高中数学北师大版选修2-1课时作业：3.3.1 双曲线及其标准方程(1) 含解析
高中数学选修2-1课时作业19：2.3.1 双曲线及其标准方程
§2.3 双曲线2．3.1 双曲线及其标准方程一、选择题1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫62，0C.⎝⎛⎭⎫52，0D ．(3，0) 考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] B[解析] 将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62， 故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1B.x 23－y 22＝1C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] C[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2a ＝b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4， 则该双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 3．已知双曲线x 2a －3＋y 22－a＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于( ) A.32B ．5C ．7D.12考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] D[解析] 根据题意可知，双曲线的标准方程为y 22－a －x 23－a＝1. 由其焦距为4，得c ＝2，则有c 2＝2－a ＋3－a ＝4，解得a ＝12. 4．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为10，则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( )A ．3或7B ．6或14C ．3D ．7考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用[答案] A[解析] 连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，∴|ON |＝12|PF 2|，∵||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|＝10，∴|PF 2|＝14或6，∴|ON |＝12|PF 2|＝7或3. 5．“mn <0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 双曲线的标准方程题点 已知曲线方程判断曲线的形状[答案] C[解析] 因为mn <0，所以m ，n 均不为0且异号，方程mx 2＋ny 2＝1，可化为x 21m ＋y 21n＝1，因为1m 与1n 异号，所以方程x 21m ＋y 21n＝1表示双曲线，故“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx 2＋ny 2＝1表示双曲线，则其方程可化为x 21m ＋y 21n＝1，可知1m 与1n异号，则必有mn <0，故“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的必要条件．综上可得，“mn <0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示双曲线”的充要条件．6．已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 216－y 29＝1(x ≥4) C.x 29－y 216＝1 D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 考点 求与双曲线有关的轨迹方程题点 双曲线的一支[答案] D[解析] 由|MA |－|MB |＝6，且6<|AB |＝10，得a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16.故其轨迹为以A ，B 为焦点的双曲线的右支．所以方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 7．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用[答案] A[解析] 设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心分别为O 1和O 2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得|MO 1|＝r ＋1，|MO 2|＝r ＋2.∴|MO 2|－|MO 1|＝1，又|O 1O 2|＝4，∴动点M 的轨迹是双曲线的一支(靠近O 1)．8．若双曲线x 2n－y 2＝1(n >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1B.12C ．2D ．4 考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形[答案] A[解析] 设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2n ，已知|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2， 解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |PF 1|·|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝2n ＋1，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°，∴12PF F S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2＝1.二、填空题9．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是________．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] y 2－x 23＝1 [解析] 由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1. 10．若曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________． 考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[答案] (2，＋∞)[解析] 由曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，可得x 21m －y 21m －2＝1， 即有m >0，且m －2>0，解得m >2.11．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[答案] x 216－y 29＝1 [解析] 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得1QF k ·2QF k ＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过点(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 三、解答题12．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程． 解 已知双曲线x 216－y 29＝1， 则c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意知b 2＝25－a 2，故所求双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在所求双曲线上， ∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a 2＝1，化简得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254. 当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0， 不合题意，舍去，∴a 2＝1，b 2＝24，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义，知m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.14．已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形[答案] D[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点， 所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D.15．已知△OFQ 的面积为26，且OF →·FQ →＝m ，其中O 为坐标原点．(1)设6<m <46，求OF →与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF →|＝c ，m ＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2，当|OQ →|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)因为⎩⎨⎧ 12|OF→|·|FQ →|sin (π－θ)＝26，|OF→|·|FQ →|cos θ＝m ， 所以tan θ＝46m. 又6<m <46，所以1<tan θ<4，即tan θ的取值范围为(1,4)． (2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， Q (x 1，y 1)，则FQ →＝(x 1－c ，y 1)，所以S △OFQ ＝12|OF →|·|y 1|＝26，则y 1＝±46c. 又OF →·FQ →＝m ，即(c,0)·(x 1－c ，y 1)＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2， 解得x 1＝64c ， 所以|OQ →|＝x 21＋y 21＝38c 2＋96c2≥12＝23，当且仅当c ＝4时，取等号，|OQ →|最小，这时Q 的坐标为(6，6)或(6，－6)．因为⎩⎪⎨⎪⎧ 6a 2－6b 2＝1，a 2＋b 2＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12， 于是所求双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。
高中数学 3.3.1 双曲线及其标准方程课时作业 北师大版
§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于__________)的点的集合叫作双曲线．平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为________________________________________．平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F1、F2叫作________________，两焦点间的距离叫作______________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y22＝14．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22 D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝________________________________________________________________________. 8．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞) D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程 知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a<|F 1F 2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab<0，所以b a <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线．]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m＋3＋m ＝c 2＝4.∴m＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a2－y25－a2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4， 又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k<1解析 因为方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k<1. 9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝r 1－r 22＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－±152b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|±15－02＋4＋32－±15－02＋4－32|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y)，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC|2R －|AB|2R ＝12·|BC|2R ，又|BC|＝8， 所以|AC|－|AB|＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y212＝1 (x>2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4， ∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P(x ，y)(x≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x≥3)．令g(x)＝43x 2＋2x －1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3.∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－53.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y25＝1.。
课堂设计高中数学3.3.1双曲线及其标准方程课后作业北师大版选修21
3.1 双曲线及其标准方程1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线的左支C.一条射线D.双曲线的右支解析:本题容易犯片面性错误,从而根据双曲线的定义得出错误结果.由于|PM|-|PN|=4恰好等于这两个定点间的距离,故其轨迹是一条射线.答案:C2.在双曲线中,,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线的方程是( )A.-x2=1B.-y2=1C.x2-=1D.y2-=1解析:椭圆的标准方程为=1,故焦点坐标为(±,0),∴c=.由,得a=2,又双曲线中c2=a2+b2,则b2=1.答案:B3.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( )A.2B.4C.6D.8解析:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2)2=22+|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=4.答案:B4.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析:由题意,知圆C仅与x轴有交点,由得x2-6x+8=0.∴x=2或x=4,即c=4,a=2.∴双曲线方程为=1.答案:A5.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=1解析:∵k AB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为=1.答案:B6.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为( )A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)C. D.解析:如图所示,由c=2得a2+1=4,∴a2=3,∴双曲线方程为-y2=1.设P点坐标为(x,y)(x≥),则·=(x,y)·(x+2,y)=x2+2x+y2=x2+2x+-1=x2+2x-1(x≥).令g(x)=x2+2x-1(x≥),则g(x)在[,+∞)上是增加的,g(x)min=g()=3+2,∴·的取值范围为[3+2,+∞).答案:B7.给出问题:F1,F2是双曲线=1的焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:由||PF1|-|PF2||=2a=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或|PF2|=17.该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确答案填在下面横线上.解析:在双曲线的定义中,||PF1|-|PF2||=2a,即|PF1|-|PF2|=±2a,正负号的取舍取决于P点的位置是在左支上还是在右支上.因右顶点到左焦点的距离为10>9,所以点P只能在双曲线的左支上.答案:|PF2|=178.已知F是双曲线=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解析:设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|,故|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|,当|PF1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小.当点A,P,F1共线时,|PF1|+|PA|最小,最小值为|AF1|=5,故所求最小值为9.答案:99.双曲线=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为.解析:设|PF1|=m,|PF2|=n.①当m>n时,由=1,知a=3,b=4,∴c=5.由双曲线的定义,知m-n=2a=6.∵PF1⊥PF2,∴△PF1F2为直角三角形,即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,∴2mn=m2+n2-36=64.∴mn=32.设点P到x轴的距离为d,则d|F1F2|=|PF1||PF2|,即d·2c=mn.∴d=,即点P到x轴的距离为.②当m<n时,同理可得点P到x轴的距离为.答案:10.求与双曲线=1共焦点,且过点(3,2)的双曲线方程.解:由于所求的双曲线与已知的双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为=1.由于点(3,2)在所求的双曲线上,从而有=1.整理,得k2+10k-56=0,∴k=4或k=-14.又16-k>0,4+k>0,∴-4<k<16.从而得k=4.故所求双曲线的方程为=1.11.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图所示),|PA|=100 m,|PB|=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工.解:如图,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设M是分界线上的点,则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支.在△APB中,由余弦定理,得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|·|PB|cos 60°=17 500.从而a=25,c2==4 375,所以b2=c2-a2=3 750.所以所求分界线的方程为=1(x≥25).于是运土时,将此双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.12.设有双曲线=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论. 解:设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2,∵r1r2sin θ,∴只要求r1r2即可,因此考虑到双曲线定义及余弦定理可求出r1r2.(1)由双曲线方程知a=2,b=3,c=,由双曲线定义,有r1-r2=2a=4,两边平方得-2r1r2=16,即|F1F2|2-4=16,也即52-16=4,求得=9.(2)若∠F1MF2=120°,在△MF1F2中,由余弦定理得,|F1F2|2=-2r1r2cos 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,∴r1r2=12,求得r1r2sin 120°=3.同理可求得若∠F1MF2=60°,=9.(3)由以上结果可见,随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积将减小.证明如下:r1·r2sin θ.由双曲线定义及余弦定理,有②-①得r1·r2=,∴=b2cot .∵0<θ<π,0<,在内,cot 是减函数.因此当θ增大时,=b2cot 减小.备选习题1.k>9是方程=1表示双曲线的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:=1表示双曲线的充要条件是(9-k)·(k-4)<0,即k>9或k<4.因为k>9是k>9或k<4的充分不必要条件.所以k>9是方程=1表示双曲线的充分不必要条件.答案:A2.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( )A. B. C. D.解析:设P在双曲线上,|PF1|=m,|PF2|=n,则由双曲线定义知|m-n|=2,∴m2-2mn+n2=4.①由双曲线方程得|F1F2|=2,又∠F2PF1=60°,由余弦定理,得(2)2=m2+n2-2mn cos 60°,∴8=m2-mn+n2.②由①②得mn=4,∴mn sin 60°=|F1F2||y P|,∴|y P|=.答案:B3.在双曲线=1上任取一点P,与双曲线两焦点F1,F2构成△PF1F2,求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标.解:当点P在双曲线的左支上时,如图所示,△PF1F2的内切圆与PF1,PF2,F1F2切于点Q,M,N.由已知,得a=4,b=3,则c=5.根据圆的切线长定理及双曲线的定义,可得|NF2|=|MF2|,|PM|=|PQ|,|QF1|=|F1N|,∴|NF2|+|MF2|=|PF2|+|F1F2|-|PM|-|F1N|,即2|NF2|=|PF2|-|PF1|+|F1F2|.∴|NF2|=×(8+10)=9,∴|ON|=|NF2|-|OF2|=4.∴切点N的坐标为(-4,0).根据对称性,当点P在双曲线的右支上时,切点N的坐标为(4,0).4.如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sin A+sin C=2sin B,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.解:如图,以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).由正弦定理,得sin A=,sin B=,sin C=.∵2sin A+sin C=2sin B,∴2|CB|+|AB|=2|CA|.从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|.由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支,且不在x轴上. ∵a=,c=2,∴b2=c2-a2=6.∴顶点C的轨迹方程为=1(x>).。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3章 3.1 双曲线及其标准方程 Word版含答案
§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点)教材整理1 双曲线的定义阅读教材P 78“动手实践”以下的部分，完成下列问题．我们把平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1、F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝10，即|12－|PF 2||＝10.解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22. 【答案】 D2．设F 1，F 2是双曲线x216－y220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．【解】 因为a ＝4，所以2a ＝8，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8，所以|PF 2|＝1或17.因为c 2＝a 2＋b 2＝36，所以|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时，|PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合“两点之间线段最短”，应舍去，所以|PF 2|＝17.教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P 79“例1”以上的部分，完成下列问题．1．双曲线x24－y216＝1的焦点坐标为________．【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝20，∴c ＝25， ∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(25，0)，(－25，0)． 【答案】 (25，0)，(－25，0)2．若a ＝3，b ＝4，则双曲线的标准方程是________________．【解析】 当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x29－y216＝1；当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.【答案】x29－y216＝1或y29－x216＝1预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线．【自主解答】 ①2＜2，故点P 的轨迹是双曲线的一支；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而7＞6，故点P 的轨迹不存在；④点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离为－3－＋－1－＝5＜8，故点P 的轨迹是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点的双曲线．【答案】 ②④如图331，若F 1，F 2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．图331(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 【精彩点拨】 (1)利用双曲线的定义求解．(2)欲求△F 1PF 2的面积，可考虑用12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2求解，只要求出∠F 1PF 2的正弦值即可．而△F 1PF 2的三边中，|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．【自主解答】 双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.由△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．1．已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【导学号：32550081】【解】 由x29－y216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．【精彩点拨】 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．【自主解答】 (1)法一：(待定系数法) 由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得 25a2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9， 解得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上， 则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，－a2－52b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝78，b2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，52a2－－b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝－7，b2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． 将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，经过点(4，－2)和(26，22)； (2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．【解】 (1)因为焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为点(4，－2)和(26，22)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧16a2－4b2＝124a2－8b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝8b2＝4.故所求双曲线的标准方程是x28－y24＝1.(2)因为焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2525a2－4b2＝1，解得b 2＝16.因此，所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.已知动圆M 12内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【导学号：32550082】【精彩点拨】 利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【自主解答】 如图，设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8， ∵22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4，0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14， ∴点M 的轨迹方程是x22－y214＝1(x ≥2)．1．本题易忽略|MC 1|－|MC 2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x ≥2”这一条件．2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．3．在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ．求点A 的轨迹．【解】 在△ABC 中，sin B －sin C ＝12sin A ，∴|AC |－|AB |＝12|BC |.又∵B (4,0)，C (－4,0)，∴|BC |＝8.∴|AC |－|AB |＝4＜|BC |.∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去与B ，C 共线的一点)．其方程为x24－y212＝1(x ＞2)．探究1 【提示】 双曲线的定义中若没有“的绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“的绝对值”不能去掉．当P 满足0<|PF 1|－|PF 2|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|.探究2 设点M 是双曲线上的任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF 1|－|MF 2|的符号？【提示】 若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|＞|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|＜|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝－2a ，综上得|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这是与椭圆不同的地方．探究1 双曲线的标准方程a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)和a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)有何异同点？【提示】 相同点：它们的形状、大小都相同，都有a ＞0，b ＞0和c 2＝a 2＋b 2. 不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同．探究2 椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？ 【提示】设双曲线与椭圆27＋36＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550083】【精彩点拨】 常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解，将方程设为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)求解．可以减少计算量．【自主解答】 由题意设双曲线方程为：x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得λ＝32，λ＝0(舍)，所以所求双曲线方程为y24－x25＝1.【答案】 y24－x25＝14．已知某双曲线与x216－y24＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550084】【解析】 设双曲线的方程为x216－k －y24＋k＝1(－4＜k ＜16)． 将点(32，2)代入得k ＝4， 所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.【答案】x212－y28＝11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( ) (2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 【解析】 (1)注意双曲线定义中是“差的绝对值”． (2)x2a2－y2b2＝1中，a ＜0，b ＜0也可以． (3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系不确定． 【答案】 (1)× (2)× (3)×2．双曲线x29－y27＝1的焦距为( )A. 2 B ．2 2 C. 4D ．8【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝9＋7＝16， ∴c ＝4，∵焦距为2c ＝8， 【答案】 D3．已知点F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上的一点，且PF1→·PF2→＝0，则△PF 1F 2的面积为( )A ．abB ．12abC ．b 2D ．a 2【解析】 由题意知|||PF1|－|PF2|＝2a .① |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.② ②－①2，得|PF 1||PF 2|＝2b 2， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2.【答案】 C4．双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则双曲线的标准方程为________． 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9b ＝3c2＝a2＋b2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴双曲线标准方程为x216－y29＝1.【答案】x216－b29＝1 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8； (2)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上． 【解】 (1)∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵2a ＝8,2c ＝12，∴a ＝4，c ＝6，∴b 2＝62－42＝20. ∴所求双曲线的标准方程为y216－x220＝1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1. ∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2.由题意知25a2－4b2＝1，∴25a2－46－a2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)．∴b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x25－y 2＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程课时作业 北师大版选修2-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.3.1 双曲线及其标准方程[基础达标]1.双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点的坐标为(62，0)． 2.已知双曲线C 的右焦点为F (3，0)，c a ＝32，则C 的标准方程是( )A.x 24－y 25＝1 B ．x 24－y 25＝1C.x 22－y 25＝1 D ．x 22－y 25＝1解析：选B.由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.3.若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6解析：选C.设P 到左焦点的距离为r ，c 2＝12＋4＝16，c ＝4，a ＝2，c －a ＝2，则由双曲线定义|r －8|＝4，∴r ＝4或r ＝12，4，12∈[2，＋∞)，符合题意．4.已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：选C.a ＝3，b ＝4，c ＝5，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ＝10，|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝6＋10＝16，F 2到PF 1的距离为6，故S △PF 1F 2＝12×6×16＝48.5.已知F 1，F 2为双曲线x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在该双曲线上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B ．35 C.34D ．45解析：选C.双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，a ＝b ＝2，c ＝2，由⎩⎨⎧|PF 1|＝2|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝22，得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34. 6.双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，则k 的值为________． 解析：依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.答案：－17.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6，0)和C (6，0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin Csin B＝________．解析：A (－6，0)，C (6，0)为双曲线x 225－y 211＝1的左，右焦点．由于B 在双曲线左支上，在△ABC 中，由正弦定理知，|BC |＝2R sin A ，|AB |＝2R sin C ，2R sin B ＝|AC |＝12，根据双曲线定义|BC |－|AB |＝10，故sin A －sin C sin B ＝2R sin A －2R sin C 2R sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝1012＝56. 答案：568.已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若|PQ |＝16，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：显然点A (5，0)为双曲线的右焦点．由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：449.设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆C 的圆心轨迹L 的方程．解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2， 所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝25，所以圆心C 的轨迹是双曲线，其中a ＝2，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝1， 故C 的圆心轨迹L 的方程是x 24－y 2＝1.10.双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，求点P 到x轴的距离．解：设P 点为(x 0，y 0)，而F 1(－5，0)，F 2(5，0)，则PF 1→＝(－5－x 0，－y 0)，PF 2→＝(5－x 0，－y 0)．∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→·PF 2→＝0，即(－5－x 0)(5－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝0， 整理，得x 20＋y 20＝25①. 又∵P (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 209－y 2016＝1②. 联立①②，得y 20＝25625，即|y 0|＝165.因此点P 到x 轴的距离为165.[能力提升]1.如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3 B ． 5 C.5－ 3D ．5＋ 3解析：选C.|OM |－|MT |＝12|PE |－(|MF |－|FT |)＝|FT |－12(|PF |－|PE |)＝5－12×2 3＝5－ 3.2.已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则|MA |＋|MB |的最小值为________．解析：设D (5，0)，则A 、D 为双曲线的两个焦点，连接BD ，MD ，由双曲线的定义，得|MA |－|MD |＝2a ＝2.∴|MA |＋|MB |＝2＋|MB |＋|MD |≥2＋|BD |，又点B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)，半径为1，故|BD |≥|CD |－1＝10－1，从而|MA |＋|MB |≥2＋|BD |≥10＋1，当点M ，B 在线段CD 上时上式取等号，即|MA |＋|MB |的最小值为10＋1.答案：10＋13.已知双曲线过P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点，求双曲线的标准方程．解：法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2a 2－（325）2b2＝1.（437）2a 2－42b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19.不合题意，舍去；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由P 1，P 2在双曲线上， 知⎩⎪⎨⎪⎧（325）2a 2－（－2）2b2＝1，42a 2－（437）2b2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 由P 1，P 2在双曲线上，知⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2m ＋（325）2n ＝1（437）2m ＋42n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116n ＝19，故所求方程为y 29－x 216＝1.4．设点P 到点M (－1，0)，N (1，0)的距离之差为2m ，到x 轴，y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围．解：设点P 的坐标为(x ，y )，依题意，有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)．所以点P (x ，y )，M (－1，0)，N (1，0)三点不共线， 所以||PM |－|PN ||<|MN |＝2. 又因为||PM |－|PN ||＝2|m |>0， 所以0<|m |<1.所以点P 在以M ，N 为焦点的双曲线上，且a 2＝m 2，c 2＝1， 所以b 2＝1－m 2，所以x 2m 2－y 21－m 2＝1.①把y ＝±2x (x ≠0)代入①，得x 2＝m 2（1－m 2）1－5m2. 因为1－m 2>0，所以1－5m 2>0， 解得0<|m |<55， 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，55.。
高中数学选修2-1北师大版 双曲线及其标准方程 学案1(含答案)
§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程自主整理1.我们把平面内到两定点F 1,F 2的距离之_____________等于_____________ (小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线.定点F 1,F 2叫作双曲线的_____________,两个焦点之间的距离叫作双曲线的_____________.2.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是_____________,焦点F 1_____________,F 2_____________,这里有_____________=b 2(b>0).3.焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是_____________.焦点F 1_____________,F 2_____________,这里有_____________=b 2(b>0). 高手笔记1.在双曲线定义中“常数要大于0且小于|F 1F 2|”这一限制条件十分重要,不可去掉.2.如果定义中常数改为等于|F 1F 2|,此时动点轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线(包括端点).3.如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线.4.如果定义中常数改为大于|F 1F 2|,此时动点轨迹不存在.5.若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双曲线的一支.6.2222by a x -=1(a>0,b>0)是焦点在x 轴上的双曲线的标准方程,它的焦点坐标是F 1(-c,0),F 2(c,0),有关系式c 2=a 2+b 2.如果双曲线的焦点在y 轴上(如图),焦点是F 1(0,-c),F 2(0,c),只要将标准方程的x,y 互换就可以得到它的方程2222by a x -=1,此方程是焦点在y 轴上的双曲线的标准方程.7.通过比较两种不同类型的双曲线方程2222b y a x -=1和2222by a x -=1(a>0,b>0).可以看出,如果x 2项的系数是正的,那么焦点在x 轴上;如果y 2项的系数是正的,那么焦点在y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上. 8.掌握椭圆,双曲线的标准方程以及它们之间的区别和联系:名师解惑1.双曲线标准方程类型的确定 剖析：如果双曲线的焦点在坐标轴上,并且关于原点对称,那么双曲线的方程是标准的,否则不是标准的.求双曲线的标准方程就是确定a,b,并且判断焦点所在的坐标轴,确定方程类型是2222b y a x -=1,还是2222by a x -=1(a>0,b>0). 2.求双曲线标准方程的常用方法剖析：求双曲线标准方程的常用方法是待定系数法和定义法.若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉,点的集合成为双曲线的一支,先确定方程类型,再确定参数a,b,即先定型,再定量.若两种类型都有可能,则需分类讨论. 讲练互动 【例1】若一个动点P(x,y)到两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离的差的绝对值为定值a(a≥0),试讨论点P 的轨迹方程. 解析：从题设条件看,P 点的轨迹似乎是双曲线,但注意到双曲线定义中的条件,|F 1F 2|>a.而题中|F 1F 2|=2,a 与2的大小关系不确定,所以要确定点P 的轨迹方程,首先要讨论a 与2的大小关系. 答案：因为|F 1F 2|=2,(1)当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x≥1)或y=0(x≤-1);(2)当a=0时,轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线,即y 轴,方程为x=0;(3)当0<a<2时,轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线,c=1,b 2=1-42a ,所以方程为4142222a y a x --=1; (4)当a>2时,轨迹不存在.绿色通道利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,要注意定义中的条件|F 1F 2|>2a,若条件中不能确定|F 1F 2|与2a 的大小,需分类讨论. 变式训练1.已知周长为48的Rt △MPN 中,∠MPN=90°,tan ∠PMN=43,求以M,N 为焦点,且过点P 的双曲线方程.答案:因为△PMN 的周长为48,且tan ∠PMN=43. 所以设|PN|=3k,|PM|=4k(k>0),则|MN|=5k,由3k+4k+5k=48,得k=4,所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20,以MN 所在直线为x 轴,以MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则2a=|PM|-|PN|=4,所以a=2,而c=10,所以b 2=c 2-a 2=100-4=96.故所求双曲线的方程为434122y x -=1. 【例2】如图,在△ABC 中,已知|AB|=42,且三内角A,B,C 满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.解析：利用正弦定理把2sinA+sinC=2sinB 转化为边的关系,从而构造出符合双曲线定义的动点A,利用待定系数法求方程.解：如图,以AB 边所在的直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则A(-22,0),B(22,0).由正弦定理得sinA=R a 2,sinB=R b 2,sinC=Rc 2. 因为2sinA+sinC=2sinB,所以2a+c=2b,即b-a=2c .从而有|CA|-|CB|=21|AB|=22<AB.由双曲线的定义知点C 的轨迹为双曲线的右支. 因为a=2,c=22,所以b 2=c 2-a 2=6.所以顶点C 的轨迹方程为6222y x -=1(x>2). 绿色通道条件中给出了角的关系,根据正弦定理,将角的关系转化为边的关系.由于A,B 可视为定点,且|AB|=42,从而可考虑用定义法求轨迹方程.同时要注意:(1)应先建立适当坐标系. (2)注意C 点满足的条件:C 不能与A,B 共线,否则构不成三角形,并且CA>CB,故所求轨迹只是双曲线的右支,在方程中应标出x 的范围. 变式训练2.在△ABC 中,B(-1,0),C(1,0),求满足sinC-sinB=21sinA 时,顶点A 的轨迹方程. 解:设A(x,y),由sinC-sinB=21sinA,得|AB|-|AC|=21|BC|=1<|BC|,故A 点在以B,C 为焦点的双曲线的右支上,而a=21,c=1,所以b 2=c 2-a 2=43,故所求顶点A 的轨迹方程为434122y x -(x>21).【例3】已知定圆F 1:x 2+y 2+10x+24=0,定圆F 2:x 2+y 2-10x+9=0,动圆M 与定圆F 1,F 2都外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.解析：根据两圆外切的充要条件转化为用双曲线的定义求解. 解：圆F 1:(x+5)2+y 2=1,圆F 2:(x-5)2+y 2=42, 所以F 1(-5,0),半径r 1=1;F 2(5,0),半径r 2=4.设动圆M 的半径为R,则|MF 1|=R+1,|MF 2|=R+4,所以|MF 2|-|MF 1|=3<|F 1F 2|=10.所以M 点的轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线左支且a=23,c=5. 所以b 2=25-49149=. 所以动圆圆心M 的轨迹方程为9149422y x -=1(x≤23-).绿色通道如果遇到动点到两定点的距离之差的问题,应联想能否运用双曲线定义解题. 变式训练3.已知两圆C 1:(x+4)2+y 2=2,C 2:(x-4)2+y 2=2,动圆M 与两圆C 1,C 2都相切,则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A.x=0B.)2(114222≥=-x y x C.114222=-y x D.114222=-y x 或x=0 解析:如图,动圆M 与两圆C 1,C 2都相切,有四种情况:①动圆M 与两圆都相内切;②动圆M 与两圆都相外切;③动圆M 与圆C 1外切与圆C 2内切;④动圆M 与圆C 1内切与圆C 2外切.在①②两种情况下,显然动圆圆心M 的轨迹为x=0.在③的情况下,设动圆M 的半径为r,则 |MC 1|=r+2,|MC 2|=r-2, 所以|MC 1|-|MC 2|=22<8. 在④的情况下,|MC 2|-|MC 1|=22. 由③④得|MC 1|-|MC 2|=±22.由双曲线的定义知,点M 的轨迹是以(-4,0),(4,0)为焦点的双曲线,a=2,c=4,b 2=c 2-a 2=14,其方程为14222y x -=1. 综上,动圆圆心的轨迹方程为14222y x -=1或x=0. 答案:D。
3.3.1双曲线及其标准方程_教案(北师大版选修2-1)
§3 双曲线3.1双曲线及其标准方程●三维目标1．知识与技能(1)了解双曲线的定义和标准方程．(2)会推导双曲线的标准方程．2．过程与方法在求双曲线标准方程的过程中，进一步掌握解析几何的基本思想．3．情感、态度与价值观了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．●重点难点重点：求双曲线的标准方程．难点：应用双曲线的定义及标准方程解决简单的应用问题．有了椭圆的学习体验，在学习双曲线的定义及标准方程的推导时，可引导学生通过类比来探究，充分发挥学生的主体作用，并通过引导学生比较椭圆与双曲线定义与标准方程的区别，深化对双曲线的认识，从而突出重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议1．以类比思维作为教学的主线；2．以自主探究作为学生的学习方式；3．教法上以启发式、发现法为主，在教学中将启发、诱导贯穿于始终．●教学流程知识引入：知识回顾、观察动画、概括定义知识探索：理解定义、推导方程、对比方程知识应用：例题讲解与变式训练知识小结：知识总结、布置作业取一条长拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上，一条边选择其端点，另一条边选择中间的一点，分别固定到F1、F2上，F1到F2的长为2a(a>0)，把笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线，如图所示．1．笔尖在运动过程中，满足的条件是什么？【提示】|MF1|－|MF2|＝2a.2．笔尖M到两个定点F1、F2距离之差的绝对值与这两上定点间的距离有什么关系？【提示】||MF1|－|MF2||<|F1F2|.3．距离的差为什么要加绝对值？【提示】不加绝对值，得到的只是双曲线的一支．双曲线的定义我们把平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.类比椭圆标准方程的推导，在推导双曲线方程时1．如何建系？【提示】以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．2．动点M的几何性质是什么？【提示】||MF1|－|MF2||＝2a.3．怎样化简？【提示】先移项，再平方，移项是为使两个根式在等式的两边，平方是为了化无理式为有理式．双曲线的标准方程已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．【思路探究】 连接ON ⇒ON 是△PF 1F 2的中位线⇒求|PF 2|⇒|ON |＝12|PF 2|【自主解答】 如图所示，连接ON ，F 2P ，ON 是△PF 1F 2的中位线，∴|ON |＝12|PF 2|.∵||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10， ∴|PF 2|＝2或18， ∴|ON |＝12|PF 2|＝1或9.深刻理解双曲线的定义是灵活求解双曲线问题的关键，理解双曲线的定义可以从以下几个方面：1．双曲线的集合语言表述：P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a,2a <|F 1F 2|}． 2．为什么限制2a <|F 1F 2|?3．在定义中，为什么常数是“差的绝对值”而不是“差”？已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.∵|MA|＝|MB|，∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＜0).根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．【思路探究】 (1)焦点位置不确定、用待定系数法分类求解或直接设所求双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)．(2)用待定系数法求解，注意c 2＝a 2＋b 2.【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线过P (3，154)，Q (－163，5)∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝12569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116n ＝19.∴所求双曲线方程是y29－x216＝1.(2)∵焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x25－y2＝1. 双曲线标准方程的求解步骤：求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝4，经过点A (1，4103)；(2)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)，(94，5)．【解】 (1)若双曲线的焦点在x 轴上，则设双曲线方程为x 216－y 2b 2＝1(b ＞0)．∴116－1609b 2＝1，即1609b 2＝－1516，不合题意． 若双曲线的焦点在y 轴上，则设双曲线方程为 y 216－x 2b 2＝1(b ＞0)，∴109－1b 2＝1∴b 2＝9. 故所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.(2)设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，则有⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝116，1b 2＝19.故所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.(1)已知双曲线2x 2－y 2＝k 的焦距为6，求k 的值；(2)若方程x 2|k |－1＋y 2k ＋4＝1表示双曲线，求k 的取值范围．【思路探究】 (1)确定焦点位置，再由双曲线中a ，b ，c 之间的关系求解．(2)根据方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件即可求解．【自主解答】 (1)由2x 2－y 2＝k得x 2k 2－y 2k ＝1. ∴当k >0时，a 2＝k2，b 2＝k .由题意知k2＋k ＝9，即k ＝6；当k <0时，a 2＝－k ，b 2＝－k2.由题意知－k －k2＝9，即k ＝－6.综上，k ＝±6.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ |k |－1>0k ＋4<0或⎩⎪⎨⎪⎧|k |－1<0k ＋4>0，得k <－4或－1<k <1.∴k ∈(－∞，－4)∪(－1,1)．方程表示双曲线，则x 2，y 2的系数异号，当x 2的系数为正时，焦点在x 轴上，否则焦点在y 轴上；当x 2，y 2的系数正负不确定时，要注意分类讨论．已知一曲线C 的对称轴是坐标轴，且经过M (1,1)，N (－2，5)两点，试判断此曲线是椭圆还是双曲线？【解】 设曲线方程为mx 2＋ny 2＝1，将M (1,1)，N (－2，5)代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋5n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝－3，∴所求的曲线方程为x 214－y 213＝1.故曲线C 是双曲线.忽略点在哪一支上的判断致误已知点M 是双曲线x 24－y 25＝1上的一点，且点M 到右焦点F 2的距离为92，则点M 到左焦点F 1的距离为________．【错解】 由已知得a ＝2，又||MF 2|－|MF 1||＝2a ， ∴|92－|MF 1||＝4， 解得|MF 1|＝12或172.【答案】 12或172【错因分析】 未对点M 在哪一支上进行判断，片面地认为点M 在两支上，从而造成增解．【防范措施】 解题时，既要注意算法——怎样算，又要清楚算理——根据什么．尤其在求解信息有所隐藏的问题时，更要注意这一点．【正解】 由于a ＋c ＝5>92，所以点M 只能在右支上，∴|MF 1|－|MF 2|＝2a ，∴|MF 1|＝2a ＋|MF 2|＝2×2＋92＝172.【答案】 1721．当P 满足0<|PF 1|－|PF 2|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|.2．由双曲线标准方程判断焦点位置时，看“正负”，即x 2的系数为正时，焦点在x 轴，否则，焦点在y 轴上．1．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝10，即|12－|PF 2||＝10. 解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22. 【答案】 D2．若方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【解析】 因为方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α＜0cos α＞0，故α是第四象限角.【答案】 D3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则边的右焦点为________．【解析】 双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝1＋12＝62.∴右焦点为(62，0)． 【答案】 (62，0) 4．在△ABC 中，sin C －sin B ＝12sin A ，若B (4,0)，C (－4,0)，求点A 的轨迹方程．【解】 ∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴由正弦定理，得|AB |－|AC |＝12|BC |.∵|BC |＝8，∴|AB |－|AC |＝4，∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的左支(除去点(－2,0))，其轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ＜－2).一、选择题1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线【解析】 F 1，F 2是两定点，|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．【答案】 D2．双曲线y 210－x 22＝1的焦距为( )A ．33B ．4 3C ．32D ．4 2 【解析】 由c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12得2c ＝4 3.【答案】 B3．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－1【解析】 方程表示双曲线，则(1＋k )与(1－k )同号，即(1＋k )(1－k )＞0，得－1＜k ＜1. 【答案】 A4．已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n －y 2＝1(n >0)，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m 、n 变化而变化【解析】 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝±2n ，又m －1＝n ＋1， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝4(m －1)＝|F 1F 2|2. 【答案】 B5．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支．下列数据：①2；②－1；③4；④－3；⑤12，则m 可以是( )A ．①②B ．①③C ．①②⑤D ．②④【解析】 由双曲线定义得⎩⎪⎨⎪⎧|2m －1|<6，2m －1≠0，∴－52<m <72且m ≠12.故选A.【答案】 A 二、填空题6．P 是双曲线x 2－y 2＝16的左支上一点，F 1，F 2分别是左、右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝________.【解析】 双曲线方程可化为x 216－y 216＝1，∴|PF 1|－|PF 2|＝－2a ＝－8. 【答案】 －87．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝________.【解析】 方程可化为y 2－812－x 2－1k ，＝1由焦点在y 轴上，得a 2＝－8k ，b 2＝－1k .∴c 2＝－9k ，∴9＝－9k ，∴k ＝－1. 【答案】 －18．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.【解析】 由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2|PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|＝22，∴|PF 1|＝4 2. 又∵|F 1F 2|＝22＋2＝4，∴在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.【答案】 34三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)一个焦点是(0，－6)，经过点A (－5,6)； (2)a ＝5，c ＝7.【解】 (1)由已知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一焦点为(0,6)． 由双曲线定义 2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝8.∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝20.∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.(2)由已知a ＝5，c ＝7，∴b 2＝c 2－a 2＝24，焦点不确定 ∴所求双曲线的标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1.图3－3－110．如图3－3－1所示，双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，求点P 到x 轴的距离．【解】 法一 由双曲线的定义得 |PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6且c 2＝a 2＋b 2＝25. 两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝36. 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝100. ∴|PF 1|·|PF 2|＝32.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由△PF 1F 2面积关系知： 12|PF 1|·|PF 2|＝12·2c ·|y 0|. ∴|y 0|＝|PF 1|·|PF 2|2c ＝3210＝165. 即点P 到x 轴的距离为165.法二 由双曲线方程可知F 1(－5,0)，F 2(5,0)， |F 1F 2|＝10，设点P 坐标为(x 0，y 0)， ∵PF 1⊥PF 2，∴kPF 1·kPF 2＝－1，即y 0－0x 0＋5·y 0－0x 0－5＝－1，整理得x 20＋y 20＝25.①又∵点P 在双曲线上，∴x 209－y 2016＝1.②①②消去x 0，并解得y 20＝25625，∴|y 0|＝165. 即点P 到x 轴的距离为165.11．已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．【解】 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， ∵A 、B 两点在以C 、F 为焦点的椭圆上，∴|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)， ∴|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |， ∴|F A |－|FB |＝|CB |－|CA | ＝122＋92－122＋52＝2.∴|F A |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A 、B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上，∴点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1).(教师用书独具)在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．【思路探究】 由双曲线定义可知||PM |－|PN ||＝2a ，|MN |＝2c ，所以利用条件确定△MPN 的边长是关键．【自主解答】 ∵△MPN 的周长为48，且tan ∠PMN ＝34，∴设|PN |＝3k ，|PM |＝4k ，则|MN |＝5k .由3k ＋4k ＋5k ＝48得k ＝4.∴|PN |＝12，|PM |＝16，|MN |＝20.以MN 所在直线为x 轴，以MN 的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，a＝2，a2＝4. 由|MN|＝20得2c＝20，c＝10.∴b2＝c2－a2＝96，∴所求双曲线方程为x24－y296＝1.若选取的坐标系不同，则方程也不相同．但双曲线的形状不会发生变化．这也就是轨迹(曲线)与轨迹(曲线)方程的区别．在解题中，要选取适当的坐标系，才能使所求曲线方程更简洁．在△QMN 中，|QN |＝48，tan ∠QMN ＝125，判断点Q 是否在该双曲线上． 【解】 由tan ∠QMN ＝125，得cos ∠QMN ＝513. 在△QMN 中，由余弦定理得|MQ 2|＋202－2×|MQ |×20×513＝482，整理得|MQ 2|－20013·|MQ |－1904＝0解得|MQ |＝52. ∴|MQ |－|NQ |＝52－48＝4. ∴点Q 在该双曲线上．。
北师大版高中数学选修2-1教案：3.4 双曲线及其标准方程
3.4 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点)2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点)3．会求双曲线的标准方程．(易混点)知识点一双曲线的定义我们把平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．知识点二双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0) 焦点在x轴上焦点在y轴上焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2考点一双曲线的定义及应用例1.下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①已知定点F1(－1,0)，F2(1, 0)，则满足|PF1|－|PF2|＝2的点P的轨迹为双曲线；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足||PF1|－|PF2||＝4的点P的轨迹为两条射线；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线．例2如图 ，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．【名师指津】1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．练习1．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．考点二 求双曲线的标准方程例3根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M(1, 1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．【名师指津】求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．(2)用待定系数法，具体步骤如下：练习2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，经过点(4，－2)和(26，22)；(2)a＝25，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上．考点三求双曲线的轨迹方程例4已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【名师指津】1．本题易忽略|MC 1|－|MC 2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x ≥2”这一条件． 2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．练习3．在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ．求点A 的轨迹．思考探究1 双曲线定义中的“的绝对值”能否去掉？探究2 设点M 是双曲线上的任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF 1|－|MF 2|的符号？探究1 双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有何异同点？探究2 椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？例5设双曲线与椭圆27＋36＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为________．练习4．已知某双曲线与x 216－y 24＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________． 课堂练习1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 2．(2016·长春高二检测)双曲线x 29－y 27＝1的焦距为( )A. 2 B ．2 2 C. 4 D ．83．(2016·安庆高二检测)已知点F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，则△PF 1F 2的面积为( )A ．abB ．12ab C ．b 2 D ．a 24．双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则双曲线的标准方程为________．5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8； (2)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上．。
高中数学北师大版选修2-1 3.3.1双曲线及其标准方程 课件(29张)
答案 :A
-8-
【做一做 2-2】 范围是( )
������2 ������2 已知方程 − =1 表示双曲线,则 1+������ 1-������
−
������2 ������
2=1(a>0,b>0).焦
点坐标为(0,-c)和(0,c),这里有 c 2-a2=b2(b>0). 说明 :(1)双曲线标准方程中的两个参数 a,b 是双曲线的定形条 件,但不定位,双曲线在坐标系中的位置由焦点来确定. (2)对称轴为坐标轴的双曲线方程可设为 Ax2+By 2=1(AB<0)或
将点 (3 2,2)的坐标代入方程,得 k=4 或 k=-14(舍去 ),故所求双曲
������2 ������2 线的标准方程为 − =1. 12 8
������2 ������ ������2 ������2 2 2 + =1(AB<0),即方程 Ax +By = 1 或 ������ ������ ������2 + =1 表示双曲线的充要 ������
条件为 AB<0.
-7-
【做一做 2-1】已知点 F1(-4,0),F2(4,0)Байду номын сангаас曲线上的动点 P 到 F1,F2 的距离之差为 6,则曲线方程为( )
-6-
2.双曲线的标准方程
������2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 2 ������
3.3.1《双曲线及其标准方程》课件(北师大版选修2-1)
【解析】选A.由题意: ∴m=n+2,∴|F1F2|=2 n+1 , 又 |PF1|+|PF2|=2 m , |PF1|-|PF2|=2 n , ∴|PF1|= m n,|PF2|= m n, ∴|PF1|2+|PF2|2=2m+2n=4n+4=4(n+1)
=|F1F2|2,
∴△PF1F2是直角三角形,
|BC|2=|BE|·|AB|.
∴t2=(2-y0)〓4,
t2 即y0=2. 4
∴梯形ABCD的周长 L=4+2t+2y0. 即L=1 2 t +2t+8=- 1 (t-2)2+10. 2 2
当t=2时，L最大.此时|BC|=2，|AC|=2 3 . 又C在双曲线的上支，B、A分别为上、下两焦点， ∴|AC|-|BC|=2a,即2a=2 3 -2. ∴a= 3 -1,∴a2=4-2 3 . ∴b2=c2-a2=2 3 . ∴所求双曲线方程为
∴P点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支.
x 2 y2 设P点的轨迹方程是 2 2 =1 . a b
则2a=2,∴a=1.
又2c=6,∴c=3.从而b2=c2-a2=8.
y2 ∴P点的轨迹方程是 x - =1(x≤-1). 8
2
9.(10分)如图，圆x2+y2=4与y轴的两个交点分别为A、B，以A、
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分）
1.(2010· 安徽高考）双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点为 (
2 ，0） 2 (C)（ 6 ，0） 2
)
高中数学选修2-1课时作业20：2.3.1 双曲线及其标准方程
2.3.1 双曲线及其标准方程即时达标对点练题组1 双曲线的标准方程1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( ) A ．3 2 B ．4 2 C ．3 3 D ．4 32．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( )A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 3．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－1)4．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 题组2 双曲线定义的应用5．已知F 1(－8，3)，F 2(2，3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线6．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或227．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2s －y 2t＝1(s ，t >0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －s B.12(m －s )C ．m 2－s 2 D.m －s题组3 与双曲线有关的轨迹问题8．已知动圆M 过定点B (－4，0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 24－y 212＝1(x >0)B.x 24－y 212＝1(x <0) C.x 24－y 212＝1 D.y 24－x 212＝1 9．△ABC 的一边的两个顶点B (－a ，0)，C (a ，0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．能力提升综合练1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.653 D ．－6532．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1 3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72D ．5 4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 5．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断： ①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆；②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4. 其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．6．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．7．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，求点P 到x 轴的距离．8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判别△MF 1F 2的形状．——★ 参 考 答 案 ★——即时达标对点练题组1 双曲线的标准方程1．[答案]D[解析]由双曲线x 210－y 22＝1可知， a ＝10，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2＝12.∴c ＝23，∴焦距为2c ＝4 3.2．[答案]C[解析]由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24.3．[答案]B[解析]依题意，应有m ＋1>0，即m >－1.4．[答案]A[解析]由双曲线定义知，2a ＝（2＋2）2＋32－（2－2）2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 题组2 双曲线定义的应用5．[答案]D[解析]F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．6．[答案]D[解析]依题意及双曲线定义知，|||PF 1|－|PF 2|＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D.7．[答案]A[解析]不妨设点P 是两曲线在第一象限内的交点， 由题意得⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2s ，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝m ＋s ，|PF 2|＝m －s ，则|PF 1|·|PF 2|＝(m ＋s )(m －s )＝m －s .题组3 与双曲线有关的轨迹问题8．[答案]C[解析]设动圆M 的半径为r ，依题意有|MB |＝r ，另设A (4，0)，则有|MA |＝r ±4，即|MA |－|MB |＝±4，亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB |，因此动点M 的轨迹为双曲线，且c ＝4，2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故轨迹方程是x 24－y 212＝1. 9．解：设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝y x ＋a ，k AC ＝y x －a. 由题意，得y x ＋a ·y x －a＝m ，即x 2a 2－y 2ma 2＝1(y ≠0)． 当m >0时，轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(两顶点除外)；当m <0且m ≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x 轴的两个交点)，其中当－1<m <0时，椭圆焦点在x 轴上；当m <－1时，椭圆的焦点在y 轴上；当m ＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆(除去与x 轴的两个交点)．能力提升综合练1．[答案]B[解析]原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标是(0，3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k＝9，∴k ＝－1. 2．[答案]D[解析]由于a >0，0<a 2<4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D.3．[答案]C[解析]如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当P 在M 处时，|P A |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.4．[答案]B[解析]由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 25－a 2＝1， 又由中点坐标公式可得P (5，4)，∴5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1. 5．[答案]②③④[解析]①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4; ③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0.∴1<t <52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0，t －1>0，∴t >4. 6．[答案]18[解析]由双曲线定义可知|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝4＋|AF 2|；|BF 1|＝2a ＋|BF 2|＝4＋|BF 2|， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AF 2|＋|BF 2|＝8＋|AB |＝13.△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝18.7．解：设点P 为(x 0，y 0)，而F 1(－5，0)，F 2(5，0)，即(－5－x 0)(5－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝0，整理，得x 20＋y 20＝25. ①∵P (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 209－y 2016＝1. ② 联立①②，得y 20＝25625，即|y 0|＝165. 因此点P 到x 轴的距离为165. 8．解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5， 故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， 则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设点M 在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，因为cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
2020-2021学年北师大版数学选修2-1作业课件：3.3 第24课时 双曲线及其标准方程(1)
4．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( C )
A. 22，0 B. 25，0
解C.析26：，将0双曲D线. 方3，程0化 为标准形式x2－y12＝1， 2
所以a2＝1，b2＝
1 2
，∴c＝
a2＋b2 ＝
6 2
，∴右焦点坐标为
( 26，0)．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双 曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5.若2a＝8，那么△ ABF2的周长是( D )
4<λ<16)，则161－8 λ－4＋4 λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．所以所
求双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤)
12．(12分)根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P(3，145)，Q(－136，5)； (2)c＝ 6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
A.2x52 －1y62 ＝1 B.2y52 －1x62 ＝1 C.x92－1y62 ＝1 D.1y62 －x92＝1
解析：因为2c＝10,2a＝8，所以c＝5，a＝4. 所以b2＝52－42＝9，且焦点在y轴上， 所以所求双曲线的标准方程为1y62 －x92＝1.
7．已知双曲线xa22－by22＝1的一个焦点为(－ 5，0)，a＝2b，则
第三章 圆锥曲线与方程
§3 双曲线 第24课时 双曲线及其标准方程(1)
课时作业基设础训计练（45分钟）
——作业目标—— 1.了解双曲线的定义、标准方程. 2.掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的a、b、c，能根据 条件确定双曲线的标准方程.
——基础巩固——
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程1课时作业北师大版选修
2.3.1 双曲线及其标准方程（1）一、选择题1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3解析：由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3.故选D.答案：D2．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 249＝1或y 225－x 249＝1 解析：因为b 2＝c 2－a 2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1. 答案：C3．[2014·福建宁德一模]已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A. 2B. 10C. 4D. 34解析：因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.答案：C4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.答案：B 二、填空题5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝__________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：166．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为__________．解析：由双曲线方程x 264－y 236＝1知，a ＝8，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝10.∵P 是双曲线上一点，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝16，又|PF 1|＝17，∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝33.又|PF 2|≥c －a ＝2，∴|PF 2|＝33. 答案：337．在△ABC 中，B (－6,0)，C (6,0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为94，则顶点A 的轨迹方程为__________．解析：设顶点A 的坐标为(x ，y )，根据题意，得y x ＋6·yx －6＝94，化简，得x 236－y281＝1(x ≠±6)．故填x 236－y 281＝1(x ≠±6)．答案：x 236－y 281＝1(x ≠±6)三、解答题8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－42)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2|| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋2＋94－2－－2＋94－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4142－942＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. (2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－42)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.9．已知曲线x 216－m －y 2m＝1.(1)当曲线是椭圆时，求实数m 的取值范围，并写出焦点坐标； (2)当曲线是双曲线时，求实数m 的取值范围，并写出焦点坐标． 解：(1)曲线为椭圆⇔⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0－m >016－m ≠－m⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <16m <0⇔m <0.即实数m 的取值范围是(－∞，0)．此时，椭圆的焦点在x 轴上，坐标为(±4,0)．(2)曲线为双曲线⇔(16－m )m >0⇔0<m <16.即实数m 的取值范围是(0,16)． 此时，双曲线的焦点在x 轴上，坐标为(±4,0)．。
高中北师大版数学选修2-1学案：3.3.1 双曲线及其标准方程 含答案
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由椭圆和双曲线的定义得 Error!解得 Error! ∴ |PF1|·|PF2|＝m－a，故选 A. (2)解：由题意知，a＝3，点 P 在双曲线上，由题意可得||PF1|－|PF2|| ＝2a＝6.∴ |10－|PF2||＝6，解之得|PF2|＝4，或|PF2|＝16. 【答案】 (1)A (2)见解析
【思路探究】 寻找动点 F 的几何等量关系式，由双曲线的定义 即得其轨迹方程．
【解】 设点 F(x，y)为轨迹上的任一点，因为 A，B 两点在以 C， F 为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|CA|＝2a′，|FB|＋|CB|＝2a′(其中 a′ 表示椭圆的长半轴长)，所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，所以|FA|－|FB|＝ |CB|－|CA|＝ 122＋92－ 122＋52＝2<|AB|，即|FA|－|FB|＝2.由双曲线 的定义知，点 F 在以 A，B 为焦点的双曲线的下支上，且 2a＝2，c＝
＝－2a(a>0)，因此得到，|MF1|－|MF2|＝±2a.这与椭圆的定义中 |MF1|＋|MF2|＝2a 是不同的．
2．双曲线的标准方程的几个注意点： (1)双曲线的方程是与选择的坐标系有关的，选择的坐标系不同， 则方程形式也不同，当且仅当以双曲线的两对称轴为坐标轴时的方程 才称为标准方程． (2)当焦点在 x 轴上时，方程中的含 x2 项的系数为正；焦点在 y 轴 上时，方程中的含 y2 项的系数为正．反之，可以根据标准方程中含 x2 项，含 y2 项的正负来判断双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上． (3)双曲线方程的 a，b 的大小关系是不确定的，可大、可小，也可 相等．但必有 c>a>0，c>b>0. (4)双曲线与椭圆的比较：
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第三章 3-1 双曲
3.1双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义思考如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？梳理(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的______等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.__________叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的______. (2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的______(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的______.(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是__________________.知识点二双曲线的标准方程思考1 双曲线的标准方程的推导过程是什么？思考2 双曲线中a ，b ，c 的关系如何？与椭圆中a ，b ，c 的关系有何不同？梳理 (1)两种形式的标准方程(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在______上；若y 2项的系数为正，那么焦点在______上. (3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0).(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b 2＝____________与椭圆中的b 2＝________相区别.类型一 双曲线的定义及应用命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题例1 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积. 引申探究本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积.反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式12PF F S △＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积.(2)方法二：利用公式12PF F S △＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积.特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系.跟踪训练1 如图所示，已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 为双曲线上一点，并且∠F 1MF 2＝θ，求△MF 1F 2的面积.命题角度2 利用双曲线定义求其标准方程例2 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A.|PF 1|－|PF 2|＝±3B.|PF 1|－|PF 2|＝±4C.|PF 1|－|PF 2|＝±5D.|PF 1|2－|PF 2|2＝±4(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________. 反思与感悟 双曲线定义的两种应用(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线.(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为①寻求动点M 与定点F 1，F 2 之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0).③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c .④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.跟踪训练2 下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线.类型二 待定系数法求双曲线的标准方程例3 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴. (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0).②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2).(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值. (4)结论：写出双曲线的标准方程.跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程. (1)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上；(2)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(3)与椭圆x 225＋y 25＝1共焦点且过点(32，2).类型三 双曲线定义的综合运用例4 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1有交点P ，且有公共的焦点，且∠F 1PF 2＝2α，求证：tan α＝nb .反思与感悟 (1)结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力.(2)双曲线与椭圆的比较如下表：利用双曲线与椭圆的关系，可类比椭圆得到双曲线的有关结论，或用类似方法解决双曲线的有关问题，以及双曲线与椭圆的综合问题.跟踪训练4 (1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程.(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P是椭圆C 上任意一点，设直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似特殊的性质，并加以证明.1.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.32.设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左，右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A.4 2 B.8 3 C.24 D.483.已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为______________.4.已知双曲线2x 2－y 2＝k (k ≠0)的焦距为6，则k 的值为________________.5.已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________.1.双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支.设F 1，F 2表示双曲线的左，右焦点， 若|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则点M 在右支上； 若|MF 2|－|MF 1|＝2a ，则点M 在左支上. (2)双曲线定义的双向运用：①若||MF 1|－|MF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)，则动点M 的轨迹为双曲线. ②若动点M 在双曲线上，则||MF 1|－|MF 2||＝2a .2.求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解.特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.提醒：完成作业第三章§3 3.1答案精析问题导学 知识点一思考 曲线上的点满足条件：|MF 1|－|MF 2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF 2|－|MF 1|＝常数，可得到另一条曲线.梳理 (1)绝对值 这两个定点 焦距 (2)两条射线 (3)一支 (4)线段F 1F 2的中垂线 知识点二思考1 (1)建系：以直线F 1F 2为x 轴，F 1F 2的中点为原点建立平面直角坐标系. (2)设点：设M (x ，y )是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0). (3)列式：由|MF 1|－|MF 2|＝±2a ， 可得(x ＋c )2＋y 2－(x －c )2＋y 2＝±2a .①(4)化简：移项，平方后可得(c 2－a 2)x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2). 令c 2－a 2＝b 2，得双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).②(5)检验：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x ，y )为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程.(此步骤可省略)思考2 双曲线标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，即c 2＝a 2＋b 2，其中c >a ，c >b ，a 与b 的大小关系不确定；而在椭圆中b 2＝a 2－c 2，即a 2＝b 2＋c 2，其中a >b >0，a >c ，c 与b 的大小关系不确定.梳理 (1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) a 2＋b 2＝c 2(2)x 轴 y 轴 (4)c 2－a 2 a 2－c 2 题型探究例1 解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 引申探究解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ①在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝100， ②将②代入①得|PF 1|·|PF 2|＝32， 所以12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝16.跟踪训练1 解 在△MF 1F 2中，由余弦定理， 得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|·cos θ. ①∵|F 1F 2|2＝4c 2，|MF 1|2＋|MF 2|2 ＝(|MF 1|－|MF 2|)2＋2|MF 1|·|MF 2| ＝4a 2＋2|MF 1|·|MF 2|，∴①式化为4c 2＝4a 2＋2|MF 1|·|MF 2|·(1－cos θ)， ∴|MF 1|·|MF 2|＝2b 21－cos θ，∴S △MF 1F 2＝12|MF 1|·|MF 2|·sin θ＝b 2sin θ1－cos θ＝b 2·2sin θ2·cosθ21－(1－2sin 2θ2)＝b 2tanθ2.例2 (1)A (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)跟踪训练2 ②④例3 解 (1)设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)方法一 设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意易求得c ＝2 5. 又双曲线过点(32，2)， ∴(32)2a 2－4b 2＝1.又∵a 2＋b 2＝(25)2， ∴a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.跟踪训练3 解 (1)设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2. 由题意知25a 2－4b 2＝1，∴25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍).∴b 2＝1.∴双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵P (3，154)，Q (－163，5)均在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116，n ＝19.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(3)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点坐标为(25，0)，(－25，0).依题意，则所求双曲线焦点在x 轴上，可以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝20.又∵双曲线过点(32，2)， ∴18a 2－2b2＝1. ∴a 2＝20－210，b 2＝210.∴所求双曲线的标准方程为x 220－210－y 2210＝1.例4 证明 如图所示，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，对于双曲线有|r 2－r 1|＝2m ，∴cos 2α＝r 21＋r 22－(2c )22r 1r 2＝(r 1－r 2)2－4c 2＋2r 1r 22r 1r 2＝4m 2－4c 2＋2r 1r 22r 1r 2＝－2n 2r 1r 2＋1， ∴1－cos 2α＝2n 2r 1r 2.∴sin α＝n r 1r 2. 则在△PF 1F 2中，对于椭圆有r 1＋r 2＝2a ，cos 2α＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－4c 2－2r 1r 22r 1r 2＝4b 2－2r 1r 22r 1r 2＝2b 2r 1r 2－1， ∴1＋cos 2α＝2b 2r 1r 2，∴cos α＝b r 1r 2， ∴tan α＝n b. 跟踪训练4 (1)解 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)， 故可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 故双曲线的方程为y 24－x 25＝1. (2)解 类似的性质如下： 若M ，N 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，设直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.其证明过程如下：设P (x ，y )，M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2＝b 2a 2(m 2－a 2). ∴k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋n x ＋m. 又x 2a 2－y 2b 2＝1，即y 2＝b 2a 2(x 2－a 2)， ∴y 2－n 2＝b 2a 2(x 2－m 2). ∴k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2. 故k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值. 当堂训练1.B2.C3.x 24－y 212＝14.－6或65.343。
北师大版选修21高中数学3.3.1双曲线及其标准方程word导学案
课 题 3.3.1 双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．4.双曲线介于椭圆与抛物线之间，承上启下；可以结合实例，观察分析，培养“应用数学意识”，进一步巩固数形结合思想．学习重点：掌握双曲线的标准方程，会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题。
学习难点：几何图形和标准方程的推导过程.学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。
学习过程一、课前预习指导：1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做， 叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程问题探究一 双曲线的定义1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M ，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a<|F1F2|?问题探究二 双曲线的标准方程1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？2 怎样才能建立双曲线的标准方程，两种形式的标准方程怎样进行区别？例1、 设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，求P 点的轨迹方程。
学后检测1：文科：1---1书P40页1题 理科2—1书P80页1题 例2、 相距2km 的两个哨所A,B 听到远处传来的炮弹爆炸声，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所迟4s 。
已知当时的声速为340m/s ，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程。
学后检测2 求焦点在坐标轴上，且经过P1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325和P2⎝ ⎛⎭⎪⎫437，4两点的双曲线的标准方程．三、当堂检测：1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的 ( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为 ( ) A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 3．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆4．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则k 的值是 ( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－125．经过点(－1,2)和(2，－5)的双曲线的方程是 ( )A.y 23－7x 23＝1B.x 23－7y 23＝1或7x 23－y 23＝1 C.7x 23－y 23＝1 D.x 23－7y 23＝1 6．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是 ( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上四、课堂小结 五、课后作业 六．板书设计 七．教（学）后反思。
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第三章 §3 课时作业28
一、选择题
1．双曲线x 210－y 2
2＝1的焦距为( )
A ．3 2
B ．4 2
C ．3 3
D ．4 3
解析：由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3.故选D.
答案：D
2．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A ．x 225－y 2
24
＝1
B ．y 225－x 2
24
＝1
C ．x 225－y 224＝1或y 225－x 2
24
＝1
D ．x 225－y 249＝1或y 225－x 2
49
＝1
解析：因为b 2＝c 2－a 2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 2
24
＝1.
答案：C
3．[2014·福建宁德一模]已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a>0)与双曲线x 24－y 2
3＝1有相同
的焦点，则a 的值为( )
A ． 2
B ．10
C ．4
D ．34
解析：因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a>0)与双曲线x 24－y 2
3＝1有相同的焦点(±7，0)，
则有a 2－9＝7，∴a ＝4.选C.
答案：C
4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双
曲线上，线段PF
1
的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A．x2
4
－y2＝1 B．x2－
y2
4
＝1
C．x2
2
－
y2
3
＝1 D．
x2
3
－
y2
2
＝1
解析：设双曲线方程为x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)，因为c＝5，c2＝a2＋b2，所
以b2＝5－a2，所以x2
a2
－
y2
5－a2
＝1.由于线段PF
1
的中点坐标为(0,2)，则P点的坐
标为(5，4)．代入双曲线方程得5
a2
－
16
5－a2
＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所
以双曲线方程为x2－y2
4
＝1.故选B.
答案：B 二、填空题
5．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2
m
－
x2
9
＝1的一个焦点，则m＝
__________.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线y2
m
－
x2
9
＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，
且m＋9＝52，解得m＝16.
答案：16
6．已知P是双曲线x2
64
－
y2
36
＝1上一点，F
1
，F
2
是双曲线的两个焦点，若|PF
1
|
＝17，则|PF
2
|的值为__________．
解析：由双曲线方程x2
64
－
y2
36
＝1知，a＝8，b＝6，则c＝a2＋b2＝10.
∵P是双曲线上一点，∴||PF
1|－|PF
2
||＝2a＝16，又|PF
1
|＝17，∴|PF
2
|＝
1或|PF
2
|＝33.
又|PF
2|≥c－a＝2，∴|PF
2
|＝33.
答案：33
7．在△ABC中，B(－6,0)，C(6,0)，直线AB，AC的斜率乘积为9
4
，则顶点A
的轨迹方程为__________．
解析：设顶点A 的坐标为(x ，y)，根据题意，得y x ＋6·y x －6＝94，化简，得
x 2
36－y 281＝1(x ≠±6)．故填x 236－y 2
81
＝1(x ≠±6)． 答案：x 236－y 2
81＝1(x ≠±6)
三、解答题
8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，9
4)；
(2)过点P 1(3，－42)，P 2(9
4
，5)．
解：(1)因为椭圆x 225＋y 2
9＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双
曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．
由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2|| ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪(5＋5)2
＋(94
－0)2
－
(5－5)2
＋(94－0)2
＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
(41
4
)2－(94)2＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝9.
故所求双曲线的标准方程为x 216－y 2
9
＝1.
(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB<0)，分别将点P 1(3，－42)，P 2(9
4，
5)代入，得
⎩⎨⎧
9A ＋32B ＝1
8116
A ＋25
B ＝1，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
A ＝－1
9B ＝116
，故所求双曲线的标准方程为y 2
16
－
x 2
9
＝1.。