高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．复数i+i2在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．抛物线y2=2x的准线方程是（）
A． B． C．D．
3．椭圆+=1的长轴长是（）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少是（）
A．23分钟B．24分钟C．26分钟D．31分钟
5．圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣4y+3=0的位置关系是（）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF 的位置关系是（）
A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定
7．“b≠0”是“复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
9．设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k=（）
A．±1 B．C． D．
10．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是．
12．复数=．
13．已知（5，0）是双曲线=1（b＞0）的一个焦点，则b=，该双曲
线的渐近线方程为．
14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为．
15．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的点．若PF1⊥F1F2，∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为．
16．已知曲线C的方程是，且m≠0）．给出下列三个命题：
①若m＞0，则曲线C表示椭圆；
②若m＜0，则曲线C表示双曲线；
③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则m的值越大，椭圆的离心率越大．
其中，所有正确命题的序号是．
三、解答题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．已知直线l过点A（1，﹣3），且与直线2x﹣y+4=0平行．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线m与直线l垂直，且在y轴上的截距为3，求直线m的方程．
18．已知圆C的圆心为点C（﹣2，1），且经过点A（0，2）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且，求k的值．
19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．过AB的平面与侧棱CC1，DD1分别交于点E，F．
（Ⅰ）求证：EF∥AB；
（Ⅱ）求证：A1C1⊥平面DBB1D1．
20．已知椭圆C：x2+4y2=4，直线与椭圆C交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标；
（Ⅱ）求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若b=1，求弦AB的长．
21．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=
PD=1．
（Ⅰ）求证：MB∥平面PDC；
（Ⅱ）求证：PM⊥平面MDC；
（Ⅲ）求三棱锥P﹣MDC的体积．
22．椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x焦点相同，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．复数i+i2在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】由i+i2=﹣1+i，知i+i2在复平面内对应的点（﹣1，1），由此能得到结果．
【解答】解：∵i+i2=﹣1+i，
∴i+i2在复平面内对应的点（﹣1，1）在第二象限．
故选B．
2．抛物线y2=2x的准线方程是（）
A． B． C．D．
【考点】抛物线的标准方程．
【分析】利用抛物线y2=2px的准线方程为即可得出．
【解答】解：由抛物线y2=2x，可得准线方程x=﹣，即．
故选：C．
3．椭圆+=1的长轴长是（）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可．
【解答】解：椭圆+=1的实轴长是：2a=6．
故选：D．
4．小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少是（）
A．23分钟B．24分钟C．26分钟D．31分钟
【考点】流程图的作用．
【分析】根据题干，起床穿衣﹣煮粥﹣吃早餐，同时完成其他事情共需26分钟，由此即可解答问题．
【解答】解：根据题干分析，要使所用的时间最少，可设计如下：
起床穿衣﹣煮粥﹣吃早饭．
所用时间为：5+13+8=26（分钟），
故选：C．
5．圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣4y+3=0的位置关系是（）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．
【解答】解：把圆x2+y2﹣4y+3=0化为标准方程得：x2+（y﹣2）2=1，圆心坐标为（0，2），半径为R=1，
圆x2+y2=4，圆心坐标为（0，0），半径为r=2
∵圆心之间的距离d=2，R+r=3，R﹣r=1，
∴R﹣r＜d＜R+r，
则两圆的位置关系是相交．
故选：B．
6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF 的位置关系是（）
A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】连结CD1，则直线A1B与直线EF均在平面A1BCD1上，由A1B∥CD1，EF与CD1相交可判断结论．
【解答】解：连结CD1，∵BC A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∵A1B⊂平面A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，∴A1B与EF共面，
∵A1B∥CD1，EF与CD1相交，∴直线A1B与直线EF相交．
故选：A．
7．“b≠0”是“复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数⇒b≠0，a=0，反之不成立．
【解答】解：复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数⇒b≠0，a=0，反之不成立．
∴“b≠0”是“复数a+bi（a，b∈R）是纯虚数”的必要不充分条件．
故选：B．
8．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；
若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；
若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；
若l⊥α，l⊥β，
则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．
故选：D．
9．设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k=（）
A．±1 B．C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】将直线方程与椭圆方程联立，得（1+2k2）x2=2．分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，说明A，B的横坐标是±1，即方程（1+2k2）x2=2的两个根为±1，代入求出k的值．
【解答】解：将直线与椭圆方程联立，，
化简整理得（1+2k2）x2=2（*）
因为分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，
故方程的两个根为±1．代入方程（*），
得k=±．
故选：B．
10．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】如图所示，连接BE，由于SB⊥底面ABCD，∠SEC=90°，可得：CE⊥BE．设E
（0，t）（0≤t≤3），由=0，解出即可判断出结论．
【解答】解：如图所示，
连接BE，∵SB⊥底面ABCD，∠SEC=90°，
∴CE⊥BE．
设E（0，t）（0≤t≤3），B（﹣1，3），C（﹣2，0），
则=（2，t）•（1，t﹣3）=2+t（t﹣3）=0，
解得t=1或2．
∴E（0，1），或（0，2）．
∴满足∠SEC=90°的点E的个数是2．
故选：C．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是∃x∈R，e x≤0．
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是：∃x∈R，e x≤0．
故答案为：∃x∈R，e x≤0．
12．复数=．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：=．
故答案为：．
13．已知（5，0）是双曲线=1（b＞0）的一个焦点，则b=3，该双曲线的渐近
线方程为y=±x．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意可得c=5，即16+b2=25，解得b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程．
【解答】解：由题意可得c=5，即16+b2=25，
解得b=3，
即有双曲线的方程为﹣=1，
可得渐近线方程为y=±x．
故答案为：3，y=±x．
14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】四棱锥的底面为正方形，一条侧棱与底面垂直，求出四条侧棱的长比较大小即可．【解答】解：由三视图可知三棱锥的底面ABCD是正方形，对角线AC=2，侧棱PA⊥平面ABCD，PA=1，
∴四棱锥的底面边长AB=，PB=PD==，PC==．
∴三棱锥最长棱为．
故答案为：．
15．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的点．若
PF1⊥F1F2，∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意可得x P=﹣c，代入椭圆方程求得P的坐标，再由解直角三角形的知识，结合离心率公式，解方程可得所求值．
【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意可得x P=﹣c，
代入椭圆方程，解得y P=±b=±，
在直角三角形F1PF2中，
tan60°==，
即有b2=2ac，
即为a2﹣2ac﹣c2=0，
由e=，可得e2+2e﹣=0，
解得e=（负的舍去）．
故答案为：．
16．已知曲线C的方程是，且m≠0）．给出下列三个命题：
①若m＞0，则曲线C表示椭圆；
②若m＜0，则曲线C表示双曲线；
③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则m的值越大，椭圆的离心率越大．
其中，所有正确命题的序号是②③．
【考点】曲线与方程．
【分析】据椭圆、双曲线方程的特点，列出等式求出离心率e，判断正误．
【解答】解：①若m＞0，且m≠1，则曲线C表示椭圆，不正确；
②若m＜0，则曲线C表示双曲线正确，；
③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则当m＞1时，椭圆的离心率e==，
m的值越大，椭圆的离心率越大，正确．
故答案为：②③．
三、解答题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．已知直线l过点A（1，﹣3），且与直线2x﹣y+4=0平行．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线m与直线l垂直，且在y轴上的截距为3，求直线m的方程．
【考点】待定系数法求直线方程；直线的截距式方程．
【分析】（I）利用相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出；
（II）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由直线l与直线2x﹣y+4=0平行可知l的斜率为2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又直线l过点A（1，﹣3），则直线l的方程为y+3=2（x﹣1），即2x﹣y﹣5=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由直线m与直线l垂直可知m的斜率为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣
又直线m在y轴上的截距为3，则直线m的方程为即x+2y﹣6=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
18．已知圆C的圆心为点C（﹣2，1），且经过点A（0，2）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且，求k的值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+1与圆C相交于M，N两点，且，可得圆心C到直线y=kx+1
的距离为，利用点到直线的距离公式求k的值．
【解答】解：（Ⅰ）圆C的半径﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由圆心为点C（﹣2，1），所以圆C的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）圆心为点C（﹣2，1），半径为，，
所以圆心C到直线y=kx+1的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解得k2=1，k=±1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．过AB的平面与侧棱CC1，DD1分别交于点E，F．
（Ⅰ）求证：EF∥AB；
（Ⅱ）求证：A1C1⊥平面DBB1D1．
【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AB∥CD，易证AB∥平面D1DCC1，结合AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面D1DCC1=EF，可得EF∥AB．
（Ⅱ）由AA1⊥平面ABCD，可得BB1⊥平面A1B1C1D1，可证BB1⊥A1C1，又底面A1B1C1D1为菱形，可得B1D1⊥A1C1，可得A1C1⊥平面DBB1D1，
【解答】（本小题12分）
解：（Ⅰ）∵底面ABCD为菱形，
∴AB∥CD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又AB⊄平面D1DCC1，CD⊂平面D1DCC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴AB∥平面D1DCC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又∵AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面D1DCC1=EF，﹣﹣﹣﹣﹣
∴EF∥AB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥平面A1B1C1D1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵A1C1⊂平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又∵底面A1B1C1D1为菱形，
∴B1D1⊥A1C1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵B1D1∩BB1=B1，BB1⊂平面DBB1D1，B1D1⊂平面DBB1D1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴A1C1⊥平面DBB1D1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20．已知椭圆C：x2+4y2=4，直线与椭圆C交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标；
（Ⅱ）求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若b=1，求弦AB的长．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）将椭圆方程化为标准方程，求得a，b，c，即可得到所求焦点；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，再由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围；
（Ⅲ）若b=1，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程x2+4y2=4得，
可知a2=4，b2=1，c2=3，
所以椭圆C的焦点坐标；
（Ⅱ）直线方程与椭圆C的方程联立，得方程组，
消y，整理得x2+2bx+2b2﹣2=0，①，
由直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，则有△=4b2﹣4（2b2﹣2）＞0，
解得；
（Ⅲ）若b=1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由（Ⅱ）中的①式得x1+x2=﹣2，x1x2=0，且k=，
可得弦长．
21．如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=
PD=1．
（Ⅰ）求证：MB∥平面PDC；
（Ⅱ）求证：PM⊥平面MDC；
（Ⅲ）求三棱锥P﹣MDC的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由AB∥CD，MA∥PD可得平面MAB∥平面PDC，故MB∥平面PDC；（II）由平面ABCD⊥平面AMPD可得CD⊥平面AMPD，故CD⊥PM，由勾股定理计算MP，MD，可得MP2+MD2=PD2，即PM⊥MD，于是MP⊥平面MDC；
（III）以△MDC为棱锥的底面，则PM为棱锥的高，代入体积公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
又∵MA∥PD，AB∩MA=A，CD∩PD=D，AB⊂平面ABM，MA⊂平面ABMCD⊂平面PDC，PD⊂平面PDC，
∴平面ABM∥平面PDC，
∵MB⊂平面ABM，
∴MB∥平面PDC．
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面AMPD，平面ABCD∩平面AMPD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥平面AMPD，∵PM⊂平面AMPD，
∴CD⊥PM．
∵在直角梯形AMPD中，由，得，
∴PM2+MD2=PD2，∴MD⊥PM，
又CD∩MD=D，CD⊂平面MDC，MD⊂平面MDC，
∴PM⊥平面MDC．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知PM是三棱锥P﹣MDC的高，．
∴三棱锥P﹣MDC的体积．
22．椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x焦点相同，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点，可得c=2，由离心率公式可得a=4，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，求得向量MP的坐标，再由模的公式，及二次函数的最值的求法，可得m的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2=8x焦点为（2，0），得c=2，
由，得a=4，
则b2=a2﹣c2=12，所以椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故﹣4≤x≤4．
因为，
所以
=
因为当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x=4时，取得最小值，
而﹣4≤x≤4，故有4m≥4，解得m≥1，
又点M在椭圆C的长轴上，即﹣4≤m≤4，
故实数m的取值范围为1≤m≤4．。