一类离心轮系统的混沌数学模型及其线性反馈控制
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1 一类离心轮系统 的非线性模型
离心轮的控制 系统 如图 1 所示, 电机以角速 度 驱动飞轮旋转。飞轮 通过齿轮箱与轴连 接在 一起, 所以, 轴的角速度 也为 。杆 1、2、3、4 的一 端分 别连 接在 轴的 两
图 1 系统结构图
端, 它们的另一端各连着一个质量为 m 的球。一个刚
度系数为 k 的线性弹簧套在轴的上半部。下面的水汽
No rt h West Ag ricult ur e and Fo rest ry Universit y, Yangling, Shaanx i, 712100 Abstract: T hrough the analysis o f a class of cent rif ug al f lyw heel sy st em, t his paper gave its mat hemat ical model. By analy sing its co mplex dy namics, such as Ly apunov ex ponent spectr um, bif ur cat io n diagram, Poincar diagram, t ime - do main w avefor m diagr am and t he spect ro gram, a chaot ic m athemat ical m odel w as est ablished t o describe t he dy namic process. T hen, t he cont rol of t he cent rif ug al f lyw heel sy st em can be convert ed int o chaot ic sy st em cont rol. It co nt rol led the chao t ic syst em s of t he cent rif ugal f lyw heel syst em by t he adapt ive co nt rol method, and it achiev ed t he g oal thro ug h t he simulation of MA T L AB. T he results show t hat chaot ic system can be cont ro lled w ell by adapt ive cont rol, and t he sy st em can co me to a st eady st at e. T he cont rol met hod can g reat ly im prov ed dynamic perf orm ance and ant i- dist urbance capacit y of t he sy st em . Key words: cent rif ug al f lyw heel; chaot ic syst em ; linear f eedback cont rol; chaos co nt ro l
要使混沌系统稳定于不平衡点, 就必须使误
差系统的最大 L yapunov 指数小于零, 亦即所有的 Ly apuno v 指数小于零:
D ( y) < 0
令 K = K 1 , K 2 , , K n , 设 max = m ax( 1 , 2 ,
, n ) , 则当控制参数 K > max 时, 采用线性反馈
敛到 0, 系统的所有轨迹最终会被限制在一个体 积为零的极限子集上, 这说明轨迹中存在混沌吸 引子。
2. 2. 2 L yapunov 指数谱和分岔图 当控制参 数 q 在[ 0, 5] 变 化, d = 0 08, e =
0 5, p = 0 01, F = 1 942, a = 0 4, b = 0 3, z = 1
时, 式( 2) 系统的 Lyapunov 指数谱、分岔图如图 3
所示。
我们知道 通过 L yapuno v 指 数谱、分 岔图可
以直观地反映出非线性动力学系统随参数变化的
动态特性, 当有一个 Ly apunov 指数大于 0 时, 系 统处于混沌状态。由图 3a 可见, 随着参数 q 的变 化, 系统的最大 L yapunov 指数谱是从 0 变化到 大于 0, 亦即系统是先出现周期运动, 然后变化为
混沌运动; 分岔图( 图 3b) 也证实, 式( 2) 系统是从
周期运动走向混沌态的。
上述分 析表明, 式( 2) 系统确实是一种混沌
系统。
2. 2. 3 系统的其他性质
Poincar 映射是一种经典的分析动力系统的 技术, 可以通过观察 P oincar 截面上截点的情况
( b) 分岔图 图 3 式( 2) 系统的 Lyapunov 指数谱和分岔图
控制方法可以控制混沌系统稳定于不稳定鞍点。
3. 2 受控系统的数学模型 式( 2) 系统加上控制器后的数学模型为
dx dt
=
y + K 1 u1
dy dt
=
d z 2 cos x +
( e+
p z 2 ) sin x co s x -
( 8)
sinx - by + K 2 u2
dz dt
=
qcos x - F - asin
形分别如图 5a、图 5b、图 5c 所示。 从图 5 中可以看出, 受控后系统渐进稳定并
趋于平衡点 0, 系统动态稳定时间在 x 、y 、z 三坐
标上分别为 6s、5s 和 7s。 3. 3. 2 第二种取值情况下系统受控仿真
当系统参数依次取 d = 0 08, e = 0 5, p =
0 01, F = 1. 942, a = 0. 4, b = 0. 2, z = 1 时, 得
图 2 三维相图
2. 2 混沌现象基本特性分析 2. 2. 1 耗散性
产生混沌 的必要条件是系 统具有耗 散性结
构, 式( 2) 系统梯度函数为
源自文库V=
(
dx/ dt) x
+
(
dy/ y
d t)
+
( dz / dt) z
=-
0. 3 <
0
( 3)
说明式( 2) 系统具有耗散性结构, 当 t
时, 包含轨迹的每个体积元以指数速 率- 0 3 收
t + K 3u3
u1 = x - x 0
u2 = y - y 0
( 9)
u3 = z - z 0 式中, K 1 u1 、K 2 u2 、K 3 u3 为线 性反 馈 控制 输入, 其中 K 1 、 K 2 、K 3 为控制参 数。
令 K = K 1 = K 2 = K 3 , 当所取控制参数 K i
dx dt
=
F(x)
( 4)
用线性反馈控制后的受控系统为
dx dt
=
F( x) +
K(x -
x0)
( 5)
式( 5) 目的就是要确定控制参数 K 的取值范围,
使式( 5) 系统稳定于零平衡点, 从而消除混沌, 使
系统达到稳定状态。
n
定义 D( x ) =
i 为式( 2) 系统向量场散
x i= 1
i
度, 根据向量场散度与系统 L y apunov 指数的关
( 1)
d dt
=
qcos
- F - asin
t
q= J n
F= J n
d=
n2 mr 2k l + mg
e = 2kl 2kl + mg
p = n2 ml 2kl + mg
b=
c 2ml 2
n
n=
2kl + mg ml
式中, 为转轴和连杆的夹角; m 为 球质量; g 为 重力加 速
度; 为角速度; 为平均角速度; 、 为比例系数。
3. 3. 1 第一种取值情况下系统受控仿真
当图 3 的 指数谱和分岔图 系统参数 分别取
d = 0 08, e = 0 5, p = 0 01, F = 1 942, a =
0 4, b = 0 3, z = 1 时。系统 在初 始值 为( 0 9,
0 9, 0 9) 时, x 、y 、z 受控后随时间变化的仿真图
大于最大 L yapunov 指数时, 采用线性反馈控制方
法, 可以控制混沌系统稳定于不平衡鞍点。 3. 3 离心轮的受控仿真
对系统 参数 d、e、p 、F、a、b、z 、q 分别取 三组
值, 取步长 h = 0 01, 响应系统的初始值为 x ( 0)
= 0 9, y ( 0) = 0 9, z ( 0) = 0 9, 就 3 种不同取值 情况分别对系统进行控制。
( 2)
dz dt
=
qcos x -
F-
asin z t
取 d = 0 08, e = 0 5, p = 0 01, F = 1 942, a =
0 4, b = 0 3, z = 1, q = 2 26。
系统的混沌吸 引子的 三维相 轨迹图 如图 2 所示。
1. 最大 Lyapunov 指数 2. 次大 Lyapunov 指数 3. 最小 Lyapunov 指数 ( a) L yapunov 指数谱
通过发动机, 这个发动机是由套管上的机械装置控
制的, 即让飞轮以一定的角速度 0 旋转。随着 =
- 0 的值的增大和减小, 两个球也会向外或向内移
动, 套管也会向上或向下滑动。
系统的动力学方程为[ 10] :
d dt
=
j
d j = d 2 cos + ( e + p 2 ) sin cos - sin - bj dt
判断是否发生混沌: 当 Poincar 截面上是一些成 片的 具有分形结构的密集点时, 运动是混沌的。 在平面 z = 0 中, 取 Poincar 截面 , 其截取周期 为 3 / 2, 该系统的 Poincar 映射图如图 4 所示。
图 4 Poincar 映射图
3 系统混沌模型的线性反馈控制
3. 1 线性反馈控制机理 定义一个混沌系统:
将此类离心轮系统控制转化为对混沌系统的控制, 用线性反馈控制方法对此类离心轮的三种运行状态
进行控制, 利用 M AT LAB 仿真实现了控制离心轮系统的目的。结果表明, 利用线性反馈可以很好地消
除混沌, 使系统达到一个稳定的状态。该控制策略能有效地改善离心轮系统的动态性能, 并能增强其鲁
棒性与抗干扰能力。
关键词: 离心轮; 混沌系统; 线性反馈控制; 混沌控制
中图分类号: T H 133; T P 202
文章编号: 1004 132X( 2010) 24 2932 05
A Class of Centrifugal Flywheel s Chaos Mathematical Model and Its Linear Feedback Control Chen Diyi Shi L in Ma Xiaoyi Chen H ait ao
系, 可得
n
D(x) =
i( x)
( 6)
i= 1
式中, i ( x ) 为式( 2) 系统的 L ya puno v 指数。
对于式( 2) 系统有
293 3
中国机械工程第 21 卷第 24 期 2010 年 12 月下半月
n
D( y ) = D( x ) - K i
( 7)
i= 1
式中, D (y) 为误差系统的向量散度场。
2 系统的混沌现象分析
收稿日期: 2010 01 07
2932
2. 1 系统混沌数学模型 为了研究方便, 令 x = , y = j 和z = , 则上
一类离心轮系统的混沌数学模型及其线性反馈控制 陈帝伊 石 琳 马孝义等
述方程可变为
dx dt
=
y
d y = dz 2 cos x + ( e+ pz 2 ) sinx co s x - sin x - by dt
0 引言
离心轮能够自动控制发动机的转速, 防止它 因负载转矩的突然变化而被破坏。离心轮对旋转 机械有重要作用, 如柴油发动机、蒸汽发动机等。 离心轮系统是一种典型的非线性系统, 本文探讨 该系统更详细的复杂动力学行为, 包括相轨迹图、 Poincar 映射图、L yapunov 指数和分岔 图, 对一 类离心轮的混沌行为进行了研究[ 1 9] 。通过线性 反馈控制方法, 成功地将离心轮系统的混沌轨道 控制到平衡点上, 使系统达到稳定工作状态。
中国机械工程第 21 卷第 24 期 2010 年 12 月下半月
一类离心轮系统的混沌数学模型及其线性反馈控制
陈帝伊 石 琳 马孝义 陈海涛
西北农林科技大学, 杨凌, 712100
摘要: 通过分析一类离心轮系统的非线性特性, 在其对应数学模型的基础上进行复杂动力学分析得
出其 P oincar 映射图、Ly apuno v 指数图、时域波形图和分岔图, 进而证明该模型是混沌数学模型, 从而
离心轮的控制 系统 如图 1 所示, 电机以角速 度 驱动飞轮旋转。飞轮 通过齿轮箱与轴连 接在 一起, 所以, 轴的角速度 也为 。杆 1、2、3、4 的一 端分 别连 接在 轴的 两
图 1 系统结构图
端, 它们的另一端各连着一个质量为 m 的球。一个刚
度系数为 k 的线性弹簧套在轴的上半部。下面的水汽
No rt h West Ag ricult ur e and Fo rest ry Universit y, Yangling, Shaanx i, 712100 Abstract: T hrough the analysis o f a class of cent rif ug al f lyw heel sy st em, t his paper gave its mat hemat ical model. By analy sing its co mplex dy namics, such as Ly apunov ex ponent spectr um, bif ur cat io n diagram, Poincar diagram, t ime - do main w avefor m diagr am and t he spect ro gram, a chaot ic m athemat ical m odel w as est ablished t o describe t he dy namic process. T hen, t he cont rol of t he cent rif ug al f lyw heel sy st em can be convert ed int o chaot ic sy st em cont rol. It co nt rol led the chao t ic syst em s of t he cent rif ugal f lyw heel syst em by t he adapt ive co nt rol method, and it achiev ed t he g oal thro ug h t he simulation of MA T L AB. T he results show t hat chaot ic system can be cont ro lled w ell by adapt ive cont rol, and t he sy st em can co me to a st eady st at e. T he cont rol met hod can g reat ly im prov ed dynamic perf orm ance and ant i- dist urbance capacit y of t he sy st em . Key words: cent rif ug al f lyw heel; chaot ic syst em ; linear f eedback cont rol; chaos co nt ro l
要使混沌系统稳定于不平衡点, 就必须使误
差系统的最大 L yapunov 指数小于零, 亦即所有的 Ly apuno v 指数小于零:
D ( y) < 0
令 K = K 1 , K 2 , , K n , 设 max = m ax( 1 , 2 ,
, n ) , 则当控制参数 K > max 时, 采用线性反馈
敛到 0, 系统的所有轨迹最终会被限制在一个体 积为零的极限子集上, 这说明轨迹中存在混沌吸 引子。
2. 2. 2 L yapunov 指数谱和分岔图 当控制参 数 q 在[ 0, 5] 变 化, d = 0 08, e =
0 5, p = 0 01, F = 1 942, a = 0 4, b = 0 3, z = 1
时, 式( 2) 系统的 Lyapunov 指数谱、分岔图如图 3
所示。
我们知道 通过 L yapuno v 指 数谱、分 岔图可
以直观地反映出非线性动力学系统随参数变化的
动态特性, 当有一个 Ly apunov 指数大于 0 时, 系 统处于混沌状态。由图 3a 可见, 随着参数 q 的变 化, 系统的最大 L yapunov 指数谱是从 0 变化到 大于 0, 亦即系统是先出现周期运动, 然后变化为
混沌运动; 分岔图( 图 3b) 也证实, 式( 2) 系统是从
周期运动走向混沌态的。
上述分 析表明, 式( 2) 系统确实是一种混沌
系统。
2. 2. 3 系统的其他性质
Poincar 映射是一种经典的分析动力系统的 技术, 可以通过观察 P oincar 截面上截点的情况
( b) 分岔图 图 3 式( 2) 系统的 Lyapunov 指数谱和分岔图
控制方法可以控制混沌系统稳定于不稳定鞍点。
3. 2 受控系统的数学模型 式( 2) 系统加上控制器后的数学模型为
dx dt
=
y + K 1 u1
dy dt
=
d z 2 cos x +
( e+
p z 2 ) sin x co s x -
( 8)
sinx - by + K 2 u2
dz dt
=
qcos x - F - asin
形分别如图 5a、图 5b、图 5c 所示。 从图 5 中可以看出, 受控后系统渐进稳定并
趋于平衡点 0, 系统动态稳定时间在 x 、y 、z 三坐
标上分别为 6s、5s 和 7s。 3. 3. 2 第二种取值情况下系统受控仿真
当系统参数依次取 d = 0 08, e = 0 5, p =
0 01, F = 1. 942, a = 0. 4, b = 0. 2, z = 1 时, 得
图 2 三维相图
2. 2 混沌现象基本特性分析 2. 2. 1 耗散性
产生混沌 的必要条件是系 统具有耗 散性结
构, 式( 2) 系统梯度函数为
源自文库V=
(
dx/ dt) x
+
(
dy/ y
d t)
+
( dz / dt) z
=-
0. 3 <
0
( 3)
说明式( 2) 系统具有耗散性结构, 当 t
时, 包含轨迹的每个体积元以指数速 率- 0 3 收
t + K 3u3
u1 = x - x 0
u2 = y - y 0
( 9)
u3 = z - z 0 式中, K 1 u1 、K 2 u2 、K 3 u3 为线 性反 馈 控制 输入, 其中 K 1 、 K 2 、K 3 为控制参 数。
令 K = K 1 = K 2 = K 3 , 当所取控制参数 K i
dx dt
=
F(x)
( 4)
用线性反馈控制后的受控系统为
dx dt
=
F( x) +
K(x -
x0)
( 5)
式( 5) 目的就是要确定控制参数 K 的取值范围,
使式( 5) 系统稳定于零平衡点, 从而消除混沌, 使
系统达到稳定状态。
n
定义 D( x ) =
i 为式( 2) 系统向量场散
x i= 1
i
度, 根据向量场散度与系统 L y apunov 指数的关
( 1)
d dt
=
qcos
- F - asin
t
q= J n
F= J n
d=
n2 mr 2k l + mg
e = 2kl 2kl + mg
p = n2 ml 2kl + mg
b=
c 2ml 2
n
n=
2kl + mg ml
式中, 为转轴和连杆的夹角; m 为 球质量; g 为 重力加 速
度; 为角速度; 为平均角速度; 、 为比例系数。
3. 3. 1 第一种取值情况下系统受控仿真
当图 3 的 指数谱和分岔图 系统参数 分别取
d = 0 08, e = 0 5, p = 0 01, F = 1 942, a =
0 4, b = 0 3, z = 1 时。系统 在初 始值 为( 0 9,
0 9, 0 9) 时, x 、y 、z 受控后随时间变化的仿真图
大于最大 L yapunov 指数时, 采用线性反馈控制方
法, 可以控制混沌系统稳定于不平衡鞍点。 3. 3 离心轮的受控仿真
对系统 参数 d、e、p 、F、a、b、z 、q 分别取 三组
值, 取步长 h = 0 01, 响应系统的初始值为 x ( 0)
= 0 9, y ( 0) = 0 9, z ( 0) = 0 9, 就 3 种不同取值 情况分别对系统进行控制。
( 2)
dz dt
=
qcos x -
F-
asin z t
取 d = 0 08, e = 0 5, p = 0 01, F = 1 942, a =
0 4, b = 0 3, z = 1, q = 2 26。
系统的混沌吸 引子的 三维相 轨迹图 如图 2 所示。
1. 最大 Lyapunov 指数 2. 次大 Lyapunov 指数 3. 最小 Lyapunov 指数 ( a) L yapunov 指数谱
通过发动机, 这个发动机是由套管上的机械装置控
制的, 即让飞轮以一定的角速度 0 旋转。随着 =
- 0 的值的增大和减小, 两个球也会向外或向内移
动, 套管也会向上或向下滑动。
系统的动力学方程为[ 10] :
d dt
=
j
d j = d 2 cos + ( e + p 2 ) sin cos - sin - bj dt
判断是否发生混沌: 当 Poincar 截面上是一些成 片的 具有分形结构的密集点时, 运动是混沌的。 在平面 z = 0 中, 取 Poincar 截面 , 其截取周期 为 3 / 2, 该系统的 Poincar 映射图如图 4 所示。
图 4 Poincar 映射图
3 系统混沌模型的线性反馈控制
3. 1 线性反馈控制机理 定义一个混沌系统:
将此类离心轮系统控制转化为对混沌系统的控制, 用线性反馈控制方法对此类离心轮的三种运行状态
进行控制, 利用 M AT LAB 仿真实现了控制离心轮系统的目的。结果表明, 利用线性反馈可以很好地消
除混沌, 使系统达到一个稳定的状态。该控制策略能有效地改善离心轮系统的动态性能, 并能增强其鲁
棒性与抗干扰能力。
关键词: 离心轮; 混沌系统; 线性反馈控制; 混沌控制
中图分类号: T H 133; T P 202
文章编号: 1004 132X( 2010) 24 2932 05
A Class of Centrifugal Flywheel s Chaos Mathematical Model and Its Linear Feedback Control Chen Diyi Shi L in Ma Xiaoyi Chen H ait ao
系, 可得
n
D(x) =
i( x)
( 6)
i= 1
式中, i ( x ) 为式( 2) 系统的 L ya puno v 指数。
对于式( 2) 系统有
293 3
中国机械工程第 21 卷第 24 期 2010 年 12 月下半月
n
D( y ) = D( x ) - K i
( 7)
i= 1
式中, D (y) 为误差系统的向量散度场。
2 系统的混沌现象分析
收稿日期: 2010 01 07
2932
2. 1 系统混沌数学模型 为了研究方便, 令 x = , y = j 和z = , 则上
一类离心轮系统的混沌数学模型及其线性反馈控制 陈帝伊 石 琳 马孝义等
述方程可变为
dx dt
=
y
d y = dz 2 cos x + ( e+ pz 2 ) sinx co s x - sin x - by dt
0 引言
离心轮能够自动控制发动机的转速, 防止它 因负载转矩的突然变化而被破坏。离心轮对旋转 机械有重要作用, 如柴油发动机、蒸汽发动机等。 离心轮系统是一种典型的非线性系统, 本文探讨 该系统更详细的复杂动力学行为, 包括相轨迹图、 Poincar 映射图、L yapunov 指数和分岔 图, 对一 类离心轮的混沌行为进行了研究[ 1 9] 。通过线性 反馈控制方法, 成功地将离心轮系统的混沌轨道 控制到平衡点上, 使系统达到稳定工作状态。
中国机械工程第 21 卷第 24 期 2010 年 12 月下半月
一类离心轮系统的混沌数学模型及其线性反馈控制
陈帝伊 石 琳 马孝义 陈海涛
西北农林科技大学, 杨凌, 712100
摘要: 通过分析一类离心轮系统的非线性特性, 在其对应数学模型的基础上进行复杂动力学分析得
出其 P oincar 映射图、Ly apuno v 指数图、时域波形图和分岔图, 进而证明该模型是混沌数学模型, 从而