锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习8.2两条直线的位置关系(含答案详析)

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2022届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章第2讲两直线的位置关系 Word版含答案

第2讲两直线的位置关系, [同学用书P145])1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在2．两条直线的交点3．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B21．辨明三个易误点(1)在推断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可依据相应公式或性质推断，若直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，肯定要留意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n∈R，且n≠C)．1.教材习题改编已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－m，m＋1)，若直线AB∥PQ，则m的值为()A．－1B．0C．1 D．2C[解析] 由于AB∥PQ，所以k AB＝k PQ，即0－3－4－2＝m＋1－1－m－（－3），解得m＝1，故选C.2.教材习题改编已知A(5，－1)，B(m，m)，C(2，3)，若△ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m 的值为()A．4 B．3C．2 D．1D[解析] 由题意得B＝90°，即AB⊥BC，k AB·k BC＝－1，所以m＋1m－5·3－m2－m＝－1.解得m＝1或m＝72，故整数m的值为1，故选D.3．直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则实数a的值为________．[答案]234.教材习题改编两平行直线x－2y－1＝0与x－2y＋m＝0的距离为5，则m＝________．[解析] 由平行线间的距离公式得|－1－m|12＋（－2）2＝5，即|m＋1|＝5，所以m＝4或m＝－6.[答案] 4或－65.教材习题改编已知三点O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，则△OAB的面积为________．[解析] 由于|AB|＝（1－3）2＋（3－1）2＝2 2.AB所在的直线方程为y－31－3＝x－13－1，即x＋y－4＝0.所以O 到AB 的距离d ＝|－4|2＝2 2.所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×22×22＝4.[答案] 4两条直线平行与垂直[同学用书P146][典例引领](1)(2021·邢台摸底考试)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．【解析】 (1)依题意，留意到直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－a 3＝－1a －2，1a －2≠1，解得a ＝－1，故选C.(2)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0，2)．由于l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：由于直线l 过直线l 1和l 2的交点，所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. 由于l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.【答案】 (1)C (2)4x ＋3y －6＝0将本例(2)中条件“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直”改为“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0平行”，求此时直线l 的方程．[解] 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0，2)．由于l ∥l 3，所以直线l 的斜率k ＝34，所以直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x －4y ＋8＝0.法二：由于直线l 过直线l 1和l 2的交点，所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. 由于l 与l 3平行，所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝27，所以直线l 的方程为3x －4y ＋8＝0.两直线平行或垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合． (3)已知两直线的一般方程设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.该方法可避开对斜率是否存在进行争辩．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)由于l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0.又由于直线l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)由于直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，所以直线l 1的斜率存在．所以ab＝1－a .①又由于坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .②联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.距离公式(高频考点)[同学用书P147]距离公式包括两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式．在高考中经常消灭，多为简洁题或中档题．高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度： (1)求距离；(2)已知距离求参数值； (3)已知距离求点的坐标． [典例引领](1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A ．95B ．185C ．2910D ．295(2)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________．【解析】 (1)由于36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设点P 的坐标为(a ，b )．由于A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.由于点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，所以|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 【答案】 (1)C (2)(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87[题点通关]角度一求距离 1．(2021·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A ．102B ．10C ．5D ．10D [解析] 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，由于过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以M 位于以PQ 为直径的圆上，由于|PQ |＝9＋1＝10，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D. 角度二已知距离求参数值2．若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 A [解析] 由于直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，所以⎩⎨⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，所以n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．所以m ＋n ＝0.角度三已知距离求点的坐标3．已知定点A (1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，12 B ．⎝⎛⎭⎫22，22 C ．⎝⎛⎭⎫32，32 D ．⎝⎛⎭⎫52，52 A [解析] 由于定点A (1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，AB 的方程为y ＋x －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，12.对称问题[同学用书P148][典例引领]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413. 所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4，3)．又由于m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，由于P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.[通关练习]1．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1，0)对称，则b ＝________． [解析] 法一：由题知，点A 不在直线x ＋2y －3＝0上，所以两直线平行，所以－12＝－a4，所以a ＝2.又点A 到两直线距离相等，所以|1－3|5＝|2＋b |25，所以|b ＋2|＝4，所以b ＝－6或b ＝2.由于点A 不在直线x ＋2y －3＝0上，所以两直线不能重合，所以b ＝2.法二：在直线x ＋2y －3＝0上取两点P 1(1，1)、P 2(3，0)，则P 1、P 2关于点A 的对称点P ′1、P ′2都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上．由于易知P ′1(1，－1)、P ′2(－1，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－a ＋b ＝0，所以b ＝2.[答案] 22．已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．[解析] 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. [答案] 6x －y －6＝0,[同学用书P148])——忽视直线斜率的不存在性致误已知直线l 过点A (1，2)，且原点到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．【解】当直线l 过点A (1，2)且斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，原点到直线l 的距离为1，满足题意．当直线l 过点A (1，2)且斜率存在时，由题意设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0. 由于原点到直线l 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以所求直线l 的方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.(1)解决本题易忽视直线的斜率不存在的状况，从而只求得一条直线．(2)在解决与直线方程或直线位置关系有关问题时，若题目中没有明确直线的斜率是否存在，要留意对斜率的存在性进行分类争辩．已知经过点A (－2，0)和点B (1，3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2相互垂直，则实数a 的值为________．[解析] l 1的斜率k 1＝3a －01－（－2）＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －（－1）a －0＝1－2aa .由于l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa ＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0，0)，这时直线l 2为y 轴， A (－2，0)，B (1，0)，直线l 1为x 轴，明显l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] 1或0,[同学用书P339(独立成册)])1．若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0相互平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 C [解析] 由于直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0相互平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋（2－m ）＝0，m ＋2（2－m ）≠0，解得m ＝1.故选C. 2．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B ．13或－1C ．13D ．－1B [解析] 由于直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0， l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或a ＝－1.故选B.3．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限B [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎨⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又由于0<k <12，所以x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在其次象限．4．(2021·石家庄模拟)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝0A [解析] 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.5．已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．－6或12B ．－12或1C ．－12或12D ．0或12A [解析] |3m ＋2＋3|m 2＋12＝|－m ＋4＋3|m 2＋12，即|3m ＋5|＝|7－m |，解得m ＝－6或12.6．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A ．522B ．5 2C ．1522D ．15 2B [解析] 由题意得，线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，由于原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝102＝52，所以线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值为5 2.7．已知A ，B 两点分别在两条相互垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为________．[解析] 依题意，a ＝2，P (0，5)，设A (x ，2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则 A (4，8)，B (－4，2)，所以|AB |＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10.[答案] 108．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________．[解析] 由于l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，即直线l 2的斜率为12. [答案] 129．已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________．[解析] 当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．由于A (1，1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.[答案] x ＋2y －3＝010. 如图，已知A (－2，0)，B (2，0)，C (0，2)，E (－1，0)，F (1，0)，一束光线从F 点动身射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．[解析] 从特殊位置考虑．如图，由于点A (－2，0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2，4)，所以kA 1F ＝4.又点E (－1，0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2，1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1，4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，所以k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．[答案] (4，＋∞)11．正方形的中心为点C (－1，0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程． [解] 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离 d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.12．(2021·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线D [解析] 由于点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排解A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C＝0平行，排解C ，故选D.13．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． [解] (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，明显，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．14．A ，B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A ，B 两工厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A ，B 两工厂用水，要使供水站到A ，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？[解] 如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A (0，400)，点B (a ，100)．过点B 作BC ⊥AO 于点C .在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300，由勾股定理得BC ＝400，所以B (400，100)．点A (0，400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)，由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝54x －400.令y ＝0，得x ＝320，即点P (320，0)．故供水站(点P )在距O 点320 m 处时，到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短．。

2021新高考数学新课程一轮复习：第八章第2讲两条直线的位置关系含解析

第2讲两条直线的位置关系组基础关1．已知过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行，则m 的值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．1 答案 B解析由题意得，k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m －6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m －6－m＝12，所以m ＝－2.2．若直线l 1：(m －2)x －y －1＝0与直线l 2：3x －my ＝0互相平行，则m 的值等于( )A ．0或－1或3B ．0或3C ．0或－1D ．－1或3答案 D解析当m ＝0时，两条直线方程分别化为－2x －y －1＝0,3x ＝0，此时两条直线不平行；当m ≠0时，由于l 1∥l 2，则m －23＝1m ，解得m ＝－1或3，经验证满足条件．综上，m ＝－1或3.故选D.3．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0 答案 D解析解法一：解方程组⎩⎨⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，可得两条直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－197，37，又因为所求直线过原点，所以其斜率为－319，方程为y ＝－319x ，即3x＋19y ＝0.解法二：根据题意可设所求直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，λ＝－45.所以x －3y ＋4－45(2x ＋y ＋5)＝0，整理得3x ＋19y ＝0.4．(2019·南昌检测)直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝0答案 A解析在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.5．若直线l 经过点(－1，－2)，且原点到直线l 的距离为1，则直线l 的方程为( )A ．3x －4y －5＝0B ．x ＝－1C ．3x －4y －5＝0或y ＝－1D ．3x －4y －5＝0或x ＝－1 答案 D解析当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1，满足原点到直线l 的距离为1，∴x ＝－1.当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，由原点到直线l 的距离为1，∴|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.从而得直线l 的方程为y ＋2＝34(x ＋1)，即3x －4y －5＝0.综上可得，直线l 的方程为x ＝－1或3x －4y －5＝0.6．(2019·葫芦岛模拟)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，m 的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．1 答案 C解析直线mx －y ＋1－2m ＝0可化为y ＝m (x －2)＋1，故直线过定点Q (2,1)，当PQ 和直线垂直时，距离取得最大值，故m ·k PQ ＝m ·2－13－2＝m ·1＝－1，m ＝－1.7．已知直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，则直线l 的一般式方程为( )A ．3x －y ＋5＝0B ．3x ＋y ＋1＝0C ．x －3y ＋7＝0D ．x ＋3y －5＝0 答案 B解析设l 与l 1的交点坐标为A (a ，y 1)，l 与l 2的交点坐标为B (b ，y 2)，∴y 1＝－4a －3，y 2＝3b5－1，由中点坐标公式得a ＋b 2＝－1，y 1＋y 22＝2，即a ＋b ＝－2，(－4a －3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 5－1＝4，解得a ＝－2，b ＝0，∴A (－2,5)，B (0，－1)，∴l 的方程为3x ＋y ＋1＝0.8．点(2,1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________．答案 (0,3)解析设对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0,3)．9．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则实数c 的值是________．答案 2或－6解析直线6x ＋ay ＋c ＝0的方程可化为3x ＋a 2y ＋c2＝0，由题意得a2＝－2且c2≠－1，解得a＝－4，c≠－2.根据两平行直线的距离为21313，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－c232＋(－2)2＝21313，所以1＋c2＝±2，解得c＝2或－6.10．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________．答案2x＋y－14＝0解析由A，B两点得k AB＝12，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.组能力关1．已知b＞0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为()A．1 B．2 C．2 2 D．2 3答案 B解析由已知两直线垂直，得(b2＋1)－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b＞0，∴ab＝b＋1b.由基本不等式得b＋1b≥2 b·1b＝2，当且仅当b＝1时等号成立，∴(ab)min＝2.故选B.2．两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A．(5，＋∞) B．(0,5]C．(34，＋∞) D．(0，34]答案 D解析当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为(－1－2)2＋[2－(－3)]2＝34，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0，34]．故选D.3．(2019·保定模拟)设点P 为直线l ：x ＋y －4＝0上的动点，点A (－2,0)，B (2,0)，则|P A |＋|PB |的最小值为( )A ．210 B.26 C ．2 5 D.10 答案 A解析依据题意作出图象如下，设点B (2,0)关于直线l 的对称点为B 1(a ，b )，则它们的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，且|PB |＝|PB 1|，由对称性，得⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×(－1)＝－1，a ＋22＋b2－4＝0，解得a ＝4，b ＝2，所以B 1(4,2)，因为|P A |＋|PB |＝|P A |＋|PB 1|，所以当A ，P ，B 1三点共线时，|P A |＋|PB |最小，此时最小值为|AB 1|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝210.4．(多选)已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的可能取值为( )A.43B.23 C ．－43 D ．－23 答案 BCD解析设l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0，易知l 1与l 2交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13，l 3过定点B (0，－1)．因为l 1，l 2，l 3不能构成三角形，所以l 1∥l 3或l 2∥l 3或l 3过点A .当l 1∥l 3时，m ＝23；当l 2∥l 3时，m ＝－43；当l 3过点A时，m ＝－23，所以实数m 的可能取值为－43，－23，23.故选BCD.5．已知曲线y ＝4x 在点P (1,4)处的切线与直线l 平行且两直线之间的距离为17，则直线l 的方程为________．答案 4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0解析 y ′＝－4x 2，所以曲线y ＝4x 在点P (1,4)处的切线的斜率k ＝－412＝－4，则切线方程为y －4＝－4(x －1)，即4x ＋y －8＝0.所以可设直线l 的方程为4x ＋y ＋C ＝0，由|C ＋8|42＋1＝17，得C ＝9 或C ＝－25，所以所求直线方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0.6．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，则顶点C 的坐标为________，直线BC 的方程为________．答案 (4,3) 6x －5y －9＝0解析由AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0可以知道k AC ＝－2，又A (5,1)，AC 边所在直线方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 与直线CM 方程得⎩⎨⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3，所以顶点C 的坐标为C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，由M 在直线2x －y －5＝0上，得2x 0－y 0－1＝0， B 在直线x －2y －5＝0上，得x 0－2y 0－5＝0，联立⎩⎨⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0.解得⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－3，所以顶点B 的坐标为(－1，－3)．于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.7．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线P A 时，点P 到直线l 的距离最大．又因为直线P A 的斜率k P A ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.。

2019届高三一轮总复习文科数学检测：8-2两条直线的位置关系含解析

[课时跟踪检测][基础达标]1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若两直线平行，则a (a ＋1)＝2，即a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件．答案：A2．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.故选C.答案：C3．(2018届荆州模拟)已知直线l 1：(m －3)x ＋(4－m )y ＋1＝0与l 2：2(m －3)x －2y ＋3＝0平行，则m 的值为( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：因为l 2：2(m －3)x －2y ＋3＝0的斜率k ＝m －3. 故若直线l 1∥l 2，则－m －34－m ＝m －3，即(m －3)(m －5)m －4＝0，解得m ＝3或m ＝5.经检验m ＝3或m ＝5时两直线平行．答案：C4．(2018届汕头模拟)直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变动时，所有直线都通过定点( )A ．(0,0)B ．(0,1)C．(3,1) D．(2,1)解析：由直线kx－y＋1－3k＝0得y－1＝k(x－3)，故直线过定点(3,1)．答案：C5．(2017届保定模拟)分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离，则l1的方程是()A．x－y－4＝0 B．x＋y－4＝0C．x＝1 D．y＝3解析：连接AB，当l1与l2分别与AB垂直时，l1与l2之间有最大距离且d＝|AB|，此时k AB＝1，∴kl1＝－1，则y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.答案：B6．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析：由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y－01－0＝x－31－3，即x＋2y－3＝0.答案：D7．点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为()A.22 B. 2C．2 2 D．2解析：当点P为直线y＝x＋2平移到与曲线y＝x2－ln x相切的切点时，点P 到直线y＝x＋2的距离最小．设点P(x0，y0)，f(x)＝x2－ln x，则f′(x0)＝1.∵f′(x)＝2x－1x，∴2x0－1x0＝1，又x0＞0，∴x0＝1，∴点P的坐标为(1,1)，此时点P到直线y＝x＋2的距离为22＝2，故选B.答案：B8．若直线x a ＋yb ＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b 2≥1解析：直线x a ＋yb ＝1通过点M (cos α，sin α)，我们知道点M 在单位圆上，此问题可转化为直线x a ＋yb ＝1和圆x 2＋y 2＝1有公共点，圆心坐标为(0,0)，由点到直线的距离公式有|－1|1a 2＋1b 2≤1⇒1a 2＋1b 2≥1，故选D.答案：D9．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________．解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.答案：12x ＋8y －15＝0.10．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：解方程组⎩⎨⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎨⎧x ＝－9，y ＝－8，所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，所以a ＝23.答案：2311．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________．解析：设A (x ，y )为所求直线上的任意一点，则A ′(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，即3x －4(－y )＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0.答案：3x ＋4y ＋5＝012．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎨⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎨⎧ m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.13．已知直线l 经过两条直线2x ＋3y －14＝0和x ＋2y －8＝0的交点，且与直线2x －2y －5＝0平行．(1)求直线l 的方程；(2)求点P (2,2)到直线l 的距离．解：(1)联立⎩⎨⎧2x ＋3y －14＝0，x ＋2y －8＝0，解得其交点坐标为(4,2)．因为直线l 与直线2x －2y －5＝0平行，所以直线l 的斜率为1. 所以直线l 的方程为y －2＝1×(x －4)，即x －y －2＝0. (2) 点P (2,2)到直线l 的距离为d ＝|2－2－2|12＋(－1)2＝22＝ 2. 14．已知直线l 1：x ＋y －3m ＝0和l 2：2x －y ＋2m －1＝0的交点为M ，若直线l 1在y 轴上的截距为3.(1)求点M 的坐标；(2)求过点M 且与直线l 2垂直的直线方程．解：(1)∵直线l 1在y 轴上的截距是3m ， ∴3m ＝3，m ＝1，由⎩⎨⎧x ＋y －3＝0，2x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝73，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，73.(2)设过点M 且与直线l 2垂直的直线方程是x ＋2y ＋c ＝0，将M 代入解得c ＝－163，∴所求直线方程是3x ＋6y －16＝0.[能力提升]1．(2017届江西一模)已知A (1,2)，B (2,11)，若直线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0,6]C ．[－2，－1]∪[3,6]D ．[－2,0)∪(0,6]解析：由题意得，两点A (1,2)，B (2,11)分布在直线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m －2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C. 答案：C2．(2018届南昌模拟)已知直线l 1：mx －y ＋3＝0与l 2关于直线y ＝x 对称，l 2与l 3：y ＝－12x ＋12垂直，则m ＝( )A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：因为l 1：mx －y ＋3＝0与l 2关于直线y ＝x 对称，故直线l 2的方程为my －x ＋3＝0. l 2与l 3：y ＝－12x ＋12垂直，所以l 2的斜率为2，所以1m ＝2，∴m ＝12. 答案：B3．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－794．(2018届唐山模拟)已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：2x ＋(a 2－a )y ＋3＝0，且l 1⊥l 2，则a ＝________.解析：因为l 1⊥l 2，所以2a ＋3(a 2－a )＝0，解得a ＝0或13. 答案：0或13。

新高考数学人教版一轮学案第八章第二节两直线的位置关系

第二节两直线的位置关系热点命题分析学科核心素养本节内容单独考查较少，多与其他知识交汇考查．常涉及充要条件、直线与圆锥曲线的位置关系等内容，多为选择题.通过两直线的位置关系、对称问题的考查，提升数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第152页知识点一两直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解． • 温馨提醒 •两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则实数m 的值为( ) A ．0 B ．－8 C ．2 D ．10答案：B2．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A3．(易错题)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．3答案：C知识点二距离公式 1．两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. 2．点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.• 温馨提醒 •运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错．1．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2－1 B ．2＋1 C ．2－ 2 D ．2＋2 答案：A2．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是( ) A.423B ．324C.233 D ．334答案：B授课提示：对应学生用书第153页题型一两直线的位置关系自主探究1．(2021·济南模拟)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x ＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A2．(2021·衡水中学一调)直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝()A．－7或－1B．－7 C．7或1 D．－1 答案：B3．(2021·洛阳统一考试)已知b＞0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab 的最小值为()A．1 B．2 C．2 2 D．2 3 答案：B两直线位置关系的三种判断方法方法平行垂直适合题型化成斜截式k1＝k2，且b1≠b2k1k2＝－1斜率存在一般式设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0无限制直接法k1与k2都不存在，且b1≠b2k1与k2中一个不存在，另一个为零k不存在题型二距离问题自主探究1．(2020·高考全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A ．1B ． 2 C. 3 D ．2答案：B2．过点P (3，－1)引直线，使点A (2，－3)，B (4,5)到它的距离相等，则这条直线的方程为( ) A ．x ＝3 B ．4x －y －13＝0 C ．4x ＋y ＋13＝0 D ．x ＝3或4x －y －13＝0 答案：D3．(2021·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－6 D ．6答案：C4．(2021·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．[0,10] B ．(0,10) C ．[0,5] D ．[5,10] 答案：A距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可．(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．题型三对称问题多维探究对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称.考法(一) 点关于点对称[例1] 过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________． [解析] 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为：x ＋4y －4＝0. [答案] x ＋4y －4＝0点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .考法(二) 点关于线对称[例2] (2021·长沙一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．[解析] 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.[答案] 6x －y －6＝0解决点关于直线对称的问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直. 考法(三) 线关于线对称[例3] 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －yl 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( ) A ．x －2y ＋1＝0 B ．x －2y－1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] B线关于线的对称的求解方法(1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． (2)若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴对称的对称点，最后由两点式求解.[对点训练]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解析：(1)设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.两直线位置关系应用中的核心素养数学运算——直线系方程的应用 1．平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．[例1] 求与直线3x ＋4y ＋5＝0平行且过点(2,3)的直线l 的方程． [答案] 3x ＋4y －18＝0先设与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C 1＝0(C 1≠C )，再由其他条件求C 1. 2．垂直直线系由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解． [例2] 求经过A (2,4)，且与直线2x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程． [答案] x －2y ＋6＝0先设与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C 1＝0，再由其他条件求出C 1. 3．过直线交点的直线系[例3] 过直线x ＋2y ＋1＝0与直线2x －y ＋1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．[解析] 设所求直线方程为x ＋2y ＋1＋λ(2x －y ＋1)＝0，当直线过原点时，1＋λ＝0得，λ＝－1，此时所求直线方程为x －3y ＝0；当直线不过原点时，令x ＝0，得y ＝λ＋1λ－2，令y ＝0，得x ＝－λ＋12λ＋1.由题意得λ＋1λ－2＝－λ＋12λ＋1，解得λ＝13或λ＝－1(舍)．此时所求直线方程为5x ＋5y ＋4＝0.综上所述，所求直线方程为x －3y ＝0或5x ＋5y ＋4＝0. [答案] x －3y ＝0或5x ＋5y ＋4＝0过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ为参数)，其中不包括直线l 2. 4．过定点的直线系[例4] 直线(m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0(m 为常数)恒过定点的坐标为________． [答案] ⎝⎛⎭⎫72，521.过定点(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为直线的斜率)或A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A、B不同时为0)．2．求直线系过定点问题的常用方法恒等式法：将直线方程化为参数的恒等式形式，利用参数取值的任意性，得关于x，y的方程组求出定点坐标．特殊直线法：给出任意两个参数值，得到两条直线，求其交点即为定点．[题组突破]1．与直线x－2y＋3＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是________．答案：x－2y±4＝02．直线mx＋y－m－1＝0(m为参数)经过定点的坐标为________．答案：(1,1)3．过直线x－2y＋4＝0和直线x＋y－2＝0的交点，且与直线3x－4y＋5＝0垂直的直线方程为________．答案：4x＋3y－6＝0。

新高考新教材一轮复习人教B版第八章第二节两条直线的位置关系作业

第八章第二节两条直线的位置关系基础夯实练1．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A ．1aB ．AC ．－1aD ．－1a或不存在解析：选D 设直线l 1，l 2的斜率分别是k 1，k 2，当a ≠0时，由l 1⊥l 2得k 1·k 2＝a ·k 2＝－1， ∴k 2＝－1a；当a ＝0时，l 1与x 轴平行或重合，则l 2与y 轴平行或重合， ∴直线l 2的斜率不存在．故直线l 2的斜率为－1a或不存在．2．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若两直线平行，则a (a ＋1)＝2，且4a ＋1≠0，即a 2＋a －2＝0，a ≠－12，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件．3．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0D ．10解析：选A 由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得p ＝－2， ∴垂足坐标为(1，－2)．又垂足在直线2x －5y ＋n ＝0上，得n ＝－12.4．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A ． 2 B ．823C ． 3D ．833解析：选B 因为a ＝0或a ＝2时，l 1与l 2均不平行，所以a ≠0且a ≠2. 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.5．(多选题)定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题不正确的是( )A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交解析：选BCD 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，P 1P 2不一定与l 垂直，错误；对于C ，若d 1＝d 2＝0，满足d 1＋d 2＝0，即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误；对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．6．(多选题)点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2，－1)D ．(－2,1)解析：选AC设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧3x 0＋y 0－5＝0，|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－1，所以点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选AC ．7．(多选题)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是( ) A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |的最大值是 2解析：选ABD 对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确．对于C ，在l 1上任取点(x ，ax ＋1)，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(－ax －1，－x )，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0得2ax ＝0，不满足不论a 为何值时，2ax ＝0恒成立，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1，所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2，所以|MO |的最大值是2，故D 正确．故选ABD ．8．直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是________.解析：在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0. 答案：3x ＋4y ＋5＝09．设光线l 从点A (－4， 3 )出发，经过x 轴反射后经过点B ⎝⎛⎭⎫0，33，则光线l 与x轴的交点为________，若该入射光线l 经x 轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为________.解析：由点B ⎝⎛⎭⎫0，33关于x 轴的对称点为B ′⎝⎛⎭⎫0，－33，可得直线AB ′的斜率为3＋33－4＝－33，方程为y ＝－33x －33，令y ＝0，可得x ＝－1，即光线l 与x 轴交点的横坐标为－1；由入射光线AB ′可得入射角为90°－30°＝60°，则折射角为30°，折射光线的斜率为k ＝tan(30°＋90°)＝－3，折射光线的方程为y －0＝－3(x ＋1)，令x ＝0，可得y ＝－3，则折射光线所在直线的纵截距为－ 3. 答案：(－1,0) － 3综合提升练10．(2021·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以BC 所在的直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2，4)．故选C ． 11．(2021·福建福州期末)已知点A (－2,1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若△ABC 的面积为2，则k 的值为( )A ．3或13B ．0C ．13D ．3解析：选B设点B (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得x ＝0，y ＝3，则B (0，3)，设直线m 的方程为y －1＝k (x ＋2)，与方程l ：x ＋y －1＝0联立，解得x ＝－2kk ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1.因为直线AB 的方程为y ＝x ＋3，且|AB |＝22，点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32＝|2－2k |2|k ＋1|，所以12×22×|2－2k |2|k ＋1|＝2，得|1－k |＝|k ＋1|，得k ＝0.故选B ．12．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为( )A ． 5B ． 6C ．2 3D ．2 5解析：选A 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，解得x ＝1，y ＝2.把(1,2)代入mx ＋ny ＋5＝0可得，m ＋2n ＋5＝0. ∴m ＝－5－2n .∴点(m ，n )到原点的距离 d ＝ m 2＋n 2＝(5＋2n )2＋n 2＝5(n ＋2)2＋5 ≥ 5，当n ＝－2，m ＝－1时取等号． ∴点(m ，n )到原点的距离的最小值为 5.13．(多选题)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：选AD 设C (x ，y )，AB 的垂直平分线为y ＝－x ，△ABC 的外心为欧拉线方程x －y ＋2＝0与直线y ＝－x 的交点M (－1,1)， ∴|MC |＝|MA |＝10， ∴(x ＋1)2＋(y －1)2＝10，① 由A (－4,0)，B (0,4)，△ABC 重心为⎝⎛⎭⎪⎫x －43，y ＋43，代入欧拉线方程x －y ＋2＝0，得x －y －2＝0，② 由①②可得x ＝2，y ＝0或x ＝0，y ＝－2. 故选AD ．14．已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M同时满足下列条件：(1)点M 是第一象限的点；(2)点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12；(3)点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5. 则点M 的坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，2 B ．⎝⎛⎭⎫13，3718 C ．⎝⎛⎭⎫19，2D ．⎝⎛⎭⎫19，3718解析：选D 设点M (x 0，y 0)，若点M 满足(2)，则|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，若点M (x 0，y 0)满足(3)，由点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M (x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，不符合题意；联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫19，3718.故选D ．15.(多选题)如图所示，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．下列四个命题中正确的有( )A ．若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个B ．若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有2个C ．若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个D ．若p ＝q ，则点M 的轨迹是一条过点O 的直线解析：选ABC 若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，A 正确．若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为(0，q )(q ≠0)或(p,0)(p ≠0)，因此满足条件的点有且仅有2个，B 正确．若pq ≠0，则“距离坐标”为(p ，q )的点有且仅有4个，如图所示，C 正确．若p ＝q ，则点M 的轨迹是两条过O 点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此D 不正确．故选ABC ．创新应用练16．在平面直角坐标系内，已知A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)，则平面内任意一点到点A 与点C 的距离之和的最小值为________，平面内到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点的坐标是________.解析：设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |＝25，当且仅当A ，M ，C 共线，且M 在A ，C 之间时取等号，同理，|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线，且M 在B ，D 之间时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，此时|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求点．因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又因为k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，所以直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4)．答案：25 (2,4)17．已知点A (4，－1)，B (8,2)和直线l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，则|P A |＋|PB |的最小值为________.解析：设点A 1与A 关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点， ∴|P 0A 1|＝|P 0A |， |P A 1|＝|P A |.|P A 1|＋|PB |≥|A 1B |＝|A 1P 0|＋|P 0B |＝|P 0A |＋|P 0B |， ∴|P A |＋|PB |≥|P 0A |＋|P 0B |＝|A 1B |.当P 点运动到P 0时，|P A |＋|PB |取得最小值|A 1B |.设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则由对称的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4·1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，∴A 1(0,3)．∴(|P A |＋|PB |)min ＝|A 1B |＝ 82＋(－1)2＝65.答案：65。

高考数学一轮复习全套课时作业8-2两直线的位置关系

作业8.2两直线的位置关系一、单项选择题1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为()A．－12B．－2C．0D．103．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是()A．m＝1或m＝－2B．m＝1C．m＝－2D．m的值不存在4．已知直线l1：x＋2y－1＝0，l2：2x＋ny＋5＝0，l3：mx＋3y＋1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为A．－10B．10C．－2D．25．(2021·吉林高一期中)点A(cosθ，sinθ)到直线3x＋4y－4＝0的距离的最大值为()A.1 5B.45C．1 D.956．已知直线3x＋y－1＝0与直线23x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是() A．1 B.54C．3D．47．已知点P(m，n)在直线2x＋y＋1＝0上运动，则m2＋n2的最小值为()A.5 5B.5C.15D．5二、多项选择题8．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是()A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称D．如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是2(O为坐标原点)9．已知集合A＝{(x，y)y－3x－2＝a＋1}，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，若A∩B＝∅，则a的值可能为A．－4或52B．1C．－1D．0三、填空题与解答题10．已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．11．若函数y＝ax＋8与y＝－12x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝________．12．如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．13．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．14．光线从A(－4，－2)点射出，射到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程．15．在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y ＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A，C的坐标．16．(2021·江西赣州模拟)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0，l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为()A．32B．23C．33D．4217．(2021·试题调研)已知点A(3，0)，B(0，3)，M(1，0)，O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则△MPQ的周长的最小值为()A．4B．5C．25 D.3418．在平面直角坐标系中，定义两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的直角距离为：d(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.现有以下命题：①若P，Q是x轴上的两点，则d(P，Q)＝|x1－x2|；②已知P(2，3)，Q(sin2α，cos2α)，则d(P，Q)为定值；③原点O与直线x－y＋1＝0上任意一点P之间的直角距离d(O，P)的最小值为2 2；④若|PQ|表示P，Q两点间的距离，那么|PQ|≥22d(P，Q)．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．作业8.2两直线的位置关系参考答案1．答案A 解析若两直线平行，则a(a ＋1)＝2，即a 2＋a －2＝0，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件．2．答案A解析由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p)在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0.∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12.3．答案A解析方法一：据已知若m ＝0，易知两直线不平行，若m ≠0，则有1m ＝1＋m 2≠m －26⇒m ＝1或m ＝－2.方法二：由1×2＝(1＋m)m ，得m ＝－2或m ＝1.当m ＝－2时，l 1：x －y －4＝0，l 2：－2x ＋2y ＋6＝0，l 1与l 2平行．当m ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y ＋6＝0，l 1与l 2平行．4．答案C解析因为l 1∥l 2且l 1⊥l 3，所以n －4＝0，且m ＋6＝0，解得n ＝4，m ＝－6，所以m ＋n ＝－6＋4＝－2.故选C.5．答案D 解析点A(cos θ，sin θ)到直线3x ＋4y －4＝0的距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4|32＋42，化简得d ＝|5sin （θ＋φ）－4|5，其中φ满足tan φ＝34，当sin(θ＋φ)＝－1时d 取得最大值，即d ＝95.故选D.6．答案B解析由题意直线3x ＋y －1＝0与直线23x ＋my ＋3＝0平行，则323＝1m⇒m ＝2，即23x ＋2y ＋3＝0，则直线3x ＋y －1＝0可化为23x ＋2y －2＝0，所以两直线之间的距离为d ＝|3＋2|（23）2＋22＝54，故选B.7．答案C解析∵点P(m ，n)是直线2x ＋y ＋1＝0上的任意一点，又m 2＋n 2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，∴m 2＋n 2的最小值为原点到直线距离的平方，∴所求最小值为(122＋122＝15，故选C.8．答案ABD解析对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故正确．对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A(0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B(－1，0)，故正确．对于C ，在l 1上任取点(x ，ax ＋1)，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(－ax －1，－x)，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不恒等于0，故不正确．对于D ，联立ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M(－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1)，所以|MO|＝（－a －1a 2＋1）2＋（－a ＋1a 2＋1）2＝2a 2＋1≤2，所以|MO|的最大值是2，故正确．故选ABD.9．答案ABC解析由题意当a ＝1时，B ＝∅，满足题意，当a ≠1时，集合B 表示一条直线，集合A 也表示一条直线y －3＝(a ＋1)(x －2)，即(a ＋1)x －y －2a ＋1＝0(去掉点(2，3))，若直线(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15过点(2，3)，则2(a 2－1)＋3(a －1)＝15，解得a ＝－4或a ＝52，若两直线平行，则(a 2－1)＋(a －1)(a ＋1)＝0(a ≠1)，解得a ＝－1，∴a 的可能值为－4，52，－1，1.故选ABC.10．答案2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析由题设可知直线l 斜率存在．设所求直线方程为y －4＝k(x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k 2.∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.11．答案2解析直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得a ＝－2，b ＝4.所以a ＋b ＝2.12．答案210解析由题意，求出P 关于直线x ＋y ＝4及y 轴的对称点分别为P 1(4，2)，P 2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P 1P 2|＝210.13．答案3解析∵M(a ，b)在直线3x ＋4y ＝15上，∴3a ＋4b ＝15.而a 2＋b 2的几何意义是原点到M 点的距离|OM|，∴(a 2＋b 2)min ＝|－15|32＋42＝3.14．答案10x －3y ＋8＝0解析作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1，6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C.故BC 所在的直线方程为y ＋46＋4＝x ＋21＋2.即10x －3y ＋8＝0.15．答案A(－1，0)，C(5，－6)解析如图，设C(x 0，y 0)，由题意知l 1∩l 2＝A，则－2y ＋1＝0，＝0＝－1，＝0.即A(－1，0)．又∵l 1⊥BC ，∴k BC ·kl 1＝－1.∴k BC ＝－1kl 1＝－112＝－2.∴由点斜式可得BC 的直线方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.又∵l 2：y ＝0(x 轴)是∠A 的平分线，∴B 关于l 2的对称点B ′在直线AC 上，易得点B ′的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.由C(x 0，y 0)在直线AC 和BC 上，0＋y 0＋1＝0，0＋y 0－4＝00＝5，0＝－6.即C(5，－6)．16．答案A解析由题意知，点M 所在直线与l 1，l 2平行且与两直线距离相等．设该直线的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，解得c ＝－6.点M 在直线x ＋y －6＝0上．点M 到原点距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|－6|2＝3 2.故选A.17．答案C解析过A(3，0)，B(0，3)两点的直线方程为x ＋y －3＝0，设M(1，0)关于直线x ＋y －3＝0对称的点为N(x ，y)，1，＋12y －3＝0，＝3，＝2，即N(3，2)，同理可求M(1，0)关于直线OB 的对称点为E(－1，0)，当N ，P ，Q ，E 四点共线时，△MPQ 的周长MQ ＋PQ ＋PM ＝EQ ＋PQ ＋NP ，取得最小值为NE ＝（3＋1）2＋4＝25，故选C.18．答案①②④解析①因为P ，Q 是x 轴上的两点，故|y 1－y 2|＝0，则d(P ，Q)＝|x 1－x 2|，正确；②根据定义d(P ，Q)＝|2－sin 2α|＋|3－cos 2α|，因为sin 2α∈[0，1]，cos 2α∈[0，1]，故d(P ，Q)＝2－sin 2α＋3－cos 2α＝4，正确；③根据定义d(O ，P)＝|x|＋|y|＝|x|＋|x ＋1|≥|x －(x ＋1)|＝1，当且仅当x(x ＋1)≤0时，取得最小值，错误；④因为|PQ|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2，d(P ，Q)＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|,由不等式2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)2，即可得|PQ|≥22d(P ，Q)，正确．。

高考数学一轮复习第八章解析几何第二讲两条直线的位置关系学案含解析新人教版

第二讲两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．知识点二两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__．知识点三三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2．特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2． (2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．归纳拓展1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P (a ，b )关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m ，－a －m )，点P (a ，b )关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m ，a ＋m )．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2．( × )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )题组二走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0，∴a ＝－1＋2．题组三走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)距离最大，即为|AP |＝2，故选B ．解法二：因为点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离d ＝|1＋k |k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k k 2＋1；∵要求距离的最大值，故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2，当且仅当k ＝1时取等号，故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6，－6)__．[解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba ×1＝－1a 2－b2－6＝0，解得a ＝6，b ＝－6，∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6，－6)．考点突破·互动探究考点一两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)等腰直角三角形斜边的中点是M (4,2)，一条直角边所在直线的方程为y ＝2x ，则另外两边所在直线的方程为__x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0__．[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0． (2)由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，∴m ＝3或m ＝－2，∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝6，4m ≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k ，由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1，∴k ＝13，∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4)，即x －3y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝⎛⎭⎫25，45， ∴A 关于M 的对称点B ⎝⎛⎭⎫385，165，∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝⎛⎭⎫x －385，即x ＋2y －14＝0，故填x －3y ＋2＝0、x ＋2y －14＝0．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f (x )＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直，则a＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0”平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f ′(x )＝2cos x ，∴k ＝f ′⎝⎛⎭⎫π3＝1．所以1×(－a )＝－1，∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2，∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ．考点二两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P (2，－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．(3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，若l 1∥l 2，则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2，kl 2＝－a 4，由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1，∴a ＝－2，∴l 2：x －2y ＋3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A (－1，1)，∴|AO |＝2． (2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2．若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5．③由②可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，当l 1∥l 2时，a 2－1＝0，解得a ＝±1；当a ＝1时l 1与l 2重合，不满足题意；当a ＝－1时l 1∥l 2，此时l 1：x －y －1＝0，l 2：x －y ＋1＝0；则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋(－1)2＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A ，则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等，则m 的值可以为( C ) A ．－6或12B ．－12或1C ．12或－6D ．1或－6(3)(2021·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A (1,2)，又直线l 过点B (－2，－1)，∴所求最大距离为|AB |＝32，故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A (1,2)，则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b |1＋b 2＝31＋b 2＋2b1＋b 2＝31＋2b 1＋b 2≤32(当且仅当b ＝1时取等号)，故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点，∴－m ＝4－2－1－3＝－12，即m ＝12；AB中点(1,3)，∴m ＋3＋3＝0即m ＝－6，故选C ．(3)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910．考点三,对称问题——多维探究角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得y －1＝－a (x ＋3)，所以M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A (0,2)、B (3,0)，则A 、B 关于M 的对称点分别为A ′(－6,0)，B ′(－9,2)，又k A ′B ′＝2－0－9－(－6)＝－23，故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6)，即2x ＋3y＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0．又反射光线经过点N (2，6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时，由x －y ＋3＝0得y ＝0，当y ＝4时，由x －y ＋3＝0得x ＝1． ∴M (－3,4)关于直线l 的对称点为M ′(1,0)．又k NM ′＝6－02－1＝6，∴所求直线方程为y ＝6(x －1)，即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N (2,6)关于直线l 的对称点N ′(3,5)，又k MN ′＝5－43－(－3)＝16，∴所求直线方程为y－4＝16(x ＋3)，即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A (0，－2)，B (1,0)，则A 、B 关于l 的对称点分别为A ′(－1，－1)，B ′(1,0)，∴k A ′B ′＝0－(－1)1－(－1)＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P (x ，y )是直线l 2上任一点，则P 关于直线l 的对称点为P ′(y ＋1，x －1)，又P ′∈l 1，∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a×(－AB )＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1，1＋1)，即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解析] (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413． (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0．(3)设P (x ，y )在l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0． ①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A (－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0，故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理，得m 2(x －y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，① 不论m 为何实数，①式恒为零，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 故动直线恒过点A (－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，将解法一中求得的交点P (0,2)代入上式可得m ＝－6，故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨]1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f (λ)(x －x 0)，从而确定定点(x 0，y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中A 1B 2－A 2B 1≠0，待定系数λ∈R ．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k (x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m 为参数且m ≠b )；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ，λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9，－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)，故选D ．解法二：令m ＝1，则y ＝－4；令m ＝12，则－12x ＝－92，即x ＝9，∴直线过定点(9，－4)，故选D ．解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a )＝(1－m )(x ＋b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－9，∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9)，故直线过点(9，－4)，故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0，则|c－6|52＋122＝2，解得c＝32或－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。

创新大课堂高三人教版数学理科一轮复习课时作业8.2两直线的位置关系(含答案详析)

课时作业一、选择题1．(2014 ·济南调研 )设 a∈R，则“ a＝1”是“直线 l 1： ax＋2y－ 1＝ 0 与直线 l2：x＋(a＋ 1)y＋ 4＝0 平行”的()A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件1a＋1 A[ 易知当 a＝0 时，两直线不平行．当 a≠0 时，若两直线平行，则有a＝2 4，解得 a＝－ 2 或 a＝1，故 a＝ 1 是两直线平行的充足不用要条件． ]≠－12．当＜＜1时，直线 l 1：kx－ y＝k－1 与直线 l2： ky－x＝2k 的交点在 () 0k2A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B [ 解方程组kx－y＝k－1，得两直线的交点坐标为k2k－1ky－x＝2k，，，因为 0k－ 1 k－1＜ k＜1，所以k＜0，2k－1＞0，故友点在第二象限． ]2k－1k－13．(2014·湖南张家界一模)若动点 1 1，y1)， 22，y2)分别在直线l1：x－y－5P (x P (x＝ 0，l2：x－y－15＝ 0 上挪动，则 P1 2的中点 P 到原点的距离的最小值是 ()P5A. 22B．5215C. 22D．152B[ 由题意得 P1P2的中点 P 的轨迹方程是 x－ y－ 10＝0，则原点到直线 x－y －10＝0 的距离为 d＝10＝ 5 2.]24．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2 对于点(2，1)对称，则直线l 2 恒过定点()A．(0，4)B．(0，2)C．(－2，4)D．(4，－ 2)B[ 因为直线 l 1： y＝k(x－4)恒过定点 (4，0)，其对于点 (2，1)对称的点为 (0，2)．又因为直线l1： y＝ k(x－ 4)与直线 l2对于点 (2，1)对称，故直线l2恒过定点 (0，2)．]5．(2014 ·河南安阳一模 )平行四边形 ABCD 的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－ 3)两点， D 点在直线 3x－y＋1＝ 0 上挪动，则 B 点的轨迹方程为 ()A ．3x－y－20＝ 0B．3x－ y－10＝0C．3x－y－9＝0D．3x－ y－ 12＝05A[ 设 AC 的中点为 O，则2，－ 2 .设 B(x，y)对于点 O 的对称点为 (x0， y0)，x0＝ 5－ x，即 D(x0， y0)，则y0＝－ 4－y，由 3x0－y0＋1＝0 得 3x－y－20＝0.]6．(2014 ·福建龙岩一模 )已知直线 l 1的方向向量为a＝ (1，3)，直线 l2的方向向量为 b＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是()A ．x＋3y－5＝0B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0D．x－3y＋ 15＝0B[ 因为直线 l 2经过点 (0， 5)，且方向向量为 b＝(－1，k)，所以直线 l2的方程为 y－5＝－ kx.又因为直线 l 1的方向向量为a＝(1， 3)，且 l1⊥l2，1所以－ k·3＝－ 1? k＝3，1所以直线 l2的方程为 y－5＝－3x，即 x＋ 3y－15＝0.]二、填空题7．已知平面上三条直线x ＋ 2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ ky ＝0，假如这三条直线将平面区分为六部分，则实数 k 的全部取值为 ________．分析若三条直线有两条平行，此外一条与这两条直线订交，则切合要求，此时 k ＝0 或 2；若三条直线交于一点，也切合要求，此时 k ＝1，故实数 k 的全部取值为 0，1，2.答案 0，1，28．若两平行直线 3x －2y －1＝0，6x ＋ ay ＋c ＝0 之间的距离为 2 13，则 c ＋2a 的值13为 ________．3－2 －1分析由题意得， 6＝ a ≠ c ，∴a ＝－ 4 且 c ≠－2，c则 6x ＋ay ＋c ＝0 可化为 3x － 2y ＋2＝0，c2 132＋1由两平行线间的距离，得13＝ 13，c ＋2解得 c ＝2，或 c ＝－ 6，所以a＝±1.答案±19．(2014 ·绍兴模拟 )已知 0＜k ＜4，直线 l 1：kx －2y －2k ＋8＝0 和直线 l 2：2x ＋k 2y－ 4k 2－ 4＝0 与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的 k 值为 ________．分析由题意知直线 l 1，l 2 恒过定点 P(2，4)，直线 l 1 的纵截距为 4－k ，直线l 2 的横截距为 2k 2＋2，所以四边形的面积 S ＝12×2×(4－ k)＋12× 4× (2k 2＋2)＝ 4k 2－ k ＋8，故面积最1小时， k＝8.1答案8三、解答题1 110．(2014 舟·山模拟 )已知a＋b＝ 1(a＞ 0， b＞ 0)，求点 (0，b)到直线 x－ 2y－a＝0的距离的最小值．a＋2b1(a＋2b)1＋1分析点(0，b)到直线 x－2y－ a＝ 0 的距离为 d＝＝＝55 a b13＋2b a≥1(3＋2 2)＝3 5＋2 10a＋b5，55当且仅当 a2＝2b2，a＋b＝ab，2＋ 2即 a＝1＋ 2， b＝2时取等号．3 5＋2 10所以点 (0， b)到直线 x－2y－a＝0 的距离的最小值为5.11．过点 P(1，2)的直线 l 被两平行线 l 1：4x＋3y＋1＝0 与 l2：4x＋ 3y＋6＝0 截得的线段长 |AB|＝ 2，求直线 l 的方程．分析设直线 l 的方程为 y－ 2＝ k(x－1)，y＝kx＋ 2－ k，解得 A 3k－7 －5k＋8由，3k＋4；4x＋ 3y＋1＝0，3k＋4y＝kx＋ 2－ k，解得 B 3k－12 8－ 10k由，3k＋ 4.4x＋ 3y＋6＝0，3k＋4∵|AB|＝ 2，∴525k22，3k＋4＋3k＋4＝整理，得 7k2－48k－7＝0，1解得 k1＝ 7 或 k2＝－7.所以，所求直线l 的方程为 x＋7y－15＝0 或 7x－y－5＝0.12．已知直线 l ：3x－ y＋ 3＝ 0，求：(1)点 P(4， 5)对于 l 的对称点；(2)直线 x－ y－ 2＝0 对于直线 l 对称的直线方程．分析设 P(x，y)对于直线 l：3x－ y＋ 3＝ 0 的对称点为 P′(x′，y′)．y′－y∵k PP′·k l＝－ 1，即×3＝－1.①x′－x又 PP′的中点在直线 3x－y＋3＝0 上，x′＋x y′＋y∴3×2－2＋3＝0.②由①②得－4x＋ 3y－9x′＝5，③3x＋4y＋3y′＝5.④(1)把 x＝4，y＝5 代入③④得 x′＝－ 2， y′＝ 7，∴P(4，5)对于直线 l 的对称点 P′的坐标为 (－2，7)．(2)用③④分别代换 x－y－ 2＝0 中的 x， y，得对于 l 的对称直线方程为－4x＋3y－ 9 3x＋4y＋ 35－5－2＝0，化简得 7x＋y＋22＝ 0.。

高考一轮总复习数学(文科)练习第8章第2节两条直线的位置关系 Word版含解析

第二节两条直线的位置关系
【最新考纲】.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．
．两条直线平行与垂直的判定
()两条直线平行：
①对于两条不重合的直线、，若其斜率分别为，，则有∥⇔＝．
②当直线、不重合且斜率都不存在时，∥.
()两条直线垂直：
①如果两条直线、的斜率存在，设为，，则有⊥⇔·＝－.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为时，⊥.
．两条直线的交点的求法
直线：＋＋＝，：＋＋＝，则与的交点坐标就是方程组的解．．距离
．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()当直线和斜率都存在时，一定有＝⇒∥.( ) ()如果两条直线与垂直，则它们的斜率之积一定等于－.( )
()点(，)到直线＝＋的距离为.( ) ()已知直线：＋＋＝，：＋＋＝(，，，，，为常数)，若直线
⊥，则＋＝.( )
答案：()×()×()×()√．已知点(，)(>)到直线：－＋＝的距离为，则等于( )
．－－＋
解析：由题意知＝，∴＋＝，
又>，∴＝－.
答案：
．“＝”是“直线＋＝与直线＋＝平行”的( )
．充分不必要条件．必要不充分条件。

2025年高考数学一轮知识点复习-8.2两直线的位置关系【课件】

【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）当直线和的斜率都存在时，一定有 .( )
×
（2）若两直线的解析式组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )
√
（3）点到直线的距离为 .( )
×
（4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
2.两条直线的交点坐标已知两条直线 , 相交，则交点的坐标是方程组的解.
3.三种距离
点点距
点，之间的距离
________________________
点线距
点到直线的距离
___________
线线距
两条平行线与间的距离
_______
[提醒] 利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行直线方程化为 , 的系数对应相等的一般式.
考点二两条直线的相交及距离问题（师生共研）
例1.（1）(2023·河北石家庄模拟)已知直线，相交于点，则到直线的距离为( )
A. B. C. D.
解析：由题意，联立可得故 .则到直线的距离为，故选A.
√
（2）(2023·湖南邵东模拟)两条平)
A. B. C. D.
解析：选C.由题意得 .故选C.
√
3.若直线与直线垂直，则实数 ( )
A. B. C. D. 或
解析：选D.因为直线与直线垂直，所以，整理得 ,解得或 .故选D.
必备知识自主排查
核心考点师生共研
必备知识自主排查
01
1.两条直线的平行与垂直
（1）两条直线平行若，则与的倾斜角与相等，由，可得，即 .因此，若 ,则________.

山东新高考论坛新课标数学文一轮教师备课练习8.2两条直线的位置关系

第二节两条直线的位置关系[考情展望] 1.考查由已知两条直线平行与垂直求参数.2.考查距离的计算及对称问题.3.本节内容客观题主要考查基础知识和基本能力，主观题主要在知识交汇处命题注重考查分类讨论与数形结合思想．一、两条直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0122．两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．1．一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.2．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.二、几种距离1．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 2．点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 【解析】 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线的斜率为12，又直线过(1,0)点，则直线方程为x －2y －1＝0. 【答案】 A2．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A.2 B ．2－2 C.2－1 D.2＋1【解析】由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a ＞0，∴a ＝2－1. 【答案】 C 3．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )A ．－7B ．－1C ．－1或－7 D.133【解析】 l 1的斜率为－3＋m 4，纵截距为5－3m4，l 2的斜率为－25＋m ，纵截距为85＋m .又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m 得，m 2＋8m ＋7＝0，解得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故舍去；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m＝－4，符合题意，故选A.【答案】 A4．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.【解析】 ∵直线x －2y ＋5＝0与2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，∴m ＝1.【答案】 15．(2009·上海高考)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0，与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【解析】当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：3－k4－k＝k －3，解得：k ＝5.【答案】 C 6．(2009·课标全国卷)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)【解析】两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填写①⑤.【答案】 ①⑤考向一 [126] 两条直线的平行与垂直已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，问当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交？(2)垂直？(3)平行？(4)重合？【思路点拨】可用两直线相交、垂直、平行、重合的充分条件．【尝试解答】 (1)3≠m ·(m －2)即m 2－2m －3≠0，所以m ≠3且m ≠－1.当m ≠3且m ≠－1时，l 1与l 2相交． (2)要使l 1⊥l 2，只要1·(m －2)＋m ·3＝0即m ＝12.∴当m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)要使l 1∥l 2，只要⎩⎪⎨⎪⎧3＝m ·(m －2)6(m －2)≠2m⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3. ∴当m ＝－1时，l 1∥l 2.(4)由(3)知，当m ＝3时，l 1与l 2重合．规律方法1 在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)；(2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根. 对点训练 (1)a ＝1是直线y ＝ax ＋1和直线y ＝(a －2)x －1垂直的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( ) A ．0或3或－1 B ．0或3 C ．3或－1 D ．0或－1【解析】 (1)由a (a －2)＝－1得a 2－2a ＋1＝0， ∴a ＝1，故a ＝1是直线y ＝ax ＋1和直线y ＝(a －2)x －1垂直的充要条件． (2)由3a －(a －2)a 2＝0得a (a 2－2a －3)＝0，∴a ＝－1或0或3.检验当a ＝0或－1时两直线平行，当a ＝3时两直线重合．【答案】 (1)C (2)D考向二 [127] 两直线的交点与距离(1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．(2)已知点P (2，－1)，①求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求最大距离．【思路点拨】 (1)可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解． (2)①分直线斜率存在和不存在两种情况求解．②结合图形分析l ⊥OP 时满足条件．【尝试解答】 (1)法一先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0，其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2满足条件．若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.②作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由点斜式得y ＋1＝2(x －2)，2x －y －5＝0.∴直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.规律方法2 求点到直线距离的最值问题的方法：(1)直接利用点到直线的距离公式建立距离关于斜率k 的代数关系式求解；(2)从几何中位置关系的角度，利用几何关系求解.在解决解析几何问题时，要善于发现其中包含的几何关系，充分利用几何性质进行求解.对点训练直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．【解】当直线l 与x 轴垂直时，此时l 的方程为x ＝2，A 到l 的距离为d 1＝1，B 到l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．∵直线l 过点P (2，－5)，∴设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)，即kx －y －2k －5＝0.∴A (3，－2)到直线l 的距离d 1＝|3k －(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，B (－1,6)到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1.∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12，∴k 2＋18k ＋17＝0，∴k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0.考向三 [128] 对称问题光线由点P (－1,3)射出，遇直线l ：x ＋y ＋1＝0反射，反射光线经过点Q (4，－2)，求入射光线与反射光线所在的直线方程．【思路点拨】根据镜面反射的原理，先求点P 关于l 的对称点P ′，则直线P ′Q 为反射光线所在直线，点Q 关于l 的对称点为Q ′，则PQ ′为入射光线所在直线．【尝试解答】设P (－1,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为P ′(x 1，y 1)，点Q (4，－2)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为Q ′(x 2，y 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－3x 1＋1·(－1)＝－1x 1－12＋y 1＋32＋1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝0，所以P ′(－4,0)．同理有Q ′(1，－5)．这样，反射光线所在直线为P ′Q ，斜率k 1＝－2－04－(－4)＝－14.直线方程为x ＋4y ＋4＝0.入射光线所在直线为PQ ′，斜率k 2＝－5－31－(－1)＝－4，直线方程为4x ＋y ＋1＝0.∴入射光线直线方程为4x ＋y ＋1＝0，反射光线直线方程为x ＋4y ＋4＝0.规律方法3 (1)求点M (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)的对称点N 的方法：设N (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y －b x －a ·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1(垂直关系)A ·a ＋x 2＋B ·b ＋y2＋C ＝0(中点在直线上)求出x ，y ，即得点N 的坐标.(2)两点关于点对称，两点关于直线对称的常见结论有：,点(x ，y )关于x 轴、y 轴、直线x －y ＝0、直线x ＋y ＝0及原点的对称点分别为(x ，－y )、(－x ，y )、(y ，x )、(－y ，－x )和(－x ，－y ).对点训练已知点A 的坐标为(－4,4)，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程．【解】 (1)设点A ′的坐标为(x ，y )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧y －4x ＋4＝13，3×x －42＋y ＋42－2＝0，解得x ＝2，y ＝6，∴A ′点的坐标为(2,6)．(2)法一在直线l ′上任取一点P ′(x ，y )，其关于点A (－4,4)的对称点(－8－x,8－y )必在直线l 上，∴即3(－8－x )＋(8－y )－2＝0，即3x ＋y ＋18＝0，所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.法二由题意可知l ′∥l ，设l ′的方程为3x ＋y ＋c ＝0，由题意可知|－12＋4＋c |9＋1＝|－12＋4－2|9＋1，解得c ＝18或c ＝－2(舍)，所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.易错易误之十四小视斜率不存在————[1个示范例]————[1个防错练]————已知l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0.求使l 1∥l 2的a 的值．【解】法一当直线斜率不存在，即a ＝0时，有l 1：3x －5＝0，l 2：－x －2＝0，符合l 1∥l 2.此处易误认为直线l 1与l 2的斜率一定存在，漏掉讨论直线斜率不存在的情形当直线斜率存在时，l 1∥l 2，－32a ＝3a －1a ＝a ＝－16，经检验，a ＝－16符合题意．故使l 1∥l 2的a 的值为0或－16.法二由l 1∥l 2⇔3·(－a )－(3a －1)·2a ＝0，得a ＝0或a ＝－16，经检验，a ＝0或a ＝－16均符合题意，故使l 1∥l 2的a 的值为0或－16.【防范措施】在讨论含参数的两条直线的位置关系时，一定不要忘记两条直线的斜率是否存在的情况，否则会出现漏解.已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0，l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，则实数a 的值是________．【解析】因为直线l 1：ax －y ＋2a ＝0，l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，故有a (2a －1)＋a (－1)＝0，可知a 的值为0或1.【答案】 0或1。

新教材强基版2024届高考数学一轮复习练习第八章直线和圆圆锥曲线8.2两条直线的位置关系新人教A版

8.2 两条直线的位置关系1．已知直线l 1经过点A (2，a －1)，B (a ,4)，且与直线l 2：2x ＋y －3＝0平行，则a 等于( )A ．－2B ．2C ．－1D ．12．若直线ax －4y ＋2＝0与直线2x ＋5y ＋c ＝0垂直，垂足为(1，b )，则a ＋b ＋c 等于( )A ．－6B ．4C ．－10D ．－4 3．(2023·漳州质检)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为( )A ．垂直或平行B ．垂直或相交C ．平行或相交D ．垂直或重合4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x －2y ＋1＝0和x －2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x ＋4y ＋c 1＝0和3x ＋4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|等于( )A ．2 3B ．2 5C ．2D ．4 5．(2023·牡丹江模拟)直线y ＝33x 关于直线x ＝1的对称直线为l ，则直线l 的方程是( ) A.3x ＋y －2＝0B.3x ＋y ＋2＝0 C ．x ＋3y －2＝0 D ．x ＋3y ＋2＝06．设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ，P ，Q 分别为l 1，l 2上任意一点，M 为PQ 的中点，若|AM |＝12|PQ |，则m 的值为( ) A ．2B ．－2C ．3D ．－37．(多选)已知直线l 过点P (1,2)，且点A (2,3)，B (4，－5)到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是( )A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．3x ＋2y －7＝0D ．2x ＋3y －7＝08．(多选)设直线l 1：y ＝px ＋q ，l 2：y ＝kx ＋b ，则下列说法正确的是( )A ．直线l 1或l 2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线B. l 1与l 2至多有无穷多个交点C ．l 1∥l 2的充要条件是p ＝k 且q ≠bD ．记l 1与l 2的交点为M ，则y －px －q ＋λ(y －kx －b )＝0可表示过点M 的所有直线9．过直线3x －y ＋5＝0与2x －y ＋6＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＋1＝0的直线方程是________．10．已知直线l 1：2x ＋y ＋1＝0和直线l 2：x ＋ay ＋3＝0，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________；若l 1∥l 2，则l 1与l 2之间的距离为________．11．(2022·岳阳模拟)点P (2,7)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点的坐标为________．12．直线2x ＋3y ＋7＝0，x －y ＋1＝0和x ＋my ＝0交于一点，则m 的值为________．13．(多选)(2022·保定模拟)已知两条直线l 1，l 2的方程分别为3x ＋4y ＋12＝0与ax ＋8y －11＝0，下列结论正确的是( )A ．若l 1∥l 2，则a ＝6B ．若l 1∥l 2，则两条平行直线之间的距离为74C ．若l 1⊥l 2，则a ＝323D ．若a ≠6，则直线l 1，l 2一定相交14．(2023·汕头模拟)瑞士数学家欧拉(Euler)1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，C (2,0)，则△ABC 欧拉线的方程为____________．15．(2023·临沂模拟)已知光线从点A (6,1)射出，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射到y 轴上的点C ，再被y 轴反射，这时反射光线恰好经过点D (4,4)，则CD 所在直线的方程为________．16.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到直线l 1，l 2的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为__________.。

【非常考案】高考数学(通用版)一轮复习练习：8.2两条直线的位置关系(含答案解析)

分层限时跟踪练(四十二)(限时40分钟)[基础练]扣教材练双基一、选择题1．(2015·济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2【解析】若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0与x ＝－3，此时两直线不平行，所以a≠0，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2. 【答案】 D2．(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，l 1⊥l 2，充分性成立；若l 1⊥l 2，则1×(a －2)＋a(a －2)＝0，即a ＝－1或a ＝2，必要性不成立，应选A.【答案】 A3．(2015·广元模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2【解析】 ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)． ∴m ＋n ＝0.【答案】 A4．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1.因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．【答案】 B5．已知直线l 过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0【解析】设所求直线方程为y －4＝k(x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.【答案】 D二、填空题6．(2015·秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为______________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)， ∴直线l 2的方程为x －2y ＝0.【答案】 x －2y ＝07．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l 1与经过点P(0，－1)和点Q(a ，－2a)的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．【解析】 l 1的斜率k 1＝3a －01－－＝a. 当a≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －－a －0＝1－2a a. 因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a·1－2a a＝－1，解得a ＝1. 当a ＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l 2为y 轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0.【答案】 0或18．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________．【解析】两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2，又动直线l 1与l 2所截得的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．【答案】 ①⑤三、解答题9．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．【解】 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a.若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a)＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即a b＝1－a.③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④ 联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 10．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA|＝|PB|，且点P 到直线l 的距离为2.【解】设点P 的坐标为(a ，b)，∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P(a ，b)在上述直线上，∴a －b －5＝0.①又点P(a ，b)到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，② 联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧ a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎫277，－87. [能力练]扫盲区提素能1．如图8-2-1，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )图8-2-1A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5【解析】由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D(4,2)，关于y 轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD|＝210.【答案】 A2．(2015·开原模拟)已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A.45B.25C.255D.105【解析】 (x －1)2＋(y －1)2表示点P(x ，y)到点Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点P在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45，故选A. 【答案】 A3．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为________．【解析】依题意，a ＝2，P(0,5)，设A(x,2x)、B(－2y ，y)，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A(4,8)、B(－4,2)，所以|AB|＝＋2＋－2＝10.【答案】 10 4．双曲线x 2－y 2＝4左支上一点P(a ，b)到直线y ＝x 的距离为2，则a ＋b ＝________.【解析】由点到直线的距离公式得，|a －b|2＝2，即|a －b|＝2，又P(a ，b)为双曲线左支上一点，故应在直线y ＝x 的上方，所以a －b ＜0，所以a －b ＝－2.因为P(a ，b)在双曲线上，所以a 2－b 2＝4，所以(a ＋b)(a －b)＝4，故a ＋b ＝－2.【答案】－25．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P.(1)点A(5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A(5,0)到l 的距离的最大值．【解】 (1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y)＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|＋2＋－2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P(2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d≤|PA|(当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝|PA|＝10.6．已知点A(3,1)，在直线y ＝x 和y ＝0上各找一点M 和N ，使△AMN 的周长最短，并求出最短周长．【解】由点A(3,1)及直线y ＝x ，可求得点A 关于y ＝x 的对称点B(1，3)，同样可求得点A 关于y ＝0的对称点C(3，－1)，如图所示．则|AM|＋|AN|＋|MN|＝|BM|＋|CN|＋|MN|≥|BC|，当且仅当B ，M ，N ，C 四点共线时，△AMN 的周长最短，为|BC|＝2 5.由B(1,3)，C(3，－1)可得直线BC 的方程为2x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，y ＝x ，得⎩⎨⎧ x ＝53，y ＝53，故M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫53，53.对于2x ＋y －5＝0，令y ＝0，得x ＝52，故N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫52，0.故在直线y ＝x 上找一点M ⎝⎛⎭⎫53，53，在y ＝0上找一点N ⎝⎛⎭⎫52，0，可使△AMN 的周长最短，为2 5.。

2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第8章8.2 两条直线的位置关系

§8.2两条直线的位置关系考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②结论：|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.常用结论1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(3)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )．(4)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ,2b －y )．(5)点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x ,2b －y )．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×)(2)若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．(√)教材改编题1．点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为()A ．25 B.55C.5D.255答案C解析点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.2．若直线2x ＋my ＋1＝0与直线3x ＋6y －1＝0平行，则m 等于()A ．4B ．－4C ．1D ．－1答案A解析因为直线2x ＋my ＋1＝0与直线3x ＋6y －1＝0平行，所以23＝m6≠1－1，解得m ＝4.3．直线x －2y －3＝0关于x 轴对称的直线方程为________．答案x ＋2y －3＝0解析直线x －2y －3＝0的斜率为k ＝12且与x 轴交于点(3,0)，故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)，其方程为y ＝－12(x －3)，即x ＋2y －3＝0.题型一两条直线的平行与垂直例1(1)(2023·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件．(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a 的值是()A．0或－1B．－1或1C．－1D．1答案A解析由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意．思维升华判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是()A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合答案B解析由题意可知，直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的斜率分别为－sin A a，b sin B，又在△ABC中，asin A＝bsin B，所以－sin Aa·bsin B＝－1，所以两条直线垂直．(2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________.答案3或－21 7解析因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝17，经检验符合题意．题型二两直线的交点与距离问题例2(1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为() A．a＝6，d＝63B．a＝－6，d＝63C．a＝－6，d＝53D．a＝6，d＝53答案D解析依题意知直线2x－y＋3＝0与直线ax－3y＋4＝0平行，得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0，即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，所以两直线间的距离d＝|9－4|62＋32＝53.(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为()A．y＝1B．x＝3C．y＝0D．x＝2答案AB解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时l与直线l1，l2的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，且设直线l与直线l1和l2的交点分别为A，B.－1＝k x－3 ，＋y＋1＝0，得－1＝k x－3 ，＋y＋6＝0，得由|AB|＝5，得＝52，解得k＝0，即所求直线l的方程为y＝1.综上所述，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.思维升华利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．跟踪训练2(1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是()A．2x－3y＋5＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－2＝0D．3x＋2y＋1＝0答案D解析x－y＋3＝0，＋2y－1＝0，＝－1，＝1，所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x ＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.(2)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为()A．3B．4C．2D．6答案B解析由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1,0)距离的平方，得其最小值为点(1,0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝4.题型三对称问题命题点1点关于点的对称问题例3直线3x－2y＝0()A．2x－3y＝0B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0D．2x－3y－2＝0答案B解析方法一设所求直线上任一点为(x，y)x，－x，－3x－2y＝0上，所以2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.方法二在直线3x－2y＝0上任取两点O(0,0)，M(2,3)，设点O，MO′，M′，则OM－43，－所以所求直线方程为y－－30－－3＝x23－即3x－2y－2＝0.命题点2点关于直线的对称问题例4(2022·太原模拟)已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．213B．9 C.74D．10答案C解析依题意，设B(2,4)关于直线y＝x＋1对称的点为B′(m，n)，1，＝m＋22＋1，＝3，＝3，∴B′(3,3)，连接AB′交直线y＝x＋1于点C′，连接BC′，如图，在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′，则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，当且仅当点C与C′重合时取等号，∴(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝－4－3 2＋ 8－3 2＝74，故|AC|＋|BC|的最小值为74.命题点3直线关于直线的对称问题例5两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为() A．3x－2y－4＝0B．2x＋3y－6＝0C．2x－3y－4＝0D．3x－2y－6＝0答案C解析设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，y－y1x－x1＝－1，x＋x1 2－y＋y12－2＝0，x1＝y＋2，y1＝x－2，(*)∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．思维升华对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解(1)设A′(x，y)，由已知条件得1，3×y－22＋1＝0，＝－3313，＝413.∴A －3313，(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则3×b ＋02＋1＝0，1，得M设直线m 与直线l 的交点为N ，x －3y ＋1＝0，x －2y －6＝0，得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)方法一在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，Q (4,3)，则P ，Q 关于点A (－1，－2)的对称点P ′，Q ′均在直线l ′上，易得P ′(－3，－5)，Q ′(－6，－7)，再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.方法二∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)．∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.课时精练1．已知直线l 1经过点A (2，a －1)，B (a ,4)，且与直线l 2：2x ＋y －3＝0平行，则a 等于()A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案C解析直线l 1的斜率k 1＝ a －1 －42－a ＝a －52－a ，直线l 2的斜率k 2＝－2，所以a －52－a＝－2，解得a ＝－1，经检验符合题意．2．若直线ax －4y ＋2＝0与直线2x ＋5y ＋c ＝0垂直，垂足为(1，b )，则a ＋b ＋c 等于()A ．－6B ．4C ．－10D ．－4答案D解析因为ax －4y ＋2＝0与直线2x ＋5y ＋c ＝0垂直，故2a －20＝0，即a ＝10，因为垂足为(1，b )×1－4×b ＋2＝0，×1＋5×b ＋c ＝0，＝3，＝－17，故a ＋b ＋c ＝－4.3．(2023·漳州质检)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x ＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为()A ．垂直或平行B ．垂直或相交C ．平行或相交D ．垂直或重合答案D解析因为a 2－3a ＋2＝0，所以a ＝1或a ＝2.当a ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：4x －2y －3＝0，k 1＝－12，k 2＝2，所以k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；当a ＝2时，l 1：2x ＋y －2＝0，l 2：2x ＋y －2＝0，则两直线重合．4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x －2y ＋1＝0和x －2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x ＋4y ＋c 1＝0和3x ＋4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|等于()A ．23B ．25C ．2D ．4答案B解析因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x －2y ＋1＝0和x －2y ＋3＝0之间的距离为|1－3|12＋－2 2＝25，3x ＋4y ＋c 1＝0和3x ＋4y ＋c 2＝0之间的距离为|c 1－c 2|32＋42＝|c 1－c 2|5，于是有|c 1－c 2|5＝25⇒|c 1－c 2|＝25.5．(2023·牡丹江模拟)直线y ＝33x 关于直线x ＝1的对称直线为l ，则直线l 的方程是()A.3x ＋y －2＝0B.3x ＋y ＋2＝0C ．x ＋3y －2＝0D ．x ＋3y ＋2＝0答案C解析直线y ＝33x 与直线x ＝1交于点所以直线l 的斜率为－33且过点所以直线l 的方程为y －33＝－33(x －1)，即x ＋3y －2＝0.6．设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ，P ，Q 分别为l 1，l 2上任意一点，M 为PQ 的中点，若|AM |＝12|PQ |，则m 的值为()A ．2B ．－2C ．3D ．－3答案A解析根据题意画出图形，如图所示．直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ，M 为PQ 的中点，若|AM |＝12|PQ |，则PA ⊥QA ，即l 1⊥l 2，则1×m ＋(－2)×1＝0，解得m ＝2.7．(多选)已知直线l 过点P (1,2)，且点A (2,3)，B (4，－5)到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是()A ．4x ＋y －6＝0B ．x ＋4y －6＝0C ．3x ＋2y －7＝0D ．2x ＋3y －7＝0答案AC 解析由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点，当直线l ∥AB 时，因为直线AB 的斜率为3－－52－4＝－4，所以直线l 的方程是y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；当直线l 经过线段AB 的中点(3，－1)时，l 的斜率为2－－1 1－3＝－32，此时l 的方程是y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0.8．(多选)设直线l 1：y ＝px ＋q ，l 2：y ＝kx ＋b ，则下列说法正确的是()A ．直线l 1或l 2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线B.l 1与l 2至多有无穷多个交点C ．l 1∥l 2的充要条件是p ＝k 且q ≠bD ．记l 1与l 2的交点为M ，则y －px －q ＋λ(y －kx －b )＝0可表示过点M 的所有直线答案BC 解析对于A ，当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝m (m 为直线与x 轴交点的横坐标)，此时直线l 1或l 2的方程无法表示，故A 错误；对于B ，当p ＝k 且q ＝b 时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B 正确；对于C ，当p ＝k 且q ≠b 时，l 1∥l 2，故C 正确；对于D ，记l 1与l 2的交点为M ，则M 的坐标满足l 1：y ＝px ＋q 且满足l 2：y ＝kx ＋b ，则y －px －q ＋λ(y －kx －b )＝0不表示过点M 的直线l 2，故D 错误．9．过直线3x －y ＋5＝0与2x －y ＋6＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＋1＝0的直线方程是________．答案2x ＋y －10＝0解析x －y ＋5＝0，x －y ＋6＝0，＝1，＝8，直线x －2y ＋1＝0的斜率为12，故过点(1,8)且垂直于直线x －2y ＋1＝0的直线方程为y －8＝－2(x －1)，即2x ＋y －10＝0.10．已知直线l 1：2x ＋y ＋1＝0和直线l 2：x ＋ay ＋3＝0，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________；若l 1∥l 2，则l 1与l 2之间的距离为________．答案－25解析已知直线l 1：2x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋ay ＋3＝0，若l 1⊥l 2，则2＋a ＝0，解得a ＝－2；若l 1∥l 2，则2a ＝1，解得a ＝12，此时直线l 2：2x ＋y ＋6＝0，显然两直线不重合，故此时l 1与l 2间的距离d ＝|5|1＋4＝ 5.11．(2022·岳阳模拟)点P (2,7)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点的坐标为________．答案(－8，－3)解析设点P (2,7)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为A (a ，b ),由对称性知，直线x ＋y ＋1＝0与线段PA 垂直，所以k PA ＝b －7a －2＝1，所以a －b ＝－5，又线段PA x ＋y ＋1＝0上，即2＋a 2＋7＋b 2＋1＝0,所以a ＋b ＝－11，－b ＝－5，＋b ＝－11，＝－8，＝－3，所以点P (2,7)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点的坐标为(－8，－3)．12．已知两直线l 1：x －2y ＋4＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0.若直线l 3：ax ＋2y －6＝0与l 1，l 2不能构成三角形，则实数a ＝________.答案－1或83或－2解析由题意可得，①当l 3∥l 1时，不能构成三角形，此时a ×(－2)＝1×2，解得a ＝－1；②当l 3∥l 2时，不能构成三角形，此时a ×3＝4×2，解得a ＝83；③当l 3过l 1与l 2的交点时，不能构成三角形，此时联立l 1与l 2－2y ＋4＝0，x ＋3y ＋5＝0，＝－2，＝1，所以l 1与l 2的交点为(－2,1)，将(－2,1)代入l 3，得a ×(－2)＋2×1－6＝0，解得a ＝－2，综上，当a ＝－1或83或－2时，不能构成三角形．13．(多选)(2022·保定模拟)已知两条直线l 1，l 2的方程分别为3x ＋4y ＋12＝0与ax ＋8y －11＝0，下列结论正确的是()A ．若l 1∥l 2，则a ＝6B ．若l 1∥l 2，则两条平行直线之间的距离为74C ．若l 1⊥l 2，则a ＝323D ．若a ≠6，则直线l 1，l 2一定相交答案AD 解析若l 1∥l 2，则4a ＝3×8，∴a ＝6，故A 正确；由A 知，l 2：6x ＋8y －11＝0，直线l 1的方程可化为6x ＋8y ＋24＝0，故两条平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72，故B 不正确；若l 1⊥l 2，则3a ＋4×8＝0，∴a ＝－323，故C 不正确；由A 知，当a ＝6时，l 1∥l 2，∴若a ≠6，则直线l 1，l 2一定相交，故D 正确．14．设△ABC 的一个顶点是A (－3,1)，∠B ，∠C 的角平分线方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为__________.答案2x －y －5＝0解析∵∠B ，∠C 的角平分线方程分别是x ＝0，y ＝x ，∴直线AB 与直线BC 关于x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于y ＝x 对称．A (－3,1)关于x ＝0的对称点A ′(3,1)在直线BC 上，A (－3,1)关于y ＝x 的对称点A ″(1，－3)也在直线BC 上．由两点式，所求直线BC 的方程为2x －y －5＝0.15．(2023·临沂模拟)已知光线从点A (6,1)射出，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射到y 轴上的点C ，再被y 轴反射，这时反射光线恰好经过点D (4,4)，则CD 所在直线的方程为________．答案x －2y ＋4＝0解析如图，由题意知点B 在原点O 的右侧，直线BC 一定过点A (6,1)关于x 轴的对称点(6，－1)，且一定过点D (4,4)关于y 轴的对称点(－4,4)，所以BC 所在直线的方程为y －4＝4＋1－4－6(x ＋4)，即x ＋2y －4＝0，令x ＝0，则y ＝2，所以C 点坐标为(0,2)，所以CD 所在直线的方程为y ＝4－24－0x ＋2，即x －2y ＋4＝0.16.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到直线l 1，l 2的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为__________.答案6解析以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b ,3)．∵AC ⊥AB ，∴AC →·AB →＝0，即ab －6＝0，∴ab ＝6，b ＝6a.Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a 2≥12×72＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．∴△ABC 的面积的最小值为6.。

高考数学理(北师大版)大一轮总复习练习：8-2两条直线的位置关系(含答案解析)

计时双基练五十一两条直线的位置关系A 组基础必做1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0。

答案 A2．不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( )A.⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9，－4)解析由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0得定点坐标为(9，－4)。

答案 D3．(2016·广元模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m>0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析 ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m>0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5。

∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5， ∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)。

∴m ＋n ＝0。

答案 A4．当0<k<12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k<12，所以k k －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限。

答案 B5．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0与x ＋ay ＝0上，且线段AB的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11B ．10C ．9D ．8解析由两直线互相垂直，得－1a·2＝－1，解得a ＝2，所以中点P 的坐标为(0,5)，则OP ＝5，在直角三角形OAB 中，斜边AB ＝2OP ＝2×5＝10，所以线段AB 的长为10。

2025年高考数学一轮知识点复习-两条直线的位置关系-专项训练【含答案】

两条直线的位置关系基础巩固练1.x+y=1关于原点对称的直线是()A.x-y-1=0B.x-y+1=0C.x+y+1=0D.x+y-1=02.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于()A.2B.2-2C.2-1D.2+13.(2024·辽宁丹东模拟)直线l1:x+ay-3=0与直线l2:(a+1)x+2y-6=0平行,则a=()A.-2B.1C.-2或1D.-1或24.两条平行线l1:3x+4y-6=0,l2:9x+12y-10=0间的距离等于()A.815B.715C.415D.2155.(2024·湖南长郡中学模拟)已知直线l1:3x-3y+1=0,若直线l2与l1垂直,则l2的倾斜角是()A.150°B.120°C.60°D.30°6.(2024·四川遂宁高二期末)已知点A与点B(2,1)关于直线x+y+2=0对称,则点A的坐标为()A.(-1,4)B.(4,5)C.(-3,-4)D.(-4,-3)7.若直线4ax+y=1与直线x+(1-a)y=-1互相垂直,则a=.8.将一张坐标纸折叠一次,使点(2,0)与点(2,4)重合,则与点(-4,1)重合的点的坐标是.9.(2024·江苏南京模拟)直线l1:3x-y-3=0关于直线l2:x+y-1=0的对称直线的方程为.10.已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P,且垂直于直线x+y-2=0,则直线l的方程为.综合提升练11.(2024·河南安阳一中模拟)已知直线n:5x+y+2=0,点A(1,0)关于直线x+y+3=0的对称点为B,直线m经过点B,且m∥n,则直线m的方程为()A.5x+y+19=0B.x-5y-17=0C.5x+y-5=0D.5x+y+10=012.(2024·山东青岛模拟)数学家欧拉提出:任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点为A(-3,0),B(3,0),C(3,3),若直线l:ax+(a2-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行,则实数a的值为()A.-2B.-1C.-1或3D.313.(多选题)已知直线l1:4x+3y-2=0,l2:(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0(m∈R),则下列说法正确的是()A.直线l2过定点(2,3)B.当m=10时,l1∥l2C.当m=-1时,l1⊥l2D.当l1∥l2时,直线l1,l2之间的距离为314.已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为2x+y-1=0,两个顶点为A(1,2),B(-1,-1),则顶点C的坐标为.创新应用练15.设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线x sin A+ay+c=0与直线bx-y sin B+sin C=0的位置关系是()A.相交但不垂直B.垂直C.平行D.重合16.如图,在平面直角坐标系中,一个质点从A(13,0)处出发,沿直线行进到直线x+2y-3=0上的某一点后,再从该点出发沿直线行进到点B(-2,0)处停止,则该质点行走的最短路程是()B.5 D.163参考答案1.C解析对于直线x+y=1,将x换为-x,y换为-y得到-x-y=1,即x+y+1=0,所以直线x+y=1关于原点对称的直线是x+y+1=0.2.C解析1,解得a=-1+2或a=-1-2.∵a>0,∴a=-1+ 2.3.A解析∵直线x+ay-3=0与直线(a+1)x+2y-6=0平行,∴1×2=a(a+1),得a=-2或a=1.当a=-2时,l1:x-2y-3=0,l2:-x+2y-6=0,l1∥l2.当a=1时,l1:x+y-3=0,l2:x+y-3=0,l1与l2重合.故a=-2.4.A解析依题意,将直线l1:3x+4y-6=0变为l1:9x+12y-18=0,又l2:9x+12y-10=0,所以两平行线间=815.的距离为5.B解析∵直线l1:3x-3y+1=0,∴l1的斜率k1∴直线l2与l1垂直,∴直线l2的斜率k2满足k1k2=-1,解得k2=-3,∴l2的倾斜角为120°.6.C解析设A(x,y),因点A与点B关于直线x+y+2=0对称,则线段AB的中点在此直线上,且直线AB与直线x+y+2=0垂直,+r12+2=0,1,解得=-3,=-4,即点A的坐标为(-3,-4).7.-13解析直线4ax+y=1与直线x+(1-a)y=-1互相垂直,则4a+(1-a)=0,解得a=-13.8.(-4,3)解析依题意,点(2,0)与点(2,4)关于折痕所在直线对称,则折痕所在直线的方程为y=2,因此点(-4,1)关于直线y=2的对称点为(-4,3),所以与点(-4,1)重合的点的坐标是(-4,3).9.x-3y-1=0解析设直线l1关于直线l2对称的直线为l3,由3--3=0,+-1=0,解得=1,=0,则点(1,0)在直线l3上.在直线l1上取一点A(0,-3),设其关于直线l2对称的点为A'(m,n),1,+-32-1=0,解得=4,=1,即A'(4,1).∴直线l3的方程为-10-1=-41-4,即x-3y-1=0. 10.x-y-1=0解析(方法一)由2--3=0,4-3-5=0,解得=2,=1.即点P的坐标为(2,1).因为直线l与直线x+y-2=0垂直,所以直线l的斜率为1,由点斜式得l的方程为y-1=1×(x-2),即x-y-1=0.(方法二)直线l的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数),即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0.因为直线l与直线x+y-2=0垂直,所以2+41+3·(-1)=-1,解得λ=-1,故直线l的方程为x-y-1=0.11.A解析设点B(a,b),+2+3=0,1)=-1,解得=-3,=-4,即点B(-3,-4).因为m∥n,设直线m的方程为5x+y+c=0,将点B的坐标代入直线m的方程,可得5×(-3)-4+c=0,解得c=19,所以直线m的方程为5x+y+19=0.12.B解析由△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),知△ABC重心为(-3+3+33,0+0+33),即(1,1).又△ABC为直角三角形,所以其外心为斜边的中点(-3+32,0+32),即(0,32),所以可得△ABC的欧拉线方程为-132-1=-10-1,即x+2y-3=0.因为直线ax+(a2-3)y-9=0与直线x+2y-3=0平行,所以1=2-32≠-9-3,解得a=-1.13.ABD解析l2:(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0(m∈R)变形为m(x+y-5)+2x-y-1=0,由+-5=0,2--1=0,解得=2,=3,因此直线l2过定点(2,3),故A正确;当m=10时,l1:4x+3y-2=0,l2:12x+9y-51=0,所以412=39≠-2-51,故两直线平行,故B正确;当m=-1时,l1:4x+3y-2=0,l2:x-2y+4=0,因为4×1+3×(-2)≠0,故两直线不垂直,故C错误;当l1∥l2时,满足r24=-13≠-5-1-2,解得m=10,此时l1:4x+3y-2=0,l2:12x+9y-51=0,即4x+3y-17=0,3,故D正确.故选ABD.14.(-135,315)解析由题意可知,A(1,2)关于直线2x+y-1=0的对称点在直线BC上,设对称点为P(a,b),2+2-1=0,解得=-75,=45,即P(-75,45).所以直线BC的斜率为k=-1-45-1+75=-92,所以直线BC的方程为y+1=-92(x+1),即9x+2y+11=0.解方程组9+2+11=0,2+-1=0,求得点C的坐标为(-135,315).15.B解析由题意可知直线x sin A+ay+c=0与直线bx-y sin B+sin C=0的斜率均存在且不为0,直线x sin A+ay+c=0的斜率k1=-sin,直线bx-y sin B+sin C=0的斜率k2=sin,由正弦定理可得k1k2=-sin×sin=-1,所以两直线垂直.16.A解析如图所示,作点B关于直线x+2y-3=0的对称点C,连接AC,即为质点行走的最短路程.设点B(-2,0)关于直线x+2y-3=0的对称点为C(x1,y1).(-12)=-1,2×12-3=0,解得1=0,1=4,即点C(0,4).在直线x+2y-3=0上取点P,连接PC,则|PB|=|PC|.所以|PA|+|PB|=|PA|+|PC|≥=1453,当且仅当A,P,C三点共线时,等号成立,所。

高考数学一轮复习 8.2 两条直线的位置关系课时作业理

【与名师对话】2015高考数学一轮复习 8.2 两条直线的位置关系课时作业理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·成都第二次诊断性检测)若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由直线垂直的充要条件得(a ＋1)·1＋2(－a )＝1－a ＝0，∴a ＝1，选C. 答案：C2．(2012·浙江卷)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1，解得a ＝1或a ＝－2，代入检验符合，即“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故所求直线的斜率为－12，所以直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.答案：A4．A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －7＝0D ．2y －x －4＝0解析：由题意得A (－1,0)、P (2,3)、B (5,0)，由两点式，得PB 方程为x ＋y －5＝0. 答案：B5．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k .得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，所以交点在第二象限．答案：B6．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：∵l 2、l 1关于y ＝－x 对称，∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，∴l 2的斜率为12.答案：A 二、填空题7．(2013·青岛市高三自评试题)已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相垂直，则a 等于________．解析：当a ＝0或a ＝－2时不满足题意，易得a ·3a ＋2＝－1，解得a ＝－12. 答案：－128．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a的值为________．解析：由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4，c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，由两平行线间的距离，得21313＝|c2＋1|13.解得c ＝2或－6，所以c ＋2a＝±1. 答案：±19．(2013·海宁市高三期初测试)平面直角坐标系中，过原点O 的直线l 与曲线y ＝ex －1交于不同的A ，B 两点，分别过点A ，B 作y 轴的平行线，与曲线y ＝ln x 交于点C ，D ，则直线CD 的斜率是________．解析：设直线l 的方程为y ＝kx ，A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有y 1＝kx 1＝e x 1－1，y 2＝kx 2＝e x 2－1两边取对数得x 1－1＝ln kx 1，x 2－1＝ln kx 2C 、D 两点坐标分别为(x 1，ln x 1)，(x 2，ln x 2)， k CD ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝x 1－1－ln k －x 2－1－ln kx 1－x 2＝1.答案：1 三、解答题10．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2解得：k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.11．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点， (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3.即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝|PA |＝10.12．(1)求点A (3,2)关于点B (－3,4)的对称点C 的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点P (2，－1)对称的直线l 的方程； (3)求点A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点的坐标．解：(1)设C (x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧3＋x2＝－3，2＋y2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝6，故所求的对称点的坐标为C (－9,6)．(2)设直线l 上任一点为(x ，y )，它关于点P (2，－1)的对称点(4－x ，－2－y )在直线3x －y －4＝0上，∴3(4－x )－(－2－y )－4＝0. ∴3x －y －10＝0.∴所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.(3)设B (a ，b )是A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点，根据直线AB 与已知直线垂直，且线段AB 的中点在已知直线2x －4y ＋9＝0上，则有⎩⎪⎨⎪⎧12·b －2a －2＝－1，2·a ＋22－4·b ＋22＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴所求的对称点的坐标为(1,4)． [热点预测]13．(1)点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．2 3解析：(1)∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x .设P (t 2,2t )，则22＝|t 2－2t |2，解得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，故P 点有三个．(2)设原点到点(m ，n )的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2，又因为(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m 2＋n 2的最小值为4.答案：(1)C (2)C。

高考数学(文)一轮复习 8-2两直线的位置关系

线
AB
的斜率等于－1，且线段 k
AB
的中点在直线
l
上．(
√
)
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板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
二、小题快练 1．[课本改编]过点(1,0)且与直线 x－2y－2＝0 平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析设直线方程为 x－2y＋c＝0，又经过点(1,0)，故 c＝－1，所求方程为 x－2y－1＝0.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
(2)如果 l1、l2 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，l1 与 l2 的关系为_垂__直__．_
3．两条直线相交交点：直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x＋B2y＋C2 ＝ 0 的公共点的坐标与方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00，的解一一对应．
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高考一轮总复习 ·数学（文）
【变式训练 2】 (1)P 点在直线 3x＋y－5＝0 上，且点 P
到直线 x－y－1＝0 的距离为 2，则 P 点坐标为( )
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
解析设 P(x,5－3x)，则 d＝|x－125＋＋3－x－121|＝ 2，化简
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高考一轮总复习 ·数学（文）
特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝