第二章_Laplace变换(答案)
第2章 2.1拉普拉斯变换
注意：在某一域内复 变函数 F(s) 及其所有 导数皆存在，则称该 复变函数 F(s) 在该域 内是解析的。
∞ −( s +a )t
L[ f (t )] = ∫ Ae e dt = ∫ Ae
0
dt
A −(s+a )t ∞ A =− e = 0 s+a s+a
在复平面上 有一个极点
为使积分收敛，这里假设(s+a)的实部大于零
1 = s + 0.5
2.2 拉普拉斯变换
Laplace变换的主要定理 三. Laplace变换的主要定理 5. 微分定理
若
L[ f (t )] = F ( s )
∞
则
df (t ) L[ ] = sF (s) − f (0) dt
df (t ) df (t ) −st 证明 L[ ]=∫ e dt dt dt 0
1 jωt − jωt sin ωt = (e − e ) jωt 2j e = cos ωt + j sin ωt 1 jωt e − jωt = cos ωt − j sin ωt cos ωt = (e + e − jωt ) 2 ω 1 1 1 1 ( s + jω ) − ( s − jω ) L[ sin ωt ] = − = = 2 2 j s − jω s + jω 2 j ( s − jω ) ( s + jω ) s + ω2
− at
复频域位移-------时域指数乘积
2.2 拉普拉斯变换
Laplace变换的主要定理 三. Laplace变换的主要定理 4. 时间比例尺定理
若
L[ f (t )] = F ( s )
laplace变换习题答案
laplace变换习题答案
Laplace变换习题答案
Laplace变换是一种非常重要的数学工具，它在控制工程、电路分析、信号处理等领域都有着广泛的应用。
通过Laplace变换，我们可以将一个复杂的微分方
程转化为一个简单的代数方程，从而更容易地解决问题。
在学习Laplace变换的过程中，习题是非常重要的一部分。
通过做习题，我们
可以更好地理解Laplace变换的原理和应用。
下面，我们来看几道Laplace变换的习题，并给出相应的答案。
1. 计算函数f(t) = e^(-2t)的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{e^(-2t)} = 1/(s+2)。
2. 计算函数f(t) = sin(3t)的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{sin(3t)} = 3/(s^2+9)。
3. 计算函数f(t) = t^2的Laplace变换。
答案：根据Laplace变换的定义，我们有L{t^2} = 2/s^3。
通过以上习题的解答，我们可以看到Laplace变换的计算并不复杂，只需要根
据定义进行变换即可。
但在实际应用中，可能会碰到更复杂的函数，需要运用
一些技巧和公式来进行计算。
因此，熟练掌握Laplace变换的原理和方法，对
于我们解决实际问题将会有很大的帮助。
总之，通过做Laplace变换的习题，我们可以更好地掌握这一重要的数学工具，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
希望大家能够认真对待Laplace变换，
多加练习，提高自己的数学水平。
积分变换-2 拉普拉斯变换
f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。
第二章 拉氏变换
类似地，可得象函数的微分性质： 若，F (s) = £ [f (t)]，则
F ( s ) =-£ [ Hale Waihona Puke f (t ) ]，Re(s)>c
一般地 :
n F ( n ) ( s) = (1)n £ [ t f (t )]，Re(s)>c
性质3（积分性质） ： 若，F (s) = £ [f (t)],则：
1、若B(s)有n个单零点s1,s2,…,sn，有，
A( s) st A(sk )esk t Res e , sk B( sk ) B( s )
A(sk )e 即：f (t ) , (t 0) k 1 B( sk )
n
sk t
2、若s1是B(s)的一个m级零点，其余的n-m 都是单零点,sm+1,…,sn，有，
则， £[af1(t)+b f2(t)] =a F1(s)+b F2(s)
其中，a,b为常数
注意： Laplace逆变换也有类似的性质
性质2（微分性质） ：
若，F (s) = £ [f (t)]
则有，£ [ f (t ) ] = sF(s) - f(0)
这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏 变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去 函数的初值。 推论 ： 若，F (s) = £ [f (t)]，
f (t ) Mect ,0 t
成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表 示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积 分在Re(s) ≥ c1>c上绝对收敛且一致收敛，并 且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。
举例
1 t 0 例1： 求单位阶跃函数 u (t ) 0 t 0
第二章 拉普拉斯变换
k L[e sin kt ] = ( s + a)2 + k 2 ì 0 t< t ï ï 例 3 求函数 u (t - t ) = í ï ï î1 t> t
- at
的 Laplace 变换
解：已知 L[u (t )] =
1 s
s= sk
k= 1
f (t ) =
å
n
Re s[ F ( s)e st ]
s = sk
k= 1
例 1 利用留数方法求 F ( s) = s 解： f (t ) = L- 1[
=
s2 + 1
的逆变换
s s st s st ] = e + e 2 s = j 2s s= - j s +1 2s
1 jt (e + e- jt ) = cos t 2
= 1+ (t - 1)et
t> 0
§2.4 卷积
一 、卷积的概念：
f 1 (t ) * f 2 (t ) =
ò
t
0
f1 (t ) f 2 (t - t )d t
交换律 f 1(t ) * f2 (t ) = f2 (t ) * f 1(t ) 结合律 f 1(t ) *[ f2 (t ) * f3 (t )] = [ f 1 (t )*] f2 (t ) * f3 (t ) 对加法的分配率 f 1(t ) *[ f2 (t ) + f3 (t )] = f 1(t ) * f2 (t ) + f 1(t ) * f3 (t ) 二、 卷积定理 设 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足 Laplace 变换存在的条件，且 f (t ) * f 2 (t ) 的 Laplace 变 L[ f1 (t )] = F 1 ( s), L[ f 2 (t )] = F 2 ( s) 则 1 换一定存在，且 L[ f1 (t ) * f2 (t )] = F1 (s) F2 (s) -1 或 L [F1 (s) ?F2 (s)] f1 (t ) * f2 (t )
第二章 拉普拉斯变换
s p1 或s p 2
a3 an a1s a2 s ( s p1 )( s p2 ) 或sp1 p2 ( s pn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s p3 )
机械工程控制基础
例8
s 1 已知: F ( s) 3 2 求: f(t) s s s
a1s a2 a3 F ( s) 2 s s 1 s
s s 1
2
1 3 的两个复数根为： j 2 2
将上式两边同乘
s s 1
2
1 3 并令s= 2 j 2
1 3 1 3 得 j a1 ( j ) a 2 2 2 2 2
实部和虚部分别相等，得a1=-1,a2=0
1
6( s 2) 传递函数 ] 若R(s)=1，则 y (t ) L [ 2 s 7 s 12 12 1 6 L [ ] s3 s4 3t 4t 6e 12 e
1
机械工程控制基础
La(t )
0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
0 (t ) t0 t0
(单位）脉冲函数
L (t ) 1
机械工程控制基础
正弦函数 sinωt
Lsin(t ) 2 2 s
余弦函数 cosωt
s Lcos( t ) 2 2 s
3 2
( s 2s 3s 1) x0 ( s) (2s 1) xi ( s)
3 2
2s 1 x0 ( s) 3 机械工程控制基础 xi ( s) 2 s 2s 3s 1
(3) 几种典型时间函数的拉氏变换
单位阶跃函数
第二章 拉氏变换
此时 c11 F (s).(s p1 )
k s p1
，但求解取 c12 ,, c1k
却不能再用此法，否则分母将出现0。
其中
d c12 ( s p1 ) k F ( s ) ds s p1
d (i 1) 1 k 一般地 c1i (i 2,...k ) i 1 (s p1 ) F (s) (i 1)! ds s p1
t (2).g (t ) e f ( ) a
at
第三节 Laplace逆变换
Laplace 逆变换定义 前面，我们定义了函数f(t)的拉氏变换为：
F ( s)
0
f (t )e st dt （*)
其中，F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函 数，而f(t) 称作F(s)的Laplace逆变换（或象 原函数），记作：
am ( s z1 )( s z 2 )...( s z m ) bn ( s p1 )( s p2 )...( s pn )
A( s) B( s )
1、 n m 且 B(s) 0 无重根，则：
F ( s) k k1 k 2 ... n s p1 s p2 s pn
st st 0
0
£+[f(t)]
这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：
F (s) f (t )e dt （Re(s)>0）
st 0
例4 求单位脉冲函数的拉氏变换
f(t)
1
t
例5： 求函数 f (t ) (t ) cos t kekt u(t ),(k 0)
m 1 st m A( s )e ( s s1 ) , (t 0) B( s )
第二章 拉普拉斯变换
1. 常用函数的拉氏变换
(1) 指数函数
0
t0
f
(t
)
Aet
t0
（2.6）
式中，A和α为常数。
其拉氏变换为
L[ Aet ] Aetestdt A e( s)tdt A
0
0
s
（2.7）
可以看出，指数函数在复平面内将产生一个极点。
第二章 拉普拉斯变换
(2) 阶跃函数
f
(t
)
0 A
t0 t 0
因此，正弦函数的拉氏变换为
L[ Asin t] A (e jt e jt )estdt 2j 0
A 2j
s
1 j
A 2j
s
1 j
A s2 2
（2.17）
类似地， Acost（如图2.3(b)所示）的拉氏变换可以导出如下：
L[ Acost] As s2 2
（2.18）
(5) 脉动函数
A
f
t
图2.1 单位阶跃函数
第二章 拉普拉斯变换
单位阶跃函数 u(t)
0
t0
u(t) 1
t 0
（2.10）
其拉氏变换为
L[u(t)] estdt 1
0
s
（2.11）
实际上，发生于t 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t 0时，
把一个定常信号突然加到系统上。高度为A的阶跃函数，即式 （2.8）中的 f (t) ，当其发生在 t 0 时，可以写成 f (t) Au(t) 。
从拉氏变换 F(s)求时间函数 f (t) 的逆变换过程称为拉普拉斯 逆变换，简称为拉氏逆变换，其运算符号为 L1。
L1[F (s)] f (t) 1
积分变换_(Laplace)课件与习题
当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需 要知道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier变换的表达式为
[ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0, )上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用.
对定义在 [0,) 上的函数 f (t), 如果考虑
L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
j e(sjk)td t e(sjk)td t
20
0
j
2
s
1 jk
s
1 jk
s2
k
k2
,（Re(s)>0）
k L[sin kt] s2 k 2
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
e(sk )td t 1 e (sk )t 1
0
sk
0 sk
所以 L[ekt ] 1 (Re(s) k). sk
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为
Re(s)>Re(k)
10
练习: 求单位斜坡函数
第二章拉普拉斯变换
page 3
第二章 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
设时间函数 f (t)，,则t 0 的拉普f (拉t) 斯变换定义为
控 制
L[ f (t)] F(s) f (t) estdt 0
工
程
基 础
象函数(Image Function)
原函数(Original Function )
page 4
制 工
2
程
基 础
cost 1 (e jt e jt )
2
page17
第二章 拉普拉斯变换
三、使用MATLAB符号运算工具箱进行拉氏变换
MATLAB提供了 laplace（）函数来实现拉氏变换。
例2-1 求解函数 ebt cosat c 的拉氏变换。
控 制
解：输入以下命令
工
程 %L0201.m
A s2
eTs
1 eTs
seTs
page24
第二章 拉普拉斯变换
三、周期函数的拉氏变换
若函数 f 是(t)以T 为周期的周期函数,L f t f t estdt 0
控 制
T f testdt 2T f testdt n1T f t estdt
第二章 拉普拉斯变换
（六）正弦函数
正弦函数（Sine Function）的数学表达式为
r(t) sin t (t≥0)
控 式中， 为正弦函数的角频率。
制
工 程 基
其拉氏变换为 L[sin t] sin t estdt 0
础
1 (e jt ejt )est d t 2j 0
s2 2
u(t或) 1(t)来表示。 其变化曲线
0
t
控 如图2-1-2所示。
机械控制工程基础第二章2习题解答
题目：已知()t t f 5.0=，则其()[]=t f L 【 】A. 25.0s s +B. 25.0sC.221sD. s 21 分析与提示：由拉氏变换的定义计算，可得()[]215.0s t f L = 答案：C题目：函数f (t )的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：拉氏变换定义式。
答案：dt e t f st ⎰∞-0)(题目：函数()atet f -=的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：拉氏变换定义式可得，且f(t)为基本函数。
答案：as +1题目：若te t tf 22)(-=，则()=)]([t f L 【 】A.22+s B.3)2(2+s C.22-s D.3)2(2-s分析与提示：拉氏变换定义式可得，即常用函数的拉氏变换对，3)2(2)]([+=s t f L 答案：B题目：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足 条件。
分析与提示：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足狄里赫利条件。
答案：狄里赫利题目：已知()15.0+=t t f ，则其()[]=t f L 【 】A. 25.0s s +B. 25.0sC.s s1212+ D. s 21分析与提示：由拉氏变换的定义计算，这是两个基本信号的和，由拉氏变换的线性性质，其拉氏变换为两个信号拉氏变换的和。
()[]s st f L 115.02+= 答案：C题目：若()ss s s F ++=214，则()t f t ∞→lim )=( )。
【 】A. 1B. 4C. ∞D. 0分析与提示：根据拉氏变换的终值定理)(lim )(lim )(0s sF t f f s t →∞→==∞。
即有414lim )(lim 20=++=→∞→ss s st f s t答案：B题目：函数()t et f atωcos -=的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：基本函数t ωcos 的拉氏变换为22ω+s s，由拉氏变换的平移性质可知()[]()22ω+++=a s as t f L 。
laplace变换
ℒ
t cos tdt 1 0 s
1 s 1 ℒ cos t 2 2 s s 1 s 1
15
（2）象函数的积分性质
若 ℒ f (t ) F ( s ), 且积分 s F ( s)ds 收敛
f (t ) ] F ( s )ds 则 ℒ[ s t
0
0
f (t )e d t
st
[e t d ( t ) e t u( t )]e st d t
dt e 0 ( s ) t e ( s )t e t 0 s 0 s 1 s s
0
解:
1 因为 ℒ sin t 2 s 1
sin t 1 ℒ [ ] ds arctan s 2 s t s 1 s
s
F ( s)ds
收敛
2
arctan s
所以
顺便可得
sin t ℒ 2 arctan s t sin t 1 0 t dt 0 1 s 2 ds arctan s
一般地
f (t ) ℒ [ n ] s ds s ds s ds F ( s ) t n 次
16
推论 若 ℒ f (t ) F ( s ), 且积分 f ( t ) dt F ( s )ds 则 0 0 t sin t 例4 求ℒ t
(2.1)
F ( s)
0
f (t )e d t
称此式为函数f(t)的Laplace变换式(简称拉氏变换式), 记为 F(s)= ℒ [f(t)] F(s)称为f(t)的Laplace变换(或称为象函数). 而f(t)称为 F(s)的Laplace逆变换(或象原函数)记为 f(t)= ℒ 1[F(s)]
第二章 拉普拉斯变换(高教第四版)
f ( 2kb)e
- s ( 2 kb )
d
e
而
-2 kbs
2b
0
f ( )e d
2b - st
- s
2b
0
f (t )e d t t e d t (2b - t )e d t
- st - st 0 b
b
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积分变换
函数 f ( t ) 的Laplace变换式
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二、Laplace变换的概念
积分变换
记作: F ( s ) L [ f ( t )], F ( s ) 称为 f ( t )
的Laplace变换. 若 F ( s )是 f ( t ) 的Laplace变换,则称 f ( t ) 为 F ( s )的Laplace逆变换. 记作:
几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt
后得到的j(t)u(t)e-bt的Fourier变换都存在.
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二、Laplace变换的概念
积分变换
j ( t )u( t )e - b t b 0 取Fourier变换, 可得 对函数
Gb ( ) j (t )u(t )e- b t e- j t d t
积分变换
同理得余弦函数的Laplace变换
s L [cos kt ] 2 Re s 0 2 s k
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积分变换
0 t b t , 求周期性三角波 f ( t ) 2b - t , b t 2b
拉普拉斯(Laplace)变换及其应用
2s 1
1
1
1
t
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
R + UC -
+
Ｕs
-
C
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取 电容两端的电压为输出电压，设 开关S闭合前，电路处于零初始状 态，即： uc (0 ) 0 在t=0时，开关S闭合，电路 接入直流电源Us。则根据KVL 定理，有：
u R uc U s
t 0
f ( ) d
p L( p)
1
0
性质3（相似性质） L
pt 性质4（延迟性质） L f ( t t 0 ) e L ( p )
p f ( a t ) L a a 1
性质5（位移性质） L
e
t
f ( t ) L ( p )
st 0
【例2-1】 求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信 号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义 式。
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作 用信号。它的拉氏式由定义式有：
F (t ) L[2 e
at
at
]
2 s
1 sa
3s 2a s ( s a)
例2-2 求
2s 1 s ( s 1)
的原函数。
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 s( s 1) A s B s 1 A s B s 1 ( A B) s A s( s 1)
拉氏变换的性质
第二章拉普拉斯(Laplace) 变换第二节Laplace变换的性质1. 线性性质若α, β 是常数，且ℒ[f 1(t )]=F 1(s ),ℒ[f 2(t )]=F 2(s ),则有ℒ[αf 1(t )+ βf 2(t )]=α F 1(s )+β F 2(s )ℒ−1[α F 1(s )+β F 2(s )]=α f 1(t )+β f 2(t )此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.2. 微分性质若ℒ[ f (t )]=F (s ),则ℒ[ f '(t )]= sF (s ) -f (0)e ()()deststf t f t +∞+∞−−=−∫证明0[()]()ed stf t f t t +∞−′′=∫L 0e d ()stf t +∞−=∫[()](0)s f t f =−L 0(0)()e d stf s f t t+∞−=−+∫()]()(0)(Re())f t sF s f s c ′=−>推论:若L [ f (t )]=F (s ), 则L [ f ''(t )]=s L [f '(t )]-f '(0)特别, 当初值 f (0)= f '(0)=......= f (n -1)(0)=0时, 有ℒ[ f '(t )]= sF (s ),ℒ[f ''(t )]=s 2F (s ), ......,ℒ[ f (n )(t )]=s n F (s )=s {s L [ f (t )]-f (0)} –f '(0)= s 2 L [ f (t )] –s f (0) -f '(0)…...L L [ f (n )(t )]=s LL [ f (n -1)(t )]-f (n -1)(0)=s n F (s ) -s n -1f (0) -s n -2f '(0) -...... -f (n -1)(0)10).mm m t s s+=>由于f (0) = f '(0)=…...= f (m -1)(0)= 0, 而f (m )(t ) =m !例1. 利用微分性质, 求函数f (t )=t m 的拉氏变换, 其中m 是正整数.解即所以ℒ[m !]= ℒ[ [f (m )(t )]=s m ℒ[ f (t )]!!]! [1]m m m s ==L 111(Re()0).m m s ++>）(1m t m t e dt ∞−Γ+∫+0）=象函数的微分性质:若ℒ[ f (t )]=F (s ), 则F '(s )= ℒ[-t f (t )], Re(s )>c .和F (n )(s )= ℒ[(-t )n f (t )], Re(s )>c .d d ()()e d stF s f t t +∞−=∫证明0()e d ()e d d stf t t tf t t s +∞−=−∫()]tf t −()()]()()](1)()nn t F s f t Fs ′=−=−例2.求函数f (t )=t sin kt 的拉氏变换.22[sin ]kkt s k=+∵2222222222221()()s s ks k s k s k −−=+++解由象函数的微分性质知22d [sin ]k t kt k =− L 2222()kss k =+22d d s s s k=− +3. 积分性质若ℒ[ f (t )]=F (s ), 则01()d ()tf t t F s s= ∫L []11)d ()()t f t F s ss== L 证明设0()()d ,t h t f t t =∫则()(),(0)0h t f t h ′==且 [()](0) [()],s h t h s h t −=L L重复应用上式, 就可得到:)9.2()(1d )(d d }{000s F s t t f n t t n ttt=∫∫∫次L象函数的积分性质:若ℒ[ f (t )]=F (s ),则0()d ()e d d tssF f t t ττττ∞∞+∞−=∫∫∫()e d d tsf t tττ+∞∞−=∫∫e d t s t τ∞− 0()e d st f t t t +∞−=∫()f t t =L ()()d sf t F s st ∞=∫L象函数的积分性质:,()d d ()d n s s s f t s s F s st ∞∞∞= ∫∫∫一般地有L例3 求函数sin()ktf tt=的拉氏变换.()()dsf tF s st∞=∫L(其中F (s )= ℒ[ f (t )]).,d )(d )(0,)10.2(,d )(000∫∫∫∞∞++∞==s s F t tt f s t t t f 则有取式按存在如果积分2|arctan d 11,110022π==+=+=∞∞∫s s s t s 则有()()d s f t F s s t ∞ =∫L4.位移性质若ℒ[ f (t )]=F (s ),则有ℒ[e at f (t )]=F (s -a )(Re(s -a )>c ).(2.12)0[e ()]e ()e d atatstf t f t t+∞−=∫L =F (s -a )(Re(s -a )>c )证根据拉氏变换式, 有()0()ed s a tf t t+∞−−=∫22[sin ],kkt s k=+已知 由位移性得L 例4求ℒℒ[e -at sin kt ]2[esin ]atkkt k−=+L sin 3]t =23(2)9s ++sin 3]t =23(1)9s −+5. 延迟性质若ℒ[ f (t )]=F (s ), 又t <0时f (t )=0,则对于任一非负数τ ≥0, 有ℒ[ f (t −τ)]= e −s τF (s )(2.13)[()]()e d stf t f t tττ+∞−−=−∫L 证由拉氏变换的定义得)e d tτ−()ed stf t tττ+∞−−())ed s u u u τ−+,,d d u t u t u τ=+=() (R e())s s c >0e()ed s suf u uτ+∞−−=∫函数f (t −τ)与f (t )相比, f (t )从t =0开始有非零数值. 而f (t −τ)是从t =τ (τ ≧0)开始才有非零数值. 即延迟了一个时间τ. 从它的图象讲, f (t −τ) 是由f (t )沿t 轴向右平移τ 而得, 其拉氏变换也多一个因子e −s τ.tτf (t )f (t −τ)例5求函数0(),(0)1t u t t ττττ< −=>> 1[()]s u t eττ−−=L 的拉氏变换.τt1[()],u t s=已知L 根据延迟性性质小结性质小结，，设ℒ[ f (t ) ]= F (s )，ℒ[ g (t ) ]= G (s )()()()()f t g t F s G s αβαβ+↔+线性() ()(0)f t sF s f ′↔−微分()12(1)() ()(0)(0)(0)n n n n n ft s F s sf sf f−−−↔−′−−− ()()n s ()d F s s τ↔()()s t F s ds∞↔∫() ()t F s a ↔−) () (0,()00)s t s t e F f ττ−<↔<≥且性质小结性质小结，，设ℒ[ f (t ) ]= F (s )，ℒ[ g (t ) ]= G (s )相似性(书P92,2)常见函数的拉氏变换1(), (0)s f at F a a a↔>ℒ[ 1 ]=122k k+22ss k+1(1)m m s+Γ+ℒ[ ]=mt 1!m m s +ℒ[ ]=mt m 为正整数利用常见函数的拉氏变换以及拉氏变换的性质可求：利用常见函数的拉氏变换以及拉氏变换的性质可求：1、其他函数的拉氏变换2、拉氏逆变换求解微分、、积分方程3、求解微分例6.求下列函数的拉氏变换F (s ).(1)()sin ,2t f t at a=4(2)()cos 4,t f t e t −=30sin 2.t u e u du −∫(1)te −−例7.求下列函数的拉氏逆变换f (t ).41(1) (),(1)F s s =+21(2) (),(4)F s s s =+2.413s ++作业P92: 1(1, 3, 5, 7, 9); 2(4); 3(1, 4);4(4); 6(2, 4, 6)。
积分变换第二章拉氏变换
则：
∞ f (t ) L = ∫s F ( s )d s . t
∞ ∞ ∞ f (t ) 一般地 , 有L n = ∫ d s ∫ d s⋯ ∫ F ( s )d s s s s t n次
17
例9 求函数
sht f (t ) = t
d L [ f ( t )] = −L [ tf ( t )] Re( s ) > c ds
推论
d n n L [ f ( t )] = ( −1) L[t f ( t )] Re( s ) > c n ds
n
10
f ( t ) = t 2 cos kt (k为实数 的拉氏变换 为实数) 例4 求 为实数 的拉氏变换.
2
2.拉氏变换的存在定理 若函数 (t)满足 拉氏变换的存在定理 若函数f 满足 满足: (1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续 的任一有限区间上分段连续; 的任一有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数 即存 →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得 及 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ ≤ ≤ +∞ (t)的拉氏变换 则 f (t)的拉氏变换
f ( n) ( t ) = s n F ( s ) L
( Re s > c ) ( n = 1,2,⋯)
此性质可以使我们有可能将f 的微分方程 此性质可以使我们有可能将 (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程 的代数方程. 转化为 的代数方程
第二章_Laplace变换（答案）
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
积分变换_(Laplace)课件与习题
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
拉普拉斯变换
(t)dt
=
lim
0
0
1dt
=1
1
工程表常用
t 有向线段表示，长度表示其积分值。
因脉冲强度是一个单位，又称单位脉冲强度。
该函数有一重要性质——抽样性质，即
f (t) (t)dt f (0)
因此 L[ (t)] (t)est dt 0 = (t)est dt = est 1 t 0
L1[F (s)] 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j j
也常写成 时域 f (t) F(s) 复域
它们是一一对应的关系。
§2. 常见函数的Laplace变换
下面讨论控制理论中常见函数的Laplace变换 一．单位阶跃函数 u(t)
1,t 0 u(t) 0,t 0
五． 函数（脉冲函数）
定义：
(t)
,t 0 0,t 0
(t)dt 1
它不是一个普通函数，是一个普通函数序列极限。
例：lim 0
(t)
(t)
lim
0
(t)
0
(t)
1
,0
t
0, others
t0
t0
lim
i0
F(s) 0f(t)e stdt
e 式中S是复数, st 称为积分核。上式称为Laplace 变换。
f (t) 1
j
F
(s)e
st
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积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dt tete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
3．求下列函数的Laplace 变换式：（2）42()t f t t e =220(4)4251[]2124[].2(2)tt st te e e dt s t e s s +∞-==-⎛⎫==⎪--⎝⎭⎰解：由象函数的微分性质可得，L L（3）()cos f t t t =()()200'22221[cos ][][][]2211112211[cos ].1(1)it it it it it st it st e e t e e se e dt e e dt s i s i s s s t t s s --+∞+∞---+==+⎛⎫=+=+= ⎪-++⎝⎭-⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭⎰⎰解：由象函数的微分性质可得，L L L L L 4．若[]()()f t F s =L，证明：()()∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰S f t F s ds t L 或1()[()]∞-=⎰Sf t t F s ds L 。
并利用此结论，计算下列式子： （1）sin ()ktf t t=，求()F s .（2）22()(1)sF s s =-，求()f t . 0000()()()()()()st st st sts s S f t f t e e dt f t dt f t e dsdt f t e dtds F s ds t t t -∞∞∞∞∞∞∞---⎡⎤=====⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§3 Laplace 逆变换 §4 卷积一、选择题1．函数221s s +的Laplace 逆变换212[]1s s -=+L [ ] （A ）()cos t t δ+ （B ）()cos t t δ- （C ）()sin t t δ+ （D ）()sin t t δ-22222111122222()0.111(0).11111[][1][1][]11111()Res[,]Res[,]11()()sin 2st st it its F s s s s s s s s s t e i e i s s e e t t t i δδδ-----⎛⎫ ⎪→∞→ ⎪ ⎪=-→ ⎪+++ ⎪ ⎪=-=- ⎪+++ ⎪⎛⎫ ⎪=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭ - =-=- ⎝⎭利用留数方法。
注：留数方法的条件要求当时，函数此时从而L L L L ⎪⎪⎪ 2．函数22s s e e s ---的Laplace 逆变换212[]ss e e s----=L [ ] （A ）(2)2(1)u t u t --- （B ）(1)2(2)u t u t ---（C ）2(1)(2)u t u t --- （D ）2(2)(1)u t u t ---2221111[()][(1)][(2)]2[]2[][]2(1)(2)s ss s s su t s e e u t u t s s e e e e u t u t s s s ---------⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪- ⎪=-=--- ⎪⎝⎭已知，由延迟性质可知，及，从而L L L L L L 3．设()sin()3f t t π=-，则[()]f t =L [ ]（A）212(1)s + （B）22(1)s s + （C ）3211s e s π-+ （D ）321s s e s π-+()()333333[sin()][][][]32221122i ii t i t it it i ie e e e t e e i i i e e i s i i s i πππππππ------⎛⎫- ⎪-==- ⎪ ⎪ ⎪=⋅-⋅= ⎪-+⎝⎭L L L L 二、填空题1．设()(35)f t u t =-，则[]()f t =L。
5551[(35)][(3)]33s sse e u t e u t s s ---⎛⎫⎪-==⋅= ⎪⎪⎝⎭L L 2．函数41(2)s s ++的Laplace 逆变换141(2)s s -⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦L 。
()'''221442111(3)Res[,-2]=(2)(2)3!6stt st s s e s s t t e e s s --=-⎛⎫⎡⎤+⎡⎤++-⎣⎦⎪==⎢⎥ ⎪++⎣⎦⎝⎭L 3．函数1ss +的Laplace 逆变换11s s -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L 。
[]111111111111()Res[,1]()1st t s s s s t e t e s δδ-----⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪=--=-⎪+⎝⎭L L L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换式：（1）2()32f t t t =++[][][][]222'''3232321()3()21()11123232t t t t t u t t u t u t s s s s s s ⎡⎤⎡⎤++=++⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⋅+⋅+⋅⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-+⋅=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L L（2）2()sin t f t e t -=[]2221sin 11sin (2)1tt s e t s -=+⎡⎤=⎣⎦++由，则L L2．若[]()()f t F s =L，且a 为正实数，证明[]1()()sf at F a a =L[]0011()()()()()s at s staad s f at f ate dtf ef e d F a a a aτττττττ=+∞+∞+∞-⋅-⋅-====⎰⎰⎰L3．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）。
（1）22()(1)(4)sF s s s =++[]22122222()2.(1)(4)()Res[(),]Res[(),]Res[(),2]Res[(),2]()(4)()(4)(1)(2)(1st st st st st st st sts i s i s i sF s z s i s i s s F s F s e i F s e i F s e i F s e i se se se se s i s s i s s s i s -==-===±=±++=+-++-=+++++-++++函数在平面上具有四个奇点和，它们都是一阶极点由留数方法可知，L2)(2)cos cos23s i s i t t=---=（2）21()6s F s s s +=+-4．若[()]()f t Fs =L ，证明[()]()tf t F s '=-L ，并利用此结论，设1()ln1s F s s +=-，计算()f t 。
11111()lnln(1)ln(1)111'()111111()['()][][][]1111()t tt ts F s s s s F s s s tf t F s e e s s s s e e f t t ------+==+---⇒=-+-⇒==-=-=-+-+--⇒=L L L L5．求下列卷积：（1）tt e *001t t tt t t t tt t tt t to t e e d e e d e de e e e d e te e t e τττττττττττττ-------*===-⎡⎤⎡⎤=-+=--=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰法一：222'2022112111[][][]1(1)10(1)1Res[,0]1;(1)1Res[,1](1)1[] 1.(1)t t stst s st stts t t e t e s s s s s s s s ee t s s s e e e s s se t s s ==-*=⋅=⋅=--=-=⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭==-=---法二：由于函数在复平面上具有一个二阶极点和一个一阶极点，从而由留数方法可知，L L L L（2）sin sin (0)kt kt k *≠222222222222'2222220'2222220[sin sin ][sin ][sin ]()()Res[,]();()()44Res[,]()()stst kti s st st s k k k kt kt kt kt s k s k s k k s ki s k k ek e i tki e s k s ki k k ek e ki s k s ki ==*=⋅=⋅=+++=±+⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫-= ⎪+-⎝⎭法二：由于函数在复平面上具有两个个二阶极点，从而L L L 21222()4422sin cos []()().()22kti kti kti i te k k i i kt t kt t e t e s k k k k ---=-=-++-=-+由留数方法可知，L积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§5 Laplace 变换的应用 综合练习题一、选择题1．设[()]()f t F s =L ，则下列公式中，不正确的是 [ ]（A ）1()(1)()[()]n n n f t F s t--=L （B ）1()[()](0)()f t sF s f t δ-'=-L（C ）10()()[]tF s f t dt s-=⎰L （D ）1()[()]at e f t F s a -=+L 2．利用Laplace 变换的性质，实积分sin (0)at te btdt a +∞->⎰的值为 [ ]（A ）22222()b a a b -+ （B ）22222()a b a b -+ （C ）2222()ab a b + （D ）2222()ab a b -+二、填空题1．设3()sin 2t f t te t -=，则[()]f t =L 。