【解析版】河北省衡水中学2013届高三二模数学理试题

2013年河北省衡水中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．（5分）设，B={x|x＞a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a≤1 D．a＜1考点：集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据题意A集合中的元素是在区间（，5）内的整数，再利用A⊆B，求出a符合的条件即可．解答：解：∵A={x|＜x＜5，x∈Z}，∴A={1，2，3，4}∵A⊆B，∴a＜1故选D点评：本题考查集合中参数的取值问题．正确理解集合语言是解决此类题的关键．2．（5分）（2011•福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6B．8C．10 D．12考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．解答：解：∵高一年级有30名，在高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选B．点评：本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．3．（5分）（2011•密山市模拟）已知等比数列{a n}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64 B．81 C．128 D．243考点：等比数列．分析：由a1+a2=3，a2+a3=6的关系求得d，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解．解答：解：由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，∴q=2∴a1（1+q）=3，∴a1=1，∴a7=26=64故选A点评：本题主要考查了等比数列的通项及整体运算．4．（5分）已知向量，满足||=||=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：将|+|=1两边平方，结合已知条件可算出•=﹣，再用两个向量的夹角公式即可算出向量，夹角的余弦值．解答：解：∵|+|=1，∴（+）2=2+2•+2=1∵||=||=1，得2=2=1∴代入上式得：2•=﹣1，•=﹣因此，向量，夹角的余弦为cosθ==﹣故选：B点评：本题给出向量、满足的条件，求它们夹角的余弦之值，着重考查了平面向量数量积的公式及其运算性质等知识，属于基础题．5．（5分）已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为（）A．2B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：通过点在双曲线上，以及双曲线的焦距，列出方程组，求出a，b，然后求出双曲线的离心率．解答：解：点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，所以，解得，a=1，b=；又c=2，所以e==2．故选A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，注意椭圆与双曲线中a、b、c的区别，考查计算能力．6．（5分）（2007•重庆）若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10 B．20 C．30 D．120考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：根据二项式的展开式的二项式系数是64，写出二项式系数的表示式，得到次数n的值，写出通项式，当x的指数是0时，得到结果．解答：解：∵C n°+C n1+…+C n n=2n=64，∴n=6．T r+1=C6r x6﹣r x﹣r=C6r x6﹣2r，令6﹣2r=0，∴r=3，常数项：T4=C63=20，故选B．点评：本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．7．（5分）设集合A={0，1，2，3}，如果方程x2﹣mx﹣n=0（m，n∈A）至少有一个根x0∈A，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（）A．7B．8C．9D．10考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：让m分别取0，1，2，3，求出对应的n值，则不同的（m，n）的个数即为所求．解答：解：若方程为合格方程时，由于m，n∈A={0，1，2，3}，故对m的取值进行分类讨论：当m=0时，方程x2﹣n=0，由于方程x2﹣n=0至少有一个根x0∈A，故此时n=0，1；同样地，当m=1时，n=0，2；当m=2时，n=0，3；当m=3时，n=0．故合格方程的个数为7个，故选A．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，排列、组合以及简单的计数原理，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．8．（5分）如图，ABCD是边长为l的正方形，O为AD的中点，抛物线的顶点为O，且通过点C，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分．专题：计算题．分析：以抛物线的顶点为原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，则阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去抛物线与x=0，x=1，及x轴所围成的曲边梯形的面积．解答：解：建立如图所示的坐标系，因为正方形ABCD的边长为1，所以C（1，），设抛物线方程为y=ax2（a＞0），则，所以，抛物线方程为，图中阴影部分的面积为：==．故选D．点评：本题考差了定积分，考查了定积分的简单应用，解答此题的关键是，正确建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，找出被积函数的原函数，从而运用微积分基本定理求解，此题是中档题．9．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；待定系数法．分析：求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．解答：解：将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2kπ，即，又因为ω＞0，所以k≥1，故≥，故选C点评：本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．10．（5分）（2010•马鞍山模拟）点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）A．B．C．D．考点：点到直线的距离公式；抛物线的应用．专题：压轴题．分析：到A和到直线的距离相等，则P点轨迹是抛物线方程，再注意B点，用上P到的距离和点P到B的距离相等：再注意这样的点恰好只有一个，因而有△=0，从而可求a的值．解答：解：法一由题意有点P在抛物线y2=2x上，设P（，y），则有（+）2=（﹣a）2+（y﹣2）2，化简得（﹣a）y2﹣4y+a2+=0，当a=时，符合题意；当a≠时，△=0，有a3﹣++=0，（a+）（a2﹣a+）=0，a=﹣．故选D．法二由题意有点P在抛物线y2=2x上，B在直线y=2上，当a=﹣时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D．故选D．点评：本题主要考查抛物线的概念、性质，以及数形结合的思想．法一代数法，法二是几何法．11．（5分）（2011•大连二模）从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为，则OP两点之间的距离为（）A．B．C．D．2考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题．分析：连接OP交平面ABC于O'，由题意可得：O'A==．由AO'⊥PO，OA⊥PA可得，根据球的体积可得半径OA=1，进而求出答案．解答：解：连接OP交平面ABC于O'，由题意可得：△ABC和△PAB为正三角形，所以O'A==．因为AO'⊥PO，OA⊥PA，所以，所以．又因为球的体积为，所以半径OA=1，所以OP=．故选B．点评：本题考查空间中两点之间的距离，解决此类问题的方法是熟练掌握几何体的结构特征，考查计算能力．12．（5分）（2012•开封一模）已知以T=4为周期的函数，其中m＞0，若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）考点：根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．解答：解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将y=代入（x﹣4）2+=1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得m ，同样由y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）由△＜0可计算得m＜，综上可知m∈（，）故选B点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos2θ=，则sin4θ+cos4θ=．考点：二倍角的余弦．专题：计算题．分析：把sin4θ+cos4θ配方为完全平方式，然后根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简后，把cos2θ的值代入即可求出值．解答：解：==；故答案为．点评：本题要求学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道基础题．14．（5分）在约束条件下，过点（1，1）目标函数z取得最大值10，则目标函数z=x+9y（写出一个适合题意的目标函数即可）．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的可行域，设出目标函数的解析式，结合目标函数z在点（1，1）取得最大值10，结合直线斜截式方程的几何意义，可构造出满足条件a，b的关系式，取一组满足条件的a，b的值，即可得到答案．解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示：设目标函数为z=ax+by则y=x+若目标函数z在点（1，1）取得最大值10，则令a=1，则b=9满足条件故答案为：x+9y（主观题，满足条件即可）点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据目标函数z在点（1，1）取得最大值10，结合直线斜截式方程的几何意义，构造出满足条件a，b的关系式，是解答的关键．15．（5分）四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为12π．考点：球内接多面体；由三视图还原实物图；球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．解答：解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是可得AG==a，所以正方体棱长a=2∴Rt△OGA中，OG=a=1，AO=即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π故答案为：12π点评：本题将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于基础题．16．（5分）已知等差数列a n的首项a1及公差d都是整数，前n项和为S n，若a1＞1，a4＞3，S3≤9，设b n=2n a n，则b1+b2+…+b n的结果为4+n•2n+1．考点：数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：由已知可得a1+3d＞3，3a2≤9⇒d＞，a1+d≤3⇒a1≤3﹣d＜3﹣==2结合等差数首项a1及公差d都是整数可得a1=2 则＜d≤1⇒d=1，从而可得a n=2+1×（n﹣1）=n+1，b n=2n a n=2n（n+1），利用乘公比错位相减的方法求和即可解答：解：因为a1＞1，a4＞3，S3≤9，所以a1+3d＞3，3a2≤9⇒d＞，a1+d≤3⇒a1≤3﹣d＜3﹣==2．∵等差数列{a n}的首项a1及公差d都是整数∴a1=2 则＜d≤1⇒d=1．∴a n=2+1×（n﹣1）=n+1．∴b n=2n a n=2n（n+1）令S n=b1+b2+…+b n=2•21+3•22+…+n•2n﹣1+（n+1）•2n①∴2S n=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）2n+1②①﹣②得，﹣S n=2•21+22+…+2n﹣（n+1）•2n+1==﹣n•2n+1∴S n=n•2n+1故答案为：n•2n+1点评：等差数列、等比数列的通项公式、和的求解的综合一直是数列部分的考查重点之一，而数列的求和中“错位相减”的求和方法又是求和的重点和难点，要注意方法的把握．三.解答题（共6个小题，共70分）17．（10分）（2013•南开区二模）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15）10 0.25[15，20）24 n[20，25）m p[25，30） 2 0.05合计M 1（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图．专题：计算题；图表型．分析：（I）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值．（II）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（III）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．解答：解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，∴M=40．∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，m=4.．∵a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，∴（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间[20，25）内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30）内的人为b1，b2．则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）15种情况，而两人都在[25，30）内只能是（b1，b2）一种，∴所求概率为．点评：本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，本题是一个基础题．18．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项a1=1，a n+1=f（a n）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：数列{a n+1}为等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列与函数的综合．专题：综合题；转化思想．分析：（1）由，将代入可求解，由α为锐角，得α=，从而计算得进而求得函数表达式．（2）由a n+1=2a n+1，变形得a n+1+1=2（a n+1），由等比数列的定义可知数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）由（2）得a n=2n﹣1，转化为一个等比数列与一个等差数列的和的形式，可计算得．解答：解：（1）∵又∵α为锐角∴α=∴∴f（x）=2x+1（2）∵a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1）∵a1=1∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）由上步可得a n+1=2n，∴a n=2n﹣1∴点评：本题主要考查数列与三角函数的综合运用，主要涉及了倍角公式，求函数解析式，证明数列以及前n项和．19．（12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中AD∥BC，PD⊥平面ABCD，AD=1，，BC=4．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求直线AB与平面PDC所成的角；（Ⅲ）设点E在棱PC上，，若DE∥平面PAB，求λ的值．用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．考点：空间角；空间向量及应用．专题：分析：如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立间直角坐标系．（1）只要证明，即可得到BD⊥PC；（2）由（1）即可得到平面PDC的法向量为，求出，求出向量与的夹角，即可得到线面角；（3）先求出平面PAB的法向量，若DE∥平面PAB，则，即可得出λ．解答：解：如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．（1）证明：设PD=a，得B，P（0，0，a），C，则，∵，∴BD⊥PC．（2）由（1）知．由条件知A（1，0，0），B（1，，0），．设AB与面PDC所成角大小为θ，则．∵0°＜θ＜90°，∴θ=60°，即直线AB与平面PDC所成角为60°．（3）由（2）知C（﹣3，，0），记P（0，0，a），则，，，而，∴，==设为平面PAB的法向量，则，即，即．取z=1，得x=a，进而得，由DE∥平面PAB，得，∴﹣3aλ+a﹣aλ=0，而a≠0，∴．点熟练掌握通过建立空间直角坐标系．利用向量垂直与数量积的关系、平面PDC的法向量为与斜线的夹角得评：线面角、DE∥平面PAB⇔等是解题的关键．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点M（1，），且其右焦点与抛物线的焦点F重合．①求椭圆C1的方程；②直线l经过点F与椭圆C1相交于A、B两点，与抛物线C2相交于C、D两点．求的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①首先求出抛物线的焦点坐标，则c可求，结合椭圆的隐含条件及点M（1，）在椭圆上，进一步列式可求椭圆方程；②分直线l的斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，可以直接求出A，B，C，D四点的坐标，则的值可求，当斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程及抛物线方程联立后，运用弦长公式把用直线的斜率表示，然后利用基本不等式求其最值．解答：解：如图，①解法1：由抛物线方程为y2=4x，得其焦点F（1，0），∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，∴c=1．故a2﹣b2=c2=1 ①又椭圆C1经过点，∴②由①②消去a2并整理，得，4b4﹣9b2﹣9=0，解得：b2=3，或（舍去），从而a2=b2+1=4．故椭圆的方程为．解法2：由抛物线方程，得焦点F（1，0），∴c=1．∴椭圆C1的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∵椭圆（a＞b＞0）经过点M（1，），∴=4．∴a=2，则a2=4，b2=a2﹣c2=4﹣1=3．故椭圆的方程为．②当直线l垂直于x轴时，则A（1，），B（1，），C（1，2），D（1，﹣2）．∴．当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k（k≠0），则直线l的方程为：y=k（x﹣1）．联立，得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．△=（﹣8k2）2﹣4×（3+4k2）×（﹣12）=64k4+192k2+144＞0．∴方程有两个不等的实数根．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则，．所以，===．由，得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=[﹣（2k2+4）]2﹣4k4=16k2+16＞0，∴方程有两个不等的实数根．设C（x3，y3），D（x4，y4）．∵k≠0，∴，由抛物线的定义，得．∴=．综上，当直线l垂直于x轴时，取得最大值．点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想及分类讨论思想，考查了弦长公式，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是难题．21．（12分）（2010•海淀区二模）给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．（I）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（II）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N．①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；②求证：|MN|为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题；分类讨论．分析：（I）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程（II）（1）由准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公共点，求得k．从而得l1，l2方程（2）分两种情况①当l1，l2中有一条无斜率和②当l1，l2都有斜率处理．解答：解：（I）因为，所以b=1所以椭圆的方程为，准圆的方程为x2+y2=4．（II）（1）因为准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，所以，消去y，得到（1+3k2）x2+12kx+9=0，因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1．所以l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．（2）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1方程为时，此时l1与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=﹣1），即l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x﹣x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3=0，即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0，△=[6t（y0﹣tx0）]2﹣4•（1+3t2）[3（y0﹣tx0）2﹣3]=0，经过化简得到：（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，因为x02+y02=4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，所以t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：因为l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直，所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径，所以|MN|=4．点评：本题主要考查直线与曲线的位置关系，通过情境设置，拓展了圆锥曲线的应用范围，同时渗透了其他知识，考查了学生综合运用知识的能力．22．（12分）设函数．（Ⅰ）当时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）令，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）函数的定义域是（0，+∞），把代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；（II）即函数F（x）的导数在（0，3]小于或者等于恒成立，分离参数后转化为函数的最值；（III）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf（x）=x2有唯一实数解，得到m所满足的方程，解方程求解m．解答：解：（I）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），当时，，（2′）令f'（x）=0，解得x=1．（∵x＞0）因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以f（x）的极大值为，此即为最大值…（4分）（II），x∈（0，3]，则有≤，在x0∈（0，3]上恒成立，所以a≥，x0∈（0，3]，当x0=1时，取得最大值，所以a≥…（8分）（III）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则．令g'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因为m＞0，x＞0，所以（舍去），，当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．（12′）则既所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即，解得．…（12分）点评：本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方程问题中的综合运用，试题的难度不大，但考查点极为全面．本题的难点是第三问中方程解的研究，当函数具有极值点时，在这个极值点左右两侧，函数的单调性是不同的，这样就可以根据极值的大小，结合函数图象的变化趋势确定方程解的个数，如本题中函数在定义域内有唯一的极值点，而且是极小值点，也就是最小值点，如果这个最小值小于零，函数就出现两个零点，方程就有两个不同的实数解，只有当这个最小值等于零时，方程才有一个实数解，而最小值等于零的这个极小值点x满足在此点处的导数等于零，函数值也等于零，即我们的解析中的方程组，由这个方程组求解m使用了构造函数通过函数的性质得到x2的方法也是值得仔细体会的技巧．。