第二章_Laplace变换(答案)

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第02章 Laplace变换_2012

-

- ( b j ) t
dt

0
f (t )e - st dt
其中 f ( t ) g ( t ) u ( t )
s b j
进一步将用s表示，代入有 s-b F ( s) Gb ( ) f (t )e - st dt 0 j 上式所确定的函数F(s)就是函数f(t)的Laplace变换。
- st

0
f (t ) e d t
- st 0

0
e - st d f (t )
f (t )
0
-
0
f (t ) de - st
- f (0) s
f (t ) e - st d t sL [ f (t )] - f (0)
即L [ f (t )] sF ( s ) - f (0) (Re( s ) c)
-t
m
-t
- t 0

e dt
- t 0
0
e mt
m -1
dt
mG( m ) 而且G(1)
0
e dt -e
-t
1
因此如m为正整数，则有G( m 1) m !
其它常用函数的Laplace变换
1、幂函数f(t)= tm（常数m>-1）的Laplace变换

拉普变换

∫
£[e f (t)] =
0 at
+∞
eatf (t)e−st dt
∫
=
0ห้องสมุดไป่ตู้
+∞
f (t)e−(s−a)t dt = F (s − a)
12
7. 延迟性质：设 F (s) = £[f (t)], 当 t < 0 时 ,f (t) = 0 . 对任意 τ ≥ 0 £[f (t − τ )H (t − τ )] = e−sτ f (s) e−sτ F (s)
9p (p+2)(p−3)
1
(
1
1
)
例4 求函数 F (p) = 逆变换 f (t) = £−1[F (p)]
F (p) = 5 p+2
的 Laplace
+
4 p−3
f (t) = £−1[F (p)] 1 1 −1 −1 = 5£ [ ] + 4£ [ ] = 5e−2t + 4e3t p+2 p−3 (t ≥ 0). 例 5 求单位脉冲函数 δ (p − a), δ (p) 的 Laplace 变换, 其中 a ≥ 0 ∫ ∞ £[δ (p−a)] = δ (p−a)e−pt dt = e−pa, a ≥ 0
∫
0
+∞
1 − cost t2

第二章拉普拉斯变换

L[ f (n) (t )] = sn F (s) - sn- 1 f (0) - sn- 2 f ¢ (0) -
f (n- 1) (0)
)
( Rs e> ( c)
如果 L[ f (t )] = F (s) ，则 F ¢ (s) = - L[tf (t )]
F ( n) (s) = (- 1)n L[t n f (t )]
1 t 1 = ò [cos t + cos(2t - t )]d t = (t cos t + sin t ) 2 0 2
§2.5 拉氏变换的应用
+ 2 y - 3 y = 0 满足初始条件例 1 求方程 yⅱ
y
t= 0
= 0, y¢ t= 0 = 1 的解
0 ，设 L[ y(t )] = Y (s)
y¢ (0) Y ( s) = ( s - 1)2
y ( x) = y ¢ (0) xe x
代入边界条件得
y ( x) = 4 x- l xe l
(s = b + j w,> t 0)
其中 t 为 f (t ) 的连续点。如果 t 为 f (t ) 的间断
b+ j f (t + 0) + f (t - 0) 1 st 点，则改成： = F ( s ) e ds ò b j 2 2p j

第二章_Laplace变换(答案)

积分变换练习题第二章 Laplace 变换

________系_______专业班级姓名______ ____学号_______

§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质

一、选择题

1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]

（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1

e s -+

11[(1)][()];1[(1)](1)s

s t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭

由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L

2．设2sinh ()t

f t t =

，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）1

2ln 1

s s +-

见课本P84

二、填空题

1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L

。

22''222321[(2)][()];1442[(1)]s

s s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L

。

(1)00''

231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t t

e e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝

积分变换第二章拉氏变换

k 1 p1t 1 t e 1 注意：其中 ( s p ) k (k 1)! 1
£
E (s) 其余的 D(s)
按情况1求解即可得到f(t).
2s 1 例求的原函数。 s( s 1) 解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开： 2s 1 A B s( s 1) s s 1 其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得： A B A( s 1) Bs ( A B) s A s s 1 s( s 1) s( s 1)
且有，f (t ) [k1e p1 t k2e p2t ...kne pnt ]u (t )
其中ki ( s pi ) F Leabharlann Baidu s )
s pi
2、 n m 但 B( s) 0 有一个k重根
A( s) F (s) ( s p1 ) k D( s)
c1k c11 c12 E ( s) ... k k 1 ( s p1 ) ( s p1 ) ( s p1 ) D(s )
一般地 :
n F ( n ) ( s) = (1)n £ [ t f (t )]，Re(s)>c
性质3（积分性质）：若，F (s) = £ [f (t)],则：
1 f (t )dt ] F ( s ) s
£[ 0

第2章拉普拉斯变换

注意：A=1，称其为单位阶跃函数，记为 1(t)。阶跃函数相当于在 t=0 处将一个不变信号突然加到系统上。
1 定义与基本变换
例3 斜坡函数
f(t)
At (t 0) f t 0(t 0)
A t 0 1
A L f t 2 s
注意：A=1，称其为单位斜坡函数。
该定理表示：①常数与原函数乘积的拉氏变换等于常数与该原函数的拉氏变换的乘积。②若干原函数之代数和的拉氏变换等于各原函数拉氏变换之代数和。
2.延迟定理：
L f t a e as F s
L e at f t F s a
3.位移定理：

2 拉普拉斯变换性质
2 拉普拉斯变换性质例求下面函数的拉普拉斯变换： 3t
f t te
解：
1 at Lt 2 , L f t e F s a s 1 3 t L te 2 s 3
例已知时间函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)为
1 定义与基本变换
拉氏变换的定义
单边拉氏变换，隐含着当t<0，f(t)=0
函数f(t)的拉氏变换，像拉氏变换运算符
F s L f t f t e dt 0
st
复变量

第二章拉氏变换

可记为 F(s)=£ [f(t)] 其：F(s)称作f(t)的Laplace变换（或象函数）
相应地： f(t) 称作F(s)的Laplace逆变换（或象原函数），记为
1[F(s)] f(t)=£

结论
拉氏变换存在定理若函数f(t)满足条件: 1，在t≥0任一有限区间上分段连续; 2，当t→+时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即，存在一常数M>0及 c ≥0使：
st 即：f (t ) Re s F ( s ) e , sk , (t 0) k 1

求Laplace逆变换的方法
三种方法求逆变换：
一、留数法二、部分分式法三、直接查表法
一、留数法
若函数F(s)=A(s)/B(s),其中A(s),B(s)是不可约的多项式，B(s)的次数为n, A(s)的次数小于n，则：
第一节 Laplace变换的概念

定义设函数 f (t ) 当 t 0 时有定义，且积分

0
f (t )e st dt （s j是一复参量）
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为：
F ( s)
0
f (t )e st dt （*)
上式（*）称为函数f(t)的Laplace变换式
1 f (t )dt ] F ( s ) s

第二章拉普拉斯变换

1 2 f (t ) L s 1 s 2 2 1 1 1 L L s 1 s 2
1
2e e
t
2 t
机械工程控制基础
b.F(s)含有多重极点时，可展开为
F(s) a11 a12 a1k a2 an (s p1 ) k (s p1 ) k 1 (s p1 ) (s p 2 ) (s p n )
1
6( s 2) 传递函数 ] 若R(s)=1，则 y (t ) L [ 2 s 7 s 12 12 1 6 L [ ] s3 s4 3t 4t 6e 12 e
1
机械工程控制基础
F ( s) f (t )dt] n s
机械工程控制基础
对微分方程进行拉氏变换:
d x0 (t ) d x0 (t ) dx0 (t ) dxi (t ) 2 3 x0 (t ) 2 xi (t ) 3 2 dt dt dt dt
3 2
解:对上式两端取拉氏变换,利用微分定理得
s x0 ( s) 2s x0 ( s) 3sx0 ( s) x0 ( s) 2sxi ( s) xi ( s)
F ( s)
lim f (t ) lim sF ( s)
s 0
机械工程控制基础
初值定理微分定理

第二章拉普拉斯变换

sa
解：由初值定理和终值定理得
控
f 0 lim sF s lim s 1 1
制
s
s s a
工
程
基础
f lim sF s lim s 1 0
s0
s0 s a
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机电工程学院
第二章拉普拉斯变换
十、复微分定理(Complex-Differentiation Theorem)
1
0
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机电工程学院
第二章拉普拉斯变换
（二）单位阶跃函数
u (t )
单位阶跃函数(Unit Step
Function )又称位置函数通常用
u (t或) 1(t)来表示。其变化曲线
控如图2-1-2所示。
制
工程基础
数学表达式为
u(t
)
0 1
1
0
t
图2-1-2 单位阶跃函数
t0
t0
u ( t ) 的拉氏变换为 L[u(t)] u(t) estdt estdt
二、典型时间函数的拉氏变换
常用的时间函数有：
单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加控速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。
制工程基础
page 6
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（一）单位脉冲函数

拉氏变换的性质

+∞ f (t) de−st
(Re(s) > c)
0
0
∫ = − f (0) + s +∞ f (t) e−std t
0
= s L [ f (t)] − f (0)
即 L [ f ′(t)] = sF (s) − f (0) (Re(s) > c)
3
推论: 若 L [ f (t )]=F(s), 则 L [ f ''(t )]=s L [f '(t)]- f '(0)
∞
+∞ f (t) e−τtd t dτ
s
s0
∫ ∫ = +∞ ∞ f (t) e−τtdτ d t 0s
∫=
+∞ 0
f
(t )
−1 e−τ t t
∞ s
d t
∫=
+∞ f (t) e−std t = L 0t
f (t) t
即
∫ L

f
(t) t
特别, 当初值 f (0)= f '(0)=......= f (n-1)(0)=0时, 有
ℒ [ f '(t)]= sF(s),
ℒ [f ''(t)]=s2F(s), ......,
ℒ[ f (n)(t )]=snF(s)

第二章 Laplace变换

这就是本章要讨论的Laplace变换, 它放宽了对函
数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留
Fourier变换中许多好的性质, 更实用、更方便.
第二章 Laplace变换
2.1 Laplace变换的概念和存在定理
2.1.1 Laplace变换的定义
定义设 f (t)在 t 0上有定义, 并且积分
类似可得 L
[cost]
s2
s
2
(Re s 0).
解：
L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
j e(sjk )td t e(s jk )td t
20
0
j
2
s
1 jk
s
1 jk
s2
k
L[ f (t)]
f (t )estdt,
0
L[ f (t)]
f (t )e stdt
0
0 0
f (t )estdt
L [ f (t )].
函数的Laplace变换
如果 f (t)在 t 0 附近有界或在通常意义下
0
可积时， 0
f (t )estdt
0,
即 L [ f (t)] L [ f (t)];
f1(t) f (t)et ( 0),
第二章 Laplace变换

第二章拉普拉斯变换

L[K1 f1(t) K2 f2 (t)] K1F1(s) K2F2 (s)
（2.34）
证明：
L[K1 f1(t) K2 f2 (t)]
0
[K1
f1 (t )
K2
f2
(t
)]estdt
0
K1
f1 (t )e st dt
0
K2
f2
(t )e st dt
K1F1(s) K2F2 (s)
第二章拉普拉斯变换
2.1 拉氏变换的概念
2.1.1问题的提出
利用单位阶跃函数 u(t) 和指数衰减函数 et (β＞0)所具有的
特点，分别构成两个新的函数 (t)u(t) 和 (t)e，t 这时，(t)u(t) 的积分区间由(-∞，∞)变成 [0, )，在积分区间 [0, )内 (t)u(t) (t) ；而 (t)et 就有可能变得绝对可积。
可能不同，如图2.7所示。当 f (t)在t＝0处具有间断点时，f (0) 和 f (0)之间的差别很重要，因为在这种情况下df (t)/dt在t＝0处将
f (t) f (0 )
f (t)
f (0 ) 0
f (0 ) f (0 )
t
0
t
图2.7 在t＝0－和t＝0＋时，阶跃函数和正弦函数的初始值
L[ f (t)] L[ f (t)]
（2.33）

第二章拉普拉斯变换

第二章
第1,2小节
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的基本概念
一、在线性定常微分方程求解中引入拉普拉斯变换
在线性定常微分方程的求解过程中引入拉普拉斯变换： 1. 先取微分方程的拉氏变换，将微分方程化为象函数的代数方程； 2.根据代数方程的相关特性，求出象函数； 3.通过拉氏反变换求出原微分方程的变量的解。
非重根si：
二重根sj：
1.对F(s)的分母做因式分解后，将F(s)分解为三部分：
2.利用留数定理确定待定系数：
由此得到F(s)的常用函数组合：
3.利用Laplace变换的线性性质和复移位性质，反变换F(s)得到f(t):
三、象函数包含有共轭复根
• 共轭复根的特点是两个根具有相同的实部和符号相反的虚部，如： • 共轭复根在象函数的分母中可以表示为：
三、基本环节的拉普拉斯变换
1. 单位阶跃函数的拉普拉斯变换原函数：象函数：
2. 单位斜坡函数的拉普拉斯变换原函数：象函数：
3. 指数函数的拉普拉斯变换原函数：象函数：
4. 正弦、余弦函数的拉普拉斯变换
原函数：象函数：
5. 常用函数的拉普拉斯变换：
四、拉普拉斯变换的常用性质和定理
4. 对代数方程的解求拉氏反变换部分分式分解(存在一对共轭复根，采用配方法):
与Uo(s)的分子部分匹配：

积分变换_(Laplace)课件与习题

5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
同理可得
L[cos kt]
s2
s k2
15
例4 求 f (t) tn (n 1)的Laplace变换.
解如果n是正整数, 则有
t n
n! sn1
(Re(s) 0).
tn
n! sn1
当 n 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
[tn]
1 sn1
(n
1)
(Re(s) 0),
2
当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需要知道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier变换的表达式为
[ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0, )上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用.
对定义在 [0,) 上的函数 f (t), 如果考虑

机械控制工程基础第二章2习题解答

题目：已知()t t f 5.0=，则其()[]=t f L 【】

A. 25.0s s +

B. 25.0s

21s

D. s 21 分析与提示：由拉氏变换的定义计算，可得()[]2

5.0s t f L = 答案：C

题目：函数f (t )的拉氏变换L[f(t)]= 。分析与提示：拉氏变换定义式。答案：dt e t f st ⎰

∞

-0

)(

题目：函数()at

t f -=的拉氏变换L[f(t)]= 。

分析与提示：拉氏变换定义式可得，且f(t)为基本函数。答案：a

s +1

题目：若t

e t t

f 22

)(-=，则(

)=)]([t f L 【】

22+s B.

)2(2

+s C.2

2-s D.

)2(2

-s

分析与提示：拉氏变换定义式可得，即常用函数的拉氏变换对，3

)

2(2

)]([+=

s t f L 答案：B

题目：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足条件。分析与提示：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足狄里赫利条件。答案：狄里赫利

题目：已知()15.0+=t t f ，则其()[]=t f L 【】

A. 25.0s s +

B. 25.0s

s s

1212

+ D. s 21

分析与提示：由拉氏变换的定义计算，这是两个基本信号的和，由拉氏变换的线性性质，其拉氏变换为两个信号拉氏变换的和。()[]s s

t f L 1

.02

+= 答案：C

题目：若()s

s s s F ++=

4，则()t f t ∞→lim )=( )。【】

A. 1

B. 4

C. ∞

D. 0

分析与提示：根据拉氏变换的终值定理)(lim )(lim )(0

laplace变换

4
2.拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足: (1). 在t0的任一有限区间上分段连续; (2). 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数M>0及c0, 使得 |f(t)|Mect, 0t< 则f(t)的拉氏变换
F ( s)

0
f ( t )e d t
变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定
在这些性质中, 凡是要求Laplace变换的函数都满足
Laplace变换存在定理中的条件, 并且把这些函数的
增长指数都统一地取为c. 在证明性质时不再重述这些条件.
1. 线性性质
设 ℒ f1 (t ) F1 ( s) ℒ f 2 (t ) F2 ( s) , 为常数则 ℒ f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s ) ℒ 1 F1 ( s ) F2 ( s ) f1 (t ) f 2 (t )
st
在半平面Re(s)>c上一定存在, 右端的积分在Re(s)c1>c 上绝对收敛而且一致收敛, 并且在Re(s)>c的半平面内, F(s)为解析函数.
5
例3 求 f(t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换.
解： [sin kt ] ℒ

0
sin kt e d t

第二章_Laplace变换(答案)

第02章 Laplace变换_2012

拉普变换

第二章 拉普拉斯变换

第二章_Laplace变换(答案)

积分变换第二章拉氏变换

第2章 拉普拉斯变换

第二章 拉氏变换

第二章 拉普拉斯变换

第二章拉普拉斯变换

拉氏变换的性质

第二章 Laplace变换

第二章 拉普拉斯变换

第二章 拉普拉斯变换

积分变换_(Laplace)课件与习题

机械控制工程基础第二章2习题解答

laplace变换

第二章拉普拉斯变换

第2章拉普拉斯变换

第二章拉氏变换

第二章拉普拉斯变换

第二章拉普拉斯变换

第二章拉普拉斯变换