塑力2-1

重复的脚标，表示按该脚标从x, y 到 z 求和；i , j 称为求和下标（或哑标）。
σ m′n′ = lm′iln′jσ ij
(m′, n′ = x′, y′, z′; i, j = x, y, z)
物理意义： 对于物体中的任意一点，采用不同取向的微元体，六
个应力分量不同，但它们都刻画了该点的应力状态。
（1）应力状态的概念
z
ΔF z+
ΔFzz+ zΔF z+
ΔFyz +
ΔAz
ΔFxz +
y
F1
F2
x
y
在法向为 z 轴正向的截面
上，某微面元 ΔAZ 上的作 用力为 ΔF z+
x
正应力
lim σ zz
=
ΔAz →0
ΔFzz + ΔAz
切应力
lim τ zx
=
ΔAz →0
ΔFxz + ΔAz
lim τ zy
根据微四面体的平 衡，可以得到：
⎧ ⎪
px
=
σ
xx
cos(n,ex )
+τ
yx
cos(n,ey
)
+τ
zx
cos(n,ez
)
⎨py =τ xy cos(n,ex ) +σ yy cos(n,ey ) +τ zy cos(n,ez )
⎪ ⎩
pz
= σ xz
cos(n,ex )
+τ
yz
cos(n,ey ) +σ zz
+τ zxபைடு நூலகம்z
⎨ pny = τ xynx + σ yyny +τ zynz
⎪ ⎩
pnz
= σ xznx
+τ yznx
+ σ zznx
( ) ( ) ⎪⎨⎧τσxyxnx x−+pσnyxy
+τ yxny
− p ny
+τ zxnz +τ zynz
= =
0 0
⎪⎩σ xznx +τ yznx + (σ zz − p)nx = 0
剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上，如果有与相交边垂直的剪应力
分量，则这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。
∑ 证明 : 单元体平衡
M z =0
y
τ σ y yx
(τ yx d z d x ) d y − (τ xy d y d z ) d x = 0
⎪⎩
+ τ zx (l1′ l3 13′ + l1′1l33′ ) + τ zy (l1′3l23′ + l1′2l33′ )
类似地，使oy’和oz’分别与矢量 n 一致 ，可以得到：
爱因斯坦求和约定
σ m′n′ = σ lm′iln′j ij (m′, n′ = x′(1′), y′(2′), z′(3′); i, j = x(1), y(2), z(3))
σ2
σ1
主面上的正应力。
q主应力排列规定：按代数值大小
σ3
σ 1≥σ 2 ≥σ 3
在旧坐标系中
⎧ ⎪
p
x
=
σ
xx
cos(n,ex )
+τ
yx
cos(n,ey )
+τ
zx
cos(n,ez
)
=
σ
xx nx
+τ
yx n y
+τ zxnz
⎨ py = τ xy cos(n,ex ) + σ yy cos(n,ey ) +τ zy cos(n,ez ) = τ xynx + σ yyny +τ zynz
O
x′
n
p
B
y
这里 ei′ 是坐标系ox’y’z’的三个坐标基矢量。
A
在旧坐标系中 p = pxex + pyey + pzez
x
⎧σ
⎪
x′x′
= pxex
⋅ ex′
+
pyey
⋅ ex′
+ pzez
⋅ ex′
⎨τ x′y′ = p x ex ⋅ ey′ + p y ey ⋅ ey′ + p z ez ⋅ ey′
σz
z
τxy σ x
x
∴独立的应力分量只有六个。
∴τ xy =τ yx
σxx τxy τxz
τyx τzx
σyy τyz τzy σzz
一点应力状态的描述
z
F1 x
y
σx
x
z
σz
τ zx
τ xz
τ zy τ yz
y τ
τ
xy
yx
σy
关键要素：
)点的位置 )面的方位
z z′
y′ 当沿其它方向截取单元体时，可以用一组 不同的应力分量来表达该点的应力状态---
(3)主单元体、主面、主应力
既然应力张量的分量与所取的坐标系密切相关，那么，可能存在一个 独特的坐标系，在这个坐标系中，单元体每个面上只有正应力，没有 剪应力。
n主单元体（Principal body）：
各侧面上剪应力均为零的单元体。
o主面（Principal Plane）： 剪应力为零的截面。
p主应力（Principal Stress ）：
cos(ex′ ,ez ) cos(ex′ ,ez )
⎪ ⎩
pz
= σ xz
cos(ex′ ,ex ) +τ yz
cos(ex′ ,ey ) + σ zz
cos(ex′ ,ez )
y′ ΔFzz+ zΔF z+
ΔFyz +
ΔFxz +
y
x
ex′ (e1′ ) e y′ (e2′ ) ez′ (e3′ )
⎨ ⎪
+ τ zx (l1′ l3 12′ + l1′1l32′ ) + τ zy (l1′ l3 22′ + l1′2l32′ )
⎪⎪τ x′z′ = σ l l xx 1′1 13′ + σ l l yy 1′2 23′ + σ zzl1′3l33′ + τ yx (l1′ l2 13′ + l1′1l23′ )
⎤ ⎥ ⎥
⎪⎨⎧nnxx
⎫ ⎪ ⎬
=
0
(σ zz − p)⎥⎦⎪⎩nx ⎪⎭
此为线性齐次代数方程组，且有非零解存在。
∴其系数行列式:
(σ xx − p)
τ xy σ xz
τ yx
(σ yy − p)
τ yz
τ zx
τ zy = 0
(σ zz − p)
展开：
p3 − J1 p2 − J2 p − J3 = 0
⎪⎩τ x′z′ = p x ex ⋅ ez′ + p y ey ⋅ ez′ + p z ez ⋅ ez′
在旧坐 标系中
⎧ ⎪
px
⎨ py
= σ xx cos(ex′ ,ex ) +τ yx = τ xy cos(ex′ ,ex ) + σ yy
cos(ex′ ,ey ) +τ zx cos(ex′ ,ey ) +τ zy
⎪ ⎩
p
z
=σ
xz
cos(n,ex )
+τ
yz
cos(n,ey ) + σ zz
cos(n,ez )
=
σ xznx
+τ yznx
+ σ zznx
假设应力矢量 p 与n 重合，即 p = pn ，那么 n 为主方向。
p = pn = pxex + pyey + pzez
⎧ ⎪
pnx
= σ xxnx
+τ yxny
应力张量的特征方程
p3 − J1 p2 − J2 p − J3 = 0
其中：
J1 = σ xx + σ yy + σ zz
( ) J2 = − σ xxσ yy + σ σ yy zz + σ xxσ zz
+τ
2 xy
+τ
2 yz
+τ
2 xz
σ xx τ xy τ xz J3 = τ xy σ yy τ yz
⎪ ⎪
+ τ zx (l1′ l3 11′ + l1′1l31′ ) + τ zy (l1′ l3 21′ + l1′ l2 31′ )
⎪⎪τ x′y′ = σ l l xx 1′1 12′ + σ l l yy 1′2 22′ + σ l l zz 1′3 32′ + τ yx (l1′ l2 12′ + l1′1l22′ )
=
ΔAy →0
ΔFzy+ ΔAy
第一个下标 y 表示微面元方向 第二个下标表示面元上力的方向
z
τ xz
平行于yoz的
平面截开
τ xy
F1
y
σ xx
x
正应力
lim σ xx
=
ΔAx →0
ΔFxx+ ΔAx
切应力
lim τ xy
=
ΔAx →0
ΔFyx+ ΔAx
lim τ xz
=
ΔAx →0
ΔFzx+ ΔAx
ex (e1) l1′1 = l11′ = ex′ ⋅ ex l2′1 = l12′ = ey′ ⋅ ex l3′1 = l13′ = ez′ ⋅ ex
ey (e2 ) l1′2 = l21′ = ex′ ⋅ ey l2′2 = l22′ = ey′ ⋅ ey l3′2 = l23′ = ez′ ⋅ ey
第二章 复杂应力状态下的屈服 条件、强化特性和加载法则
华中科技大学力学系 华中科技大学工程计算与仿真研究所
2010年9月
1
1、应力分析
① 应力状态的概念 ② 应力分量的坐标变换 ③ 主单元体、主面、主应力 ④ 应力张量的不变量 ⑤ 应力张量的分解 ⑥ 等斜面上的应力 ⑦ 与第二不变量有关的量 ⑧ 应力圆 、罗德（Lode）参数 ⑨ 应力空间和 π 平面
τ xz τ yz σ zz
三个主方向 是正交的！
此方程有三个实根 σ1≥σ2≥σ3
σ1→ ( n1x , n1y , n1z )
σ2→
(
nx2
,
n
2 y
,
nz2
)
应力张量 的特征值
σ3→ ( nx3, n3y , nz3 )
主应力 主方向
⎪⎪⎨⎧nn11xx
nx2 nx3
+ +
n1y ny2
n1y
nx2 + ny2 + nz2 = 1
px = pnx ; py = pny ; pz = pnz
z
C
σ xx
σ yy
ττyxxy τ xz
τ yz O
τ zx
4个方程，4
τ zy
个未知数。
A
σ zz
x
n
p
B
y
⎡(σ
⎢ ⎢
xx
τ
−
xy
p)
⎢⎣ σ xz
τ yx
(σ yy − p)
τ yz
τ zx τ zy
cos(n,ez )
z
取一新的直角坐标系 ox’y’z’，使ox’与矢量 n 一致 。
根据应力的定义，应力矢量 p向ox’，oy’, oz’轴 z′
C
的投影分别为以 ox’ 为法线的面ABC上的三个
应力分量（三角面ABC的面积为单位1）。
σ x′x′ = p ⋅ ex′; τ x′y′ = p ⋅ ey′; τ x′z′ = p ⋅ ez′
=
ΔAz →0
ΔFyz + ΔAz
第一个下标 Z 表示微面元方向 第二个下标表示面元上力的方向
z
ΔF z+
z
τ yz
平行于xoz
ΔAz
的平面截开
F1
O
F2 y
F1
o
σ yy
y τ yx
x
正应力
lim σ yy
=
x
ΔAy →0
ΔFyy+ ΔAy
切应力
lim τ yx
=
ΔAy →0
ΔFxy+ ΔAy
lim τ yz
n
3 y
+ +
n1z nz2 n1z nz3
= =
0 0
⎪⎪⎩nx2nx3
+
n
2 y
n3y
+
nz2nz3
=
0
应力张量的特征向量
（4）应力张量的不变量
ΔOBC ΔOCA ΔOAB
σ yy
ττyxxy
τ yz O τ zy
τ xz τ zx
A
σ zz
x
n
p
B
y
这里 ei (i = x, y, z) 是坐标系 oxyz 三个坐标轴的基矢量 假定斜面ABC上的应力矢量为 p；它在 x, y, z 轴上的分量分别表示为 px ; py ; pz
p = pxex + pyey + pzez = pxi + py j + pzk
e3 (e3 ) l1′3 = l31′ = ex′ ⋅ ez l2′3 = l32′ = ey′ ⋅ ez l3′3 = l33′ = ez′ ⋅ ez
⎧σ x′x′ = σ lxx 1′ l1 11′ + σ l l yy 1′2 21′ + σ l l zz 1′3 31′ + τ yx (l1′ l2 11′ + l1′1l21′ )
y 应力分量与取向有关！！
x x′ 问题？
V定义在不同取向的单元体上的应力分量之间有什么关系? V知道了一个取向的单元体上的应力分量,是否可以求出其它取向的
单元体上的应力分量？
如果答案是肯定的，就可以认为：一点的应力状态是一定的，任意取 向单元体上的应力分量表征了一点的应力状态；但应力分量取决于单
元体的取向。---横看成岭侧成峰 ！
第一个下标 x 表示微面元方向 第二个下标表示面元上力的方向
各面上应力分量
σzz z
σxx τxy τxz τyx σyy τyz τzx τzy σzz
九个应 力分量
σxx
x
τ zx
τ xz
τ τzyyz
τ
τ
xy
yx
σyy y
)对于物体内的任意一点，可以得到一个包含该点的立方 体微元；
)作用于微元体六个表面上的所有“应力分量”构成了该点 周围的应力状态。
V新、旧坐标中，应力分量不同； V新旧坐标系中应力分量之间可以相互变换，当知道
一种坐标系中的分量 σ ij 后，可以方便地得到另一坐 标系中的应力分量 σ i′j′ ；因此，σ ij 完全确定了一点的
应力状态；
V新旧坐标中应力分量的变化服从所谓的“坐标变换法
则”，因此，σ ij 是张量，且是对称的二阶张量。
（2）应力分量的坐标变换
z
在物体内任意点O附近取图示微小四面体OABC。
C
任意斜面ABC的外法线方向为矢量 n 。
σ xx
假定斜面ABC的面积为单位1，则直角面 OBC, OCA, OAB的面积分别为：
⎧cos(n, ⎪⎨cos(n,
ex ey
) )
= =
n⋅ n⋅
ex ey
= =
nx ny
⎪⎩cos(n,ez ) = n⋅ez = nz