理论力学课件

理论力学Theoretical Mechanics第四章点的运动学及刚体的简单运动§4-1 描述点的运动的方法§4-2 刚体的平动§4-3 刚体绕定轴的转动点(point),刚体(rigid body)运动学的模型及其运动形式•运动形式A.直线运动(rectilinear motion)B.曲线运动(curvilinear motion)•模型(1)点的运动形式(2) 刚体的运动形式A.平动(translation)•直线平动、曲线平动B.定轴转动(fixed-axis rotation)C.平面运动(planar motion)D.定点运动(rotation around a fixed point)E.一般运动(general motion)•参考系根据运动的相对性，研究物体的运动，必须选取另一个物体作为参考，这一物体称为参考体(reference body)与参考体固连的坐标系称为参考系(reference system)。

参考体总是一个大小有限的物体，而参考系则应理解为与参考体固连的整个坐标空间。

例如，若以地球作为参考体，研究行星的运动，对于所研究的行星而言，地球是遥远而不可及的，但是与地球固连的参考系却可以延伸到所研究的行星处。

地心参考系中金星的运动轨迹日心参考系中行星的运动轨迹选取适当的参考系,可使描述运动的形式简单§4-1 描述点的运动的方法点(point)的运动主要有直线运动（rectilinear motion）曲线运动（curvilinear motion）平面曲线空间曲线北京交通大学力学系刘颖♣曲线运动——最一般的情形为三维变速曲线运动§4-1 描述点的运动的方法§4-1 描述点的运动的方法♣曲线运动——最一般的情形为三维变速曲线运动§4-1 描述点的运动的方法rr r v ===→tΔt ΔΔt d d lim 0r r v v a ====→220d d d d lim t t Δt ΔΔt 一矢量法)(t r r =1.运动方程显然矢端曲线就是动点的运动轨迹2.点的速度3.加速度§4-1 描述点的运动的方法1.运动方程如果取矢径的原点与直角坐标系的原点重合，则有如下关系kj i r z y x ++=二直角坐标法直角坐标表示的点的运动方程为)( )( )(321t f z t f y t f x ===——点的轨迹的参数方程2.点的速度k j i r v tz t y t x t d d d d d d d d ++==x y z v v v =++v i j k§4-1 描述点的运动的方法3. 加速度k j i k j i k j i v a z y x z y x a a a tz t y t x t v t v t v t++=++=++==222222d d d d d d d d d d d d d d zy x a a a a 222++=aa a a a a z y x ===),cos( ),cos( ),cos(k a j a i a d d d d d d x y z x y z v v v t t t===2z 2y 2x v v v v ++=v v x =),cos(i v vv y =),cos(j v v v z =),cos(k v 大小和方向为§4-1 描述点的运动的方法一人在路灯下由灯柱起以匀速v 沿直线背离灯柱行走。

设人高AB=l，灯高OL=h，试求头顶影子M 的速度和加速度。

v t xhOABlxM§4-1 描述点的运动的方法解：取坐标轴Ox 如图。

由三角形相似关系，有即从而求得M 点的直线运动方程M 点的速度而加速度a = 0 ，即M 点作匀速运动。

AB BM OL OM =l vt x h x −=vt lh h x −=v lh h t x v −==d d v tx h O AB lx M §4-1 描述点的运动的方法椭圆规的曲柄OA 可绕定轴O 转动，端点A 以铰链连接于规尺BC ；规尺上的点B 和C 可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺上任一点P 的轨迹方程。

ACB yO x P x yϕϕ已知:.2b CP a AB AC OA ====§4-1 描述点的运动的方法ACB yO x P x yϕϕϕϕ sin cos )(b y b a x −=+=1)(2222=++b y b a x 考虑任意位置，P 点的坐标x ，y 可以表示成消去上式中的角φ，即得P 点的轨迹方程:解:§4-1 描述点的运动的方法在上例的椭圆规尺BC 上固连一个半径是a /2的圆盘，圆心重合于A 。

求圆盘边缘上任一点M 的运动方程和轨迹方程，已知角φ=ωt ,其中ω是常量。

yxA BC O Mα2ϕξ§4-1 描述点的运动的方法§4-1 描述点的运动的方法θθϕϕθϕcos )cos()2cos(cos −=−+=a AM OA x θθϕϕθϕsin )cos()2sin(sin −=−+=a AM OA y 取固定坐标系Oxy ，令∠MAC =2θ,则M 点在Oxy 中的坐标为解:将φ= ωt 代入上式即可得到圆盘边缘上任一点M 的运动方程。

另外，由上式可以看出，两个坐标x ，y 成正比，即常量==θtan :x y 故M 点的轨迹是斜率为tan θ并通过坐标原点的直线，上式即为其轨迹方程。

y xA BCOM ϕξ2θ§4-1 描述点的运动的方法xyOACBlϕ曲柄连杆机构中曲柄OA 和连杆AB 的长度分别为r 和l 。

且l>r ，角ϕ=ωt ，其中ω是常量。

滑块B 可沿轴Ox 作往复运动，试求滑块B 的运动方程，速度和加速度。

§4-1 描述点的运动的方法§4-1 描述点的运动的方法ϕϕ sin cos 222r l r CB OC x −+=+=.sin 1 cos 22t l r l t r x ωω⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=考虑滑块B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标将φ=ωt 代入上式得令λ= r /l ，将上式的根式展开，有xyOACBlϕtt t sin 81 sin 211 sin 1442222ωλωλωλ−−=−解:§4-1 描述点的运动的方法⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=t t r l x ωλωλ2 cos 4 cos 412,2sin 2sin d d ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−==t t r t x v ωλωω().2coscos d d 222t t r tx a ωλωω+−==略去λ4以及更高阶项，并利用关系滑块B 的速度和加速度为xyOACBlϕ2t2 cos 1 sin 2ωω−=t tl r lt r x ωω sin1 cos 22⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=则可表示为§4-1 描述点的运动的方法§3 自然法以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置的方法叫自然法。

该方法适用于动点的轨迹为已知的情况。

1.弧坐标弧坐标表示的运动方程为S = f (t)选定轨迹上的一点O 为参考点，并设O 点的某一侧为正向，动点M 在轨迹上的位置由弧长s 确定, s 称为动点M 在轨迹上的弧坐标。

§4-1 描述点的运动的方法2.自然轴系nτb ×=以点M 为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M 的自然坐标系。

§4-1 描述点的运动的方法3.点的速度ττr rr r v ⋅=⋅=⋅=ΔΔ⋅ΔΔ=ΔΔ⋅ΔΔ=ΔΔ=→Δ→Δ→Δ→Δv tS S t S S t S tSS t t t t t d d d d d d lim lim )(lim lim 0000经过Δt 时间,点沿轨迹由M 到M’，矢径有增量，则r Δ§4-1 描述点的运动的方法t v t S t v t v )(v t t d d d d d d d d d d d d 22τττττv a ⋅+⋅=⋅+⋅===ττa ⋅==22t d d d d tS t v (1)切向加速度（表示速度大小的变化）4.点的加速度(2)法向加速度（表示速度方向的变化）§4-1 描述点的运动的方法2n , v ρ=a n ρ为轨迹曲线在点M 处的曲率半径2t n d d v v tρ=+=+a a a τnnt 2n2t||arctg,a a a a a =+=α全加速度飞机在铅直面内从位置M 0处以s =250t +5t 2规律沿半径r =1500 m 的圆弧作机动飞行（如图），其中s 以m 计，t 以s 计，当t =5s 时，试求飞机在轨迹上的位置M 及其速度和加速度。

OMr§4-1 描述点的运动的方法OM 0Mr(-)s(+)v 0va t a na解：因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用自然法求解。

取M 0为弧坐标s 的原点，s 的正负方向如图所示。

当t = 5 s 时，飞机的位置M 可由弧坐标确定375 152502=+=t t s 先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度,10250d d t ts v +==,10d d t ==tv a 22n )10250(15001t va +==ρ§4-1 描述点的运动的方法故在这瞬时飞机的总加速度a 的大小和方向为s m 8.602n2t 2－⋅=+=aa a 166.0 tan nt==a a θ5.9=θOM 0Mr(-)s(+)v 0va t a naθ代入t = 5s2sm 300－⋅=v ,s m 102t －⋅=a 2n s m 60－⋅=a 得§4-1 描述点的运动的方法销钉B 可沿半径等于R 的固定圆弧滑道DE 和摆杆的直槽中滑动，OA =R =0.1 m 。

已知摆杆的转角（时间以s 计，φ以rad 计），试求销钉在t 1=1/4 s 和t 2=1 s 时的加速度。

t π2sin 8π=ϕROωφREDBCsO 'Aθ-s +s§4-1 描述点的运动的方法已知销钉B 的轨迹是圆弧DE ，中心在A 点，半径是R 。

选滑道上O '点作为弧坐标的原点，并以O 'D 为正向。

则B 点在任一瞬时的弧坐标θR s =但是，由几何关系知，且，将其代入上式，得t π2sin 8π=ϕϕθ2=π2sin 40π2t R s ==ϕ这就是B 点的自然形式的运动方程。

解：ROωφREDBsO 'Aθ-s +s§4-1 描述点的运动的方法ROωφREDB C sO 'Aθ-s+sB 点的速度在切向上的投影2t π2cos 20πd d t t s v ==v t B 点的加速度a 在切向的投影π2sin 10πd d 3t t t t v a −==而在法向的投影π2cos 40π1.0π2cos 20π24222nt t v a =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==ρa t a n§4-1 描述点的运动的方法当时,,，又, ,可见, 这时B 点的加速度大小23t11m/s 10π==a a 且a 1沿切线的负向。