广东省饶平二中数学高考一轮复习：平面向量1

平面向量的概念及基本运算
一、知识归纳
1、基本概念
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2、加法与减法的代数运算
(1)12231_________n n A A A A A A -+++=u u u u r
u u u u u r
u u u u u u r
L ．
(2)若a r =（11,y x ）,b r =（22,y x ）则a b ±=r r
______________．
(3)向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量
AC u u u r =__________,BD u u u r =___________,DB u u u r
=__________
性质：︱︱－︱︱≤︱±︱≤︱︱+︱︱． 向量加法有如下规律：a ＋b =b ＋a (交换律);
+(+c r )=(+ )+c r
（结合律）;
(4) 其它：+0r = ＋(－)=0r
.
3、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量。

(1)︱λa ︱=︱λ︱·︱a ︱;
(2) 当λ＞0时，λ与的方向_______；当λ＜0时，λ与的方向_____；当λ=0
时，λ=___．
(3)若a =（11,y x ），则λ·a =__________ (4)两个向量共线的充要条件：
①向量b r 与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b r
=λ．
② 若a =（11,y x ）,b r =（22,y x ）则a ∥b r
_____________⇔．
4、平面向量基本定理：
若1e u r ，2e u u r
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有
一对实数1λ，2λ，使得__________________
二、学习要点
1、理解有关向量的概念，掌握向量加减法作图。

2、掌握实数与向量的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件
3、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌
握平面向量的坐标运算。

4、培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。

三、例题分析
例1、已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC u u u r
为
（ ）
A. 4233a b +r r
B. 2433a b +r r
C. 2233a b -r r
D. 2233
a b -+r r
例2、已知,,AB a BC b CA c ===u u u r r u u u r r u u u r r ,则0a b c ++=r r r r
是,,A B C 三点构成三角形的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
例3、(1,1),(1,1),(1,2),a b c c ==-=-=r r r r
则 （ ）
A.132
2a b -+r r B. 1322a b -r r C. 3122a b -r r D. 3122a b -+r r
例4．已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r
，求x.
例5．ABCD 是梯形，//AB CD 且2AB CD =，,M N 分别是DC 和AB 的中点，设
,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ，试用,a b r r 表示BC u u u r 和MN u u u u r
例6、平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点。

求证：4PA PB PC PD PO +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
例7在水流速度为/h 的河中，如果要使船的速度行驶方向与两岸垂直，并使船速达
到12/km h ，求船的航行速度与方向。

四、练习
一、选择题
1．下面给出四个命题：①对于实数m 和向量,a b r r
，恒有()
m a b ma mb -=-r r r r
②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r
③若(,0),ma mb m R m a b =∈≠=r r r r 则
④若ma na =r r
，则m n =其中正确的命题个数是
（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
2．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r
，则必有 ( ) A. 0AD =u u u r r B. 00AB AD ==u u u r r u u u r r
或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形
3．已知8,5AB AC ==u u u r u u u r
，则BC 的取值范围是 （ ）
A. [3，8]
B. （3，8）
C. [3，13]
D. （3，13）
4.已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==r r 且//a b r r
,则tan α= （ ） A ．
34 B. 34- C. 43 D. 43
- 5．下列命题中，正确的是（ ）
A. 若a b =r r
，则a b =r r B. 若a b =r r ，则//a b r r B. C. 若a b >r r ，则a b >r r D. 若1a =r
，则1a =r
6．下列说法中错误的是（ ）
A.向量AB u u u r 的长度与向量BA u u u r
的长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动
C.单位向量一定相等；
D.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同. 7.若三点(1,1),(2,4),(,9)P A B x --共线，则x = （ ） A. 1- B. 3 C.
9
2
D. 51
8.设向量(1,3),(2,4),(1,2)a b c =-=-=--r r r ，若表示向量4,42,2(),a b c a c d --r r r r r u r
的有向线
段首尾相接能构成四边形，则向量d u r
为（ ）
A 、（2，6）；
B 、（-2，6）；
C 、（2，-6）；
D 、（-2，-6） 9.,()M ABC MA MB MC →
→
→
∆++=
是的重心
→
→
→
→
-MD D C ME
B ME
A 6.0
.6.6.
10、已知向量(2,3),(1,2)a b ==-r r ，若,2ma nb a b +-r r r r 共线，则m
n
等于（ ）
A 、12-
B 、2
C 、1
2
D 、2-
二、填空题
11.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r
，且A 、B 、C 三点共线，则k=
12、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(，则向量OC 的坐标是 ， 13.已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且//a b ，则x 为_____________．
14．,,D E F 分别是ABC ∆的边,,BC CA AB 的中点，且,,BC a CA b ==u u u r r u u u r r
给出下列命题
①12AD a b =--u u u r r r ②12BE a b =+u u u r r r ③ 1122
CF a b =-+u u u r r r
④0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r
其中正确的序号是_________。

15．若112()(3)032
x a b c x b --+-+=r r r r r r r
，则x =r __________。

16．已知12,e e u r u u r 不共线，1212,a ke e b e ke =+=+r u r u u r r u r u u r
，当k =______时，,a b r r 共线。

三、解答题
17．如图，OADB 是以向量,OA a OB b ==u u u r r u u u r r 为边的平行四边形，又11
,33
BM BC CN CD ==，
试用,a b r r 表示,,OM ON MN u u u u r u u u r u u u u r。

18、已知点A （2，3），B （5，4），C （7，10），若(),AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r
当λ为何值时，
（1） P 在第一、三象限的角平分线上？ （2） P 在第四象限内？
19.1.
O A B C OC OA OB R A B C -→-→-→
=++=∈已知平面上四点、、、，αβ，且αβ，α、β，求证：、、三点共线
20.25M l A B C l MA a MB b MC c k a k b c o C BA k -→→-→→-→→→→→→
-→
∉∈===-+=已知，、、，，，，若存在实数，使，
求分成的比λ的值及的值。

21.,,,(,,)(1):;3
(2),(,),.4
445
A B O A O B OA OB OA OB xOA xOB OA OB xOB π
ππ
→
→
→
→
→
→
+-∠=
∠∈-
⋅=∠设为单位圆上两点为坐标原点不共线求证与垂直当且时求的正弦值
平面向量的概念及基本运算参考答案
例1、B 例2、B 例3、B
例4、4 512BC b a =-u u u r r r ，14
MN a b =-u u u u r r
r
例6、证：∵ O 为平行四边形ABCD 对角线AC 与BD 的交点，
∴ O 为AC 及BD 的中点．
11(),()22
PO PA PC PO PB PD ∴=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
12()2
PO PA PB PC PD ∴=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
4PO PA PB PC PD ∴=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
例7、沿水流方向且与河岸夹角为60o
的方向行驶，速度为/h
练习：一、选择题：1—10、CCCAB CBDCA 二、填空题
11、k =23- 12、)2,1(-， 13、4 14、①②③④ 15、4112177
a b c -+r r r
；16、1±
三、解答题：17、1566OM a b =+u u u u r r r ，2()3ON a b =+u u u r r r ，1126
MN a b =-u u u u r r
r
18、解：设P 为(,)x y ，则
Q (),AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r (2,3)(52,43)(72,103)(35,17)x y λλλ∴--=--+--=++ 55,47x y λλ∴=+=+
（1）12
y x λ=∴=
Q
（2）若在第四象限内，则0x >，0y <417
λ∴-<<-
19证明： 1oc OA OB AC CB αβαβαβ⎫=+⎪
⇒=⎬+=⎪⎭
u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r
()()()
//,,OC AC OB
OC OA OB OC AC CB AC CB A B C αβαβαβαβ⇒+=+⇒-=-⇒=∴∴u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r
三点共线
20解：
()1111122555
1(1)15
12(2)151213
5516
MB MA C BA BC CA MC MB MA MC MC c a b
k a k b c o c a b
a b
k k
k λλλλλ
λ
λλ
λ
λλλ-→-→
-→-→-→-→-→-→-→
-→
→
→→
→
→
→
→
→
→→
→
→
+⇒=⇒-=-⇒=
+=+++-+=⇒
=-+≠⎧=-⎪⎪+∴⎨
⎪=⎪+⎩+⇒=-+⇒=⇒
=-
L L 分成的比为即
又显然①②代入②
2
22
221.:(1)||||1,1()()0()()(2),(,)44
(cos
,sin ),(cos ,sin )
4
4
OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB xOB OA OB ππ
ββπ
π
ββ→→
→
→
→→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→
==∴==∴+-=-=⋅∴+⊥-∠=∈-==Q 解设则故
33
,cos cos sin sin 54453
cos()45
(,),(,0)44424
sin()45
OA OB ππββπβππππ
ββπβ→
→
⋅=∴+=
∴-=
∈-
∴-∈--=-
Q
Q sin sin[()]sin()cos cos()sin
444444
sin 1010
xOB ππππππ
ββββ=-+=-+-=-∠=-。