§2.1 从阿基里斯追赶乌龟谈起-数列极限

,
注意:
(1) 数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1, x2, ..., xn, ...
x3
x1
x 2 x4
xn
(2) 数列是整标函数 an= f(n)
1.2
数列极限的定性描述
割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体而无所 失矣”. ——刘徽
例3 证明 lim q 0,其中|q|<1.
n n
[证] 任给 >0 n 若q=0, 则 lim q lim 0 0 n n 若 0<|q|<1, |an0| | q n | < nln|q|<ln n ln ln | q | 取 N [ ln ],则当n>N时, ln | q | n 就有 | q 0 | 即 lim q n 0
例2 设anC (C为常数),证明 lim an C
n
[证] 任给 >0, 对于一切自然数n, |anC|=|CC| =0 < 成立 所以, lim an C
n
说明: 常数列的极限等于同一常数
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任
意给定 >0,寻找N, 但不必要求最小的N
给定 1
有 |an1|< 成立.
定义2: 如果对于任意给定的正数 (不论
它多么小), 总存在正数N,使得对于 n>N 时的一切 an, 不等式 |ana|< 都成立,那么 就称常数 a 是数列 an 的极限,或者称数列 An 收敛于 a, 记为
lim an a 或 ana (n) n
n
二、设数列xn有界,又 lim yn 0
n
证明: limxn yn 0
n
§2.1
从阿基里斯追赶乌龟谈起 ——数列极限
1.1
数列的概念
以正整数为自变量的函数 y=f (n), 当自变量 n 依次取 1，2，3，… 时，所得到的一列函数值
a1 =f (1) , a2 =f (2) ,… ， an =f (n), …,
称为无穷数列，简称数列.
an 称为通项(一般项), 该数列记为 {an}
a N 1
2
a
aN 2
a
a3
a
当 n>N 时, 所有的点 an 都落在 (a, a+) 内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.
注: 数列极限的定义未给出求极限的方法 n 1 n ( 1) 1 例1 证明 lim n n n 1 n ( 1) 1 |an1| 1 [证] n n 任给 >0, 要|an1|< , 只要 1 n 1 n 所以,取 N [ 1 ] ,则当n>N时, 就有 n 1 n 1 n ( 1) n ( 1) 1 即 lim 1 n n n
n
五、小结
数列:研究其变化规律 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义 用-N定义证明 lim xn a 的步骤：
n
1. 给定任意正数 2. 由|ana|<寻找正整数N
3. 按照定义的模式写出结论
练习题 一、利用数列极限的定义证明:
3n 1 3 1. lim n 2n 1 2 2. lim0.9999 1
( 1) 观察数列{1 n
n1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n Nhomakorabean1}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n1
}当n时的变化趋势
定义1 如果n无限增大时，数列{an}的 通项 an无限趋近于常数 a, 则称该数列以 a为极限，也称该数列收敛.
记作 lim a n a 或 ana (n)
n
如果n时, an不以任何常数为极 限, 则称数列 {an} 发散.
数列的收敛或发散的性质称为数列的敛散性.
1.3
数列极限的定量描述
n=4
n=6
n=8
n=10
n=12
n=16
n=20
n=24
n=28
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
...... 正 62n1 的面积 An A1, A2, A3, ..., An, ... S
R
数列的极限
( 1) n1 当n时的变化趋势 观察数列 {1 } n
注意:
(1) 不等式 |ana|< 刻划了an与a的无限接近; (2) N与任意给定的正数有关.
定义2也称为 N定义，即 lim an a n
>0, N>0, 使 n>N 时,恒有|ana|< . 其中:每一个或任给的 :至少有一个或存在
几何解释:
a
a2 a1
例如, 2, 4, 8, ... , 2n, ...
1 , 1 , 1 ,, 1 , n 2 4 8 2
{2n}
1 n 2
1, 1, 1, ... , (1)n+1, ...
1 4 n (1) 2, , , , 2 3 n
n1
{(1)n+1}
n ( 1 )n 1 n
( 1) 观察数列{1 n
n1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n1
}当n时的变化趋势
( 1) 观察数列{1 n
n1
}当n时的变化趋势
问题: 当n无限增大时, xn是否无限接近
于某一确定的数值? 如果是,如何 确定?
通过上面演示实验的观察: n 1 ( 1) 当n无限增大时, a n 1 n 无限接近于1.
( 1) a n {1 n
n 1
}
问题: “无限接近”意味着什么? 如何用数 学语言刻划它?
( 1)n1 1 ∵ |an1|= n n
1 1 , 只要n>100时, ,由 100 n 100 1 . 有 | an 1 | 100 1 , 只要n>1000时, 有 | a 1 | 1 . 给定 n 1000 1000 1 , 只要n>10000时, 给定 10000 1 . 有 | an 1 | 10000 给定 >0 ,只要n>N时, (可取N [ 1 ])