专题1.2函数与导数-高三数学三轮考点总动员(第01篇教材考点再排查)Word版含解析.docx

第一篇教材考点再排查
专题 2函数与导数
1.理解函数定义时，函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映
射的条件，只能一对一或者多对一，不能一对多，定义域、值域、对应法则是决定函数的
三要素，定义域、对应法则确定，值域也就确定，注意对应法则相同，定义域不同的函数
不是同一函数.
2.求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组 )求解，如开
偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏 , 实际问题要考虑变量的实际意义，注意挖掘隐含条件．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．
3.求函数解析式的方法：有直接法、待定系数法、配凑法、配方法、换元法；用换元法求解析
式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．
4.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个
f1 ( x), x A1函数，而不是几个函数，用解析式表示分段函数时，注意要书写正确，即 y f2 ( x), x A2，
L
f n ( x), x A n
分段函数的值域是各段函数值域的并集.
5.求函数最值 ( 值域 ) 常用的方法：
(1)单调性法：适合已知或能判断单调性的函数．
(2)图象法：适合已知或易作出图象的函数，特别是二次函数在某个区间上的
最值．
(3)基本不等式法：特别适合分式结构或两元的函数．
(4)导数法：适合可导函数．
(5)换元法: 适应复合函数，即先由定义域求出内函数的值域，作为外函数的
定义域，再利用外函数的图像与性质求出外函数的值域，即为函数的值域，利
用换元法求值域时，要特别注意新元的范围．
(6)分离常数法：适合于一次分式．
(7)有界函数法：适用于含有指、对函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法
求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考
虑定义域．
6.函数的奇偶性
(1) f (x) 是奇函数对定义域内任意，都有 f (x) f ( x)对定义域内任意，都有
f (x) f ( x) 0 f ( x) 图像关于原点对称；
（ 2）f( x) 是偶函数对定义域内任意，都有 f (x) f ( x)对定义域内任意，都有
f (x) f ( x) 0 f ( x) 图像关于 y 轴对称；
（ 3）y f ( x a) 是偶函数对定义域内任意都有 f ( a x) = f (a x)y f ( x) 的图象关于直线x a 对称；
（ 4）y f ( x a) 是奇函数对定义域内任意都有 f ( a x) =－ f (a x)y f (x)的图象关于点(a,0) 对称；
判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整
理，但必须注意使定义域不受影响．
7.函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数
在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
(2)若 f(x)为偶函数，则f(－x)=f(x)=f(|x|)．
(3)若奇函数 f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.
故“ f(0)＝ 0”是“ f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件，已知函数奇偶性求参数常用特值法 .
8.函数的单调性
(1)判定函数单调性方法：
①定义法：若 x ，x a, b , x x ，那么 f (x1) f (x2 )设 x1 x2a, b , x1 x2，
1212
那么
( x1x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )
0 f ( x) 在a, b上是增函0x1x2
数；
若 x1，x2a,b , x1x2，那么 f ( x1) f ( x2 )设 x1x2a,b , x1x2，那么
( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0f ( x1) f ( x2 )
0 f (x)在 a,b上是减函数 .
x1x2
②求导法：设函数y f ( x) 在某个区间内可导，如果f( x)0，则 f (x) 为增函数；如果
f ( x)0 ，则 f ( x)为减函数 .
③性质法 : 如果函数
f (x) 和 g( x) 在相同区间上是单调函数
, 则
（ i ）增函数 +增函数是增函数；
（ii ）减函数 +减函数是减函数；
（ iii ）增函数 - 减函数是增函数； （ iv ）减函数 - 增函数是减函数；④复合函数单调性 : “同增异减”
（ 2）已知含参数的可导函数
在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单
f ( x) 0 （ 0 ）
恒成立（且不恒为 0）问题，
验证参数取等号时是否符合题
意.
（ 3）求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，
可用“及”连接， 或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，
而不能用集合或不等式代替 ．
9. 函数 y f ( x) 的图象的对称性结论
①若函数 y
f (x) 关于 x a 对称
对定义域内任意都有
f (a x) = f (a x)对定
义域内任意都有 f ( x) = f (2 a x) ；
②函数 y
f ( x) 关于点（， 0） 对定义域内任意都有 f (a x) =－
f (a x)
f (2 a x) =－ f ( x) ；
③若函数 y
f (x) 对定义域内任意都有
f ( x a)
f (b
x) , 则函数 f ( x) 的对称轴是
a b
x
；
2
④若函数 y
f (x) 对定义域内任意都有 f (x
a)
f (b x) , 则函数 f ( x) 的对称轴中
心为 (
a
b
,0) ；
2
⑤函数 y
f (| x a |) 关于 x a 对称 .
10. 两个函数对称的结论
①两个函数 y f (x a) 与 y
f (b x) 的图象关于直线
a
b
x
对称 .
2
②函数 y f ( x) 与函数 y f ( x) 的图象关于直线 x 0 ( 即 y 轴 ) 对称 .
③函数 y f ( x) 与函数 y f (x) 的图象关于直线 y
0( 即 x 轴 ) 对称。

④函数 y
f ( x) 与函数 y
f ( x) 的图象关于点（ 0,0 ）（即原点 ) 对称。

11．函数 y
f ( x) 的图象变换
通过参变分离或分类讨论求出参数的范围，再
调性与导数的关系，转化为在该区间上
f ( x)
①将函数 y f ( x) 图像向左( a 0)(向右(a 0)) | a |单位 y f (( x a)) 的图象；
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur
②将函数 y f (x)图像向上 ( b 0)(向右 (b 0)) |b | 单位y f (x) b 的图象；
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur
③将函数
y f (x)图像 x轴下方部分沿 x轴对折到 x轴上方
|f (x)|
的图象；
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur
y
④将函数 y f (x) 图像擦除y轴左侧部分将y轴部分沿y轴对折
y f (|x|) 的图象；
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur
⑤将函数 y f (x) 图上所有点的横坐标变为原来的1
倍 y f (x) 的图象;
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur
⑥将函数 y f (x)图上所有点的纵坐标变为原来的 A倍y Af (x) 的图象.
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur
在平移变换中要掌握“左加右减，加上减下”的平移法则，平移单位是加在x上而不是加在 ax 上.
12.函数周期常见结论 ( 约定 >0)
（ 1）对定义域内任意都有 f ( x) f (x a) ，则 f ( x)的周期 T=；
（ 2）对定义域内任意都有 f ( x) f (x a) ，或 f (x a)
1
( f (x) 0) ，f (x)
或
f (x a)10),则 f ( x) 的周期T=2；
( f (x)
f (x)
（ 3）若函数f ( x)关于 =， = 对称，则f (x)的周期为2 | b a |；
（ 4）若函数f ( x)关于（， 0），（， 0）对称，则f ( x)的周期为2| b a |；
（ 5）若函数f ( x)关于 =，（， 0）对称，则f ( x)的周期为4 | b a |.
13.二次函数
(1)处理二次函数的问题“勿忘数形结合”．二次函数在闭区间上必有最值，求
最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式： f(x)＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)；
②顶点式： f(x)＝ a(x－ h)2＋ k(a≠0)；
③零点式： f(x)＝ a(x－ x1)(x－ x2)(a≠ 0)．
(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，与0的关系，对称轴与区间关
系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．
尤其注意若原题中没有指出是 “二次 ”方程、函数或不等式， 要考虑到 二次项系
数可能为零 的情形．
14. 指数函数
（ 1）熟记分数指数幂的概念、实数指数幂的运算法则，根式概念与性质，特别
n
a n
a ， n 为奇数
.
|a |,n
为偶数
(2) 指数函数定义域为 R ，值域为（ 0，+∞），恒过（ 0,1 ），当 0＜ a ＜ 1 时，是减函数；当 a ＞ 1 时 . 是增函数，掌握指数函数图像与性质时，要结合图像记忆
.
(3) 解指数不等式时， 若底数相同， 利用指数函数的单调性化为一般不等式求解；
若底数不
同，常两边取对数化为一般不等式求解；若是关于某个指数的二次不等式问题，利用换
元法求解 .
(4) 若比较指数式的大小问题，若底数相同，利用指数函数的单调性判定，若底数不同，
先根据指数函数的图像与性质确定个指数式的范围再确定其大小
.
15. 对数函数
（ 1）会将对数式与指数式互化，掌握对数的运算法则和换底公式，熟记以下对数恒等式：
n
n
log a b ，② a log a M
M
①
log a m b
m
(2) 对数函数定义域为（ 0，+∞），值域为 R ，恒过（ 1,0 ），当 0＜ a ＜ 1 时，是减函数；当 a
＞ 1 时 . 是增函数，掌握对数函数图像与性质时，要结合图像记忆
.
(3) 解对数不等式时， 若底数相同， 利用对数函数的单调性化为一般不等式求解；
若对数不
同，常利用对数换底公式化为同底数问求解；若是关于某个对数的二次不等式问题，利
用换元法求解 .
(4) 若比较对数式的大小问题，若底数相同，利用对数函数的单调性判定，若底数不同，
先根据对数函数的图像与性质确定个对数式的范围再确定其大小
.
16. 幂函数
α
形如 y ＝ x (α∈R)的函数为幂函数．
(1)幂函数的图象：
①若 α＝1，则 y ＝x ，图象是直线．
②当 α＝0 时， y ＝x 0＝1(x ≠0)图象是除点 (0,1)外的直线．
③当 0<α<1 时，图象过 (0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的．
④当 α>1 时，在第一象限内，图象是下凸的．
（2）单调性：
①当 α>0 时，函数 y ＝ x α在区间 (0，＋ ∞)上是增函数；②当 α<0 时，函数 y ＝ x α在区间 (0，＋ ∞)上是减函数．
17. 函数与方程
(1)对于函数 y ＝ f(x)，使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y ＝f(x)的零点，即函数 y ＝ f(x)
的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根．
(2)如果函数 y ＝ f(x)在区间 a ， b] 上的图象是一条连续曲线，且有 f(a)f(b)<0，那
么函数
y ＝f(x)在区间
(a,b) 内有零点，即存在 c (a, b)
，使得
f(c)＝0，此时这个
c 就是方程
f(x)＝0 的根． 反之不成立 ．
18. 区分曲线在某点的曲线和过某点的切线：
曲线的切线问题，
注意在某处的切线与过某点切线的求法不同
，在某点的
切线，该点是切点，利用导数几何意义求切线方程，过某点的切线，该点不一定是切点，
设出切点，求出切线方程，将已知点代入，求出切点，即可求出切线方程
.
19. 要熟记常见函数的导数和导数的运算法则，
对某些函数不能直接利用导数运算法则求导的函
数或较复杂的函数，
在求导前要进行恒等变形， 变成可以利用导数运算法
sin x ， y
2 3
则的形式再求导 ，如 y tan x 化成 y
2x 2
.
x
化为 y
cos x
x
掌握复合函数（ 文科学生不要求掌握 ）的求导法则，在利用复合函数导数运算法则时，先
分清该函数由哪些函数复合而成，再
从外到内逐次求导 .
20. 函数的单调性与导数的关系
（ 1）函数的单调性与导数的关系：设函数
y f ( x) 在某个区间内可导，若
f ( x) 0 ，则
f (x) 为增函数；若 f / ( x) 0 ，则 f ( x) 为减函数 .
（ 2）用导数函数求单调区间方法
求单调区间问题，先求函数的定义域，再求导函数，解导数大于 0 的不等式，得到区间为
增区间，解导数小于 0 得到的区间为减区间， 注意单调区间一定要写出区间形式，
且增（减）
区间有多个，
一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明
增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论
；
(3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题
先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数） （小于（减函数） ）0 恒成立
问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，
注意要验证参数取等号时，函
数是否满足题中条件
，若满足把取等号的情况加上，否则不加
.
（ 4）注意区分函数在某个区间上是增 （减）函数与函数的增 （减）区间是某各区间的区别，
函数在 某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增
( 减) 区
间的子集 .
21.函数的极值与导数
（ 1）函数极值的概念
设函数 y
f ( x) 在 x 0 附近有定义， 若对 x 0 附近的所有点， 都有
f ( x)
)
，则称
f (x f ( x )
是函数 f ( x) 的一个极大值，记作
y 极大值 = f ( x 0 ) ；
设函数 y
f ( x)
在 x 0 附近有定义， 若对 x 0 附近的所有点， 都有 f ( x)
f (x 0 ) ，则称 f ( x 0 )
是函数 f ( x) 的一个极小值，记作
y 极小值 = f ( x 0 ) .
注意： 极值是研究函数在某一点附近的性质，是局部性质；极值可有
多个值，且极大值不定大于极小值 ; 极值点不能在函数端点处取得
.
（ 2）函数极值与导数的关系
当函数 y
f ( x) 在 x 0 处连续时，若在 x 0 附近的左侧
f / (x) 0 ，右侧 f / ( x) 0 ，那么
f (x 0 ) 是极大值；若在
x 0 附近的左侧
f / ( x) 0 ，右侧 f /
( x)
0 ，那么 f ( x 0 ) 是极小值 .
注意：①导数为 0 的点不一定是极值点 ，如函数 y x 3 ，导数为 y /
3x 2 ，在 x 0
处导数为 0，但不是极值点；
② 极值点处的导数不一定为 0，如函数 y | x |在 x 0 的左侧是减函数，右侧是增
函数，在 x
0 处取极小值，但在
x
0处的左导数 lim
(0
x) ( 0)
=-1 ，有导数
x 0
x
lim
(0
x) (0)
=1，在 x
0 处的导数不存在 .
x 0
x
（ 3）函数的极值问题
①求函数的极值，先求导函数，令导函数为 0，求出导函数为零点， ，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减， 则在这一点取值极大值， 若左减右增， 则在这一点取
极小值，要说明在哪一点取得极大（小）值；
②已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点处的导数为求出参数， 注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为
0，列出关于参数方程，
0 的必要不充分条件， 故需将
参数代入检验在给定点处是否取极值；
③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，
判别式大于 0，求出参数的范围 .
22.函数的最值
（ 1）最值的概念
对函数 y f ( x) 有函数值 f (x0 ) 使对定义域内任意，都有 f (x) f (x0 ) （ f ( x) f ( x0 ) ）则称 f ( x0 ) 是函数 y f (x) 的最大（小）值.
注意：① 若函数存在最大（小）值，则最值唯一；最值可以在端点处
取得；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值.
② 最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是
最大（小）值 .
（2）函数的最值求法：
①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值和区间端点函数值，最大者为最大值，最小者
为最小值；
②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式 f ( x) ≤（≥）
g( a) （是自变量，是参数）恒成立问题，再利用g(a) ≥ f ( x) max（≤ f (x)min）转化为求函数的最值问题.
23.导数的综合问题
（1）对不等式的证明问题，先根据题意构造函数，再利用导数研究函数的单调性与最值；
（2）对含参数的恒成立问题、存在成立问题，常通过参变分离，转化为含参数部分大于另（小于）一端不含参数部分的最大值（最小值）问题，再利用导数研究函数的最值，若
参变分离后不易求解，就要从分类讨论和放缩方面入手解决，注意恒成立与存在成
立问题的区别 .
26.定积分 (文科学生不要 )
（ 1）在理解定积分的概念时，注意定积分是一个实数，可以为正，可以为负数，也可以为0，注意定积分与曲边梯形的面积的关系b
，当 f ( x) ≥0时，定积分 f ( x)dx
a 是直线 =， = ，轴及曲线y = f ( x) 围成的曲边梯形的面积.
(2)计算定积分的方法有两种：
方法 1：利用被积函数的几何意义用几何法计算，
注意 定积分是整个曲线围成的
区域还是其中的某一部分
；
方法 2：利用微积分基本定理计算，先利
用基本初等函数的导数公式和导数
的四则运算法则逆向求出
F ( x) ，再微积分基本定理和积分运算性质求出定积
分 .
（ 3）利用定积分计算曲线围成的区域的面积的步骤：
①先画图形；
②确定积分区间和上、下边界表示的函数解析式：通过解方程求出交点的横坐标，从而
确定积分区间，观察图形上、下边界是不是同一函数的图像，确定边界表示的函数解析
式；
③面积表示：在每一个积分区间上，被积函数是图形上边界与下边界表示函数解析式的
差，从而写出平面图形的定积分的表达式；
④求面积：求定积分进而求得图形的面积
.
注意：
若图形上、下边界是不是同一函数的图像，则需要分成若干
个积分区间 .
1. 【山东枣庄期末， 3】已知函数
f x 的定义域为 0,2 ，则函数
g x f 2x
8 2x 的
定义域为（
）
A ． 0,1
B
． 0,2
C
． 1,2
D
． 1,3
【答案】 A
0 2x 2 0 x 1 ，故选 A ．
【解析】由题意，得
2x
，解得
8 0
【要点回扣】函数的定义域 .
2. 【广东郴州二模， 7】已知函数 f (x)
是奇函数，当
x 0
时， f ( x) a
x （
a 0
且
a 1
），
且 f (log 1 4) 3 ，则的值为（
）
2
A ．
3
B
． 3
C. 3D
．9
2
【答案】 B
【解析】 因为 f (log 1 4) f (log 2 1
) f ( 2)a 2
3，所以 a 2
3 ，a
3 ，又 a 0 ，
2
4
所以 a
3 ，故选 B.
【要点回扣】 1.函数的奇偶性； 2．函数的表示方法与求值
3. 【广西柳州模拟，
6】设，，均为正数，且
2a
log 1 2
a ， ( 1 )b
2
log 1 b ， ( 1 )c
2
2
log 2 c ，则，，
的大小关系为（
）
A ． c a b
B ． c b a
C ． a b c
D ． b a c
【答案】 C
【解析】画图可得 0
a b 1 c ，选 C.
y ( 1
) x
y 2x
2
y log 2 x
a b c
y log 1 x
2
【要点回扣】利用函数的性质比较大小.
5|x 1|
1,x 0, 4. 【广西柳州模拟， 12】设定义域为 R 的函数 f (x)
4x
若关于的方程
x 2 4, x 0
f 2 ( x) (2 m 1) f ( x)
m 2
0 有 7 个不同的实数解，则 m
（
） A ． 6 B ． 4 或 6
C ． 6 或 2
D ． 2
【答案】 D
【要点回扣】函数与方程
(a 2)x, x 2 5.设函数 f (x)
( 1 )x
1,x
是 R 上的单调递减函数，则实数的取值范围为( )
2
2
A. (
,2)
B.
(
,
13
]
C.(0, 2)
D.[
13
, 2)
8
8
【答案】 B
( a 2) x, x 2 【解析】函数
f ( x)
( 1
) x
1,x 是 R 上的单调递减函数的充要条件是
2
2
a 2 0
2(a
2) ( 1 )2
1
,
2
解得： a
13
8 ，故选 B.
【要点回扣】分段函数的单调性 .
6【. 山东潍坊期中联考， 8】函数 f x 的图象关于轴对称， 且对任意 x
R 都有 f x 3
f x ，
3 ， 5
1 x
若当 x
时， f ，则 f 2017
（
）
x
2 2 2
A ．
1 B
．
1
C.
4
D
． 4
4
4
【答案】 A
【解析】因为函数
f x 对任意 x
R 都有 f x 3
f x ，所以 f x 6
f x 3
f x ，
函数 f x是周期为的函数， f 2017 f 336 6 1 f 1 ，由 f x 3 f x 可得
f23 f 2 f 1，因为函数 f x的图象关于轴对称，所以函数f x 是偶函数，
2 f2 f 211
，所以 f 2017 f 1 f 21，故选 A.
244
【要点回扣】1、函数的解析式；2、函数的奇偶性与周期性 .
7.【湖北荆州一模，10】已知函数f x ln x1, g x x22x 3 ，用 min m, n 表示m, n 中最小值，设 h x min f x , g x，则函数 h x的零点个数为 ()
A． 1B． 2 C. 3D． 4
【答案】 C
【解析】作出函数 f x 和 g x 的图象如图，两个图象的下面部分图象，由
g xx22x 3 0 ，得 x 1 ，或 x 3 ，由 f x ln x 1 0 ，得x e 或 x 1 ，
e
∵ g e 0，∴当 x0 时，函数 h x 的零点个数为个，故选：C．
【要点回扣】根的存在性及根的个数判断
8. 【湖北荆州一模，6】若函数f x x3 a x2x 1 在区间1
,3 上单调递减，则实数的
322取值范围是 ( )
A．1
,B．
5
, C.10 ,
333
D．
16
,
3
【答案】 C
【解析】因为函数f x x3 a x2x 1在区间1
,3上单调递减，所以
322
f ' x x2ax10在区间1,3上恒成立，所以
2
x2 1 ax a x21x1
x max x a10 ,.
3
，当且仅当 x 3 时，x1
10
，所以max x max3
【要点回扣】导数在函数单调性中的应用
9.若曲线 y 1
x2与曲线 y a ln x 在它们的公共点P s,t处具有公共切线，则实数a 2e
（）
A． -2B．1
C． 1D． 2 2
【答案】 C
【解析】根据题意可知：y 1
x, y
a
，由两曲线在点 P s, t处有公共的切线知， 1 s a e x e s
即： s ae ，代入s
2 a ln s 解得：a 1，所以答案为C．2e
【要点回扣】函数的切线
10. 【河南名校联盟对抗赛,10 】设函数f ( x)ax2bx c(a,b,c R) ，若函数 y f (x)e x在x1处取得极值，则下列图象不可能为y f ( x) 的图象是（）
A．B． C.D．
【答案】 D
【要点回扣】 1.导数与函数的极值； 2.函数与方程 .
ln( x1), x0
11.【山西大学附属中学诊断，12】已知函数f ( x) 1 x
1, x
，若 m n ，且0
2
f (m) f (n) ，则 n m 的取值范围是（）
A.[32ln 2,2)
B. [32ln 2,2]
C. [ e 1,2]
D.
[e1,2)
【答案】 A
记 g (t )n m e t 1 (2t2)e t2t 1 （0t 1 ），g (t ) e t 2 .
所以当 0t ln 2 时，g (t)0 ，函数 g (t ) 单调递减；当ln 2 t1时，g (t)0 ，函数 g (t )单调递增 .
所以函数 g(t ) 的最小值为 g(ln 2)e ln 22ln 2 132ln 2 ；
而 g (0)e0 1 2 ， g (1)e 21 e 1 2 .所以 32ln 2g(t ) 2 .
【要点回扣】分段函数与方程的解，导数与函数最值
12．【湖北荆州一模， 6】若函数f x x3 a x2x 1 在区间1
,3上单调递减，则实数的
322取值范围是 ( )
A ． 1
,
B ． 5
,
C.
10 ,
3
3
3
【答案】 C
D
．
16
,
3
【解析】因为函数
f x
x 3 a x 2 x 1在区间 1 ,3 上单调递减，所以
3
2
2
f ' x x
2
ax
1 0 在区间
1
,3 上恒成立，所以
2
x
2
1 ax
a x
2
1
x 1
x
max
x
a
10 , .
3
，当且仅当 x
3 时， x
1
10
，所以
max
x max
3
【要点回扣】导数在函数单调性中应用
13. 【安徽“皖南八校”联考， 12】下列命题为真命题的个数是（ ）
2
2 ln 1
ln 2 ln
① e e
2
；② ln 2
；③
e
；④
3
2
A ． 1
B ． 2
C. 3
D
． 4
【答案】 D
【要点回扣】利用导数比较大小
14. 【广东期阶段测评 （一），15】定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 2 f x ，当 0
x 1
时， f x
x ，则 f
37.5 等于
．。

【答案】 0.5
【解析】∵ f x 2 f x ，∴
f x
4f x 且 f xf x ， 0 x
1时， f x
x ，
∴ f 37.5
f 1.5
f
1 1
1
2 f
.
2
2
【要点回扣】函数的奇偶性
.
，
1
15. 【山东潍坊期中联考，15】设函数 f x 1 x，若函数
log a x 1，1 x1
2
有三个零点x1x2x3x1x2x2 x3x1x3
g xf xbf x c，则等于.
，，
【答案】
【解析】由图可得关于的方程 f x t 的解有两个或三个（ t1时有三个， t 1时有两个），
所以关于的方程t2bt c0 只能有一个根t1（若有两个根，则关于的方程
f x 2
x c0 有四个或五个根），由f x 1，可得x1， x2， x3的值分别为0,1,2，bf
x1 x2x2 x3x1x30 1 1 20 2 2，故答案为 .
y
2
1
-4-3-2-1O1234x
-1
-2
【要点回扣】1、分段函数的图象和解析式；2、函数零点与方程根之间的关系及数形结合思想
的应用 .
16. 定义在实数集R 上的函数 f x 满足 f x f x 2 0 ，且 f 4 x f x ，现有以下三种叙述：
① 8 是函数 f x 的一个周期；
② f x 的图象关于直线x 2 对称；
③ f x 是偶函数.
其中正确的序号是
【答案】①②③
.
【要点回扣】 1. 函数的奇偶性； 2. 函数的对称性； 3. 函数的周期性
17. 【广西柳州市高三模拟， 13】曲线y x32x m 在x 1 处的切线的倾斜角为．【答案】 45
【解析】因为y 3x2 2 ，所以在
x1处的切线的斜率为
312
，倾斜角为
45
o
1
【要点回扣】导数的几何意义 .
18. （文科同学不作）【河北唐山期末 ,13 】曲线y x3与y x 所围成的封闭图形的面积
为．
【答案】
5
12
【解析】
1
3
x3 )dx(
2
x2
1
x4 ) |10 5 ．
试题分析：由题意，知所围成的封闭图形的面积为( x
03412【要点回扣】定积分的几何意义
19. 【广东湛江期中考试，21】已知函数f x a ln x
n1
，其中 n N, a 为常数. 1x n
（Ⅰ）当 n 2 ，且 a0 时，判断函数f x是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若 a 1 ，对任意的正整数，当x 1时，求证： f x 1x .
【答案】（Ⅰ） a0时， f x 存在极值，极小值点为2
. （Ⅱ）见解析 . a
【解析】（Ⅰ）由已知得函数f x 的定义域为x | x0，
当 n2时，
f x
1
a ln x
，所以 f ′x
ax22
，x2x3
当 a0时，由 f ′x0 得x122a x x1 x x2 0, x2
a
0 ，此时 f ′x
x3
a
当 x0, x1时， f′x0, f x 单调递减；当 x x1,时， f ′x0, f x 单调递增.
当 a0 时， f x 在x122处取得极小值，极小值点为.
a a
n
（Ⅱ）证：因为a1，所以 f
1
ln x . x
x n
当为偶数时，令
g x
x
1
ln x 1 ，则
x n
1 g ′x
1
n
1
x
n
x
1 n
1
x 1
x 1
x
n 1
1
Q x 1∴ g ′x 0 所以当 x
1, 时， g
x 单调递增， g
x 的最小值为 g 1
. 因此
g x
x
1
ln 1 x
g 1 1
1
ln 1 1 1
1 ln
2 1
1 ln 2
x
1 n
1
n
2n
22
1
3
e 3 13
1
1
5 1 2197
ln
ln
16
ln
2000
4
16 4 4
所以 f x 1
x 成立 .
当为奇数时，要证
f x 1
x ，由于
1
n
1
0 ，所以只需证 ln x 1
x .
1 n
x
令 h x
x ln x
1 ，则 h ′x 1
1
x
0 ，
1
x 1
x
ln
e
当 x
1,
时， h
x
x ln x
1 单调递增，又 h 1
1 ln 2
0 ，
2
所以当 x 1 时，恒有 h x
0 , 命题 ln x 1 x 成立 .
综上所述，结论成立 .
【要点回扣】 1. 导数与函数的单调性、极值； 2. 函数与不等式
20. 【河南豫北名校联盟对抗赛 ,21 】已知函数 f ( x) x a ln x(a R) .
（ 1）若曲线 y
f (x) 在点 (1, f (1))处与直线 y
3x 2 相切，求的值；
（ 2）若函数 g( x)
f (x)
kx 2
有两个零点 x 1, x 2 ，试判断 g '(
x 1
x 2
) 的符号，并证明 .
2
【答案】 (1)
a 2； (2) 当 a 0 时， g (
x 1
x
2 )
0 ；当 a
0时， g (
x 1
x
2 )
0 .
a
2
2
【解析】（ ） f '( )
1 '(1) 3 . 所以 a
2 .
1
x
，又∵ f
x
（ 2）函数 g (x) 的定义域是 (0, ) . 若 a
0 ，则 g ( x) f ( x) kx 2 x kx 2 .
令 g (x)
0 ，则 x kx 2 0 . 又据题设分析知 k
0 ，∴ x 1 0 ， x 2 1 .
k
又 g (x) 有两个零点，且都大于 0，∴ a 0 ，不成立 .
据题设知
g(x 1 ) x 1 a ln x 1 kx 12 0,
g(x 2 ) x 2 a ln x 2 kx 22 0,
不妨设 x1x2，x1
t ，t 1.所以 x1x2 a(ln x1ln x2 )k ( x1x2 )( x1 x2 ) . x2
所以
a(ln x1ln x2 )
x2 ) .又 g '( x) 1
a
2kx ，1x
1x2
k ( x1x
所以 g '( x
1
x
2 )12a k( x
1 x
2 ) 12a1a(ln x1ln x2 )
2x1 x2x1x2x1x2
a(2
x2ln x1ln x2) a (2ln t ) a g 1[ 2(t 1)ln t] .
x1x1x2x2 t 1 t 1x2 t 1 t 1
引入 h(t )2(t1)
ln t (t1) ，则 h'(t)
41(t1)2
0 .
t 1(t 1)2t t(t 1)2
所以 h(t) 在 (0,) 上单调递减.而 h(1)0 ，所以当t 1 时，h(t)0 .
易知 x20 ，10 ，所以当a0 时，g '(x
1
2
x
2 )0 ；当a0 时，g '(
x
1
x
2) 0.
t12【要点回扣】 1. 导数的几何意义； 2. 导数与函数的单调性； 3. 函数与不等式 .
21. 【广东郴州二模 ,22 】已知函数 f ( x)x ln x ， g ( x)x2ax 3 .
（ 1）求函数f(x) 在 [t ,t2]( t0) 上的最小值；
（ 2）对一切x(0,) ，2 f (x)g( x) 恒成立，求实数的取值范围；
（ 3）探讨函数F ( x)ln x 12
F (x) 的零点；若不存e x
是否存在零点？若存在，求出函数
ex
在，请说明理由.
（Ⅱ）原问题可化为 a 2ln x x 3
，设 h x2ln x x 3 x0 ，x x
h' x x 3x1，当 0 x1时， h' x0,h x 在0,1上单调递减；
x2
当 x 1 时， h'x0,h x 在 1,上单调递增；h x
min h 1 4 ，故的取值范围为,4 .
【要点回扣】 1. 导数与函数的单调性、极值、最值； 2. 函数与不等式； 3. 函数与方程 .。