果没有教师的指导，那么学生能探究到什么程度就取决于学生的自主探究能力，自主探究能力越高，探究就越开放、收获就会越多．但是学生的数学能力总是参差不齐的，能力越低越需要教师的指导，让他们“跳一跳”摘到果子．当学生在探究活动中的发现越来越多，解决的问题越来越难，兴趣和信心也会越来越浓厚．因此，在教学中教师需要关注学生的探究过程，掌握学生的探究程度，并据此匹配相应程度的探究指导．关于杨辉三角这个主题，以“问题”为例，有的学生可能会发现和提出一组问题，有的学生可能只能发现和提出一个问题，在这种情况下，教师可以分别为他们提供一些材料或给予一些提示，指导他们发现更多的结论，在各自的程度上更加深入地探究．在教学中，根据学生的探究程度，灵活采用开放型、指导型等不同的探究形式，让不同水平的学生通过探究活动都能有所收获，包括知识的增长和探究方法的养成．（三）杨辉三角应用的探究华罗庚先生（1910—1985）曾写过一本小册子《从杨辉三角谈起》，其中从杨辉三角的性。

高中数学课时分层作业8杨辉三角人教B版选修2_3

课时分层作业(八) 杨辉三角(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项D ．第18项【解析】第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件．【答案】 B2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A ．5B ．20C ．10D ．40【解析】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x2(5－r )·x －r ＝C r 5x 10－3r，令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C. 【答案】 C3．设(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB ．3n－12C ．2n ＋1D ．3n＋12【解析】令x ＝1，得3n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，② ①＋②得3n＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n＋12.故选D ．【答案】 D4．已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值为( ) A.1285 B ．2567C.5125D ．1287【解析】 a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A.【答案】 A 5．在(x －2)2 010的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )A ．23 015B ．－23 014C ．23 014D ．－23 008【解析】因为S ＝(x －2)2 010－(x ＋2)2 0102，当x ＝2时，S ＝－23 0152＝－23 014.【答案】 B 二、填空题 6．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x2 016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________．【解析】令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.【答案】－17．若n 是正整数，则7n＋7n －1C 1n＋7n －2C 2n＋…＋7C n －1n 除以9的余数是________．【解析】 7n＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n－C nn ＝8n－1＝(9－1)n－1＝C 0n 9n(－1)＋C 1n 9n －1(－1)1＋…＋C n n 90(－1)n－1，∴n 为偶数时，余数为0；当n 为奇数时，余数为7.【答案】 7或08．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.【解析】根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ，使得连续三项C k －1n，C k n ，Ck ＋1n，有C k －1n C k n ＝34且C kn C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．【答案】 62 三、解答题9．已知(1＋2x －x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13. 【解】 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.① (2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7＝－128.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．【解】由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，解得n ＝8.⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x 8的展开式共有9项，其中T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫144(2x )4＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为358.[能力提升练]1．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10，故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10) ＝(2－1)10(2＋1)10＝1. 【答案】 A2．把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)的数列{a n }的各项排成如图所示的三角形数阵．记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应于数阵中的数是( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19……A ．91B ．101C ．106D ．103【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)，∴b n＝(b n－b n－1)＋(b n－1－b n－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.【答案】 B3．若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．【解析】令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.【答案】 54．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．【解】(1)由已知C1m＋2C1n＝11，所以m＋2n＝11，x2的系数为C2m＋22C2n＝m(m－1)2＋2n(n－1)＝m2－m2＋(11－m)·⎝⎛⎭⎪⎫11－m2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫m－2142＋35116.因为m∈N＋，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.。

(浙江专版)2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(八)“杨辉三角”与二项式系数的性质新人教A版选修2_3

课时跟踪检测（八） “杨辉三角”与二项式系数的性质A 级——基本能力达标1．在(a ＋b )n的二项展开式中，与第k 项二项式系数相同的项是( ) A ．第n －k 项 B ．第n －k －1项 C ．第n －k ＋1项D ．第n －k ＋2项解析：选D 第k 项的二项式系数是C k －1n ，由于C k －1n ＝C n －k ＋1n，故第n －k ＋2项的二项式系数为C n －k ＋1n.2．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是( )A ．第9项B ．第8项C ．第9项和第10项D ．第8项和第9项解析：选A 因为展开式的第5项为T 5＝C 4n x n －43－4，所以令n －43－4＝0，解得n ＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．3．(x －y )7的展开式中，系数的绝对值最大的项是( ) A ．第4项 B ．第4、5项 C ．第5项D ．第3、4项解析：选B (x －y )n的展开式有n ＋1项，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大．而(x －y )7的展开式中，系数的绝对值最大的项是中间两项，即第4、5项．4．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12解析：选B x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23·2＝6.5．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．2×39解析：选A 令x ＝－1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.6．若(x ＋3y )n的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n中x ＝y ＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n ＝5.答案：57．已知(1＋2x )n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n ＝________；⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋2x )n展开式中常数项为________．解析：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，即C 3n 最大，所以n ＝6.(1＋2x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 62r x r .所以常数项为1＋C 2622＝61.答案：6 618．(1＋x )n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8<C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n <32，即8<2n<32.所以n ＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x . 答案：6x9．已知(a 2＋1)n 展开式中各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值．解：由⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5得，T r ＋1＝C r5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r ·C r 5·x 20－5r 2.令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，所以r ＝4，所以常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n. 由题意得2n＝16，所以n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，所以C 24a 4＝54，所以a ＝± 3.10．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：(1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)求n 阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和；(3)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m －1斜列中(从右上到左下)前k 个数之和，一定等于第m 斜列中第k 个数．试用含有m ，k (m ，k ∈N *)的数字公式表示上述结论，并给予证明．解：(1)C 320＝1 140. (2)1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1.(3)C m －1m －1＋C m －1m ＋…＋C m －1m ＋k －2＝C mm ＋k －1.证明：左边＝C m m ＋C m －1m ＋…＋C m －1m ＋k －2＝C m m ＋1＋C m －1m ＋1＋…＋C m －1m ＋k －2＝…＝C m m ＋k －2＋C m －1m ＋k －2＝C mm ＋k －1＝右边．B 级——综合能力提升1．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)展开式中的一次项系数为( ) A ．C n －1n B ．C 2nC ．C 2n ＋1 D.12C 2n ＋1解析：选C 一次项的系数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝C 2n ＋1.2．在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，x 4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )A ．第11项B ．第13项C ．第18项D ．第20项解析：选D (1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，x 4的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝55.以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，解得n ＝20.3．若(1－2x )2 020＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 020x2 020(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 02022 020的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C (1－2x )2 020＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 020x2 020，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 020＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 02022 020＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 02022 020＝－1.4．设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由二项式系数的性质知，二项式(x ＋y )2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C m2m ＝a ，二项式(x ＋y )2m ＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b ，因此13C m2m ＝7C m2m ＋1，所以13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，所以m ＝6.5．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为2n，∴2n＝64，∴n ＝6. ∴T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r . 由6－2r ＝0得r ＝3， ∴其常数项为T 3＋1＝C 36＝20. 答案：206．(2019·义乌期末)若(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n,且a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝126，则n 的值为________；a 2＝________.解析：令x ＝1，得2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2＝126，解得n ＝6.所以a 2＝C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26＝1＋3＋6＋10＋15＝35.答案：6 357．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中偶数项的二项式系数和比(a ＋b )2n 的展开式中奇数项的二项式系数和小于120，求第一个展开式中的第3项．解：因为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n －1，而(a ＋b )2n 的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n －1，所以有2n －1＝22n －1－120，解得n ＝4，故第一个展开式中第3项为T 3＝C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＝63x .8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．解：∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，整理得n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352；T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70；当n ＝14时，展开式中二项式系数最大项是T 8，T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.。

人教A版高中数学选修2课时跟踪检测八等比数列的性质及其应用

课时跟踪检测(八) 等比数列的性质及其应用1．在等比数列{a n }中，已知a 1a 38a 15＝243，则a 39a 11的值为( )A ．3B ．9C ．27D ．81解析：选B 设数列{a n }的公比为q ， ∵a 1a 38a 15＝243，a 1a 15＝a 28，∴a 8＝3，∴a 39a 11＝a 38q 3a 8q3＝a 28＝9. 2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38， ∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6. ∴a 8＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.3．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值等于( ) A ．－12 B ．12 C ．±12 D ．14解析：选A ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0，∴b 2＝2， ∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 4．随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低13，则2003年价格为8 100元的计算机到2018年时的价格应为( )A ．900元B ．2 200元C ．2 400元D ．3 600元解析：选C 8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2 400.故选C.5．已知数列{a n }是等比数列，对任意n ∈N *，都有a n ＞0.若a 3(a 3＋a 5)＋a 4(a 4＋a 6)＝25，则a 3＋a 5＝( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选A 由等比数列的性质及a 3(a 3＋a 5)＋a 4(a 4＋a 6)＝25，得a 3(a 3＋a 5)＋a 4(a 3q ＋a 5q )＝25. ∴(a 3＋a 5)(a 3＋a 4q )＝25， ∴(a 3＋a 5)2＝25.∵对任意n ∈N *，都有a n ＞0， ∴a 3＋a 5＞0，∴a 3＋a 5＝5.6．若数列{a n }为等比数列，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝4，则a 9＋a 10＝________. 解析：∵{a n }是等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8，a 9＋a 10为等比数列，∴a 9＋a 10＝1×44＝256.答案：2567．在3和一个未知数间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，a －62＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.答案：3或278．在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则x ＋y ＋z 的值为________．解析：∵x 2＝24，∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.同理，第二行后两格中数字分别为52，3.∴y ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123，z ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124.∴x ＋y ＋z ＝1＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3216＝2.答案：29．有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．解：法一：按等比数列设元设前三个数为a q，a ，aq ，则a q·a ·aq ＝216，所以a 3＝216.所以a ＝6. 因此前三个数为6q，6,6q .由题意知第4个数为12q －6. 所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2. 法二：按等差数列设元设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2，由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.10．为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到2019年年底，将当地沙漠绿化了40%.从2020年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(参考数据：lg 2≈0.3)解：设该地区沙漠与绿洲的总面积为1,2019年年底绿洲面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2019年年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.依题意，a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲面积a n 减去被侵蚀的部分，即a n －8%·a n ；另一部分是新绿化的绿洲面积，即12%·b n .∴a n ＋1＝a n －8%·a n ＋12%(1－a n )＝45a n ＋325，即a n ＋1－35＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －35.又a 1－35＝－15，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －35是以－15为首项，45为公比的等比数列，则a n ＋1＝35－15×⎝ ⎛⎭⎪⎫45n.由a n ＋1＞50%，得35－15×⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ＞12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ＜12，∴n ＞log 4512＝lg 21－3lg 2≈3.则当n ≥4时，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ＜12恒成立．∴至少需要4年才能使绿洲面积超过50%.1．已知{a n }为等比数列，a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选D 由a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，可得a 2＋a 16＝－6，a 2a 16＝2，显然两根同为负值，所以a 9＝± a 2a 16＝±2，所以a 2a 16a 9＝± 2. 2．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 2·a 6·a 10＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 2＋b 101－a 3·a 9的值是( )A ．1B ．22 C ．－22D ．－ 3解析：选D 因为{a n }是等比数列，所以a 2·a 6·a 10＝a 36＝33，所以a 6＝ 3.因为{b n }是等差数列，所以b 1＋b 6＋b 11＝3b 6＝7π，所以b 6＝7π3.所以tan b 2＋b 101－a 3·a 9＝tan 2b 61－a 26＝tan 14π31－3＝－tan 7π3＝－ 3.故选D. 3．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设等比数列的公比为q (q >0)．由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1，q ≠1，所以a 1＝1q －1.a 3＝a 1q 2＝q 2q －1＝1－1q 2＋1q(q >0)，而－1q 2＋1q ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q －122＋14≤14，当且仅当q ＝2时取等号，所以当q ＝2时，a 3有最小值4.此时a 1＝1q －1＝12－1＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.答案：2n －14．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4da 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，②由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1.因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n3，若数列{c n }是递增数列，求实数λ的取值范围．解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，整理得q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍)，从而a 2＝6，所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1.(2)由(1)知，c n ＝3b n －λ·2a n3＝3n －λ·2n.由题意知c n ＋1＞c n 对任意的n ∈N *恒成立，即3n ＋1－λ·2n ＋1＞3n －λ·2n 恒成立，即λ·2n＜2·3n恒成立，即λ＜2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n恒成立．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n min ＝2×32＝3，故λ＜3，即实数λ的取值范围为(－∞，3)．。

2020-2021学年人教A版数学选修2-3教师用书：第1章 1.3 1.3.2 “杨辉三角”与二

姓名，年级：时间：1.3。

2 “杨辉三角"与二项式系数的性质学习目标核心素养1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点）2。

理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点）3。

理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养。

2.借助二项式系数的性质解题，提升数学运算的素养.1．杨辉三角的特点（1)在同一行中，每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等．(2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上"两个数的和，即C错误!＝C错误!＋C错误!.2．二项式系数的性质（1)对称性：在(a＋b）n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C错误!＝C错误!,C错误!＝C错误!，…，C错误!＝C错误!.（2)增减性与最大值:当k＜错误!时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和(1）C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝2n;(2)C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝2n－1。

1．(1－2x）15的展开式中的各项系数和是( )A．1 B．－1C．215D．315B［令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1。

］2．在（a＋b）10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( ）A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]3．在（a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为________，在（a＋b)9的展开式中,二项式系数最大的项为________________．70a4b4126a5b4与126a4b5［因为（a＋b）8的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大，该项为C错误!a4b4＝70a4b4.因为(a＋b)9的展开式中有10项，所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为C错误!a5b4＝126a5b4，C错误!a4b5＝126a4b5。

新人教A版选修2_2020学年高中数学课时跟踪检测(八)“杨辉三角”与二项式系数的性质

课时跟踪检测（八） “杨辉三角”与二项式系数的性质A 级——基本能力达标1．在(a ＋b )n的二项展开式中，与第k 项二项式系数相同的项是( ) A ．第n －k 项 B ．第n －k －1项 C ．第n －k ＋1项D ．第n －k ＋2项解析：选D 第k 项的二项式系数是C k －1n ，由于C k －1n ＝C n －k ＋1n，故第n －k ＋2项的二项式系数为C n －k ＋1n.2．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是( )A ．第9项B ．第8项C ．第9项和第10项D ．第8项和第9项解析：选A 因为展开式的第5项为T 5＝C 4n x n －43－4，所以令n －43－4＝0，解得n ＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．3．(x －y )7的展开式中，系数的绝对值最大的项是( ) A ．第4项 B ．第4、5项 C ．第5项D ．第3、4项解析：选B (x －y )n的展开式有n ＋1项，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大．而(x －y )7的展开式中，系数的绝对值最大的项是中间两项，即第4、5项．4．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12解析：选B x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23·2＝6.5．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．2×39解析：选A 令x ＝－1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.6．若(x ＋3y )n的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n中x ＝y ＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n ＝5.答案：57．已知(1＋2x )n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n ＝________；⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋2x )n展开式中常数项为________．解析：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，即C 3n 最大，所以n ＝6.(1＋2x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 62r x r .所以常数项为1＋C 2622＝61.答案：6 618．(1＋x )n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8<C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n <32，即8<2n<32.所以n ＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x . 答案：6x9．已知(a 2＋1)n 展开式中各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值．解：由⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5得，T r ＋1＝C r5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r ·C r 5·x 20－5r 2.令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，所以r ＝4，所以常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n. 由题意得2n＝16，所以n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，所以C 24a 4＝54，所以a ＝± 3.10．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：(1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)求n 阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和；(3)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m －1斜列中(从右上到左下)前k 个数之和，一定等于第m 斜列中第k 个数．试用含有m ，k (m ，k ∈N *)的数字公式表示上述结论，并给予证明．解：(1)C 320＝1 140. (2)1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1.(3)C m －1m －1＋C m －1m ＋…＋C m －1m ＋k －2＝C mm ＋k －1.证明：左边＝C m m ＋C m －1m ＋…＋C m －1m ＋k －2＝C m m ＋1＋C m －1m ＋1＋…＋C m －1m ＋k －2＝…＝C m m ＋k －2＋C m －1m ＋k －2＝C mm ＋k －1＝右边．B 级——综合能力提升1．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)展开式中的一次项系数为( ) A ．C n －1n B ．C 2nC ．C 2n ＋1 D.12C 2n ＋1解析：选C 一次项的系数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝C 2n ＋1.2．在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，x 4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )A ．第11项B ．第13项C ．第18项D ．第20项解析：选D (1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，x 4的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝55.以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，解得n ＝20.3．若(1－2x )2 020＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 020x2 020(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 02022 020的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C (1－2x )2 020＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 020x2 020，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 020＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 02022 020＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 02022 020＝－1.4．设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由二项式系数的性质知，二项式(x ＋y )2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C m2m ＝a ，二项式(x ＋y )2m ＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b ，因此13C m2m ＝7C m2m ＋1，所以13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，所以m ＝6.5．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为2n，∴2n＝64，∴n ＝6. ∴T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r . 由6－2r ＝0得r ＝3， ∴其常数项为T 3＋1＝C 36＝20. 答案：206．(2019·义乌期末)若(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n,且a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝126，则n 的值为________；a 2＝________.解析：令x ＝1，得2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2＝126，解得n ＝6.所以a 2＝C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26＝1＋3＋6＋10＋15＝35.答案：6 357．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中偶数项的二项式系数和比(a ＋b )2n 的展开式中奇数项的二项式系数和小于120，求第一个展开式中的第3项．解：因为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n －1，而(a ＋b )2n 的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n －1，所以有2n －1＝22n －1－120，解得n ＝4，故第一个展开式中第3项为T 3＝C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＝63x .8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．解：∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，整理得n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352；T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70；当n ＝14时，展开式中二项式系数最大项是T 8，T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.。

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课时跟踪检测八一、题组对点训练对点练一求二项展开式中系数或二项式系数的最大项1.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第3项 B ．第6项 C ．第6、7项D ．第5、7项解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中第11＋12项和11＋12＋1项，即第6、7项的二项式系数相等，且最大．2．在(1＋x )n(n ∈N *)的展开式中，若只有x 5的系数最大，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C 由题意，展开式共有11项，所以n ＝10. 3．在(1－x )201的展开式中，系数的最大值是( ) A ．C 99201 B ．C 100201 C ．C 101201D ．C 102201解析：选B 在(1－x )201的展开式中，第r ＋1项为T r ＋1＝C r201(－x )r＝(－1)r C r201x r，所以系数的最大值是C 100201，选B.4．下列关于(a ＋b )10的说法：①展开式中的各二项式系数之和为1 024； ②展开式中第6项的二项式系数最大； ③展开式中第5项与第7项的二项式系数最大； ④展开式中第6项的系数最小．其中正确说法的个数为________．解析：根据二项式系数的性质，知(a ＋b )10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1 024，故说法①正确；(a ＋b )10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故说法②正确，说法③错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法④错误．答案：2对点练二展开式的系数和5．(1＋x )n(3－x )的展开式中各项系数的和为1 024，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选B 由题意知(1＋1)n (3－1)＝1 024，即2n ＋1＝1 024，所以n ＝9.故选B.6．(C 14x ＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4)2的展开式中所有项的系数和为( ) A ．64 B ．224 C ．225D ．256解析：选C 令x ＝1，原式＝(C 14＋C 24＋C 34＋C 44)2＝(24－1)2＝225，故选C.7．已知(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a 0－a 1＋a 2＋…＋(－1)na n ＝( )A ．32B ．64C ．128D ．256解析：选D 由题意可得C 1n ＝C 3n ，∴n ＝4.令x ＝－1，则(3－x )n＝(3＋1)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝256.∴a 0－a 1＋a 2＋…＋(－1)n a n ＝256.8．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|. 解：(1)令x ＝0，可得a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*)所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100， (3)令x ＝－1.可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 与(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r(3)r x r，∴a 2r －1＜0(r ∈N *)．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 对点练三二项式系数性质的应用9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．6B ．7C ．8D ．5解析：选A 由二项式定理，知a k ＝C k －110(k ＝1,2,3，…，11)．又(1＋x )10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k 的最大值为6.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求：(1)⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式中a －1项的二项式系数．解：依题意，令a ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n 展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n，⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5展开式中的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝⎛⎭⎪⎫－15b r ＝(－1)r C r 545－r·5－r 2b 10－5r 6.若T r ＋1为常数项，则10－5r6＝0，即r ＝2，故常数项为T 3＝(－1)2C 25·43·5－1＝27，于是有2n＝27，得n ＝7. (1)⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和为2n ＝27＝128. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7的通项为T r ＋1＝C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 7－r ·(－3a )r ＝C r 7(－1)r ·37－r·a 5r －216，令5r －216＝－1，得r ＝3， ∴所求a －1项的二项式系数为C 37＝35. 二、综合过关训练1．已知(x －1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为( )A ．－35x 4B ．35x 3C ．－35x 4和35x 3D ．－35x 3和35x 4解析：选C 由已知，可得2n －1＝64，解得n ＝7，(x －1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T 4＝C 37x 4(－1)3＝－35x 4，T 5＝C 47x 3(－1)4＝35x 3，故选C.2．已知(1＋2x )2n的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项解析：选B 设(1＋2x )2n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n，则展开式中奇次项系数之和就是a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n－1.分别令x ＝1，x ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝32n，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2n －1＋a 2n ＝1，两式相减，得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝32n－12.由已知，得32n－12＝364，∴32n ＝729＝36，即n ＝3.(1＋2x )2n ＝(1＋2x )6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.3．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( ) A ．32 B ．1 C ．－243D ．1或－243解析：选B (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k·C k 5a5－k x k，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.4．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝________.解析：令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10，令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10，故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝(2－1)10()2＋110＝1.答案：15．(1＋x )n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8<C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n <32，即8<2n<32.所以n ＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x . 答案：6x6．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：(1)求第20行中从左到右的第4个数； (2)求n 阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和；(3)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m －1斜列中(从右上到左下)前k 个数之和，一定等于第m 斜列中第k 个数．试用含有m ，k (m ，k ∈N *)的数字公式表示上述结论，并给予证明．解：(1)C 320＝1 140. (2)1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1.(3)C m －1m －1＋C m －1m ＋…＋C m －1m ＋k －2＝C mm ＋k －1.证明：左边＝C m m ＋C m －1m ＋…＋C m －1m ＋k －2＝C m m ＋1＋C m －1m ＋1＋…＋C m －1m ＋k －2＝…＝C m m ＋k －2＋C m －1m ＋k －2＝C mm ＋k －1＝右边．7．已知(3x 2＋3x 2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解：令x ＝1得展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝4n .又展开式中二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n，由题意有4n －2n＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n＋31)＝0. 所以2n ＝－31(舍去)或2n＝32.所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6.T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项的系数最大，又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r ·(3x 2)r ＝C r 53r x 10＋4r 3，得⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1C r5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r 15－r ≥3r ＋1⇒72≤r ≤92. 又因为r ∈N *，所以r ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x263＝405x 263.。

高中数学第一章计数原理课时跟踪检测(八)“杨辉三

课时跟踪检测（八） “杨辉三角”与二项式系数的性质层级一学业水平达标1．关于(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为1 024 B ．展开式中第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小解析：选C 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A 正确；当n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．2．已知(a ＋b )n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选D ∵只有第5项的二项式系数最大， ∴n2＋1＝5.∴n ＝8. 3．设(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，当a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝254时，n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)，∴2(1－2n)1－2＝254，∴n＝7.4．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选B x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23·2＝6.5．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31解析：选B C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C nn ＝(1＋2)n＝729. ∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.6．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n (n ∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n ，b n ，则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n＝________.解析：由题意知a n ＝2n成等比数列，令x ＝1则b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 也成等比数列，所以a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋1.答案：2n ＋17．(2x －1)10展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________．解析：设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，再令x ＝－1，得 310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10，两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.答案：1－31028．(1＋x )n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8<C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n <32，即8<2n<32.所以n ＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x . 答案：6x9．若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2. 解：(1)令f (x )＝(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，a 0＝f (0)＝25＝32，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝f (1)＝0，故a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(2)(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝f (1)·f (－1)＝0.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．解：∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，整理得n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352；T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70；当n ＝14时，展开式中二项式系数最大项是T 8，T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.层级二应试能力达标1．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B ．2n－1 C ．2n ＋1－1D ．2n解析：选C 法一：令x ＝1得，1＋2＋22＋ (2)＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1.法二：令n ＝1，知各项系数和为3，排除A 、B 、D 选项．2．在(1＋x )n (n 为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，则(1－x 2)n的值为( )A ．0B ．ABC ．A 2－B 2D ．A 2＋B 2解析：选C (1＋x )n＝A ＋B ，(1－x )n＝A －B ，所以(1－x 2)n＝A 2－B 2. 3．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x2 016(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C (1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x2 016，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 016＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.4．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，＋∞C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－45 D ．(1，＋∞)解析：选D 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r9·x9－r·y r.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )<0，由此解得x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．5．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为2n，∴2n＝64，∴n ＝6. ∴T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r . 由6－2r ＝0得r ＝3， ∴其常数项为T 3＋1＝C 36＝20. 答案：206．若⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含有x 的项为第6项，若(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n展开式的通项为T r ＋1＝C rn (x 2)n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r . 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8.令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28，令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝28－1＝255. 答案：2557．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中偶数项的二项式系数和比(a ＋b )2n 的展开式中奇数项的二项式系数和小于120，求第一个展开式中的第3项．解：因为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n －1，而(a ＋b )2n 的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n －1，所以有2n －1＝22n －1－120，解得n ＝4，故第一个展开式中第3项为T 3＝C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＝63x .8．在二项式(ax m ＋bx n )12(a ＞0，b ＞0，m ，n ≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项．(1)求系数最大的项是第几项？ (2)求a b的范围．解：(1)设T r ＋1＝C r12(ax m )12－r·(bx n )r＝C r 12a12－r b r x m (12－r )＋nr为常数项，则有m (12－r )＋nr ＝0，即m (12－r )－2mr ＝0， ∴r ＝4，它是第5项． (2)∵第5项是系数最大的项，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3， ①C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5. ②由①得12×11×10×94×3×2a 8b 4≥12×11×103×2a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0， ∴94b ≥a ，即a b ≤94. 由②得a b ≥85，∴85≤a b ≤94. 故a b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，94.。

2021_2022学年高中数学课时分层作业8“杨辉三角”与二项式系数的性质(含解析)新人教A版选修2

课时分层作业(八) “杨辉三角〞与二项式系数的性质(建议用时：60分钟)[根底达标练]一、选择题1．⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第6项 B ．第8项 C ．第5,6项D ．第6,7项D [由n ＝11为奇数，那么展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．]2．⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的二项展开式的各项系数和为32，那么二项展开式中x 4的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．20D ．40B [因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的二项展开式的各项系数和为32，所以令x ＝1得2n＝32，所以n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的二项展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2，故二项展开式中x 4的系数为C 25＝10.]3．C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C nn ＝729，那么C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31B [由(1＋2)n ＝3n ＝729，解得n ＝6，那么C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＝C 16＋C 36＋C 56＝12×26＝32.]4．(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29D [因为(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.]5．(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，那么b a的值为( ) A.1285B.2567C.5125D.1287A [a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r，那么⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.] 二、填空题6．如下图是一个类似杨辉三角的递推式，那么第n 行的首尾两个数均为________．2n －1 [由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1.]7．(a ＋a )n的展开式中奇数项系数和为512，那么展开式的第8项T 8＝________. 120a [C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1＝512＝29，所以n ＝10，所以T 8＝C 710a 3(a )7＝120a .]8．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是________．－121 [展开式中含x 3的项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.] 三、解答题9．假设(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.[解] (1)令x ＝0，那么a 0＝－1，令x ＝1，那么a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128. ① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，那么－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7， ② 由①－②2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.10．对二项式(1－x )10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项； (2)求展开式中各二项式系数之和；(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和． [解] (1)展开式共11项，中间项为第6项，T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5；(2)C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024. (3)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1.[能力提升练]1．(1－x )13的展开式中系数最小的项为( ) A ．第9项 B ．第8项 C ．第7项D ．第6项B [展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．]2．(x －1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，那么它的展开式的中间项为( ) A ．－35x 4B ．35x 3C ．－35x 4和35x 3D ．－35x 3和35x 4C [由，可得2n －1＝64，解得n ＝7，(x －1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T 4＝C 37x 4(－1)3＝－35x 4，T 5＝C 47x 3(－1)4＝35x 3，应选C.]3．假设C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，那么a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝________.81 [由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝34＝81.]4．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角〞中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3.34 [由，得C 13n C 14n ＝23，化简得14n －13＝23，解得n ＝34.]5．x ＋m xn 展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)假设展开式中常数项为358，求m 的值；(3)假设(x ＋m )n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． [解] (1)二项式系数之和为2n＝256，可得n ＝8. (2)设常数项为第r ＋1项，那么T r ＋1＝C r 8x8－r m xr ＝C r 8m r x 8－2r，令8－2r ＝0，即r ＝4，那么C 48m 4＝358，解得m ＝±12.(3)易知m >0，设第r ＋1项系数最大．那么⎩⎪⎨⎪⎧C r 8m r≥C r －18m r －1，C r 8m r ≥C r ＋18m r ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤r ≤9m m ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大，所以⎩⎪⎨⎪⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9mm ＋1<7.即⎩⎪⎨⎪⎧54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2.。

2020-2021学年数学人教A版选修2-3课时作业：1-3-2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

课时作业8 “杨辉三角”与二项式系数的性质时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共计40分)1．在(a －b )20的二项展开式中，与第6项二项式系数相同的项是( B )A ．第15项B ．第16项C ．第17项D ．第18项解析：第6项的二项式系数为C 520，与它相等的为倒数第6项，即第16项．2．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( A ) A ．180 B ．－180 C ．45D ．－45解析：∵(2－x )10＝C 010210(－x )0＋C 11029(－x )1＋…＋C 81022(－x )8＋C 9102(－x )9＋C 1010(－x )10，∴a 8＝C 81022＝4×C 210＝4×10×92×1＝4×45＝180.3．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数和是( D )A ．2n ＋1B ．2n ＋1＋1C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2解析：令x ＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2. 4．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( B )A ．－7B ．7C ．－28D ．28解析：由已知n 为偶数，则n 2＋1＝5，∴n ＝8.∴(x 2－13x )n ＝(x 2－13x )8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ·(－13x)r ＝(－1)r ·(12)8－r ·C r 8·x 8－4r 3，令8－4r 3＝0，得r ＝6，∴常数项为T 7＝(－1)6·(12)2·C 68＝14×28＝7.5．满足关系式12×104≤C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ≤104的正数n 是( C )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n ，而213＝8 192，所以n ＝13.6．在(1＋x )n (n 为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，则(1－x 2)n 的值为( C )A ．0B ．ABC ．A 2－B 2D ．A 2＋B 2解析：由题意知，(1＋x )n ＝A ＋B ，(1－x )n ＝A －B ，又因为(1－x 2)n＝(1－x )n (1＋x )n ＝(A ＋B )(A －B )＝A 2－B 2.7．(x －1)11的展开式中x 的偶次项系数之和是( D ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．1 024D ．－1 024解析：(x －1)11＝C 011x 11＋C 111x 10·(－1)＋C 211x 9·(－1)2＋…＋C 1111(－1)11，x 的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024.8．若(1－2x )2 011＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 011x2 011(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01122 011的值为( C )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：a r ＝(－1)rC 2 011－r 2 011·12 011－r ·2r ，则a r 2r ＝(－1)r C 2 011－r 2 011，a 12＋a 222＋…＋a 2 01122 011＝－C 2 0102 011＋C 2 0092 011－C 2 0082 011＋…－C 02 011＝－C 2 0112 011＝－1.二、填空题(每小题6分，共计18分)9．设(23x －1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中的第四项为－160x .解析：当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n ，由已知M ·N ＝64，∴2n ＝64，n ＝6.∴第四项T 4＝C 36·(23x )3·(－1)3＝－160x . 10．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a ，b ，c ，d 是相邻两行的前四个数(如图所示)，那么当a ＝8时，c ＝9，d ＝37.解析：观察发现：第n 行的第一个数和行数相等，第二个数是1＋1＋2＋3＋…＋n －1＝n (n －1)2＋1.所以当a ＝8时，c ＝9，d ＝9×(9－1)2＋1＝37. 11．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝7.解析：令x ＝－1，则28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12. 令x ＝－3，则0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12. ∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)． ∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27.∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7. 三、解答题(共计22分)12．(10分)若(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，求： (1)各项系数之和；(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和．解：(1)各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“赋值法”求解．令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1.(2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为1＋5102；①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为1－5102.13．(12分)已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，求C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n的值．解：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…，由已知可得，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a n(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数的性质可得C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝2n－C0n＝28－1＝255.——素养提升——14．(5分)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第2n－1行；第62行中1的个数是32.解析：由题意可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；由n＝6，得26－1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1.15．(15分)已知f n(x)＝(1＋x)n，(1)若f2 015(x)＝a0＋a1x＋…＋a2 015x2 015，求a1＋a3＋…＋a2 013＋a2的值．015(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数．解：(1)因为f n(x)＝(1＋x)n，所以f2 015(x)＝(1＋x)2 015，又f2 015(1)＝a0＋a1x＋…＋a2 015x2 015，所以f2 015(1)＝a0＋a1＋…＋a2 015＝22 015，①f2 015(－1)＝a0－a1＋…＋a2 014－a2 015＝0，②①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2 013＋a2 015)＝22 015，所以：a1＋a3＋…＋a2 013＋a2 015＝22 014.(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8，g(x)中含x6项的系数为1＋2×C67＋3C68＝99.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

人教A高中数学选修22新课改地区课时跟踪检测八生活中的优化问题举例含解析

课时跟踪检测（八）生活中的优化问题举例一、题组对点训练对点练一面积、体积的最值问题1．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A ．⎝⎛⎭⎫l 63π B ．⎝⎛⎭⎫l 33π C ．⎝⎛⎭⎫l 43π D ．14⎝⎛⎭⎫l 43π 解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ， ∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝12πr 2l －2πr 3⎝⎛⎭⎫0<r <l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝⎛⎭⎫l 63π. 2．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20. 当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.对点练二成本最低(费用最省)问题3．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A ．6 m B ．8 m C ．4 m D ．2 m解析：选C 设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x 2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为12x 2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________.解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝2 000x ，总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋12x 2＝8 000x ＋12x 2，令f ′(x )＝x －8 000x2＝0，解得x ＝20.且当0<x <20时f ′(x )<0，当x >20时f ′(x )>0，故x ＝20时，f (x )最小．答案：205．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，求x ，y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)解：依题意有xy ＋12x ·x2＝8，∴y ＝8x －x4(0<x <42)．框架用料总长度L (x )＝2x ＋2y ＋2·2x 2＝⎝⎛⎭⎫32＋2x ＋16x ，则L ′(x )＝32＋2－16x 2.令L ′(x )＝0，即32＋2－16x 2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)．当0<x <8－42时，L ′(x )<0；当8－42<x <42时，L ′(x )>0.∴当x ＝8－42时，L (x )取得最小值，此时x ＝8－42≈2.343(m)，y ＝22≈2.828(m)．故当x 为2.343m ，y 为2.828m 时，用料最省．对点练三利润最大问题6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C 因为y ′＝－x 2＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y ′<0；当x ∈(0,9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9时函数取最大值．7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)( )A ．30 元B ．60 元C ．28 000 元D ．23 000 元解析：选D 设毛利润为L (p )，由题意知 L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．解析：存款利率为x ，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，x ∈(0,0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值．答案：0.0329．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(8≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 之间的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值．解：(1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 之间的关系为： L (x )＝(x －3－4)(12－x )2＝(x －7)(12－x )2，即L (x )＝(x －7)(12－x )2，其中x ∈[8,11]．(2)由于L (x )＝(x －7)(12－x )2，∴L ′(x )＝(12－x )2＋(x －7)·2(12－x )·(－1) ＝(12－x )(12－x －2x ＋14)＝(12－x )(26－3x )，令L ′(x )＝0得x ＝12或x ＝263，由于x ∈[8,11]，所以取x ＝263，当x ∈⎣⎡⎭⎫8，263时，L ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎦⎤263，11时，L ′(x )<0，所以当x ＝263时，L (x )在[8,11]上取到极大值，也是最大值，L ⎝⎛⎭⎫263＝50027(万元)．故当每件售价为263元时，公司一年的利润L 最大，最大利润是50027万元．二、综合过关训练1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5D ．以上都不对解析：选B 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝83－192x ＋24x 2(0≤x ≤8)，y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.所以当x ＝4时，y 最小．2．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A ．3V B ．32V C ．34VD ．23V解析：选C 设底面边长为x ，高为h ， ∴34x 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3x 2＝43V 3x 2. ∴S 表＝2·34x 2＋3x ·h ＝32x 2＋43V x ，S ′(x )＝3x －43V x 2，令S ′(x )＝0可得3x ＝43V x 2，x 3＝4V ，x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′(x )<0；当x >34V 时，S ′(x )>0， ∴当x ＝34V 时，S (x )最小．3．某厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )A ．32 m,16 mB ．30 m,15 mC ．40 m,20 mD ．36 m,18 m解析：选A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m ，其他两边边长为y m ，则xy ＝512，堆料场的周长l ＝x ＋2y ＝512y ＋2y (y >0)，令l ′＝－512y 2＋2＝0，解得y ＝16(另一负根舍去)，当0<y <16时，l ′<0；当y >16时，l ′>0，所以当y ＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x ＝51216＝32.4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x (0≤x ≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：选D 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，由P ′(x )＝－x 2300＋300＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm. 解析：设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2，0<h <20，V ＝13π·r 2·h ＝13π·(400－h 2)·h ＝4003πh －π3h 3.由V ′＝4003π－πh 2＝0得h 2＝4003，h ＝2033或h ＝－2033(舍去)，因为当0<h <2033时，V ′>0，当h >2033时，V ′<0，所以当h ＝2033时，V 最大．答案：20336．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，0，点B 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，1－⎝⎛⎭⎫x 22， ∴矩形ACBD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，x ∈⎝⎛⎭⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， ∴当x ＝233时，f (x )取最大值439.答案：4397．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P (万件)与每台机器的日产量x (万件)(4≤x ≤12)之间满足关系：P ＝0.1x 2－3.2 ln x ＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y (万元)表示为x 的函数； (2)当每台机器的日产量x (万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？解：(1)由题意得，所获得的利润为y ＝10[2(x －P )－P ]＝20x －3x 2＋96ln x －90(4≤x ≤12)．(2)由(1)知，y ′＝－6x 2＋20x ＋96x ＝－2(3x ＋8)(x －6)x. 当4≤x <6时，y ′＞0，函数在[4,6)上为增函数；当6<x ≤12时，y ′＜0，函数在(6,12]上为减函数，所以当x ＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y ＝20×6－3×62＋96ln 6－90＝96ln 6－78(万元)．故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 6－78)万元． 8．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2所在的直线分别为y ，x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b (其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，M 点的坐标为(5,40)，N 点的坐标为(20,2.5)，代入曲线C 的方程y ＝ax 2＋b，可得⎩⎪⎨⎪⎧40＝a 52＋b，2.5＝a202＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知曲线C 的方程为 y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，y ′＝－2 000x 3，所以y ′|x ＝t ＝－2 000t 3即为l 的斜率．又当x ＝t 时，y ＝1 000t 2，所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1 000t 2，所以l 的方程为 y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )．令x ＝0，得y ＝3 000t 2；令y ＝0，得x ＝32t .所以f (t )＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22，其中5≤t ≤20.②由①知f (t )＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22，其中5≤t ≤20.令g (t )＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22＝94t 2＋9×106t 4，所以g ′(t )＝92t －4×9×106t 5＝92·t 6－8×106t 5＝92·t 6－(102)6t 5.因为5≤t ≤20，令g ′(t )<0，得5≤t ＜102；令g ′(t )＝0，得t ＝102；g ′(t )>0，得102<t ≤20.所以g (t )在区间[5,102)单调递减，在(102，20]单调递增．所以g (102)＝675是g (t )的极小值，也是最小值．所以当t ＝102时，f (t )取得最小值，最小值为f (102)＝15 3.即最短长度为15 3.。

高中数学人教A选修23课时跟踪检测：第1章计数原理1.32 含解析

第一章1．3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课时跟踪检测一、选择题1．在(a＋b)10的展开式中与第3项二项式系数相同的项是()A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项解析：∵C210＝C810，∴第3项与第9项的二项式系数相等．答案：C2．(2019·武钢三中高二月考)在(1－3x)n的展开式中，偶数项的二项式系数的和为128，则展开式中的中间项为()A．5 670 B．－5 670x4C．5 670x4D．1 670x4解析：偶数项的二项式系数的和为2n－1＝128＝27，即n＝8，故展开式中的中间项为T5＝C48(－3x)4＝5 670x4，故选C.答案：C3．若C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于()A．64 B．32C．63 D．31解析：由C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2n C n n＝(1＋2)n＝3n＝729，得n＝6，＝32.∴C1n＋C3n＋C5n＝C16＋C36＋C56＝262答案：B4．若(x＋3y)n展开式的系数之和等于(a＋7b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为()A．5 B．8C．10 D．15解析：令x＝y＝1，由题意得4n＝210，∴n＝5.答案：A5．(2019·辽宁省实验中学高二月考)若多项式x ＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 0＋a 2＋…＋a 8的值等于( )A ．509B ．510C ．511D ．1 022解析：令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 10＝1 022，两式相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1 022，即a 0＋a 2＋…＋a 10＝511.易知a 10＝1，所以a 0＋a 2＋…＋a 8＝510.答案：B6．已知⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3x n 展开式中各项系数之和为625，则展开式中含x 项的系数为( )A ．216B ．224C ．240D ．250解析：由题可知(2＋3)n ＝625，∴n ＝4，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3x 4的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4(2x )4－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 424－r 3r x 4－r －r 2， ∴4－r －r 2＝1，∴r ＝2，∴T 3＝C 242232＝216，故选A.答案：A二、填空题7．(2019·南昌二模)已知(x 2－2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 3＋a 4＝________.解析：由题知a 3和a 4就是展开式中x 3和x 4的系数，因为T r ＋1＝C r 6·(x 2)6－r ·(－2)r ＝(－2)r C r 6x12－2r ，令12－2r ＝3，得r ＝92(舍去)，所以a 3＝0，令12－2r ＝4，得r ＝4，所以a 4＝(－2)4C 46＝240，所以a 3＋a 4＝240.答案：2408．(2019·济南一中高二月考)若(1－3x )2 019＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 019x 2 019，则a 13＋a 232＋…＋a 2 01932 019的值为________．解析：由题意，知(1－3x )2 019＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 019x 2 019，令x ＝0，可得a 0＝1.令x ＝13，可得a 0＋a 13＋a 232＋…＋a 2 01932 019＝0，所以a 13＋a 232＋…＋a 2 01932 019＝－1. 答案：－19．如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是____________________．解析：杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼兹三角形．∵杨辉三角形中第n (n ≥3)行第3个数字是C 2n －1，则“莱布尼兹调和三角形”第n (n ≥3)行第3个数字是1n C 2n －1＝2n (n －1)(n －2). 答案：2n (n －1)(n －2)(n ∈N *，n ≥3) 三、解答题10．已知(3x －1)7＝a 0x 7＋a 1x 6＋a 2x 5＋a 3x 4＋a 4x 3＋a 5x 2＋a 6x ＋a 7.(1)求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7的值；(2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＋|a 7|的值；(3)求a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值．解：(1)令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(3×1－1)7＝27＝128.(2)易得a 1，a 3，a 5，a 7为负值，|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＋|a 7|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝－(－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7)＝－[3×(－1)－1]7＝47.(3)令f (x )＝(3x －1)7，则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7，f (－1)＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7，∴2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝f (1)＋f (－1)＝27－47，∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝26－213＝－8 128.11．已知a ＝－2⎠⎛0πsin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3d x ，求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 的系数及展开式中各项系数之和．解： 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3－cos π3＝－2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 5.设展开式中含x 的项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 5(－2)r (x )10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，∴展开式中x 的系数是：C 35(－2)3＝－80，令ƒ(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 5，∴二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中各项系数之和是ƒ(1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－215＝－1. 12．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992.求在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中， (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．解：由题意知22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，∴2n ＝32，解得n ＝5.(1)由二项式系数的性质知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252.∴二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x )5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大，∴T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 10·210－r ·x 10－2r ， ∴⎩⎨⎧C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1，得⎩⎨⎧ C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110，即⎩⎨⎧11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r ，解得83≤r ≤113，∵r ∈Z ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项， T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.13．(2019·福建省高三质量检查测试)若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n 展开式的二项式系数之和为2n ，∴2n ＝64，∴n ＝6，∴二项展开式的通项T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 626－r (－1)r x 12－3r ，令12－3r ＝0，得r ＝4，∴展开式中的常数项为T 5＝C 4626－4·(－1)4＝60. 答案：60。

人教A版高中数学选修2-3 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质跟踪练习及答案解析

“杨辉三角”与二项式系数的性质跟踪练习一、选择题1．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项D ．第18项2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A ．5B ．20C ．10D ．403．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) 4．已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba 的值为( ) A.1285 B.2567 C.5125 D.12875．在(x －2)2 010的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )A ．23 015B ．－23 014C ．23 014D ．－23 008二、填空题6．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________．7．若n 是正整数，则7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n 除以9的余数是________．8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-3-5所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.三、解答题9．已知(1＋2x －x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．[能力提升题]1．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－22．把通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)的数列{a n }的各项排成如图1-3-6所示的三角形数阵．记S (m ，n )表示该数阵的第m 行中从左到右的第n 个数，则S (10,6)对应于数阵中的数是( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…… 图1-3-6A ．91B ．101C ．106D ．1033．若(x 2＋1)(x －3)9＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3＋…＋a 11(x －2)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________．4．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次项的系数之和.“杨辉三角”与二项式系数的性质跟踪练习答案一、选择题1．【解析】第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件．【答案】 B2．【解析】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n ＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )·x －r ＝C r 5x10－3r ，令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C. 【答案】 C3．【解析】令x ＝1，得3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，② ①＋②得3n ＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n ＋12.故选D.【答案】 D4．【解析】 a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r ，则⎩⎨⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A.【答案】 A5．【解析】因为S ＝(x －2)2 010－(x ＋2)2 0102，当x ＝2时，S ＝－23 0152＝－23 014.【答案】 B 二、填空题6．【解析】令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1. 【答案】－17．【解析】 7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝C 0n9n (－1)0＋C 1n 9n －1(－1)1＋…＋C n n 90(－1)n－1，∴n 为偶数时，余数为0；当n 为奇数时，余数为7.【答案】 7或08.【解析】根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ，使得连续三项C k －1n ，C k n ，C k ＋1n ，有C k －1n C k n ＝34且C k n C k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．【答案】 62 三、解答题9．【解】 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.① (2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7＝－128.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128. 10．【解】由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，得n ＝8.⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x 8的展开式共有9项，其中T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫144(2x )4＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为358. [能力提升题]1．【解析】令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10，故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10) ＝(2－1)10(2＋1)10＝1. 【答案】 A2．【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n }，则b 1＝1，b n －b n －1＝2(n －1)，∴b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋1＝n 2－n ＋1，∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.【答案】 B3．【解析】令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.【答案】 54．【解】(1)由已知C1m＋2C1n＝11，所以m＋2n＝11，x2的系数为C2m＋22C2n＝m(m－1)2＋2n(n－1)＝m2－m2＋(11－m)·⎝⎛⎭⎪⎫11－m2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫m－2142＋35116.因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次项的系数之和为30.。